IV U-4, 5, 6 CURVA HORIZONTAL DE TRANSIÇÃO, SE e SL, CHais

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Infraestrutura Viária
	
Prof. Dr. Guillermo Ruperto Martín Cortés
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Infraestrutura Viária
4 – CURVA HORIZONTAL DE TRANSIÇÃO
• CÁLCULO DAS CURVAS HORIZONTAIS DE TRANSIÇÃO
5 – Superlargura e superelevação em curvas horizontais
• Cálculo da Superlargura em Curvas Horizontais
• Cálculo da Superelevação em Curvas Horizontais
6 – Curvas Horizontais
• Dimensionamento de Cálculo de Curvas Circulares
• Dimensionamento Cálculo de Curvas de Transição
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Objetivos U-4:
- Aprender o conceito, 
- tipos de curvas e 
- a calcular uma curva de concordância horizontal do tipo de transição; 
Objetivos U-5:
Compreender os tipos de superlargura e superelevação de curvas horizontais 
Dimensionar e Criar as curvas de concordância horizontal do traçado provisório da rodovia.
Objetivos U-6:
Analisar a topografia, geotecnia e hidrologia do local de implantação da rodovia
Brainstorming – Levantamento de conhecimentos prévios sobre Curva Horizontal de Transição.
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Curva Horizontal de Transição
Concordância Horizontal - Curvas de Transição
Numa curva circular simples o condutor sai de um trecho de raio infinito (na tangente) e entra instantaneamente numa curva de raio finito e constante, no PC da curva circular – e retoma a tangente num procedimento inverso, a partir do PT, na saída da curva. Isto pode ser evitado, particularmente nas curvas de raios menores, substituindo-se parte da curva circular, no início e no final da concordância, por uma curva de raio variável, alterando-se os pontos de concordância com as tangentes. Esta nova curva é denominada curva circular com transição, comumente chamada de curva de transição.
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Curva Horizontal de Transição
Lembrar que:
PC - Ponto de curva. Contato entre o fim da tangente e o começo da curva circular. Ponto inicial da curva.
 e
PT é o ponto de tangência
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Curva Horizontal de Transição
Quando um veículo passa de um alinhamento reto para um trecho curvo, surge uma força centrífuga atuando sobre o mesmo, que tende a desviá-lo da trajetória que normalmente deveria percorrer. 
Ao veículo entrar numa curva, origina-se uma força centrífuga cuja intensidade é diretamente proporcional ao peso do veículo e ao quadrado da velocidade, e inversamente proporcional ao raio da curva, ou seja: F = m.v2/R
Este fato representa um perigo e desconforto para o usuário da estrada.
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Curva Horizontal de Transição
Visando contrabalançar a ação da força centrífuga para evitar o deslizamento ou tombamento, estabeleceu-se a formação de uma inclinação no bordo externo da pista, concordando com o outro bordo, provocando assim a ação de uma força centrípeta (de sentido contrário), equilibrando as forças. 
Essa inclinação é denominada de SUPERELEVAÇÃO e será objeto de estudo nesta mesma unidade mais a frente.
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Curva Horizontal de Transição
Em outras palavras, a partir da passagem pelo PC, o veículo segue uma trajetória de “transição intermediária” entre a tangente e a curva, a qual varia de acordo com: a velocidade, o raio de curvatura e a superelevação.
O problema se acentua quando se aumenta a velocidade e se reduz o raio de curvatura, pois a transição se processa numa distância maior, podendo resultar até na invasão da faixa adjacente.
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Curva Horizontal de Transição
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Curva Horizontal de Transição
Uma rodovia para permitir essa transposição com conforto e segurança deve ter um alinhamento, o máximo possível, segundo essa transição, ou seja, deve acompanhar a tendência dos veículos que por ela transitam.
Do ponto de vista teórico, o que se deseja é limitar a ação da força centrífuga sobre o veículo, para que sua intensidade não ultrapasse um determinado valor. Isso se consegue através da utilização de uma curva de transição intercalada entre o alinhamento reto (trecho em tangente) e a curva circular.
Como sua própria denominação sugere, uma curva de transição tem a função primária de permitir a passagem gradativa de um traçado em tangente para um traçado em curva circular.
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Curva Horizontal de Transição
Curva de Transição é a denominação corriqueira das curvas compostas (um segmento de circunferência intercalando dois segmentos de outra curva pré-escolhida) de um projeto geométrico de rodovias e que tecnicamente são denominadas de CURVA DE TRANSIÇÃO DE CONCORDÂNCIA HORIZONTAL ou CURVA DE TRANSIÇÃO HORIZONTAL DE CONCORDÂNCIA.
A formulação intuitiva de uma curva apropriada para tanto está representada no esquema da figura do próximo slide, onde a curva de transição, com origem no ponto O e extremidade no ponto C, tem comprimento total LC (mais adiante se verá como se pode determinar esse comprimento), estando inserida entre a tangente e a curva circular.
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Curva Horizontal de Transição
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Curva Horizontal de Transição
Quando um veículo entra numa curva, dá origem a uma força centrífuga cuja intensidade é diretamente proporcional ao peso do veículo e ao quadrado da velocidade, e inversamente proporcional ao raio da curva, ou seja: F = m*v2/R
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Forças atuantes sobre um veículo em trajetória curvilínea
Curva Horizontal de Transição
As curvas de transição são arcos de curvas de raio variável, de valor infinito na tangente até valor igual ao raio da própria curva circular; este ponto, onde os raios da curva de transição e circular são iguais, denominamos de PONTO OSCULADOR.
Para introdução de um ramo de espiral entre a tangente e a curva circular, alguma acomodação deve ocorrer visando atender a nova configuração da curva, podendo apresentar-se nas três formas seguintes: 
1º caso: RAIO conservado; 
2º caso: CENTRO conservado; 
3º caso: RAIO e CENTRO conservados. 
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Curva Horizontal de Transição
No 1º caso Raio Conservado, é mantida a curva circular base, portanto o RAIO é mantido constante, mas o centro da curva é deslocado (recuado) de forma a permitir a intercalação dos ramos da transição.
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Curva Horizontal de Transição
No 2º caso o CENTRO é mantido e o raio devidamente alterado, atingindo-se o mesmo objetivo.
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Curva Horizontal de Transição
O 3º caso, adotado somente em situações excepcionais (deflexões maiores que 130º e reversões), consiste no deslocamento das tangentes paralelamente as posições originais, mantendo o CENTRO e o RAIO. 
Somente aplicável quando não se pode evitar um ponto obrigatório de passagem situado sobre a curva original.
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Curva Horizontal de Transição
Esta transição é realizada com o fim de distribuir gradativamente o incremento da aceleração centrífuga. 
Esta curva de transição tem o seu raio de curvatura passando gradativamente do valor infinito (no ponto de contato com a tangente) ao valor do raio da curva circular. Este ponto de encontro das duas curvas, com o mesmo raio, é conhecido como ponto osculador.
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Curva Horizontal de Transição
Tipos de Curva Horizontal de Transição
Muitas curvas de possível definição matemática e de semelhante efeito prático poderiam ser adaptadas ao estudo das curvas de transição, destacando-se: 
RADIÓIDE AOS ARCOS, CLOTÓIDE ou ESPIRAL DE CORNU: de forma espiralada, com características diferentes das espirais de Arquimedes, logarítmica, hiperbólica, etc. É conhecida indevidamente como espiral de Van Leber, por ter sido este engenheiro holandês o primeiro a usá-la em ferrovias. É a mais utilizada no Brasil e nos Estados Unidos.
RADIÓIDE ÀS CORDAS ou LEMINISCATA DE BERNOUILLE: de difícil locação.
RADIÓIDE AS ABCISSAS ou CURVA ELÁSTICA: de pouca aplicação por ser de difícil locação.
PARÁBOLA CÚBICA: as normas federais para ferrovias preveem seu uso, mas, por ser locada por coordenadas e não ter desenvolvimento suficiente para distribuição de toda superelevação, não tem sido empregada em larga escala.
