Calculo 1

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Cálculo Diferencial e Integral 1 UFU Página 3 de 239 páginas
Boas-vindas!
(e alguns conselhos de alguém do século, ou melhor, do milênio passado) .
É uma enorme satisfação tê-lo(a) como aluno(a). Seja muito bem-vindo(a) à universidade.
Eu sei que na atual era dos smartphones as pessoas estão cada vez menos tolerantes aos chamados “textões”. São
poucos os que se animam a ler uma mensagem que não cabe inteira em uma tela de celular. Mas, infelizmente, não
dá para ser muito conciso nesta conversa inicial que pretendo ter com você. Espero que compreenda e que, realmente,
“perca” 10 minutos de sua vida e leia esta mensagem até o final, com atenção e discernimento.
Este material é parte de um conteúdo matemático intitulado Cálculo Diferencial e Integral que, por comodidade,
é vulgarmente chamado de Cálculo. Você entenderá mais adiante o porquê de os adjetivos “diferencial” e “integral”
comporem o t́ıtulo da disciplina. Eles estão relacionados à dois conceitos extremamente ricos em aplicações em todas
as áreas das Ciências Exatas (Matemática/Estat́ıstica, F́ısica, Qúımica, Engenharias, Computação etc) e até mesmo
em outras áreas, como Economia, Administração, Agronomia e Arquitetura.
O Cálculo, quando estudado de forma mais rigorosa, do ponto de vista das demonstrações lógicas de seus resultados,
insere-se em uma área da Matemática chamada Análise. Mas isso é outro assunto. Estou citando essa hierarquia de
nomes apenas para dizer que não vou demonstrar, nestas notas de aulas, tudo com absoluto rigor matemático. Não
é esse o meu objetivo neste momento, além, é claro, que a demonstração de todos os pormenores tornaria o estudo
bastante árido e pouco atrativo em uma primeira abordagem do tema.
Mas se te proponho estudar Cálculo, então por que começo com um caṕıtulo chamado Pré-cálculo? Como esse
nome diz, é algo que se deve saber antes do Cálculo propriamente dito. Trata-se dos pré-requisitos matemáticos que,
em um mundo ideal, seria ensinado e aprendido pelo aluno antes de seu ingresso na universidade. Mas como não
vivemos em um mundo ideal, acho que esses pré-requisitos são extremamente necessários. E é refletindo sobre eles
que eu gostaria de conversar com você, estudante universitário. Para dizer a verdade, não é sobre os tópicos desse
caṕıtulo que eu quero conversar. É sobre algo mais geral, que tem a ver com dedicação e aprendizagem. Ah sim! Já ia
me esquecendo: não sou do tipo que vive dizendo “O meu tempo de estudante que era bom, tinha ordem e disciplina!
Hoje as universidades estão uma balbúrdia (palavras de um certo Ministro da Educação...)”. Para dizer a verdade, já
há muito tempo, quando eu era aluno, eu cheguei a ouvir isso de alguns professores (acho que já estão mortos hoje...).
Sinceramente, sendo bem realista, aqueles tempos não eram essa maravilha toda que muitos saudosistas “pintam”.
Entretanto, há sim algumas coisas que mudaram, e precisam ser pontuadas quando se fala de aprendizagem. É sobre
isso que eu quero conversar.
Fiz todos os meus estudos de formação no século passado (ou milênio passado, se preferir). Portanto, já sou “velho”
e, ao longo de duas décadas ensinando Matemática, pude perceber que muitas coisas foram mudando. Vou citar três
mudanças significativas de comportamento em nossa sociedade, ligadas ao ensino, utilizando frases cotidianas:
(1) “Hoje eu não estou a fim de ir à aula. Mas não tem problema! Depois eu assisto videoaulas na
Internet.”
Conforme comentado acima, quando eu estava na graduação, não existia essa oportunidade de aprendizado. No
máximo, t́ınhamos o “telecurso”, que passava na TV aberta, quase no fim da madrugada, e era sobre o 1o e 2o
graus (nomes que depois foram alterados para “Ensino Fundamental” e “Ensino Médio”). Por motivos óbvios, esses
programas quase não tinham audiência (quem sabe se a emissora alterasse a grade horária, colocando o telecurso
no horário das novelas, no começo da noite, e as novelas de madrugada...). Os que nasceram neste milênio e estão
inseridos no mundo das tecnologias digitais talvez não saibam, mas a Internet no Brasil começou em 1995. Quando
o computador tornou-se algo popular, no final dos anos 90, e surgiram as primeiras videoaulas de Matemática em
português na Internet, eu achei aquilo fantástico. Que poderosa ferramenta para se aprender! Mas o tempo passou...
e hoje percebo que a atitude de muitos alunos frente a essa oportunidade de aprendizado tem se mostrado incorreta,
pior ainda, tem se mostrado prejudicial a ele mesmo. E eu não estou falando de videoaulas ruins, o que, aliás, há aos
montes por áı. Estou falando de ótimas videoaulas. O problema é que os alunos acham que videoaula é como cinema,
basta assistir. Preste atenção nisso: NÃO SE APRENDE MATEMÁTICA POR CONTEMPLAÇÃO! Se
você quer realmente aprender, então prepare-se para o esforço: pause a videoaula a cada pequeno intervalo e procure
refazer o racioćınio e os exerćıcios que ali estão sendo apresentados. Quando eu falo em refazer, é no papel mesmo
(aliás, está áı outra coisa que parece estar entrando em extinção nas universidades). Se você é do tipo que assiste
uma videoaula de Matemática, e não faz algo a mais a partir dela, então não perca o seu tempo. Você não aprenderá
coisa alguma assim. Nesse caso, dormir pode ser algo melhor a se fazer. Entenda de uma vez por todas essa verdade:
APRENDER EXIGE ESFORÇO!
(2) “Não vou imprimir o material dessa disciplina. Está na rede. Eu posso acessar quando quiser.”
Eu gostaria de deixar muito claro que não sou anti-ecológico. Se há vantagem em não imprimir em papel algum
documento, então muito bem. Não imprima. Aliás, de alguns anos para cá, todo o processo de tramitação de
documentos nos órgãos públicos (o que inclui as universidades federais) é feita por via eletrônica. E isso é ótimo! Uma
economia gigante de papel. A natureza agradece! Mas há algumas economias que nos deixam no prejúızo. Um arquivo
pdf com as notas de aulas, como esse que disponibilizo nesta disciplina (você está lendo um deles!), deve ser impresso
agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini
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em papel e trazido em sala. Durante a aula, você pode fazer anotações com observações, resumos e complementos
que não estão originalmente no material. Além disso, as aulas serão repletas de exerćıcios que estão enunciados nestes
arquivos e que serão feitos “ao vivo” em sala, com o bom e velho giz e, portanto, devem ser entendidos e anotados
em papel, e não fotografados. Neste ponto, é importante que você também traga um caderno (outro item que parece
estar em extinção nas universidades). Alguns alunos argumentam que “copiar matéria” em papel é perda de tempo, e
que, se o professor não fornece o material, ele pode ir fotografando o quadro no decorrer da aula. Na minha opinião,
esse é um argumento perigoso. É verdade que apenas copiar a teoria do quadro pode não ser muito proveitoso, além
de tomar um tempo de aula. E é por isso que muitos professores, dentre eles eu, utilizamdata-show para explicar a
teoria. Mas na hora sagrada de se resolver exerćıcios, deve-se escrever de forma raciocinada e com concentração, para
estimular o cérebro a realizar novas sinapses - diriam os neurologistas - e também para aferir a fixação de conteúdo e
verificar se você realmente está entendendo a teoria. Outro argumento a favor de se escrever em papel: quando se vê
e escreve, o cérebro tem que trabalhar mais do que quando está apenas vendo. Isso ajuda a fixar melhor o conteúdo
e vai ao encontro do que eu disse acima: Não se aprende Matemática por contemplação.
(3) “Com o smartphone tenho acesso a praticamente todo tipo de informação, então não há problemas
em responder mensagens durante a aula. Depois eu recupero.”
Para quem viveu a maior parte da vida em uma época em que fazer pesquisas e obter informações era dif́ıcil e exigia
horas, talvez dias, de dedicação, um smartphone é algo para lá de fantástico. Quando tive meu primeiro aparelho
smartphone fiquei deslumbrado com as inúmeras possibilidades de aprendizado, de comunicação e de interação com
mundo. Achei que aquele pequeno aparelho, que te dá o mundo ao alcance das pontas dos dedos, iria transformar o
planeta. E está transformando. Mas agora eu não tenho tanta certeza se essa transformação é tão benéfica assim.
Talvez em muitas áreas ele realmente seja ótimo, mas para o aprendizado, estou começando a achar que nem tanto.
Pelo menos para aqueles que não sabem utilizá-lo com moderação (sem querer plagiar propaganda de cerveja...).
Infelizmente, muitas pessoas estão ficando viciadas em celular e não enxergam que isso pode ser algo extremamente
nocivo. Acho que, no futuro, teremos uma nova categoria de v́ıcio, tão destrutivo quanto o fumo, o álcool, as drogas
ou os jogos, que é o v́ıcio em celular. É irônico também ver que algo que pode unir pessoas distantes, também pode
afastar as que estão próximas. É comum ver, em restaurantes, famı́lias que chegam para almoçar ou jantar e cada
um pega o seu celular e vai fazer as “suas coisas”. Estão perto fisicamente, mas distantes em pensamento. Mas
não quero ficar filosofando sobre os aspectos morais da tecnologia. Quero falar do celular em sala de aula. De uns
dois anos para cá, tenho presenciado algo inusitado: alunos que vão às aulas “apenas” com o celular. Não trazem
cadernos, canetas ou qualquer outro tipo de material de estudo. Quando muito fotografam algum exerćıcio resolvido
no quadro. Geralmente, esse tipo de aluno está sempre “conectado lá fora”, fisicamente na sala, mas afastados dela
pelo pensamento. Felizmente, esse tipo “extremo” de aluno ainda é minoria, mas eu temo pelo futuro. Sinceramente,
seria melhor que eles não fossem à aula. Seria mais barato (afinal, transporte tem custo) e o resultado final é o
mesmo: catástrofe acadêmica. Aqueles que utilizam o celular em sala de aula, além de desrespeitarem o professor,
desrespeitam os colegas que querem prestar atenção no que está sendo ensinado. Como se esses problemas não fossem
o suficiente, ainda há um outro, talvez pior a longo prazo: o acesso cont́ınuo a um ambiente como a Internet onde
predominam conteúdos ruins, errados ou superficiais podem levar uma geração inteira a um problema crônico de saúde
mental ou pśıquica. Tenho conversado com diversos alunos que se queixam que não conseguem se concentrar em um
assunto por mais do que poucos minutos. Concentração e racioćınio exigem esforço e é muito similar a um esporte:
tem que treinar. O problema é que estamos na era das informações curtas e superficiais, os textos devem ser curtos,
assim como as videoaulas. Com isso, o cérebro vai se acostumando a esse padrão (que é mais prazeroso, pois não
exige muito esforço) e quando é preciso se concentrar, talvez por horas, para aprender alguma coisa, então surgem as
dificuldades (é como se você tentasse correr uma maratona sem nunca ter treinado para isso). O aluno simplesmente
não consegue. Acho que não preciso dizer que isso traz consequências funestas para o futuro. Às vezes, eu tenho a
impressão que estamos presenciando o surgimento de uma geração inteira de “enfermos digitais”. Em resumo: saiba
utilizar a tecnologia a seu benef́ıcio e nos momentos em que ela realmente é útil. NÃO SE TORNE ESCRAVO
DE SEU SMARTPHONE.
Agora que já falamos dos problemas novos, gostaria também de conversar com você sobre os problemas velhos
(e você achando que já estava acabando...). Algumas coisas não mudam. Os problemas que eu vou listar abaixo já
existiam em minha época de estudante e, infelizmente, continuam até hoje. Vamos a eles:
(i) “Vou fazer uma ‘cola’ e me dar bem na prova sem precisar estudar.”
Eu penso que o problema das colas é quase tão velho quanto o ser humano. O que muda com o tempo são
as técnicas, não a essência do problema. O que eu vou falar não é novidade e acho que é dito desde sempre: O
MAIOR PREJUDICADO PELA COLA É QUEM A PRATICA. Quem precisa aprender os conteúdos que
são ministrados na universidade é você. Não é o professor. Ele já o sabe. Quem cola frauda a si mesmo, frauda o seu
futuro como profissional. Eu acho que nem todos têm perfil para cursar uma graduação. Muitos se formam à base da
fraude e acabam tornando-se péssimos profissionais (isso quando conseguem ingressar no mercado de trabalho). Seria
melhor fazer um curso técnico com honestidade e tornar-se um bom profissional, mesmo que seja em profissões menos
“intelectualizadas”.
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(ii) “Me empresta a sua lista de exerćıcios...”
Costumo pedir para os alunos resolverem e entregarem as listas de exerćıcios. Inclusive dou alguns pontos. Entre-
tanto, poucos fazem e muitos copiam as resoluções (isso quando se dão ao trabalho de copiarem, pois eu quero que
elas sejam feitas “à mão”). Essa prática é similar à cola que discuti acima. Só não está sendo feita na hora da prova,
mas as consequências são as mesmas, pois os exerćıcios tem por finalidade ajudar no aprendizado. No fim das contas,
o prejúızo é, também, do próprio aluno. Outro fato curioso sobre listas de exerćıcios: de alguns anos para cá, comecei
a pedir que os alunos entregassem junto com a lista de exerćıcios uma folha com uma tabela onde eles tinham que
anotar se fizeram e se entenderam o que fizeram em cada um dos exerćıcios. O resultado é geralmente hilário: há
diversos exemplos de alunos que “fizeram e entenderam tudo”, mas na prova (que geralmente é muito similar à lista)
eles tiram notas muito baixas. Não precisa ser muito esperto para saber o que está acontecendo: listas copiadas...
(iii) “Fiquei com 60. Passei!”
Na UFU, exige-se um mı́nimo de 60% de aproveitamento para ser aprovado em uma disciplina. Em nossa realidade
social, não se pode exigir aprendizado 100% para obter aprovação, mas contentar-se com 60% não pode significar que
está tudo bem. Você ainda está em débito consigo mesmo e com aquilo de deveria ter aprendido e, talvez, o que deixou
de aprender faça muita falta no futuro. Neste ponto eu gostaria de deixar uma reflexão: você confiaria em um médico
que fosse fazer uma cirurgia card́ıaca em sua mãe sabendo que ele aprendeu apenas 60% dos procedimentos? Muitos
alunos argumentam que depois de formados irão aprender na prática, quando estiverem no mercado de trabalho.
É verdade que a prática ensina muitas coisas. Mas também é verdade que se você aprendeu 100% daquilo que foi
ensinado na graduação, então sua vida profissional será bem melhor e, talvez, poderá evitar frustrações decorrentes
de uma formação deficitária. No caso da disciplina de Cálculo, ainda há mais um agravante: o conteúdo é divido
em várias partes (Cálculos 1, 2, 3, 4, Numérico, EDO etc). Com 60% de aproveitamento no Cálculo 1, sua vida nosoutros Cálculos será bem mais dif́ıcil, pois uma disciplina depende da outra. Em resumo: ESFORCE-SE PARA
APRENDER O MÁXIMO POSSÍVEL. Não se acomode no 60%. E ainda: se você irá ensinar, lembre-se de que
você deve saber bem mais do que aquilo que está ensinando.
(iv) “Sou jovem, vou ‘curtir’, ainda tenho muito tempo para aprender...”
Esse é um pensamento não muito admitido, mas bastante praticado. É verdade que, para quem é jovem, há muito
tempo pela frente. Mas também é verdade que a fase do estabelecimento de hábitos de estudo e racioćınio ocorre na
juventude. Para quem não cultivou hábitos de estudo, concentração e racioćınio na juventude, é muito dif́ıcil adquiri-
los na idade madura, quando o cérebro já está “acomodado” com as rotinas pouco intelectualizadas do dia-a-dia e o
corpo já não acompanha um ritmo mais intenso. Além disso, deve-se levar em conta que parece ser natural uma certa
degeneração neuronal (e f́ısica) ao longo do tempo. Por fim, para a maioria das pessoas, a única ocasião de dedicar-se
com afinco aos estudos é na juventude. Passado esse peŕıodo, perdeu-se a oportunidade. Aı́ vem casamento, filhos
e/ou compromissos diversos...
(v) “Não tenho tempo de exercitar o que aprendi ontem, faço isso nos dias que antecederem as provas.”
Eu ouvia na minha época de graduação: “aula dada, aula estudada”. Confesso que não dava para seguir sempre esse
conselho (no começo de minha graduação, eu tinha trabalho durante o dia e universidade a noite). Mas sempre procurei
levar em dia meus estudos. Não preciso me aprofundar nas vantagens de não deixar tudo para a “última hora”, pois o
cérebro necessita de um certo tempo para assimilar e amadurecer novos conhecimentos. Entretanto, recentemente eu
escutei em uma palestra a seguinte informação: se não trabalharmos ou retomarmos um novo conhecimento adquirido,
em um determinado momento, no peŕıodo de:
• 6 horas, então esquecemos 1/4 do que foi aprendido;
• 24 horas: então esquecemos 1/3 do que foi aprendido;
• 6 meses: então esquecemos 9/10 do que foi aprendido.
Eu não sei se esses números estão corretos, até porque há divergências quando pesquisamos sobre essa questão. Mas
o fato é que há perdas quando postergamos a retomada de um novo conteúdo que foi aprendido. Então, fica o recado:
PROCURE REVISAR O QUANTO ANTES AQUILO QUE APRENDE DE NOVO E INSTAURE O
HÁBITO DO ESTUDO CONTÍNUO.
(vi) “Esse conteúdo não é importante...”
Muitos conteúdos matemáticos são abstratos e, às vezes, você pode achar que não precisará deles. Primeiramente,
eu acho que essa afirmação é extremamente prepotente. Se existe uma grade curricular, onde determinado assunto está
inserido, que foi constrúıda por diversos professores e outros profissionais que já estão há muito tempo na área e no
mercado de trabalho, e que afirmam que o assunto é importante, então (desculpem-me pela grosseria) quem é o aluno
que acabou de ingressar na graduação para achar o contrário? Além disso, mesmo que por algum motivo não utilize
aquele conhecimento espećıfico no futuro, o fato de tê-lo estudado fez com que seu racioćınio desenvolvesse, e isso é
extremamente útil em quase tudo que fazemos na vida. Lembre-se: CONHECIMENTO NUNCA É DEMAIS.
A Matemática, em particular, tem por caracteŕıstica ser “acumulativa” ou “integrada”, ou seja, para aprender coisas
mais avançadas é necessário saber uma série de pré-requisitos. Você, aluno, sentirá isso na pele, pois o Cálculo é um
ótimo exemplo disso que estou falando. Se você esqueceu o Cálculo 1, então pode dar adeus ao Cálculo 2... Mas não
desanime, trabalho e dedicação são necessários, mas os frutos do conhecimento compensarão cada minuto de esforço.
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(vii) “Se não der certo, faço um curso à distância...”
Cursos à distância podem parecer coisas da modernidade, mas não é bem assim. Na minha época de graduação
já existiam (pelos Correios, acredite...). O que mudou foram as formas de acesso e estudo, que ficaram, obviamente,
muito mais fáceis atualmente. Eu atuo em um curso à distância de Licenciatura em Matemática aqui na UFU desde
2013 e tenho algo a falar, sem entrar em detalhes, para aqueles que cultivam o pensamento enunciado neste item:
ENSINO À DISTÂNCIA, SE NÃO FOR ENGANAÇÃO, VAI EXIGIR MUITO MAIS DO QUE O
PRESENCIAL. Se você realmente quer aprender e está em um curso presencial, lute e esforce-se para conclúı-lo.
Eu garanto que será melhor para você.
(viii) “Preciso apenas do diploma...”
A menos que você queira um diploma chique para emoldurar e pendurar na parede de sua sala, então escute bem
isso: O MERCADO DE TRABALHO É ACIRRADO, SÓ OS MELHORES CHEGAM NO TOPO DA
CARREIRA. Ter um diploma é, às vezes, apenas a porta de entrada para o mercado de trabalho. E apenas isso. O
resto é com você. Seu conhecimento, sua dedicação, seu esforço é que farão a diferença.
(ix) “É normal ter várias reprovações...”
Mesmo em cursos com fama de “fácil de entrar, dif́ıcil de sair”, como Matemática e Estat́ıstica, não é, e jamais foi,
normal ter várias reprovações. Ao contrário, o normal deveria ser a aprovação. Eu acho que existe uma espécie de “v́ırus
do pessimismo” que passa do aluno veterano para o aluno calouro e que acaba perpetuando certos comportamentos
bastante nocivos. Se você está com dificuldades em uma certa disciplina, então é ela que deve ser estudada com
mais afinco e não, simplesmente, ser abandonada. É como o casal que tem mais que um filho e um deles é mais
“problemático”, está sempre dando trabalho e parece não se ajustar na vida. É exatamente esse filho que será alvo de
maior dedicação por parte dos pais (mesmo quando os demais filhos achem injusta essa atitude dos pais). É claro que
disciplina de Cálculo não é filho... Mas se você for realmente honesto consigo mesmo, verá que a correlação é válida.
Além disso, um dos motivos que levam à desistência e consequente reprovação em disciplinas é o excesso de faltas.
Vou ser bastante sincero: muitos alunos possuem, em uma única disciplina, mais faltas do eu tive em toda a minha
graduação. Você, caro aluno, que possui o pensamento enunciado nesse item, deve levar em conta que reprovações
por faltas pesam muito mais no coeficiente de rendimento acadêmico do que reprovações por nota. Isso significa que
você sempre estará em desvantagem quando concorrer a uma bolsa de ensino, pesquisa ou mesmo de permanência
(assistencial). Por fim, lembre-se que ficar na universidade reprovando em sucessivas disciplinas e ocupando uma vaga
até jubilar (isto é, ser desligado) significa custo para a sociedade, para você e, talvez, para sua famı́lia; além, é claro,
de estar tomando o lugar de alguém que poderia se esforçar mais do que você para ser aprovado nas disciplinas.
(x) “Não sei estudar...”
Ao longo desses anos todos ensinando (ou tentando ensinar) Matemática, ouvi essa confissão de vários alunos. É
um assunto dif́ıcil de abordar com alguém que já ingressou na universidade e que, supostamente, já teve que estudar
muito. Se você reparar bem, quando falei dos três primeiros itens de nossa conversa, falei sobre estudos, ou melhor,
falei de como “não se deve estudar”. Releia novamente aqueles itens. Se você faz as coisas que estão lá descritas,
então você já tem uma ótima pista do porquê não sabe estudar. Mas eu tenho algo a mais a falar sobre isso, afinal,
para ser honesto, isso não é um problema novo. Acho que com exceção das mães dedicadas que fazem mil coisas ao
mesmo tempo: cuidam dos filhos, trabalham fora, cuidam do lar, do cachorro, do marido (esse nem tanto...), somos
seres “monotarefa”, ou seja, precisamos nos concentrar em apenas uma atividade de cada vez para aprendê-la. Com
estudonão é diferente. Quando você for estudar, dedique-se completamente a essa atividade. Procure um ambiente
calmo, silencioso, desligue-se da Internet e das redes sociais, dos fones de ouvido (se você gosta de uma música suave
ao fundo, tudo bem...). Depois de um dia de estudos, procure fazer uma caminhada ao ar livre (aqui em Uberlândia,
há o Parque do Sabiá, que é ótimo para isso) procurando revisar mentalmente o que estudou. Para quem não tem
esse hábito, pode ser dif́ıcil no começo, mas você acaba se acostumando e, com o passar do tempo, torna-se prazeroso
e você sente falta quando não é posśıvel realizar essa atividade. Algumas pessoas sentem-se melhor estudando em
grupos. Sem problemas. Isso é muito bom, afinal, um ajuda o outro nas dificuldades. Mas tome cuidado para não
virar aquele que está no grupo apenas para copiar o que os outros fazem. Isso não é estudar e, também, não é honesto.
Por fim, tenha sempre bons materiais de estudo e procure dividir o tempo de modo a atender todas as disciplinas.
Finalizando nossa conversa, eu já ouvi uma frase bastante estranha da boca de pessoas simples, tanto quanto da
boca de pessoas letradas. A frase é dita com orgulho: “Sou péssimo em Matemática”. Como se isso fosse alguma
virtude... Eu nunca ouvi alguém dizer “Sou péssimo motorista” (ele pode até ser, mas nunca assumirá...). Dificilmente
uma pessoa que passou minimamente pela escola não se deparou com a Matemática. Se essa pessoa é péssima em
Matemática, é porque nunca se dedicou a ela como deveria. E isso deveria ser motivo de vergonha, não de orgulho.
É pensando nisso que deixo meu recado final: TUDO DE BOM QUE FOR FAZER, FAÇA BEM FEITO,
COM DEDICAÇÃO E ESFORÇO. Se você for melhor, o mundo será melhor. E como estamos precisando de um
mundo melhor...
Uberlândia-MG, Janeiro de 2020.
Dedico este trabalho ao meu filho, na esperança de que algum dia ele possa ler essas linhas.
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Sumário
1 Pré-cálculo 11
1.1 Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 Conjunto N dos Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.2 Conjunto Z dos Números Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3 Conjunto Q dos Números Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4 Conjunto R dos Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.5 Conjunto C dos Números Complexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Identidades e Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1 Equações do 1o. grau com uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.2 Equações do 2o. grau com uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Ordenação e Intervalos de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.1 Inequações do 1o. grau com uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2 Inequações do 2o. grau com uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.3 Inequações Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5 Módulo ou Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 O Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 Retas no Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8 Circunferências no Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.9 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.10 Algumas Funções Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.10.1 Funções Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.10.2 Funções Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.10.3 Funções Afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.10.4 Funções Quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.10.5 Funções Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.10.6 Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.10.7 Funções Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.10.8 Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.10.9 Funções Logaŕıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.10.10 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.10.11 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.11 Funções Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.12 Funções Pares e Funções Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.13 Indo um Pouco mais Além (leitura opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Seção de Exerćıcios Propostos: Pré-cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2 Limites de Funções 73
2.1 O Conceito de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.3 Funções Cont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.4 Teorema do Confronto e Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.5 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.7 Asśıntotas Horizontais e Verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.8 O Limite lim
x→+∞
(
1+ 1
x
)x
(2o. Limite Fundamental) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.9 Teorema do Valor Intermediário, Teorema do Anulamento e Teorema de Weierstrass. . . . . . . . . . . 90
2.10 Expressões Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Seção de Exerćıcios Propostos: Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
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3 Funções Derivadas 103
3.1 Noções Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2 Função Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3 Derivada e Continuidade . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4 Derivadas de Algumas Funções Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.5 Derivadas de Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.6 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.7 Derivadas de Funções Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.8 Derivadas de f (x) = ex e f (x) = ln (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.9 Derivada de f (x) = g (x)
h(x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.10 Derivadas de Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.11 Derivadas de Ordens Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.12 Derivação Impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Seção de Exerćıcios Propostos: Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4 Aplicações das Funções Derivadas 127
4.1 Interpretação da Derivada como Taxa de Variação Instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2 Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3 Máximos e Mı́nimos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4 Teoremas de Rolle e do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.5 Funções Monótonas: crescimento e decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6 Concavidades em Gráficos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.7 Asśıntotas Não Verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.8 Traçados de Gráficos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.9 Regras de L’Hospital para Cálculo de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.10 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Seção de Exerćıcios Propostos: Aplicações da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5 Integrais Indefinidas 167
5.1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.2 Algumas Primitivas Imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.3 Técnicas de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.3.1 Método da Substituição (ou Método da Mudança de Variáveis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.3.2 Método da Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.3.3 Método da Integração de Funções Racionais por soma de Frações Parciais . . . . . . . . . . . . 175
Seção de Exerćıcios Propostos: Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6 Integrais Definidas 185
6.1 Integrais e Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.2 O Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.3 As Técnicas de Integração na Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.3.1 O Método da Substituição (ou Método da Mudança de Variáveis) na Integral Definida . . . . . 195
6.3.2 O Método da Integração por Partes na Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.4 Integrais Definidas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.4.1 O Sistema de Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.4.2 Curvas e Funções em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.4.3 Áreas e Integrais Definidas no Plano Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Seção de Exerćıcios Propostos: Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7 Integrais Impróprias 209
Seção de Exerćıcios Propostos: Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8 Volumes, Áreas e Comprimentos com Integrais Definidas 217
8.1 Volume de Sólidos - Método das Secções Planas Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.1.1 Caso Particular: Volume de Sólidos de Revolução - Método dos Discos . . . . . . . . . . . . . . 219
8.1.2 Caso Particular: Volume de Sólidos de Revolução - Método dos Anéis Circulares . . . . . . . . 221
8.2 Volume de Sólidos de Revolução - Método das Cascas Ciĺındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.3 Comprimento de Curvas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.4 Áreas de Superf́ıcies de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Seção de Exerćıcios Propostos: Volumes, Áreas e Comprimentos com Integrais Definidas . . . 232
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Referências Bibliográficas 239
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Caṕıtulo 1
Pré-cálculo
O principal objeto de estudos do Cálculo Diferencial e Integral é constitúıdo pelas funções. Elas estão relacionadas
com os Problemas Fundamentais do Cálculo:
(1) Problema das Tangentes: Como definir e construir reta tangente a uma curva plana qualquer em um
determinado ponto dessa curva?
Na matemática elementar, sabemos construir retas tangentes a ćırculos.
reta tangente
C
T T
reta tangente
Matemática elementar Cálculo
(2) Problema das Áreas: Como definir e calcular áreas de regiões planas?
Na matemática elementar, sabemos calcular áreas de regiões poligonais.
Matemática elementar Cálculo
área
área
O primeiro problema está intimamente relacionado com o que chamamos de Cálculo Diferencial. Já o segundo
problema está relacionado com o Cálculo Integral. Estudaremos ambos os problemas, e suas diversas implicações,
nessas notas de aulas.
A principal ferramenta matemática para abordar os Problemas Fundamentais do Cálculo é o limite que, conforme
veremos, dará origem às derivadas e às integrais.
Grosso modo, podemos dizer que os limites estão relacionados com as aproximações. Por exemplo, no Problema
das Áreas, podemos imaginar que a área de uma região plana é uma aproximação por falta de áreas de poĺıgonos nela
inscritos.
De um modo bastante rudimentar, podemos ainda dizer que o Cálculo Diferencial e Integral é originado da junção
do conceito de limite à álgebra e geometria elementares, que são aprendidas na Escola Básica.
Neste caṕıtulo faremos um breve estudo preliminar das funções reais de uma variável real, sob o ponto de vista
elementar. Também abordaremos alguns pré-requisitos relacionados a esse estudo. Na verdade, trata-se de uma
pequena revisão de Ensino Médio, às vezes chamada de pré-cálculo na Universidade,em que o estudante com boa
base matemática não encontrará nada de novo. Começaremos apresentando os conjuntos numéricos e os intervalos de
números reais que, frequentemente, são utilizados como domı́nio e contradomı́nio dos diversos tipos de funções que
abordaremos mais adiante. Bons livros e materiais de Ensino Médio podem (e devem) ser utilizados para complementar
este caṕıtulo.
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1.1 Conjuntos Numéricos
A teoria envolvendo a construção matemática rigorosa dos conjuntos numéricos, suas operações e propriedades
foge aos objetivos deste curso introdutório. Tal estudo é visto em disciplinas mais avançadas de Teoria dos Números
e Análise Real (ou Análise Complexa). Portanto, não nos preocuparemos em demonstrar os resultados matemáticos
(teoremas, proposições e propriedades) que serão aqui apresentados.
Nas subseções a seguir, temos um resumo da teoria de tais conjuntos.
1.1.1 Conjunto N dos Números Naturais
Conjunto dos números naturais:
N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} .
Observação: Na matemática moderna, às vezes, é interessante convencionar que 0 (zero) é, também, número natural.
Nessas notas de aulas, porém, seguiremos o caminho do desenvolvimento histórico da matemática, considerando N a
partir do número 1.
Operações
Consideremos as operações(1) usuais de adição e multiplicação que estão definidas em N.
Lembremos que a adição é uma operação que associa a dois números naturais a e b (nessa ordem), um terceiro
número natural, indicado por a+ b, chamado de soma das parcelas a e b.
Lembremos, também, que a multiplicação é uma operação que associa a dois números naturais a e b (nessa
ordem), um terceiro número natural, indicado por a.b, chamado de produto dos fatores a e b. É comum omitir
o ponto no produto e escrever apenas ab, quando isso não gerar confusão.
As operações de adição e multiplicação são fechadas em N, ou seja, se a, b ∈ N, então a+ b ∈ N e ab ∈ N. Isso
já não ocorre com as operações usuais de subtração e divisão, pois a− b e a
b
podem não ser números naturais. Por
exemplo, 1− 2 /∈ N e 1
2
/∈ N.
As operações de adição e multiplicação cumprem certas propriedades que serão apresentadas na subseção dos
números reais que apresentaremos mais adiante. Vamos proceder dessa forma pois tais propriedades são também
cumpridas pelos demais conjuntos numéricos que abordaremos.
O conjunto N dos números naturais está dividido em dois subconjuntos importantes: o conjunto P dos números
pares e o conjunto I dos números ı́mpares:{
P = {2k : k ∈ N} = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . .}
I = {2k− 1 : k ∈ N} = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 . . .}
.
Também temos, contido em N, o conjunto P dos números primos, que são os números naturais n > 1 diviśıveis(2)
apenas por 1 e n. Assim,
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, . . .} .
e, ao contrário dos números pares e ı́mpares, não temos uma expressão geral que fornece todos os números primos.
Além disso, já é provado desde a antiguidade (por Euclides, de Alexandria, em sua obra Os Elementos, cerca de 300
a.C.) que o conjunto dos números primos é infinito.
Observe, também, que o único número natural primo e par é o número 2.
O números naturais não primos, e diferentes de 1, são chamados de números compostos.
Há um teorema (resultado matemático que pode ser provado) envolvendo números primos que é muito importante
na Matemática, chamado de Teorema Fundamental da Aritmética , cujo enunciado é o seguinte:
1Tendo em vista o caráter básico dessas notas de aulas, a definição matemática rigorosa de “operação” está fora do escopo que
pretendemos adotar. Entretanto, para melhor compreensão, o aluno pode pensar em uma “operação” como sendo uma “regra” que associa
a cada elemento de um conjunto A, um único elemento de um outro conjunto B. No caso das operações usuais que estamos citando, A é
sempre constitúıdo de pares ordenados de números, enquanto que B é um conjunto numérico. Mais adiante, quando definirmos funções,
o aluno terá uma ideia melhor do que significam essas “regras”.
2Em N, dizemos que a é diviśıvel por b (ou que b divide a) quando existe c ∈ N tal que a = bc. Equivale dizer, que o resto da divisão
de a por b é zero.
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Proposição 1.1 Teorema Fundamental da Aritmética. Todo número natural, maior do que 1, pode ser representado
de maneira única (a menos da ordem) como um produto de fatores primos.
Exemplo 1.1 (decomposição de número em fatores primos) Temos 60 = 22.3.5, ou seja, o número 60 pode ser escrito
como produto de dois números primos iguais a 2, um número primo igual a 3 e um número primo igual a 5. A menos
da ordem com que escrevemos os fatores, as quantidades de números primos envolvidas no produto é única.
Dois números naturais são chamados de primos entre si quando o único divisor comum entre eles é 1 (equivale
dizer que eles não possuem fatores primos em comum). Por exemplo, 10 e 27 são primos entre si, enquanto que 9 e 27
não são primos entre si (possuem 3 como divisor comum).
Acima comentamos que a operação de subtração não é fechada em N. Isso nos leva a considerar um novo conjunto,
que inclui o conjunto dos números naturais, e que inclua, também, os números negativos. É o que faremos a seguir.
1.1.2 Conjunto Z dos Números Inteiros
Conjunto dos números inteiros:
Z = {. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} .
Observação: A palavra “números”, na ĺıngua alemã, é escrita como “zahlen”. Dáı a origem do śımbolo Z para o
conjunto dos números inteiros.
Em Z, o número −a é chamado de oposto de a. Por exemplo, −7 é oposto de 7, e 9 é oposto de −9. O oposto de
0 é ele mesmo, ou seja, −0 = 0.
Operações
Além das operações usuais de adição e multiplicação que são estendidas de N para Z, temos a operação usual
de subtração definida em Z.
A subtração é uma operação que associa a dois números inteiros a e b (nessa ordem), um terceiro número inteiro,
indicado por a− b, chamado de diferença das parcelas a e b.
Na verdade, a subtração não é uma nova operação, mas sim, um caso particular da adição envolvendo números
opostos, ou seja, a− b = a+ (−b).
As operações de adição, subtração e multiplicação são fechadas em Z, ou seja, se a, b ∈ Z, então a + b ∈ Z,
a − b ∈ Z e ab ∈ Z. Isso já não ocorre com a operação de divisão, pois a
b
pode não ser um número inteiro. Por
exemplo, 1
2
/∈ Z.
Assim como fizemos na subseção anterior, dos números naturais, vamos deixar as propriedades cumpridas pelas
operações de adição, subtração e multiplicação envolvendo números inteiros para a subseção dos números reais que
apresentaremos mais adiante.
Historicamente, o conceito de números pares e ı́mpares surgiu com o desenvolvimento das propriedades dos números
naturais. Portanto, muito antes dos números negativos e do zero. Quando o conjunto dos números inteiros Z foi
devidamente estabelecido, os conceitos de números pares e ı́mpares foram simplesmente estendidos a esse conjunto.
Sendo assim, façamos a extensão: o conjunto Z dos números inteiros também está dividido em dois subconjuntos
importantes: o conjunto P dos números pares e o conjunto I dos números ı́mpares:{
P = {2k : k ∈ Z} = {. . . ,−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6, . . .}
I = {2k+ 1 : k ∈ Z} = {. . . ,−7,−5,−3,−1, 1, 3, 5, 7, . . .}
.
Assim como o conceito de números pares e ı́mpares, o conceito de números primos surgiu restrito aos números
naturais e foi, posteriormente, generalizado ao conjunto dos números inteiros. Assim, também temos, contido em Z,
oconjunto P dos números primos, que são os números inteiros n 6= 0,±1 diviśıveis apenas por ±1 e ±n. Assim,
P = {. . . ,−19,−17,−13,−11,−7,−5,−3,−2, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .} .
Também, de forma análoga aos números naturais, os números inteiros não primos, e diferentes de 0 e ±1, são
chamados de números compostos. Dois números inteiros não nulos são chamados de primos entre si quando os únicos
divisores comuns entre eles são ±1 (equivale dizer que eles não possuem fatores primos em comum).
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Por fim, como comentado acima, a operação de divisão não é fechada em Z. Isso nos leva, novamente, a considerar
um novo conjunto, que inclui o conjunto dos números inteiros, e que inclua, também, os números fracionários. É o
que faremos a seguir.
1.1.3 Conjunto Q dos Números Racionais
Conjunto dos números racionais:
Q =
{
a
b
: a, b ∈ Z e b 6= 0
}
.
Observações:
(i) A palavra racional vem de “razão” (entre dois números) e o śımbolo Q vem da palavra “quociente”;
(ii) Em a
b
, a é chamado de numerador e b de denoninador ;
(iii) Em a
1
temos a
1
= a ∈ Z.
Em Q, o número 1
b
= b−1, com b 6= 0, é chamado de inverso de b. Por exemplo, −1
2
é inverso de −2, e 9 é
inverso de 1
9
. O número 0 não tem inverso.
Operações
Além das operações usuais de adição, subtração e multiplicação que são estendidas de Z para Q, temos a operação
usual de divisão definida em Q.
A divisão é uma operação que associa a dois números inteiros a e b (nessa ordem), com b 6= 0, um terceiro
número, indicado por a
b
, chamado de quociente de a e b.
Na verdade, a divisão também não é uma nova operação, mas sim, um caso particular da multiplicação envolvendo
números inversos, ou seja, a
b
= a.
(
1
b
)
.
As operações de adição, subtração, multiplicação e divisão são fechadas em Q, ou seja, se p, q ∈ Q, então
p+ q ∈ Q, p− q ∈ Q, pq ∈ Q e p
q
∈ Q (sendo q 6= 0).
Mais uma vez, assim como fizemos nas subseções anteriores, dos números naturais e inteiros, vamos deixar as
propriedades cumpridas pelas operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo números racionais
para a subseção dos números reais que apresentaremos adiante.
Existe uma relação de equivalência importante em Q:
a
b
= c
d
⇔ ad = bc .
Assim, por exemplo, q = 1
2
= 3
6
, pois 1.6 = 2.3 .
Observação: o śımbolo ⇔ expressa equivalência. A sentença x ⇔ y pode ser lida como “x é equivalente a y” ou
então como “x se, e somente se, y”.
Desta forma, sempre é posśıvel escrever um número racional não nulo em forma de fração simplificada, ou seja,
de tal modo que o numerador e o denominador sejam primos entre si. Neste caso, dizemos que o número racional
está escrito em sua forma irredut́ıvel . No exemplo acima, q = 1
2
está escrito em sua forma irredut́ıvel, enquanto que
q = 3
6
não está escrito em sua forma irredut́ıvel.
Um número racional é dito possuir representação decimal finita quando for inteiro ou quando o denominador
de sua forma irredut́ıvel possuir fatores primos 2 ou 5 apenas.
Exemplo 1.2 Os números racionais abaixo possuem representação decimal finita:
1
2
= 1.5
2.5
= 5
10
= 0, 5 13
50
= 13.2
10.5.2
= 26
10.10
= 26
100
= 0, 26 17
20
= 17.5
10.2.5
= 85
10.10
= 85
100
= 0, 85
7
8
= 7
2.2.2
= 7.5.5.5
2.5.2.5.2.5
= 875
10.10.10
= 875
1000
= 0, 875 1
25
= 1
5.5
= 1.2.2
2.5.2.5
= 4
10.10
= 4
100
= 0, 04
Observemos que para escrever um número racional, não inteiro, em representação decimal finita é preciso criar um
denominador potência de 10. Portanto, este denominador deve possuir como fatores primos apenas os números 2 e 5.
Um número racional que não possui representação decimal finita é dito possuir representação decimal infinita .
Quando um número racional q possui representação decimal infinita e possui, a partir de certo algarismo decimal,
blocos de k algarismos que se repetem indefinidamente, dizemos que a representação decimal de q é periódica , ou
que forma uma d́ızima periódica . Cada um dos blocos de menor tamanho que se repetem em uma d́ızima periódica
é chamado de peŕıodo e k é chamado de comprimento do peŕıodo.
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Exemplo 1.3 Os números racionais abaixo possuem representação decimal periódica:
1
3
= 0, 3333 . . . 5
6
= 0, 8333 . . . 5
7
= 0, 714285714285714285 . . . 41
333
= 0, 123123123 . . .
Há um resultado matemático bastante interessante envolvendo as representações decimais de um número racional
(que não vamos demonstrar nessas notas de aulas):
Proposição 1.2 Um número q é racional se, e somente se, q for inteiro ou possuir representação decimal finita ou
infinita periódica.
Baseados na proposição acima, podemos concluir que se um número racional q não inteiro, escrito em sua forma
irredut́ıvel, possui denominador com pelo menos um fator primo diferente de 2 e 5, então a representação decimal de
q é infinita periódica.
Exemplo 1.4 (representação decimal de números racionais) Escrevamos os números racionais
(i) 0, 42 (ii) 0, 888 . . . (iii) 0, 62555 . . . (iv) 0, 999 . . .
em forma de fração com numerador e denominador inteiros:
Item (i). Temos
0, 42 = 42
100
⇒ 0, 42 = 21
50
.
Observemos o denominador 50 = 2.5.5 (só fatores 2 e 5). Portanto, a representação decimal é finita.
Item (ii). Temos
x = 0, 888 . . .⇒ 10x = 8, 888 . . .
Logo,
10x− x = 8, 888 . . .− 0, 888 . . .⇒ 9x = 8⇒ x = 8
9
.
Portanto,
0, 888 . . . = 8
9
.
Observemos o denominador 9 = 3.3 (há fatores diferentes de 2 e 5) na fração irredut́ıvel. Portanto, a representação
decimal é infinita periódica.
Item (iii). Temos
x = 0, 62555 . . .⇒ { 100x = 62, 555 . . .
1000x = 625, 555 . . .
.
Logo,
1000x− 100x = 625, 555 . . .− 62, 555 . . .⇒ 900x = 563⇒ x = 563
900
.
Portanto,
0, 62555 . . . = 563
900
.
Observemos o denominador 900 = 2.2.3.3.5.5 (há fatores diferentes de 2 e 5) na fração irredut́ıvel (563 é primo).
Portanto, a representação decimal é infinita periódica.
Item (iv). Temos
x = 0, 999 . . .⇒ 10x = 9, 999 . . .
Logo,
10x− x = 9, 999 . . .− 0, 999 . . .⇒ 9x = 9⇒ x = 1.
Portanto,
0, 999 . . . = 1 .
Observemos que neste caso, temos um número inteiro. Aliás, qualquer número inteiro ou número racional com
representação decimal finita pode ser escrito com representação decimal infinita periódica com repetição de algarismos
9 (tente mostrar isso!).
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A proposição acima deixa margem para interrogarmos a natureza dos números cuja representação decimal não é
finita e não é infinita periódica. Números assim são facilmente constrúıdos. Por exemplo:
0, 123456789101112131415161718192021222324252627282930 . . .
Você conseguiu descobrir a “lei de formação” desse número? Sim, estamos juntando, na parte decimal, todos os
algarismos de todos os números naturais.
Esse número não é racional e precisamos, novamente, considerar um novo conjunto, que inclui o conjunto dos
números racionais, e que inclua, também, os números com representação decimal infinita e não periódica. É o que
faremos a seguir.
1.1.4 Conjunto R dos Números Reais
Podeŕıamos, simplesmente, definir o conjunto dos números reais como sendo a reunião do conjunto dos números
racionais com o conjunto dos números cuja representação decimal é infinita e não periódica (números irracionais). Mas
não faremos isso por dois motivos. Primeiro, porque historicamente não foi assim que os númerosirracionais foram
descobertos(3) e, segundo, porque precisamos introduzir uma preciosidade matemática: a associação dos números reais
com pontos de uma reta.
Voltando aos antigos gregos, eles já sabiam da existência de números que não são racionais. Por exemplo, o
comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem uma unidade de comprimento. Tal
número é indicado atualmente por
√
2 e é uma raiz da equação x2 = 12 + 12 (esta equação é proveniente do Teorema
de Pitágoras), ou seja, x2 = 2.
Ö2
1
1
Mas como saber se
√
2 não pode ser escrito na forma a
b
com a, b ∈ Z e b 6= 0? Necessitamos de uma demonstração
matemática. No quadro a seguir, temos uma delas:
Suponhamos que existam a, b ∈ Z com b 6= 0 de tal modo que a
b
=
√
2.
Sabemos que todo número inteiro maior do que 1 pode ser fatorado em produtos de números primos e tal fatoração
é única a menos de permutação dos fatores (este é o Teorema Fundamental da Aritmética, enunciado acima).
Assim, a = p1p2 . . . pn e b = q1q2 . . . qm com pi, qj números primos. Logo,
a
b
=
√
2⇒ a2
b2
= 2⇒ (p1p2...pn)
2
(q1q2...qm)2
= 2⇒ p1p1p2p2...pnpn
q1q1q2q2...qmqm
= 2⇒ p1p1p2p2 . . . pnpn = 2q1q1q2q2 . . . qmqm.
Ocorre que na última igualdade, a quantidade de fatores iguais a 2 no primeiro membro é par, enquanto que no
segundo membro é ı́mpar. Uma contradição que surgiu do fato de supormos que
√
2 é um número racional. Logo,
conclúımos que
√
2 não é um número racional. �
O leitor perceberá facilmente que o racioćınio desenvolvido no quadro acima para provar que
√
2 não é um número
racional pode ser repetido para qualquer número da forma
√
p com p primo.
Podemos associar os números racionais a pontos de uma reta
Para tanto, basta fixarmos dois pontos O e P distintos na reta e associarmos os números 0 e 1, respectiva-
mente. Com isto, estabelecemos uma unidade de medida geométrica sobre a reta que, por meio de seus múltiplos e
submúltiplos, e, por meio da ordenação natural do conjunto Q, permite a localização dos demais números racionais
sobre essa reta. Os números racionais positivos estão associados a pontos da semirreta com origem em O que passa
por P, enquanto que os números racionais negativos estão associados a pontos da semirreta com origem em O que
não passa por P (semirreta oposta). É costume, quando ilustramos a reta na posição horizontal, colocar o ponto O
à esquerda do ponto P. A figura abaixo esclarece, por meio de exemplos, o procedimento que estamos descrevendo.
3Escrever números em forma decimal (números com “v́ırgula”) é algo relativamente recente em matemática. Data de fins do século XVI
e ińıcio do século XVII.
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0 1 2 3-1-2-3
- ,0 5
O P
2 5,
5
2
unidade
Na descrição acima, quando falamos de múltiplos, submúltiplos e ordenação natural, devemos proceder do seguinte
modo: se q = m
n
∈ Q, com n > 0, então dividimos OP em n partes iguais ( 1
n
é um submúltiplo de 1). Chamemos de A
o ponto à distância 1
n
de O à sua direita (portanto, A está associado a 1
n
). Se m > 0, então q = m. 1
n
está representado
pelo ponto B que é extremo de m segmentos congruentes a OA justapostos à direita de O. Se m < 0, basta construir
os m segmentos congruentes a OA do lado esquerdo de O. A figura abaixo ilustra o exemplo q = 19
7
= 19.1
7
.
0 1 2 3
O P
unidade
A
1
7
19
7
B
Existem pontos da reta acima que não estão associados a números racionais. Tais pontos estão associados aos
chamados números irracionais.
À reunião do conjunto dos números racionais e do conjunto dos números irracionais chamamos de conjunto dos
números reais e indicamos por R.
Aqui cabe fazer uma ressalva importante: conforme já citamos no ińıcio desta seção, existe um processo
matemático rigoroso de construção do conjunto dos números reais e de sua associação com os pontos de uma reta.
Naturalmente, não temos como fazer esse desenvolvimento nestas notas. O que procuramos fazer acima é apenas
passar uma ideia intuitiva do procedimento. Entretanto, caso o leitor deseje um pouco mais de rigor, sugerimos textos
de Geometria Anaĺıtica, nos quais este assunto é visto com mais detalhamentos.
A reta associada ao conjunto dos números reais, conforme descrevemos acima, chamamos de eixo coordenado,
ou então eixo real , ou ainda, de reta real . O ponto do eixo coordenado associado ao número zero é chamado de
origem .
Todo número irracional pode ser aproximado por números racionais e, conforme já comentado, possui uma repre-
sentação decimal infinita não periódica. Por exemplo,
√
2 = 1, 41421356 . . .
√
3 = 1, 73205080 . . .
√
5 = 2, 23606797 . . . π = 3, 14159265 . . . e = 2, 71828182 . . .
Embora estejamos acostumados a trabalhar com números irracionais por meio de aproximações, muitos desses
números podem ser localizados de forma precisa na reta real. Por exemplo, os números −
√
2 e
√
2 podem ser vistos
como a intersecção da reta real com um ćırculo com centro na origem (ponto que representa o zero) e raio igual ao
comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo isósceles de catetos unitários que constrúımos acima:
0 1
Ö2
1
Ö2
-Ö2
Há ainda um resultado bastante interessante sobre os números reais, que é chamado de a “Propriedade da Densidade
dos Números Reais” (que não demonstraremos aqui):
Proposição 1.3 Propriedade da Densidade dos Números Reais. Entre dois números reais distintos quaisquer, sempre
existe um número racional e sempre existe um número irracional.
Finalmente, vamos às propriedades das operações de adição e multiplicação relativas aos números reais.
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Proposição 1.4 Propriedades Básicas.
Com relação a adição usual em R:
• Propriedade associativa: (a+ b) + c = a+ (b+ c), ∀a, b, c ∈ R;
• Propriedade comutativa: a+ b = b+ a, ∀a, b ∈ R;
• Elemento neutro aditivo: Existe um único número 0 ∈ R tal que a+ 0 = a, ∀a ∈ R;
• Elemento oposto: Para cada a ∈ R, existe um único −a ∈ R tal que a+ (−a) = 0.
Com relação a multiplicação usual em R:
• Propriedade associativa: (ab) c = a (bc), ∀a, b, c ∈ R;
• Propriedade comutativa: ab = ba, ∀a, b ∈ R;
• Elemento neutro multiplicativo: Existe um único número 1 ∈ R tal que a.1 = a, ∀a ∈ R;
• Elemento inverso: Para cada a ∈ R, a 6= 0, existe um único a−1 ∈ R tal que a
(
a−1
)
= 1.
Em matemática, o conjunto R dos números reais, munido das operações de adição e multiplicação usuais que,
portanto, cumprem as oito propriedades acima, é chamado de corpo.
Conforme já comentamos nas subseções anteriores, a subtração e a divisão são casos particulares de adição e
multiplicação devido à existência de elementos opostos e inversos, respectivamente. De fato, a subtração é definida
como a− b = a+ (−b) e a multiplicação é definida como a
b
= ab−1, sendo b 6= 0.
As dez propriedades abaixo são decorrentes das propriedades básicas.
Proposição 1.5 Propriedades.
Com relação a adição e a multiplicação usuais em R:
• Propriedade distributiva: Se a, b, c ∈ R, então a (b+ c) = ab+ ac e (b+ c)a = ba+ ca.
• Regra da “balança” aditiva: Se a, b ∈ R são tais que a = b, então a+ c = b+ c para qualquer c ∈ R.
• Regra da “balança” multiplicativa: Se a, b ∈ R são tais que a = b, então ac = bc para qualquer c ∈ R.
• Lei do cancelamento aditiva: Se a, b, c ∈ R são tais que a+ c = b+ c, então a = b.
• Lei do cancelamento multiplicativa: Se a, b, c ∈ R são tais que ac = bc e c 6= 0, então a = b.
• Lei de anulamento 1: Se a ∈ R, então a0 = 0a = 0.
• Lei de anulamento 2: Se a, b ∈ R são tais que ab = 0, então a = 0 ou b = 0.
• Regra de sinais multiplicativa1: Se a ∈ R, então −(−a) = a.
• Regra de sinais multiplicativa 2: Se a, b ∈ R, então −ab = a (−b) = − (ab).
• Regra de sinais multiplicativa 3: Se a, b ∈ R, então (−a) (−b) = ab.
Potenciação e Radiciação
As operações de adição, subtração, multiplicação e divisão são bastante conhecidas de qualquer estudante de Ensino
Básico. Já as operações de potenciação e a radiciação, nem tanto. Por esse motivo, vamos dedicar um pouco mais de
detalhes a essas operações.
Já comentamos nas subseções anteriores que a subtração e a divisão podem ser vistas como casos particulares da
adição e da multiplicação. Entretanto, além disso, a subtração e a divisão são operações, de certo modo, “inversas”
da adição e multiplicação, respectivamente. Parece confuso, mas vejamos essa ideia com um pouco mais de detalhes:
(i) Tomando a+ b = c⇔ c− b = a, podemos pensar do seguinte modo:
• Partindo de a chegamos a c adicionando b a a. Esquema: a
+b7−→ c.
• Partindo de c chegamos a a subtraindo b de c. Esquema: c
−b7−→ a.
Com isso, a subtração desfaz o que a adição fez.
(ii) Tomando a.b = c⇔ c
b
= a, (b 6= 0), podemos também pensar do seguinte modo:
• Partindo de a chegamos a c multiplicando a por b. Esquema: a
×b7−→ c.
• Partindo de c chegamos a a dividindo c por b. Esquema: c
÷b7−→ a.
Com isso, a divisão desfaz o que a multiplicação fez.
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A potenciação (ou exponenciação) e a radiciação são, também operações envolvendo números reais com o mesmo
caráter dos pares adição-subtração ou multiplicação-divisão, ou seja, a radiciação é, de certo modo, “inversa” da
potenciação. Vamos formalizar melhor.
Sejam a ∈ R e p ∈ Q. Definiremos, nos cinco quadros numerados de (1) a (5) a seguir, um número que
indicaremos por ap, que é chamado de potência de base a e expoente p (às vezes, p também é chamado, sozinho,
de potência). É costume ler ap como “a elevado a p”.
A operação que associa aos números a ∈ R e p ∈ Q o número ap é chamada de potenciação (ou exponen-
ciação) de base real e expoente racional.
O número ap nem sempre será um número real para quaisquer a e p e, dependendo de a e de p, a potência ap
pode nem existir.
Vamos às definições:
(1) Potência ap com base a real e expoente p natural. Definimos:
a1 = a
ap = a.a . . . a︸ ︷︷ ︸
p fatores
, se p > 1
Neste caso, quando p = 2 chamamos a2 de “a elevado ao quadrado” (ou “a ao quadrado”, para simplificar)
e, quando p = 3, chamamos a3 de “a elevado ao cubo” (analogamente, “a ao cubo”).
Exemplo 1.5 Temos 23 = 2.2.2 = 8; 01 = 0; 02 = 0.0 = 0 e
(
−1
2
)4
=
(
−1
2
) (
−1
2
) (
−1
2
) (
−1
2
)
= 1
16
.
(2) Potência ap com base a 6= 0 real e expoente p 6 0 inteiro não positivo (isto é, negativo ou zero). Definimos:{
a0 = 1, se a 6= 0
ap = 1
a−p , se a 6= 0 e p < 0
. .
Exemplo 1.6 Temos 10 = 1; 50 = 1; 3−3 = 1
33
= 1
27
; (−4)
−2
= 1
(−4)2
= 1
(−4)(−4) = 1
16
e
(
−1
3
)−3
= 1
(− 13 )
3 =
1
(− 13 )(−
1
3 )(−
1
3 )
= 1
− 1
27
= −27.
Observações:
(i) 00 não é número. Expressões desse tipo serão chamadas de indeterminações e faremos um estudo sobre elas mais
adiante, quando aprendermos limites.
(ii) 0p, com p inteiro negativo não está definido (divisão de um por zero!?). Portanto, também não é número.
Para continuarmos, precisamos de dois resultados matemáticos que não demonstraremos nessas notas de aulas:
Proposição 1.6 (i) Se a > 0 é número real não negativo e n é número natural par, então existe, e é único, o número
real não negativo α > 0 tal que αn = a.
(ii) Se a é número real e n é número natural ı́mpar, então existe, e é único, o número real α tal que αn = a.
Exemplo 1.7 Se a = 16 > 0 e n = 2 par, então α = 4 > 0 é o único número real não negativo tal que 42 = 16.
Observe que α = −4 também satisfaz (−4)
2
= 16, mas α = −4 é negativo.
Se a = 8 e n = 3 ı́mpar, então α = 2 é o único real tal que 23 = 8.
Se a = −8 e n = 3 ı́mpar, então α = −2 é o único real tal que (−2)
3
= −8.
(3) Potência ap com base a > 0 real não negativa e expoente p = 1
n
com n natural par. Definimos:
ap = a
1
n = α, sendo a > 0 e α > 0 o único número real não negativo tal que αn = a .
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Neste caso, o número α é escrito como α = n
√
a, ou seja, a
1
n = n
√
a, e dizemos que α é raiz n-ésima de a
(ou que α é raiz de ı́ndice n de a). Ainda: em n
√
a, a é o radicando, n é o ı́ndice e o śımbolo
√
é o radical.
Quando n = 2 é comum omitir o ı́ndice e
√
a é chamado de raiz quadrada de a.
Exemplo 1.8 Temos 9
1
2 =
√
9 = 3; (3 é único número real não negativo tal que 32 = 9).
Temos 0
1
6 = 6
√
0 = 0; (0 é único número real não negativo tal que 06 = 0).
Temos 16
1
4 = 4
√
16 = 2; (2 é único número real não negativo tal que 24 = 16).
Temos (0, 0625)
1
4 = 4
√
0, 0625 = 0, 5; (0, 5 é único número real não negativo tal que (0, 5)
4
= 0, 0625).
Observação: Quando a < 0, o número α = a
1
n = n
√
a, n par, está definido, mas não é número real (é um número
complexo).
(4) Potência ap com base a real e expoente p = 1
n
com n > 1 natural ı́mpar. Definimos:
ap = a
1
n = α, sendo α o único número real tal que αn = a .
Neste caso, a mesma nomenclatura e simbolismo que demos no Item (3) acima continua valendo. Quando n = 3,
é costume chamar 3
√
a de raiz cúbica de a.
Exemplo 1.9 Temos 64
1
3 = 3
√
64 = 4; (4 é único número real tal que 43 = 64).
Temos (−8)
1
3 = 3
√
−8 = −2; (−2 é único número real tal que (−2)
3
= −8).
Temos (−0, 00001)
1
5 = 5
√
−0, 00001 = −0, 1; (−0, 1 é único número real tal que (−0, 1)
5
= −0, 00001).
(5) Potência ap com base a e expoente racional não inteiro p = m
n
escrito na forma irredut́ıvel, com m inteiro e
n > 1 natural. Definimos:
ap = a
m
n =
Ä
a
1
n
äm
, para os casos em que a
1
n e xm estão definidos e são números reais .
Neste caso, ap é escrito como a
m
n =
(
n
√
a
)m
.
Observação: considerar p = m
n
na forma irredut́ıvel é importante quando se está trabalhando apenas com números
reais. Vejamos o tipo de problema que pode ocorrer:
Tomemos p = 3
5
= 6
10
. De acordo com a definição (5) acima: (−1)
3
5 =
(
(−1)
1
5
)3
=
(
5
√
−1
)3
= (−1)
3
= −1.
Entretanto, se utilizarmos a mesma definição (5) acima, ignorando que 6
10
não está na forma irredut́ıvel, teremos
(−1)
6
10 =
(
(−1)
1
10
)6
=
(
10
√
−1
)6
. Mas 10
√
−1 não é número real (trata-se de um número complexo - veja na próxima
subseção).
Por outro lado, quando tomamos base a > 0, não faz diferença tomarmos p na forma irredut́ıvel ou não. Sempre
teremos ap como um mesmo número real.
Exemplo 1.10 Temos 4
3
2 =
Ä
4
1
2
ä3
=
Ä√
4
ä3
= 23 = 8; (−27)
2
3 =
(
(−27)
1
3
)2
=
(
3
√
−27
)2
= (−3)
2
= 9 e (−8)
5
2 =(
(−8)
1
2
)5
=
(√
−8
)5
(ops!) não é número real...
De acordo com as definições dadas acima, a radiciação (operação com radicais) nada mais é do que uma poten-
ciação com expoente racional não inteiro (assim como a divisão por b é o mesmo que a multiplicação por 1
b
). Sendo
assim, podemos dizer que nas definições (3), (4) e (5) acima, temos radiciação.
Agora, voltemos para a discussão de que a radiciação é a operação “inversa” da potenciação, com a qual iniciamos
esse assunto. Vejamos:
(iii) Tomando an = c⇔ n
√
c = a, (n ∈ N), podemos pensar do seguinte modo:
• Partindo de a chegamos a c elevando a a n. Esquema: a
^n7−→ c.
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• Partindo de c chegamos a a extraindo araiz de ı́ndice n de c. Esquema: c
^ 1
n7−→ a.
Com isso, a radiciação desfaz o que a potenciação fez.
Uma curiosidade deve chegar ao leitor neste ponto: note que definimos potência até o expoente racional apenas.
É natural perguntar se existe potência com expoente irracional como, por exemplo, 2π. Como proceder nesse caso?
Infelizmente ainda não temos, nesta parte das notas de aulas, ferramentas matemáticas para definir esse tipo de
potência. Entretanto, para seu cálculo numérico, podemos proceder por aproximações (do expoente por números
racionais). No exemplo que demos: 2π ∼= 23,14159 = 2
314159
100000 =
100000
√
2314159 ∼= 8, 824961595.
Proposição 1.7 Propriedades da potenciação.
(1) Para m,n ∈ N:
• am+n = aman, ∀a ∈ R;
• am−n = am
an
, ∀a ∈ R, a 6= 0;
• (am)
n
= amn, ∀a ∈ R;
• (ab)n = anbn, ∀a, b ∈ R;
•
(
a
b
)n
= an
bn
, ∀a, b ∈ R e b 6= 0.
(2) Para m,n ∈ N, sendo n par:
• (ab)
1
n = a
1
nb
1
n , (ou n
√
ab = n
√
a
n
√
b), ∀a, b > 0.
•
(
a
b
) 1
n = a
1
n
b
1
n
, (ou n
√
a
b
=
n
√
a
n√
b
), ∀a > 0 e ∀b > 0;
• amn = (am)
1
n , (ou
(
n
√
a
)m
= n
√
am), ∀a > 0 (lembre-se que, por definição, a
m
n =
Ä
a
1
n
äm
=
(
n
√
a
)m
);
•
Ä
a
1
m
ä 1
n
= a
1
mn , (ou n
√
m
√
a = mn
√
a), ∀a > 0.
(3) Para m,n ∈ N, sendo n ı́mpar:
• (ab)
1
n = a
1
nb
1
n , (ou n
√
ab = n
√
a
n
√
b), ∀a, b ∈ R;
•
(
a
b
) 1
n = a
1
n
b
1
n
, (ou n
√
a
b
=
n
√
a
n√
b
), ∀a, b ∈ R e b 6= 0;
• amn = (am)
1
n , (ou
(
n
√
a
)m
= n
√
am), ∀a ∈ R (lembre-se que, por definição, a
m
n =
Ä
a
1
n
äm
=
(
n
√
a
)m
e que m
n
deve
estar na forma irredut́ıvel);
•
Ä
a
1
m
ä 1
n
= a
1
mn , (ou n
√
m
√
a = mn
√
a), ∀a > 0 se m for par e, ∀a ∈ R se m for ı́mpar.
Observação: Nas propriedades acima, no penúltimo item, enfatizamos que a igualdade
(
n
√
a
)m
= n
√
am, no caso
a < 0, não pode ser usada quando m
n
não estiver na forma irredut́ıvel. Se ignorarmos isso, além do problema
com números complexos que chamamos atenção na observação logo abaixo da definição (5), podemos encontrar
contradições. Por exemplo: temos m
n
= 1
3
= 2
6
e
(
3
√
−1
)1
=
3
»
(−1)
1
= 3
√
−1 = −1 (permitido)(
6
√
−1
)2
=
6
»
(−1)
2
= 6
√
1 = 1 (não permitido)
.
Exemplo 1.11 Na grande maioria dos exemplos abaixo, procuramos ilustrar as propriedades de potenciação cons-
truindo cadeias de igualdades, partindo de números inteiros ou racionais e chegando nesses mesmos números. É
exatamente nas igualdades assinaladas com ∗ que estamos usando as propriedades:
Item (1) da Proposição 1.7:
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•
 128 = 27 = 23+4
∗
= 2324 = 8.16 = 128
−128 = (−2)
7
= (−2)
3+4 ∗
= (−2)
3
(−2)
4
= (−8) .16 = −128
•

