Op I - aula 10 - Fluidização (2024)

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Fluidização
OPERAÇÕES UNITÁRIAS I
Ótima área de contato entre o sólido e o fluido
FLUIDIZAÇÃO
Secador em leito 
fluidizado
Secador de leito fluidizado
Metal afundando no leito fluidizado:
https://www.youtube.com/watch?v=FcNuxk8vDu8
Opções do leito fluidizado:
https://www.youtube.com/watch?v=cmm5R_km4Kk
Comportamento do leito fluidizado:
https://www.youtube.com/watch?v=hHXA51Fo4MI
Leito de jorro:
https://www.youtube.com/watch?v=-pg7NxRXhR8
https://www.youtube.com/watch?v=FcNuxk8vDu8
https://www.youtube.com/watch?v=cmm5R_km4Kk
https://www.youtube.com/watch?v=hHXA51Fo4MI
https://www.youtube.com/watch?v=-pg7NxRXhR8
Fluidização homogênea ou particulada (Fr < 1)
Distribuição uniforme da concentração das partículas no leito (matriz isotrópica);
Diferença pequena de entre a densidade do sólido e do fluido;
Líquidos (principalmente) e gases (em velocidade próxima à velocidade mínima de fluidização).
Fluidização heterogênea ou agregativa (Fr > 1)
Matriz porosa não isotrópica;
Diferença grande entre densidade do fluido e das partículas;
Gases em velocidade elevada.
Número de Froude: Fr 𝐅𝐫 =
𝐯𝐬
𝟐
𝐃𝐩 𝐠
TIPOS DE FLUIDIZAÇÃO
Regimes de fluidização (KUNII, D.; LEVENSPIEL, O.)
https://www.youtube.com/watch?v=hHXA51Fo4MI&t=150s
https://www.youtube.com/watch?v=hHXA51Fo4MI&t=150s
Leito de Jorro
COMPARAÇÕES: - leito fixo
- leito fluidizado
- leito de arraste
Grandezas que podem ser comparadas:
área de contato, 
porosidade do leito, 
velocidade superficial, 
perda de carga, 
altura do leito de sólidos, 
taxas de troca, 
custo 
...
Exemplos de Simulação com CFD
Leito Fluidizado associado
a um ciclone
Perfil de formação de Bolhas em fluidização heterogênea
Em termos matemáticos:
na fluidização, a soma 
vetorial das velocidades de 
todas as partículas deve ser 
ZERO.
Quando começa a fluidização?
Quando um equilíbrio de forças do 
sistema é atingido
Sistema com fluido gasosos (𝜌𝑝 ≫ 𝜌𝑓):
H = L
Balanço de Sólidos
𝑀𝑝1 = 𝑀𝑝2
𝑉𝑝1 ∙ 𝜌𝑝 = 𝑉𝑝2 ∙ 𝜌𝑝
𝐿1 ∙ 𝐴 ∙ 1 − 𝜀1 ∙ 𝜌𝑝 = 𝐿2 ∙ 𝐴 ∙ (1 − 𝜀2) ∙ 𝜌𝑝
𝐿1 ∙ 1 − 𝜀1 = 𝐿2 ∙ (1 − 𝜀2)
∆𝑃𝑚 = Lm(1 − 𝜀𝑚) 𝜌𝑝 − 𝜌𝑓 𝑔 Expressão teórica 
(obtida do balanço de forças)
Velocidade Mínima: Leva
A correlação de Leva para perda de carga do leito fluidizado é uma adaptação da equação
de Fanning para o fator de atrito:
∆𝑃 =
2𝑓 ∙ L ∙ 𝑣2 ∙ 𝜌𝑓
𝐷𝑝
1 − 𝜀 2