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Curva Horizontal de Transição
Tipos de curvas de transição
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Curva Horizontal de Transição
Clotóide empregada como Curva de Transição
Em vários casos usa-se a Clotóide como curva de transição entre a tangente e a curva circular, na concordância horizontal de traçados rodoviários e ferroviários.
A adoção de espirais proporciona umasérie de vantagens ao traçado da estrada, tais como:
Aumento e diminuição gradativa da força centrífuga que atua sobre os veículos nas curvas;
A transição entre a inclinação transversal do trecho em tangente para a superelevação do trecho em curva pode ser efetuada na curva de transição;
No caso de superlargura numa seção transversal em curva circular, a espiral facilita a transição da largura do trecho em tangente para o trecho alargado na curva circular;
A visualização da estrada torna se melhor pela supressão de descontinuidade no início e no fim das curvas circulares.
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Curva Horizontal de Transição
Tipos de Curva de Transição
Clotóide ou Espiral de Transição: de equação 𝑅.𝐿=𝐾²,
Onde 𝑅 é o raio, 
𝐿 é o comprimento percorrido e 
𝐾, uma constante.
Lemniscata: de equação 𝑅.𝑃=𝐾, onde 𝑃 é o raio vetor.
Parábola Cúbica: de equação 𝑦=𝑎.𝑥³, onde 𝑎 é uma constante.
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Curva Horizontal de Transição
Pimenta e Oliveira (2013) afirmam que a Clotóide é a mais vantajosa do ponto de vista técnico e é a mais indicada para um traçado porque: É a curva descrita por um veiculo em velocidade constante, quando o volante é girado com velocidade angular constante;
Por definição, a Clotóide ou espiral é uma curva tal que os raios de curvatura em qualquer de seus pontos é inversamente proporcional aos desenvolvimentos de seus respectivos arcos.
𝑅.𝐿=𝐾²
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Curva Horizontal de Transição
Sendo a espiral uma curva de equação 𝑅.𝐿=𝐾² o valor a ser adotado para 𝐾 está relacionado ao comprimento escolhido para a transição e ao raio do trecho circular.
Então chama-se 𝐿c ao comprimento da curva de transição, nos pontos de concordância das espirais com a circular o raio instantâneo da espiral será 𝑅𝐶 (raio de trecho circular) e o comprimento da transição será 𝐿c definindo o valor de 𝐾.
K²=𝐿c.𝑅𝑐
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Curva Horizontal de Transição
O parâmetro 𝐾 determina o comprimento do arco que será percorrido para que a curvatura varie de zero ate o valor G=1146/𝑅c ou seja, cada valor de K corresponde a uma determinada curva dentro da família das clotóides.
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Curva Horizontal de Transição
Critérios diferentes visam orientar o estabelecimento do limite de emprego de curvas de transição. Para fins de projetos rodoviários convencionais, o DNER recomenda o critério associado à velocidade diretriz resumido pelos valores da Tabela abaixo.
Segundo esse critério, permite-se a dispensa do uso da curva de transição quando a aceleração centrífuga a que o veículo é submetido na curva for igual ou inferior a 0,4 m/s².
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	Tabela 3.1 – RAIOS DE CURVA QUE DISPENSAM CURVAS DE TRANSIÇÃO										
	V (km/h)	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
	 R (m)	170	300	500	700	950	1.200	1.550	1.900	2.300	2.800
	Fonte: Manual de Projeto Geométrico de Rodovias Rurais (DNER, 1999, p. 105)										
Curva Horizontal de Transição
Assim, é necessário que, tanto nos PCs quanto nos PTs exista um trecho com curvatura progressiva para cumprir as seguintes funções:
Permitir a variação continua da superelevação.
Criar a variação contínua de aceleração centrípeta na passagem do trecho reto para o trecho circular.
Gerar um traçado que possibilite ao veículo se manter no centro da sua faixa de rolamento.
Proporcionar um trecho fluente, sem descontinuidade da curvatura e esteticamente agradável.
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Curva Horizontal de Transição
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Figura: mostra uma curva de transição, composta por uma curva circular central e duas de transição entre ela e as tangentes. A figura também destaca a superelevação da curva para equilibrar o carro ante a ação natural da força centrífuga, evitar seu descontrole e assim evitar acidentes. Essa característica também se aplica nas vias férreas como se pode ver no slide a seguir.
Curva Horizontal de Transição
 
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No caso da via férrea, a transição se soma à variação da superelevação, correspondendo a maior (S2) a curva horizontal e a menor (S1) as curvas de transição. 
Curva Horizontal de Transição
PONTOS PRINCIPAIS DA TRANSIÇÃO 
Uma curva com transição em espiral tem a configuração representada a seguir e os seus elementos são identificados no sentido crescente do estaqueamento; observe-se que os dois ramos da espiral são, por construção, exatamente iguais e simétricos, garantindo assim as mesmas condições de tráfego nos dois sentidos. 
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Curva Horizontal de Transição. 
Elementos da Curva de Transição.
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Curva Horizontal de Transição. Elementos da Curva de Transição.
PI = Ponto de interseção. ponto de cruzamento dos alinhamentos base (tangentes). 
I = Deflexão total da curva. Ângulo formado entre as tangentes.
TS = Ponto de curva. Ponto onde finda a tangente e se inicia o primeiro ramo da espiral. 
SC = Ponto osculador. Ponto onde finda o primeiro ramo da espiral e inicia o tramo circular. 
CS = Ponto osculador. Ponto onde termina o primeiro tramo da circular e começa o segundo ramo da espiral.
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Curva Horizontal de Transição. Elementos da Curva de Transição
ST = Ponto de tangente. Ponto onde termina o segundo ramo da espiral e tem continuidade o alinhamento seguinte. 
ρ = Raio da espiral. Corresponde ao raio variável em qualquer ponto da espiral, tendo valor máximo igual a infinito no TS ou ST e mínimo igual ao raio da curva circular no SC ou CS. 
R = Raio da circular. Corresponde ao raio constante do tramo circular da curva. 
Lc = Comprimento total da espiral. Corresponde ao comprimento de cada ramo da espiral, igual no início e final da curva de transição; distância em curva entre os pontos TS e SC e também entre CS e ST. 
L = Comprimento na espiral. Corresponde a distância medida na espiral, do ponto TS ou ST até um ponto qualquer interno a espiral. 
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Curva Horizontal de Transição. Elementos da Curva de Transição
Sc = Ângulo central total da espiral. Corresponde ao ângulo central da espiral entre TS ou ST ao ponto osculador CS ou SC. 
S = Ângulo central da espiral. Corresponde ao ângulo central de um ponto qualquer da espiral.
θ = Ângulo central da circular. É o ângulo central total do tramo circular. 
C = Corda total. Corresponde a distância medida no alinhamento retilíneo entre os pontos TS e SC. 
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Curva Horizontal de Transição
COMPRIMENTO DA TRANSIÇÃO. No ramo espiral da transição (Lc) vai ocorrer todo o desenvolvimento da superelevação, portanto a definição do seu comprimento é função direta da grandeza do raio da curva, da velocidade diretriz e da taxa de superelevação, podendo ser visualizado como sendo o comprimento necessário para se percorrer a espiral em um tempo compatível com a assimilação da trajetória pelo veículo e pelo usuário.
Do ponto de vista prático, adotaram-se limites para um comprimento mínimo, mas buscou-se um parâmetro para trabalho em condições normais, quando possível.
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Curva Horizontal de Transição
COMPRIMENTO MÍNIMO. Em conformidade com as normas técnicas do DNER, adotaremos a chamada fórmula de Barnett.
 onde: Lcmin-comprimento mínimo da espiral, V= Velocidade diretriz (Km/h) e R= Raio da curva circular projetada (m).
COMPRIMENTO NORMAL. Analogamente Lc=6 onde Lc = comprimento da espiral e R= Raio da curva circular projetada (metros).