1
2
= 2−1 = 23−4
∗
= 23
24
= 8
16
= 1
2
−1
2
= (−2)
−1
= (−2)
3−4 ∗
= (−2)3
(−2)4
= −8
16
= −1
2
•
 64 = 82 =
(
23
)2 ∗
= 23.2 = 26 = 64
64 = (−8)
2
=
Ä
(−2)
3
ä2 ∗
= (−2)
3.2
= (−2)
6
= 64
•
 216 = 63 = (2.3)
3 ∗
= 2333 = 8.27 = 216
−216 = (−6)
3
= (−2.3)
3 ∗
= (−2)
3
33 = (−8) .27 = −216
•

8
27
=
(
2
3
)3 ∗
= 23
33
= 8
27
− 8
27
=
Ä
2
−3
ä3 ∗
= 23
(−3)3
= − 8
27
Item (2) da Proposição 1.7:
•
 6 =
√
36 =
√
4.9
∗
=
√
4
√
9 = 2.3 = 6
4
√
2.5
∗
= 4
√
2
4
√
5
•

2
3
=
»
4
9
∗
=
√
4√
9
= 2
3
4
»
2
5
∗
=
4√
2
4√
5
•

8 = 23 =
Ä√
2
√
2
ä3
=
Ä√
2
ä6 ∗
=
√
26 =
√
64 = 8Ä
4
√
3
ä3 ∗
=
4
√
33 = 4
√
27
•
 2 =
√
4 =
√
3
√
64
∗
= 6
√
64 = 2
4
√√
2
∗
= 8
√
2
Item (3) da Proposição 1.7:
•
 6 =
3
√
63 = 3
√
216 = 3
√
8.27
∗
= 3
√
8.
3
√
27 = 2.3 = 6
−6 =
3
»
(−6)
3
= 3
√
−216 = 3
√
(−8) .27
∗
= 3
√
(−8). 3
√
27 = (−2) .3 = −6
•

2
3
=
3
√(
2
3
)3
= 3
»
8
27
∗
=
3√
8
3√
27
= 2
3
−2
3
= −2
3
=
3
√(
−2
3
)3
= 3
»
−8
27
∗
=
3
√
−8
3√
27
= −2
3
= −2
3
•
 4 = 22 =
Ä
3
√
8
ä2 ∗
=
3
√
82 = 3
√
64 = 4
4 = (−2)
2
=
(
3
√
−8
)2 ∗
=
3
»
(−8)
2
= 3
√
64 = 4
•
 2 = 3
√
8 =
3
√√
64
∗
= 6
√
64 = 2
−2 = 3
√
−8 =
3
√
3
√
−512
∗
= 9
√
−512 = −2
Cuidado: o śımbolo
√
a designa um só número e, de acordo com a definição que demos acima, trata-se do único
número α não negativo tal que α2 = a. Portanto,
√
4 = 2, e NÃO
√
4 = ±2. Muitos alunos confundem isso por
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Cálculo Diferencial e Integral 1 UFU Página 23 de 239 páginas
causa da equação x2 = 4, que possui, por solução, x = ±2. Neste caso, geralmente escrevemos x = ±
√
4.
1.1.5 Conjunto C dos Números Complexos.
Por fim, ainda temos o conjunto dos números complexos, que será apenas citado nessas notas de aula, já que
fazer um estudo mais detalhado de suas propriedades está além de nossos objetivos em um primeiro curso de Cálculo
Diferencial e Integral.
Conjunto dos números complexos:
C =
{
a+ bi : a, b ∈ R e i =
√
−1
}
.
Observação: i =
√
−1 é chamado de “unidade imaginária” do conjunto dos números complexos, e é definida como
sendo o número tal que i2 = −1.
É importante enfatizar que as propriedades envolvendo radiciação dos números reais não são todas válidas quando
as generalizamos para os números complexos. Um exemplo clássico é a propriedade n
√
ab = n
√
a
n
√
b para n par, que é
válida para os números reais quando a, b > 0. Se considerarmos a, b < 0, então n
√
ab 6= n
√
a
n
√
b, mesmo trabalhando
com números complexos. Por exemplo,
√
(−1) (−1) 6=
√
−1
√
−1. De fato,
√
(−1) (−1) =
√
1 = 1, enquanto que√
−1
√
−1 = i.i = i2 = −1.
Aliás, essa “não propriedade” dos números complexos é utilizada em um famoso “paradoxo” para confundir os
desatentos:
−1 = i2 = i.i =
√
−1
√
−1 =↑
»
(−1) (−1) =
√
1 = 1.
Em resumo, juntando os conjuntos numéricos vistos nesta seção, temos a seguinte cadeia de inclusões.
N Z Q R C
É interessante recordar as operações usuais que são fechadas(4) nos diversos conjuntos numéricos:
Em N temos a adição e a multiplicação;
Em Z temos a adição, a multiplicação e a subtração;
Em Q temos a adição, a multiplicação, a subtração e a divisão;
Em R temos a adição, a multiplicação, a subtração, a divisão e a potenciação com bases positivas;
Em C temos a adição, a multiplicação, a subtração, a divisão e a potenciação.
Neste curso trabalharemos apenas com o conjunto dos números reais, admitindo suas operações usuais, bem
como suas propriedades.
1.2 Identidades e Equações
É importante que distinguamos identidade de equação, embora ambas sejam igualdades.
Identidades
Uma identidade é uma igualdade entre duas expressões envolvendo uma ou mais variáveis que podem assumir
quaisquer valores (nos quais as expressões estão definidas).
Cada lado da igualdade na identidade é chamado de membro da identidade.
4Recordando que, quando operamos com quaisquer dois números de um certo conjunto numérico e o resultado permanece no mesmo
conjunto numérico, dizemos que a operação é fechada.
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Exemplo 1.12 São exemplos de identidades:
(x+ 3)
2
= x2 + 6x+ 9, para qualquer x real.
1
x−3 +
1
x−3 = 2
x−3 , para qualquer x 6= 3 real.
x (y+ x) = xy+ x2, para quaisquer x e y reais.
4x5y6 − 6x5y6 = −2x5y6, para quaisquer x e y reais.
sen2 (x) + cos2 (x) = 1, para qualquer x real. (Relação Fundamental da Trigonometria)
Conforme o leitor pode perceber, algumas identidades são propriedades bastante simples de manipulação algébrica,
outras porém, são muito importantes e merecem destaque, principalmente aquelas que envolvem fatoração, ou seja,
aquelas tais que um membro da identidade é um produto. Elas serão bastante úteis quando calcularmos limites, no
próximo caṕıtulo dessas notas de aulas. Vejamosabaixo alguns exemplos.
Exemplo 1.13 Para quaisquer x, y, a, b reais temos as seguintes identidades:{
(x+ y)
2
= x2 + 2xy+ y2
(x− y)
2
= x2 − 2xy+ y2
;
{
(x+ y)
3
= x3 + 3x2y+ 3xy2 + y3
(x− y)
3
= x3 − 3x2y+ 3xy2 − y3{
x2 + (a+ b) x+ ab = (x+ a) (x+ b)
x2 − y2 = (x+ y) (x− y)
;
{
x3 − y3 = (x− y)
(
x2 + xy+ y2
)
x3 + y3 = (x+ y)
(
x2 − xy+ y2
)
Equações
Uma equação é uma igualdade entre duas expressões envolvendo um ou mais valores desconhecidos, chamados de
incógnitas.
Cada lado da igualdade na equação é chamado de membro da equação.
Resolver uma equação significa determinar todos os valores (soluções) para as incógnitas de modo que a igualdade
fique verdadeira, e é aqui que reside a diferença fundamental entre equação e identidade: na equação, ao contrário da
identidade, nem todo valor que pode ser atribuido à incógnita torna a igualdade verdadeira.
Duas equações são equivalentes quando possuem as mesmas soluções. Por exemplo:
2x+ 3 = 1 ⇔
equivalente
4x+ 6 = 2 ⇔
equivalente
x = −1
Proposição 1.8 Propriedades básicas das equações. (i) Ao adicionarmos um mesmo número real aos dois membros
de uma equação, obtemos uma equação equivalente à equação original.
(ii) Ao multiplicarmos os dois membros de uma equação por um mesmo número real não nulo, obtemos uma equação
equivalente à equação original.
1.2.1 Equações do 1o. grau com uma incógnita
Equações do 1o. grau com uma incógnita são equações equivalentes à igualdade:
ax+ b = 0 ,
sendo a 6= 0 e b números reais (ou complexos), chamados de coeficientes da equação, e x a incógnita.
A expressão ax + b é chamada de binômio do 1o. grau, ou polinômio do 1o. grau, e cada parcela do
binômio é chamada de termo.
Para resolver uma equação do 1o. grau usamos as propriedades básicas das equações da Proposição 1.8. De fato:
ax+ b = 0⇔ ax+ b− b = 0− b⇔ ax = −b⇔ ax
a
= −b
a
⇔ x = −b
a
,
que é a solução da equação, pois a 6= 0.
Observamos, ainda, que uma equação do 1o. grau sempre possui uma única solução.
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Cálculo Diferencial e Integral 1 UFU Página 25 de 239 páginas
Exemplo 1.14 A equação 2x+ 3 = −5 é equivalente a uma equação do 1o. grau. De fato, usando as propriedades:
2x+ 3 = −5⇔ 2x+ 3+ 5 = −5+ 5⇔ 2x+ 8 = 0.
Para resolvê-la:
2x+ 8 = 0⇔ 2x+ 8− 8 = 0− 8⇔ 2x = −8⇔ 2x
2
= −8
2
⇔ x = −4 .
É claro que não precisamos fazer uma cadeia de equivalências, como a do exemplo acima, para resolver uma simples
equação de 1o. grau. Mas é interessante saber que manipulações algébricas em equações (não só de 1o. grau) tem
objetivo encontrar equações equivalentes que sejam mais fáceis de serem resolvidas.
1.2.2 Equações do 2o. grau com uma incógnita
Equações do 2o. grau com uma incógnita são equações equivalentes à igualdade:
ax2 + bx+ c = 0 ,
sendo a 6= 0, b e c números reais (ou complexos), chamados de coeficientes da equação, e x a incógnita.
A expressão ax2 + bx + c é chamada de trinômio do 2o. grau, ou polinômio do 2o. grau, e cada parcela
do trinômio é chamada de termo.
Exemplo 1.15 As equações 2x2 − 3x+ 1 = 0; x2 − 5 = 0; −1
2
x2 + 6x = 0 e 7x2 = 0 são exemplos de equações do 2o.
grau.
Para resolvermos uma equação do 2o. grau utilizamos a técnica do completamento de quadrados. Para tanto,
recordemos as seguintes identidades, válidas para quaisquer x e y reais:
(x+ y)
2
= x2 + 2xy+ y2
(x− y)
2
= x2 − 2xy+ y2
x2 − y2 = (x+ y) (x− y)
Vamos a alguns exemplos de completamento de quadrados em polinômios do 2o. grau:
x2 + 2x− 3 = x2 + 2.x.1+ 12 − 12 − 3 = (x+ 1)
2
− 1− 3 = (x+ 1)
2
− 4
x2 − 6x+ 2 = x2 − 2.x.3+ 32 − 32 + 2 = (x− 3)
2
− 9+ 2 = (x− 3)
2
− 7
x2 + x+ 1 = x2 + 2.x.1
2
+
(
1
2
)2
−
(
1
2
)2
+ 1 =
(
x+ 1
2
)2
− 1
4
+ 1 =
(
x+ 1
2
)2
+ 3
4
Vamos aplicar o completamento de quadrados de forma genérica. Seja o polinômio do 2o. grau:
ax2 + bx+ c,
sendo a 6= 0, b e c números reais. Temos:
ax2 + bx+ c = a
(
x2 + b
a
x+ c
a
)
= a
(
x2 + 2.x. b
2a
+
(
b
2a
)2
−
(
b
2a
)2
+ c
a
)
= a
((
x+ b
2a
)2
− b2
4a2
+ c
a
)
= a
((
x+ b
2a
)2
− b2−4ac
4a2
)
.
Chamemos
∆ = b2 − 4ac
de discriminante do polinômio do 2o. grau ax2 + bx+ c. Portanto:
ax2 + bx+ c = a
((
x+ b
2a
)2
− ∆
4a2
)
. (∗)
Logo, na equação do 2o. grau ax2 + bx+ c = 0 podemos escrever
ax2 + bx+ c = 0⇔ a
((
x+ b
2a
)2
− ∆
4a2
)
= 0⇔ (
x+ b
2a
)2
− ∆
4a2
= 0
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e temos 3 casos a serem considerados:
1o. Caso: ∆ > 0. Temos duas soluções reais para a equação ax2 + bx+ c = 0:
ax2 + bx+ c = 0⇔ (
x+ b
2a
)2
− ∆
4a2
= 0⇔ (
x+ b
2a
)2
−
Ä√
∆
2a
ä2
= 0⇔Ä
x+ b
2a
−
√
∆
2a
ä Ä
x+ b
2a
+
√
∆
2a
ä
= 0⇔ Äx+ b−
√
∆
2a
ä Ä
x+ b+
√
∆
2a
ä
= 0⇔
x+ b−
√
∆
2a
= 0
ou
x+ b+
√
∆
2a
= 0
⇔

