Matematicas Simplificadas-480

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CAPÍTULO 5
 CÁLCULO INTEGRAL Aplicaciones de la integral
1413
La altura del rectángulo está determinada por
 y y
x x x x x
2 1
2 24
2
4 8
4
6
4
 
la distancia del rectángulo al eje de rotación es (1 x) y su ancho dx, al aplicar la fórmula se obtiene el volumen,
 V x
x x
dx2 1
6
4
2
6
0
( ) 
2
4
5 63 2
6
0
( )x x x dx 
2 4
5
3
3
4 3
2
6
0
x x
x
 
 
Finalmente, el volumen resulta ser: V 72 u3
Determina el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar sobre el eje X el área limitada por la curva 
x2 y2 9 y la recta y 1 0
Solución
X 
y = 1 
x2 + y2 = 9 3 
1 
X
YYY
 X
El volumen se genera tanto en el lado positivo como en el lado negativo del eje X, por tanto:
V 2 2 9 2
1
3
y y dy 4 y y dy9 2
1
3
 
Se resuelve la integral:
V 4
( )9
3
2
3
2
1
3
y
Al evaluar se obtiene como resultado
V 4
( ) ( )9 9
3
9 1
3
3
2
3
2
 4
16 2
3
 
64 2
3
u3
3
 5 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1414
Resuelve los siguientes problemas:
 1. Determina el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región limitada por la curva y x de 0 a 4 
alrededor del eje X.
 2. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región limitada por la curva f(x) x 2 y las 
rectas x 2, x 11, alrededor del eje X.
 3. Obtén el volumen del sólido que se genera al hacer girar la región limitada por la curva f (x) x2 y las rectas 
x 0, x 3 alrededor del eje X.
 4. Determina el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región limitada por la curva f (x) x y 
las rectas y 2, x 0 alrededor del eje Y.
 5. Determina el volumen del sólido que se genera al hacer girar la región limitada por la curva f (x) x 3, y las 
rectas x 0, y 8, alrededor del eje Y.
 6. Determina el volumen del sólido que se genera al hacer girar la región limitada por la curva y x2 y las rectas 
x 0, y 16 alrededor del eje Y.
 7. Determina el volumen que origina la superficie limitada por la parábola y x2 0 y la recta y 4 0, al girar 
en torno del eje Y.
 8. Obtén el volumen que se genera al rotar en torno al eje X el área limitada por la curva y 4 x 2 y la recta 
y 0.
 9. Encuentra el volumen que se genera al hacer girar la superficie limitada por la curva y x2 1 y las rectas 
x 2 y x 2 en torno al eje X.
10. Determina el volumen que se genera al hacer girar la superficie limitada por la curva x2 y2 1 0 y las rec- 
tas y 1.5, y 3 en torno al eje Y.
11. Precisa el volumen que se genera al rotar en torno al eje X la superficie limitada por la semielipse 9x2 25y2 
54x 144 0 y el eje X.
12. Obtén el volumen generado al girar en torno al eje Y la superficie limitada por las curvas y x2 y y x .
13. Encuentra el volumen que se origina al girar en torno al eje X, la superficie limitada por las curvas y x 2 y 
y x .
14. Determina el volumen generado por las curvas x2 y2 25 y y2 6x 15 0, al girar en torno al eje Y.
15. Precisa el volumen que se genera al rotar en torno al eje X la superficie limitada por la curva y 4x x2 y la 
recta x y 0
16. Calcula el volumen generado al rotar en torno al eje X, la superficie limitada por la parábola x2 6x 8y 
17 0 y la recta x 4y 5 0
17. Encuentra el volumen que se genera por la superficie limitada por la circunferencia x2 y2 1, cuando gira en 
torno a la recta x 3 0
18. Calcula el volumen que se genera al girar la superficie limitada por la parábola y2 4x 6y 11 0, y la recta 
2x y 9 0, en torno a la recta y 1 0
19. Obtén el volumen que se genera al rotar en torno a la recta x 2 0, la superficie limitada por la curva 
4x2 y2 48x 128 0
20. Encuentra el volumen que se genera por la superficie limitada por la primera arcada de la función sen x, al girar 
en torno a la recta 2x 3 0
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
EJERCICIO 26
 CAPÍTULO 5
 CÁLCULO INTEGRAL Aplicaciones de la integral
1415
Longitud de arco
Sea la función y f (x) continua en el intervalo [a, b], entonces la longitud de arco se define como:
L 1
2
f x dx
a
b
( ) 
Demostración
Se eligen n puntos del arco AB y se unen los puntos adyacentes mediante cuerdas, las cuales tendrán longitud s, la 
línea quebrada resultante tendrá longitud
sn 
i
n
1
si
y = f(x)Δyi Δxi 
A B 
f(x1) 
f(x2) f(xi) 
f(xi–1) 
a b x1 x2 xi-1 xi X
Y
El límite al que tiende esta longitud cuando si tiende a cero es la longitud (L) del arco AB, siendo
s x yi i i
2 2 1
2
y
x
xi
i
i
y por el teorema del valor medio: 
 
y
x
f x f x
x x
f xi
i
i i
i i
( ) ( )
( )1
1
para cualquier valor de x que cumpla xi 1 x xi, entonces:
L lím
s
i
n
i
f x x
0
2
1
1 ( ) 1
2
f x dx
a
b
( ) 
En forma semejante, si la curva tiene por ecuación x h (y ), entonces la longitud de la curva está determinada por:
L 1 2h y dy
c
d
( )