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Curva Horizontal de Transição
Na Fórmula de Barnett sempre que possível devem ser adotados para Lc valores maiores do que o mínimo calculado anteriormente. Em geral adota-se:
Ou
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Curva Horizontal de Transição
Pimenta e Oliveira (2013) sugerem adotar 𝐿c=2.𝐿c𝑚𝑖𝑛 correspondente a um valor de 𝐽=0,3 m/s²/m
Critério de Tempo: estabelece o tempo mínimo de 2s para o giro do volante e, consequentemente, para o percurso da transição, portanto, considerando Lc em metros e VP em km/h:
 𝐿𝑐𝑚í𝑛
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Curva Horizontal de Transição
Além do valor mínimo que é estabelecido para garantir segurança e conforto, há um limite máximo de natureza geométrica:
 (em radianos)
 (em graus)
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Curva Horizontal de Transição
ÂNGULO CENTRAL DA ESPIRAL
Em função da possível variação de um ponto sobre o ramo da espiral da curva, podemos matematicamente deduzir o valor do ângulocentral correspondente, identificando duas situações, sendo uma para um ponto qualquer e outra, em particular, para o ponto osculador.
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Curva Horizontal de Transição
A. PONTO QUALQUER
O ângulo central é definido pela aplicação da fórmula
S = L2 / (2.R.Lc) (Radianos)
Onde S= ângulo central da espiral, correspondente a um ponto qualquer da curva de transição, expresso em RADIANOS.
L = comprimento entre o ponto TS e o ponto qualquer da transição (metros).
Lc = comprimento total da transição, entre o ponto TS e o ponto SC (metros).
R = raio da curva circular projetada (metros).
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Curva Horizontal de Transição
B. PONTO OSCULADOR 
No caso particular do ponto osculador o comprimento L=Lc, resultando a seguinte fórmula: Sc = Lc / (2.R) (Radianos) 
OBS: ângulos em Radianos podem se transformar em minutos e, por consequência, em graus, através da multiplicação do ângulo em radianos por 3.437,75. 
Ângulo (minutos) = ângulo (radianos) x 3.437,75 
A relação entre os ângulos centrais dos ramos espirais e o ramo circular com a deflexão total da curva é definida pela expressão
I = 2 Sc+AC
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COORDENADAS CARTESIANAS DE UM PONTO DA
ESPIRAL
O sistema de coordenadas cartesianas adotado tem como referência o eixo Y coincidindo com o prolongamento da tangente e a origem do sistema coincidindo com o ponto TS ou ST; portanto o eixo X coincide com o raio da espiral nestes pontos TS ou ST. 
A. PONTO QUALQUER
As coordenadas de um ponto qualquer da transição serão definidas pelas expressões a seguir:
 S em radianos
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COORDENADAS CARTESIANAS DE UM PONTO DA
ESPIRAL
B. PONTO OSCULADOR 
No caso do ponto osculador, valem todos os conceitos vistos até então, resultando as seguintes expressões:
 
S em radianos
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Curva Horizontal de Transição
DEFLEXÕES DO RAMO DA ESPIRAL REFERENCIADO À ORIGEM.
A deflexão de um ponto no ramo da espiral é o ângulo formado pela tangente a um ponto tomado como referencial e a direção a este ponto da espiral. Este ponto, tomado como referencial, é o ponto de origem da espiral (TS ou ST). 
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Curva Horizontal de Transição
A. PONTO QUALQUER. A deflexão de um ponto qualquer sobre o ramo da espiral é definida pela seguinte expressão: 
B. PONTO OSCULADOR. Com base na definição de um ponto qualquer e considerando que para o ponto osculador os valores de L e Lc são iguais, temos:
 Ou também 
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Curva Horizontal de Transição
ELEMENTOS DE CALCULO DA CURVA DE TRANSIÇÃO 
Com base na representação esquemática de uma curva de transição, podemos definir alguns de seus elementos. 
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Curva Horizontal de Transição
A - Coordenadas cartesianas do PC e PT deslocados. 
Para ser possível intercalar a curva de transição é necessário o prévio conhecimento do PC e PT deslocados da curva circular, ou seja, as posições que ocupariam se a curva circular fosse simplesmente recuada, mantendo as mesmas dimensões. Na figura do próximo slide, o PC deslocado está representado pelo ponto G e é identificado através de suas coordenadas:
 q=yc-R.senSc p=xc-R(1-cosSc) 
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Curva Horizontal de Transição
Corda total da espiral (Fonte: Pimenta)
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Curva Horizontal de Transição. 
B. Coordenadas cartesianas do PC e PT primitivos. 
Corresponde às posições do PC e PT da curva circular primitiva que dá origem a curva de transição; como definição de suas coordenadas, teremos a abscissa igual a zero por estar no próprio eixo y, e a ordenada dada pela fórmula: 
d=q+p.tg(I/2)
C. TANGENTE EXTERNA TOTAL . Distância entre o ponto PI e o ponto TS ou ST, definida pela expressão:
Ts=q+(R+p).tg(I/2)
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Curva Horizontal de Transição. 
D. RECUO DA CURVA CIRCULAR 
É a distância medida no eixo de simetria da curva, entre a curva circular primitiva e deslocada, definida por: 
 
E. CORDA TOTAL DA ESPIRAL (C)
Corresponde a distância retilínea entre os pontos TS e SC ou também entre CS e ST. 
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Curva Horizontal de Transição. 
F. ORDENADA DA ESPIRAL EM FRENTE AO PC/PT DESLOCADO 
O valor da abscissa xp da espiral em frente (no alinhamento) do PC ou PT deslocados é dado pela expressão xp=p/2 e tem como função o auxílio na definição gráfica da curva, constituindo um terceiro ponto a orientar o traçado da espiral com auxílio de uma curva francesa (instrumento de desenho técnico).
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Curva Horizontal de Transição
COMPATIBILIDADE ENTRE RAIO E DEFLEXÃO
Nos casos de deflexões pequenas, menores que 55º, existe a possibilidade de, conforme o raio adotado, o arco circular desaparecer entre os dois ramos da espiral, ou formando um cotovelo ou o cruzamento destes ramos, ao invés da desejada concordância. Para evitar sucessivas tentativas de correção, deve-se verificar se a deflexão medida (real) é maior que a deflexão calculada, definida pela seguinte expressão:
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Curva Horizontal de Transição
Se Imed > Icalc significa que há compatibilidade entre raio e deflexão; caso contrário (ImedComprimento de Transição.
É sabido que um dos motivos para usar a curva de transição é evitar o impacto causado pelo aparecimento brusco de uma força transversal. 
Graficamente há variação da força centrípeta ao longo do traçado e é necessário que a aceleração centrípeta não ultrapasse uma taxa máxima, para que haja segurança e conforto. A essa taxa máxima corresponderá um comprimento mínimo de transição.
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Curva Horizontal de Transição. 
Comprimento de Transição.
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5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Ao se definir a velocidade diretriz para o projeto geométrico de uma rodovia, procura-se estabelecer, ao longo do traçado em projeto, condições tais que permitam aos usuários o desenvolvimento e a manutenção de velocidades de percurso próximas à velocidade de referência, em condições de conforto e segurança.
No projeto em planta, o eixo é constituído por trechos em tangente e em curva, que apresentam condições de operação naturalmente diferentes. Quando percorre um trecho em tangente, o usuário experimenta a sensação de liberdade para efetuar pequenas manobras de ajuste lateral no seu curso, não estando sujeito, em princípio, a esforços laterais devidos à geometria da rodovia.
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5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Os conceitos de superelevação e de superlargura, devidamente considerados nos projetos das curvas horizontais, ensejam condições de operação mais homogêneas para os usuários ao longo das rodovias. 
Essas modificações construtivas são inseridas nas rodovias para minimizar ou amenizar o surgimento de esforços laterais, que passam a atuar sobre o veículo ao sair de uma tangente para entrar numa curva horizontal devido à sensação de maior confinamento que um trecho em curva impõe ao usuário que a percorre (vide Slide 12). Vamos rever em detalhe essas forças atuantes.