x = −b−
√
∆
2a
ou
x = −b+
√
∆
2a
⇔

x = −b+
√
∆
2a
ou
x = −b−
√
∆
2a
⇔ x = −b±
√
∆
2a
.
2o. Caso: ∆ = 0. Temos uma solução real para a equação ax2 + bx+ c = 0:
ax2 + bx+ c = 0⇔ (
x+ b
2a
)2
= 0⇔ x+ b
2a
= 0⇔ x = −b
2a
.
3o. Caso: ∆ < 0. Não temos soluções reais para a equação ax2 + bx+ c = 0 pois, neste caso:(
x+ b
2a
)2
− ∆
4a2
> 0
para qualquer x ∈ R.
Observação: quando ∆ < 0, podemos proceder com o desenvolvimento do 1o. Caso utilizando número complexos.
Com isso, podemos utilizar a solução
x = −b±
√
∆
2a
para qualquer um dos três casos acima.
Exemplo 1.16 Resolvamos a equação do 2o. grau x2 + x− 6 = 0 aplicando a fórmula deduzida acima.
Temos a = b = 1 e c = −6. Logo, ∆ = 12 − 4.1. (−6) = 25. Assim,
x = −1±
√
25
2.1
= −1±5
2
⇒ { x1 = −3
x2 = 2
são as soluções da equação.
Relação entre coeficientes e ráızes em uma equação do 2o. grau
Do que vimos acima, em uma equação do 2o. grau ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0, temos o discriminante ∆ = b2 − 4ac e
as ráızes x1 =
−b+
√
∆
2a
e x2 =
−b−
√
∆
2a
.
Observemos que: 
x1 + x2 =
−b+
√
∆
2a
+ −b−
√
∆
2a
⇒ x1 + x2 = −b
a
x1.x2 =
−b+
√
∆
2a
.−b−
√
∆
2a
= b2−∆
4a2
= 4ac
4a2
⇒ x1.x2 =
c
a
que são as chamadas Relações de Girard da equação do 2o. grau.
Dividindo ax2 + bx+ c = 0 por a temos:
ax2 + bx+ c = 0⇔ x2 + b
a
x+ c
a
= 0⇔ x2 − (x1 + x2) x+ x1x2 = 0 .
Essa última equação pode ser útil para determinar as ráızes de uma equação do 2o. grau sem aplicar a fórmula que
deduzimos acima. Por exemplo, x2 − 5x+ 6 = 0 tem ráızes x1 = 2 e x2 = 3, pois 5 = 2+ 3 e 6 = 2.3. Entretanto, essa
forma de equação é mais útil quando queremos encontrar uma equação do 2o. grau com determinadas ráızes. Veja o
exemplo abaixo.
Exemplo 1.17 Encontremos uma equação do 2o. grau que tenha x1 = 7 e x2 = −1
2
como ráızes.
Temos x1 + x2 = 7−
1
2
= 13
2
e x1x2 = 7
(
−1
2
)
= −7
2
. Logo:
x2 − (x1 + x2) x+ x1x2 = 0⇔ x2 −
(
13
2
)
x+
(
−7
2
)
= 0⇔ 2x2 − 13x− 7 = 0
é uma equação do 2o. grau com x1 = 7 e x2 = −1
2
como ráızes.
Outra utilidade da equação do 2o. grau na forma acima é dada pelo seguinte exemplo.
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Cálculo Diferencial e Integral 1 UFU Página 27 de 239 páginas
Exemplo 1.18 Determinemos dois números cuja soma seja −15 e o produto seja 26.
Temos x1 + x2 = −15 e x1x2 = 26. Logo, x1 e x2 são ráızes da equação do 2o. grau
x2 − (x1 + x2) x+ x1x2 = 0⇔ x2 − (−15) x+ 26 = 0⇔ x2 + 15x+ 26 = 0.
Assim, ∆ = b2 − 4ac = 152 − 4.1.26 = 225− 104 = 121. Logo,
x = −b±
√
∆
2a
= −15±
√
121
2.1
= −15±11
2
⇒ {
x1 = −2
x2 = −13
.
Fatoração do trinômio de 2o. grau ax2 + bx+ c
Fatorar uma expressão algébrica é muito útil em diversas situações, conforme veremos em caṕıtulos posteriores.
Vamos aproveitar o completamento de quadrados que fizemos em (∗)e fatorar o trinômio do 2o. grau (polinômio
de 2o. grau) ax2 + bx+ c na situação em que ∆ = b2 − 4ac > 0:
ax2 + bx+ c = a
((
x+ b
2a
)2
− ∆
4a2
)
= a
Å(
x+ b
2a
)2
−
Ä√
∆
2a
ä2ã
= a
Ä
x+ b
2a
+
√
∆
2a
ä Ä
x+ b
2a
−
√
∆
2a
ä
= a
Ä
x+ b+
√
∆
2a
ä Ä
x+ b−
√
∆
2a
ä
= a
Ä
x− −b−
√
∆
2a
ä Ä
x− −b+
√
∆
2a
ä
= a (x− x1) (x− x2) ,
ou seja,
ax2 + bx+ c = a (x− x1) (x− x2) (∗∗)
sendo x1 e x2 as ráızes reais de ax2 + bx+ c = 0 (quando ∆ = 0 temos x1 = x2).
Observação: mesmo na situação em que ∆ < 0 podemos fatorar ax2+bx+c, e a fatoração é a mesma que encontramos
acima. O problema é que, neste caso, cada fator estará no conjunto dos números complexos não reais.
Exemplo 1.19 Fatoremos x2 + x− 6.
As ráızes de x2 + x− 6 = 0 são x = −b±
√
∆
2a
=
−1±
√
12−4.1.(−6)
2.1
= −1±5
2
, ou seja, x1 = −3 e x2 = 2.
Logo,
ax2 + bx+ c = a (x− x1) (x− x2)⇔ x2 + x− 6 = 1 (x− (−3)) (x− 2)⇔ x2 + x− 6 = (x+ 3) (x− 2) .
1.3 Ordenação e Intervalos de Números Reais
Ordenação
No conjunto dos números reais, e seus subconjuntos, somos bastante familiarizados com a chamada ordenação
usual. Dados dois números reais conseguimos, em geral, distinguir facilmente qual é maior, qual é menor, ou se
são iguais, segundo a ordenação usual, principalmente se os números estão expressos com algumas casas decimais.
Inclusive, já a utilizamos algumas vezes nas seções anteriores.
Recordemos os significados dos śımbolos de desigualdades utilizados nas relações de ordem:
a < b : a é menor do que b
a > b : a é maior do que b
a 6 b : a é menor do que, ou igual a, b
a > b : a é maior do que, ou igual a, b
Observemos também que escrever x < y é equivalente a escrever y > x (e o mesmo com x 6 y e y > x).
Do ponto de vista do rigor matemático, a relação de ordem usual é posśıvel de ser estabelecida graças à distinção
adotada para números reais positivos e números reais negativos. Dizer, por exemplo, que a < b significa dizer que
existe c > 0 positivo tal que b = a+ c. Por exemplo, −2 < 5, pois existe 7 > 0 positivo tal que 5 = −2+ 7.
Não vamos nos aprofundar na formalização da relação de ordem dos números reais, mas gostaŕıamos de apresentar
propriedades que serão bastante úteis quando tratarmos de inequações mais adiante.
Proposição 1.9 Propriedades das desigualdades. Os números a, b e c são reais nas equivalências abaixo:
(i) a < b se, e somente se, a+ c < b+ c para qualquer c real.
Em śımbolos:
a < b⇔ a+ c < b+ c .
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(ii) a < b se, e somente se, ac < bc para qualquer c > 0 positivo.
(Observe que a desigualdade não muda de sentido)
(iii) a < b se, e somente se, ac > bc para qualquer c < 0 negativo.
(Observe que a desigualdade muda de sentido)
Em śımbolos:
a < b⇔ { ac < bc, se c > 0
ac > bc, se c < 0
.
Resultados análogos valem quando trocamos o śımbolo de desigualdade < por 6, ou por >, ou por >.
A propriedade (iii) acima pode causar certa estranheza e muitas vezes é negligenciada por alunos desatentos,
principalmente nas inequações (que veremos adiante), quando multiplicam uma desigualdade por um número negativo
e esquecem de inverter o seu sentido. Para recordar-se dela, lembre-se da desigualdade trivial 0 < 1 que, quando
multiplicada por −1 fornece 0 > −1 e não 0 < −1 que é, evidentemente, falsa.
Exemplo 1.20 Temos:
−2 < 5⇔ −2+ 3 < 5+ 3⇔ 1 < 8
−5 < 0⇔ −5− 2 < 0− 2⇔ −7 < −2
−3 < 11⇔ −3. 1
10
< 11. 1
10
⇔ −0, 3 < 1, 1
7 < 8⇔ 7 (−2) > 8 (−2)⇔ −14 > −16
Exemplo 1.21 Mostremos que se 0 < a 6 b, então a2 6 b2 e
√
a 6
√
b.
De fato, aplicando o Item (ii) das propriedades das desigualdades acima:
{
0 < a 6 b⇒ aa 6 ba
0 < a 6 b⇒ ab 6 bb
⇒ a2 6 ab 6 b2 ⇒ a2 6 b2.
Quanto a segunda desigualdade, vamos fazer uma demonstração por absurdo: suponhamos que
√
a >
√
b > 0.
Então, pelo que acabamos de demonstrar,
(√
a
)2
>
Ä√
b
ä2
, ou seja, a > b, o que é uma contradição com a hipótese
assumida. Logo, devemos ter, necessariamente, que
√
a 6
√
b, como queŕıamos.
Intervalos
Há subconjuntos de R que são especiais para o desenvolvimento da teoria envolvendo Cálculo Diferencial e Integral.
São os intervalos, que passamos a definir abaixo.
Sejam a < b números reais.
(1) {x ∈ R : a < x < b} = ]a, b[ é chamado de intervalo aberto de extremos a e b.
ba
R
(2) {x ∈ R : a 6 x 6 b} = [a, b] é chamado de intervalo fechado de extremos a e b.
ba
R
De modo análogo:
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(3) {x ∈ R : a < x 6 b} = ]a, b]
ba
R
(4) {x ∈ R : a 6 x < b} = [a, b[
ba
R
(5) {x ∈ R : a 6 x} = [a,+∞[
a
R
(6) {x ∈ R : a < x} = ]a,+∞[
a
R
(7) {x ∈ R : x < b} = ]−∞, b[
b
R
(8) {x ∈ R : x 6 b} = ]−∞, b]
b
R
(9) R = ]−∞,+∞[
R
Observação: o śımbolo ∞ é frequentemente utilizado em Matemática para designar “infinito”.
Extremos (de um conjunto de números reais)
Seja C ⊂ R um conjunto de números reais.
Dizemos que C é limitado superiormente quando existe S ∈ R tal que x 6 S para quaisquer x ∈ C. Neste
caso, dizemos que S é uma cota superior de C.
A menor das cotas superiores de C é chamada de supremo de C, e indicada por supC.
Quando supC ∈ C, dizemos que supC é o máximo de C, e indicamos por maxC.
Dizemos que C é limitado inferiormente quando existe s ∈ R tal que s 6 x para quaisquer x ∈ C. Neste caso,
dizemos que s é uma cota inferior de C.
A maior das cotas inferiores de C é chamada de ı́nfimo de C, e indicada por inf C.
Quando inf C ∈ C, dizemos que inf C é o mı́nimo de C, e indicamos por minC.
Exemplo 1.22 (i) Seja C1 = ]−∞, 1[ ⊂ R.
Algumas cotas superiores de C1 são 1, 3
2
, 2, 5
2
, 3 etc. Qualquer número maior do que, ou igual a, 1 é cota superior
de C1. Portanto, C1 é limitado superiormente.
A menor das cotas superiores de C1 é 1. Portanto, supC1 = 1.
Como supC1 = 1 6∈ C1, então C1 não tem máximo.
Como não existe número real s tal que s 6 x para quaisquer x ∈ C1, então C1 não possui cotas inferiores e,
portanto, C1 não é limitado inferiormente. Obviamente, C1 não possui ı́nfimo e não possui mı́nimo.
(ii) Seja C2 = {−1, 0, 2, 3} ⊂ R.
Algumas cotas superiores de C2 são 3, 7
2
, 4, 9
2
, 5 etc. Qualquer número maior do que, ou igual a, 3 é cota superior
de C2. Portanto, C2 é limitado superiormente.
A menor das cotas superiores de C2 é 3. Portanto, supC2 = 3.
Como supC2 = 3 ∈ C2, então maxC2 = 3.
Algumas cotas inferiores de C2 são −1, −3
2
, −2, −5
2
, −3 etc. Qualquer número menor do que, ou igual a, −1 é
cota inferior de C2. Portanto, C2 é limitado inferiormente.
A maior das cotas inferiores de C2 é −1. Portanto, inf C2 = −1.
Como inf C2 = −1 ∈ C2, então minC2 = −1.
(iii) Seja C3 = {−1} ∪ [0, 1[ ⊂ R.
Algumas cotas superiores de C3 são 1, 3
2
, 2, 5
2
, 3 etc. Qualquer número maior do que, ou igual a, 1 é cota superior
de C3. Portanto, C3 é limitado superiormente.
A menor das cotas superiores de C3 é 1. Portanto, supC3 = 1.
Como supC3 = 1 6∈ C3, então C3 não tem máximo.
Algumas cotas inferiores de C3 são −1, −3
2
, −2, −5
2
, −3 etc. Qualquer número menor do que, ou igual a, −1 é
cota inferior de C3. Portanto, C3 é limitado inferiormente.
A maior das cotas inferiores de C2 é −1. Portanto, inf C3 = −1.
Como inf C3 = −1 ∈ C3, então minC3 = −1.
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1.4 Inequações
Além dos intervalos, as inequações também são muito úteis para o Cálculo Diferencial e Integral.
Uma inequação é uma desigualdade entre duas expressões envolvendo um ou mais valores desconhecidos, chamados
de incógnitas.
Cada lado da desigualdade na inequação é chamadode membro da inequação.
Resolver uma inequação significa determinar todos os valores (soluções) para as incógnitas de modo que a desi-
gualdade fique verdadeira.
Duas inequações são equivalentes quando possuem as mesmas soluções. Por exemplo:
x− 1 > 2 ⇔
equivalente
2x > 6 ⇔
equivalente
x > 3
É importante enfatizar que, mesmo com incógnitas, as três propriedades das desigualdades apresentadas na Pro-
posição 1.9 continuam válidas para as inequações. Aliás, quando aplicamos essas três propriedades a uma inequação,
geramos inequações equivalentes que podem ser mais fáceis de serem resolvidas.
1.4.1 Inequações do 1o. grau com uma incógnita
Abaixo segue a definição da mais simples das inequações:
Inequações do 1o. grau são desigualdades equivalentes a uma das seguintes formas:
ax+ b > 0, ax+ b > 0, ax+ b < 0 ou ax+ b 6 0,
sendo a 6= 0 e b constantes reais chamadas de coeficientes da inequação e x a incógnita.
Para resolver uma inequação do 1o. grau usamos as três propriedades das desigualdades da Proposição 1.9, obtendo
a solução que, geralmente, é dada em forma de intervalo.
Exemplo 1.23 A inequação −2x+ 3 > −5 é do 1o. grau. De fato, utilizando as propriedades:
−2x+ 3 > −5⇔ −2x+ 3+ 5 > −5+ 5⇔ −2x+ 8 > 0 .
Para resolvê-la:
−2x+ 8 > 0⇔ −2x+ 8− 8 > 0− 8⇔ −2x > −8⇔ −2x
(
−1
2
)
6 −8
(
−1
2
)⇔ x 6 4 .
Portanto, a solução da inequação acima é composta por todos os números reais x ∈ ]−∞, 4].
Assim como ocorre com as equações, não precisamos detalhar as propriedades e a cadeia de equivalências como
fizemos acima. Podemos ser mais concisos. Vejamos o exemplo abaixo.
Exemplo 1.24 Encontremos os valores de x tais que 2 (x− 1) < 5x+ 3.
Temos
2x− 2 < 5x+ 3⇔ −3x < 5⇔ x > −5
3
(ou, equivalentemente, −5
3
< x). Logo, os valores procurados de x estão no intervalo
]
−5
3
,+∞[.
Exemplo 1.25 Podemos resolver de forma genérica uma inequação do 1o. grau. Por exemplo ax+b > 0. Neste caso
temos:
ax+ b > 0⇔ ax > −b⇔ { x > −b
a
, se a > 0
x < −b
a
, se a < 0
.
E de forma análoga para os demais śımbolos de desigualdades.
1.4.2 Inequações do 2o. grau com uma incógnita
Inequações do 2o. grau, ou inequações quadráticas, são desigualdades equivalentes a uma das seguintes
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formas:
ax2 + bx+ c > 0, ax2 + bx+ c > 0, ax2 + bx+ c < 0 ou ax2 + bx+ c 6 0,
sendo a 6= 0, b e c constantes reais chamadas de coeficientes da inequação e x a incógnita.
Vamos analisar o sinal de um trinômio do 2o. grau ax2 + bx+ c, com a 6= 0, b e c números reais. Aproveitando o
completamento de quadrados que fizemos nesse trinômio em (∗) temos:
ax2 + bx+ c = a
((
x+ b
2a
)2
− ∆
4a2
)
,
de onde conclúımos que:
(1) Se ∆ < 0, então ax2 + bx+ c tem o mesmo sinal de a para qualquer x ∈ R.
(2) Se ∆ = 0, então ax2 + bx+ c tem o mesmo sinal de a para todo real x 6= − b
2a
; e ax2 + bx+ c = 0 para x = − b
2a
(que é a raiz do trinômio).
(3) Se ∆ > 0, então ax2 + bx + c possui duas ráızes reais e distintas. Suponhamos que sejam x1 < x2 e, pelo que já
vimos, quando fatoramos o trinômio de 2o. grau em (∗∗):
ax2 + bx+ c = a (x− x1) (x− x2) .
x
2
x
1
R
x x x
(3.1) Se x < x1, então x − x1 < 0 e x − x2 < 0 e; portanto, (x− x1) (x− x2) > 0. Logo, ax2 + bx + c possui o
mesmo sinal de a.
(3.2) Se x > x2, então x − x1 > 0 e x − x2 > 0 e; portanto, (x− x1) (x− x2) > 0. Logo, ax2 + bx + c possui o
mesmo sinal de a.
(3.3) Se x1 < x < x2, então x− x1 > 0 e x− x2 < 0 e; portanto, (x− x1) (x− x2) < 0. Logo, ax2 + bx+ c possui
sinal oposto ao sinal de a.
Exemplo 1.26 Analisemos o sinal de x2 − 2x+ 2.
Temos a = 1 > 0, b = −2, c = 2 e ∆ = b2 − 4ac = (−2)
2
− 4.1.2 = −4 < 0.
Logo, x2 − 2x+ 2 possui o mesmo sinal de a, que é positivo. Portanto, x2 − 2x+ 2 > 0 para qualquer x ∈ R.
1.4.3 Inequações Racionais
Inequações racionais são desigualdades equivalentes a uma das seguintes formas:
p(x)
q(x) > 0,
p(x)
q(x) > 0,
p(x)
q(x) < 0,
p(x)
q(x) 6 0,
sendo p (x) e q (x) polinômios.
Vamos considerar p (x) e q (x) polinômios até grau 2 e utilizar as técnicas já estudadas para resolver as inequações
racionais. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1.27 Resolvamos
x+2
1−x > 1.
Temos:
x+2
1−x > 1⇔ x+2
1−x − 1 > 0⇔ x+2−1+x
1−x > 0⇔ 2x+1
1−x > 0,
que é uma inequação racional. Observemos que x 6= 1.
Analisemos o sinal do numerador e o sinal do denominador:{
2x+ 1 > 0⇔ x > −1
2
2x+ 1 < 0⇔ x < −1
2
e
{
1− x > 0⇔ x < 1
1− x < 0⇔ x > 1
Geometricamente:
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R
R
- /1 2
R
- /1 2
- - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - -
- - - - - - -
sinal de 2x 1+
sinal de 1-x
sinal de
2x 1+
1-x
1
1
De onde concluimos que x+2
1−x > 1 ocorre para x ∈
]
−1
2
, 1
[
.
Exemplo 1.28 Resolvamos
x+2
x−1 6
3x−1
x+3 .
Temos:
x+2
x−1 6
3x−1
x+3 ⇔ x+2
x−1 −
3x−1
x+3 6 0⇔ (x+2)(x+3)−(3x−1)(x−1)
(x−1)(x+3) 6 0⇔ −2x2+9x+5
x2+2x−3
6 0,
que é uma inequação racional. Observemos que x deve ser diferente das ráızes do denominador.
Analisemos o sinal do numerador e o sinal do denominador.
O polinômio p (x) = −2x2 + 9x+ 5 possui ráızes −1
2
e 5 (calcule). Logo, p (x) < 0 para x ∈
]
−∞,−1
2
[
∪ ]5,+∞[ e
p (x) > 0 para x ∈
]
−1
2
, 5
[
.
O polinômio q (x) = x2 + 2x − 3 possui ráızes −3 e 1 (calcule). Logo, q (x) < 0 para x ∈ ]−3, 1[ e q (x) > 0 para
x ∈ ]−∞,−3[ ∪ ]1,+∞[.
Geometricamente:
R
R
5- /1 2
R- - - - - - - - - + + + + + + + + + + + +
- - - + + + + +
+ + + + + + + + + + + +- - - - - - - - -
- - -
sinal de p x( )
sinal de q x( )
sinal de
p x( )
q x( )
1-3
5- /1 2 1-3
- - -
+ + +
- - - + + + + + + + +
De onde concluimos que x+2
x−1 6
3x−1
x+3 ocorre para x ∈ ]−∞,−3[ ∪ [−1
2
, 1
[
∪ [5,+∞[ (observe que −3 e 1 não são
soluções porque anulam os denominadores).
1.5 Módulo ou Valor Absoluto
Utilizaremos com muita frequência a noção de módulo de um número real e suas propriedades.
Definimos o módulo ou valor absoluto de um número real x como sendo
|x| =
{
x, se x > 0
−x, se x < 0
.
Por exemplo, |5| = 5; |0| = 0 e |−7| = −(−7) = 7.
Proposição 1.10 (Propriedades do módulo) Para quaisquer a, b ∈ R e k > 0 (k real positivo apenas) temos:
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(1) |a| > 0;
(2) |a| = |−a|;
(3) a 6 |a|;
(4)
√
a2 = |a|;
(5) |a| = k⇔ a = k ou a = −k;
(6) |a| < k⇔ −k < a < k;
k-k
R
0
(7) |a| > k⇔ a > k ou a < −k;
k-k
R
0
(8) |ab| = |a| . |b|;
(9) |a+ b| 6 |a|+ |b|; (Desigualdade Triangular)
(10) ||a|− |b|| 6 |a− b|.
As oito primeiras propriedades são bastante simples de serem provadas, bastando, para tanto, considerar em cada
uma delas os casos a > 0 e a < 0 (na Propriedade (8) também devemos considerar os casos b > 0 e b < 0).
Quanto à Propriedade (9), a chamada “Desigualdade Triangular”, ela é muito importante na Matemática. A
Propriedade (10) é decorrente dela. Abaixo seguem suas demonstrações.
Demonstração das Propriedades (9) e (10):
Sejam a, b ∈ R. Temos:
(a+ b)
2
= a2 + 2ab+ b2 = |a|
2
+ 2ab+ |b|
2 6 |a|
2
+ 2 |ab|+ |b|
2
= |a|
2
+ 2 |a| . |b|+ |b|
2
= (|a|+ |b|)
2 ⇒»
(a+ b)
2 6
»
(|a|+ |b|)
2 ⇒ |a+ b| 6 ||a|+ |b|| = |a|+ |b|⇒ |a+ b| 6 |a|+ |b| .
Quanto à Propriedade (10), ela é, conforme dissemos, decorrente da Desigualdade Triangular:{
|a| = |a− b+ b| 6 |a− b|+ |b|⇒ |a|− |b| 6 |a− b|
|b| = |b− a+ a| 6 |b− a|+ |a|⇒ − |b− a| 6 |a|− |b|⇒ − |a− b| 6 |a|− |b|
.
Portanto,
− |a− b| 6 |a|− |b| 6 |a− b|⇒ ||a|− |b|| 6 |a− b| .
Exemplo 1.29 Resolvamos |2x− 1| = 4.
Temos, de acordo com a Propriedade(5) de módulo da Proposição 1.10, fazendo a = 2x− 1 e k = 4 temos:
|2x− 1| = 4⇔ 2x− 1 = 4 ou 2x− 1 = −4⇔ x = 5
2
ou x = −3
2
.
Exemplo 1.30 Resolvamos |2x− 3| > 7.
Temos, de acordo com a Propriedade (7) de módulo da Proposição 1.10, fazendo a = 2x− 3 e k = 7 temos:
|2x− 3| > 7⇔ 2x− 3 > 7 ou 2x− 3 < −7⇔ x > 5 ou x < −2 .
5-2
R
0
Conclusão: x ∈ ]−∞,−2[ ∪ ]5,+∞[. Observe que o conjunto solução da inequação modular não é um intervalo, mas
sim, uma reunião de dois intervalos.
1.6 O Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais no plano
A definição de sistema de coordenadas cartesianas ortogonais segue abaixo:
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Consideremos dois eixos coordenados congruentes (isto é, com a mesma unidade de medida geométrica) perpen-
diculares e com origens coincidentes no ponto O.
Um dos eixos será chamado de eixo das abscissas, indicado por Ox, enquanto que o outro será chamado de
eixo das ordenadas, indicado por Oy.
Um plano determinado por dois eixos coordenados, conforme descrito acima, será dito um plano munido de um
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais ou sistema de coordenadas retangulares ou, simplifica-
damente, plano cartesiano e será indicado por Oxy. O ponto O é chamado de origem do sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais.
É comum representar o plano cartesiano como o eixo Ox na horizontal com a orientação da esquerda para a direita
e o eixo Oy na vertical com orientação de baixo para cima.
A grande utilidade do plano cartesiano está no fato de cada ponto deste plano estar associado a um par ordenado
de números reais e vice-versa. Esta associação é feita do seguinte modo:
(i) Dado um ponto P no plano cartesiano, consideremos as projeções ortogonais desse ponto nos eixos coordenados. A
projeção ortogonal Px de P no eixo Ox é um ponto deste eixo associado a um número real x que chamamos de abscissa
de P, enquanto que a projeção ortogonal Py de P no eixo Oy é um ponto deste eixo associado a um número real y
que chamamos de ordenada de P. Abscissas e ordenadas são chamadas, também, de coordenadas cartesianas de
P. O ponto P fica, portanto, associado ao par ordenado de números reais (x, y). Indicamos essa associação por
P = (x, y) ou P (x, y) .
Observemos que devido à unicidade das projeções ortogonais de P aos eixos coordenados, o par ordenado (x, y) é
único!
(ii) Dado um par ordenado de números reais (x, y), tomamos os pontos Px, associado ao número x no eixo Ox, e Py
associado ao número y no eixo Oy. Por Px traçamos uma perpendicular a Ox e por Py traçamos uma perpendicular
a Oy. O cruzamento dessas perpendiculares determina um ponto P. O par ordenado de números reais (x, y) fica,
portanto, associado ao ponto P.
Mais uma vez, devido às unicidades de Px e Py, o ponto P é o único ponto que pode ser associado ao par ordenado
(x, y).
Os pontos P (x, y) tais que:
• x, y > 0 estão no chamado 1 o quadrante;
• x < 0 e y > 0 estão no chamado 2 o quadrante;
• x, y < 0 estão no chamado 3 o quadrante;
• x > 0 e y < 0 estão no chamado 4 o quadrante.
A figura abaixo ajuda a esclarecer os procedimentos que descrevemos acima.
0 1 2 3-1-2-3
P x y( , )
x
-1
-2
-3
1
2
3
y
O
x
y
Px
Py
eixo das ordenadas
eixo das abscissas
1 quadranteo.2 quadranteo.
3 quadranteo.
4 quadranteo.
Abaixo seguem alguns exemplos.
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0 1 2 3-1-2-3
P 1 2( , )
x
-1
-2
-3
1
2
3
y
O 0 0( , )
Q 2 0(- , )
R 0 2( ,- )
S 3(- , )-2
T 1 3(- , )
U 3 2( ,- )
V 3 1( , )
O conjunto dos pares ordenados de números reais é indicado por R2, ou seja:
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
A associação entre pontos do plano cartesiano e pares ordenados de números reais R2 descrita em (i) e (ii) acima
permite que se diga que existe uma bijeção entre o plano cartesiano e R2. É por isso que alguns textos referem-se ao
conjunto R2 como “plano cartesiano”.
1.7 Retas no Plano Cartesiano
Em um curso de Cálculo, é extremamente importante trabalharmos com retas, e suas equações, no plano cartesiano.
Nesta seção faremos uma breve revisão das chamadas equação geral e equação reduzida da reta. Embora esse assunto
seja abordado em cursos de Geometria Anaĺıtica em ńıvel de Ensino Médio, recomendamos fortemente que o aluno
faça a pequena revisão aqui proposta.
Equação Geral
Retas no plano cartesiano podem ser associadas a equações de acordo com a proposição abaixo.
Proposição 1.11 Toda reta do plano cartesiano pode ser associada a pelo menos uma equação da forma
ax+ by+ c = 0
sendo a, b, c ∈ R com a 6= 0 ou b 6= 0. O par ordenado (x, y) representa um ponto genérico da reta.
Reciprocamente, dada uma equação da forma ax + by + c = 0, existe uma única reta no plano cartesiano cujos
pontos (x, y) a satisfazem.
Uma equação de reta da forma
ax+ by+ c = 0
é dita equação geral da reta.
0
x
y
x
y
P x y( , )
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Observemos que dada uma reta, podem existir várias equações gerais. Por exemplo, x+2y+3 = 0 e 2x+4y+6 = 0
são equações da mesma reta.
Observemos também que uma equação de reta no plano cartesiano é, na verdade, uma condição para que as
coordenadas dos pontos (x, y) da reta cumpram.
Algumas particularidades:
Seja ax+ by+ c = 0 equação da reta r.
• (1) Se a = 0 e c = 0 (portanto, b 6= 0), então a reta r coincide com o eixo coordenado Ox e corta o eixo coordenado
Oy na origem.
• (2) Se a = 0 e c 6= 0 (portanto, b 6= 0), então a reta r é paralela ao eixo coordenado Ox e corta o eixo coordenado
Oy no ponto que corresponde à ordenada y = − c
b
.
• (3) Se b = 0 e c = 0 (portanto, a 6= 0), então a reta r coincide com o eixo coordenado Oy e corta o eixo coordenado
Ox na origem.
• (4) Se b = 0 e c 6= 0 (portanto, a 6= 0), então a reta r é paralela ao eixo coordenado Oy e corta o eixo coordenado
Ox no ponto que corresponde à abscissa x = − c
a
• (5) Se a 6= 0 e b 6= 0, então a reta r não é paralela a qualquer dos eixos coordenados e corta o eixo Ox no ponto que
corresponde à abscissa x = − c
a
e corta o eixo Oy no ponto que corresponde à ordenada y = − c
b
.
0
x
y
0
x
y
c
b r
r
0
x
y
0
x
y
c
a
r
r
0
x
y
r
c
a
c
b
y 0= y =
c
b
x 0=
x =
c
a ax by c 0+ + =
Equação Reduzida e Coeficiente Angular
Quando b 6= 0 na equação geral ax+ by+ c = 0 da reta r, podemos isolar y e escrever a equação reduzida de
r como sendo
y = mx+ n .
Observemos que m = −a
b
enquanto que n = − c
b
.
O número m é chamado de coeficiente angular da reta r e mede a “inclinação” dessa em relação ao eixo
coordenado Ox.
Como b 6= 0, a reta r sempre corta o eixo coordenado Oy no ponto que corresponde à ordenada n.
Se m 6= 0, a reta r corta o eixo coordenado Ox no ponto que corresponde à abscissa − n
m
.
Se m = 0 temos que r é paralela ou coincidente com o eixo coordenado Ox.
0
x
y
r
n
m
n
y mx n
m 0
= +
¹
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Cálculo Diferencial e Integral 1 UFU Página 37 de 239 páginas
O coeficiente angular pode ser interpretado geometricamente de acordo com a proposição abaixo.
Proposição 1.12 Se y = mx+ n é equação reduzida da reta r no plano cartesiano, então
m = tg (θ)
sendo θ a medida do ângulo que a reta r forma com o eixo coordenado Ox, orientado no sentido anti-horário a partir
desse eixo.
0
x
y
r
y mx n= +
m tg 0= (q) >
q
0
x
y
r
q
y mx n= +
m tg 0= (q) <n
n
Por fim, a próxima proposição é bastante útil para encontrar equaçõesde retas.
Proposição 1.13 (1) Se P (x0, y0) e Q (x1, y1) são pontos de uma r no plano cartesiano e x0 6= x1, então o coeficiente
angular de r é dado por
m = y1−y0
x1−x0
.
(2) Sejam P (x0, y0) ponto de uma reta r no plano cartesiano e m seu coeficiente angular. Então,
y− y0 = m (x− x0)
é equação de r.
0
x
y r
m tg= (q) =
q
x0 x1
y0
y1
x x1 0-
y y1 0-
P
Q
q
x x1 0-
y y1 0-
0
x
y
r
x0x1
y0
y1
x x0 1-
P
Q
q
qy y1 0-
Observações:
(1) É interessante notar que dada uma reta r não vertical no plano cartesiano, o cálculo de seu coeficiente angular
m = y1−y0
x1−x0
não depende da escolha dos pontos P (x0, y0) e Q (x1, y1) nessa reta r. Isto se deve ao fato de que
quaisquer triângulos retângulos constrúıdos como na figura acima com hipotenusa PQ em r são sempre semelhantes
e, portanto, o ângulo θ nunca muda ao longo da reta r.
(2) Uma outra interpretação geométrica interessante para o coeficiente angular m de uma reta r não vertical é que,
a partir de um ponto P qualquer de r, caminha-se:
• 1 unidade de comprimento na horizontal, sendo para a direita se m > 0 e para a esquerda se m < 0;
• |m| unidades de comprimento na vertical para cima;
e chegamos a um ponto ponto Q que está em r.
0
x
y
r
P
Q
0
x
y
r
P
Q
1
| |m
m 0<
1
| |m
m 0³
Por exemplo, se m = 1
2
, a partir de um ponto P ∈ r caminhamos 1 unidade na horizontal para a direita e, depois,
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1
2
unidade na vertical para cima e chegamos a um ponto Q ∈ r. Neste mesmo exemplo, ainda podemos caminhar
2 unidades a partir de P na horizontal para a direita e 1 unidade na vertical para cima e chegamos a um ponto
Q′ ∈ r. Neste caso, Q 6= Q′, mas os dois triângulos retângulos constrúıdos são semelhantes e, portanto, o ângulo de
medida θ tal que m = tg (θ) é o mesmo nos dois casos.
(3) Temos um modo bastante fácil de encontrar uma equação de uma reta r que intersecta os dois eixos coordenados
em pontos distintos da origem, digamos P1 (a, 0) e P2 (0, b), com a, b 6= 0.
0
x
y
r
a
b
Neste caso, é muito simples verificar que as coordenadas de P1 e P2 satisfazem a chamada equação segmentária da
reta:
x
a
+ y
b
= 1 .
A partir dessa equação, podemos escrever a equação reduzida da reta r:
y = −b
a
x+ b
e, portanto, o coeficiente angular da reta r é m = −b
a
. E podemos, também, escrever a equação geral da reta r:
bx+ ay− ab = 0.
Exemplo 1.31 Sejam P1 (−3, 1) e P2 (5,−1) pontos da r no plano cartesiano. Como −3 6= 5, a reta r não é paralela
ou coincidente ao eixo coordenado Oy e podemos calcular o coeficiente angular m da reta r, que é dado por
m = −1−1
5−(−3) = −2
8
= −1
4
.
Logo,
y− 1 = −1
4
(x− (−3))⇒ y = −1
4
x+ 1
4
é equação reduzida de r.
Posições Relativas e Pontos de Intersecção
Dadas duas retas no plano cartesiano, é muito útil saber se são paralelas ou perpendiculares. Neste caso, quando
temos as equações reduzidas de cada uma das retas, é muito fácil verificar se são paralelas, pois elas devem possuir
o mesmo coeficiente angular. Já no caso de serem perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares deve ser
−1. Esses resultados estão sintetizados na proposição abaixo.
Proposição 1.14 Sejam r1 e r2 retas distintas no plano cartesiano com equações reduzidas y = m1x + n1 e y =
m2x+ n2, respectivamente. Então:
r1 é paralela a r2 se, e somente se, m1 = m2
e
r1 é perpendicular a r2 se, e somente se, m1m2 = −1
Observação: “se, é somente se” significa uma equivalência matemática (às vezes indicada pela seta dupla ⇔).
Por exemplo: “r1 é perpendicular a r2 se, e somente se, m1m2 = −1” significa:
(i) Se r1 é perpendicular a r2, então m1m2 = −1;
(ii) Se m1m2 = −1, então r1 é perpendicular a r2.
Sobre a posição relativa de duas retas r1 e r2 distintas no plano, temos duas possibilidades apenas:
r1 e r2 são paralelas ou r1 e r2 são concorrentes.
É claro que retas perpendiculares são casos particulares de retas concorrentes.
No caso de r1 e r2 serem concorrentes, há apenas um único ponto de intersecção entre as retas e, para encontrá-lo,
basta que montemos um sistema linear com as duas equações dessas retas. A única solução desse sistema fornece a
abscissa e a ordenada do ponto de intersecção. O exemplo abaixo ajuda a compreender esse procedimento.
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Cálculo Diferencial e Integral 1 UFU Página 39 de 239 páginas
Exemplo 1.32 Encontremos o ponto de intersecção das retas r1 e r2 dadas pelas equações cartesianas 2x−7y+31 = 0
e x− 2y+ 7 = 0, respectivamente.
Façamos P (x0, y0) ponto de intersecção entre r1 e r2, Então, as coordenadas de P devem satisfazer:{
2x0 − 7y0 + 31 = 0
x0 − 2y0 + 7 = 0
≈
{
x0 − 2y0 = −7 .(-2)
2x0 − 7y0 = −31
�
+
≈
{
x0 − 2y0 = −7
− 3y0 = −17
.
Da última linha temos y0 =
17
3
que, substitúıdo na primeira linha, fornece x0 =
13
3
.
Logo, o ponto P de intersecção entre r1 e r2 é P
(
13
3
, 17
3
)
.
Ainda neste exemplo, observemos que as equações gerais de r1 e r2 podem ser escritas na forma reduzida, bastando
para tal, isolar o y nas duas equações:
y = 2
7
x+ 31
7
e y = 1
2
x+ 7
2
.
Portanto, m1 =
2
7
e m2 =
1
2
, de onde constatamos, de fato, que as retas são concorrentes, pois m1 6= m2.
Temos, também, que apesar de r1 e r2 serem concorrentes, elas não são perpendiculares, pois m1m2 =
1
7
6= −1.
Exemplo 1.33 Encontremos a equação geral da reta r1 que passa pelo ponto P (−3, 2) e é paralela à reta r2 de
equação 3x− 5y+ 8 = 0.
Escrevendo a equação reduzida de r2 temos y = 3
5
x+ 8
5
e, portanto o coeficiente angular de r2 é m2 =
3
5
.
Como r1 é paralela a m2, então seu coeficiente angular m1 deve ser igual a m2, ou seja, m1 =
3
5
.
Da Proposição 1.13 podemos escrever a equação de r1 como
y− y0 = m1 (x− x0)
sendo (x0, y0) um ponto conhecido de r1, que pode ser o ponto P (−3, 2). Assim:
y− 2 = 3
5
(x+ 3)⇒ 3x− 5y+ 19 = 0 .
Exemplo 1.34 Encontremos a equação geral da reta r1 que passa pelo ponto P (1, 2) e é perpendicular à reta r2 de
equação 2x+ 3y− 15 = 0.
Escrevendo a equação reduzida de r2 temos y = −2
3
x+ 5 e, portanto o coeficiente angular de r2 é m2 = −2
3
.
Como r1 é perpendicular a m2, então seu coeficiente angular m1 deve ser tal que m1m2 = −1, ou seja, m1 =
3
2
.
Da Proposição 1.13 podemos escrever a equação de r1 como
y− y0 = m1 (x− x0)
sendo (x0, y0) um ponto conhecido de r1, que pode ser o ponto P (1, 2). Assim:
y− 2 = 3
2
(x− 1)⇒ 3x− 2y+ 1 = 0 .
1.8 Circunferências no Plano Cartesiano
Além das retas, as circunferências também são bastante úteis no estudo de Cálculo. Neste seção faremos uma
pequena revisão de sua equação. Para tanto, precisamos da fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.
Distância entre Dois Pontos no Plano Cartesiano
Dados dois pontos P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2) no plano cartesiano, podemos calcular a distância d (P1, P2) entre eles
utilizando o Teorema de Pitágoras.
0 x1
x
y
x2
y1
y2
| -x x2 1|
| -y y2 1|
P1
P2
d(
,P
P
1
2)
Proposição 1.15 Se P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2) são pontos no plano cartesiano, então a distância d (P1, P2) entre P1 e
P2 é dada por:
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d (P1, P2) =
»
(x2 − x1)
2
+ (y2 − y1)
2 .
Exemplo 1.35 A distância entre P1 (−3, 2) e P2 (4,−1) é d (P1, P2) =
»
(4− (−3))
2
+ (−1− 2)
2
=
√
49+ 9 =
√
58.
Equação Reduzida da Circunferência no Plano Cartesiano
Sabemos que uma circunferência C de centro C (x0, y0) e raio r > 0 no plano cartesiano é definida como sendo o
conjunto dos pontos desse plano que estão à distância r de C, ou seja:C =
{
P (x, y) ∈ R2 : d (P,C) = r
}
.
Como d (P,C) =
»
(x− x0)
2
+ (y− y0)
2
chegamos a»
(x− x0)
2
+ (y− y0)
2
= r⇒ (x− x0)
2
+ (y− y0)
2
= r2 ,
que é a chamada equação reduzida de C.
circunferência
C
Pr
x
y
y0
x0
Quando o centro da circunferência C está na origem do sistema de coordenadas, ou seja, quando C (x0, y0) = C (0, 0),
a equação reduzida de C fica ligeiramente mais simples:
x2 + y2 = r2.
Exemplo 1.36 Mostremos que o ângulo inscrito em uma semicircunferência é sempre reto utilizando equações de
retas e circunferências.
Consideremos uma circunferência de raio r > 0 que, sem perda de generalidade, será posicionada com centro na
origem do sistema de coordenadas. Logo, sua equação é
x2 + y2 = r2.
Como queremos uma semicircunferência, vamos considerar apenas a parte superior da circunferência, que corres-
ponde ao ponto com ordenadas não negativas, ou seja, y > 0.
Consideremos A (−r, 0), B (r, 0) e P (x, y) um ponto qualquer da semicircunferência superior.
A
P
x
x
y
q1
q2
B
r1
r2
y
r0-r
Nosso objetivo é mostrar que AP̂B é um ângulo reto. Para tanto, é equivalente mostrar que as retas r1, que passa
por P e A, e r2, que passa por P e B são perpendiculares.
O coeficiente angular de r1 é
m1 = tg (θ1) =
y
r+x
e o coeficiente angular de r2 é
m2 = tg (θ2) = − tg (π− θ2) = − y
r−x .
Mas
m1m2 =
y
r+x
Ä
− y
r−x
ä
= − y2
r2−x2
= −y
2
y2
= −1.
Portanto, r1 e r2 são retas perpendiculares e, portanto, AP̂B é um ângulo reto, como queŕıamos.
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Exemplo 1.37 Mostremos que a equação x2 + y2 − 10x+ 4y+ 13 = 0 é equação de uma circunferência.
Para tanto, vamos utilizar a técnica do completamento de quadrados:
x2 + y2 − 10x+ 4y+ 13 = 0⇒ x2 − 2.x.5+ 52︸ ︷︷ ︸
(x−5)2
− 52 + y2 + 2.y.2+ 22︸ ︷︷ ︸
(y+2)2
− 22 + 13 = 0⇒
(x− 5)
2
− 52 + (y+ 2)
2
− 22 + 13 = 0⇒ (x− 5)
2
+ (y+ 2)
2
− 29+ 13 = 0⇒
(x− 5)
2
+ (y+ 2)
2
= 16⇒ (x− 5)
2
+ (y+ 2)
2
= 42 .
Logo, trata-se de uma circunferência de centro C (5,−2) e raio r = 4.
1.9 Funções
A definição de função é uma das mais importantes da Matemática(5). Segue abaixo:
Sejam X e Y conjuntos não vazios e x 7→ y uma regra, ou correspondência, que associa a cada elemento x ∈ X
um único elemento y ∈ Y. À terna (X, Y, x 7→ y) chamamos função.
Uma função pode ser indicada por
f : X→ Y, dada por y = f (x) , ou ainda,
f : X → Y
x 7→ y
.
O conjunto X é chamado de domı́nio da função f.
O conjunto Y é chamado de contradomı́nio da função f.
O conjunto Im f = {f (x) ∈ Y : x ∈ X} ⊂ Y é chamado de conjunto imagem da função f.
O elemento f (x) ∈ Y é chamado de imagem do elemento x ∈ X pela função f.
Também é comum chamar x de variável independente e y de variável dependente da função f.
Quando X, Y ⊂ R, o conjunto Gf = {(x, f (x)) : x ∈ X} ⊂ R2 é chamado de gráfico da função f.
Há quatro formas posśıveis de fornecer uma função: (1) por meio de expressões anaĺıticas; (2) por meio de tabelas;
(3) por meio de conjuntos (chamados de Diagramas de Venn) e; (4) por meio do gráfico no sistema de coordenadas.
Os exemplos abaixo ilustram essas formas de fornecimento de funções.
Exemplo 1.38 Sejam X = {0, 1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6, 7, 8} e f : X→ Y dada pela tabela abaixo:
x y = f (x)
0 8
1 8
2 5
3 5
4 6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
X Y
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
2 3 4
Exemplo 1.39 Seja a função f : N→ Z, dada por f (x) = 2x.
5A definição precisa de função (ou aplicação) requer a introdução do conceito de relações binárias envolvendo elementos de dois
conjuntos. Não faremos essa abordagem rigorosa nessas notas, optanto por uma definição equivalente e mais simplificada para um primeiro
estudo. Entretanto, o leitor interessado pode consultar, por exemplo, a referência [6].
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sites.google.com/site/edsonagustini
Página 42 de 239 páginas UFU Cálculo Diferencial e Integral 1
4
3
2
4
3
2
1
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
2 3 41
0
-1
5
6
7
8
Z
N -1
Exemplo 1.40 (de não função) Sejam X = {1, 2, 3}, Y = {1, 2, 3} e f : X→ Y tal que
x y = f (x)
1 1
1 2
2 3
3 3
1
2
3
3
2
1
X
Y 0 1
1
2
3
2 3
Observemos que neste exemplo f não é função, pois ao elemento 1 ∈ X não está associado um único elemento de Y.
Exemplo 1.41 Seja a função:
(a) f : X ⊂ R→ R, dada por f (x) = 2x− 5. Neste caso, X = R é o maior domı́nio posśıvel para f.
(b) f : X ⊂ R→ R, dada por f (x) = x2 + 2x− 3. Neste caso, X = R também é o maior domı́nio posśıvel para f.
(c) f : X ⊂ R→ R, dada por f (x) =
√
x− 2. Neste caso, X = {x ∈ R : x > 2} = [2,+∞[ é o maior domı́nio posśıvel
para f.
(d) f : X ⊂ R→ R, dada por f (x) = 1
x+3 . Neste caso, X = {x ∈ R : x 6= −3} = R− {−3} é o maior domı́nio posśıvel
para f.
(e) f : X ⊂ R → R, dada por f (x) = 1√
3x+5
. Neste caso, X =
{
x ∈ R : x > −5
3
}
=
]
−5
3
,+∞[ é o maior domı́nio
posśıvel para f.
Os conceitos de função injetiva, sobrejetiva e bijetiva é a base para uma categoria important́ıssima de funções:
aquelas que podem ser “invertidas”. Elas desempenham um papel extremamente importante em nossos estudos. As
definições seguem abaixo:
Seja f : X→ Y, dada por f (x) = y, uma função.
Quando elementos distintos do domı́nio X estão associados a elementos distintos do contradomı́nio Y dizemos
que f é uma função injetiva (ou injetora).
Matematicamente:
x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2) ou, equivalentemente, f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2 .
Quando o conjunto imagem de f coincide com seu contradomı́nio, isto é, Im f = Y, dizemos que f é sobrejetiva
(ou sobrejetora).
Quando f é injetiva e sobrejetiva dizemos que f é bijetiva (ou bijetora, ou ainda que f é uma bijeção).
Exemplo 1.42 A função f : N→ N, dada por f (x) = x2 é injetiva.
De fato, sejam x1, x2 ∈ N tal que
f (x1) = f (x2)⇒ x21 = x
2
2 ⇒»x21 =»x22 ⇒ |x1| = |x2|⇒ x1 = x2,
pois x1, x2 > 0.
A função f não é sobrejetiva, pois, por exemplo, 2 ∈ N e não é quadrado de número natural, ou seja, @x ∈ N tal
que f (x) = x2 = 2. Portanto, Im f 6= N.
Naturalmente, f não é bijetiva.
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Exemplo 1.43 A função f : N ∪ {0}→ N, dada por f (x) = x+ 1 é bijetiva.
De fato, sejam x1, x2 ∈ N ∪ {0} tal que
f (x1) = f (x2)⇒ x1 + 1 = x2 + 1⇒ x1 = x2.
Portanto, f é injetiva.
Seja y ∈ N. Temos x = y − 1 ∈ N ∪ {0} e f (x) = f (y− 1) = (y− 1) + 1 = y. Portanto, Im f = N, ou seja, f é
sobrejetiva.
Exemplo 1.44 Verifiquemos se as funções abaixo são injetivas:
(i) f : R→ R, dada por f (x) = x3;
(ii) f : [0,+∞[→ R, dada por f (x) =
√
x;
(iii) f : R→ R, dada por f (x) = x2 + 3.
Quanto ao Item (i) temos para quaisquer x1, x2 ∈ R:
x1 6= x2 ⇒ x31 6= x32 ⇒ f (x1) 6= f (x2) ,
ou seja, f é injetiva.
Quanto ao Item (ii) temos para quaisquer x1, x2 ∈ [0,+∞[:
x1 6= x2 ⇒ √x1 6= √x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2) ,
ou seja, f é injetiva.
Quanto ao Item (iii) temos que x1 6= x2 em R não implica em f (x1) 6= f (x2). Vejamos um exemplo:
x1 = −1 e x2 = 1⇒ (−1)
2
= 12 ⇒ (−1)
2
+ 3 = 12 + 3⇒ f (−1) = f (1) .
Logo, f não é injetiva.
Quando estamos trabalhando com funções que possuem gráficos no plano cartesiano R2, uma observação bastante
útil para descobrirmos visualmente, pelo gráfico, se uma função f é injetiva ou não é por meio de retas paralelas ao
eixo x. Quando qualquer reta horizontal no plano cartesiano intersecta o gráfico de f no máximo em um ponto, então
f é injetiva. Caso contrário, f não é injetiva. A figura abaixo ilustra essa observação:
y
x
não injetiva
y
f
x1 xx2
f
f f( ) = ( )x x1 2
reta horizontal
injetiva
reta horizontal
Composição de Funções
Sejam f : A→ B e g : C→ D funções tais que B⊂ C. Podemos definir uma nova função g ◦ f : A→ D tal que
g ◦ f (x) = g (f (x)) ,
chamada de função composta de g com f.
x
A
B DC
f x( ) g( )f x( )
gof
gf
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Exemplo 1.45 (i) Sejam as funções f : N→ N, dada por f (x) = x2 e g : N→ Q, dada por g (x) = x
x2+1
.
Temos definida a composta de g com f pois o contradomı́mio N de f está contido no domı́nio N de g.
Portanto, g ◦ f : N→ Q é dada por
g ◦ f (x) = g (f (x)) = f(x)
(f(x))2+1
= x2
(x2)2+1
= x2
x4+1
.
Observemos que f ◦ g não está definida, pois o contradomı́mio Q de g não está contido no domı́nio N de f. Além
disso, não é posśıvel restrigir o contradomı́nio de g para fazer a composta f ◦g, porque o conjunto imagem de g possui
elementos que não são números naturais.
(ii) Sejam as funções f, g : R→ R, dadas por f (x) = x+ 1 e g (x) = x2. Neste caso, temos o contradomı́nio R de f
contido no domı́nio R de g e vice-versa. Logo, podemos compor g ◦ f e f ◦ g, que são dadas por
g ◦ f (x) = g (f (x)) = (f (x))
2
= (x+ 1)
2
= x2 + 2x+ 1.
f ◦ g (x) = f (g (x)) = g (x) + 1 = x2 + 1.
(iii) Sejam as funções f : R→ R, dada por f (x) = x2 − 5 e g : R∗ → R, dada por g (x) = 1
x
+ 1.
Temos definida a composta de f com g pois o contradomı́nio R de g está contido no domı́nio R de f.
Portanto, f ◦ g : R∗ → R é dada por
f ◦ g (x) = f (g (x)) = (g (x))
2
− 5 =
(
1
x
+ 1
)2
− 5 = 1
x2
+ 2
x
+ 1− 5 = 1
x2
+ 2
x
− 4.
Observemos que g ◦ f não está definida, pois o contradomı́nio R de f não está contido no domı́nio R∗ de g. Além
disso, não é posśıvel simplesmente restrigir o contradomı́nio de f ao conjunto R∗ para fazer a composta g ◦ f, porque
o conjunto imagem de f contém o número 0 (pois f
Ä
±
√
5
ä
= 0) que não está no domı́nio R∗ de g. Neste caso, para
temos g ◦ f, deveŕıamos fazer restrições no domı́nio de f.
(iv) Sejam as funções f : R∗ → R, dada por f (x) = x2 + 1
x
e g : R→ R, dada por g (x) = x2+1
x4+1
.
Temos definida a composta de g com f pois o contradomı́nio R de f está contido no domı́nio R de g.
Portanto, g ◦ f : R∗ → R é dada por
g ◦ f (x) = g (f (x)) = (f(x))2+1
(f(x))4+1
=
(x2+ 1x )
2
+1
(x2+ 1x )
4
+1
.
Observemos que, da forma como as funções foram dadas, f ◦ g não está definida, pois o contradomı́nio R de g
não está contido no domı́nio R∗ de f. Entretanto, neste caso, podemos simplesmente alterar o contradomı́nio R de g
colocando no lugar R∗ e considerar f ◦ g. Isto é posśıvel de ser feito porque o conjunto imagem de g não contém o
número 0. Então, podemos reescrever: f : R∗ → R, dada por f (x) = x2 + 1
x
, g : R→ R∗, dada por g (x) = x2+1
x4+1
e
f ◦ g (x) =
Ä
x2+1
x4+1
ä2
+ 1
x2+1
x4+1
=
Ä
x2+1
x4+1
ä2
+ x4+1
x2+1
.
Exemplo 1.46 Consideremos h : R → R, dada por h (x) = (|x|− 1)
3
. Será que existem f, g : R → R tais que
h (x) = f ◦ g (x)?
Em geral, nesse tipo de questão, a resposta não é única. Neste caso temos duas possibilidades bastante simples:
f (x) = (x− 1)
3
e g (x) = |x|⇒ f ◦ g (x) = f (g (x)) = (g (x) − 1)
3
= (|x|− 1)
3
= h (x) ;
e
f (x) = x3 e g (x) = |x|− 1⇒ f ◦ g (x) = f (g (x)) = (g (x))
3
= (|x|− 1)
3
= h (x) .
Como daqui em diante trabalharemos com funções cujos gráficos podem ser representados no plano cartesiano,
iremos considerar funções do tipo f : X ⊂ R → R, que são chamadas de funções reais de uma variável real .
Observemos que, de fato, os gráficos Gf de tais funções podem sempre ser representados no plano cartesiano:
Gf = {(x, f (x)) : x ∈ X} ⊂ R× R = R2 .
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1.10 Algumas Funções Especiais
A menos que se diga o contrário, nas próximas subseções trabalharemos sempre com domı́nios maximais em R,
isto é, as funções f que iremos definir terão sempre o maior domı́nio posśıvel em R para o qual a expressão anaĺıtica
de f faça sentido. Também trabalharemos com o contradomı́nio de f como sendo R. Assim, os comentários sobre
injetividade, sobrejetividade e bijetividade de f serão feitos tendo em mente essas considerações.
Além disso, é importante ressaltar que sempre que o gráfico de uma função f : X ⊂ R → R intersecta o eixo das
abscissas, no sistema de coordenadas, temos áı uma raiz da função. Mais precisamente: α ∈ X é dito uma raiz ou
zero da função f quando f (α) = 0.
Em cursos de Geometria Anaĺıtica, prova-se que uma reta não vertical, no sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais no plano, possui equação reduzida da forma y = ax + b. Isto significa que se y = f (x) = ax + b, então o
gráfico de f é uma reta no plano cartesiano. Essa observação justifica o formato do gráfico dos três próximos tipos de
funções.
1.10.1 Funções Constantes
São funções do tipo f : R→ R com
f (x) = b ,
sendo b ∈ R constante.
O gráfico de uma função constante no plano cartesiano é uma reta paralela (ou coincidente) ao eixo das abscissas
(eixo x), passando pelo ponto de ordenada b do eixo das ordenadas (eixo y).
x
y
b
Observemos que funções constantes não são injetivas e nem sobrejetivas (portanto, não são bijetivas). O conjunto
imagem de uma função constante é sempre unitário, ou seja, Im f = {b}.
1.10.2 Funções Lineares
São funções do tipo f : R→ R com
f (x) = ax ,
sendo a ∈ R constante.
O gráfico de uma função linear no plano cartesiano é uma reta com coeficiente angular igual a a, passando pela
origem do sistema de coordenadas.
x
y
1
q
a
0
