Aula 10

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Teoria de Semelhança nas Bombas 
Centrífugas. 
Máquinas de Fluxo 2017 1 
 Utilidade da Teoria de Semelhança; 
 As Seis Leis de Semelhança para Bombas; 
 Números Específicos de Rotações (nq e ns); e 
 Necessidade da Parábola de Choque na 
aplicação das Leis de Semelhança. 
Máquinas de Fluxo 2017 2 
A teoria dos modelos (theory of models) possibilita o estudo de 
modelos reduzidos ou aumentados de máquinas de fluxo, com 
o objectivo de reduzir o risco de execução errônea das 
máquinas de grande porte. Além disto pode também ser 
usada para avaliar o comportamento de máquinas de fluxo 
ditas semelhantes. 
Objectivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Utilidade da Teoria de Semelhança. 
Máquinas de Fluxo 2017 3 
A semelhança mecânica (ou teoria dos modelos) compreende 
um conjunto de leis e conhecimentos através dos quais se torna 
possível prever o comportamento de uma bomba de grande 
porte a partir da actuação ou desempenho de uma bomba 
menor e mais econômica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Utilidade da Teoria de Semelhança. 
Máquinas de Fluxo 2017 4 
A teoria de semelhança permite: 
 Predizer o comportamento de uma mesma máquina (a 
igualdade é um caso particular de semelhança), quando 
varia alguma das suas características, e.g.,variação da altura 
manométrica quando varia o número de rotações numa 
bomba. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Utilidade da Teoria de Semelhança. 
Máquinas de Fluxo 2017 5 
A teoria de semelhança permite: 
 No seu sentido mais amplo, a semelhança mecânica permite 
aferir o comportamento de um protótipo ou máquina 
industrial a partir do desempenho ou actuação de uma 
máquina modelo, desde que entre uma e outra sejam 
cumpridos determinados requisitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Utilidade da Teoria de Semelhança. 
Máquinas de Fluxo 2017 6 
Laboratório de Ensaios Aerodinâmicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Utilidade da Teoria de Semelhança. 
Máquinas de Fluxo 2017 7 
Laboratório de Ensaios de Máquinas Hidráulicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Utilidade da Teoria de Semelhança. 
Máquinas de Fluxo 2017 8 
Bancadas de Ensaio de Bombas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Utilidade da Teoria de Semelhança. 
Máquinas de Fluxo 2017 9 
1. Conduta de aspiração; 
2. Termómetro; 
3. Bomba ensaiada; 
4. Painel de manómetros; 
5. Válvula de comporta para 
 a regulação do caudal; 
6. Diafragma para medir o 
 caudal; 
7. Depósito volumétrico 
 (também serve para medir o 
k caudal); 
8. Tacómetro para medir rpm; 
9. Motor de accionamento de 
 velocidade variável; 
10. Torsómetro para medição 
 de torque. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Utilidade da Teoria de Semelhança. 
Máquinas de Fluxo 2017 10 
A completa semelhança física de condições operacionais requer: 
 Semelhança geométrica: o modelo deve ser geometricamente 
semelhante ao protótipo; 
 Semelhança cinemática: o modelo deve ser cinematicamente 
semelhante ao protótipo; e 