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5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
As forças que atuam sobre um veículo em movimento, em trajetória circular, com velocidade X, numa pista inclinada transversalmente, com ângulo α, a superelevação (e) pode ser expressa por: e=tg(α) (adimensional ou em m/m) ou também e=100.tg (α) (em %).
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força de atrito (Fa), pneus - pista; 
força centrífuga (Fc), horizontal, atua no centro de gravidade do veículo, pode se decompor em: tangencial à pista: Ft=Fc.cos(α); e normal à pista: Fn=Fc.sen(α); 
força peso do veículo (P), vertical, atua no centro de gravidade do veículo, que pode se decompor em: tangencial à pista: Pt=P.sen(α); e a normal à pista: Pn=P.cos(α).
Seção transversal da pista em curva com superelevação. Na figura estão, as três principais forças que atuam sobre o veículo em movimento:
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
A equação de equilíbrio de forças, no plano paralelo ao da pista de rolamento, pode ser representada por:
Ft = Fa + Pt
ou seja, o efeito da força centrífuga é compensado pelo da força de atrito somado ao da componente tangencial do peso do veículo (este último é que se constitui no efeito principal resultante da introdução da superelevação).
A maior superelevação menor será a participação da força de atrito no equilíbrio das forças laterais, diminuindo portanto a intensidade da resultante das forças laterais que atuam sobre passageiros / cargas.
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5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
A força centrífuga que atua sobre o veículo, nas condições representadas na figura do slide 63, pode ser calculada por:
 
onde:
Fc = força centrífuga (N);
m = massa do veículo (kg);
v = velocidade tangencial do veículo (m/s);
R = raio da curva circular (m).
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5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Lembrando que Ft=Fc.cos(α), e que: m=P/g onde g aceleração da gravidade, g=9,8m/s2; então Ft pode se representar por:
A força de atrito pode ser calculada, considerando a metodologia convencional da física
(mecânica) clássica, por: Fa = f . (Pn + Fn) onde:
Fa : força de atrito (N);
f : coeficiente de atrito entre o pneu e o pavimento (adimensional);
(Pn + Fn) : força de contato entre o pneu e o pavimento, perpendicular à superfície de contato (N). (Fn – desprezível)
Fa=f.Pn = f.P.cos(α)
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5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Substituindo as expressões já vistas na equação de equilíbrio das forças que atuam lateralmente sobre o veículo, na seção transversal, tem-se, no plano paralelo ao da pista:
=f.P.cosα+P.sen Dividindo todas as parcelas por P.cos() e convertendo as unidades para expressar a variável velocidade em km/h, chega-se a: 
 onde: e – superelevação, V – velocidade do veículo em km/h, R – raio da curva circular em m e f – coeficiente de atrito.
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5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
O valor do f - coeficiente de atrito transversal é variável, diminuindo à medida que aumenta a velocidade tangencial do veículo.
Os valores a adotar para o coeficiente de atrito f são fixados pelas normas de projeto geométrico, tendo sido obtidos a partir de resultados de medições de campo realizadas em pesquisas bastante antigas, nas décadas de 30 a 50, e confirmadas por trabalhos mais recentes, de 1985, nos Estados Unidos (AASHTO, 1995, p.146; 154).
As normas do DNER fixam, como valores de coeficientes de atrito transversal máximos admissíveis para fins de projeto, os transcritos na tabela abaixo para diferentes velocidades diretrizes.
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	Tabela 5.1 VALORES MÁXIMOS ADMISSÍVEIS DO COEFICIENTE f										
	V(km/h)	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
	fmáx	0,20	0,18	0,16	0,15	0,15	0,14	0,14	0,13	0,12	0,11
Fonte: Manual de projeto geométrico de rodovias rurais (DNER, 1999, p.71)
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Valores mínimos e máximos de superelevação
No projeto e construção de uma rodovia, os trechos em tangente têm pista dotada de abaulamento, para facilitar a condução das águas pluviais para fora da superfície de rolamento. 
O acúmulo de água na pista poderia causar riscos aos usuários (eventualmente até a aquaplanagem de veículos transitando com excesso de velocidade), além de favorecer a infiltração de águas superficiais para as camadas inferiores do pavimento e para o subleito.
As Normas do DNER consideram adequada a utilização dos seguintes valores para o abaulamento, nos projetos de rodovias com os pavimentos convencionais, (DNER, 1999, p. 146):
· revestimentos betuminosos com granulometria aberta: 2,500% a 3,000%;
· revestimentos betuminosos de alta qualidade (CAUQ): 2,000%;
· pavimento de concreto de cimento: 1,500%.
Nos trechos em curva, a retirada das águas superficiais da pista é possibilitada pela existência de superelevações.
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5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Para curvas com raios muito grandes em relação à velocidade diretriz de projeto, os efeitos da força centrífuga resultariam desprezíveis, podendo-se projetar as seções transversais da pista nessas curvas para as condições de trecho em tangente, isto é, com abaulamentos, dispensando-se o uso de superelevações.
Os valores de raios de curva acima dos quais as Normas do DNER sugerem considerar as curvas como se fossem tangentes, no dimensionamento das seções transversais, estão indicados na tabela 5.2.
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	TABELA 5.2 – VALORES DE R QUE DISPENSAM SUPERELEVAÇÃO								
	V(km/h)	30	40	50	60	70	80	90	≥100
	R (m)	450	800	1.250	1.800	2.450	3.200	4.050	5.000
	Fonte: Manual de projeto geométrico de rodovias rurais (DNER, 1999, p,97)								
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Curvas com raios abaixo dos valores apontados na tabela 5.2 exigem a consideração de superelevação adequada. A superelevação mínima admissível, nesses casos, mesmo quando as forças centrífugas envolvidas não a demandem, deverá ter valor igual ao do abaulamento, para fins de assegurar a devida drenagem superficial.
Já o valor máximo admissível de superelevação a adotar para as concordâncias horizontais com raios pequenos, é estabelecido em função de outros critérios de ordem prática, levando-se em consideração aspectos técnicos e econômicos.
72
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
A maior taxa de superelevação admitida para fins de projeto de rodovias no Brasil é de 12%, devendo seu emprego ser limitado a casos de melhorias de rodovias existentes ou de correção de problemasexistentes que não permitam o aumento dos raios de curvatura; superelevações dessa ordem são muito problemáticas para veículos lentos.
e=10% tem aplicação limitada ao projeto de rodovias de elevado padrão, projetos na Classes 0 e na Classe I. Mas recomendam limitar o seu emprego, nos casos de projetos de rodovias em Classe I, para as regiões de relevo plano e ondulado, que compreendem velocidades diretrizes não inferiores a 80 km/h (DNER, 1999, p. 98).
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5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
e=8%; para o projeto de rodovias de padrões mais elevados quando as condições previsíveis sugiram possibilidade de operação com velocidades médias significativamente mais baixas que as desejáveis.
e=6% para os projetos de rodovias em áreas onde as características de ocupação das áreas adjacentes dificultem o projeto de pistas superelevadas ou mesmo interfiram com as condições de fluidez do tráfego nas rodovias, resultando em velocidades de operação reduzidas.
e=4% para os projetos de rodovias em áreas urbanas. 
74
74
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Uma vez definido o valor da superelevação máxima para o projeto de uma rodovia, este limite deverá ser observado em todo o projeto, servindo como parâmetro de referência na determinação dos valores específicos de superelevação a adotar para os diferentes raios de curvas, nas concordâncias horizontais.