Observemos que funções lineares são bijetivas quando a 6= 0 (prove isso). Quando a = 0 temos a função linear
nula, que é um caso particular de função constante.
Lembremos, também, que o coeficiente angular a do gráfico de f é tal que a = tg (θ), sendo θ a medida do ângulo
orientado no sentido anti-horário a partir do eixo x que o gráfico de f forma com esse eixo (veja figura acima).
Também é interessante observar que se a > 0, então a reta que representa o gráfico de f está “subindo” (ou seja, f
é crescente) quando a percorremos da esquerda para a direita e, se a < 0, então a reta está “descendo” (ou seja, f é
decrescente) quando a percorremos da esquerda para a direita.
Por fim, o conjunto imagem de uma função linear é Im f = R quando a 6= 0 e Im f = {0} quando a = 0.
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1.10.3 Funções Afins
São funções do tipo f : R→ R com
f (x) = ax+ b ,
sendo a, b ∈ R constantes. (6)
O gráfico de uma função afim no plano cartesiano é uma reta com coeficiente angular igual a a, passando pelo
ponto de ordenada b do eixo y (isto é, ordenada b = f (0)) e, quando a 6= 0, passando pelo ponto de abscissa −b
a
do
eixo x (isto é, a abscissa é a raiz da equação f (x) = 0).
x
y
- /b a
b
Observemos que funções afins são bijetivas quando a 6= 0 (prove isso). Quando a = 0, funções afins são, na verdade,
funções constantes. Quando b = 0, temos funções lineares.
O comentário que fizemos acima sobre crescimento e decrescimento de f, a depender do sinal de a, continua válido
para funções afins.
Por fim, o conjunto imagem de uma função afim é Im f = R quando a 6= 0 e Im f = {b} quando a = 0.
1.10.4 Funções Quadráticas
São funções do tipo f : R→ R com
f (x) = ax2 + bx+ c ,
sendo a, b, c ∈ R constantes, chamadas de coeficientes de f, sendo que a 6= 0.
Também podemos chamar uma função quadrática de função polinomial de grau 2.
O gráfico de uma função quadrática no plano cartesiano é uma parábola (isto é provado em cursos de Geometria
Anaĺıtica) com vértice no ponto V
(
− b
2a
,− ∆
4a
)
, sendo ∆ = b2 − 4ac o discriminantedo polinômio do segundo grau
ax2 + bx + c. O gráfico de f passa pelo ponto de ordenada c do eixo y. Quando a > 0 temos a concavidade da
parábola para cima e, quando a < 0, para baixo. Quando o gráfico de uma função quadrática intersecta o eixo x, essa
intersecção ocorre em pontos de abscissas iguais às ráızes reais da equação de segundo grau f (x) = 0.
-D/4a
c
x1 x
y
x2
- /b 2a
V
-D/4a
c
x1
x
y
x2
- /b 2a
V
0
c
x
y
- /b 2a
V
0
c
x
y
- /b 2a
V
-D/4a
c
x
y
- /b 2a
V
-D/4a
c
x
y
- /b 2a
V
a > 0
> 0D
a > 0
0D =
a > 0
< 0D
a < 0
> 0D
a < 0
0D =
a < 0
< 0D
Observemos que funções quadráticas não são injetivas e nem sobrejetivas.
Quanto ao conjunto imagem de uma função quadrática temos: Im f =
[
− ∆
4a
,+∞[ quando a > 0; e Im f =]
−∞,− ∆
4a
]
quando a < 0.
6Alguns autores consideram a restrição a 6= 0 para função afim.
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1.10.5 Funções Polinomiais
São funções do tipo f : R→ R com
f (x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0 ,
sendo an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R constantes chamadas de coeficientes de f.
Quando an 6= 0 dizemos que f é uma função polinomial de grau n.
Funções constantes, lineares, afins e quadráticas são casos particulares de funções polinomiais.
É interessante notar que se α ∈ R é uma raiz de uma função polinomial f, então podemos escrever
f (x) = (x− α)p (x) ,
sendo p (x) um polinômio. Isto é equivalente dizer que f (x) é diviśıvel por x− α.
Em particular, caso f tenha apenas coeficientes inteiros e α ∈ Z (cuidado: α inteiro!) seja uma raiz de f, então,
da expressão acima, f (0) = −αp (0). Como f (0) = a0, temos a0 = −αp (0), ou seja, α divide a0, pois p (0) será um
número inteiro.
Essa observação permite saber se uma função polinomial com coeficientes inteiros possui alguma raiz α inteira:
basta testar os divisores do termo independente a0 e verificar se há alguma raiz entre eles. Se não houver, já saberemos
que f não possui ráızes inteiras. Se houver alguma raiz α inteira, podemos ainda fatorar f (x), dividindo f (x) por
(x− α) e encontrando p (x) da expressão acima.
Vejamos um exemplo para entender melhor essas considerações:
Exemplo 1.47 Seja f : R→ R função polinomial de grau 3 dada por f (x) = x3 − 2x2 + x− 2.
Observemos que f possui apenas coeficientes inteiros. Se f possuir alguma raiz α inteira, então α deve dividir
a0 = −2 que é o termo independente de f. Neste caso, as candidatas são: α1 = −2, α2 = −1, α3 = 1 e α4 = 2.
Testando, apenas α = 2 é raiz de f, ou seja, f (2) = 0.
Portanto, a única raiz inteira de f é α = 2. Além disso, podemos dividir f (x) por x− 2 (pelo Método da Chave ou
pelo Método de Briot-Ruffini) e escrever
x3 − 2x2 + x− 2 = (x− 2)
(
x2 + 1
)
,
de onde podemos concluir que, na verdade, α = 2 é a única raiz real de f.
Quanto aos formatos dos gráficos das funções polinomiais, estes variam muito a partir de n = 3 e não há nomes
espećıficos para as curvas que os representam. O próximo exemplo ilustra bem o que estamos dizendo.
Exemplo 1.48 Consideremos as seguintes funções polinomiais:
(i) f : R → R, com f (x) = xn, com n natural par, (para n = 2 o gráfico de f está em verde na figura abaixo: é uma
parábola com vértice na origem e concavidade para cima);
(ii) g : R→ R, com g (x) = xn, com n natural ı́mpar, (para n = 3 o gráfico de f está em preto na figura abaixo);
(iii) h : R→ R, com h (x) = 1
2
x3 − x2 − 1
2
x+ 1 (gráfico em vermelho na figura abaixo);
(iv) i : R→ R, com i (x) = 1
2
x4 − 5
2
x2 + 2 (gráfico em azul na figura abaixo).
y y y
x x x-1-1 -2210 1 2
1
2
1
1
g h i
y
x0
1
1
f
-1
Observemos nas figuras que os gráficos das funções intersectam os eixos das abscissas (eixo x) nos pontos cujas abscissas
são as ráızes das equações polinomiais f (x) = 0, g (x) = 0, h (x) = 0 e i (x) = 0 (verifique!).
Já os pontos onde os gráficos das funções intersectam os eixos das ordenadas (eixo y) são os pontos cujas ordenadas
são f (0), g (0), h (0) e i (0) (verifique!).
É interessante notar que no Item (i) o conjunto imagem de f é Im f = [0,+∞[, enquanto que no Item (ii) o conjunto
imagem de g é Img = R, independente dos respectivos n.
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Embora funções polinomiais possam ter gráficos com os mais variados formatos, às vezes podemos ter uma ideia
de seu formato por meio da manipulação algébrica da expressão que define a função. O próximo exemplo ilustra isso.
Exemplo 1.49 Consideremos a função f : R→ R, dada por f (x) = x3 − 4x.
Colocando x3 em evidência na expressão de f (x) = x3 − 4x temos
f (x) = x3
(
1− 4
x2
)︸ ︷︷ ︸
∼=1 p/ |x|�0
∼= x3,
ou seja, para |x| “grande” (|x|� 0), o gráfico de f (x) se aproxima do gráfico de g (x) = x3, cujo formato já conhecemos.
Mas isso não resolve o problema do formato do gráfico de f para |x| “pequeno”. Entretanto, levando-se em conta
que as ráızes de f são −2, 0 e 2, podemos fazer o estudo do sinal de f (x) e ter um ideia do gráfico de f em torno desses
valores:
y
x0
2
f
-2
g
-2
R- - - - - + + + + +
sinal de x 4x3
+
0 2
+ + + + +- - - - -
Os gráficos visualizados na figura acima não estão em escala (isto é, a unidade de medida nos eixos x e y são
diferentes), mas ilustram bem o que estamos falando.
Mais adiante, quando estudarmos as chamadas “derivadas”, aprenderemos técnicas que permitirão esboçar gráficos
com rigor.
1.10.6 Funções Racionais
Funções f : X ⊂ R→ R com
f (x) = p(x)
q(x) ,
sendo p (x) e q (x) polinômios de tal modo que q (x) 6= 0 para qualquer x ∈ X, são chamadas de funções racionais.
Quando o grau do numerador p (x) é menor do que o grau do denominador q (x), dizemos que f é uma função
racional própria. Caso contrário, dizemos que f é uma função racional imprópria.
É interessante notar que em funções racionais impróprias é posśıvel efetuar a divisão de p (x) por q (x) pelo Método
da Chave, obtendo um quociente q (x) e um resto r (x) com grau menor do que o grau de q (x). Isto é equivalente
dizer que p (x) = q (x)q (x) + r (x) e, portanto,
f (x) = q (x) + r(x)
q(x) ,
sendo f (x) = r(x)
q(x) uma função racional própria.
Vejamos um exemplo:
Exemplo 1.50 Seja a função racional imprópria f : R→ R, dada por f (x) = 2x3−x2+3x+1
x2+1
.
Efetuando a divisão de p (x) = 2x3 − x2 + 3x+ 1 por q (x) = x2 + 1 pelo Método da Chave temos q (x) = 2x− 1 e
r (x) = x+ 2, ou seja,
2x3 − x2 + 3x+ 1︸ ︷︷ ︸
p(x)
=
(
x2 + 1
)︸ ︷︷ ︸
q(x)
(2x− 1)︸ ︷︷ ︸
q(x)
+ (x+ 2)︸ ︷︷ ︸
r(x)
e, portanto:
2x3−x2+3x+1
x2+1︸ ︷︷ ︸
f(x)
= 2x− 1︸ ︷︷ ︸
q(x)
+ x+2
x2+1︸ ︷︷ ︸
r(x)
q(x)
.
Observemos que f (x) = r(x)
q(x) = x+2
x2+1
é uma função racional própria.
Funções polinomiais são casos particulares de funções racionais. Neste caso, q (x) = 1 para qualquer x ∈ R.
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Exemplo 1.51 Consideremos f : R∗ → R com
f (x) = 1
xn
nos casos em que n = 1, 2, 3 e 4.
Os quatro gráficos dessas funções estão ilustrados na figura abaixo, sendo um de cada cor. Na última figura todos
os gráficos estão em um mesmo sistema de coordenadas, para que possamos entender melhor a dinâmica de variação
de n para os valores considerados.
n 3=
n 2=
-1
-1
0
1
1 x
y
n 2=
n 1=
n 1=
n = 4n = 4
n 3=
n 3=-1
-1 0
1
1 x
y
-1
0
1
1 x
y
n = 4
-1
-1
0
1
1
x
y
n 1= n 2=
-1 0 1
1
x
y
No caso em que n = 1 o gráfico de f (x) = 1
x
(em cor preta) é constituido pelos dois ramos de uma hipérbole tendo
os eixos coordenados como asśıntotas (provarisso é um bom exerćıcio!). Já para n = 2, a função f (x) = 1
x2
possui
imagens positivas apenas (gráfico na cor verde).
Nos casos n = 3, f (x) = 1
x3
possui gráfico em azul e n = 4, f (x) = 1
x4
possui gráfico em vermelho.
Observemos que os gráficos das funções acima não intersectam os eixos das abscissas (eixo x). Isto significa que as
equações f (x) = 0 não possuem ráızes (verifique!).
Observemos também que os gráficos das funções acima não intersectam os eixos das ordenadas (eixo y). Isto é
decorrência do fato de x = 0 não pertencer ao domı́nio das funções.
Assim como no caso das funções polinomiais, os gráficos das funções racionais possuem formatos muito variados.
O próximo exemplo é bastante ilustrativo nesse aspecto.
Exemplo 1.52 Consideremos f : X1 ⊂ R→ R e g : X2 ⊂ R→ R, dadas por
f (x) = 3x+3
x2+2x−8
e g (x) = x−5
x2+2x−15
,
respectivamente.
Os gráficos de f e de g estão ilustrados na figura abaixo (as retas pontilhadas verticais não fazem parte dos gráficos).
y
x x
y
-5 3-4
2
f g
-1
- /3 8
1 3/
5
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Notemos que o domı́nio X1 da função f não pode conter as ráızes de q1 (x) = x
2 + 2x− 8, que são −4 e 2, ou seja,
X1 = R − {−4, 2}. Já o domı́nio X2 de g não pode conter as ráızes de q2 (x) = x
2 + 2x − 15, que são −5 e 3, ou seja,
X2 = R− {−5, 3}.
Observemos que os gráficos das funções f e g acima intersectam os eixos das abscissas (eixos x) nos pontos de
abscissas iguais às ráızes das equações f (x) = 0 e g (x) = 0, enquanto que intersectam os eixos das ordenadas (eixos
y) nos pontos de ordenadas iguais a f (0) e g (0) (verifique essas afirmações).
Comentário análogo ao que fizemos nas funções polinomiais também vale aqui: embora funções racionais possam
ter gráficos com os mais variados formatos, às vezes podemos ter uma ideia de seu formato por meio da manipulação
algébrica da expressão que define a função. O próximo exemplo ilustra isso.
Exemplo 1.53 Consideremos as funções:
(i) f : R− {−2}→ R, dada por f (x) = 1
x+2 ;
(ii) g : R− {1}→ R, dada por g (x) = 2x−1
x−1 ;
(iii) h : R∗ → R, dada por h (x) = x2+1
x
O gráfico da função f é, na verdade, idêntico ao gráfico de f (x) = 1
x
, ou seja, uma hipérbole equilátera. Porém, no
caso de f, as asśıntotas são o eixo x e a reta vertical de equação x = −2. Portanto, é como se estivéssemos translando
o gráfico de f duas unidades para a esquerda (veja a primeira figura abaixo).
Com g podemos fazer a seguinte manipulação algébrica:
g (x) = 2x−1
x−1 = 2x−2+1
x−1 = 2x−2
x−1 + 1
x−1 = 2x−1
x−1 +
1
x−1 = 2+ 1
x−1 .
Observemos que g (x) = 1
x−1 possui por gráfico uma hipérbole equilátera com asśıntotas no eixo x e reta vertical x = 1.
Já g (x) = 2+ g (x) possui o mesmo gráfico de g, porém transladado duas unidades para cima. Portanto, o gráfico de
g é uma hipérbole equilátera com asśıntotas nas retas y = 2 e x = 1 (veja figura do meio abaixo).
Por fim, quanto a h podemos fazer a seguinte manipulação algébrica:
h (x) = x2+1
x
= x2
x
+ 1
x
= x+ 1
x
.
Observemos que para valores grandes de |x| temos h (x) ∼= x (ou seja, o gráfico de h se aproxima da bissetriz dos
quadrantes ı́mpares) e, para valores pequenos de |x| temos h (x) ∼= 1
x
(ou seja, o gráfico de h se aproxima de hipérbole
equilátera com asśıntotas nos eixos coordenados; veja figura à direita abaixo).
y
x0
g
y
-2
f
y
x0
2
1
h
2
x0 1
Mais uma vez, é sempre bom lembrar: mais adiante, quando estudarmos as chamadas “derivadas”, aprenderemos
técnicas que permitirão esboçar gráficos com mais rigor.
1.10.7 Funções Potências
São funções do tipo f : X ⊂ R→ R com
f (x) = xa ,
sendo a ∈ R∗ constante.
Casos particulares de funções potências:
Para a = 1 temos que f é uma função linear.
Para a = 2 temos que f é uma função quadrática.
Para a ∈ Z+ temos que f é uma função polinomial.
Para a ∈ Z− temos que f é uma função racional.
Exemplo 1.54 Consideremos f : X ⊂ R → R com f (x) = xa nos casos em que a = −1
2
, −1
3
, −1
5
, 1
5
, 1
3
e 1
2
. Os seis
gráficos dessas funções estão ilustrados na figura abaixo, sendo um de cada cor. Na última figura todos os gráficos
estão em um mesmo sistema de coordenadas, para que possamos entender melhor a dinâmica de variação de a para
os valores considerados.
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Cálculo Diferencial e Integral 1 UFU Página 51 de 239 páginas
a 1 2= /
a 1 3= /
a 1 5= /
a 1 5= - /
a 1 3= - /
a 1 2= - /
a 1 5= - /
a 1 3= - /
a 1 3= /
a 1 5= /
-1
-1
0
1
1 x
y
a 1 3= /-1
-1 0
1
1 x
y
a 1 2= /
0
1
1 x
y
a 1 5= - /
-1
-1
0 1
1
x
y
a 1 5= /-1
-1
0
1
1 x
y
a 1 2= - /
0
1
1 x
y
a 1 3= - /-1
-1
0 1
1
x
y
No caso em que a = 1
2
o gráfico de f (x) =
√
x (em cor magenta) é parte de uma parábola, sendo que X = [0,+∞[.
Já para a = −1
2
o domı́nio de f (x) = 1√
x
é X = ]0,+∞[ = R+ (gráfico em verde escuro). Nestes dois casos não
podemos estender o domı́nio aos números reais negativos pois, caso contrário, teŕıamos números complexos na imagem
de f.
Nos casos a = 1
3
(gráfico em azul) e a = 1
5
(gráfico em preto) o domı́nio de f é X = R.
Já nos casos em que a = −1
3
(gráfico em vermelho) e a = −1
5
(gráfico em verde claro), o domı́nio de f é X = R∗.
O exemplo acima permite algumas observações interessantes. De um modo geral, quando a ∈ Q está escrito em
forma de fração simplificada (isto é, numerador e donominador primos entre si) e com denominador par, então o
domı́nio de f é X = [0,+∞[ quando a > 0, e X = ]0,+∞[ quando a < 0. Com denominador ı́mpar, X = R quando
a > 0, e X = R∗ quando a < 0.
Já nos casos em que a é irracional positivo, temos X = [0,+∞[, enquanto que para a irracional negativo, temos
X = ]0,+∞[.
1.10.8 Funções Exponenciais
São funções do tipo f : R→ R com
f (x) = ax ,
sendo a > 0 e a 6= 1 constante real.
Constantes a negativas não são consideradas em nossos estudos para que evitemos valores complexos na imagem
de f, como por exemplo (−1)
1
2 =
√
−1 = i.
Já a = 1 ou a = 0 (com x > 0) conduzem a funções constantes que, por sua vez, não são consideradas funções
exponenciais.
Exemplo 1.55 Consideremos f : R → R com f (x) = ax, com a = 0, 2; a = 0, 5; a = 0, 7; a = 1, 5; a = 2 e a = e,
cujos gráficos são dados abaixo.
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a 0 5= ,
0 x
y
1
a 1 5= ,
0 x
y
1 a 2=
0 x
y
1 a e=
0 x
y
1
a 0 7= ,
0 x
y
1a 0 2= ,
0 x
y
1
Observemos que quando 0 < a < 1 o gráfico de f é decrescente, sempre intersectando o eixo das ordenadas (eixo
y) no ponto de ordenada 1. Observemos também que, quanto mais a está próximo de 1, tanto mais o gráfico de f está
próximo do gráfico da função constante g (x) = 1, ∀x ∈ R (que corresponde ao gráfico de f (x) = 1x).
De modo análogo, quando a > 1 o gráfico de f é crescente, sempre intersectando o eixo das ordenadas (eixo y)
também no ponto de ordenada 1.
Um destaque especial para o último gráfico, que corresponde ao gráfico da função exponencial de base e, ou seja,
f (x) = ex. Esta função será muito importante para estudos posteriores.
Por fim, observemos que se considerarmos f : R→ R+ as funções exponenciais são bijetivas (prove isso!).
1.10.9 Funções Logaŕıtmicas
São funções do tipo f : R+ → R com
f (x) = loga (x) ,
sendo a > 0 e a 6= 1 constante real.
Lembremos que
loga (x) = y⇐⇒ ay = x .
Desta forma, para que trabalhemos restritos ao conjunto dos números reais e tenhamos a função logaŕıtmica bem
definida, precisamos,de fato, da restrição a > 0 e a 6= 1.
Exemplo 1.56 Consideremos f : R+ → R com f (x) = loga(x), com a = 0, 2; a = 0, 5; a = 0, 7; a = 1, 5; a = 2 e
a = e, cujos gráficos são dados abaixo.
a 0 5= ,
0
y
a 1 5= , a 2= a e=
1
0
y
0
y
0 x
y
a 0 2= ,
0 x
y
1
a 0 7= ,
0
y
1
1 1 1
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Cálculo Diferencial e Integral 1 UFU Página 53 de 239 páginas
Observemos que quando 0 < a < 1 o gráfico de f é decrescente, sempre intersectando o eixo das abscissas (eixo x)
no ponto de abscissa 1. Observemos também que, quanto mais a está próximo de 1, tanto mais o gráfico de f está
próximo da reta vertical que passa pelo ponto de abscissa 1 do eixo x.
De modo análogo, quando a > 1 o gráfico de f é crescente, sempre intersectando o eixo das abscissas (eixo x)
também no ponto de abscissa 1.
Um destaque especial para o último gráfico, que corresponde ao gráfico da função logaŕıtmica na base e, ou seja,
f (x) = loge (x), que é chamada de função logaŕıtmica natural e denotada por f (x) = ln (x). Esta função também será
muito importante para estudos posteriores.
Por fim, todas as funções logaŕıtmicas são bijetivas (prove também isso!).
1.10.10 Funções Trigonométricas
Para estudarmos as chamadas funções trigonométricas, é importante introduzirmos o conceito de função periódica.
Funções Periódicas
Seja uma função f : X ⊂ R→ R tal que existe um número real positivo p que cumpre a condição
f (x+ p) = f (x) (∗)
para qualquer x ∈ X.
Naturalmente esta mesma condição é cumprida para qualquer múltiplo positivo mp (m ∈ N) de p, pois
f (x+mp) = f (x+ (m− 1)p+ p) = f (x+ (m− 1)p) = f (x+ (m− 2)p+ p) = f (x+ (m− 2)p)
= · · · = f (x+ 2p) = f (x+ p+ p) = f (x+ p) = f (x) .
Uma função f que cumpre a propriedade descrita acima é chamada de função periódica e o menor número
real positivo p que satisfaz (∗) é chamado de peŕıodo da função f.
Função Seno
É a função f : R→ R tal que
f (x) = sen (x) .
A função seno é periódica de peŕıodo p = 2π. Sua imagem é o intervalo I = [−1, 1]. Seu gráfico esta esboçado na
figura abaixo.
x
y
0 p/2
3 2p/
2p 5 2p/p
-p/2
-p-3 2p/-2p
-5 2p/
1
-1
Função Cosseno
É a função f : R→ R tal que
f (x) = cos (x) .
A função cosseno é periódica de peŕıodo p = 2π. Sua imagem é o intervalo I = [−1, 1]. Seu gráfico esta esboçado
na figura abaixo.
x
y
0 p/2 3 2p/ 2p
5 2p/p
-p/2
-p
-3 2p/-2p
-5 2p/
1
-1
Função Tangente
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É a função f : X ⊂ R→ R tal que
f (x) = tg (x) ,
sendo X = R−
{
π
2
+ kπ : k ∈ Z
}
.
A função tangente é periódica de peŕıodo p = π. Sua imagem é R. Seu gráfico esta esboçado na figura abaixo.
x
y
0
p/2 3 2p/
2p
5 2p/
p
-p/2
-p
-3 2p/
-2p
-5 2p/
1.10.11 Função Modular
É a função f : R→ R tal que
f (x) = |x| =
{
x, se x > 0
−x, se x < 0
.
Note que o desenvolvimento da expressão da função modular nada mais é do que a definição de |x|.
O conjunto imagem da função modular é Im f = [0,+∞[. Trata-se de uma função não negativa que não é injetiva,
nem sobrejetiva e, portanto, nem bijetiva.
O gráfico da função modular é constitúıdo pelas bissetrizes do primeiro e segundo quadrantes e é dado abaixo.
y
x0
1
1
f
-1
A função modular sozinha não tem muitos atrativos, mas quando compomos com outras funções, podemos gerar
uma variedade imensa de funções cujos gráficos são bastante interessantes e úteis em diversas aplicações.
Abaixo seguem alguns exemplos.
Exemplo 1.57 Consideremos as funções f, g, h : R → R dadas por f (x) = |sen (x)|, g (x) =
∣∣x2 + x− 1∣∣ e h (x) =
|−x+ 1|+ 1.
Os gráficos de f, g e h são dados abaixo:
y
x0
1
g
y
x0
1
p
2
f
y
x0
1
1
h2
p 2p
Observemos que os gráficos de f e g são obtidos dos gráficos das funções f (x) = sen (x) e g (x) = x2 + x − 1
refletindo-se a parte abaixo do eixo x em torno do próprio eixo x.
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Tarefa Importante
Considere as funções
f (x) = a+ b sen (cx+ d)
g (x) = a+ b cos (cx+ d)
h (x) = a+ b tg (cx+ d)
Utilizando o software GeoGebra, estude o comportamento dinâmico dos gráficos das funções acima fazendo com
que os parâmetros a, b, c e d variem. Faça um resumo de suas conclusões.
As conclusões as quais você chegou valem apenas para as funções trigonométricas?
1.11 Funções Inversas
Seja f : A ⊂ R→ B ⊂ R uma função bijetiva. Logo, podemos definir, de forma uńıvoca, a função g : B ⊂ R→ A ⊂
R tal que
f (a) = b⇔ g (b) = a.
x
y
0 a = g b( )A
B
f a( ) = b
gráfico de f
A função g é chamada de inversa da função f e é indicada por g = f−1. Assim, se f é invert́ıvel (ou seja, bijetiva)
temos
f (a) = b⇔ f−1 (b) = a .
Com isso, estão definidas as seguintes compostas:
f ◦ f−1 (b) = f
(
f−1 (b)
)
= f (a) = b = Id (b)
e
f−1 ◦ f (a) = f−1 (f (a)) = f−1 (b) = a = Id (a)
sendo Id : R → R a função linear identidade , cujo gráfico no plano cartesiano é a reta bissetriz dos quadrantes
ı́mpares (portanto, coeficiente angular igual a 1).
A primeira das duas compostas acima é bastante útil para encontrarmos a expressão de f−1, dada a expressão de
f, conforme veremos no exemplo abaixo. Por fim, é costume indicar essas duas compostas do seguinte modo: f ◦ f−1 (x) = f
(
f−1 (x)
)
= x
e
f−1 ◦ f (x) = f−1 (f (x)) = x
Exemplo 1.58 (i) Seja a função f : [0,+∞[→ [1,+∞[, dada por f (x) = x2 + 1. Com esse domı́nio e contradomı́nio,
f é bijetiva. Logo, existe a função inversa f−1 : [1,+∞[→ [0,+∞[ tal que
f
(
f−1 (x)
)
= x⇒ (
f−1 (x)
)2
+ 1 = x⇒ (
f−1 (x)
)2
= x− 1⇒ f−1 (x) =
√
x− 1,
considerando que a escolha pelo sinal positivo se deve ao contradomı́nio de f−1.
(ii) Seja a função f : R → R, dada por f (x) = 2x3 − 5. Com esse domı́nio e contradomı́nio, f é bijetiva. Logo,
existe a função inversa f−1 : R→ R tal que
f
(
f−1 (x)
)
= x⇒ 2
(
f−1 (x)
)3
− 5 = x⇒ (
f−1 (x)
)3
= x+5
2
⇒ f−1 (x) = 3
»
x+5
2
.
Propriedade geométrica das funções invert́ıveis.
O gráfico de uma função f invert́ıvel e o gráfico de sua inversa f−1 são simétricos em relação ao gráfico da função
identidade.
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x
y
0 A
B
gráfico de f
x
y
0
x
y
0B
A
gráfico de f 1-
f
f 1-
Id
A justificativa é simples: sendo f : A→ B e f−1 : B→ A; com A,B ⊂ R; temos
Gf = {(a, f (a)) : a ∈ A} e Gf−1 =
{(
b, f−1 (b)
)
: b ∈ B
}
.
Como f (a) = b, temos Gf−1 =
{(
f (a) , f−1 (f (a))
)
: a ∈ A
}
, ou seja:
Gf = {(a, f (a)) : a ∈ A} e Gf−1 = {(f (a) , a) : a ∈ A} ,
e sendo (a, f (a)) e (f (a) , a) pontos simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ı́mpares, temos a propriedade
enunciada acima justificada.
Exemplo 1.59 Sejam f : R+ → R+ com f (x) = x2 (que é bijetiva com esse domı́nio e contradomı́nio) e sua inversa
f−1 : R+ → R+ com f−1 (x) =
√
x.
Temos
f ◦ f−1 (x) = f
(
f−1 (x)
)
= f
(√
x
)
=
(√
x
)2
= x
e
f−1 ◦ f (x) = f−1 (f (x)) = f−1
(
x2
)
=
√
x2 = |x| = x
gráfico de f
x
y
0
gráfico de f 1-
f
f 1-
Id
1
1
x
y
0 1
1
x
y
0 1
1
Exemplo 1.60 Sejam f : R → R+ com f (x) = ax, sendo a > 0 e a 6= 1 (que é bijetiva com esse domı́nio e
contradomı́nio) e sua inversa f−1 : R+ → R com f−1 (x) = loga (x).
Temos
f ◦ f−1 (x) = f
(
f−1 (x)
)
= f (loga (x)) = a
loga(x) = x
e
f−1 ◦ f (x) = f−1 (f (x)) = f−1 (ax) = loga (a
x) = x
Na figura abaixo temos os gráficos de f (x) = ex e f−1 (x) = ln (x), ou seja, tomamos a = e nas funções acima.
gráficode f
x
y
gráfico de f 1-
Id
1
1
0
f
f 1-
x
y
10
x
y
1
0
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Exemplo 1.61 Consideremos f : R− {−1}→ R− {1}, dada por f (x) = x
x+1 .
A função f é injetiva. De fato: sejam x1, x2 ∈ R− {−1} tais que:
f (x1) = f (x2)⇒ x1
x1+1
= x2
x2+1
⇒ x1x2 + x1 = x1x2 + x2 ⇒ x1 = x2.
A função f é sobrejetiva. De fato: seja y ∈ R− {1} e tomemos x = y
1−y ∈ R− {−1}. Logo,
f (x) = f
Ä
y
1−y
ä
=
y
1−y
y
1−y + 1
=
y
1−y
y+1−y
1−y
= y,
ou seja, Im f = R− {1}.
Portanto, f é bijetiva e, com isto, temos a existência da função inversa f−1 : R− {1}→ R− {−1} tal que
f
(
f−1 (x)
)
= x⇒ f−1(x)
f−1(x)+1
= x⇒ f−1 (x) = xf−1 (x) + x⇒ (1− x) f−1 (x) = x⇒ f−1 (x) = x
1−x .
Eis os gráficos de f e f−1, e observemos a simetria em relação à bissetriz dos quadrantes ı́mpares.
y
x0
f-1
y
-1
f
y
xx0 1
1
-1
f f-1 Id
É curioso observar que f (x) = x
x+1 = 1− 1
x+1 (faça a divisão de x por x+ 1 pelo Método da Chave) de onde vemos
com facilidade que o gráfico de f é uma hipérbole equilátera com asśıntotas nas retas y = 1 e x = −1.
Já f−1 (x) = x
1−x = −1− 1
x−1 , cujo gráfico é uma hipérbole equilátera com asśıntotas y = −1 e x = 1.
1.12 Funções Pares e Funções Ímpares
Seja f : I ⊂ R → R uma função e I um intervalo simétrico em relação à origem, ou seja, um intervalo com
extremos −a e a com a > 0 ou, então, I = R.
Dizemos que f é uma função par quando f (−x) = f (x) para qualquer x ∈ I.
Dizemos que f é uma função ı́mpar quando f (−x) = −f (x) para qualquer x ∈ I.
Observação: o domı́nio da função f não precisa ser, necessariamente, um intervalo. O domı́nio pode ser outro, desde
que: se x está no domı́nio, então −x também está no domı́nio. Por exemplo, X = Z ou X = [−5,−2]∪ [2, 5] podem ser
domı́nios de funções pares ou ı́mpares, de acordo com a definição acima.
Propriedade geométrica das funções pares.
Simetria axial: o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas (eixo y).
y
x-x x
f x f x( ) = ( )-
Propriedade geométrica das funções ı́mpares.
Simetria radial: O gráfico de uma função ı́mpar é simétrico em relação à origem do sistemas de coordenadas.
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y
x
-x
x
f x( )
f x( ) =- -f x( )
Exemplo 1.62 Sejam f : R→ R tal que f (x) = cos (x) e g : R→ R tal que g (x) = x2.
A função cosseno é par, pois f (−x) = cos (−x) = cos (x) = f (x) para qualquer x ∈ R.
De modo análogo, g (−x) = (−x)
2
= x2 = g (x) para qualquer x ∈ R.
x
y
0 p/2 3 2p/ 2p
5 2p/p
-p/2
-p
-3 2p/-2p
-5 2p/
1
-1
1
-1 x
y
-2 21
4
f
g
Exemplo 1.63 Sejam f : R→ R tal que f (x) = sen (x) e g : R→ R tal que g (x) = x3.
A função seno é ı́mpar, pois f (−x) = sen (−x) = − sen (x) = −f (x) para qualquer x ∈ R.
De modo análogo, g (−x) = (−x)
3
= −x3 = −g (x) para qualquer x ∈ R.
x
y
0 p/2
3 2p/
2p 5 2p/p
-p/2
-p-3 2p/-2p
-5 2p/
1
-1
y
x0
1
1
g
-1
-1
f
1.13 Indo um Pouco mais Além (leitura opcional)
Na Seção 1.10 (Algumas Funções Especiais) apresentamos as funções mais comuns do Cálculo Diferencial e Integral.
Essas funções apresentadas são casos particulares de duas grandes famı́lias de funções reais de uma variável real:
as funções algébricas e as funções transcendentes (ou transcendentais).
As definições são as seguintes:
Uma função f : X ⊂ R→ R dada por y = f (x) é dita algébrica quando satisfizer uma equação do tipo
pm (x)ym + pm−1 (x)y
m−1 + · · ·+ p2 (x)y2 + p1 (x)y+ p0 (x) = 0,
sendo pi (x) polinômios (na variável x) com coeficientes inteiros, e m ∈ N fixo.
Quando a função y = f (x) não é algébrica, dizemos que ela é transcendente (ou transcendental).
Frequentemente, as funções algébricas são dadas por expressões envolvendo apenas as operações de adição, sub-
tração, multiplicação, divisão e potenciação com expoente fracionário (números racionais) aplicadas a um número
finito de polinômios com coeficientes inteiros.
Exemplo 1.64 (1) Qualquer função polinomial y = f (x) = anx
n + · · ·+ a0 com coeficientes inteiros é algébrica. De
fato, basta tomar p0 (x) = − (anx
n + · · ·+ a0), p1 (x) = 1 e pi (x) = 0 para os demais i′s, e a equação da definição
acima tem y = f (x) como solução.
(2) A função y = f (x) = x+
√
2 é algébrica. De fato:
y = x+
√
2⇒ (y− x)
2
=
Ä√
2
ä2 ⇒ y2 − 2xy+ x2 = 2⇒ y2 − 2xy+ x2 − 2 = 0.
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Logo, tomando p0 (x) = x2 − 2, p1 (x) = −2x, p2 (x) = 1 e pi (x) = 0 para os demais i′s, temos a definição de
função algébrica cumprida.
(3) A função y = f (x) = x+ π é transcendente. De fato:
y = x+ π⇒ (y− x)
2
= π2 ⇒ y2 − 2xy+ x2 = π2 ⇒ y2 − 2xy+ x2 − π2 = 0.
Observemos que p0 (x) = x
2 − π2 não é um polinômio com coeficientes inteiros.
Observação: dos Itens (2) e (3) do exemplo acima, conclúımos que as funções funções polinomiais podem ser algébricas
ou transcendentes. Depende de seus coeficientes. Quando todos os seus coeficientes são números algébricos(7), então a
função polinomial é algébrica. Se existir um coeficiente sequer, que seja um número transcendente(8), então a função
polinomial é transcendente.
Exemplo 1.65 (1) Qualquer função racional y = f (x) = p(x)
q(x) com p (x) e q (x) polinômios com coeficientes inteiros
é algébrica. De fato, basta tomar p0 (x) = −p (x), p1 (x) = q (x) e pi (x) = 0 para os demais i′s, e a equação da
definição acima tem y = f (x) como solução.
(2) A função y = f (x) = x+1√
x−3
é algébrica. De fato:
y = x+1√
x−3
⇒ y2 =
Ä
x+1√
x−3
ä2 ⇒ y2 = x2+2x+1
x−3 ⇒ (x− 3)y2 = x2 + 2x+ 1⇒ (x− 3)y2 − x2 − 2x− 1 = 0.
Logo, tomando p0 (x) = −x2 − 2x− 1, p1 (x) = 0, p2 (x) = x− 3 e pi (x) = 0 para os demais i′s, temos a definição
de função algébrica cumprida.
(3) A função y = f (x) = x+2
x+
√
5
é algébrica. De fato:
y = x+2
x+
√
5
⇒ xy+
√
5y = x+ 2⇒ √5y = x (1− y) + 2⇒ Ä√5yä2 = (x (1− y) + 2)
2 ⇒
5y2 = x2 (1− y)
2
+ 4x (1− y) + 4⇒ 5y2 = x2
(
1− 2y+ y2
)
+ 4x− 4xy+ 4⇒
5y2 = x2 − 2x2y+ x2y2 + 4x− 4xy+ 4⇒ (
−x2 + 5
)
y2 +
(
2x2 + 4x
)
y− x2 − 4x− 4 = 0.
Logo, tomando p0 (x) = −x2 − 4x − 4, p1 (x) = 2x
2 + 4x, p2 (x) = −x2 + 5 e pi (x) = 0 para os demais i′s, temos
a definição de função algébrica cumprida.
(4) A função y = f (x) = |x| é algébrica. De fato:
y = |x|⇒ y =
√
x2 ⇒ y2 =
Ä√
x2
ä2 ⇒ y2 = x2 ⇒ y2 − x2 = 0.
Logo, tomando p0 (x) = −x2, p1 (x) = 0, p2 (x) = 1 e pi (x) = 0 para os demais i′s, temos a definição de função
algébrica cumprida.
Observação: assim como as funções polinomiais, as funções racionais podem ser algébricas ou transcendentes. De-
pende de p (x) e q (x) possuirem coeficientes algébricos ou transcendentes. Já com base no Item (4) do exemplo
acima, podemos concluir facilmente que funções modulares envolvendo razões de polinômios com coeficientes inteiros
são funções algébricas.
Exemplo 1.66 Funções potências, y = f (x) = xa com a ∈ R∗ podem ou não serem algébricas, dependendo do valor
de a. Se a for um número racional, então y = f (x) é uma função algébrica. Caso contrário, y = f (x) é uma função
transcendente.
Exemplo 1.67 Funções exponenciais, logaŕıtmicas, trigonométricas, e suas inversas, são todas funções transcendentes.
Observação: quando compomos duas funções algébricas, o resultado continua sendo uma função algébrica (não
demonstraremos isso nessas notas). Por outro lado, quando compomos duas funções transcendentes, o resultado pode
não ser uma função transcendente. Por exemplo, f : [−π, π]⊂ R → [−1, 1] ⊂ R, dada por f (x) = sen (x), composta
com sua inversa f−1 (x) = arcsen (x), tem por resultado a função identidade, que é algébrica. Um exemplo mais
interessante é quando restringimos f a [0, π] e compomos com g (x) = arccos (x), ou seja:
f (g (x)) = sen (arccos (x)) =
√
1− x2,
7Um número real é dito algébrico quando for raiz de um polinômio com coefientes inteiros.
8Um número real é dito transcendente quando não for algébrico, ou seja, quando não for raiz de um polinômio com coefientes inteiros.
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que é uma função algébrica. Já a composta de uma função algébrica com uma função transcendente (em qualquer
ordem) é uma função transcendente (também não demonstraremos isso nessas notas).
Por fim, uma subclassificação das funções algébricas, às vezes, é encontrada em alguns textos:
Funções Algébricas
 Expĺıcitas
 Racionais
{
Inteiras
Fracionárias
Irracionais
Impĺıcitas
• Funções algébricas expĺıcitas: quando é posśıvel isolar y = f (x) na equação da definição de função algébrica (usando
adição, subtração, multiplicação, divisão, e potenciação com expoentes fracionários). Todos os exemplos de funções
algébricas que trabalhamos acima são expĺıcitas.
• Funções algébricas impĺıcitas: quando não é expĺıcita. Exemplo: y = f (x) tal que y5 + y+ x = 0 define uma função
algébrica implicitamente. Prova-se que não é posśıvel isolar o y nesta equação. (obs.: prova-se, também, que até grau
4 em y é sempre expĺıcita!)
• Funções algébricas expĺıcitas racionais: são funções racionais y = f (x) = p(x)
q(x) envolvendo apenas polinômios p (x)
e q (x) com coeficientes inteiros.
Exemplos: y = f (x) = 2x+1
x2+5
, y = f (x) = 1
x3
, y = f (x) = x2 ou y = f (x) = x3 + 2x+ 7.
Observação: quociente de polinômios com coeficientes racionais se enquadram nas funções algébricas expĺıcitas
racionais. Exemplo: y = f (x) =
2
3
x2+3
4
5
x3+ 1
2
x2
=
2x2+9
3
8x3+5x2
10
= 20x2+90
24x3+15x2
.
• Funções algébricas expĺıcitas irracionais: quando não é racional, ou seja, são funções que apresentam potências
fracionárias não inteiras.
Exemplos: y = f (x) = x+1√
x−3
, y = f (x) = x+2
x+
√
5
, y = f (x) = x+
√
2 ou y = f (x) =
√
1+x3
7√
x3−
√
7 3
√
x
.
• Funções algébricas expĺıcitas racionais inteiras: são funções racionais y = f (x) = p(x)
q(x) envolvendo apenas polinômios
p (x) e q (x) com coeficientes inteiros, sendo q (x) = 1 (ou seja, são funções polinomiais com coeficientes inteiros).
Exemplos: y = f (x) = x2 ou y = f (x) = x3 + 2x+ 7.
• Funções algébricas expĺıcitas racionais fracionárias: quando não é inteira, ou seja, são funções racionais y = f (x) =
p(x)
q(x) envolvendo apenas polinômios p (x) e q (x) com coeficientes inteiros, sendo q (x) 6= 1.
Exemplos: y = f (x) = 2x+1
x2+5
ou y = f (x) = 1
x3
.
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Seção de Exerćıcios Propostos: Pré-cálculo
PARTE 1
Exerćıcio 1.1 Escreva os números naturais 27720 e 33235 como produto de fatores primos.
Exerćıcio 1.2 Escreva os números racionais 7
16
, 11
25
e 7
50
em representação decimal finita. Explique por que esses
números podem ser escritos em representação decimal finita.
Exerćıcio 1.3 Escreva os números racionais 1
7
, 5
11
e 7
6
em representação decimal infinita periódica. Explique por que
esses números não podem ser escritos em representação decimal finita.
Exerćıcio 1.4 Escreva os seguintes números racionais em forma de fração com numerador e denominador primos
entre si.
0, 1111 . . . 0, 8888 . . . 1, 232323 . . . 0, 65625 0, 90384615384615384615 . . . 89, 2857142857142857142 . . .
Exerćıcio 1.5 (Resolvido) Mostre que:
(i) Se a é um número inteiro par, então a2 é par;
(ii) Se a é um número inteiro ı́mpar, então a2 é ı́mpar.
(iii) Se a2 é um número inteiro par, então a é par;
(iv) Se a2 é um número inteiro ı́mpar, então a é ı́mpar;
(v) Demonstre que
√
2 é um número irracional utilizando o item (iii) acima.
Resolução.
(i) Se a ∈ Z é par, então a é da forma a = 2b com b ∈ Z. Logo, a2 = (2b)
2
= 2
(
2b2
)
= 2c, sendo c = 2b2. Logo,
a2 é par.
(ii) Se a ∈ Z é ı́mpar, então a é da forma a = 2b+1 com b ∈ Z. Logo, a2 = 4b2+4b+1 = 2
(
2b2 + 2b
)
+1 = 2c+1,
sendo c = 2b2 + 2b. Logo, a2 é ı́mpar.
(iii) Seja a2 ∈ Z par, conforme a hipótese.
Vamos supor que a seja ı́mpar (demonstração por absurdo).
Mas, se a é ı́mpar, pelo Item (ii) acima, a2 deve ser ı́mpar também. Contradição com a hipótese de que a2 é
par (um número não pode ser par e ı́mpar ao mesmo tempo). Logo, a não pode ser ı́mpar. Então, a é par.
Outra demonstração do Item (iii).
Se você não gostou da demonstração por absurdo que fizemos acima, segue outra demonstração, utilizando
o Teorema Fundamental da Aritmética.
Se a2 = 0, então a = 0 e, portanto, par. Se a2 ∈ Z é par e maior do que zero, então |a| > 2. Sabemos
que todo número inteiro maior do que 1 pode ser fatorado em produtos de números primos e tal fatoração é
única a menos de permutação dos fatores (Teorema Fundamental da Aritmética). Logo,
|a| = p1 . . . pn,
com pi primo. Logo,
a2 = p21 . . . p
2
n.
Sendo a2 par, portanto da forma a2 = 2c, então pj = 2 para algum j.
Assim,
|a| = p1 . . . pj−12pj+1 . . . pn = 2 (p1 . . . pj−1pj+1 . . . pn) ,
ou seja, |a| é da forma |a| = 2b e, portanto, a é par.
(iv) Seja a2 ∈ Z ı́mpar, conforme a hipótese.
Vamos supor que a seja par (demonstração por absurdo).
Mas, se a é par, pelo Item (i) acima, a2 deve ser par também. Contradição com a hipótese de que a2 é ı́mpar
(um número não pode ser par e ı́mpar ao mesmo tempo). Logo, a não pode ser par. Então, a é ı́mpar.
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Outra demonstração do Item (iv), utilizando o Teorema Fundamental da Aritmética.
Se a2 = 1, então a = ±1 e, portanto, ı́mpar. Se a2 ∈ Z é ı́mpar e maior do que um, então |a| > 2. Pelo
Teorema Fundamental da Aritmética,
|a| = p1 . . . pn,
com pi primo. Logo,
a2 = p21 . . . p
2
n.
Sendo a2 ı́mpar, então a2 não possui fatores iguais a 2, ou seja, pi 6= 2 para qualquer i.
Logo, |a| = p1 . . . pn não possui fatores iguais a 2 e, portanto, não pode ser par, restando apenas a opção
de |a| ser ı́mpar. Logo, a é ı́mpar.
(v) Suponhamos, por absurdo, que
√
2 seja racional, ou seja,
√
2 = p
q
com p, q ∈ Z, q 6= 0 e p, q primos entre si,
ou seja, p e q não possui fatores comuns maiores do que 1 (equivale dizer que a fração p
q
é irredut́ıvel). Logo,
p2
q2
= 2⇒ p2 = 2q2 ⇒ p2 é par⇒ p é par⇒ p = 2a.
De
√
2 = p
q
temos
2 = (2a)2
q
⇒ q = 2a2 ⇒ q é par⇒ q = 2b.
Logo, p e q não são primos entre si, pois possuem o fator 2 em comum. Absurdo com a hipótese de p e q serem
primos entre si.
Assim,
√
2 não pode ser um número racional e, portanto, deve ser um número irracional.
Exerćıcio 1.6 Recorde, no texto, como foi demonstrado que
√
2 é um número irracional (com o Teorema Fundamental
da Aritmética). Utilizando o mesmo argumento, demonstre que
√
3 também é um número irracional.
Exerćıcio 1.7 Verdadeiro ou falso? Justifique (isto é, demonstre se for verdadeiro; e dê contra-exemplo se for falso).
(i) A soma de dois números irracionais é um número irracional.
(ii) A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.
(iii) O produto de um número racional não nulo com um número irracional é um número irracional.
(iv) O produto de dois números irracionais não nulos é um númeroirracional.
Exerćıcio 1.8 Calcule utilizando as propriedades de potenciação:
(i) 34, 04, (−6⁄11)2 e (7⁄3)3;
(ii) 50, 64, 4−3, (−6)
−4
e (−3⁄5)−2;
(iii) 625
1⁄2, 0
1⁄8, 81
1⁄4 e 0, 0121
1⁄2;
(iv) 27
1⁄3, (−64)
1⁄3 e (−0, 001)
1⁄3;
(v) (−8)
2⁄3 e 81
3⁄4.
Exerćıcio 1.9 Escreva as equações de 1o. grau abaixo na forma ax+ b = 0. Em seguida, resolva-as.
(i) x
2
− 3 = 1 (ii) 3x+15
2
= −4 (iii) 3x+2x−5
3
= 8
5
(iv) 2 (x− 3) + 4 (x− 2) = −2
(v) 1
2
(x− 5) − 3x
4
− 2 = 0 (vi) 1
2
(x− 3) + 5 (2x+ 1) = 3
4
x+ 2
Respostas: (i) x = 8, (ii) x = −23
3
, (iii) x = 49
25
, (iv) x = 2, (v) x = −18, (vi) x = − 2
13
.
Exerćıcio 1.10 Resolva as equações do 2o. grau.
(i) x2 − 4x+ 4 = 0 (ii) x2 − 2x+ 2 = 0 (iii) 2x2 + 3x− 2 = 0 (iv) −x2 − 2x+ 3 = 0
Respostas: (i) x = 2, (ii) não há ráızes reais, (iii) x1 = −2 e x2 =
1
2
, (iv) x1 = −3 e x2 = 1.
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Exerćıcio 1.11 Escreva as inequações de 1o. grau abaixo na forma ax > b, ax < b, ax > b ou ax 6 b. Em seguida,
resolva-as.
(i) 5x+ 3 > 7 (ii) 8x− 3 > 5x+ 9 (iii) 2x− 5 (3x+ 1) > 19− x (iv) 3x
2
− 5(x−2)
4
6 8+ 1−2x
2
(v) −2x+5
3
6 1
2
+ x (vi) 3x+ 3 < x+ 6 (vii) x− 3 > 3x+ 1
Respostas: (i) x ∈
]
4
5
,+∞[, (ii) x ∈ ]4,+∞[, (iii) x ∈ ]−∞,−2], (iv) x ∈ ]−∞, 24
5
]
x = 2, (v) x ∈
[
7
10
,+∞[, (vi)
x ∈
]
−∞, 3
2
[
, (vii) x ∈ ]−∞,−2[.
Exerćıcio 1.12 Encontre uma equação do 2o. grau:
(i) que tenha x1 = −3 e x2 =
2
5
como ráızes.
(ii) cuja única raiz seja o número 5.
Respostas: (i) 5x2 + 13x− 6 = 0 e (ii) x2 − 10x+ 25 = 0.
Exerćıcio 1.13 Utilizando a forma x2 − (x1 + x2) x+ x1x2 = 0 para equação do 2o. grau, sendo x1 e x2 suas ráızes,
determine:
(i) Dois números cuja soma seja nula e o produto seja −21.
(ii) Dois números cuja soma seja a idade de sua mãe e o produto seja sua idade.
Resposta: (i) x1 = −
√
21 e x2 =
√
21.
Exerćıcio 1.14 Utilizando o fato de que se x1 e x2 são ráızes do polinômio de 2o. grau p (x) = ax2 + bx + c, sendo
a 6= 0, então p (x) = a (x− x1) (x− x2), fatore:
(i) x2 − 3x+ 2 (ii) x2 − x− 2 (iii) x2 − 2x+ 1 (iv) x2 − 6x+ 9
(v) x2 − 4x+ 4 (vi) 2x2 + 3x− 2 (vii) 5x2 + 14x− 3 (viii) −x2 − 2x+ 3
Respostas: (i) (x− 1) (x− 2), (ii) (x+ 1) (x− 2), (iii) (x− 1)
2
, (iv) (x− 3)
2
, (v) (x− 2)
2
, (vi) (2x− 1) (x+ 2),
(vii) (5x− 1) (x+ 3), (viii) (1− x) (x+ 3).
Exerćıcio 1.15 Faça o estudo de sinais dos seguintes trinômios do 2o. grau, ou seja, para quais valores reais de x o
trinômio ax2 + bx+ c é positivo e para quais valores de x o trinômio é negativo.
(i) −2x2 + 4x− 5 (ii) 4x2 + 4x+ 1 (iii) x2 − x− 2 (iv) −x2 + 4x− 3
Respostas: (i) negativo para qualquer x ∈ R;
(ii) positivo para x 6= −1
2
e nulo para x = −1
2
;
(iii) positivo para x ∈ ]−∞,−1[ ∪ ]2,+∞[, negativo para x ∈ ]−1, 2[ e nulo para x = −1 ou x = 2;
(iv) negativo para x ∈ ]−∞, 1[ ∪ ]3,+∞[, positivo para x ∈ ]1, 3[ e nulo para x = 1 ou x = 3.
Exerćıcio 1.16 Resolva as seguintes inequações do 2o. grau:
(i) x2 − 4 > 0 (ii) x2 > 1 (iii) 2x2 − 2x− 4 > 0 (iv) 1
5
(
x2 − 4x+ 3
)
6 0 (v) x2 − 2x+ 2 > 0
(vi) x2 + x+ 1
4
> 0 (vii) x2 − 3x+ 2 < 0 (viii) x2 − 5x+ 6 > 0 (ix) x2 − x− 2 > 0 (x) 3x2 + x− 2 > 0
Respostas: (iii) x ∈ ]−∞,−1[ ∪ ]2,+∞[; (iv) x ∈ [1, 3]; (v) x ∈ R; (vi) x ∈ R−
{
−1
2
}
.
Exerćıcio 1.17 Resolva as seguintes inequações:
(i) x−1
x−2 > 0 (ii) (2x+ 1) (x− 2) < 0 (iii) (2x− 1)
(
x2 + 1
)
> 0 (iv) x
2x−3 6 3
(v) 3x−1
x+2 > 5 (vi) x
2−9
x+1 < 0 (vii) x
2−4
x2+4
> 0 (viii) x
2−1
3
− 2 (3x+ 1) > 3+ 2x2−5
2
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Respostas: (i) x ∈ ]−∞, 1[ ∪ ]2,+∞[; (ii) x ∈
]
−1
2
, 2
[
; (iii) x ∈
[
1
2
,+∞[; (iv) x ∈
]
−∞, 3
2
[
∪
[
9
5
,+∞[; (v)
x ∈
[
−11
2
,−2
[
; (viii) x ∈
]
−17
2
,−1
2
[
.
Exerćıcio 1.18 Divida xn − an por x− a, sendo a ∈ R, nos casos em que n = 2, 3 e 4 e conclua que:
(i) Quando n = 2 temos
x2 − a2 = (x− a) (x+ a) .
(ii) Quando n = 3 temos
x3 − a3 = (x− a)
(
x2 + ax+ a2
)
.
(iii) Quando n = 4 temos
x4 − a4 = (x− a)
(
x3 + ax2 + a2x+ a3
)
.
Observação: Não é dif́ıcil generalizar este exerćıcio para n > 2 natural qualquer:
xn − an = (x− a)
(
xn−1 + axn−2 + a2xn−3 + · · ·+ an−3x2 + an−2x+ an−1
)
sendo que os termos ajxk que aparecem no segundo membro são tais que j, k > 0 e j+ k = n− 1.
Exerćıcio 1.19 Simplifique:
(i) x2−1
x−1
(ii) x3−8
x2−4
(iii) 4x2−9
2x+3
(iv) (x+h)2−x2
h
(v)
1
x2
− 1
x− 1
(vi)
1
x2
− 1
9
x− 3
(vii)
1
x
− 1
5
x− 5
(viii)
1
x
− 1
p
x− p
(ix)
1
x2
− 1
p2
x− p
(x)
1
x
− 1
x− 1
(xi)
1
x+h − 1
x
h
(xii) (x+h)3−x3
h
(xiii) (x+h)2−(x−h)2
h
(xiv) x4−p4
x−p
Exerćıcio 1.20 A afirmação: “Para todo x ∈ R, x 6= 2, x
2+x+1
x−2 > 3 ⇐⇒ x2 + x + 1 > 3 (x− 2)” é verdadeira ou
falsa? Justifique.
Resposta: falsa. (justifique)
Exerćıcio 1.21 Resolva:
(i) |x| 6 1 (ii) |2x− 1| < 3 (iii) |3x− 1| < −2 (iv) |3x− 1| < 1
3
Exerćıcio 1.22 Expresse cada um dos conjuntos abaixo em notação de intervalo.
(i) {x ∈ R : 4x− 3 < 6x+ 2} (ii) {x ∈ R : |x| < 1} (iii) {x ∈ R : |2x− 3| 6 1} (iv)
{
x ∈ R : 3x− 1 < x
3
}
Exerćıcio 1.23 Mostre que a média geométrica entre dois números positivos é menor ou igual à média aritmética
dos mesmos, ou seja, mostre que se x e y são números positivos, então
√
xy 6 x+y
2
.
PARTE 2
Exerćıcio 1.24 Represente os pontos P
(
2, 3
2
)
, Q
Ä
−1,
√
2
ä
, R (2,−1) e S (−3,−1) no plano cartesiano.
Exerćıcio 1.25 Dados os pontos no plano cartesiano:
A (500, 500)
B (−600,−600)
C (715,−715)
D (−1002, 1002)
E (0, 0)
F (711, 0)
G (0,−517)
H (−321, 0)
I (0, 8198)
J
Ä
π, π
√
3
ä
K
Ä√
2,−
√
2
ä
L
(
9
2
, 18
4
)
Quais são pertencentes:
(i) ao primeiro quadrante;
(ii) ao segundo quadrante;
(iii) ao terceiro quadrante;
(iv) ao quarto quadrante;
(v) ao eixo das abscissas;
(vi) ao eixo das ordenadas;
(vii) à bissetriz dos quadrantes ı́mpares;
(viii) à bissetriz do quadrantes pares.
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Exerćıcio 1.26 Calcule a distância entre os pontos A (1, 3) e B (−1, 4); e entre os pontos P1 (5, 0) e P2 (−1, 1).
Exerćıcio 1.27 Calcule a distância do ponto P (−6, 8) à origem do sistema de coordenadas.
Exerćıcio 1.28 Calcule a distância entre os pontos A (a− 3, b+ 4) e B (a+ 2, b− 8).
Exerćıcio 1.29 Calcule o peŕımetro do triângulo ABC, sendo dados A (2, 1), B (−1, 3) e C (4,−2).
Exerćıcio 1.30 Prove que o triângulo de vértices A (2, 2), B (−4,−6) e C (4,−12) é um triângulo retângulo.
Exerćıcio 1.31 Dados A (4, 5), B (1, 1) e C (x, 4), calcule x de modo que ABC seja triângulo retângulo com ângulo
reto em B.
Resposta: x = −3.
Exerćıcio 1.32 Dados A (x, 5), B (−2, 3) e C (4, 1), obtenha x de modo que A seja equidistante de B e C.
Exerćıcio 1.33 Determine o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, que é equidistante dos pontos A (1, 3) e
B (−3, 5).
Exerćıcio 1.34 Determine o ponto P, pertencente à bissetriz dos quadrantes pares, que é equidistante dos pontos
A (8,−8) e B (12,−2).
Resposta: P (−5, 5).
Exerćıcio 1.35 Calcule os determinantes das seguintes matrizes:
A =
1 2 3
5 7 9
6 14 22
 , B =
x y 1
2 1 1
0 0 1
 , C =
 1 1 1
5 4 7
25 16 49
 e D =
 3 7 1
11 0 1
0 −6 1