𝜀3
𝜆𝐿
2 𝜆𝐿 = 0,25
𝜓𝐴
𝜓𝑉
Τ2 3
• Substituindo a pressão mínima de fluidização: ∆𝑃𝑚 = Lm(1 − 𝜀𝑚)(𝜌𝑝 − 𝜌f)𝑔
• Considerando Re laminar (Re < 10) ⇒ 𝑓 = 100/𝑅𝑒 = 100𝜇/(𝜌𝑣𝐷𝑝)
• o comprimento do leito é a sua altura: 𝐿 = 𝐻
• v é sempre a velocidade superficial
Lm(1 − 𝜀𝑚) 𝜌𝑝 − 𝜌𝑓 𝑔 =
200𝜇 ∙ 𝐿m ∙ 𝑣𝑚
𝐷𝑝
2
1 − 𝜀𝑚
2
𝜀𝑚
3 𝜆𝐿
2
𝑣𝑚 =
𝐷𝑝
2 𝜌𝑝 − 𝜌𝑓 𝑔
200𝜇 ∙ 𝜆𝐿
2
𝜀𝑚
3
1 − 𝜀𝑚
vale para Re < 10
se for esfera:
𝜆𝐿 = 1
Velocidade Mínima: Ergum
A equação de Ergum para a condição mínima de fluidização vem da equação para leito fixo:
∆𝑃 = 150
𝜇 ∙ 𝐿 ∙ 𝑣
𝐷𝑝
2
1 − 𝜀 2
𝜀3
+ 1,75
𝜌 ∙ 𝐿 ∙ 𝑣2
𝐷𝑝
1 − 𝜀
𝜀3
Substituindo a pressão mínima de fluidização: ∆𝑃𝑚 = Lm(1 − 𝜀𝑚)(𝜌𝑝 − 𝜌f)𝑔
Caso Laminar → 𝑣𝑚 =
𝐷𝑝
2(𝜌𝑝−𝜌f)𝑔
150𝜇
𝜀𝑚
3
1−𝜀𝑚
Equação Completa → 𝜌𝑝 − 𝜌𝑓 𝑔 = 150
𝜇∙ 𝑣𝑚
𝐷𝑝
2
1−𝜀𝑚
𝜀𝑚
3 + 1,75
𝜌𝑓
𝐷𝑝
𝑣𝑚
2
𝜀𝑚
3
vale para 
𝑹𝒆
𝟏−𝜺
< 𝟓
Fonte: GOMIDE, 1980
O gráfico ao lado foi construído
de forma empírica para os
típicos valores de porosidade
mínima de fluidização de
partículas com diferentes
diâmetros e diferentes materiais
em fluidização com gases.
DEPENDE DO SÓLIDO
Porosidade Mínima: Correlações Empíricas
𝜀𝑚 =
𝜌𝑝 − 𝜌𝑚𝑎𝑥
𝜌𝑝 − 𝜌𝑓
Dp em μm
Revestimento e granulação:
https://www.youtube.com/watch?v=3Rpd3V6bHRY
Combustão em leito fluidizado:
https://www.youtube.com/watch?v=4MQVJ6qbRuE
Granulador de fármacos:
https://www.youtube.com/watch?v=0PHeHrPNVHQ
APLICAÇÕES DO LEITO FLUIDIZADO:
https://www.youtube.com/watch?v=3Rpd3V6bHRY
https://www.youtube.com/watch?v=4MQVJ6qbRuE
https://www.youtube.com/watch?v=0PHeHrPNVHQ
vm
vt
vop
RESUMO: Velocidade Mínima de Fluidização:
1) Leva vm =
Dp
2 ρp − ρf g
200μ ∙ λL
2
εm
3
1 − εm
vale para Re < 10
𝜆𝐿 = 0,25
𝜓𝐴
𝜓𝑉
Τ2 3
se for esfera:
𝜆𝐿 = 1
2) Ergun
Caso Laminar → vm =
Dp
2 (ρp−ρf)g
150μ
εm
3
1−εm
vale para 
𝑹𝒆
𝟏−𝜺
< 𝟓
Equação Completa → ρp − ρf g = 150
μ∙ vm
Dp
2
1−εm
εm
3 + 1,75
ρf
Dp
vm
2
εm
3
𝛆𝐦: porosidade mínima de fluidização - Gráfico (depende do sólido)
- Pela 𝜌𝑎 𝑚á𝑥 (gases e Dp < 500 μm)
- Último caso: chute (𝛆fixo + um pouco)!
Exercício 3 (pág. 114 da apostila)
Um sistema a leito fluidizado deve ser constituído por partículas esféricas de 65 mesh
com densidade 3,5 kg/L e ar a 300°C e 6 atm (abs), com viscosidade 0,03 cP. Sabe-se que
o leito fixo deste sistema possui porosidade de 0,4, e atinge uma altura de 2,5 m em uma
coluna. Calcular o fluxo mássico mínimo do ar de fluidização nessa coluna e a altura
mínima do leito fluidizado.
𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠:
# 65 𝑚𝑒𝑠ℎ ⇒ 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝐷𝑃 = 𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎 65 ⇒ 𝐷𝑃 = 0,208 𝑚𝑚 (0,208 𝑥 10−3𝑚)
ρ𝑃 = 3,5 𝑘𝑔 . 𝐿−1 = 3500 𝑘𝑔 . 𝑚−3
𝜇 = 0,03 𝑐𝑃 = 0,03 𝑥 10−3 𝑃𝑎. 𝑠
𝑇 = 300°𝐶 = 573 𝐾
𝑃 = 6 𝑎𝑡𝑚
𝑀 = 28,9 g . mol−1
𝜀𝑒 = 0,4
𝐿𝑒 = 2,5 𝑚
Representação gráfica do ponto a ser calculado
~1
εm
I II
III
IV
log ε
log ReRem=Rec Rea
𝜌𝑎𝑟 = 3,7 kg m−3
𝐿1. 1 − 𝜀1 = 𝐿𝑚. (1 − 𝜀𝑚)
𝜌𝑚á𝑥 = 0,356. 𝜌𝑃. [(log 𝐷𝑃) − 1]
𝜌𝑎𝑟 =
6 𝑎𝑡𝑚 . 28,96 𝑔 𝑚𝑜𝑙−1
573 𝐾 82,06 𝑐𝑚3𝑎𝑡𝑚 𝑚𝑜𝑙−1𝐾−1 = 3,7 × 10−3 g cm−3
b) Calcular a altura mínima
c) Calcular a porosidade mínima (εm)
𝜌𝑚á𝑥 = 0,356. 3500 𝑘𝑔 . 𝑚−3. [(log 208) − 1]
𝜌𝑚á𝑥 = 1642 𝑘𝑔 . 𝑚−3
?
𝜌𝑓 = 𝜌𝑎𝑟 =
𝑃𝑀
𝑅𝑇
a) Calcular a densidade do fluido
Pode-se usar essa equação 
pois DP < 500 μm e o fluido é 
gás (Dp em μm)
Fórmula Empírica de Matheson
𝜀𝑚 =
𝜌𝑃 − 𝜌𝑚á𝑥
𝜌𝑃 − 𝜌𝑓
𝜀𝑚 =
3500 − 1642
3500 − 3,7
= 0,531
𝐿𝑚 =
𝐿1. 1 − 𝜀1
1 − 𝜀𝑚
𝐿𝑚 =
2,5 𝑚. 1 − 0,4
1 − 0,531
= 3,2 𝑚
𝐺𝑚 = 𝜌𝑓 𝑣𝑚.
Com a densidade máxima, pode-se encontrar a porosidade mínima:
d) Voltando ao item b
e) Fluxo mássico do gás crítico (mínimo): 
Altura mínima
A expansão do leito foi de: 𝐿𝑚
𝐿𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑥𝑜
=
3,2
2,5
= 1,28 ∴ 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 28% (gás)
𝑣𝑐 = 𝑣𝑚Considerando que:
𝜌𝑃 − 𝜌𝑓 . 𝑔 = 150.
𝜇. 𝑣𝑚
𝐷𝑃
2 .
(1 − 𝜀𝑚)
𝜀𝑚
3 + 1,75
𝜌𝑓
𝐷𝑃
.
𝑣𝑚
2
𝜀𝑚
3
3500 − 3,7
𝑘𝑔
𝑚3
. 9,8
𝑚
𝑠2
= 150.
0,03 𝑥 10−3𝑃𝑎. 𝑠 . 𝑣𝑚
(0,208𝑥10−3 𝑚)²
.
(1 − 0,531)
(0,531)³
+ 1,75
(3,7 𝑘𝑔. 𝑚−3)
(0,208𝑥10−3𝑚)
.