75
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Raios mínimos das concordâncias horizontais. Da fórmula para estimar a superelevação (S-68 ) se pode utilizar para determinar o raio mínimo da concordância horizontal em função da superelevação:
 e na condição limite 
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5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
	TABELA 5.3 – RAIOS MÍNIMOS DE CURVA PARA PROJETOS (metros)										
	Superelevação máxima 
(emax)	VELOCIDADE DIRETRIZ (km/h)									
		30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
	4%	30	60	100	150	205	280	355	465	595	755
	6%	25	55	90	135	185	250	320	415	530	665
	8%	25	50	80	125	170	230	290	375	475	595
	10%	25	45	75	115	155	210	265	345	435	540
	12%	20	45	70	105	145	195	245	315	400	490
	Fonte: Manual de projeto geométrico de rodovias rurais (DNER, 1999, p. 71)										
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5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
A superelevação máxima estabelecida para o projeto de uma rodovia somente deve ser utilizada nas concordâncias projetadas com o raio mínimo, que é uma condição extrema do projeto, a ser evitada sempre que possível e razoável.
Quando se empregam raios de curva maiores que o mínimo, as forças centrífugas envolvidas diminuem à medida que aumenta o raio de curva, reduzindo, consequentemente, os valores de forças de atrito e/ou os de forças devidas à superelevação necessários para equilibrar as forças centrífugas.
78
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Esta condição está matematicamente implícita da fórmula da superelevação que pode ser convenientemente transformada, resultando na igualdade:
Dado um raio de curva maior que o mínimo, há diferentes formas e critérios de balancear os valores de superelevação (e) e de coeficiente de atrito (f), de modo a que a soma de seus efeitos se iguale à força centrífuga atuante sobre o veículo.
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5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
O critério desenvolvido pela AASHTO para tal balanceamento é o de estabelecer uma relação variável entre as participações de (e) e de (f) à medida que variam os raios de curva (R).
O método adotado tem como pressupostos básicos:
· a velocidade média real de operação dos veículos (VR) é menor que a velocidade diretriz (V); os valores de velocidades considerados estão relacionados na tabela 5.4 a seguir, onde estão também registrados os correspondentes valores de coeficiente de atrito máximo admissível (fmáx) pela AASHTO (1995, p.156, 172).
80
	TABELA 5.4 – VELOCIDADES MÉDIAS DE OPERAÇÃO (VR) E COEFICIENTES (fmax)										
	V(km/h)	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
	VR(km/h)	30	40	47	55	63	70	77	85	91	98
	fmax (m/m)	0,17	0,17	0,16	0,15	0,14	0,14	0,13	0,12	0,11	0,09
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
O DNER estabeleceu o método, para a determinar os valores de superelevação a adotar para cada concordância horizontal no projeto de rodovias. Considerando apenas a velocidade diretriz, para contrabalançar o efeito da força centrífuga, delimitando retas limites para as variações de superelevações e de coeficientes de atrito.
A curva adotada pelo DNER é expressa por (DNER, 1999, p. 99): 
Onde: 
eR = superelevação a adotar para a concordância com raio de curva R (%);
emáx = superelevação máxima admitida para a classe do projeto (%);
Rmín = raio mínimo de curva para a velocidade diretriz considerada (m);
R = raio da curva circular utilizada na concordância (m).
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5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
EXEMPLO: A superelevação a ser adotada numa concordância horizontal com raio de curva circular R=214,88m, no projeto de uma rodovia nova, em região de relevo ondulado, na Classe II do DNER, poderá ser calculada a partir dos seguintes elementos:
· superelevação máxima: emáx = 8,000 % (tabela 2.3);
· raio mínimo de curva: Rmín = 170,00 m
Aplicando-se a fórmula 
 eR=7,651%=7,7%
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5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
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5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
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5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
SUPERLARGURA
As normas, manuais ou recomendações de projeto geométrico estabelecem as larguras mínimas de faixas de trânsito a adotar para as diferentes classes de projeto, levando em consideração aspectos de ordem prática, tais como as larguras máximas dos veículos de projeto e as respectivas velocidades diretrizes para projeto.
As larguras de faixas de trânsito são fixadas com folgas suficientes em relação à largura máxima dos veículos, de modo a permitir não apenas a acomodação estática desses veículos, mas também suas variações de posicionamento em relação às trajetórias longitudinais, quando trafegam nas faixas, nas velocidades usuais.
Ou seja nas tangentes os condutores possuem certa folga para pequenas correções de direção, mas em curva, por efeito visual essa folga desaparece.
85
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Cálculo da superlargura
Considerando um veículo descrevendo uma trajetória circular, tal como esquematizado na figura, o DNER estabelece os seguintes critérios para a determinação da superlargura:
· o veículo percorre o trecho em curva circular mantendo seu eixo traseiro perpendicular à trajetória, ou seja, alinhado com o raio de curvatura;
· a roda dianteira externa descreve uma trajetória em curva circular, admitindo-se, para fins de simplificação, que o raio dessa trajetória seja igual ao raio da concordância horizontal (do eixo da rodovia);
86
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
· A trajetória de um veículo percorrendo uma curva circular descreve um gabarito (GC) dado pela largura do veículo (LV) acrescida de uma largura adicional que se deve à disposição do veículo na curva, veículo esse que tem uma distância entre eixos (EE) entre os eixos traseiro e dianteiro. 
87
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Essa largura adicional pode ser obtida pelas seguintes relações geométricas, definidas a partir da figura do slide anterior:
88
onde:
GC : gabarito devido à trajetória em curva (m);
LV : largura do veículo, medida entre as faces externas dos pneus (m);
EE : distância entre eixos (m);
R : raio da curva circular (m);
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
O veículo ocupa geometricamente um gabarito devido ao balanço dianteiro (GD), que é um acréscimo de largura devido à disposição do veículo na curva, em função do seu balanço dianteiro (BD), medido entre o eixo dianteiro e a frente do veículo; esse acréscimo também pode ser deduzido a partir da figura do S-86.
 Onde: 
GD : gabarito devido ao balanço dianteiro (m);
BD : balanço dianteiro (m);
EE : distância entre eixos (m);
R : raio da curva circular (m);
89
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
· dependendo do veículo de projeto, pode-se considerar também um gabarito devido ao balanço traseiro (GT),
· estabelece-se, para o veículo, um valor de gabarito lateral (GL), que é a folga laterallivre que deve ser mantida para o veículo de projeto em movimento.
90
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Folga dinâmica: acréscimo de largura adicional (FD), para compensar as dificuldades naturais de manobra em curva e as diferenças entre as características de operação dos motoristas.
onde:
FD = folga dinâmica (m);
V = velocidade diretriz (km/h);
R = raio da curva circular (m).
91
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Com base nesses critérios, pode-se então determinar a largura total (LT) com a qual deverá ser projetada a pista de uma rodovia em curva, que tenha N faixas de trânsito, para que os efeitos de ordem estática e dinâmica sobre os usuários, causados pela curvatura, sejam devidamente compensados.
Assim, a largura total (LT) de uma pista em curva, com N faixas de trânsito, poderá ser calculada por:
LT=N.(GC + GL)+(N-1).GD + FD
Nota: o gabarito devido ao balanço dianteiro do veículo que percorre a faixa externa da curva não afeta o posicionamento dos veículos nas demais faixas, podendo ser desconsiderado
92
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Com as grandezas já definidas anteriormente. Como a largura normal da pista em tangente (LN) é dada por:
LN = N . LF 
onde:
LN : largura total da pista em tangente (m);
N : número de faixas de trânsito na pista;
LF : largura de projeto da faixa de trânsito (m);
93
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
A superlargura (SR) a adotar para a pista, numa concordância horizontal com raio de curva R, pode ser finalmente expressa por:
SR = LT – LN 
sendo:
SR : superlargura para uma pista em curva horizontal (m);
LT : largura total de uma pista em curva (m);
LN : largura normal de uma pista em tangente (m).
94
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Considerações adicionais sobre a superlargura
Nos projetos de rodovias em áreas rurais, o cálculo da superlargura a adotar para as concordâncias horizontais é efetuado considerando, em geral, o veículo tipo CO, cujas características geométricas de interesse, são:
LV = 2,60 m;
EE = 6,10 m;
BD = 1,20 m.