Exerćıcio 1.36 Os pontos A (1, 3), B (2, 5) e C (49, 100) são colineares?
Exerćıcio 1.37 Determine y para que os pontos A (3, 5), B (−3, 8) e C (4, y) sejam colineares.
Exerćıcio 1.38 Mostre que A (a, 2a− 1), B (a+ 1, 2a+ 1) e C (a+ 2, 2a+ 3) são colineares para todo valor real do
número a.
Exerćıcio 1.39 Se A (0, a), B (a,−4) e C (1, 2), então para quais valores de a existe o triângulo ABC?
Exerćıcio 1.40 (i) Dados os pontos A (1, 1) e B (10,−2), obtenha o pontoem que a reta AB intersecta o eixo das
abscissas.
(ii) Dados os pontos A (3, 1) e B (5, 5), obtenha o ponto em que a reta AB intersecta o eixo das ordenadas.
(iii) Dados os pontos A (2,−3) e B (8, 1), obtenha o ponto em que a reta AB intersecta a bissetriz dos quadrantes
ı́mpares.
(iv) Dados os pontos A (7, 4) e B (−4, 2), obtenha o ponto em que a reta AB intersecta a bissetriz dos quadrantes
pares.
Exerćıcio 1.41 Dados A (−3, 4), B (2, 9), C (2, 7) e D (4, 5), obtenha o ponto de intersecção das retas AB e CD.
Exerćıcio 1.42 Encontre a equação geral da reta r que passa pelos pontos P1 (5, 0) e P2 (−1, 1) no plano cartesiano.
Exerćıcio 1.43 Obtenha equações gerais das três retas que contêm os lados do triângulo de vértices A (0, 0), B (1, 3)
e C (4, 0).
Exerćıcio 1.44 A reta determinada por A (a, 0) e B (0, b) passa por C (3, 4). Qual é a relação entre a e b?
Exerćıcio 1.45 Sendo a, b e c distintos, prove que os pontos A (a, b+ c), B (b, a+ c) e C (c, a+ b) são colineares e
determine uma equação da reta que os contém.
Exerćıcio 1.46 Desenhe no plano cartesiano as retas cujas equações são dadas abaixo:
(i) y = 2x
(ii) x+ y = 5
(iii) x− y+ 5 = 0
(iv) x+ y+ 3 = 0
(v) 2y+ x = 0
(vi) x− y− 4 = 0
Exerćıcio 1.47 Dê o coeficiente angular da reta r dada pela equação geral 2x− 24y− 30 = 0.
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Resposta: m = 1
12
.
Exerćıcio 1.48 Calcule o coeficiente angular das retas:
(i) x− 3y+ 4 = 0
(ii) 5x+ 1 = 3y
(iii) y = −3x+ 4
(iv) x
5
− y
2
= 1
(v) 2y = −3
(vi) 2x+ 3y = 0
(vii) cos
(
π
6
)
x+ sen
(
π
6
)
y = 7
(viii) que contém os pontos A (a, b) e B (b, a)
Exerćıcio 1.49 Encontre a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos P1 (1,−2) e P2 (−2, 3) no plano carte-
siano.
Resposta: y = −5
3
x− 1
3
.
Exerćıcio 1.50 Determine, se existir, a equação reduzida da reta que passa por P e tem inclinação de α radianos em
relação ao eixo das abscissas nos seguintes casos:
(i) P (−1,−3) e α = π
4
rad
(ii) P (2,−4) e α = π
3
rad
(iii) P (−1,−4) e α = π
2
rad
(iv) P (−1, 3) e α = arcsen
(
3
5
)
rad
(v) P (7, 2) e α = 0 rad
(vi) P (−1, 5) e α = arctg (2) rad
Exerćıcio 1.51 Determine a equação reduzida da reta que passa por P (−5, 3) e é paralela à reta que passa por
A
(
1
2
, 6
5
)
e B
(
3
2
,−4
5
)
.
Exerćıcio 1.52 Determine o ponto de intersecção entre as retas de equações reduzidas:
(a) y = x+ 1 e y = −x+ 2
(b) y = 2x+ 1 e y = 3x− 1
(c) y = x+ 3 e y = −2x+ 4
(d) y = 2x+ 4 e y = −2x+ 7
Exerćıcio 1.53 Sejam as retas r de equação y = 4x− 3 e s de equação y = 3x. Encontre a equação reduzida da reta
que passa pelo ponto de intersecção de r e s e tem inclinação de π
3
rad em relação ao eixo das abscissas.
Exerćıcio 1.54 Considere os segmentos a de extremos (3, 0) e (0, 5) e b de extremos (4, 0) e (0, 2). Encontre a
equação reduzida da reta que passa pela origem do sistema de coordenadas e pelo ponto de interseção dos segmentos
a e b.
PARTE 3
Exerćıcio 1.55 Calcule:
(i) f (−1) e f
(
1
2
)
, sendo f (x) = −x2 + 2x
(ii) f(a+b)−f(a−b)
ab
, sendo f (x) = x2 e ab 6= 0
(iii) g (0) e g
Ä√
2
ä
, sendo g (x) = x
x2+1
(iv) f(a+b)−f(a−b)
ab
, sendo f (x) = 3x+ 1 e ab 6= 0
Exerćıcio 1.56 (Resolvido) Para a função f : X ⊂ R→ R dada por
f (x) =
Ä
x2−1
x−1
ä2
,
dê o maior conjunto domı́nio X posśıvel, diga se f é uma função injetiva, sobrejetiva ou bijetiva (justifique) e esboce o
gráfico.
Resolução.
Na expressão anaĺıtica de f a única restrição para x ∈ X é aquela tal que x − 1 6= 0 (não podemos dividir por
zero), ou seja, x 6= 1.
Logo, X = R− {1} é o maior conjunto domı́nio posśıvel para f.
Entretanto, com a restrição x 6= 1, podemos simplificar a expressão de f.
f (x) =
Ä
x2−1
x−1
ä2
=
Ä
(x−1)(x+1)
x−1
ä2
= (x+ 1)
2
= x2 + 2x+ 1, para x 6= 1.
Sendo y = x2 + 2x + 1 a equação de uma parábola com vértice em
(
− b
2a
,− ∆
4a
)
= (−1, 0) e concavidade para
cima no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, temos que o gráfico de f é esta parábola sem o ponto (1, 4),
pois x = 1 não está no domı́nio de f.
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Observemos que o gráfico de f intersecta o eixo y no ponto (0, f (0)) = (0, 1). (esboço do gráfico acima)
Observemos também que o conjunto imagem de f não contém números negativos, porque f (x) = (x+ 1)
2 > 0;
(x 6= 1). Além disso, se y0 > 0, então sempre existe pelo menos um x0 ∈ X tal que f (x0) = y0. De fato,
(x0 + 1)
2
= y0 ⇒ x0 = ±
√
y0 − 1
Portanto, Im f = R+ ∪ {0}.
Sendo R o contradomı́nio de f, conclúımos que f não é sobrejetiva, pois Im f 6= R. Portanto, a definição de
função sobrejetiva não está satisfeita.
A função f não é injetiva também, pois existem dois elementos distintos no domı́nio de f que possuem mesma
imagem, como, por exemplo, x1 = −2 e x2 = 0 são tais que f (−2) = f (0) = 1. Portanto, a definição de função
injetiva não está satisfeita.
Por fim, f não é bijetiva, pois, para que f seja bijetiva, ela deve ser injetiva e sobrejetiva simultaneamente.
Exerćıcio 1.57 Abaixo temos funções f : X ⊂ R −→ R. Dê o maior conjunto domı́nio X posśıvel em cada um dos
casos. Diga também se f é uma função injetiva, sobrejetiva ou bijetiva (justifique) e utilizando um software para
visualização de gráfica de funções (por exemplo, GeoGebra), visualize seu gráfico.
(i) f (x) = 3x
(ii) f (x) = −x+ 1
(iii) f (x) =
{
x, se x 6 2
3, se x > 2
(iv) f (x) = x2−1
x−1
(v) f (x) = |x−1|
x−1
(vi) f (x) = 1
x−1
(vii) f (x) = |x− 1|+ |x− 2|
(viii) f (x) =
√
x+ 2
(ix) f (x) = 1+ 1
x2
(x) f (x) =
√
|x|
(xi) f (x) =
√
x2
(xii) f (x) =
3
√
x2
(xiii) f (x) = (x+ 1)
2
− 2
(xiv) f (x) = x |x|
Exerćıcio 1.58 Abaixo temos funções f : R −→ R. Determine o maior ou o menor valor de f:
(i) f (x) = x2 − 3x+ 2 (ii) f (x) = −x2 − 4x− 5 (iii) f (x) = x2 + 6x+ 9 (iv) f (x) = x2 + x+ 1
Exerćıcio 1.59 Sejam as funções f : X → R e g : Y ⊂ R. Determine o “maior” conjunto domı́nio X de modo que
Im f ⊂ Y. Em seguida dê a função composta g ◦ f nos seguintes casos:
(i) f (x) = x+ 3 e g (x) = 2
x+2 (ii) f (x) = x2 e g (x) =
√
x− 1
Exerćıcio 1.60 Encontre o maior domı́nio posśıvel no conjunto dos números reais e o conjunto imagem das funções
dadas pelas seguintes expressões:
(i) f (x) = 1+ x2
(ii) f (x) = 1−
√
x
(iii) f (x) =
√
5x+ 10
(iv) f (x) =
√
x2 − 3x
(v) f (x) = 4
3−x
(vi) f (x) = 2
x2−16
Exerćıcio 1.61 Encontre o maior domı́nio posśıvel no conjunto dos números reais e trace o gráfico das seguintes
funções:
(i) f (x) = 5− 2x
(ii) f (x) = 1− 2x− x2
(iii) f (x) =
√
|x|
(iv) f (x) =
√
−x
(v) f (x) = x
|x|
(vi) f (x) = 1
|x|
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Exerćıcio 1.62 Trace o gráfico das seguintes funções:
(i) f (x) =
{
x, se 0 6 x 6 1
2− x, se 1 < x 6 2
(ii) f (x) =
{
1− x, se 0 6 x 6 1
2− x, se 1 < x 6 2
(iii) f (x) =
{
4− x2, se x 6 1
x2 + 2x, se x > 1
(iv) f (x) =
{
1
x
, se x < 0
x, se x > 0
Exerćıcio 1.63 Reveja os exemplos da Subseção 1.10.6 e trace o gráfico das seguintes funções:
(i) f (x) = x
x2+1
(ii) f (x) = x
x2−3x+2
Dicas:
Para no Item (i) divida numerador e denominador por x e considere o que ocorre para |x| “grande” e para |x| “pequeno”.
Para no Item (ii) divida numerador e denominador por x e considere o que ocorre para |x| “grande”. Depois, fatore
p (x) = x2 − 3x+ 2 e considere o que ocorre para x próximo das ráızes de p.
Exerćıcio 1.64 Identifique as funções pares e as funções ı́mpares. Justifique.
(i) f (x) = 3
(ii) f (x) = x−5
(iii) f (x) = x2 + 1
(iv) f (x) = x2 + x
(v)f (x) = x3 + x
(vi) f (x) = x4 + 3x2 − 1
(vii) f (x) = 1
x2−1
(viii) f (x) = x
x2−1
Exerćıcio 1.65 Encontre o maior domı́nio posśıvel no conjunto dos números reais e o conjunto imagem das funções
f+ g, f.g, f/g e g/f sendo:
(i) f (x) = x e g (x) =
√
x− 1
(ii) f (x) =
√
x+ 1 e g (x) =
√
x− 1
(iii) f (x) = 2 e g (x) = x2 + 1
(iv) f (x) = 1 e g (x) = 1+
√
x
Exerćıcio 1.66 Sendo:
(i) f (x) = x+ 5 e g (x) = x2 − 3, encontre:
f (g (0)) e g (f (0)) ; f (g (x)) e g (f (x)) ;
f (f (−5)) e g (g (2)) ; f (f (x)) e g (g (x)) .
(ii) f (x) = x− 1 e g (x) = 1
x+1 , encontre:
f
(
g
(
1
2
))
e g
(
f
(
1
2
))
; f (g (x)) e g (f (x)) ;
f (f (2)) e g (g (2)) ; f (f (x)) e g (g (x)) .
Exerćıcio 1.67 Encontre a expressão de f ◦ g ◦ h sendo:
(i) f (x) = x+ 1, g (x) = 3x e h (x) = 4− x
(ii) f (x) = 3x+ 4, g (x) = 2x− 1 e h (x) = x2
(iii) f (x) =
√
x+ 1, g (x) = 1
x+4 e h (x) = 1
x
(iv) f (x) = x+2
3−x , g (x) = x2
x2+1
e h (x) =
√
2− x
Exerćıcio 1.68 Sejam f (x) = x − 3, g (x) =
√
x, h (x) = x3 e j (x) = 2x. Expresse cada uma das funções y = y (x)
abaixo como composta de uma ou mais funções de f, g, h e j.
(i) y =
√
x− 3
(ii) y = 2
√
x
(iii) y = 4
√
x
(iv) y = 4x
(v) y =
»
(x− 3)
3
(vi) y = (2x− 6)
3
(vii) y = 2x− 3
(viii) y =
√
x3
(ix)y = x9
(x) y = x− 6
(xi) y = 2
√
x− 3
(xii) y =
√
x3 − 3
Exerćıcio 1.69 Complete a tabela (caso não exista, preencha com @):
θ −7π
6
−π −5π
6
−3π
4
−2π
3
−π
2
−π
3
−π
4
−π
6
0 π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
sen (θ)
cos (θ)
tg (θ)
cotg (θ)
sec (θ)
cossec (θ)
Exerćıcio 1.70 (i) Sabendo que sen (x) = 3
5
com x ∈
[
π
2
, π
]
, encontre cos (x) e tg (x).
(ii) Sabendo que tg (x) = 2 com x ∈
[
π, 3π
2
]
, encontre sen (x) e cos (x).
(iii) Sabendo que cos (x) = 1
3
com x ∈
[
−π
2
, 0
]
, encontre sen (x) e tg (x).
(iv) Sabendo que cos (x) = − 5
13
com x ∈
[
π
2
, π
]
, encontre sen (x) e tg (x).
(v) Sabendo que tg (x) = 1
2
com x ∈
[
0, π
2
]
, encontre sen (x) e cos (x).
(vi) Sabendo que sen (x) = −1
2
com x ∈
[
π, 3π
2
]
, encontre cos (x) e tg (x).
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Exerćıcio 1.71 Trace o gráfico e encontre o peŕıodo das seguintes funções:
(i) f (x) = sen (2x)
(ii) f (x) = sen
(
x
2
) (iii) f (x) = cos (πx)
(iv) f (x) = cos
(
πx
2
) (v) f (x) = − sen
(
πx
3
)
(vi) f (x) = − cos (2πx)
Exerćıcio 1.72 Simplifique:
(i) cos
(
x− π
2
)
(ii) cos
(
x+ π
2
) (iii) sen
(
x+ π
2
)
(iv) sen
(
x− π
2
) (v) sen
(
3π
2
− x
)
(vi) cos
(
3π
2
+ x
)
Exerćıcio 1.73 Utilizando as fórmulas trigonométricas, calcule:
(i) sen
(
7π
12
)
; (dica: use sen
(
π
4
+ π
3
)
)
(ii) cos
(
11π
12
)
; (dica: use cos
(
π
4
+ 2π
3
)
)
(iii) cos
(
π
12
)
(iv) sen
(
5π
12
) (v) cos2
(
π
8
)
(vi) sen2
(
3π
8
)
Exerćıcio 1.74 Em um mesmo sistema de coordenadas esboce os gráficos das seguintes funções. Dê também o
domı́nio e conjunto imagem de cada uma.
(i) f1 (x) = e
x (ii) f2 (x) = e
−x (iii) f3 (x) = −2x (iv) f4 (x) = −2−x
Exerćıcio 1.75 Trace os gráficos e, a partir deles, diga se as funções abaixo são injetivas:
(i) f (x) =
{
3− x, se x < 0
3, se x > 0
(ii) f (x) =
{
2x+ 6, se x 6 −3
x+ 4, se x > −3
(iii) f (x) =
{
1− x
2
, se x 6 0
x
x+2 , se x > 0
(iv) f (x) =
{
2− x2, se x 6 1
x2, se x > 1
Exerćıcio 1.76 Encontre a função inversa f−1, juntamente com seu domı́nio e conjunto imagem das funções f abaixo.
Verifique se você acertou por meio da composta f
(
f−1 (x)
)
= f−1 (f (x)) = x.
(i) f (x) = x5
(ii) f (x) = 5
√
2x3 + 1
(iii) f (x) = x3 + 1
(iv) f (x) = 1
2
x− 7
2
(v) f (x) = 1
x2
sendo x > 0
(vi) f (x) = 1
x3
, sendo x 6= 0
(vii) f (x) = x2 − 2x sendo x 6 1
(viii) f (x) = x4, sendo x > 0
Exerćıcio 1.77 Simplifique:
(i) ln (sen (θ)) − ln
Ä
sen(θ)
5
ä
(ii) ln
(
3x2 − 9x
)
+ ln
(
1
3x
) (iii) 1
2
ln
(
4x2
)
− ln (2)
(iv) ln (8x+ 4) − 2 ln (2)
(v) ln (sec (θ)) + ln (cos (θ))
(vi) 3 ln
Ä
3
√
x2 − 1
ä
− ln (x+ 1)
(vii) eln(πx)−ln(2)
(viii) ln
(
e2 ln(x)
)
Exerćıcio 1.78 Isole y nas seguintes expressões:
(i) ln (y) = 2x+ 4
(ii) ln (1− 2y) = x
(iii) ln
(
y2 − 1
)
− ln (y+ 1) = ln (sen (x))
(iv) ln (y− 1) − ln (2) = x+ ln (x)
(v) e2y = 4
(vi) 100e10y = 200
(vii) e−0,3y = 27
(viii) e(ln(0,2))y = 0, 4
Exerćıcio 1.79 (Este exerćıcio é sobre a última seção desse caṕıtulo, de leitura opcional, na qual definimos funções
algébricas e transcendentes) Mostre que as funções:
(i) f (x) =
√
x2 − 1 (ii) f (x) = x+1
3
√
x−3
são funções algébricas.
PARTE 4
Exerćıcio 1.80 Encontre as funções (isso inclui os domı́nios) que modelam os seguintes problemas:
(i) Colocar a área e o peŕımetro de um triângulo equilátero em função do comprimento de um de seus lados.
(ii) Colocar lado e a área de um quadrado em função do comprimento de uma de suas diagonais.
(iii) Colocar o comprimento de uma das arestas, a área da superf́ıcie e o volume de um cubo em função do comprimento
de uma de suas diagonais.
(iv) Um ponto P está no gráfico de f (x) =
√
x, x > 0. Coloque cada uma das coordenadas de P em função do
coeficiente angular da reta que liga P à origem do sistema de coordenadas.
(v) Um ponto P está na reta de equação 2x+4y = 5. Coloque a distância de P até a origem do sistema de coordenadas
em função de x.
(vi) Um ponto P está no gráfico de f (x) =
√
x− 3. Coloque a distância de P a Q (4, 0) em função de x.
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Exerćıcio 1.81 Um objeto move-se em movimento retiĺıneo do ponto (0, 0) ao ponto (x, 10), 0 6 x 6 30, com
velocidade constante de 1 m/s. Em seguida, move-se em movimento retiĺıneo do ponto (x, 10) ao ponto (30, 10) com
velocidade constante de 2 m/s. Expresse o tempo total, gasto no percurso, T (x) em função de x. Suponha que a
unidade adotada no sistema de coordenadas seja o metro.
Exerćıcio 1.82 A energia cinética K de uma massa em movimento é diretamente proporcional ao quadrado de sua
velocidade v. Sabendo-se que para v = 18 m/s temos K = 12960 J (joules), existe algum valor para a velocidade de
tal modo que a energia cinética seja 40 vezes esse valor?
Exerćıcio 1.83 Suponha que você tem um fio de arame de comprimento 30 m e queira construir um retângulo com
esse fio. Escreva a área desse retângulo em função de um de seus lados.
Exerćıcio 1.84 Suponha um jardim retangular de 20 m2 sendo o fundo delimitado por um muro, as laterais por uma
cerca que tem custo de R$ 5, 00 o m e a frente por uma cerca que tem custo de R$ 10, 00 o m. Escreva o custo da
cerca em função do comprimento da frente do jardim.
Exerćıcio 1.85 Deseja-se levar eletricidade de um ponto A a um ponto C ambos situados em margens opostas de um
rio com 100 m de largura. Sabe-se que o ponto C está a 1 km rio abaixo em relação ao ponto A e que a rede elétrica
deve passar por um ponto B (no trecho do rio entre A e C) situado na margem do mesmo lado que C. O custo do
fio que será utilizado sob a água custa R$ 5, 00 o m e o custo do fio que será utilizado em terra custa R$ 3, 00 o m.
Escreva o custo total do fio em função da distância entre B e C.
(Obs.: suponha que o rio seja retiĺıneo entre A e C)
Exerćıcio 1.86 Deseja-se confeccionar um cartaz retangular com 2 m2 de área. As margens superior e inferior devem
ser de 25 cm enquanto que as margens laterais devem ter 15 cm. Escreva a área da região impressa em função do
comprimento de uma das laterais do cartaz.
Exerćıcio 1.87 Deseja-se construir uma caixa sem tampa em formato de um paraleleṕıpedo a partir de uma cartolina
retangular 20 cm × 30 cm. Para tanto, recorta-se quatro quadrados de lado x cm de cada canto da cartolina e com
o restante confecciona-se a caixa. Expresse o volume da caixa em função de x.
Exerćıcio1.88 Uma viagem organizada por um agência de turismo custará R$ 1.500, 00 para cada estudante, se
viajarem no máximo 150 estudantes. Se viajarem entre 150 e 225 estudantes, o custo por estudante será reduzido em
R$ 5, 00 para cada um que exceda os 150 iniciais. Escreva o custo total da viagem em função do número de estudantes.
O que ocorreria com o custo da viagem se acaso o número de estudantes fosse maior que 225?
Exerćıcio 1.89 Considere um triângulo retângulo isósceles ABC tal que A (−2, 0), B (2, 0) e C com ordenada positiva
sobre o eixo y. Um retângulo PQRS está inscrito no triângulo ABC de tal modo que sua base RS está sobre a hipotenusa
AB do triângulo, P ∈ BC e Q ∈ AC. Sendo P (x, y), expresse a área do retângulo em função de x.
Exerćıcio 1.90 Um terreno no formato de um triângulo retângulo isósceles será cercado. A cerca usada para cercar
os lados adjacentes ao ângulo reto custam R$ 20, 00 o metro. Já a cerca usada para cercar o terceiro lado custa R$
50, 00 o metro. Expresse o custo total da cerca em função do comprimento deste terceiro lado do terreno.
Exerćıcio 1.91 Uma livraria consegue vender 300 livros de um determinado autor a R$ 40, 00 cada. Para cada R$
1, 00 a mais no preço unitário há uma queda de 5 unidades na quantidade de livros vendida. Expresse o valor total
vendido em função do número de reais a mais no preço original de cada livro.
Exerćıcio 1.92 Um balão decola de um campo plano e mantem-se em trajetória ascendente vertical com velocidade
de 2 m/s. A 500 metros do ponto de decolagem há um teodolito (instrumento que mede ângulos) medindo o ângulo
de subida do balão (o vértice deste ângulo de subida está no próprio teodolito). Expresse o ângulo de subida do balão
em função do tempo.
Exerćıcio 1.93 Um caminhão novo custou originalmente R$ 100.000, 00 e deprecia 10% de seu valor venal a cada
ano. Expresse o valor venal em função do tempo dado em anos. Depois de quantos anos o caminhão terá depreciado
metade de seu custo original?
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TRABALHO COMPUTACIONAL
Você deverá montar um arquivo “pdf ” com o que se pede abaixo:
(1) Considere a função seno f (x) = sen (x) e trace o seu gráfico com o aux́ılio do software GeoGebra. Faça um
“print-screen” da tela com a construção feita e crie uma página do pdf com essa imagem (a expressão escolhida
para a função deve estar viśıvel na imagem).
(1 − i) Defina a função g (x) = f (mx) sendo m ∈ R uma constante. Trace o gráfico de g para 5 valores distintos de
m. Escolha dois deles e tire “print-screens” da tela para o arquivo pdf.
No GeoGebra construa uma “animação” tendo m como parâmetro variando de −5 a 5. Escolha uma das telas
geradas pela animação e tire mais um “print-screen” para o arquivo pdf.
De que maneira o parâmetro m influencia no gráfico de g? (a resposta deve ser dada no arquivo pdf )
(1 − ii) Defina a função h (x) = f (x+ n) sendo n ∈ R uma constante. Trace o gráfico de h para 5 valores distintos
de n. Escolha dois deles e tire “print-screens” da tela para o arquivo pdf.
No GeoGebra construa uma “animação” tendo n como parâmetro variando de −5 a 5. Escolha uma das telas
geradas pela animação e tire mais um “print-screen” para o arquivo pdf.
De que maneira o parâmetro n influencia no gráfico de h? (a resposta deve ser dada no arquivo pdf )
(1 − iii) Defina a função i (x) = pf (x) sendo p ∈ R uma constante. Trace o gráfico de i para 5 valores distintos de
p. Escolha dois deles e tire “print-screens” da tela para o arquivo pdf.
No GeoGebra construa uma “animação” tendo p como parâmetro variando de −5 a 5. Escolha uma das telas
geradas pela animação e tire mais um “print-screen” para o arquivo pdf.
De que maneira o parâmetro p influencia no gráfico de i? (a resposta deve ser dada no arquivo pdf )
(1 − iv) Defina a função j (x) = f (x) + q sendo q ∈ R uma constante. Trace o gráfico de j para 5 valores distintos
de q. Escolha dois deles e tire “print-screens” da tela para o arquivo pdf.
No GeoGebra construa uma “animação” tendo q como parâmetro variando de −5 a 5. Escolha uma das telas
geradas pela animação e tire mais um “print-screen” para o arquivo pdf.
De que maneira o parâmetro q influencia no gráfico de j? (a resposta deve ser dada no arquivo pdf )
(2) Repita o Exerćıcio (1) para uma função polinomial f (x) = a4x
4 + a3x
3 + a2x
2 + a1x+ a0 escolhida por você,
sendo que nenhuma das constantes ai pode ser nula.
Observação: no total são 26 imagens que comporão o arquivo pdf. O arquivo final deverá ser enviado por e-mail.
Com 5 moedas compro 1 galo.
Com 3 moedas compro 1 galinha.
Com 1 moeda compro 3 frangos.
Vou gastar 100 moedas e comprar 100 aves. De quantos modos posso efetuar a compra?
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Caṕıtulo 2
Limites de Funções
Neste caṕıtulo começamos, verdadeiramente, a estudar Cálculo Diferencial e Integral, introduzindo um dos conceitos
mais importantes de toda a Matemática: o conceito de limite. Estas notas não tem pretenção de se aprofundar nos
mais diversos detalhes de um estudo sobre limites de funções. Este objetivo, aliás, é atingido em disciplinas de Análise
Real, geralmente vistas em cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática. Sendo assim, o leitor interessado nas
demonstrações das proposições e teoremas, bem como justificativas para algumas de nossas observações, deve procurar
material de Análise, ou então, um bom livro de Cálculo.
2.1 O Conceito de Limite
O conceito de limite está intrinsicamente ligado à ideia de aproximação. Mais especificamente, no caso das funções
reais de uma variável real, f : X→ Y, estamos prioritariamente interessados em responder à seguinte pergunta:
Se x ∈ X se aproxima de um número a fixo, então f (x) ∈ Y se aproxima de algum número L?
No caso afirmativo, como calcular L?
A pergunta não é tão simples o quanto aparenta. De fato, uma resposta precipitada (e errada) seria: “se x se
aproxima de a, então f (x) se aproxima de f (a)”. Essa resposta tem dois problemas principais: primeiro, a não precisa
estar em X e, portanto, f (a) pode nem existir... e, segundo, mesmo que f (a) exista, f (x) pode não se aproximar desse
valor. Aliás, não temos garantia sequer de que f (x) se aproxime de algum número!
É claro que precisamos especificar melhor o que significa um número se “aproximar” de outro no contexto citado
acima. Antes, porém, vamos a um exemplo simples de motivação.
Consideremos a função f : R∗ → R dada por f (x) = x2+3x
x
. Neste caso, não existe f (0).
Quando x se aproxima de 0, então f (x) se aproxima do “número” 0
2+3.0
0
= 0
0
. E aqui começam os problemas. O que
é exatamente 0
0
? Certamente, isso não é um número real! Veremos mais adiante que trata-se de uma “indeterminação”.
Mas, neste caso, é posśıvel “eliminar a indeterminação” por meio de uma simples fatoração:
f (x) = x2+3x
x
= x(x+3)
x
=
x6=0
x+ 3.
Logo, intuitivamente, para x próximo de 0, mas diferente de 0, f (x) está próximo de 0+ 3 = 3.
y
x0
3
f x( )
gráfico de f
-3 x
Quando x tende a 0 (e escrevemos x→ 0), f (x) tende a 3 (e escrevemos f (x)→ 3), ou seja, o limite de f (x) quando
x tende a 0 é 3 e escrevemos
lim
x→0 x
2+3x
x
= 3.
Para escrever esta ideia de modo mais rigoroso, recordemos que a noção de distância entre a, b ∈ R é dada pelo
módulo da diferença entre estes números, ou seja, |a− b|. Assim, dizer que x está próximo de 0 significa que |x− 0|
é um valorpequeno. Analogamente, dizer que f (x) está próximo de 3 significa que |f (x) − 3| é, também, um valor
pequeno.
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Sejam f : X ⊂ R→ R função real de uma variável real e a ∈ R tal que ]a− r, a+ r[∩X 6= ∅ para qualquer r > 0.
(1)
Dizemos que f (x) tem limite L ∈ R quando x tende a a, e escrevemos
lim
x→a f (x) = L ,
sempre que: para ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que (2)
0 < |x− a| < δ⇒ |f (x) − L| < ε . .
Desta forma, dizer que lim
x→a f (x) = L significa que podemos fazer f (x) arbitrariamente próximo de L, tomando x
suficientemente próximo de a, porém, diferente de a.
x
0 a
L
x
y
a+da-d
L-e
L+e
f x( )
gráfico de f
O exemplo abaixo é bastante simples e será o único, em nossas notas, onde calcularemos limites de funções utilizando
a definição.
Exemplo 2.1 Sejam f, g : R → R tal que f (x) = k, sendo k constante real e g (x) = x. Seja a ∈ R. Mostremos,
utilizando a definição acima, que
lim
x→a f (x) = k e lim
x→ag (x) = a.
De fato, no primeiro caso: dado ε > 0, tomando-se qualquer δ > 0, temos
0 < |x− a| < δ⇒ 0 < ε⇒ |k− k| < ε⇒ |f (x) − k| < ε.
No segundo caso: |g (x) − a| < ε⇐⇒ |x− a| < ε⇐⇒
x 6=a
0 < |x− a| < ε ou seja, dado ε > 0, tomando-se δ = ε, temos
por essa cadeia de equivalências que
0 < |x− a| < δ⇒ |g (x) − a| < ε.
Antes de introduzirmos nossos primeiros exemplos com cálculos de limites de funções, precisamos dos seguintes
resultados matemáticos:
Proposição 2.1 (Unicidade do limite) Sejam f : X ⊂ R → R e a ∈ R tais que exista lim
x→a f (x). Então, este limite é
único.
Proposição 2.2 (Propriedade operatórias dos limites) Sejam f e g funções tais que lim
x→a f (x) = L e lim
x→ag (x) =M.
(1) lim
x→a (f (x)± g (x)) = lim
x→a f (x)± lim
x→ag (x) = L±M. (limite da soma é soma dos limites)
(2) lim
x→a f (x)g (x) = lim
x→a f (x) lim
x→ag (x) = LM. (limite do produto é produto dos limites) (3)
(3) Se M 6= 0, então lim
x→a f(x)g(x) =
lim
x→a f(x)
lim
x→ag(x)
= L
M
. (limite do quociente é quociente dos limites, desde que o limite do
denominador seja diferente de zero)
Com o aux́ılio das propriedades operatórias dos limites e o conhecimento de alguns limites de funções simples,
como os do Exemplo 2.1 acima, é posśıvel calcular limites de funções mais elaboradas. Vejamos alguns exemplos:
1Esta condição garante que existem pontos x do domı́nio de f arbitrariamente próximos de a.
20 < |x − a| significa x 6= a.
3Aqui temos um caso particular interessante: se f (x) = k, k ∈ R, temos
lim
x→a kg (x) = k lim
x→a g (x) = kM,
pois lim
x→a f (x) = k.
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Exemplo 2.2 (i) Consideremos f : R− {1}→ R tal que f (x) = 2x3−2x2
x−1 .
Observemos que lim
x→1 2x
3−2x2
x−1 apresenta “indeterminação” 0
0
que pode ser contornada do seguinte modo:
lim
x→1 2x
3−2x2
x−1 = lim
x→1 2x
2(x−1)
x−1 = lim
x→1 2x2 = lim
x→1 2 lim
x→1 x lim
x→1 x = 2.1.1 = 2.
1 x
y
2
gráfico de f
(ii) Consideremos f : R− {a}→ R tal que f (x) = x2−a2
x−a .
A “indeterminação” de lim
x→a x2−a2x−a é, também, 0
0
e pode ser eliminada por meio de fatoração:
lim
x→a x2−a2x−a = lim
x→a (x−a)(x+a)
x−a = lim
x→a (x+ a) = lim
x→a x+ lim
x→aa = a+ a = 2a.
(iii) Consideremos f : R− {2}→ R tal que f (x) = x3−8
x−2 .
Aqui a “indeterminação” de lim
x→2 x
3−8
x−2 é 0
0
e, como nos itens acima, por meio de fatoração:
lim
x→2 x
3−8
x−2 = lim
x→2 (x−2)(x2+2x+4)
x−2 = lim
x→2
(
x2 + 2x+ 4
)
= lim
x→2 x lim
x→2 x+ lim
x→2 2 lim
x→2 x+ lim
x→2 4 = 2.2+ 2.2+ 4 = 12.
Observação: neste item, recordemos que x3 − a3 = (x− a)
(
x2 + ax+ a2
)
.
Exemplo 2.3 Nem sempre um limite apresenta uma “indeterminação” que precisa ser trabalhada. Consideremos,
por exemplo, f : R→ R tal que f (x) = x2 + 1.
Temos
lim
x→2
(
x2 + 1
)
= lim
x→2 x lim
x→2 x+ lim
x→2 1 = 2.2+ 1 = 5
e, neste caso, quando x se aproxima de 2, então f (x) se aproxima de 22 + 1 = 5, que é exatamente f (2).
Daqui em diante, não iremos mais explicitar as propriedades operatórias com tantos detalhes nos cálculos dos
limites, conforme fizemos acima. Por exemplo, no último limite, utilizamos que limite da soma é soma dos limites e
que limite do produto é produto de limites, o que permite detalhar lim
x→2
(
x2 + 1
)
= lim
x→2 x lim
x→2 x+ lim
x→2 1 = 2.2+ 1 = 5.
Entretanto, vamos simplificar e escrever apenas lim
x→2
(
x2 + 1
)
= 5, ocultando as propriedades operatórias.
Exemplo 2.4 Sendo a 6= 0, calculemos o domı́nio maximal X de f e lim
x→a f (x) para:
(i) f (x) =
1
x
− 1
a
x− a
(ii) f (x) =
1
x2
− 1
a2
x− a
Com relação ao item (i) temos X = R− {0, a} (por causa dos denominadores) e
lim
x→a
1
x
− 1
a
x− a
= lim
x→a
a−x
ax
x− a
= lim
x→a
(
− 1
ax
)
= − 1
a2
.
Com relação ao item (ii) temos X = R− {0, a} (novamente, por causa dos denominadores) e
lim
x→a
1
x2
− 1
a2
x− a
= lim
x→a
a2−x2
a2x2
x− a
= lim
x→a
(a−x)(a+x)
a2x2
x− a
= lim
x→a
(
− a+x
a2x2
)
= −2a
a4
= − 2
a3
.
Em ambos os casos, a “indeterminação” originalmente apresentada pelos limites é 0
0
.
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Exemplo 2.5 Calculemos o domı́nio maximal X de f (x) = x3−5x2+8x−4
x4−5x−6
e lim
x→2 f (x).
As ráızes do denominador x4 − 5x− 6 são: 2, −1, −1
2
+
√
11
2
i,−1
2
−
√
11
2
i (duas reais e duas complexas). Verifique.
Logo, X = R− {2,−1}. Além disso, x4 − 5x− 6 = (x− 2) (x+ 1)
(
x2 + x+ 3
)
.
Fatorando o numerador x3 − 5x2 + 8x− 4 temos x3 − 5x2 + 8x− 4 = (x− 1) (x− 2)
2
. Verifique.
Temos
lim
x→2 x
3−5x2+8x−4
x4−5x−6
= lim
x→2 (x−1)(x−2)2
(x−2)(x+1)(x2+x+3)
= lim
x→2 (x−1)(x−2)
(x+1)(x2+x+3)
= 0
27
= 0.
Exemplo 2.6 Calculemos lim
h→0 (a+h)3−a3
h
, sendo a ∈ R.
Temos
lim
h→0 (a+h)3−a3
h
= lim
h→0 ((a+h)−a)((a+h)2+(a+h)a+a2)
h
= lim
h→0
Ä
(a+ h)
2
+ (a+ h)a+ a2
ä
= a2 + a2 + a2 = 3a2.
2.2 Limites laterais
Recordemos a definição de limite lim
x→a f (x).
Se impusermos a restrição x > a, estamos fazendo x tender a a pela direita e denotamos este limite com esta
restrição por
lim
x→a+
f (x) .
Se a restrição for x < a, estamos fazendo x tender a a pela esquerda e escrevemos
lim
x→a−
f (x) .
Os limites acima recebem o nome de limites laterais à direita e à esquerda de f, respectivamente, em a.
Estes limites podem existir ou não. Caso um deles não exista ou caso difiram, então lim
x→a f (x) não existe. Natural-
mente,
lim
x→a f (x) existe ⇐⇒ lim
x→a+
f (x) = lim
x→a−
f (x) = lim
x→a f (x) .
Observação: alguns autores chamam de limites superior e inferior os limites laterais à direita e à esquerda,
respectivamente.
Exemplo 2.7 Os limites laterais de f (x) = |x|
x
no ponto 0 são:
lim
x→0+ f (x) = lim
x→0+ |x|
x
= lim
x→0+ x
x
= lim
x→0+ 1 = 1.
lim
x→0− f (x) = lim
x→0− |x|
x
= lim
x→0− −x
x
= lim
x→0− −1 = −1.
Como lim
x→0+ f (x) 6= lim
x→0− f (x), temos que não existe lim
x→0 f (x).
+
x
y
gráfico de f
-1
1
0-
Observação:
{
|x| = x, se x ≥ 0
|x| = −x, se x < 0
.
Exemplo 2.8 Os limites laterais de f (x) = |x| no ponto 0 são:
lim
x→0+ f (x) = lim
x→0+ |x| = lim
x→0+ x = 0.
lim
x→0− f (x) = lim
x→0− |x| = lim
x→0− −x = 0.
Como lim
x→0+ f (x) = lim
x→0− f (x), temos que lim
x→0 f (x) = 0.
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+ x
y
gráfico de f
0
-
Exemplo 2.9 Calculemos os limites laterais de f em −1 e 1 sendo f (x) =
 1 se x < −1
x2 se − 1 ≤ x ≤ 1
x+ 2 se x > 1
.
Temos:  lim
x→−1−
f (x) = lim
x→−1−
1 = 1
lim
x→−1+
f (x) = lim
x→−1+
x2 = (−1)
2
= 1
⇒ lim
x→−1f (x) = 1.
{
lim
x→1− f (x) = lim
x→1− x2 = 12 = 1
lim
x→1+ f (x) = lim
x→1+ (x+ 2) = 1+ 2 = 3
⇒ @ lim
x→1 f (x)
Sugestão: construa o gráfico de f.
Exemplo 2.10 Calcule, caso exista, lim
x→0 x√
x4+4x2
.
Temos:
lim
x→0 x√
x4+4x2
= lim
x→0 x√
x2(x2+4)
= lim
x→0 x
|x|
√
x2+4
⇒{
lim
x→0− x
|x|
√
x2+4
= lim
x→0− x
−x
√
x2+4
= lim
x→0− 1
−
√
x2+4
= −1
2
lim
x→0+ x
|x|
√
x2+4
= lim
x→0+ x
x
√
x2+4
= lim
x→0+ 1√
x2+4
= 1
2
⇒ @ lim
x→0 f (x)
Sugestão: utilize o software GeoGebra para construir o gráfico de f.
2.3 Funções Cont́ınuas
As funções cont́ınuas constituem uma das mais importantes classes de funções da Matemática. Elas aparecem
muito frequentemente nos problemas práticos. Muitos fenômenos f́ısicos e qúımicos estão intimamente relacionados
com o conceito de continuidade.
Intuitivamente o conceito é bastante simples. Dadas f : X→ Y e a ∈ X, se a pergunta: “quando x ∈ X se aproxima
de a, então f (x) ∈ Y se aproxima de f (a)?” tiver resposta positiva, estamos diante de uma função cont́ınua em a.
Matematicamente temos:
Sejam f : X ⊂ R→ R, a ∈ X e suponhamos que exista lim
x→a f (x). Dizemos que f é cont́ınua em a quando
lim
x→a f (x) = f (a) .
Quando f for cont́ınua para qualquer a ∈ X, dizemos que f é cont́ınua em X.
Quando consideramos limites laterais lim
x→a−
f (x) = f (a) ou lim
x→a+
f (x) = f (a) no lugar do limite acima, dizemos
que f é cont́ınua à esquerda em a ou f é cont́ınua à direita em a, respectivamente. Este conceito é útil no
caso de a ser extremo em um intervalo fechado ou semifechado em X, onde o limite acima deve ser substituido pelo
limite lateral conveniente em a.
Quando f não for cont́ınua em a ∈ X, dizemos que f é descont́ınua em a.
Do ponto de vista geométrico, uma função cont́ınua possui gráfico cartesiano sem “saltos”, “quebras” ou “rupturas”
em seu domı́nio. Estamos enfatizando o domı́nio porque continuidade é um conceito que depende de valores que
estejam no domı́nio da função. Em um limite qualquer, podemos ter x se aproximando de um valor que não esteja no
domı́nio da função, mas quando falamos de continuidade, não faz sentido analisá-las em números que estejam fora do
domı́nio da função.
Exemplo 2.11 A função f (x) = x2 é cont́ınua em X = R. De fato: lim
x→a f (x) = lim
x→a x2 = a2 = f (a) para qualquer
a ∈ X.
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a x
y
a2
gráfico de f
Exemplo 2.12 A função f (x) =
{
x se x 6= 1
2 se x = 1
é descont́ınua em a = 1, pois lim
x→1 f (x) = lim
x→1 x = 1 6= 2 = f (1). Nos
demais valores f é cont́ınua pois, se a 6= 1, lim
x→a f (x) = lim
x→a x = a = f (a).
x
y
gráfico de f
0 1
1
2
Exemplo 2.13 A função f (x) = |x|
x
é cont́ınua em X = R∗ pois:
(i) Se a > 0, então lim
x→a f (x) = lim
x→a |x|
x
= lim
x→a xx = lim
x→a 1 = 1 = f (a).
(ii) Se a < 0, então lim
x→a f (x) = lim
x→a |x|
x
= lim
x→a −x
x
= lim
x→a (−1) = −1 = f (a).
x
y
gráfico de f
-1
1
0
Observação: Não faz sentido analisar continuidade em a = 0 pois 0 /∈ X.
Exemplo 2.14 A função f (x) =
 0, se x2 > 1
1, se x2 < 1
1/2, se x2 = 1
é descont́ınua em a = ±1 e cont́ınua nos demais valores. De fato:
(i) Se a = −1, temos lim
x→−1−
f (x) = lim
x→−1−
0 = 0 e lim
x→−1+
f (x) = lim
x→−1+
1 = 1. Logo, lim
x→−1
f (x) não existe. Portanto,
f é descont́ınua em a = −1.
(ii) Se a = 1, temos lim
x→1− f (x) = lim
x→1− 1 = 1 e lim
x→1+ f (x) = lim
x→1+ 0 = 0. Logo, lim
x→1 f (x) não existe. Portanto, f é
descont́ınua em a = 1.
(iii) Se a > 1 ou a < −1 (ou seja, a2 > 1), temos lim
x→a f (x) = lim
x→a 0 = 0 = f (a). Logo, f é cont́ınua nesses valores.
(iv) Se −1 < a < 1 (ou seja, a2 < 1), temos lim
x→a f (x) = lim
x→a 1 = 1 = f (a). Logo, f também é cont́ınua nesses valores.
y
gráfico de f
1 2/
1
0 x1-1
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Exemplo 2.15 Analisemos a continuidade da função f (x) =
{
x2, se x ≥ 1
x+ 1, se x < 1
em seu domı́nio.
(i) Se a = 1, temos lim
x→1− f (x) = lim
x→1− (x+ 1) = 2 e lim
x→1+ f (x) = lim
x→1+ x2 = 12 = 1. Logo, lim
x→1 f (x) não existe.
Portanto, f é descont́ınua em a = 1.
(ii) Se a < 1, temos lim
x→a f (x) = lim
x→a (x+ 1) = a+ 1 = f (a). Portanto, f é cont́ınua em ]−∞, 1[.
(iii) Se a > 1, temos lim
x→a f (x) = lim
x→a x2 = a2 = f (a). Portanto, f é cont́ınua em ]1,+∞[.
Sugestão: construa o gráfico de f.
Exemplo 2.16 Idem para f (x) =
{
x2, se x ≥ 1
x, se x < 1
.
(i) Se a = 1, temos lim
x→1− f (x) = lim
x→1− x = 1 e lim
x→1+ f (x) = lim
x→1+ x2 = 12 = 1. Logo, lim
x→1 f (x) = 1 = f (1). Portanto, f
é cont́ınua em a = 1.
(ii) Se a < 1, temos lim
x→a f (x) = lim
x→a x = a = f (a). Portanto, f é cont́ınua em ]−∞, 1[.
(iii) Se a > 1, temos lim
x→a f (x) = lim
x→a x2 = a2 = f (a). Portanto, f é cont́ınua em ]1,+∞[.
Conclusão: f é cont́ınua em R.
Sugestão: construa o gráfico de f.
Proposição 2.3 (Propriedades operatórias das funções cont́ınuas) Sejam f, g : X ⊂ R → R funções cont́ınuas em
X. Então:
(i) f± g : X ⊂ R→ R tal que (f± g) (x) = f (x)± g (x) é cont́ınua em X.
(ii) fg : X ⊂ R→ R tal que (fg) (x) = f (x)g (x) é cont́ınua em X.
(iii) f
g
: X ⊂ R→ R tal que f
g
(x) = f(x)
g(x) é cont́ınua em X = X− {x ∈ X : g (x) = 0}.
(iv) Se Img ⊂ X, então f ◦ g : X ⊂ R→ R tal que f ◦ g (x) = f (g (x)) é cont́ınua em X. (4)
(v) Se existe f−1 (inversa de f) e X é um intervalo, então f−1 é cont́ınua em seu doḿınio.
Com o aux́ılio das propriedades operatórias das funções cont́ınuas e, a partir de continuidade de funções simples,
podemos concluir a continuidade de funções mais elaboradas. Por exemplo, as funções f (x) = k, k ∈ R e f (x) = x
são cont́ınuas em R (verifique). A partir delas e das propriedades operatórias, temos os seguintes exemplos de funções
cont́ınuas:
Exemplo 2.17 (a) (Polinômios são cont́ınuos). O polinômio P (x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · · + a1x + a0 é cont́ınuo
em R, pois P é soma e produto de funções cont́ınuas.
(b) (Funções racionais são cont́ınuas). A função R (x) = P(x)
Q(x) , sendo P e Q polinômios, é cont́ınua em R −
{x ∈ R : Q (x) = 0}, pois R é quociente de funções cont́ınuas.
(c) A função f (x) = n
√
x é cont́ınua em
{
R+, se n for par
R, se n for ı́mpar
, pois f é a inversa de g, dada por g (x) = xn, que é
cont́ınua em R+ (ou R).
(d) A função h (x) = 5
√
x2 − 5x é cont́ınua em R, pois h pode ser escrita como composta de f, dada por f (x) = 5
√
x,
com g, dada por g (x) = x2 − 5x, que são cont́ınuas em R.
2.4 Teorema do Confronto e Aplicações
Proposição 2.4 (Teorema do Confronto) Sejam f, g, h : X ⊂ R → R e a ∈ R tais que g (x) 6 f (x) 6 h (x) para
x ∈ X ∩ ]a− r, a+ r[, sendo r > 0 fixo (5). Nestas condições, se lim
x→ag (x) = lim
x→ah (x) = L, então lim
x→a f (x) = L.
4O item (iv) desta proposição pode ser enfraquecido, retirando-se a necessidade de g ser cont́ınua. O enunciado alternativo é:
Sejam f : Y ⊂ R → R e g : X ⊂ R → R funções tais que Im g ⊂ Y, lim
x→a g (x) = L e f cont́ınua em L. Então, lim
x→a f (g (x)) = f (L).
5Esta condição significa: x pertence a X em uma determinada vizinhança de a.
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y
gráfico de f
L
0 xa
gráfico de h
gráfico de g
1a. Aplicação do Teorema do Confronto: As funções seno e cosseno são cont́ınuas em R.
Seja a ∈ R. Devemos mostrar que lim
x→a sen (x) = sen (a) e lim
x→a cos (x) = cos (a).
y
1
0 x1
sen a( )
sen x( )
cos a( ) cos x( )
x (o arco)
a (o arco)
| ) -cos x( cos a( )|
| ) -sen x( sen a( )|
| -x a| (o arco)
Inspirados na figura, temos para x próximo de a:
|sen (x) − sen (a)|< |x− a|
|cos (x) − cos (a)| < |x− a|
ou seja (6):
− |x− a| < sen (x) − sen (a) < |x− a|
− |x− a| < cos (x) − cos (a) < |x− a|
que implica
sen (a) − |x− a| < sen (x) < |x− a|+ sen (a)
cos (a) − |x− a| < cos (x) < |x− a|+ cos (a)
Definindo:
g1 (x) = sen (a) − |x− a|,
f1 (x) = sen (x),
h1 (x) = |x− a|+ sen (a),
g2 (x) = cos (a) − |x− a|,
f2 (x) = cos (x) e
h2 (x) = |x− a|+ cos (a),
temos:
g1 (x) 6 f1 (x) 6 h1 (x)
g2 (x) 6 f2 (x) 6 h2 (x)
e
lim
x→ag1 (x) = lim
x→ah1 (x) = sen (a)
lim
x→ag2 (x) = lim
x→ah2 (x) = cos (a)
6Recordemos que |x| < k⇒ −k < x < k.
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Pelo Teorema do Confronto: lim
x→a sen (x) = sen (a) e lim
x→a cos (x) = cos (a), ou seja, sen (x) e cos (x) são cont́ınuas
em R.
2a. Aplicação do Teorema do Confronto: O Limite lim
x→0 sen(x)
x
. (1o. Limite Fundamental)
Para 0 < x < π
2
temos sen (x) < x < tg (x).
y
1
0 x1
sen x( )
cos x( )
x
tg
tg x( )
Logo,
sen (x) < x < sen(x)
cos(x) ⇒ 1 < x
sen(x) <
1
cos(x) ⇒ cos (x) < sen(x)
x
< 1.
Para −π
2
< x < 0 temos tg (x) < x < sen (x) e, procedendo de modo análogo, temos a mesma desigualdade acima:
cos (x) < sen(x)
x
< 1.
Definindo g (x) = cos (x), f (x) = sen(x)
x
e h (x) = 1, temos
g (x) 6 f (x) 6 h (x) e lim
x→0g (x) = lim
x→0h (x) = 1.
Logo, pelo Teorema do Confronto,
lim
x→0 f (x) = 1,
ou seja,
lim
x→0 sen(x)
x
= 1 .
Exemplo 2.18 (i) Calculemos lim
x→0 sen(x)
5x
. Temos
lim
x→0 sen(x)
5x
= lim
x→0 15 sen(x)
x
= 1
5
.1 = 1
5
.
(ii) Calculemos lim
x→0 tg(x)
x
. Temos:
lim
x→0 tg(x)
x
= lim
x→0
sen(x)
cos(x)
x
= lim
x→0 1
cos(x)
sen(x)
x
= lim
x→0 1
cos(x) lim
x→0 sen(x)
x
= 1.1 = 1.
(iii) Calculemos lim
x→0 1−cos(x)
x
. Temos
lim
x→0 1−cos(x)
x
= lim
x→0 (1−cos(x))(1+cos(x))
x(1+cos(x)) = lim
x→0 1−cos2(x)
x(1+cos(x)) = lim
x→0 sen(x)
x
sen(x)
1+cos(x) = lim
x→0 sen(x)
x
lim
x→0 sen(x)
1+cos(x) = 1.0
2
= 0.
(iv) Calculemos lim
x→0 1−cos(x)
x2
. Temos
lim
x→0 1−cos(x)
x2
= lim
x→0 1−cos2(x)
x2(1+cos(x))
= lim
x→0 sen(x)
x
sen(x)
x
1
1+cos(x) = 1.1.1
2
= 1
2
.
(v) Calculemos lim
x→0 sen(2x)
x
. Temos
lim
x→0 sen(2x)
x
= lim
x→0 2 sen(x) cos(x)x
= lim
x→0 sen(x)
x
2 cos (x) = 1.2.1 = 2.
(vi) Calculemos lim
x→0 sen(x2)
x
. Temos
lim
x→0 sen(x2)
x
= lim
x→0 sen(x2)
x2
x =
x2=y
lim
y→0+ sen(y)
y
(±
√
y) = 1.
Ä
±
√
0
ä
= 0. (7)
7Observe que neste caso, x→ 0⇒ x2 → 0⇒ y→ 0+ (pois x2 > 0).
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Proposição 2.5 (Teorema do limite do produto com função limitada) Se lim
x→a f (x) = 0 e g (x) é limitada (8), então
lim
x→a f (x)g (x) = 0.
Demonstração do Teorema do limite do produto com função limitada:
Como g (x) é limitada, temos que ∃M > 0 tal que |g (x)| ≤M. Logo:
|f (x)g (x)| = |f (x)| . |g (x)| ≤M |f (x)|⇒ −M |f (x)| ≤ f (x)g (x) ≤M |f (x)| .
Pelo Teorema do Confronto,
lim
x→a f (x)g (x) = 0,
pois: 
lim
x→a−M |f (x)| = −M lim
x→a |f (x)| = −M. |0| = 0
e
lim
x→aM |f (x)| =M lim
x→a |f (x)| =M. |0| = 0,
como queŕıamos. �
Exemplo 2.19 (i) Temos lim
x→0 x sen
(
1
x
)
= 0, pois f (x) = x é tal que lim
x→0 f (x) = 0 e g (x) = sen
(
1
x
)
é limitada.
(
∣∣sen
(
1
x
)∣∣ ≤ 1)
Observação: lim
x→0 x sen
(
1
x
)
6= lim
x→0 x. lim
x→0 sen
(
1
x
)
, pois lim
x→0 sen
(
1
x
)
não existe. (veremos isso adiante)
(ii) Temos lim
x→0 x3 cos
(
1
x2
)
= 0, pois f (x) = x3 é tal que lim
x→0 f (x) = 0 e g (x) = cos
(
1
x2
)
é limitada. (observemos que∣∣cos
(
1
x2
)∣∣ ≤ 1)
(iii) Temos lim
x→0 |x| f (x) = 0, sendo f (x) =
{
1, se x ∈ Q
−2, se x ∈ R−Q . De fato: lim
x→0 |x| = 0 e |f (x)| ≤ 2.
Observação: lim
x→a |x| f (x) não existe se a 6= 0.
(iv) Temos lim
x→0 x sen(x)
|x|
= 0. De fato: lim
x→0 x = 0 e
∣∣∣ sen(x)|x|
∣∣∣ = |sen(x)|
|x|
≤ |x|
|x|
= 1.
Exemplo 2.20 Calculemos lim
x→0
sen3
(
x
2
)
x3
.
Temos
lim
x→0
sen3
(
x
2
)
x3
= lim
x→0
Ç
sen
(
x
2
)
x
å3
= lim
x→0
Ç
1
2
sen
(
x
2
)
x
2
å3
= lim
x→0 18
Ç
sen
(
x
2
)
x
2
å3
= 1
8
lim
x→0
Ç
sen
(
x
2
)
x
2
å3
.
Fazendo y = x
2
temos (x→ 0)⇒ (y→ 0) e, portanto,
lim
x→0
Ç
sen
(
x
2
)
x
2
å3
= lim
y→0
Ä
sen(y)
y
ä3
=
Å
lim
y→0 sen(y)
y
ã3
= 13 = 1,
pelo 1o. Limite Fundamental.
Conclusão: lim
x→0
sen3
(
x
2
)
x3
= 1
8
.
Exemplo 2.21 Calculemos lim
x→0 cos(2x)−cos(3x)
x2
.
Neste caso é mais fácil fatorar o numerador do que desenvolvê-lo.
Vejamos como fazer isso. Sabemos que{
cos (a+ b) = cos (a) cos (b) − sen (b) sen (a)
cos (a− b) = cos (a) cos (b) + sen (b) sen (a)
.
Façamos {
a+ b = p
a− b = q
⇒
 a = p+q
2
b = p−q
2
8g (x) é limitada em X se ∃M > 0 tal que |g (x)| ≤M.
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Assim, cos (p) = cos
(
p+q
2
)
cos
(
p−q
2
)
− sen
(
p−q
2
)
sen
(
p+q
2
)
cos (q) = cos
(
p+q
2
)
cos
(
p−q
2
)
+ sen
(
p−q
2
)
sen
(
p+q
2
) ⇒ cos (p) − cos (q) = −2 sen
(
p−q
2
)
sen
(
p+q
2
)
.
Desta forma,
lim
x→0 cos(2x)−cos(3x)
x2
= lim
x→0
−2 sen
(
2x−3x
2
)
sen
(
2x+3x
2
)
x2
= −2 lim
x→0
sen
(
−x
2
)
sen
(
5x
2
)
x2
= −2 lim
x→0
Ç
−1
2
sen
(
−x
2
)
−x
2
.5
2
sen
(
5x
2
)
5x
2
å
= 5
2
lim
x→0
Ç
sen
(
−x
2
)
−x
2
.
sen
(
5x
2
)
5x
2
å
= 5
2
.1.1 = 5
2
2.5 Limites no Infinito
Dissemos no ińıcio deste caṕıtulo que o conceito de limite está relacionado com a ideia de aproximação. Entretanto,
há dois tipos especiais de limites que estudaremos nessa e na próxima seção que apresentam um tipo de aproximação
estranha e diferente: “aproximação do infinito”. Nesta situação, não temos uma aproximação entre números no sentido
intuitivo, mas sim, no sentido de um número tornar-se arbitrariamente grande, seja ele positivo ou seja ele negativo.
Vamos começar a formalizar melhor essas ideias na definição abaixo.
Seja f : X ⊂ R→ R tal que X não é limitado superiormente (9). Dizemos que o limite de f (x) quando x tende
a infinito é L ∈ R, e escrevemos
lim
x→+∞ f (x) = L ,
quando: Dado ε > 0, ∃∆ > 0 tal que
x > ∆⇒ |f (x) − L| < ε .
x0 D
L
y
L-e
L+e
f x( )
gráfico de f
x
De modo análogo,
lim
x→−∞ f (x) = L
quando: Dado ε > 0, ∃∆ > 0 tal que
x < −∆⇒ |f (x) − L| < ε .
Exemplo 2.22 Demonstremos que lim
x→+∞ 1
xn
= 0, para n ∈ N fixo, utilizando a definição acima. De fato, observemos
que
|f (x) − L| < ε⇐⇒ ∣∣ 1
xn
− 0
∣∣ < ε⇐⇒
x>0
1
xn
< ε⇐⇒ x > n
»
1
ε
.
Desta forma, dado ε > 0 qualquer, fazendo ∆ = n
»
1
ε
, temos pela cadeia de equivalências acima:
x > ∆⇒ ∣∣ 1
xn
− 0
∣∣ < ε,
que é exatamente a definição de lim
x→+∞ 1
xn
= 0.
De modo análogo, demonstra-se que lim
x→−∞ 1
xn
= 0.
9Isto que dizer que @M > 0 tal que x < M para ∀x ∈ X.
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Observações.
(1) O exemplo acima pode ser generalizado para α > 0 no lugar do n ∈ N e no caso de x→ +∞, ou seja, lim
x→+∞ 1
xα
= 0.
No caso de x→ −∞ temos lim
x→−∞ 1
xα
= 0 desde que xα seja sempre número real (observe, por exemplo, que α = 1
2
e
x = −1 são tais que xα =
√
−1 = i /∈ R).
(2) As propriedades operatórias para calcular limites continuam válidas para os limites no infinito.
(3) O Teorema do limite do produto com função limitada (Proposição 2.5) também é válido para os limites no infinito.
Vamos a alguns exemplos:
Exemplo 2.23 (i) Calculemos lim
x→+∞ x3+2x+5
2x3+10x2+2x
.
Primeiramente, observemos que à medida em que x aumenta, x3+2x+5
2x3+10x2+2x
se aproxima do “número” +∞
+∞ que,
obviamente, não é um número real. Trata-se de um outro tipo de “indeterminação”. Nosso trabalho consiste em
“eliminar a indeterminação”por meio de alguma manipulação algébrica envolvendo a expressão x3+2x+5
2x3+10x2+2x
. Vejamos
como fazer isso:
lim
x→+∞ x3+2x+5
2x3+10x2+2x
= lim
x→+∞
x3
(
1+ 2x
x3
+ 5
x3
)
x3
Ä
2+ 10x2
x3
+ 2x
x3
ä = lim
x→+∞
1+ 2
x2
+ 5
x3
2+ 10
x
+ 2
x2
= 1+0+0
2+0+0 = 1
2
.
(ii) Calculemos lim
x→+∞ x4−2x2
−3x5−7x2+2x
.
Neste caso, observemos que à medida em que x aumenta, x4−2x2
−3x5−7x2+2x
se aproxima do “número” +∞−∞
−∞+∞ , que não
é numero real, e é, também, uma “indeterminação”. Aliás, apenas o numerador +∞−∞ (ou o denominador −∞+∞)
é também classificado como uma “indeterminação”. Conforme dito no item acima, devemos trabalhar a expressão
x4−2x2
−3x5−7x2+2x
. Vejamos como:
lim
x→+∞ x4−2x2
−3x5−7x2+2x
= lim
x→+∞
x4
(
1− 2
x2
)
x5
(
−3− 7
x3
+ 2
x4
) = lim
x→+∞
1− 2
x2
x
(
−3− 7
x3
+ 2
x4
) = 0.
(iii) Calculemos lim
x→+∞ sen(x)
x
(cuidado não é o 1o. Limite Fundamental). Temos
lim
x→+∞ sen(x)
x
= 0, pois lim
x→+∞ 1
x
= 0 e |sen (x)| ≤ 1. (Proposição 2.5)
(iv) Calculemos lim
x→−∞ 5−cos(x)
x2
. Temos
lim
x→−∞ 5−cos(x)
x2
= 0, pois lim
x→−∞ 1
x2
= 0 e |5− cos (x)| ≤ 6. (Proposição 2.5)
(v) Calculemos lim
x→+∞ x sen
(
1
x
)
. Temos
lim
x→+∞ x sen
(
1
x
)
= lim
x→+∞
sen
(
1
x
)
1
x
=
y= 1
x
lim
y→0+ sen(y)
y
= 1. (1
o
. Limite Fundamental)
Observação: quando (x→ +∞)⇒ (
1
x
→ 0+
)⇒ (y→ 0+).
Exemplo 2.24 O limite lim
x→0 sen
(
1
x
)
não existe. De fato:
Para x = 1
kπ
, k ∈ Z, temos lim
x→0 sen
(
1
x
)
= lim
k→+∞ sen
Ç
1
1
kπ
å
= lim
k→+∞ sen (kπ) = lim
k→+∞ 0 = 0.
Para x = 1
π
2
+2kπ , k ∈ Z, temos lim
x→0 sen
(
1
x
)
= lim
k→+∞ sen
(
1
1
π
2
+2kπ
)
= lim
k→+∞ sen
(
π
2
+ 2kπ
)
= lim
k→+∞ 1 = 1.
-1
1
x
y
2/p
- /p2
gráfico de f
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Observemos que em ambos os casos x → 0, mas dependendo de quais valores escolhidos para x o limite é um
número diferente. Isto não pode ocorrer pois, conforme vimos na Proposição 2.1, página 74, se um limite existe, então
seu valor é único.
Conclusão: lim
x→0 sen
(
1
x
)
não existe.
Mais dois limites. Antes, porém, recordemos que se α > 0 é fixo, então lim
x→+∞ 1
xα
= 0.
Exemplo 2.25 (i) Calculemos lim
x→+∞ x 3
√
x+1
5x 3
√
x+3x−1
. Temos
lim
x→+∞ x 3
√
x+1
5x 3
√
x+3x−1
= lim
x→+∞
x 3
√
x
Ä
1+ 1
x 3
√
x
ä
x 3
√
x
Ä
5+ 3x
x 3
√
x
− 1
x 3
√
x
ä = lim
x→+∞
1+ 1
x
4
3
5+ 3
x
1
3
− 1
x
4
3
= 1+0
5+0−0 = 1
5
.
(ii) Calculemos lim
x→+∞ 8−x√
x2+1
. Temos
lim
x→+∞ 8−x√
x2+1
= lim
x→+∞
x
(
8
x
− 1
)»
x2
(
1+ 1
x2
) = lim
x→+∞
x
(
8
x
− 1
)
|x|
»
1+ 1
x2
= lim
x→+∞
x
(
8
x
− 1
)
x
»
1+ 1
x2
= lim
x→+∞
8
x
− 1»
1+ 1
x2
= 0−1√
1+0
= −1.
2.6 Limites Infinitos
Conforme já adiantado na seção anterior, veremos mais um caso de “aproximação do infinito”. Só que, neste caso,
a tal aproximação ocorre no contra-domı́nio da função, ao invés de ocorrer no domı́nio, conforme vimos no caso dos
limites no infinito. Comecemos com a definição formal.
Sejam f : X ⊂ R→ R e a ∈ R tal que ]a− r, a+ r[ ∩ X 6= ∅ para qualquer r > 0. Dizemos que o limite de f (x)
quando x tende a a é infinito, e escrevemos
lim
x→a f (x) = +∞ ,
quando: ∀M > 0, ∃δ > 0 tal que
0 < |x− a| < δ⇒ f (x) > M .
x
0 a x
y
a+da-d
M
f x( )
gráfico de f
De modo análogo,
lim
x→a f (x) = −∞
quando: ∀M > 0, ∃δ > 0 tal que
0 < |x− a| < δ⇒ f (x) < −M .
Exemplo 2.26 Demonstremos que lim
x→1 1
(x−1)2
= +∞, utilizando a definição acima. De fato, observemos que
f (x) > M⇐⇒ 1
(x−1)2
> M⇐⇒
x 6=1
1
M
> (x− 1)
2 ⇐⇒» 1
M
> |x− 1| .
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Desta forma, dado M > 0 qualquer, fazendo δ =
»
1
M
, temos pela cadeia de equivalências acima:
0 < |x− 1| < δ⇒ 1
(x−1)2
> M,
que é exatamente a definição de lim
x→1 1
(x−1)2
= +∞.
Observações:
(1) As propriedades operatórias para calcular limites, com as devidas adaptações, continuam válidas para os limites
infinitos.
(2) O conceito de limite infinito pode ser considerado de forma a termos limite lateral à direita ou à esquerda de
a. Exemplos: lim
x→2+ 1
(x−2)3
= +∞ e lim
x→2− 1
(x−2)3
= −∞. Naturalmente, para que exista lim
x→a f (x), os limites laterais
deverão existir e coincidir.
(3) O conceito de limite infinito com x tendendo a +∞ ou −∞ também pode ser considerado, ou seja, podemos ter
um limite infinito (f (x)→∞), no infinito (x→∞). Exemplo: lim
x→−∞ x2 = +∞.
Vamos a alguns exemplos.
Exemplo 2.27 (i) Para m,n ∈ N fixos, lim
x→0+ 1
n
√
xm
= lim
x→0+ 1
x
m
n
= +∞.
(ii) Para n ∈ N fixo, lim
x→0− 1
xn
=
{
+∞, se n for par
−∞, se n for ı́mpar
.
(iii) Para m,n ∈ N fixos, lim
x→+∞ xmn = +∞.
(iv) Para n ∈ N fixo, lim
x→−∞ xn =
{
+∞, se n for par
−∞, se n for ı́mpar
.
Exemplo 2.28 (i) Calculemos lim
x→+∞
(
5x3 − 2x2
)
.
Observemos que neste item, quando x aumenta, 5x3−2x2 se aproxima do “número” +∞−∞, que não é número real,
mas sim uma “indeterminação”. Nosso objetivo é “eliminar a indeterminação” por meio de manipulações algébricas
na expressão 5x3 − 2x2. Vejamos:
lim
x→+∞
(
5x3 − 2x2
)
= lim
x→+∞ x3
(
5− 2
x
)
= +∞.
(ii) Calculemos lim
x→−∞ 2x4−3x
−x+1 . Temos
lim
x→−∞ x4
x
Ç
2− 3
x3
−1+ 1
x
å
= lim
x→−∞ x3
Ç
2− 3
x3
−1+ 1
x
å
= +∞.
(iii) Geralmente o módulo nos conduz a limites laterais. Entretanto, neste exemplo, veremos que isso não ocorre.
Calculemos lim
x→−1
5x+2
|x+1| :
lim
x→−1
5x+2
|x+1| = lim
x→−1
x
|x|
Ç
5+ 2
x∣∣1+ 1
x
∣∣
å
= lim
x→−1
x
−x
Ç
5+ 2
x∣∣1+ 1
x
∣∣
å
= lim
x→−1
Ç
−
Ç
5+ 2
x∣∣1+ 1
x
∣∣
åå
= − lim
x→−1
5+ 2
x∣∣1+ 1
x
∣∣ = −∞.
(iv) Já nesse exemplo, temos a divisão em dois limites laterais. Calculemos lim
x→0 |x|
x2
:
lim
x→0 |x|
x2
⇒