𝑣𝑚
2
0,531³
Calcula-se a velocidade por Ergun (completo):
34263,79 = 325818,04 𝑣𝑚 + 207637,41 𝑣𝑚
2
Bháskara:
𝑣𝑚 = 9,9 . 10−2 𝑚/𝑠
𝐺 = 9,9 . 10−2
𝑚
𝑠
𝑥 3,7
𝑘𝑔
𝑚3 = 0,37
𝑘𝑔
𝑚2. 𝑠
Fluxo mássico mínimo
Cálculo da velocidade de arraste (velocidade terminal: sedimentação):
Atalho: CD . Re2 = 1690 ⇒ regime intermediário (região b) ⇒ va = 0,97 m/s 
𝑣𝑎
𝑣𝑚
=
0,97
0,099
= 9,8
Representação gráfica
~1
log v
εe = 0,4
I II
III
IV
log ε
Vm=
0,099 m/s 
V1 Va= 
0,97 m/s 
εm = 0,531
Exercício 4 da apostila de sala - Calcular a relação entre a velocidade de arraste e a 
velocidade mínima de fluidização para a faixa normal da porosidade mínima de fluidização. 
- partículas esféricas ⇒ fator de forma de Leva = 1
- no início da fluidização: Re < 10 ⇒ é válida a expressão de Leva
- no início do arraste: região de Stokes (regime viscoso) 
𝑣𝑚= 
𝐷𝑝
2 𝜌𝑝 − 𝜌𝑓 𝑔
200 𝜇
𝜀𝑚
3
(1 − 𝜀𝑚)
𝑣𝑎= 
𝐷𝑝
2 𝜌𝑝 − 𝜌𝑓 𝑔
18 𝜇
𝑣𝑎
𝑣𝑚
= 11,1
(1 − 𝜀𝑚)
𝜀𝑚
3
εm
va / vm
(Leva)
va / vm
(Ergun laminar)
0,4 104 78
0,5 44 33
0,6 21 16
0,7 10 7
Hipóteses:
Exercício 5 
Um reator tubular a leito fluidizado deve conter catalisadores esféricos e um gás.
Dimensionar este reator, adotando para este caso que o Reynolds de operação é o triplo
do Reynolds crítico.Dados:
𝐷𝑝 = 4,4 𝑚𝑚 = 4,4 𝑥 10−3𝑚
𝑀𝑝 = 25 𝑘𝑔
Q = 600
𝑚3
ℎ
= 0,17 𝑚3/𝑠
𝜌𝑓 = 2,3 𝑘𝑔/𝑚³
𝜇 = 1,1 𝑥 10−5𝑃𝑎. 𝑠
𝜌 𝑟𝑒𝑙 𝑝 = 1,37 → 𝜌𝑝 = 1370 𝑘𝑔/𝑚³
𝜀m = 0,383
𝑅𝑒𝑜𝑝 = 3 ⋅ 𝑅𝑒𝑚
L
D
Representação gráfica do ponto a ser calculado
I II
III
IV
log ε
~1
εm
log ReRem=Rec
ReaReop
εop
𝜌𝑝 − 𝜌𝑓 ⋅ 𝑔 = 150 ⋅
𝑢 ⋅ 𝑣𝑚 1 − 𝜀𝑚
𝐷𝑝2 ⋅ 𝜀𝑚
3 +
1,75 ⋅ 𝜌𝑓 ⋅ 𝑣𝑚
2
𝐷𝑝 ⋅ 𝜀𝑚
3
Ergun completo:
13417 = 935,9 ⋅ 𝑣𝑚 + 16.282𝑣𝑚
2
a) Velocidade mínima de fluidização:
𝑅𝑒𝑜𝑝 = 3 ⋅ 𝑅𝑒𝑚
𝜈𝑚 = 0,88 Τ𝑚 𝑠
Relação linearRe =
𝜌𝑓𝑣𝐷𝑃
𝜇 𝜈𝑜𝑝 = 3 ⋅ 𝜈𝑚
𝜈𝑜𝑝 = 2,64 𝑚/𝑠
b) Velocidade de operação:
c) Diâmetro do reator:
𝑄𝑜𝑝 = 𝑣𝑜𝑝 ⋅ 𝐴 𝐴 =
0,17
2,64
Τ𝑚3 𝑠
Τ𝑚 𝑠
= 6,4 × 10−2 𝑚2
𝐴 =
𝜋𝐷2
4
𝐷 = 0,28 𝑚Área de um círculo
~1
εm
εop
I II
III
IV
log ε
vm=vc vop va Log v
𝑣𝑎 = 𝑣𝑡
𝜀𝑎 = 1
e) Porosidade de operação
Interpolação logarítmica
d) Altura L
𝑀𝑝 = 𝜌𝑝 𝑉𝑝
Sendo que o volume ocupado pelo sólido é: 𝑉𝑝 = 1 − 𝜀 𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Substituindo e colocando em termos de L e D:
𝑚𝑠 = 𝐿𝑜𝑝𝐴 1 − 𝜀𝑜𝑝 𝜌𝑝 Como descobrir?