Quando se considera um veículo articulado como veículo de projeto, substitui-se, nos cálculos pertinentes, o valor da distância entre eixos (EE) por uma distância entre eixos equivalente (EEq), que pode ser calculada por:
Onde: EEq : distância entre eixos equivalente para veículos articulados (m);
E1 : distância entre o eixo dianteiro do veículo trator (cavalo mecânico) e o pivô de apoio
do semirreboque – ou 5a roda (m);
E2 : distância da 5a roda ao eixo traseiro ou ao ponto médio dos eixos traseiros do semirreboque (m).
95
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
EXEMPLO 2 : A superlargura a ser adotada para a concordância horizontal do exemplo 1, considerando o veículo tipo CO, pode ser determinada com o uso dos valores e fórmulas já vistos, de acordo com a seguinte sequência de cálculos:
· gabarito devido à trajetória em curva
GC=2,60 + 214,88 -
· gabarito devido ao balanço dianteiro curva 
-214,88=0,04 m
96
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
· gabarito lateral (tabela 5.7) para largura de faixa LF 3,50m:
	GL = 0,90 m;
· folga dinâmica 
· largura total da pista em curva LT=N.(GC + GL)+(N-1).GD + FD
LT = 2 x (2,69 + 0,90) + (2 - 1) x 0,04 + 0,48 = 7,70 m;
· largura normal da pista em tangente LN = N . LF 
LN = 2 x 3,50 = 7,00 m; 
Chegando-se a superlargura: SR = LT – LN =7,70-7,00=0,70m
Arredondando o valor encontrado, de acordo com o critério do DNER, para múltiplos de 0,20m, a superlargura a adotar seria, finalmente: SR = 0,80m.
97
5 - SUPERELEVAÇÃO E SUPERLARGURA
Disposição da superlargura
Há duas formas de disposição da superlargura para o alargamento das faixas de trânsito nos trechos em curva:
1) alargamento assimétrico da pista: quando a pista é alargada somente no lado interno da curva, onde se dispõe toda a superlargura;
2) alargamento simétrico da pista: quando a pista é alargada igualmente em ambos os lados do eixo, dispondo-se metade da superlargura no lado interno da curva, e a outra metade no lado externo.
Em ambos os casos, uma vez delimitados os bordos da pista alargada, esta é dividida ao meio para a marcação da linha central da pista.
98
5 - DESENVOLVIMENTO DA SUPERLARGURA E DA SUPERELEVAÇÃO
Definida a curva de transição, a superelevação e a superlargura podem ser distribuídas linearmente ao longo do comprimento dessa curva, caso o seu comprimento seja suficiente para tanto.
Sendo LC o comprimento da curva de transição, a superelevação e a superlargura serão desenvolvidas linearmente ao longo desse comprimento, passando dos valores nulos que correspondem às necessidades da condição de tangente aos valores plenos a serem aplicados para a condição de curva circular.
99
5 - DESENVOLVIMENTO DA SUPERLARGURA E DA SUPERELEVAÇÃO
O desenvolvimento da superlargura é a mais simples, bastando fazê-la passar do valor de superlargura zero, no início da curva de transição, ao valor de superlargura SR que será adotado na curva circular, na extremidade da curva de transição, de forma linear, conforme esquematizado no diagrama da figura:
100
5 - DESENVOLVIMENTO DA SUPERLARGURA E DA SUPERELEVAÇÃO
O valor da superlargura (S) em um ponto M qualquer, que dista de um arco de comprimento L da origem da curva de transição, poderá ser determinado por simples proporção, pois:
 de donde: 
onde:
S : superlargura num ponto qualquer da curva de transição (m);
SR : superlargura na curva circular (m);
L : distância do ponto ao início da curva de transição (m);
Lc : comprimento da curva de transição.
101
5 - DESENVOLVIMENTO DA SUPERLARGURA E DA SUPERELEVAÇÃO
EXEMPLO 3: Foi projetada, para o PI1 dos alinhamentos representados na figura abaixo (Resolvida na U-3) uma nova concordância horizontal, nas seguintes condições: a) projeto de rodovia nova em região de relevo ondulado; b) projeto na Classe II do DNER; c) concordância com curva de transição (vide Tabela 3.1 – RAIOS DE CURVA QUE DISPENSAM CURVAS DE TRANSIÇÃO Slide-25); d) raio de curva circular R1 = 214,88m; e) comprimento da curva de transição LC1 = 50,00m
102
5 - DESENVOLVIMENTO DA SUPERLARGURA E DA SUPERELEVAÇÃO
EXEMPLO 3: (continuação)
Admitindo-se que se tenha determinado o seguinte posicionamento dos pontos singulares da concordância: TS1= 3 + 2,79m, SC1= 5 + 12,79m, CS1= 7 + 13,59m e ST1= 10 + 3,59m, pode-se determinar o valor da superlargura a adotar em qualquer ponto do eixo, ao longo da concordância.
Do exemplo 2 (Slide 96) infere-se que a superlargura a adotar para a curva circular utilizada na concordância é SR=0,80m.
A partir dessas condicionantes, pode-se desenhar o esquema do desenvolvimento da superlargura ao longo da concordância, tal como representado na figura a seguir:
103
5 - DESENVOLVIMENTO DA SUPERLARGURA E DA SUPERELEVAÇÃO
DESENVOLVIMENTO DA SUPERLARGURA COM CURVA DE TRANSIÇÃO
104
5 - DESENVOLVIMENTO DA SUPERLARGURA E DA SUPERELEVAÇÃO
Os valores de superlargura ao longo da concordância (considerando, para maior simplicidade, apenas as estacas inteiras) podem ser calculados de acordo com a fórmula resultando:
S4+ 0,00m = (17,21 / 50,00) . 0,80 = 0,28m;
S5+0,00m = (37,21 / 50,00) . 0,80 = 0,60m;
S6+0,00m = (na curva circular) = 0,80m;
S7+0,00m = (na curva circular) = 0,80m;
S8+0,00m = (43,59 / 50,00) . 0,80 = 0,70m;
S9+0,00m = (23,59 / 50,00) . 0,80 = 0,38m;
S10+0,00m = (3,59 / 50,00) . 0,80 = 0,06m.
105
5 - DESENVOLVIMENTO DA SUPERLARGURA E DA SUPERELEVAÇÃO
Desenvolvimento da superelevação
O critério para o desenvolvimento da superelevação é basicamente o mesmo que o adotado para o desenvolvimento da superlargura, consistindo em fazê-la passar linearmente do valor de superelevação zero, no início da curva de transição, ao valor da superelevação plena eR a ser adotada na curva circular, na extremidade da curva de transição.
Mas, neste caso, há um fator adicional a ser considerado, que é a questão da existência do abaulamento da pista, adotado nos trechos em tangente.
Imagine-se, para fins de raciocínio, o caso de rodovia em pista simples com duas faixas de trânsito, uma para cada lado do eixo, e abaulamento ab, comcrista coincidente com o eixo, sendo as faixas inclinadas transversalmente para fora da pista, conforme representado na figura:
106
5 - Desenvolvimento da superelevação
Qualquer que seja o sentido da curva, observa-se que, devido ao abaulamento, a faixa do lado interno da curva já está inclinada no sentido correto da superelevação, antes mesmo do início da curva de transição.
107
5 - Desenvolvimento da superelevação
A faixa do lado externo da curva, no entanto, tem inclinação no sentido contrário ao da superelevação, devendo então tal inclinação contrária ser gradualmente reduzida ainda na tangente, de forma a que a inclinação resulte nula ao se atingir o início da curva de transição.
Assim, para o caso da faixa externa, além do desenvolvimento da superelevação (eR) a ser feito ao longo do comprimento da curva de transição (LC), há também outro desenvolvimento – o do abaulamento ab – a ser feito na aproximação da curva, ainda na tangente, ao longo de um comprimento (LT) que é denominado de comprimento de transição em tangente, em contraposição à denominação do comprimento de transição em curva (LC).
108
5 - Desenvolvimento da superelevação
O desenvolvimento da inclinação contrária da faixa externa, do valor ab até zero, é feito de forma linear, ao longo do comprimento de transição em tangente, com o mesmo ritmo de variação do desenvolvimento da superelevação ao longo da transição em curva.