lim
x→0− |x|
x2
= lim
x→0− −x
x2
= lim
x→0−
(
−1
x
)
= +∞
lim
x→0+ |x|
x2
= lim
x→0+ x
x2
= lim
x→0+ 1
x
= +∞ ⇒ lim
x→0 |x|
x2
= +∞.
(v) Calculemos lim
x→+∞ x
√
x+1
x 3
√
x−x
. Temos
lim
x→+∞ x
√
x+1
x 3
√
x−x
= lim
x→+∞ x
3
2+1
x
4
3−x
= lim
x→+∞
x
3
2
(
1+ 1
x
3
2
)
x
4
3
(
1− 1
x
1
3
) = lim
x→+∞
x
1
6
(
1+ 1
x
3
2
)
1− 1
x
1
3
= +∞.
(vi) Calculemos lim
x→+∞
Ä√
3x2 + 2x+ 1−
√
2x
ä
. Temos
lim
x→+∞
Ä√
3x2 + 2x+ 1−
√
2x
ä
= lim
x→+∞
(»
x2
(
3+ 2
x
+ 1
x2
)
−
√
2x
)
= lim
x→+∞
(
|x|
»
3+ 2
x
+ 1
x2
−
√
2x
)
= lim
x→+∞
(
x
»
3+ 2
x
+ 1
x2
−
√
2x
)
= lim
x→+∞ x
(»
3+ 2
x
+ 1
x2
−
√
2
)
= +∞.
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Finalizamos com mais dois limites, porém, não existentes.
Exemplo 2.29 (i) Calculemos lim
x→2 x
2+3x+1
x2+x−6
. Temos
lim
x→2 x
2+3x+1
x2+x−6
= lim
x→2 x2+3x+1
(x+3)(x−2) = lim
x→2 x
2
x2
Ç
1+ 3
x
+ 1
x2(
1+ 3
x
) (
1− 2
x
)å = lim
x→2
1+ 3
x
+ 1
x2(
1+ 3
x
) (
1− 2
x
) ⇒
lim
x→2−
1+ 3
x
+ 1
x2
(1+ 3x )(1−
2
x )
= −∞
lim
x→2+
1+ 3
x
+ 1
x2
(1+ 3x )(1−
2
x )
= +∞ ⇒ @ lim
x→2 x
2+3x+1
x2+x−6
.
(ii) Calculemos lim
x→4 3−x
x2−2x−8
. Temos
lim
x→4 3−x
x2−2x−8
= lim
x→4 3−x
(x+2)(x−4) = lim
x→4 xx
Å
3
x
−1
(x+2)(1− 4x )
ã
= lim
x→4
3
x
−1
(x+2)(1− 4x )
⇒
lim
x→4−
3
x
−1
(x+2)(1− 4x )
= +∞
lim
x→4+
3
x
−1
(x+2)(1− 4x )
= −∞ ⇒ @ lim
x→4 3−x
x2−2x−8
.
2.7 Asśıntotas Horizontais e Verticais
Uma das aplicações geométricas diretas dos limites infinitos, e no infinito, é a determinação das chamadas asśıntotas
verticais ou horizontais aos gráficos de funções reais de uma variável real. As asśıntotas nada mais são do que retas
sobre as quais o gráfico de uma função vai se “aproximando” à medida em que percorremos a curva que representa o
gráfico da função. Naturalmente, pode ocorrer de um gráfico não possuir asśıntotas. Além disso, uma asśıntotapode
ser “inclinada” (não horizontal e nem vertical). Nesta seção vamos formalizar os casos mais simples:
Dizemos que a reta x = a é uma asśıntota vertical do gráfico de uma função f : X ⊂ R → R quando pelo
menos uma das seguintes condições for verdadeira:
(i) lim
x→a+
f (x) = +∞.
(ii) lim
x→a−
f (x) = +∞.
(iii) lim
x→a+
f (x) = −∞.
(iv) lim
x→a−
f (x) = −∞.
Exemplo 2.30 A reta x = 0 é asśıntota vertical de f (x) = 1
x
pois lim
x→0+ f (x) = +∞. (ou lim
x→0− f (x) = −∞)
-1
-1
0
1
1
x
y
gráfico de f
assíntota eixox 0 y= ( )
Este exemplo é interessante pois uma reta pode ser asśıntota nos dois sentidos de percurso posśıveis (neste caso,
tanto acima, quanto abaixo do eixo das abscissas).
Dizemos que a reta y = b é uma asśıntota horizontal do gráfico de uma função f : X ⊂ R → R quando pelo
menos uma das seguintes condições for verdadeira:
(i) lim
x→+∞ f (x) = b.
(ii) lim
x→−∞ f (x) = b.
Notemos que, neste caso, o domı́nio X da função f não pode ser limitado superiormente (no item (i)) ou inferiormente
(no item (ii)).
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Exemplo 2.31 A reta y = 0 é asśıntota horizontal de f (x) = 1
x
pois lim
x→+∞ f (x) = 0. (ou lim
x→−∞ f (x) = 0)
-1
-1
0
1
1
x
y
gráfico de f
assíntota eixoy 0 x= ( )
Novamente um exemplo interessante pois a reta encontrada é asśıntota nos dois sentidos de percurso posśıveis
(neste caso, tanto à direita, quanto à esquerda do eixo das ordenadas).
Exemplo 2.32 Calculemos as asśıntotas (e tracemos os gráficos) de:
(1) f (x) = 1
x−2 + 3 (2) f (x) = tg (x)
Item (1):
Quanto às asśıntotas verticais, temos
lim
x→2− f (x) = lim
x→2−
Ä
1
x−2 + 3
ä
= −∞
lim
x→2+ f (x) = lim
x→2+
Ä
1
x−2 + 3
ä
= +∞
Se a 6= 2 temos
lim
x→a−
f (x) = lim
x→a−
Ä
1
x−2 + 3
ä
= 1
a−2 + 3 ∈ R
lim
x→a+
f (x) = lim
x→a+
Ä
1
x−2 + 3
ä
= 1
a−2 + 3 ∈ R
Logo, a reta de equação cartesiana x = 2 é a única asśıntota vertical do gráfico de f.
Quanto às asśıntotas horizontais, temos
lim
x→+∞ f (x) = lim
x→+∞
Ä
1
x−2 + 3
ä
= 3
lim
x→−∞ f (x) = lim
x→−∞
Ä
1
x−2 + 3
ä
= 3
Logo, a reta de equação cartesiana y = 3 é a única asśıntota horizontal do gráfico de f.
(Construa o gráfico de f).
Item (2):
Quanto às asśıntotas verticais, para k ∈ Z, temos
lim
x→(π2+kπ)
−
f (x) = lim
x→(π2+kπ)
−
tg (x) = +∞
lim
x→(π2+kπ)
+
f (x) = lim
x→(π2+kπ)
+
tg (x) = −∞
Se a 6= π
2
+ kπ, para qualquer k ∈ Z, temos
lim
x→a−
f (x) = lim
x→a−
tg (x) = tg (a) ∈ R
lim
x→a+
f (x) = lim
x→a+
tg (x) = tg (a) ∈ R
Logo, as retas de equações cartesianas x = π
2
+ kπ, k ∈ Z, são todas as asśıntotas verticais do gráfico de f. (tem
infinitas!)
Quanto às asśıntotas horizontais, temos:
Para x = kπ, k ∈ Z, temos lim
x→+∞ tg (x) = lim
k→+∞ tg (kπ) = lim
k→+∞ 0 = 0.
Para x = π
4
+ kπ, k ∈ Z, temos lim
x→+∞ tg (x) = lim
k→+∞ tg
(
π
4
+ kπ
)
= lim
k→+∞ 1 = 1.
Logo, não existe lim
x→+∞ tg (x).
Para x = kπ, k ∈ Z, temos lim
x→−∞ tg (x) = lim
k→−∞ tg (kπ) = lim
k→−∞ 0 = 0.
Para x = π
4
+ kπ, k ∈ Z, temos lim
x→−∞ tg (x) = lim
k→−∞ tg
(
π
4
+ kπ
)
= lim
k→−∞ 1 = 1.
Logo, não existe lim
x→−∞ tg (x).
Portanto, não há asśıntotas horizontais ao gráfico de f.
(Construa o gráfico de f).
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2.8 O Limite lim
x→+∞
(
1+ 1
x
)x
(2o. Limite Fundamental)
O valor deste limite segue de uma aplicação do Teorema do Confronto (Proposição 2.4, página 79). Para apresentá-
lo, iremos abandonar um pouco o rigor matemático e assumir que a sequência de números reaisÄ(
1+ 1
n
)nä
n∈N
=
((
1+ 1
1
)1
,
(
1+ 1
2
)2
,
(
1+ 1
3
)3
,
(
1+ 1
4
)4
,
(
1+ 1
5
)5
, . . . ,
(
1+ 1
n
)n
, . . .
)
para n ∈ N é convergente. Intuitivamente, à medida que n tende a infinito,
(
1+ 1
n
)n
tende a um determinado
número real que, neste caso, prova-se que é irracional. Este número é indicado por e e seu valor aproximado é
2, 718281828459045 . . .
Temos, desta forma, a motivação para a seguinte definição:
lim
n→+∞
(
1+ 1
n
)n
= e, sendo n ∈ N.
Agora, mostremos que lim
x→+∞
(
1+ 1
x
)x
= e para x ∈ R.
Sejam x ∈ R e n ∈ N tais que
n 6 x < n+ 1⇒ 1
n+1 <
1
x
6 1
n
⇒ 1+ 1
n+1 < 1+
1
x
6 1+ 1
n
.
Logo,
n 6 x < n+ 1⇒ Ä1+ 1
n+1
än
<
(
1+ 1
x
)x
6
(
1+ 1
n
)n+1
.
Como
lim
n→+∞
Ä
1+ 1
n+1
än
=
m=n+1
lim
m→+∞
(
1+ 1
m
)m−1
= lim
m→+∞
(
1+ 1
m
)m (
1+ 1
m
)−1
= e.1−1 = e
e
lim
n→+∞
(
1+ 1
n
)n+1
= lim
n→+∞
(
1+ 1
n
)n (
1+ 1
n
)1
= e.11 = e,
temos, pelo Teorema do Confronto:
lim
x→+∞
(
1+ 1
x
)x
= e .
que é o chamado 2 o. Limite Fundamental.
Observemos que, no 2o. Limite Fundamental, à medida em que x aumenta,
(
1+ 1
x
)x
tende ao “número” 1+∞ que,
na verdade, não é um número real. Trata-se de um novo tipo de “indeterminação”, talvez a mais confusa à primeira
vista, pois parece natural considerar 1+∞ como sendo igual a 1 (o que não é! Veja o valor do 2o. Limite Fundamental).
A confusão de deve ao fato de que o 1 da base de 1+∞ não representa o número 1, mas sim números que estão próximos
de 1. No final desse caṕıtulo discorremos um pouco mais sobre as “indeterminações”.
Exemplo 2.33 Mostremos que
lim
x→−∞
(
1+ 1
x
)x
= e.
De fato, fazendo x = −(y+ 1), temos
lim
x→−∞
(
1+ 1
x
)x
= lim
y→+∞
Ä
1− 1
y+1
ä−y−1
= lim
y→+∞
Ä
y
y+1
ä−y−1
= lim
y→+∞
Ä
1+ 1
y
äy+1
= lim
y→+∞
Ä
1+ 1
y
äy Ä
1+ 1
y
ä1
= e.
Exemplo 2.34 Mostremos que
lim
x→0 (1+ x)
1
x = e.
De fato, fazendo y = 1
x
, temos:
Para x > 0⇒ y→ +∞ e lim
x→0+ (1+ x)
1
x = lim
y→+∞
Ä
1+ 1
y
äy
= e.
Para x < 0⇒ y→ −∞ e lim
x→0− (1+ x)
1
x = lim
y→−∞
Ä
1+ 1
y
äy
= e.
Logo, lim
x→0 (1+ x)
1
x = e.
Exemplo 2.35 Mostremos que
lim
x→0 a
x−1
x
= ln (a) ,
sendo a > 0, a 6= 1.
De fato, fazendo ax − 1 = y, temos lim
x→0 a
x−1
x
= lim
y→0 y
loga(y+1)
= lim
y→0 1
loga(1+y)
1
y
= 1
loga
(
lim
y→0(1+y)
1
y
) = loga(a)
loga(e)
=
ln (a).
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2.9 Teorema do Valor Intermediário, Teorema do Anulamento e Teo-
rema de Weierstrass.
Nesta seção apresentaremos três importantes teoremas do Cálculo relacionados com continuidade. Os dois primeiros
resultados são, na verdade, apenas um, uma vez que o Teorema do Anulamento é um corolário (consequência) do
Teorema do Valor Intermediário. Veremos algumas aplicações matemáticas bastante interessantes do Teorema do
Anulamento logo abaixo. Já o terceiro resultado, chamado Teorema de Weierstrass, será utilizado apenas no caṕıtulo
onde trataremos das chamadas derivadas. Mas como trata-se de um resultado relacionado esclusivamente com o
conceito de continuidade, vamos enunciado neste caṕıtulo.
Proposição 2.6 (Teorema do Valor Intermediário) Se f : [a, b] ⊂ R→ R é cont́ınua (10) e γ é um valor entre f (a)
e f (b), então existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = γ.
y
xa bc
f c( ) = g
f a( )
f b( )
gráfico de f
Observação importante. Caso f não seja cont́ınua em [a, b], o Teorema do Valor Intermediário não vale. No exemplo
abaixo não existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = γ.
y
xa bc
g
f a( )
f b( )
gráfico de f
f c( )
?
Proposição 2.7 (Teorema do Anulamento: corolário do Teorema do Valor Intermediário) Seja f : [a, b] ⊂ R→ R
cont́ınua. Se f (a) e f (b) possuirem sinais opostos, então existe c ∈ ]a, b[ tal que f (c) = 0.
y
x
a
b
c0
f a( )
f b( )
gráfico de f
Todos os próximos exemplos são aplicações matemáticas do Teorema do Anulamento.
10Lembrando que nos extremos a e b a continuidade é expressa pelos limites laterais convenientes.
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Exemplo 2.36 (i) Mostremos que a equação x3 + 3x2 − 2x− 6 = 0 tem uma raiz entre 1 e 2.
Temos que f (x) = x3 + 3x2 − 2x − 6 é tal que f (1) = −4 < 0 e f (2) = 10 > 0. Como f é cont́ınua em [1, 2], pelo
Teorema do Anulamento, existe r ∈ ]1, 2[ tal que f (r) = 0.
(ii) Mostremos que a equação x3 − 4x+ 8 = 0 admite ao menos uma raiz real.
De fato, f (x) = x3 − 4x + 8 é cont́ınua em R. Para x = −3 (por exemplo), temos f (−3) = −7 < 0 e para x = 0,
temos f (0) = 8 > 0. Logo, pelo Teorema do Anulamento, existe c ∈ ]−3, 0[ tal que f (c) = 0, ou seja, c é raiz de f.
(iii) Mostremos que a equação x3 − 4x+ 2 = 0 admite três ráızes reais.
De fato, f (x) = x3 − 4x+ 2 é cont́ınua em R.
Para x = 0, temos f (0) = 2 > 0 e para x = 1, temos f (1) = −1 < 0. Pelo Teorema do Anulamento, temos que
existe c1 ∈ ]0, 1[ tal que f (c1) = 0.
Para x = −3, temos f (−3) = −13 < 0 e para x = −2, temos f (−2) = 2 > 0. Pelo Teorema do Anulamento, existe
c2 ∈ ]−3,−2[ tal que f (c2) = 0.
Conclusão: f (x) admite três ráızes reais. (Demonstramos a existência de duas ráızes. A terceira raiz é obrigatori-
amente real. Por quê?)
(iv) Mostremos que todo polinômio de grau ı́mpar tem pelo menos uma raiz real.
Seja P (x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0 com n ı́mpar.
Suponhamos que an > 0.
Temos:
lim
x→−∞P (x) = lim
x→−∞
(
anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0
)
= lim
x→−∞ xn
(
an + an−1
1
x
+ · · ·+ a1 1
xn−1 + a0
1
xn
)
= −∞.
Logo, existe a < 0 tal que P (a) < 0.
Também temos:
lim
x→+∞P (x) = lim
x→+∞
(
anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0
)
= lim
x→+∞ xn
(
an + an−1
1
x
+ · · ·+ a1 1
xn−1 + a0
1
xn
)
= +∞.
Logo, existe b > 0 tal que P (b) > 0.
Como P é cont́ınua em [a, b], pelo Teoreoma do Anulamento, existe c ∈ ]a, b[ tal que P (c) = 0.
(v) Mostremos que existe x0 ∈
]
0, π
2
[
tal que cos (x0) = x0.
De fato, devemos mostrar que f (x) = cos (x) − x possui uma raiz no intervalo indicado. Observemos que f (x) =
cos (x) − x é cont́ınua em R (em particular no intervalo
[
0, π
2
]
). Temos que f (0) = 1 > 0 e f
(
π
2
)
= −π
2
< 0. Logo,
pelo Teorema do Anulamento, existe x0 ∈
]
0, π
2
[
tal que f (x0) = 0, ou seja, cos (x0) = x0.
(vi) Seja P (x) = a2nx
2n + a2n−1x
2n−1 + · · ·+ a1x+ a0 com a2n > 0 e a0 < 0. Mostre que esse polinômio tem pelo
menos duas ráızes reais: uma positiva e uma negativa.
Temos
lim
x→−∞P (x) = lim
x→−∞
(
a2nx
2n + a2n−1x
2n−1 + · · ·+ a1x+ a0
)
= lim
x→−∞ x2n
(
a2n + a2n−1
1
x
+ · · ·+ a1 1
x2n−1 + a0
1
x2n
)
= +∞.
Logo, existe a < 0 tal que P (a) > 0. Como P (0) = a0 < 0 e P é cont́ınua em [a, 0], o Teorema do Anulamento
garante que existe r1 ∈ ]a, 0[ (portanto, r1 negativa) tal que P (r1) = 0.
Temos
lim
x→+∞P (x) = lim
x→+∞
(
a2nx
2n + a2n−1x
2n−1 + · · ·+ a1x+ a0
)
= lim
x→+∞ x2n
(
a2n + a2n−1
1
x
+ · · ·+ a1 1
x2n−1 + a0
1
x2n
)
= +∞.
Logo, existe b > 0 tal que P (b) > 0. Como P (0) = a0 < 0 e P é cont́ınua em [0, b], o Teorema do Anulamento
garante que existe r2 ∈ ]0, b[ (portanto, r2 positiva) tal que P (r2) = 0.
(vii) Sejam a > 0 e n ∈ N. Mostremos que existe um α > 0 tal que αn = a.
Consideremos P (x) = xn − a. Se este polinômio admitir uma raiz positiva (digamos α), teremos αn − a = 0 ⇒
αn = a. Logo, devemos mostrar a existência dessa tal raiz.
Temos que P é cont́ınua em R e lim
x→+∞P (x) = +∞⇒ ∃b > 0 tal que P (b) > 0. Como P (0) = −a < 0, temos, pelo
Teorema do Anulamento, que ∃α ∈ ]0, b[ tal que P (α) = 0, ou seja, αn = a.
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Proposição 2.8 (Teorema de Weierstrass) Se f : [a, b] ⊂ R→ R é cont́ınua, então existem xm, xM ∈ [a, b] tais que
f (xm) 6 f (x) 6 f (xM), ∀x ∈ [a, b].
y
x
f x( M)
f x( m)
a bxM xm
gráfico de f
É costume utilizar a seguinte nomenclatura no Teorema de Weierstrass:
xm é ponto de mı́nimo de f em [a, b].
xM é ponto de máximo de f em [a, b].
f (xm) é valor mı́nimo de f em [a, b].
f (xM) é valor máximo de f em [a, b].
Embora xm e xM sejam números reais, eles estão associados a pontos do eixo das abscissas no sistema de coorde-
nadas cartesianas ortogonais. Dáı chamarmos os números desse eixo de pontos.
2.10 Expressões Indeterminadas
No decorrer deste caṕıtulo, nos deparamos várias vezes com as chamadas “indeterminações” apresentadas pelos
limites os quais queremos calcular. Nesta seção vamos apresentar apenas algumas ideias e noções relativas a esses
estranhos objetos matemáticos. Não temos a pretenção de sermos rigorosos com este assunto e o leitor que não estiver
interessado pode avançar para a seção de exerćıcios sem prejúızos.
Há sete principais expressões indeterminadas ou indeterminações e elas são expressões do tipo
+∞−∞, 0.∞, 0
0
, ∞∞ , ∞0, 1∞ e 00,
sendo que em 0.∞, ∞∞ , ∞0 e 1∞, o simbolo ∞ pode ser considerado +∞ ou −∞. Já no caso +∞ −∞ também está
impĺıcita a indeterminação −∞+∞.
Essas indeterminações não são números, e não podem ser associadas a um número fixo, nem a +∞ e nem a −∞ (dáı
o nome). Mas o que elas significam? Cada indeterminação pode ser pensada como resultado de uma operação entre
dois números que estão variando de forma espećıfica. Por exemplo, 0
0
pode ser pensada como resultado da divisão
de dois números que estão se aproximando de zero. Mas, quanto será esse resultado? Depende. Se o numerador
estiver se aproximando de zero “mais rapidamente” do que o denominador, é razoável que o resultado seja zero. Se
for o contrário, é razoável que o resultado seja infinito. Na verdade, podemos tomar exemplos de duas sequências de
números tendendo a zero nos quais as divisões tendam a qualquer número que o leitor queira! Esse comportamento
aleatório das indeterminações ocorre para qualquer uma das sete listadas acima.
Vamos formalizar melhor o exemplo citado acima:
Exemplo 2.37 Sejam f : R→ R e g : R→ R funções e k ∈ R um número real qualquer. Se:
(i) f (x) = −x e g (x) = x3, então lim
x→0 f(x)g(x) apresenta indeterminação do tipo 0
0
.
Mas lim
x→0 f(x)g(x) = lim
x→0 −x
x3
= lim
x→0 −1
x2
= −∞;
(ii) f (x) = kx e g (x) = x, então lim
x→0 f(x)g(x) apresenta indeterminação do tipo 0
0
.
Mas lim
x→0 f(x)g(x) = lim
x→0 kxx = lim
x→0 k = k;
(iii) f (x) = x e g (x) = x3, então lim
x→0 f(x)g(x) apresenta indeterminação do tipo 0
0
.
Mas lim
x→0 f(x)g(x) = lim
x→0 xx3 = lim
x→0 1x2 = +∞;
(iv) f (x) = x sen
(
1
x
)
e g (x) = x, então lim
x→0 f(x)g(x) apresenta indeterminação do tipo 0
0
.
Mas lim
x→0 f(x)g(x) = lim
x→0 x sen(
1
x )
x
= lim
x→0 sen
(
1
x
)
que não existe!
Conclúımos que todos os limites acima apresentaram indeterminações do tipo 0
0
e os seus valores foram os mais
variados posśıveis (um sequer existe!). Logo, não podemos associar número (ou infinito) a 0
0
.
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Já observamos oportunamente que a indeterminação 1+∞ costuma trazer uma certa confusão, pois há uma
tendência de se achar que o resultado é sempre igual a 1. Deve-se tomar cuidado com o significado: 1+∞ quer
dizer que estamos considerando números cada vez mais próximos 1 e elevando-os a números cada vez maiores. O
resultado disso pode ser muito diferente de 1.
Outro ponto: alguns leitores consideram 0+∞ ou 0−∞ como indeterminações (observe que ∞0, de fato, é!). Mas
está errado. A expressão 0+∞ não é uma indeterminação, seu valor é sempre igual a 0, não importando quais duas
sequências de números positivos, uma tendendo a 0 e a outra tendendo a +∞, que se utilize na base e no expoente,
respectivamente. Assim podemos dizer que 0+∞ = 0 e, de forma análoga, 0−∞ = +∞. (Obs.: os números que se
consideram na base, e que tendem a 0, devem ser positivos para evitarmosnúmeros complexos nessa conta)
Uma outra observação importante é que há infinitas outras expressões indeterminadas além das sete descritas
acima. Por exemplo, +∞−∞
0.∞ . O fato curioso é que qualquer uma delas pode ser trabalhada e transformada em
uma das sete indeterminações acima. Aliás, nem mesmo as sete listadas acima são independentes. Por exemplo, há
indeterminações do tipo ∞∞ que podem ser transformadas em indeterminações do tipo 0
0
.
Vamos finalizar com uma tabela que tem por objetivo especificar melhor quando um limite apresenta uma inde-
terminação ou não. Para tanto, f e g são funções dadas cumprindo as condições da segunda e terceira colunas.
Os resultados são válidos para limites com x→ a, x→ a+, x→ a−, x→ +∞ ou x→ −∞, sendo a ∈ R fixo.
Álgebra das Expressões
lim f (x) limg (x) h (x) limh (x) Simbolicamente
1 ±∞ ±∞ f (x) + g (x) ±∞ (+∞) + (+∞) = +∞ ou (−∞) + (−∞) = −∞
2 ±∞ ±∞ f (x) − g (x) ? (+∞) − (+∞) ou (−∞) − (−∞)⇒ Indeterminações
3 ±∞ L f (x) + g (x) ±∞ (+∞) + L = +∞ ou (−∞) + L = −∞
4 +∞ ±∞ f (x) .g (x) ±∞ (+∞) . (+∞) = +∞ ou (+∞) . (−∞) = −∞
5 +∞ L 6= 0 f (x) .g (x) ±∞ (+∞) .L = +∞ se L > 0 ou (+∞) .L = −∞ se L < 0
6 ±∞ 0 f (x) .g (x) ? (±∞) .0⇒ Indeterminação
7 L ±∞ f (x) /g (x) 0 L/ (±∞) = 0
8 ±∞ ±∞ f (x) /g (x) ? (±∞) / (±∞)⇒ Indeterminação
9 L 6= 0 0+ f (x) /g (x) ±∞ L/0+ = +∞ se L > 0 ou L/0+ = −∞ se L < 0
10 L 6= 0 0− f (x) /g (x) ±∞ L/0− = −∞ se L > 0 ou L/0− = +∞ se L < 0
11 +∞ 0+ f (x) /g (x) +∞ (+∞) /0+ = +∞
12 +∞ 0− f (x) /g (x) −∞ (+∞) /0− = −∞
13 0 0 f (x) /g (x) ? 0/0⇒ Indeterminação
14 0+ +∞ f (x)
g(x)
0 (0+)
+∞
= 0
15 0+ −∞ f (x)
g(x)
+∞ (0+)
−∞
= +∞
16 ±∞ 0 f (x)
g(x)
? (±∞)
0 ⇒ Indeterminação
17 0 0 f (x)
g(x)
? 00 ⇒ Indeterminação
18 1 ±∞ f (x)
g(x)
? 1±∞ ⇒ Indeterminação
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Seção de Exerćıcios Propostos: Limites
Exerćıcio 2.1 Considere o seguinte gráfico de f : X ⊂ R→ R.
1 2 3 4 50-1-2
-3
-4
-1
1
2
y
x
Com base neste gráfico, complete:
(a) lim
x→−3−
f (x) =
(b) lim
x→−3+
f (x) =
(c) lim
x→−3
f (x) =
(d) f (−3) =
(e) lim
x→0− f (x) =
(f) lim
x→0+ f (x) =
(g) lim
x→0 f (x) =
(h) f (0) =
(i) lim
x→2− f (x) =
(j) lim
x→2+ f (x) =
(k) lim
x→2 f (x) =
(l) f (2) =
(m) lim
x→5− f (x) =
(n) lim
x→5+ f (x) =
(o) lim
x→5 f (x) =
(p) f (5) =
Exerćıcio 2.2 Trace os gráficos das funções f : R→ R e g : R− {−2}→ R dadas por
f (x) =