?
log 𝑣𝑚 − log 𝑣𝑜𝑝
log 𝑣𝑚 − log 𝑣𝑎
=
log 𝜀𝑚 − log 𝜀𝑜𝑝
log 𝜀𝑚 − log 𝜀𝑎
Atalho:
𝐶𝑑. 𝑅𝑒2 =
4
3
𝐷𝑃
3 𝑔 𝜌𝑃 − 𝜌𝑓 𝜌𝑓
𝜇2
𝐶𝑑. 𝑅𝑒2 = 2,9 x 107
↓
𝑅𝑒 ≈ 8 𝑥 10³
𝑣𝑡 =
3,03. 𝐷𝑃 𝜌𝑃 − 𝜌𝑓 𝑔
𝜌𝑓
1/2
Região c: 500 < Re < 200.000
Regime Hidráulico (Newton)
𝑣𝑡 = 8,8 𝑚/𝑠
log 𝑣𝑚 − log 𝑣𝑜𝑝
log 𝑣𝑚 − log 𝑣𝑎
=
log 𝜀𝑚 − log 𝜀𝑜𝑝
log 𝜀𝑚 − log 𝜀𝑎
e) Porosidade de operação
Interpolação logarítmica
𝜀𝑜𝑝 = 0,606
𝑀𝑝 = 𝐿𝑜𝑝𝐴 1 − 𝜀𝑜𝑝 𝜌𝑃
Balanço de Massa
f) Voltando no passo d
𝐿𝑜𝑝 = 0,72𝑚
𝐿 = 2. 𝐿𝑜𝑝 = 1,44 𝑚 = 1,5 𝑚
log 0,88 − log 2,64
log 0,88 − log 8,8
=
log 0,383 − log 𝜀𝑜𝑝
log 0,383 − log 1
g) Perda de carga teórica
Fluido (gás): 𝜌𝑝 − 𝜌𝑓 ≅ 𝜌𝑝
Δ𝑃 = 𝐿 1 − 𝜀 𝜌𝑝 − 𝜌𝑓 𝑔
∆𝑃 =
𝑀𝑝 𝑔
𝐴
=
25 .9,81
6,31×10−2 = 4000 𝑃𝑎 = 0,04 𝑏𝑎𝑟
A altura do equipamento 
sempre será maior que a 
altura do leito
h) Resultados
~1
0,383
log vs
0,606
Ponto: ∆𝑷 𝜺 𝝊𝒆𝒍
Mínimo 4000 Pa 0,383 0,88 m/s
Operação 4000 Pa 0,606 2,64 m/s
Arraste 4000 Pa 1 8,8 m/s
I II
III
IV
log ε
8,8 
m/s
0,88 
m/s
2,64 
m/s
Exercício 6 
Um leito fluidizado opera atualmente com uma vazão de gás igual a 3 m³/s e uma altura
de 2,60 m. O diâmetro médio das partículas do sólido é 100 μm e a densidade do sólido é
2,7 g/cm³. Desejando-se reduzir a altura do leito para 2,20 m, pergunta-se qual deverá ser
a nova vazão de gás. A seu ver, qual seria a causa provável da necessidade de se reduzir a
altura do leito? Admitir que as operações ocorram com número de Reynolds inferior a 10.