 Semelhança dinâmica: o modelo deve ser dinamicamente 
semelhante ao protótipo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Utilidade da Teoria de Semelhança. 
Máquinas de Fluxo 2017 11 
Semelhança Geométrica 
Tomando como exemplo as máquinas geradoras, a teoria da 
semelhança física diz que duas bombas são semelhantes (ou 
fisicamente similares) se, com diferentes características de 
projecto (n, D, etc), submetidas a diferentes condições 
operacionais (Q, H, 𝜌), guardarem entre si semelhanças. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Utilidade da Teoria de Semelhança. 
Máquinas de Fluxo 2017 12 
Semelhança Geométrica: 
A semelhança geométrica diz respeito à proporcionalidade 
das dimensões lineares, igualdade de ângulos e nenhuma 
omissão ou adicção das partes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Utilidade da Teoria de Semelhança. 
Máquinas de Fluxo 2017 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Leis de Semelhança para Bombas 
Considerando duas máquinas de fluxo (MF” e MF’) 
geometricamente semelhantes, com diâmetros D” e D’ , e 
com larguras de pás b’ e b”, a relação de semelhança 
geométrica, definida pelo factor de escala “𝜆 ” será: 
𝜆𝐺 =
𝐷1
"
𝐷1
, =
𝑏1
"
𝑏1
, =
𝐿2
"
𝐿2
, =
𝑏2
"
𝑏2
, 𝜆𝐺 =
𝐷1
"
𝐷1
, 
Máquinas de Fluxo 2017 14 
Semelhança Cinemática: 
Velocidades em consideração 
A condição de semelhança cinemática impõe que as 
velocidades e acelerações para os pontos correspondentes 
devem ser vectores paralelos e devem ter relações constantes 
entre seus módulos. Desta forma os triângulos de velocidades 
de duas máquinas geometricamente semelhantes, devem ser 
respectivamente semelhantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Leis de Semelhança para Bombas 
Máquinas de Fluxo 2017 15 
Máquinas com semelhantes cinemática 
𝜆𝐺𝜆𝑛 =
𝑈1
"
𝑈1
, =
𝐶1
"
𝐶1
, =
𝑊1
"
𝑊1
, =
𝐶𝑚1
"
𝐶𝑚1
, =
𝐶𝑢1
"
𝐶𝑢1
, =
𝑊𝑈1
"
𝑊𝑈1
, =
𝑈2
"
𝑈2
, =
𝐶2
"
𝐶2
, =
𝑊2
"
𝑊2
, =
𝐶𝑚2
"
𝐶𝑚2
, =
𝐶𝑢2
"
𝐶𝑢2
, =
𝑊𝑈2
"
𝑊𝑈2
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Leis de Semelhança para Bombas 
Máquinas de Fluxo 2017 16 
A relação 𝜆𝐺𝜆𝑛 chama-se escala de redução de velocidades. 
É o produto entre a escala geométrica e a relação entre o 
número de rotações. 
𝜆𝑛 =
𝑛1
"
𝑛1
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Leis de Semelhança para Bombas 
Máquinas de Fluxo 2017 17 
Semelhança Dinâmica 
: Velocidades em consideração 
Existe semelhança dinâmica entre um protótipo e um modelo 
quando o número de Reynolds for o mesmo para o protótipo e 
modelo.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Leis de Semelhança para Bombas 
Máquinas de Fluxo 2017 18 
As Seis Leis de Semelhança nas Bombas Centrífugas 
Estas 3 referem-se à bombas geometricamente semelhantes, 
mas de 
𝑫′′
𝑫′ ≠ 𝟏 
4ª Lei: Q –vs– D 
5ª Lei: Hm –vs– D 
6ª Lei: N –vs– D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Leis de Semelhança para Bombas 
Máquinas de Fluxo 2017 19 
4ª Lei: Q –vs– D 
Relações de semelhança entre bombas centrífugas 
Escalas cinemáticas 
𝑄′′ = 2𝜋𝑟′′𝑏′′𝐶𝑚
′′ 
𝑄′ = 2𝜋𝑟′𝑏′𝐶𝑚
′ 
𝜆𝑄 = 𝜆𝐺
3𝜆𝑛 
𝑄′′
𝑄′
=
𝑛′′
𝑛′
𝐷′′
𝐷′
3
 