x, se x < 1
x− 1, se 1 6 x < 2
−x+ 3, se 2 6 x < 3
1, se x = 3
x− 3, se x > 3
e g (x) =

x+ 2, se x < −2
−x− 2, se − 2 < x 6 −1
−1, se − 1 < x < 0
0, se x = 0
1, se x > 0
e calcule, ou explique por que não existem, os seguintes limites:
(i) lim
x→1 f (x)
(v) lim
x→−2
g (x)
(ii) lim
x→2 f (x)
(vi) lim
x→−1
g (x)
(iii) lim
x→3 f (x)
(vii) lim
x→0g (x)
(iv) lim
x→2,5 f (x)
(vii) lim
x→−0,5
g (x)
Exerćıcio 2.3 Trace os gráficos das funções f : [−1, 2]→ R e g : [−1, 3]→ R dadas por
f (x) =

x, se − 1 6 x < 0
1, se x = 0
−x, se 0 < x < 1
x− 1, se 1 6 x 6 2
e g (x) =

x, se − 1 6 x 6 0
−x2 − x, se 0 < x < 1»
1− (x− 2)
2
, se 1 6 x 6 3 e x 6= 2
0, se x = 2
e diga se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas. Justifique as respostas.
(i) ∃ lim
x→0 f (x)
(v) @ lim
x→1 f (x)
(ix) @ lim
x→2g (x) ;
(ii) lim
x→0 f (x) = 0
(vi) lim
x→1 f (x) = 1
(x) lim
x→2g (x) = 2
(iii) lim
x→0 f (x) = 1
(vii) lim
x→1 f (x) = 0
(xi) @ lim
x→1g (x)
(iv) ∃ lim
x→x0 f (x) para ∀x0 ∈ ]−1, 1[
(viii) ∃ lim
x→x0 g (x) para ∀x0 ∈ ]−1, 1[
(xii) ∃ lim
x→x0 g (x) para ∀x0 ∈ ]1, 3[
Exerćıcio 2.4 Explique por que os limites lim
x→0 x|x| e lim
x→1 1
x−1 não existem.
Exerćıcio 2.5 Calcule utilizando fatoração, caso existam, os seguintes limites com detalhes:
(i) lim
x→5 x−5
x2−25
(ii) lim
x→−3
x+3
x2+4x+3
(iii) lim
x→1+ 1−
√
x
1−x
(iv) lim
x→−5
x2+3x−10
x+5
(v) lim
x→2 x
2−7x+10
x−2
(vi) lim
x→−1
x2−x−2
x+1
(vii) lim
x→1 x
2+x−2
x2−1
(viii) lim
x→−1
x2+3x+2
x2−x−2
(ix) lim
x→5 3x
2−15x
x−5
(x) lim
x→−2
x3+8
x+2
(xi) lim
x→0− x
|x|
(xii) lim
x→1 x
3−1
x−1
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Exerćıcio 2.6 Trace o gráfico da função abaixo. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
Justifique.
f (x) =

0, se x < −1
−x2 − 2x, se − 1 6 x 6 0
x2 + x, se 0 < x < 1
1, se 1 6 x 6 3 e x 6= 2
2, se x = 2 ou x > 3
(i) lim
x→−1+
f (x) = 1
(ii) lim
x→2 f (x) não existe
(iii) lim
x→2 f (x) = 2
(iv) lim
x→1− f (x) = 2
(v) lim
x→1+ f (x) = 1
(vi) lim
x→1 f (x) não existe
(vii) lim
x→0+ f (x) = lim
x→0− f (x)
(viii) ∃ lim
x→c f (x) , ∀c ∈ ]−1, 1[
(ix) ∃ lim
x→c f (x) , ∀c ∈ ]1, 3[
(x) lim
x→−1−
f (x) = 0
(xi) @ lim
x→3+ f (x)
(xii) lim
x→4 f (x) = 2
Exerćıcio 2.7 (Resolvido) Calcule o limite lim
x→5 3
√
x−3
√
5
x−5 .
Resolução.
Temos:
lim
x→5 3
√
x−3
√
5
x−5 = lim
x→5 3
√
x−
√
5
(
√
x−
√
5)(
√
x+
√
5)
= 3 lim
x→5 1√
x+
√
5
= 3
2
√
5
= 3
√
5
10
.
Exerćıcio 2.8 Calcule utilizando fatoração, caso existam, os seguintes limites com detalhes:
(i) lim
x→3 x−3√
x−
√
3
(ii) lim
x→4 4x−x
2
2−
√
x
(iii) lim
x→1 x−1√
x+3−2
(iv) lim
x→0
√
x2+9−3
x2
(v) lim
x→0 x√
x2+x4
(vi) lim
x→−2
x+2√
x2+5−3
(vii) lim
x→1
√
x−1√
2x+3−
√
5
(viii) lim
x→5 x
√
x−5
√
5√
x−
√
5
Exerćıcio 2.9 Trace o gráfico da função f : [−1, 3[ − {0, 2}→ R abaixo. Responda as seguintes interrogações. Justifi-
que.
f (x) =

x2 − 1, se − 1 6 x < 0
2x, se 0 < x < 1
1, se x = 1
−2x+ 4, se 1 < x < 2
0, se 2 < x < 3
(i) ∃f (−1) ?
(ii) ∃ lim
x→−1+
f (x) ?
(iii) lim
x→−1+
f (x) = f (−1) ?
(iv) f é cont́ınua em x = −1?
(v) ∃f (1) ?
(vi) ∃ lim
x→1 f (x) ?
(vii) lim
x→1 f (x) = f (1) ?
(viii) f é cont́ınua em x = 1?
(ix) f é definida em x = 2?
(x) f é cont́ınua em x = 2?
(xi) f é cont́ınua para quais valores de x?
(xii) f (1) = ? para f ser cont́ınua em x = 1
Exerćıcio 2.10 Estender o domı́nio de uma função significa definir valores de f (x) para x que não estavam original-
mente no domı́nio de f. Sendo assim, faça os exerćıcios abaixo:
(i) Defina f (3) para que f (x) = x2−9
x−3 possa ser estendida de forma cont́ınua em x = 3.
(ii) Defina f (2) para que f (x) = x2+3x−10
x−2 possa ser estendida de forma cont́ınua em x = 2.
(iii) Defina f (1) para que f (x) = x3−1
x2−1
possa ser estendida de forma cont́ınua em x = 1.
(iv) Defina f (4) para que f (x) = x2−16
x2−3x−4
possa ser estendida de forma cont́ınua em x = 4.
(v) Defina f (1) para que f (x) = x3−x2+3x−3
x2+x−2
possa ser estendida de forma cont́ınua em x = 1.
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Exerćıcio 2.11 (Resolvido) Determine os pontos de descontinuidade de f : R→ R dada por
f(x) =
 x+ 3, se x3 + 3x2 > 0
3, se x3 + 3x2 = 0
0, se x3 + 3x2 < 0
Resolução.
Observemos que x3 + 3x2 = 0, ou seja, x2 (x+ 3) = 0 possui ráızes x = 0 (dupla) e x = −3 (simples).
Sendo x2 > 0 para qualquer x ∈ R, o estudo de sinal de p (x) = x3+ 3x2 é o mesmo que q (x) = x+ 3 para x 6= 0
e x 6= −3. Assim:
x3 + 3x2 > 0⇒ x+ 3 > 0⇒ x > −3; (e x 6= 0)
x3 + 3x2 < 0⇒ x+ 3 < 0⇒ x < −3
Desta forma, podemos reescrever a expressão anaĺıtica de f do seguinte modo:
f(x) =
 x+ 3, se x > −3
3, se x = −3 ou x = 0
0, se x < −3
O gráfico de f é dado abaixo (em vermelho).
x
y
-3 0
3
Ponto do gráfico
Observemos que
lim
x→0 f (x) = lim
x→0 (x+ 3) = 3 = f (0) ,
ou seja, a definição de função cont́ınua está satisfeita para f no ponto x = 0. Logo, f é cont́ınua em x = 0.
Observemos também que {
lim
x→−3−
f (x) = lim
x→−3−
0 = 0
lim
x→−3+
f (x) = lim
x→−3+
(x+ 3) = 0
=⇒ lim
x→−3
f (x) = 0.
Entretanto, f (−3)= 3. Portanto, lim
x→−3
f (x) 6= f (−3) e a definição de função cont́ınua não está satisfeita para f
no ponto x = −3. Logo, f é descont́ınua em x = −3.
Para pontos diferentes de x = −3 e x = 0 a função f é cont́ınua, pois em cada componente da expressão anaĺıtica
de f temos polinômios (de graus 0 ou 1), e funções polinomiais são cont́ınuas.
Conclusão: x = −3 é o único ponto de descontinuidade de f.
Exerćıcio 2.12 Determinar os pontos de descontinuidade de f : R→ R:
(i) f(x) =
 1, se x3 − 4x > 0
0, se x3 − 4x = 0
−1, se x3 − 4x < 0
(ii) f(x) =
 0, se x3 − 3x2 > 0
1, se x3 − 3x2 = 0
x/3, se x3 − 3x2 < 0
(iii) f(x) =
 x2, se x3 + x2 < 0
1, se x3 + x2 = 0
x+ 2, se x3 + x2 > 0
Exerćıcio 2.13 Em que pontos as funções abaixo são cont́ınuas?
f (x) =
{
x2−x−6
x−3 , se x 6= 3
5, se x = 3
e g (x) =

x3−8
x2−4
, se x 6= ±2
3, se x = 2
4, se x = −2
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Exerćıcio 2.14 Revise o Teorema do Confronto e responda as questões abaixo.
(i) Se
√
5− 2x2 6 f (x) 6
√
5− x2 para −1 6 x 6 1, determine lim
x→0 f (x). Pode-se concluir algo sobre f (0)?
(ii) Se 2− x2 < g (x) < 2 cos (x) para qualquer x 6= 0, determine lim
x→0g (x). Pode-se concluir algo sobre g (0)?
(iii) Dado que 6− 27x2 < 3x+sen(π−3x)
x
< 9 |x|+ 6, para todo x ∈ R∗, calcule lim
x→0 3x+sen(π−3x)
x
.
Exerćıcio 2.15 (Resolvido) Calcule os limites abaixo, justificando todas as passagens:
(i) lim
x→+∞ sen(2x)
x3
(ii) lim
x→0 3x
2+2 sen(x2)
2x3−sen(x2)
Resolução.
(i) Temos:
lim
x→+∞ sen(2x)
x3
= lim
x→+∞ 1
x3
sen (2x) = 0,
pois, sendo f (x) = 1
x3
e g (x) = sen (2x), temos que lim
x→+∞ 1
x3
= 0 e g é limitada (−1 6 sen (2x) 6 1). Por proposição
consequente do Teorema do Confronto temos lim
x→+∞ f (x)g (x) = 0, justificando a resposta.
(ii) Temos:
lim
x→0 3x
2+2 sen(x2)
2x3−sen(x2)
= lim
x→0
3x2+2 sen(x2)
x2
2x3−sen(x2)
x2
= lim
x→0
3+2
sen(x2)
x2
2x−
sen(x2)
x2
= 3+2.1
2.0−1 = 5
−1 = −5,
pois lim
x→0 sen(x2)
x2
= lim
y→0 sen(y)
y
(pois, fazendo y = x2, quando x→ 0 temos y→ 0). Mas lim
y→0 sen(y)
y
= 1 pois trata-se
do 1o. Limite Fundamental.
Exerćıcio 2.16 Recorde o 1o. limite fundamental e calcule, caso existam, os seguintes limites com detalhes:
(i) lim
x→0 x
sen(x)
(ii) lim
x→π sen(x)
x−π
(iii) lim
x→0
(
3x sen
(
1
4x
))
(iv) lim
x→0 tg(3x)
sen(4x)
(v) lim
x→0 sen(
√
2x)√
2x
(vi) lim
x→0
(
sen (x) cos
(
1
x
))
(vii) lim
x→0 x+sen(x)
x2−sen(x)
(viii) lim
x→0 sen(x) sen(3x) sen(5x) sen(7x)
7x4
(ix) lim
x→0
(
tg (x) cos3
(
2
x2
))
(x) lim
x→0 6x2 cotg (x) cossec (2x)
(xi) lim
x→π sen(x)
x
(xii) lim
x→0 sen(3x)
4x
(xiii) lim
x→0 tg(2x)
x
(xiv) lim
x→0 2x
tg(x)
(xv) lim
x→0 x cossec(2x)cos(5x)
(xvi) lim
x→0 1−cos(x)
4x
(xvii) lim
x→0 x+x cos(x)
sen(x) cos(x)
(xviii) lim
x→0 1−cos(x)
sen(2x)
(xix) lim
x→0 x−x cos(x)sen2(3x)
(xx) lim
x→0 sen(1−cos(x))
1−cos(x)
Exerćıcio 2.17 Sejam X1 =
{
x ∈ R : x 6= kπ
5
; k ∈ Z∗
}
(observe que 0 ∈ X1) e X2 = [0,+∞[.
Existem L1, L2 ∈ R tais que as funções f1 : X1 ⊂ R→ R e f2 : X2 ⊂ R→ R dadas por
f1 (x) =

sen(2x)
sen(5x) , se x ∈ X1 − {0}
L1, se x = 0
e f2(x) =

√
x−
√
5
x−5 , se x ∈ X2 − {5}
L2, se x = 5
sejam cont́ınuas?
Exerćıcio 2.18 Verificar se é posśıvel estender o domı́nio (se for o caso) e definir a função f no ponto indicado de
modo que ela fique cont́ınua nesse ponto.
(i) f(x) = 3
√
x cos
(
1
x
)
, em x = 0
(ii) f(x) = x
|x|
, em x = 0
(iii) f(x) =
sen
(
1
x
)
1
x
, em x = 0
(iv) f(x) = 1
x2
, em x = 0
(v) f(x) =