Dados:
Altura do leito de porosidade mínima: Lm = 1,10𝑚
ΔP constante
Re < 10
𝑄1 = 3 𝑚³. 𝑠−1
𝐿1 = 2,60 𝑚
𝐷𝑝 = 100 𝜇𝑚
𝜌𝑝 = 2,7𝑔. 𝑐𝑚−3 = 2700 𝑘𝑔. 𝑚−3
Δ𝑝1
Δ𝑝2
= 1
Representação gráfica dos pontos do enunciado
I II
III
IV
log ε
~1
εm
log ReRem=Rec
ReaReop 2
εop 2
Reop 1
εop 1
L1 = 2,60m
L2 = 2,20m
a) Densidade máxima
𝑄 = 𝑣𝑜𝑝 ⋅ 𝐴
𝜌𝑚á𝑥 = 0,356. 𝜌𝑃. [(log 𝐷𝑃) − 1]
DP < 500 μm e fluido é gás
Fórmula Empírica de Matheson
𝜌𝑚á𝑥 = 961 𝑘𝑔/𝑚³
b) Porosidades
𝜀𝑚 =
𝜌𝑃 − 𝜌𝑚á𝑥
𝜌𝑃 − 𝜌𝑓
= 0,644
𝐿𝑚. 1 − 𝜀𝑚 = 𝐿1. (1 − 𝜀1)
Balanço de Massa
𝑀𝑝 = 𝐿 𝐴 1 − 𝜀 𝜌𝑝
𝐿𝑚. 1 − 𝜀𝑚 = 𝐿2. (1 − 𝜀2)
𝜀1 = 0,849
𝜀2 = 0,822
Porosidade mínima
A1 = A2
Δ𝑃 =
200𝜇𝐿𝑣𝑠 1 − 𝜀 2
𝐷𝑃
3𝜀3
𝜆𝐿
2
Cálculo da perda de carga por Leva
c) Nova vazão de operação
Re <10
Como Δ𝑃1 = Δ𝑃2
200𝜇𝐿1𝑣𝑠1 1 − 𝜀1
2
𝐷𝑃
3𝜀1
3
𝜆𝐿
2 =
200𝜇𝐿2𝑣𝑠2 1 − 𝜀2
2
𝐷𝑃
3𝜀2
3
𝜆𝐿
2
9,6 × 10−2𝑣1 = 0,1255𝜈2
𝑣1
𝑣2
= 1,276
𝑄2 =
3
1,276
= 2,3 𝑚3/𝑠
A1 = A2:
ሶ𝑄1
𝑣𝑜𝑃1
=
ሶ𝑄2
𝑣𝑜𝑃2
Logo:
ሶ𝑄1
ሶ𝑄2
=
𝑣1
𝑣2
23 % a menos
Representação gráfica 
I II
III
IV
log ε
~1
εm=0,644
log vvm
vavop 2
εop 2=0,822
vop 1
εop 1=0,849
Por que reduzir a altura?
• Porosidade alta → 
causa arraste de partículas pequenas
PERGUNTAS???
DÚVIDAS????
Referências
• CREMASCO, M. A. Operações Unitárias em Sistemas Particulados e 
Fluidomecânicos. 2a ed. São Paulo: Blucher, 2014.
• GEANKOPLIS, Christi J. Transport process and unit operations. 3rd ed New Jersey: 
Prentice HalI, 1993.
• GOMIDE, Reynaldo. Operações Unitárias: 1° volume (Operações com sistemas 
sólidos granulares). São Paulo: Gomide, 1983.
• McCABE, Warren L; SMITH, Julian C.; HARRIOT, Peter. Unit operations of Chemical 
Engineering. 5th ed. New York: McGraw-Hill, 1993.
• PERRY, CHILTON. Manual de engenharia química. Rio de Janeiro. Guanabara 2.
• TERRON, L. R.; Operações Unitárias para Químicos, Farmacêuticos e Engenheiros. 
LTC, 2012.
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	Slide 23
	Slide 24: Exemplos de Simulação com CFD
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27: Quando começa a fluidização?
	Slide 28
	Slide 29: Velocidade Mínima: Leva
	Slide 30: Velocidade Mínima: Ergum
	Slide 31
	Slide 32
	Slide 33
	Slide 34
	Slide 35: Exercício 3 (pág. 114 da apostila)
	Slide 36: Representação gráfica do ponto a ser calculado
	Slide 37
	Slide 38
	Slide 39
	Slide 40
	Slide 41: Representação gráfica
	Slide 42
	Slide 43: Exercício 5 
	Slide 44: Representação gráfica do ponto a ser calculado
	Slide 45
	Slide 46
	Slide 47: Atalho:
	Slide 48
	Slide 49
	Slide 50: Exercício 6 
	Slide 51: Representação gráfica dos pontos do enunciado
	Slide 52
	Slide 53
	Slide 54: Representação gráfica 
	Slide 55: Por que reduzir a altura?
	Slide 56
	Slide 57: Referências