 (1) 
Vazão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Leis de Semelhança para Bombas 
Máquinas de Fluxo 2017 20 
5ª Lei: Hm –vs– D Carga 
Relações de semelhança entre bombas centrífugas 
Escalas Dinâmica 
Sabendo que: 
𝐻′′
𝐻′
=
𝑈′′2
𝑈′2
= 𝜆𝐺
2 𝜆𝑛
2 
𝐻𝑚
′′
𝐻𝑚
′ =
𝑛′′
𝑛′
2
𝐷′′
𝐷′
2
 
 (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Leis de Semelhança para Bombas 
Máquinas de Fluxo 2017 21 
6ª Lei: N –vs– D 
Relações de semelhança entre bombas centrífugas 
Escalas Dinâmica 
Potência 
𝑁 =
𝛾𝑄𝐻
𝜂
 
𝑁′′
𝑁′
=
𝑄′′
𝑄′
 
𝐻′′
𝐻′
 
𝜂′
𝜂′′
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Leis de Semelhança para Bombas 
Máquinas de Fluxo 2017 22 
6ª Lei: N –vs– D 
Admitindo 𝜂′′ = 𝜂′ 
 
𝑁′′
𝑁′
= 𝜆𝐺
5𝜆𝑛
3 
𝑁′′
𝑁′
=
𝑛′′
𝑛′
3
𝐷′′
𝐷′
5
 
 (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Leis de Semelhança para Bombas 
Máquinas de Fluxo 2017 23 
Considerando que a mesma bomba seja operada com 
diferentes rotações de funcionamento, nota-se uma alteração 
nas vazões, carga e potência, segundo a escala de rotações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Leis de Semelhançapara Bombas 
Máquinas de Fluxo 2017 24 
Estas 3 primeiras leis referem-se à mesma bomba 
𝑫′′
𝑫′ = 𝟏 
1ª Lei: Q –vs– n 
2ª Lei: Hm –vs– n 
3ª Lei: N –vs– n 
A alteração dessas grandezas pode ser calculada através das 
seguintes expressões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Leis de Semelhança para Bombas 
Máquinas de Fluxo 2017 25 
As máquinas são as mesmas funcionando em condições 
de rotação diferentes: 
(Equações de Rateaux) 
Se o protótipo e modelo forem iguais (duas máquinas 
trabalhando em situações diferentes ou a mesma máquina 
trabalhando em situações diferentes). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Leis de Semelhança para Bombas 
Máquinas de Fluxo 2017 26 
Lei dos caudais em relação ao número de rotações 
Primeira Lei 
𝑄′′
𝑄′
=
𝑛′′
𝑛′
 
O caudal é proporcional a secção e a velocidade; 
A secção não varia, logo o caudal é proporcional à 
velocidade; e 
Por outro lado, todas as velocidades são proporcionais a 
um número de rotações; logo os caudais são direitamente 
proporcionais aos números de rotações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Leis de Semelhança para Bombas 
Máquinas de Fluxo 2017 27 
Lei das Alturas Manométricas e das Potências em 
Relação ao Número de Rotações 
Segunda e Terceira Lei 
Alturas Manométricas Potências 
𝐻𝑚
′′
𝐻𝑚
′ =
𝑛′′
𝑛′
2
 
𝑁′′
𝑁′
=
𝑛′′
𝑛′
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Leis de Semelhança para Bombas 
Máquinas de Fluxo 2017 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Específicos de Rotações 
Número Específico de Rotações ou Nº de Brauer para 
Bombas Centrífugas 
É uma grandeza importante no estudo das bombas, porque 
define a geometria ou o tipo do rotor da bomba. é a rotação na 
qual deverá operar a bomba para recalcar a vazão de 1𝑚3/𝑠 em 
uma instalação com 1𝑚 de altura manométrica, com o máximo 
rendimento. 
 
Máquinas de Fluxo 2017 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Específicos de Rotações 
Rotação ou velocidade específica de uma máquina hidráulica. 
Tanto as bombas como as turbinas podem ser agrupados 
conforme um parâmetro que se denomina Rotação Específica. 
 