Esse critério está representado esquematicamente do diagrama da figura do Slide - 103, onde as inclinações transversais negativas representam as correspondentes à faixa externa, nos trechos em tangente, devidas ao abaulamento.
109
5 - Desenvolvimento da superelevação
O comprimento de transição em tangente () pode ser calculado por simples proporção, observando-se o diagrama da figura do Slide - 107, de onde se infere que:
 ou 
onde:
LT : comprimento de transição em tangente (m);
LC : comprimento de transição em curva (m);
ab : abaulamento (%);
eR : superelevação na curva circular (%).
110
5 - Desenvolvimento da superelevação
O cálculo da superelevação (ou das inclinações a adotar para as faixas interna e externa) em qualquer ponto da tangente ou da curva de transição poderá ser feito imediatamente, por simples proporção, a partir do diagrama da figura do Slide – 106.
Ejemplo 4. Considerando a mesma concordância horizontal do exemplo 3, pode-se elaborar um diagrama correspondente ao desenvolvimento da superelevação ao longo da concordância, tal como o representado na figura do próximo Slide 112.
111
5 - Desenvolvimento da superelevação
Desenvolvimento da superelevação com curva de transição
112
5 - Desenvolvimento da superelevação com curva de transição
As inclinações transversais da pista nas estacas inteiras ao longo da concordância (assim como em quaisquer outros pontos do eixo) podem ser determinadas calculando-se as proporções: 
e3+ 0,00m = (2,79 / 12,99) . (- 2,000) = - 0,430 % (faixa esquerda);
e3+0,00m = 2,000 % (faixa direita, por leitura direta);
e4+0,00m = (17,21 / 50,00) . 7,700 = 2,650 % (ambas as faixas);
e5+0,00m = (37,21 / 50,00) . 7,700 = 5,730 % (ambas as faixas);
e6+0,00m = 7,700 % (ambas as faixas, curva circular);
e7+0,00m = 7,700 % (ambas as faixas, curva circular);
e8+0,00m = (43,59 / 50,00) . 7,700 = 6,713 % (ambas as faixas);
e9+0,00m = (23,59 / 50,00) . 7,700 = 3,633 % (ambas as faixas);
e10+0,00m = (3,59 / 50,00) . 7,700 = 0,553 % (faixa esquerda);
e10+0,00m = 2,000 % (faixa direita, por leitura direta).
113
5 - Desenvolvimento sem curva de transição
Há casos, em que se deseja manter a concordância com curva circular simples no projeto do eixo de uma rodovia, dispensando o uso de curvas de transição.
Isso não impede que os veículos continuem a descrever trajetórias naturais de transição nas aproximações (e nos afastamentos) das curvas, pois as larguras normais das faixas de trânsito permitem que os motoristas acomodem os posicionamentos dos veículos desde as tangentes, ao se aproximarem das curvas, tendendo a tangenciar os bordos internos das faixas de percurso nas curvas.
114
5 - Desenvolvimento sem curva de transição
Nas concordâncias com curvas circulares simples procura-se efetuar o desenvolvimento da superlargura e da superelevação de forma a compatibilizar a variação dessas características das seções transversais com as trajetórias naturais de transição dos veículos, e de forma a que os usuários não sejam submetidos a esforços laterais significativos devidos a inclinações adversas das faixas, nas aproximações dos trechos em curva.
Os comprimentos de transição, ou seja, as extensões ao longo das quais se pode proceder ao desenvolvimento da superlargura e da superelevação, são os mesmos aplicáveis para o caso de se contar com curvas de transição. Mudam apenas os critérios para o posicionamento dessas extensões em relação às curvas circulares.
115
5 - Desenvolvimento da superelevação
DESENVOLVIMENTO DA SUPERLARGURA E DA SUPERELEVAÇÃO SEM CURVA DE TRANSIÇÃO
116
A prática internacional tem demonstrado que um bom critério é assegurar que cerca de 60% a 70% da transição seja efetuada na tangente, sendo a extensão restante completada na curva circular.
Recomenda-se pequenos
ajustes no posicionamento do comprimento de transição LC de forma a evitar comprimentos
fracionários, fazendo, quando possível, que o início e o término da transição coincidam com estacas inteiras ou múltiplas de 10,00m.
5 - Desenvolvimento da superelevação
EXEMPLO 5 : A concordância horizontal com curva circular simples foi calculada com raio R1=214,88m, tendo os pontos singulares da concordância resultado nas estacas: PC1=4+7,88m e PT1=8+18,68m. Tomando-se esta concordância apenas para fins de ilustração do critério de desenvolvimento da superlargura e da superelevação nas concordâncias com curvas circulares simples (sem curva de transição), imagine-se que seja utilizado o comprimento de transição LC=50,00m. De acordo com o critério descrito, na concordância com curva circular simples, este comprimento de transição deverá ser disposto em torno do PC1 e do PT1 da seguinte forma:
(2/3) . 50,00 = 33,33 m na tangente;
(1/3) . 50,00 = 16,67 m na curva circular.
117
5 - Desenvolvimento da superelevação
Se fosse adotado esse rateio exato, os comprimentos de transição (ao longo dos quais se faria o desenvolvimento da superlargura e da superelevação) resultariam dispostos na forma indicada esquematicamente na figura abaixo:
TRANSIÇÃO EM CURVA CIRCULAR : LC DISPOSTO EM ESTACAS FRACIONÁRIAS
118
5 - Desenvolvimento da superelevação
Caso se optasse por efetuar pequenos ajustes nas proporções, de forma a que o início e o término do comprimento de transição coincidissem com estacas inteiras (ou múltiplas de 10,00m), em ambas as extremidades da concordância, os comprimentos de transição resultariam dispostos de acordo com o esquema indicado na figura abaixo:
TRANSIÇÃO EM CURVA CIRCULAR: LC DISPOSTO EM ESTACAS INTEIRAS
119
6 - Curva Horizontal de Transição. Comprimento de Transição.
Comprimento de transição distância ao longo da qual se procede à distribuir a superelevação e a superlargura, passando-a da condição de tangente, onde tem valor nulo, à condição de curva circular, onde assume o valor definido para o raio da curva.
Quando se projeta uma concordância horizontal com curva de transição (geralmente espiral), utiliza-se como visto, o comprimento dessa espiral para se efetuar a distribuição da superelevação e da superlargura, motivo pelo qual se confunde, usualmente, a designação de comprimento de transição com a de comprimento da curva de transição (LC).
120
6 - Curva Horizontal de Transição. Comprimento de Transição.
A determinação do comprimento de transição é feita, para cada concordância, observando-se limites estabelecidos em normas ou recomendações.
O DNER estabelece critérios objetivos para fixar os comprimentos mínimos e máximos admissíveis para os comprimentos de transição, recomendando que sejam também observados alguns critérios complementaresna determinação dos comprimentos de transição – e, consequentemente, dos comprimentos das curvas de transição – a serem utilizados nas concordâncias horizontais.
121
6 - Curva Horizontal de Transição. Comprimento de Transição.
a) Comprimento mínimo de transição (30 m absoluto ou o equivalente à distância percorrida por um veículo, na velocidade diretriz, em 2 segundos, prevalecendo o maior.)
b) Critério da fluência ótica aplicável somente para curvas com R> 800m
c) Critério do conforto determinado pela fórmula: 
 onde:
Lmín : comprimento mínimo de transição (m);
V : velocidade diretriz (km/h);
R : raio da curva circular (m);
eR : superelevação da curva circular (m/m);
C : taxa (máxima admissível) de variação da aceleração transversal (m/s3) estimada pela fórmula:
C = 1,5 – 0,009 . V 
122
6 - Curva Horizontal de Transição. Critério da máxima rampa de superelevação
Rampa de superelevação, é a diferença de inclinação longitudinal entre o perfil do eixo da pista e o perfil do bordo da pista mais afetado pela superelevação.
Fatores multiplicadores para Lmin
Fonte: DNER (1.999, p.108)
123
	TABELA 6.2 – RAMPAS DE SUPERELEVAÇÃO ADMISSÍVEIS: CASO BÁSICO							
	V(km/h)	40	50	60	70	80	90	≥100
	rmáx	1:137	1:154	1:169	1:185	1:200	1:213	1:233
	Fonte: dados primários DNER (1.999, p.107)							
	LARGURA DE ROTAÇÃO DA PISTA	FATOR MULTIPLICADOR (Fm)
	Caso básico: giro de 1 faixa	1,0
	Giro conjunto de 2 faixas	1,5
	Giro conjunto de 3 faixas	2,0
	Giro conjunto de 4 faixas 	2,5
6 - Curva Horizontal de Transição. Critério da máxima rampa de superelevação
Fixada a rampa de superelevação máxima (rmáx) aplicável, calcula-se o comprimento de transição mínimo Lmin que corresponde a essa rampa, conhecendo-se a superelevação (eR), o número de faixas de giro no desenvolvimento da superelevação, e a largura normal de faixa (LF). 
 
 RAMPA DE SUPERELEVAÇÃO 
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6 - Curva Horizontal de Transição. Comprimento máximo de transição 
Critério do máximo ângulo central da Clotóide.
Lmáx = R onde: Lmáx: comprimento máximo de transição (m); R: raio da curva circular (m).
Critério do tempo de percurso. DNER estipula que o comprimento de transição seja limitado à distância percorrida por um veículo, em t = 8 s, na velocidade diretriz. Ou Lmáx=2,2 . V onde: V : velocidade diretriz (km/h).
Critérios complementares como: 
Critério de arredondamento: arredondar para múltiplos de 10,00 m sempre que as espirais o permitam;
Critério da extensão mínima com superelevação total: DNER recomenda comprimentos das curvas circulares ≥ à distância percorrida em 2 s, na vel. Diretriz, ou seja: DCmín = 0,56 . V
Critério de aparência geral: DNER recomenda que as curvas sucessivas, obedeçam a proporção R1.L1 ≥R2.L2 sendo R1 e R2 os raios da curvas sucessivas e L1 e L2 os comprimentos de transição para as respectivas curvas (m).
125
6 - Curva Horizontal de Transição. Comprimento máximo de transição 
Critérios para concordâncias com curvas compostas: Quando o projeto de uma concordância é feito com o uso de curva composta, envolvendo duas curvas circulares de raios diferentes, o comprimento de transição da superelevação entre essas curvas é determinado considerando os mesmos critérios aplicáveis para curvas isoladas, com as peculiaridades seguintes:
§ Para o critério da rampa máxima de superelevação admissível () considerar para a superelevação eR o valor correspondente à diferença entre as superelevações adotadas para as curvas envolvidas;
§ No critério do conforto considerar para superelevação eR o mesmo valor da diferença acima, e para o raio R o valor do raio equivalente dado por: 1/Req=1/R1-1/R2 onde:
Req : raio de curva equivalente (m);
R1 : raio da curva de menor raio (m);
R2 : raio da curva de maior raio (m).
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6 - Curva Horizontal de Transição. Comprimento de Transição.
Critério Estético estabelece que a diferença de greide entre a borda e o eixo não deve ultrapassar um certo valor, que depende da velocidade de projeto.
Barnett estabeleceu a inclinação de 1:200 (0,5%) para a diferença de greide entre bordas e o eixo para uma velocidade de até 80 km/h.
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6 - Curva Horizontal de Transição. Comprimento de Transição.
A AASHTO extrapolou os valores de Barnett e recomenda como critério para cálculo do comprimento mínimo para o trecho de variação da superelevação:
									
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	Velocidade de Projeto (km/h)	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
	Inclinação relativa (%)	0,75	0,70	0,65	0,60	0,55	0,50	0,48	0,45	0,42	0,40
6 - Curva Horizontal de Transição. Comprimento de Transição.
No critério estético observa se que a variação da inclinação relativa máxima com a velocidade de projeto pode ser representada por duas retas:
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6 - Curva Horizontal de Transição. Comprimento de Transição.
𝒊𝒓𝒎á𝒙=𝟎,𝟗−𝟎,𝟎𝟎𝟓.𝑽𝒑 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑉𝑃≤80𝑘𝑚/ℎ 𝑒 𝑖𝑟 𝑒𝑚 %
𝒊𝒓𝒎á𝒙 = 𝟎,𝟕𝟏−𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟔.𝑽𝒑 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑉𝑃≥80𝑘𝑚/ℎ 𝑒 𝑖𝑟 𝑒𝑚 %
𝐿c.𝑖𝑟 = 𝑒.𝑙𝑓 → 𝐿c𝑚í𝑛=𝑒.𝑙𝑓/𝑖𝑟𝑚á𝑥 
𝑳c𝒎í𝒏 = 𝒆.𝒍𝒇/(𝟎,𝟗−𝟎,𝟎𝟎𝟓.𝑽𝒑) → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑉𝑝≤80𝑘𝑚/ℎ 
 𝑳c𝒎í𝒏=𝒆.𝒍𝒇/(𝟎,𝟕𝟏−𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟔.𝑽𝒑) → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑉𝑝≥80𝑘𝑚/ℎ
130
6 - Curva Horizontal de Transição.
 ESTACAS DOS PONTOS NOTÁVEIS
Conhecida a estaca do PI, tem se:
Estaca do TS = Estaca do PT - TT
Estaca do SC = Estaca do TS+Lc
Estaca do CS = Estaca do SC+DC
Estaca do ST = Estaca do CS+Lc 09/11/2023
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BIBLIOGRAFIA UTILIZADA NESTAS UNIDADES
Shu Han Lee, Caroline Antunes Bucciano, Camille Ghedin Haliski. Projeto Geométrico de Estradas. Apostila da Disciplina ECV 5115. INTRODUÇÃO AO PROJETO GEOMÉTRICO DE RODOVIAS. Parte 1. Programa Especial de Treinamento. Engenharia Civil – UFSC. Florianópolis 2000. 146 p.
Carlos R. T. Pimenta, Márcio P. Oliveira. Projeto Geométrico de Rodovias. 2da. Edição. São Carlos. RiMa Editora. 2004. ISBN: 85-86552-91-7
Publicação IPR – 740. MANUAL DE PROJETO GEOMÉTRICO DE TRAVESSIAS URBANAS. Departamento Nacional de Infraestrutura de Transportes. Diretoria Executiva. Instituto de Pesquisas Rodoviárias. Rio de Janeiro, 2010. 392p. (IPR. Publ., 740). 2010. CDD 625.70202.
DNER. Manual de Projeto Geométrico de Rodovias. Rio de Janeiro, 1.999. Departamento Nacional de Estradas de Rodagem. Diretoria de Desenvolvimento Tecnológico. Divisão de Capacitação Tecnológica. CDD 625.70010202
Djalma Martins Pereira, Eduardo Ratton, Gilza Fernandes Blasi, Márcia de Andrade Pereira, Wilson Küster Filho. Organização: Márcia de Andrade Pereira Eloá Lendzion. APOSTILA DE SISTEMAS DE TRANSPORTES. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ, SETOR DE TECNOLOGIA, DEPARTAMENTO DE TRANSPORTES. 2013
Djalma Martins Pereira, Eduardo Ratton, Gilza Fernandes Blasi, Márcia de Andrade Pereira, Wilson Küster Filho.. PROJETO GEOMÉTRICO DE RODOVIAS. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ, SETOR DE TECNOLOGIA, DEPARTAMENTO DE TRANSPORTES. 2010
Daniane Vicentini, Diego Fernandes Neris, Edu José Franco, Márcia de Andrade Pereira Bernardinis. PROJETO GEOMÉTRICO DE RODOVIAS. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ, SETOR DE TECNOLOGIA, DEPARTAMENTO DE TRANSPORTES. DISCIPLINA: TT-048 – INFRAESTRUTURA VIÁRIA 2019. 
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