Esta grandeza é usada para determinar o tipo de rotor da 
bomba a ser usada na instalação. 
Máquinas de Fluxo 2017 30 
Fixando-se os dois parâmetros da máquina teórica resta um 
terceiro que será determinado pela semelhança entre a real e 
teórica. O número, adimensional ou não, da máquina teórica 
gerado por este procedimento, dará um qualificativo único à 
máquina real, de tal forma que qualquer máquina que tenha 
este mesmo número é semelhante entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Específicos de Rotações 
Máquinas de Fluxo 2017 31 
Por exmplo, fixando-se vazão e carga para uma máquina 
teórica , hidraulicamente semelhante à real, resulta na rotação 
que deveria ter a máquina teórica para que fosse satisfeito o 
critério de semelhança entre estas duas máquinas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Específicos de Rotações 
Máquinas de Fluxo 2017 32 
Esta rotação é chamda Rotação Específica. Assim sendo 
quaisquer máquinas que tenham uma mesma Rotação ou 
Velocidade Específica são hidraulicamente semelhante entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Específicos de Rotações 
Máquinas de Fluxo 2017 33 
Assim a rotação específica é a rotação que deveria ter uma 
bomba (turbina) fictícia, que eleva uma vazão de 1𝑚3/𝑠 à uma 
altura de 1m, para ser hidraulicamente semelhante a uma 
outra com vazão Q, altura H e rotações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Específicos de Rotações 
Máquinas de Fluxo 2017 34 
Rotação específica relacionada a potência (nq) número 
de Brauer 
𝑁′′
𝑁′
=
𝑛′′
𝑛′
3
𝐷′′
𝐷′
5
 
𝐻′′
𝐻′
=
𝑛′′
𝑛′
2
𝐷′′
𝐷′
2
 
Das leis vistas anteriormente, temos: 
𝐷′′
𝐷′
=
𝐻′′
𝐻′
1/2
𝑛′′
𝑛′
−1
 
𝑁′′
𝑁′
=
𝑛′′
𝑛′
−2
𝐻′′
𝐻′
5/2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Específicos de Rotações 
Máquinas de Fluxo 2017 35 
Rotação específica relacionada a potência (nq) 
𝑁′ = 1𝐶𝑣 
𝐻′ = 1𝑚 
 
Sabendo que: 
𝑁′′ = 𝑁𝑒𝑓 =
𝛾𝑄𝐻
75𝜂
 
𝑛𝑞 = 𝑛′′ 𝑁′′ 1/2 𝐻′′ −5/4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Específicos de Rotações 
Máquinas de Fluxo 2017 36 
Rotação específica relacionada a potência (nq) número 
de Brauer 
Para a seleção de tipo de máquina mais adequado para a 
determinada situação fundamental o parâmetro velocidade de 
rotação específica. 
Esta velocidade está associada à forma e as propriedades dos 
rotores de máquinas de fluxo e o seu valor serve de base para 
caracterizar séries de máquinas geometricamente semelhantes 
em catálogos de fabricantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Específicos de Rotações 
Máquinas de Fluxo 2017 37 
Rotação específica relacionada a potência (nq) número 
de Brauer 
Para facilitar a seleção da bomba mais adequada para 
determinada aplicação, alguns autores apresentam gráficos 
com velocidade de rotação específica associada com outros 
parâmetros característicos da máquina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Específicos de Rotações 
Máquinas de Fluxo 2017 38 
Rotação específica relacionada a vazão (ns) 
𝑛𝑠 = 3,65𝑛𝑄1/2𝐻−3/4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Específicos de Rotações 
Máquinas de Fluxo 2017 39 
 Bomba de estágios 
𝑛𝑠 = 3,65 ∗ 𝑛 ∗
𝑄1/2
𝐻
𝑖
3/4
 
 Bomba de estágios com entrada bilateral 
𝑛𝑠 = 3,65 ∗ 𝑛 ∗
𝑄
2
1/2
𝐻
𝑖
3/4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Específicos de Rotações 
Máquinas de Fluxo 2017 40 
A velocidade específica (ns) é um índice adimensional de 
projecto , que identifica a semelhança geométrica de bombas. 
É usada para classificar os impulsores de acordo com seus 
tipos e proporções. Bombas de mesmo ns, mas de tamanhos 
diferentes, são consideradas geometricamente semelhantes, 
sendo uma de tamanho múltiplo da outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Específicos de Rotações 
Máquinas de Fluxo 2017 41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Específicos de Rotações 
Máquinas de Fluxo 2017 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Específicos de Rotações 
Máquinas de Fluxo 2017 43 
Parábola de Choque na Aplicação das Leis de 
Semelhança 
 Os diagramas que resultam dos testes das bombas são 
feitos na base das linhas de iso-eficiência; 
 A aplicação das leis de semelhança 
 segue a parábola de choque = Parábola 
 que passa pela origem do gráfico (H,Q) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Específicos de Rotações