x, se x < 1
1
x+1 , se x > 1
, em x = 1
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Exerćıcio 2.19 (Resolvido) Determinar todos os valores posśıveis para a ∈ R de modo que f : R→ R dada por:
f (x) =
{
x3 + 2a2, se x < 1
x2 + 3a, se x > 1
seja cont́ınua em R.
Resolução.
Para que f seja cont́ınua em x = 1 devemos ter a definição lim
x→1 f (x) = f (1) satisfeita, que, neste caso, se traduz
como:
lim
x→1− f (x) = lim
x→1+ f (x) = f (1) .
Desta forma:
lim
x→1−
(
x3 + 2a2
)
= lim
x→1+
(
x2 + 3a
)⇒
13 + 2a2 = 12 + 3a⇒
2a2 − 3a = 0⇒
a (2a− 3) = 0⇒
a = 0 ou a = 3
2
No primeiro caso, a = 0:
f (x) =
{
x3, se x < 1
x2, se x > 1
e lim
x→1 f (x) = 1 = f (1).
No segundo caso, a = 3
2
:
f (x) =
 x3 + 9
2
, se x < 1
x2 + 9
2
, se x > 1
e lim
x→1 f (x) = 11
2
= f (1).
Para pontos diferentes de x = 1 a função f é cont́ınua, pois em cada componente da expressão anaĺıtica de f
temos polinômios (de graus 2 ou 3), e funções polinomiais são cont́ınuas.
Conclusão: para a = 0 ou para a = 3
2
temos que f é cont́ınua em R.
Exerćıcio 2.20 Para qual valor de a as funções abaixo são cont́ınuas para qualquer x de seu domı́nio?
(i) f (x) =
{
x2 − 1, se x < 3
2ax, se x > 3
(iii) f (x) =
{
a2x− 2a, se x > 2
12, se x < 2
(ii) f (x) =
{
x, se x < −2
ax2, se x > −2
(iv) f (x) =
{
a2x3 + 2, se x < 1
ax+ 8, se x > 1
Exerćıcio 2.21 (i) Se lim
x→1 f (x) = 5, então f deve estar definida em x = 1? Em caso afirmativo, deve ser f (1) = 5?
Justifique sua resposta.
(ii) Se f (1) = 5, então lim
x→1 f (x) deve existir? Em caso afirmativo, deve ser lim
x→1 f (x) = 5? Justifique sua resposta.
Exerćıcio 2.22 Calcule, caso existam, os seguintes limites no infinito com detalhes:
(i) lim
x→−∞ 5
x2
(ii) lim
x→+∞ −5+ 7
x
3− 1
x2
(iii) lim
x→−∞ 7x3
x3−3x2+6x
(iv) lim
x→+∞ sen(2x)
x
(v) lim
x→−∞ x4−2x+3
3x4+7x−1
(vi) lim
x→+∞
»
8x2−3
2x2+x
(vii) lim
x→−∞ 2−x+sen(x)
x+cos(x)
(viii) lim
x→+∞ 2
√
x+ 1
x
3x−7
(ix) lim
x→+∞ 3x+4
2x5−3
(x) lim
x→+∞ x+1
x2+3
(xi) lim
x→−∞ 2x3−3x+5
7x3+x2+x
(xii) lim
x→−∞
3
√
x− 5
√
x
3
√
x+ 5
√
x
(xiii) lim
x→+∞ x+
√
x+3
2x−1
(xiv) lim
x→+∞
Ä
x−
√
x2 + 3
ä
(xv) lim
x→−∞
Ä√
x2 + 3+ x
ä
(xvi) lim
x→+∞
Ä√
x2 + 3x−
√
x2 − 2x
ä
(xvii) lim
x→−∞
Ä
2x+
√
4x2 + 3x− 2
ä
(xviii) lim
x→+∞
(√
x+ 9−
√
x+ 4
)
(xix) lim
x→+∞
Ä√
9x2 − x− 3x
ä
(xx) lim
x→+∞
Ä√
x2 + 25−
√
x2 − 1
ä
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Exerćıcio 2.23 Calcule, caso existam, os seguintes limites infinitos com detalhes:
(i) lim
x→2− 3
x−2
(ii) lim
x→−8+
2x
x+8
(iii) lim
x→7 4
(x−7)2
(iv) lim
x→0+ 2
3 3
√
x
(v) lim
x→0
Ä
2− 4
5√
x2
ä
(vi) lim
x→1− 2x+3
x2−1
(vii) lim
x→2+ 1
x2−4
(viii) lim
x→0+ x2−3x+2
x3−2x2
(ix) lim
x→3+ x2−3x
x2−6x+9
(x) lim
x→0− (1+ cossec (x))
(xi) lim
x→0+
(
x3 + x
√
x+ 1
x2
)
(xii) lim
x→−π
2
tg (x)
Exerćıcio 2.24 Calcule, caso existam, os seguintes limites no infinito com detalhes:
(i) lim
x→+∞
(
x4 − x3 − 3x2 + 7x− 5
)
(ii) lim
x→+∞ 2x5−3
3x+4
(iii) lim
x→+∞ x
√
x−x
x 3
√
x−x
(iv) lim
x→−∞
Ä
1−x3
x2+7x
ä5 (v) lim
x→+∞
Ä√
2x2 + 1−
√
3x
ä
(vi) lim
x→+∞
Ä√
5x4 + x3 + x2 −
√
7x4
ä
Exerćıcio 2.25 Dê exemplos de funções cont́ınuas f : R∗ → R tais que:
(i) lim
x→0 f (x) existe e é número real;
(ii) lim
x→0 f (x) = +∞;
(iii) lim
x→0 f (x) = −∞;
(iv) lim
x→0− f (x) = +∞, e lim
x→0+ f (x) = −∞;
(v) lim
x→0− f (x) = −∞, e lim
x→0+ f (x) existe e é número real;
(vi) lim
x→0− f (x) existe e é número real, e lim
x→0+ f (x) = +∞;
(vii) lim
x→0− f (x) e lim
x→0+ f (x) existem, são números reais, mas são diferentes;
(viii) lim
x→0 f (x) não existe, e f é uma função limitada;
(ix) lim
x→0− f (x) não existe, e f é uma função limitada;
(x) lim
x→0+ f (x) não existe, e f é uma função limitada.
Exerćıcio 2.26 Se f e g forem funções cont́ınuas com f (3) = 5 e lim
x→3 (2f (x) − g (x)) = 4, encontre g (3).
Exerćıcio 2.27 Um estacionamento cobra R$ 3, 00 pela primeira hora, ou parte dela, e R$ 2, 00 por hora sucessiva,
ou parte. No entanto, caso o automóvel fique maisdo que seis horas no estacionamento, são cobradas as seis primeiras
horas e o restante das horas do dia (de 24 horas) são gratuitas.
(i) Esboce o gráfico do custo do estacionamento como uma função do tempo decorrido.
(ii) Descubra as descontinuidades da função e sua significância para alguém que usa o estacionamento.
Exerćıcio 2.28 A função que exprime a temperatura ambiente de um determinado local no decorrer de um dia é
uma função cont́ınua? Justifique.
O que se pode afirmar sobre o aspecto do gráfico desta função?
Exerćıcio 2.29 A força gravitacional F em Newtons exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância
r do centro do planeta é:
F (r) =

GMr
R3
, se 0 6 r < R
GM
r2
, se r > R
sendo M a massa da Terra, R seu raio e G a constante gravitacional.
A força F é uma função cont́ınua de r em [0,+∞[ ?
Exerćıcio 2.30 Um tanque contém 5000 litros de água pura. Salmoura contendo 30 g de sal por litro de água é
bombeada para dentro do tanque uma taxa de 25 l/min. Mostre que a concentração de sal após t minutos (em
gramas por litro) é C (t) = 30t
200+t . O que acontece com a concentração de sal quando t→ +∞?
Exerćıcio 2.31 Mostra-se que, sob certas condições, a velocidade v (t) em m/s de uma gota de chuva caindo no
instante t é v (t) =
Ä
1− e−
Gt
a
ä
a, sendo G a constante gravitacional, a uma constante positiva e t = 0 o instante em
que a gota inicia sua precipitação. Encontre um limitante superior para a velocidade da gota de chuva. Fisicamente,
o que representa a constante a?
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Exerćıcio 2.32 Encontre (se houver) as asśıntotas horizontais e verticais aos gráficos (utilize o GeoGebra para visu-
alizá-los) de:
(i) f (x) = arctg (x)
(ii) f (x) = 4
x−6 +
π
2
(iii) f (x) = e−x + 2
(iv) f (x) = x2
(v) f (x) = sec (x)
(vi) f (x) = x2−1
x2+1
(vii) f (x) = x
(viii) f (x) = sen (x)
Exerćıcio 2.33 (i) Mostrar que todas as ráızes do polinômio p (x) = x3 + 3x2 − 2x− 6 são reais.
(ii) Mostre que a equação x3 − 15x+ 1 = 0 possui três soluções no intervalo [−4, 4].
(iii) Existe um número que é exatamente um a mais que seu cubo?
(iv) Sejam f, g cont́ınuas em [a, b]. Se f (a) < g (a) e f (b) > g (b), mostrar que existe c ∈]a, b[ tal que f (c) = g (c).
(v) Se f (x) = x3 − x2 + x, mostre que existe um número c tal que f (c) = 10.
(vi) A equação xx
3
= 27 possui uma raiz real? Justifique.
Exerćıcio 2.34 Um monge tibetano deixa o monastério às 7:00 horas e segue sua caminhada usual para o topo da
montanha, chegando lá às 19:00 horas. Na manhã seguinte, ele parte do topo da montanha às 7:00 horas e chega ao
monastério às 19:00 horas retornando pelo mesmo caminho da ida. Mostre que existe um ponto do caminho que o
monge irá cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas.
Exerćıcio 2.35 (Resolvido) Calcule o limite lim
x→0 10
x−1
x
justificando todas as passagens.
Resolução.
Fazendo y = 10x − 1, quando x→ 0 temos y→ 0 e, também, x = log10 (y+ 1).
Temos:
lim
x→0 10
x−1
x
= lim
y→0 y
log10(y+1)
= lim
y→0 1
1
y
log10(y+1)
= lim
y→0 1
log10(y+1)
1
y
= 1
log10
(
lim
y→0(y+1)
1
y
)
= 1
log10(e)
= log10(10)
log10(e)
= ln (10) .
A justificativa para lim
y→0 (y+ 1)
1
y = e é dada abaixo.
Fazendo w = 1
y
temos y = 1
w
e:
(1) quando y → 0+ temos w → +∞. Assim, lim
y→0+ (1+ y)
1
y = lim
w→+∞
(
1+ 1
w
)w
= e pois trata-se do 2o. Limite
Fundamental.
(2) quando y → 0− temos w → −∞. Assim, lim
y→0− (1+ y)
1
y = lim
w→−∞
(
1+ 1
w
)w
= e, pois fazendo z = −(w+ 1)
temos
lim
w→−∞
(
1+ 1
w
)w
= lim
z→+∞
Ä
1− 1
z+1
ä−1−z
= lim
z→+∞
Ä
z
z+1
ä−1−z
= lim
z→+∞
(
1+ 1
z
)1+z
= lim
z→+∞
(
1+ 1
z
)z
lim
z→+∞
(
1+ 1
z
)
= e.1 = e,
novamente pelo 2o. Limite Fundamental.
Exerćıcio 2.36 Calcule, caso existam, os seguintes limites com detalhes:
(i) lim
x→+∞
(
1+ 1
x
)2x
(ii) lim
x→+∞
(
1+ 2
3x
)4x
(iii) lim
x→+∞
(
1+ 2
x
)x
(iv) lim
x→0 2
x−1
x
(v) lim
x→−∞
(
1+ 2
3x
)x
(vi) lim
x→+∞
(
2+ 1
x
)x
(vii) lim
x→+∞
Ä
x−a
x−b
änx
(viii) lim
h→0 b
x+h−bx
h
Dicas:
Em (vii) faça y = x− a e trabalhe os casos a > b, a < b e a = b. A resposta é en(b−a).
Em (viii) divida numerador e denominador por bx. A resposta é bx ln (b).
Exerćıcio 2.37 Calcule, caso existam, os seguintes limites com detalhes:
(i) lim
h→0 sen(x+h)−sen(x)
h
(ii) lim
h→0 cos(x+h)−cos(x)
h
(iii) lim
x→p sen(x)−sen(p)
x−p (iv) lim
x→p cos(x)−cos(p)
x−p
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Exerćıcio 2.38 Considere a seguinte informação:
lim
x→0+ (x ln (x)) = 0.
(Aprenderemos calcular este limite depois de estudo de derivadas. Usaremos a “Regra de L’Hospital”)
Mostre que:
(i) lim
x→0+ xx = 1.
(ii) Para a > 0, lim
x→+∞
(
ax 1
x
) 1
x = a.
Exerćıcio 2.39 O que se pode dizer a respeito do limite lim
x→−3−
(√
x+ 3− 3
)
sendo x em R?
Resolução:
Para fazer x → −3− devemos ter um intervalo da forma ]−3− ε,−3[, com ε > 0, contido no domı́nio X de
f (x) =
√
x+ 3− 3. Neste caso, f deverá, necessariamente, ter contradomı́nio no conjunto dos números complexos,
ou seja, f : X ⊂ R→ C. Se assim for, então lim
x→−3−
(√
x+ 3− 3
)
= −3.
Entretanto, se a função f for real, ou seja, f : Y ⊂ R → R, então o limite acima não faz sentido, pois x < −3 não
estaria no domı́nio Y de f (para x < −3 temos f (x) número complexo não real).
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Caṕıtulo 3
Funções Derivadas
Neste caṕıtulo começaremos o estudo das chamadas funções derivadas. Elas são definidas a partir do importante
conceito de limite e estão relacionadas com as taxas de variações que, em problemas práticos, fornecem informações a
respeito de uma grandeza, dependente de outra, à medida que uma delas varia. Veremos de forma mais clara, nestas
notas, como estes conceitos são constrúıdos e empregados para solucionar problemas práticos.
As aplicações das derivadas são muito vastas, tanto no campo da F́ısica, quanto na Matemática, especialmente em
problemas que possuem cunho geométrico. Outra gama de aplicações das derivadas está nos chamados problemas de
otimização, que são problemas nos quais queremos maximizar ou minimizar uma função que modela matematicamente
uma situação ou problema apresentado.
Mais uma vez, estas notas não tem a pretenção de se aprofundar nos inúmeros detalhes suscitados por um estudo
sobre as diversas proposições envolvendo funções derivadas. Este estudo, como já dissemos, é feito em disciplinas de
Análise Real.
3.1 Noções Geométricas
Problema: Sejam c uma curva plana qualquer e P ∈ c um de seus pontos. Como definir a reta r tangente a c
passando por P?
c
P
r c
P
r
Sabemos fazer isso quando c é uma circunferência de centro O. Neste caso, a reta r tangente a c passando por P
é ortogonal ao raio OP, ou, equivalentemente, é a reta r que possui apenas P em comum com c.
Para o caso geral, o matemático francês Pierre de Fermat propôs, em 1630, o seguinte procedimento para definir
reta tangente: tomemos uma curva plana c dada pelo gráfico cartesiano de uma função cont́ınua f : X ⊂ R→ R e seja
P ∈ c.
Sejam Q ∈ c próximo de P e s a reta que os contém.
Fazendo Q tender a P sobre c, a reta s pode tender a uma reta r, como ocorre na figura abaixo.
P
x
y
0
c: gráfico de f
f x( )
x
Q
Q
QQ
Q
x0
f( )x0
r
s
s
sss
ax
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Quando existe a reta r conforme descrita acima, dizemos que r é a reta tangente à curva c por P.
Façamos P (x0, f (x0)) e Q (x, f (x)). Sejam αx0 e αx as medidas, em radianos, dos ângulos (orientados no sentido
anti-horário) que as retas r e s formam com o eixo x das abscissas.
Temos tg (αx0) e tg (αx) como sendo os coeficientes angulares das retas r e s, respectivamente.
Mas
tg (αx) =
f(x)−f(x0)
x−x0
.
Quando x→ x0 temos, intuitivamente, s→ r e, também, αx → αx0 . Portanto, tg (αx)→ tg (αx0), ou seja,
tg (αx0) = lim
x→x0 tg (αx) = lim
x→x0 f(x)−f(x0)x−x0
.
As considerações acima motivam a seguinte definição.
Seja f : X ⊂ R→ R e x0 ∈ X. Quando existe lim
x→x0 f(x)−f(x0)x−x0
∈ R, dizemos que a função f é derivável em x0 e
seu valor é denotado por f′ (x0), ou seja,
f′ (x0) = lim
x→x0 f(x)−f(x0)x−x0
é a derivada de f em x0.
Quando consideramos limites laterais f′− (x0) = lim
x→x0− f(x)−f(x0)
x−x0
ou f′+ (x0) = lim
x→x0+ f(x)−f(x0)
x−x0
no lugar do
limite acima, dizemos que f é derivável à esquerda em x0 ou f é derivável à direita em x0, respectivamente.
Este conceito é útil no caso de x0 ser extremo em um intervalo fechado ou semifechado em X, onde o limite acima
deve ser substituido pelo limite lateral conveniente em x0.
Como f′ (x0) = tg (αx0) é o coeficiente angular de r, então a reta tangente ao gráfico de f no ponto P (x0, f (x0))
possui equação
y− f (x0) = f
′ (x0) (x− x0) .
P
x
y
0
gráfico de f
r
ax0
x0
f( )x0
tg f x(a ) = ¢( )x 00
Exemplo 3.1 Calculemos a derivada de f : R→ R, tal que f (x) = x2, em x0 = 1 e a reta tangente ao gráfico de f em
P (1, 1).
Temos
f′ (x0) = lim
x→x0 f(x)−f(x0)x−x0
⇒ f′ (1) = lim
x→1 x
2−12
x−1 = lim
x→1 (x−1)(x+1)
x−1 = lim
x→1 (x+ 1) = 2.
A reta tangente ao gráfico de f em P (1, 1) é dada pela equação cartesiana
y− f (x0) = f
′ (x0) (x− x0)⇒ y− 1 = 2 (x− 1)⇒ y = 2x− 1 .
P
x
ygráfico de f
1
r
0
1
-1
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Exemplo 3.2 (Outra forma para o limite que define f′ (x0)). Como f′ (x0) = lim
x→x0 f(x)−f(x0)x−x0
, fazendo h = x − x0,
temos x→ x0 implicando em h→ 0. Logo,
f′ (x0) = lim
h→0 f(x0+h)−f(x0)h
.
Exemplo 3.3 Calculemos a derivada (se existir) de f : R → R tal que f (x) =
{
x2, se x 6 1
1, se x > 1
em x0 = 1 e a reta
tangente (se existir) ao gráfico de f em P (1, 1).
Observemos que o gráfico de f é composto por um pedaço de parábola e uma semirreta. A junção dessas duas
partes do gráfico ocorre exatamente no ponto P (esboce esse gráfico). Observe, também, que no gráfico de f no ponto
P há um “bico”, o que caracteriza a não existência da derivada em x0 = 1, pois a “reta tangente” ao gráfico em P não
está bem definida. Vejamos as contas:
lim
x→x+
0
f(x)−f(x0)
x−x0
⇒ lim
x→1+ 1−12
x−1 = lim
x→1+ 0 = 0.
lim
x→x−
0
f(x)−f(x0)
x−x0
⇒ lim
x→1− x2−12
x−1 = lim
x→1− (x−1)(x+1)
x−1 = lim
x→1− (x+ 1) = 2.
⇒ @ lim
x→x0 f(x)−f(x0)x−x0
⇒ @f′ (x0) .
Conclusão: a função f não é derivável em x0 = 1. Também não há reta tangente ao gráfico de f definida em P.
P
x
ygráfico de f
10
1
Neste exemplo podemos observar que a existência de derivada está relacionada com a “suavidade” do gráfico da
função.
3.2 Função Derivada
Sejam f : X ⊂ R → R e X′ = {x ∈ X : ∃f′ (x) ∈ R}. Definimos a função derivada de f como sendo f′ : X′ ⊂
R→ R dada por
f′ (x) = lim
h→0 f(x+h)−f(x)h
e dizemos que f é derivável ou diferenciável em X′.
Exemplo 3.4 Seja f : R→ R dada por f (x) = x2. Obtenhamos f′.
Temos
f′ (x) = lim
h→0 f(x+h)−f(x)h
= lim
h→0 (x+h)2−x2
h
= lim
h→0 x
2+2xh+h2−x2
h
= lim
h→0 (2x+ h) = 2x.
Logo, f′ : R→ R é tal que f′ (x) = 2x.
Outras Notações para a Derivada
Vimos que f′ (x) = lim
h→0 f(x+h)−f(x)h
. Consideremos a figura abaixo.
P
x
y
0
gráfico de f
f x h( + )
x h+x
f( )x
r
q
h x= D
Dy
tg f x(q) = ¢( )
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Fazendo ∆y = f (x+ h) − f (x) e ∆x = h, o limite acima apresenta forma f′ (x) = lim
h→0 ∆y∆x , que podemos denotar
por dy
dx
, ou seja,
f′ (x) = dy
dx
,
que é chamada notação de Leibniz. Quando queremos representar a derivada de f em a na notação de Leibniz
escrevemos f′ (a) = dy
dx
∣∣∣
x=a
.
Há ainda mais duas notações:
Uma delas é:
f′ = df
dx
,
e, portanto, f′ (x) = df
dx
(x) que, às vezes, é escrita como f′ (x) = d
dx
f (x). Nesta notação, quando queremos representar
a derivada de f em a, escrevemos f′ (a) = df
dx
(a), ou f′ (a) = d
dx
f (a).
A outra notação vem de y = f (x), que implica em y′ = f′ (x), e que sugere
y′ = dy
dx
ou y′ = df
dx
(x) .
A notação y′ = dy
dx
é muito utilizada nas chamadas equações diferenciais ordinárias.
3.3 Derivada e Continuidade
Proposição 3.1 Se f : X ⊂ R→ R é derivável em x = a, então f é cont́ınua em x = a.
Demonstração da Proposição 3.1.
Como f é derivável em a, existe f′ (a) = lim
h→0 f(a+h)−f(a)h
= lim
x→a f(x)−f(a)x−a . Definamos
g (x) = f(x)−f(a)
x−a − f′ (a) .
Logo,
g (x) (x− a) = f (x) − f (a) − f′ (a) (x− a)⇒ f (x) = g (x) (x− a) + f (a) + f′ (a) (x− a)⇒
lim
x→a f (x) = lim
x→a (g (x) (x− a) + f (a) + f′ (a) (x− a))⇒ lim
x→a f (x) = f (a) ,
ou seja, f é cont́ınua em a. �
Observações:
(1) A rećıproca da Proposição 3.1 acima não é verdadeira. Por exemplo, f : R → R tal que f (x) = |x| é continua em
x = 0, pois lim
x→0 f (x) = 0 = f (0). Mas f não é derivável em x = 0, pois não existe lim
h→0 f(x+h)−f(x)h
(faça).
(2) A contrapositiva da Proposição 3.1 acima nos diz que se f for descont́ınua em x = a, então f não é derivável em
x = a.
Exemplo 3.5 A função f : R → R tal que f (x) =
{
x+ 1, se x > 2
x− 1, se x < 2
é descont́ınua em x = 2, pois lim
x→2+ f (x) = 3 e
lim
x→2− f (x) = 1, ou seja, não existe lim
x→2 f (x).
x
y
0
gráfico de f
21
1
2
3
-1
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A função f não é derivável em x = 2 pois:
lim
x→2+ f(x)−f(2)
x−2 = lim
x→2+ x+1−3
x−2 = lim
x→2+ x−2
x−2 = 1 e
lim
x→2− f(x)−f(2)
x−2 = lim
x→2− x−1−3
x−2 = lim
x→2− x−4
x−2 = +∞,
ou seja, não existe f′ (2).
3.4 Derivadas de Algumas Funções Especiais
Motivação: se f : R→ R tal que f (x) =
3
√
x2+cos(5x)
(x2+1)10
, como calcular f′? Vejamos como fazer isso.
Algumas derivadas são fáceis de serem calculadas. Vamos sintetizá-las na próxima proposição.
Proposição 3.2 (1) Se f : R→ R tal que f (x) = k, sendo k constante real, então f′ (x) = 0.
(2) Se f : R→ R tal que f (x) = xn, sendo n ∈ N, então f′ (x) = nxn−1.
(3) Se f : R∗ → R tal que f (x) = x−n, sendo n ∈ N, então f′ (x) = −nx−n−1.
(4) Se f : R+ → R tal que f (x) = x
1
n = n
√
x, sendo n ∈ N, então f′ (x) = 1
n
x
1
n
−1.
Demonstração.
(1) Seja f : R→ R tal que f (x) = k. Logo, f′ (x) = lim
h→0 f(x+h)−f(x)h
= lim
h→0 k−kh = lim
h→0 0h = 0.
(2) Seja f : R→ R tal que f (x) = xn.
Se n = 1, então f′ (x) = lim
h→0 f(x+h)−f(x)h
= lim
h→0 x+h−xh
= lim
h→0 1 = 1.
Se n > 2 e, lembrando que
(
n
k
)
= n!
k!(n−k)! , temos:
f′ (x) = lim
h→0 f(x+h)−f(x)h
= lim
h→0 (x+h)n−xn
h
= lim
h→0 (
n
0)x
n−0h0+(n1)x
n−1h1+(n2)x
n−2h2+···+( n
n−1)x
n−(n−1)hn−1+(nn)x
n−nhn−xn
h
= lim
h→0 x
n+h[(n1)x
n−1+(n2)x
n−2h+···+( n
n−1)x
n−(n−1)hn−2+(nn)x
n−nhn−1]−xn
h
= lim
h→0
î(
n
1
)
xn−1 +
(
n
2
)
xn−2h+ · · ·+
(
n
n−1
)
xn−(n−1)hn−2 +
(
n
n
)
xn−nhn−1
ó
= nxn−1.
Assim, podemos escrever f′ (x) = nxn−1 para qualquer n ∈ N, considerando que no caso n = 1, f′ (0) = 1 (pois
00 é uma indeterminação).
(3) Seja f : R∗ → R talque f (x) = x−n. Logo:
f′ (x) = lim
h→0 f(x+h)−f(x)h
= lim
h→0 (x+h)−n−x−n
h
= lim
h→0
1
(x+h)n
− 1
xn
h
= lim
h→0 x
n−(x+h)n
h(x+h)nxn
= lim
h→0 x
n−(n0)x
n−0h0−(n1)x
n−1h1−(n2)x
n−2h2−···−( n
n−1)x
n−(n−1)hn−1−(nn)x
n−nhn
h(x+h)nxn
= lim
h→0 x
n−xn−h[(n1)x
n−1+(n2)x
n−2h+···+( n
n−1)x
n−(n−1)hn−2+(nn)x
n−nhn−1]
h(x+h)nxn
= lim
h→0 −[(n1)x
n−1+(n2)x
n−2h+···+( n
n−1)x
n−(n−1)hn−2+(nn)x
n−nhn−1]
(x+h)nxn
= −nxn−1
x2n
= −nx−n−1.
(4) Seja f : R+ → R tal que f (x) = x
1
n = n
√
x.
Se n = 1, então f′ (x) = lim
h→0 f(x+h)−f(x)h
= lim
h→0 x+h−xh
= lim
h→0 1 = 1.
Se n > 2, consideremos a identidade:
Xn −An = (X−A)
(
Xn−1 +AXn−2 +A2Xn−3 + · · ·+An−3X2 +An−2X+An−1
)⇒
X−A = Xn−An
Xn−1+AXn−2+A2Xn−3+···+An−3X2+An−2X+An−1 . (denominador com n parcelas)
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Fazendo X = (x+ h)
1
n e A = x
1
n temos:
(x+ h)
1
n − x
1
n =
(x+h)−xÄ
(x+h)
1
n
än−1
+x
1
n
Ä
(x+h)
1
n
än−2
+
Ä
x
1
n
ä2Ä
(x+h)
1
n
än−3
+···+
Ä
x
1
n
än−3Ä
(x+h)
1
n
ä2
+
Ä
x
1
n
än−2Ä
(x+h)
1
n
ä
+
Ä
x
1
n
än−1 ⇒
(x+ h)
1
n − x
1
n = h
(x+h)1−
1
n+x
1
n (x+h)1−
2
n+x
2
n (x+h)1−
3
n+···+x1−
3
n (x+h)
2
n+x1−
2
n (x+h)
1
n+x1−
1
n
.
Logo:
f′ (x) = lim
h→0 f(x+h)−f(x)h
= lim
h→0 (x+h)
1
n−x
1
n
h
= lim
h→0
h
(x+h)1−
1
n+x
1
n (x+h)1−
2
n+x
2
n (x+h)1−
3
n+···+x1−
3
n (x+h)
2
n+x1−
2
n (x+h)
1
n+x1−
1
n
h
= lim
h→0 1
(x+h)1−
1
n+x
1
n (x+h)1−
2
n+x
2
n (x+h)1−
3
n+···+x1−
3
n (x+h)
2
n+x1−
2
n (x+h)
1
n+x1−
1
n
= 1
x
1− 1
n+x
1
n x
1− 2
n+x
2
n x
1− 3
n+···+x1−
3
n x
2
n+x1−
2
n x
1
n+x1−
1
n
= 1
x
1− 1
n+x1−
1
n+x1−
1
n+···+x1−
1
n+x1−
1
n+x1−
1
n
= 1
nx
1− 1
n
= 1
n
x
1
n
−1.
�
Exemplo 3.6 Se f (x) = 10, então f′ (x) = 0.
Se f (x) = x20, então f′ (x) = 20x19.
Se f (x) = x−12, então f′ (x) = −12x−13 = − 12
x13
.
Se f (x) = 3
√
x, então f′ (x) = 1
3
x
1
3
−1 = x
− 2
3
3
= 1
3x
2
3
= 1
3
3√
x2
.
Regras de Derivação
É claro que precisamos de mais recursos para o cálculo de derivadas. A próxima proposição fornece mais algumas
regras:
Proposição 3.3 (1) Se f e g são funções deriváveis em X ⊂ R, então f+ g é derivável em X e:{
(f (x) + g (x))
′
= f′ (x) + g′ (x)
(f (x) − g (x))
′
= f′ (x) − g′ (x)
,
ou seja, derivada da soma é soma das derivadas e, derivada da diferença é diferença das derivadas.
(2) Se f é derivável em X ⊂ R e k ∈ R, então kf é derivável em X e:
(kf (x))
′
= kf′ (x) ,
ou seja, na derivação do produto de constante por função, a constante “sai para fora” da derivação. Em outras palavras,
no produto de constante por função, a constante não influi na derivação.
(3) (Regra do produto) Se f e g são deriváveis em X ⊂ R, então fg é derivável em X e:
(f (x)g (x))
′
= f′ (x)g (x) + f (x)g′ (x) .
(4) (Regra do quociente) Se f e g são deriváveis em X ⊂ R, então f
g
é derivável em X = {x ∈ X : g (x) 6= 0} e:Ä
f(x)
g(x)
ä′
= f′(x)g(x)−f(x)g′(x)
g2(x)
.
Observação:
No Item (2) da Proposição 3.3 deve-se tomar um certo cuidado: a constante não influenciar na derivação é uma
regra para o produto de uma constante por uma função. A derivada de uma constante “sozinha” (ou melhor, a
derivada da função constante) é, como já vimos, a função nula.
Ainda sobre o Item (2) da Proposição 3.3: é um caso particular do Item (3), no qual fazemos f (x) = k.
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Demonstração.
(1) Temos:
(f (x) + g (x))
′
= lim
h→0 [f(x+h)+g(x+h)]−[f(x)+g(x)]
h
= lim
h→0
Ä
f(x+h)−f(x)
h
+ g(x+h)−g(x)
h
ä
= lim
h→0 f(x+h)−f(x)h
+ lim
h→0 g(x+h)−g(x)h
= f′ (x) + g′ (x) .
Analogamente, (f (x) − g (x))
′
= f′ (x) − g′ (x).
(2) Temos:
(kf (x))
′
= lim
h→0 kf(x+h)−kf(x)h
= lim
h→0k f(x+h)−f(x)h
= k lim
h→0 f(x+h)−f(x)h
= kf′ (x) .
(3) Temos:
(f (x)g (x))
′
= lim
h→0 f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h
= lim
h→0 f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)−f(x)g(x)h
= lim
h→0 (f(x+h)−f(x))g(x+h)+f(x)(g(x+h)−g(x))
h
= lim
h→0
Ä
(f(x+h)−f(x))g(x+h)
h
+ f(x)(g(x+h)−g(x))
h
ä
= lim
h→0 (f(x+h)−f(x))g(x+h)
h
+ lim
h→0 f(x)(g(x+h)−g(x))h
= lim
h→0 f(x+h)−f(x)h
lim
h→0g (x+ h) + f (x) lim
h→0 g(x+h)−g(x)h
= f′ (x)g (x) + f (x)g′ (x) .
(4) Temos:Ä
f(x)
g(x)
ä′
= lim
h→0
f(x+h)
g(x+h)
−
f(x)
g(x)
h
= lim
h→0 f(x+h)g(x)−f(x)g(x+h)hg(x+h)g(x) = lim
h→0 f(x+h)g(x)−f(x)g(x+h)h
lim
h→0 1
g(x+h)g(x)
=
(
lim
h→0 f(x+h)g(x)−f(x)g(x)+f(x)g(x)−f(x)g(x+h)h
)
lim
h→0 1
g(x+h)g(x)
=
(
lim
h→0 (f(x+h)−f(x))g(x)+f(x)(g(x)−g(x+h))
h
)
lim
h→0 1
g(x+h)g(x)
=
(
g (x) lim
h→0 f(x+h)−f(x)h
+ f (x) lim
h→0 g(x)−g(x+h)h
)
lim
h→0 1
g(x+h)g(x)
= (g (x) f′ (x) + f (x)g′ (x)) 1
g(x)g(x)
= f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
g(x)2
.
�
Observemos que podemos provar que se f : R∗ → R é tal que f (x) = x−n, sendo n ∈ N, então f′ (x) = −nx−n−1,
utilizando a regra do quociente. De fato:
f′ (x) =
(
x−n
)′
=
(
1
xn
)′
= 0.xn−1.nxn−1
x2n
= −nx−n−1.
Exemplo 3.7 Se f, g : R+ → R são dadas por f (x) =
√
x e g (x) = x2, então
(f (x) + g (x))
′
= f′ (x) + g′ (x) = 1
2
√
x
+ 2x e
(f (x) − g (x))
′
= f′ (x) − g′ (x) = 1
2
√
x
− 2x.
Se f : R→ R é dada por f (x) = x10 e k = 200, então (kf (x))
′
= kf′ (x) = 200
(
10x9
)
= 2000x9.
Se f, g : R+ → R são dadas por f (x) =
√
x e g (x) = x3, então (f (x)g (x))
′
= f′ (x)g (x) + f (x)g′ (x) = 1
2
√
x
x3 +
√
x3x2.
Se f, g : R+ → R são dadas por f (x) =
√
x e g (x) = x4, então
Ä
f(x)
g(x)
ä′
= f′(x)g(x)−f(x)g′(x)
g2(x)
=
1
2
√
x
x4 −
√
x4x3
x8
.
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sites.google.com/site/edsonagustini
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Exemplo 3.8 Derivemos utilizando as regras já apresentadas.
(1) f : R→ R dada por f (x) = 7x5 ⇒ f′ (x) = 7.5x4 = 35x4.
(2) f : R→ R dada por f (x) = 3x5 − 7x2 + 9⇒ f′ (x) = 15x4 − 14x.
(3) f : R→ R dada por f (x) = 3x2+5
x2+1
⇒ f′ (x) =
(6x)(x2+1)−(3x2+5)(2x)
(x2+1)2
= · · · = − 4x
x4+2x2+1
.
(4) f : R∗→ R dada por f (x) = 1
x6
⇒ f′ (x) = −6x−7 = − 6
x7
.
(5) f : R∗→ R dada por f (x) = 5
x8
⇒ f′ (x) = − 40
x9
.
(6) f : R∗→ R dada por f (x) = x5 + 1
x5
⇒ f′ (x) = 5x4 − 5
x6
.
(7) f : R→ R dada por f (x) =
(
3x2 − 6x
) (
8x3 + 1
) ⇒ f′ (x) = (6x− 6)
(
8x3 + 1
)
+
(
3x2 − 6x
) (
24x2
)
= · · · =
120x4 − 192x3 + 6x− 6.
(8) f : R∗→ R dada por f (x) =
(
1+ 5
x5
) (
−7x2 + x+ 13
)⇒ f′ (x) =
(
− 25
x6
) (
−7x2 + x+ 13
)
+
(
1+ 5
x5
)
(−14x+ 1) =
· · · = −325
x6
− 20
x5
+ 105
x4
− 14x+ 1.
3.5 Derivadas de Funções Trigonométricas
(1) Derivada da função seno.
Para deduzirmos a derivada da função seno precisamos fatorar uma diferença de senos. Vamos aproveitar e fazer
a fatoração da diferença e da soma simultaneamente.
Sabemos que {
sen (a+ b) = sen (a) cos (b) + sen (b) cos (a)
sen (a− b) = sen (a) cos (b) − sen (b) cos (a)
Façamos {
a+ b = p
a− b = q
⇒
 a = p+q
2
b = p−q
2
Assim, {
sen (a+ b) = sen (a) cos (b) + sen (b) cos (a)
sen (a− b) = sen (a) cos (b) − sen (b) cos (a)
⇒
 sen (p) = sen
(
p+q
2
)
cos
(
p−q
2
)
+ sen
(
p−q
2
)
cos
(
p+q
2
)
sen (q) = sen
(
p+q
2
)
cos
(
p−q
2
)
− sen
(
p−q
2
)
cos
(
p+q
2
) ⇒
 sen (p) + sen (q) = 2 sen
(
p+q
2
)
cos
(
p−q
2
)
sen (p) − sen (q) = 2 sen
(
p−q
2
)
cos
(
p+q
2
)
Se f : R→ R é tal que f (x) = sen (x), temos que sua derivada pode ser expressa por
f′ (x) = lim
h→0 sen(x+h)−sen(x)
h
= lim
h→0
2 sen
(
x+h−x
2
)
cos
(
x+h+x
2
)
h
= lim
h→0
sen
(
h
2
)
cos
(
2x+h
2
)
h
2
= lim
h→0
sen
(
h
2
)
h
2
cos
(
2x+h
2
)
= cos (x) .
Conclusão: Se f : R→ R é tal que f (x) = sen (x) , então f′ : R→ R é tal que f′ (x) = cos (x) .
(2) Derivada da função cosseno.
De modo análogo ao seno, precisamos de fatoração. Sabemos que{
cos (a+ b) = cos (a) cos (b) − sen (b) sen (a)
cos(a− b) = cos (a) cos (b) + sen (b) sen (a)
Façamos {
a+ b = p
a− b = q
⇒
 a = p+q
2
b = p−q
2
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Assim, {
cos (a+ b) = cos (a) cos (b) − sen (b) sen (a)
cos (a− b) = cos (a) cos (b) + sen (b) sen (a)
⇒
 cos (p) = cos
(
p+q
2
)
cos
(
p−q
2
)
− sen
(
p−q
2
)
sen
(
p+q
2
)
cos (q) = cos
(
p+q
2
)
cos
(
p−q
2
)
+ sen
(
p−q
2
)
sen
(
p+q
2
) ⇒
 cos (p) + cos (q) = 2 cos
(
p+q
2
)
cos
(
p−q
2
)
cos (p) − cos (q) = −2 sen
(
p−q
2
)
sen
(
p+q
2
)
Se f : R→ R é tal que f (x) = cos (x), temos que sua derivada pode ser expressa por
f′ (x) = lim
h→0 cos(x+h)−cos(x)
h
= lim
h→0
−2 sen
(
x+h−x
2
)
sen
(
x+h+x
2
)
h
= lim
h→0
Ç
−
sen
(
h
2
)
sen
(
2x+h
2
)
h
2
å
= lim
h→0
Ç
−
sen
(
h
2
)
h
2
sen
(
2x+h
2
)å
= − sen (x) .
Conclusão: Se f : R→ R é tal que f (x) = cos (x) , então f′ : R→ R é tal que f′ (x) = − sen (x) .
Podemos deduzir as derivadas das demais funções trigonométricas pelas regras de derivação.
(3) Derivada da função tangente.
Se f : X ⊂ R → R, sendo X =
{
x ∈ R : x 6= π
2
+ kπ, k ∈ Z
}
, é tal que f (x) = tg (x), temos que sua derivada pode
ser expressa por
f′ (x) = (tg (x))
′
=
Ä
sen(x)
cos(x)
ä′
= cos(x) cos(x)+sen(x) sen(x)
cos2(x)
= 1
cos2(x)
= sec2 (x) .
Conclusão: Se f : X ⊂ R→ R é tal que f (x) = tg (x) , então f′ : X ⊂ R→ R é tal que f′ (x) = sec2 (x) .
(4) Derivada da função cotangente.
Se f : X ⊂ R → R, sendo X = {x ∈ R : x 6= kπ, k ∈ Z}, é tal que f (x) = cotg (x), temos que sua derivada pode ser
expressa por
f′ (x) = (cotg (x))
′
=
Ä
cos(x)
sen(x)
ä′
= − sen(x) sen(x)−cos(x) cos(x)
sen2(x)
= −1
sen2(x)
= − cossec2 (x) .
Conclusão: Se f : X ⊂ R→ R é tal que f (x) = cotg (x) , então f′ : X ⊂ R→ R é tal que f′ (x) = − cossec2 (x) .
(5) Derivada da função secante.
Se f : X ⊂ R→ R, sendo X =
{
x ∈ R : x 6= π
2
+ kπ, k ∈ Z
}
, é tal que f (x) = sec (x), temos que sua derivada pode
ser expressa por
f′ (x) = (sec (x))
′
=
Ä
1
cos(x)
ä′
= 0. cos(x)+1 sen(x)
cos2(x)
= 1
cos(x) .
sen(x)
cos(x) = sec (x) tg (x) .
Conclusão: Se f : X ⊂ R→ R é tal que f (x) = sec (x) , então f′ : X ⊂ R→ R é tal que f′ (x) = sec (x) tg (x) .
(6) Derivada da função cossecante.
Se f : X ⊂ R→ R, sendo X = {x ∈ R : x 6= kπ, k ∈ Z}, é tal que f (x) = cossec (x), temos que sua derivada pode ser
expressa por
f′ (x) = (cossec (x))
′
=
Ä
1
sen(x)
ä′
= 0. sen(x)−1 cos(x)
sen2(x)
= − 1
sen(x) .
cos(x)
sen(x) = − cossec (x) cotg (x) .
Conclusão: Se f : X ⊂ R→ R é tal que f (x) = cossec (x) , então f′ : X ⊂ R→ R é tal que f′ (x) = − cossec (x) cotg (x) .
3.6 Regra da Cadeia
A chamada Regra da Cadeia é uma regra de derivação para funções compostas. Trata-se de uma das mais impor-
tantes proposições sobre derivadas de funções. Segue o enunciado:
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Proposição 3.4 (Regra da Cadeia) Sejam h : X ⊂ R → R e g : Y ⊂ R → R funções deriváveis tais que Imh ⊂ Y.
Então, f = g ◦ h : X ⊂ R→ R é derivável e
f′ (x) = (g ◦ h)′ (x) = g′ (h (x)) .h′ (x) .
Observação: na Regra da Cadeia, se escrevermos y = g (u) e u = h (x) temos y = g ◦ h (x) e, na notação de Leibniz,
dy
dx
= dy
du
du
dx
.
Exemplo 3.9 (i) Derivemos f : R→ R tal que f (x) =
(
x2 + 5x
)13
.
A função f pode ser vista como a composta f = g ◦ h tal que g (x) = x13 e h (x) = x2 + 5x, que são funções
deriváveis.
Logo, pela Regra da Cadeia, f′ (x) = g′ (h (x))h′ (x) = 13 (h (x))
12
h′ (x) = 13
(
x2 + 5x
)12
(2x+ 5).
(ii) Derivemos f : R→ R tal que f (x) = sen
(
x5 − 2x+ 1
)
.
A função f pode ser vista como a composta f = g ◦ h tal que g (x) = sen (x) e h (x) = x5 − 2x+ 1, que são funções
deriváveis.
Logo, pela Regra da Cadeia, f′ (x) = g′ (h (x))h′ (x) = cos (h (x))h′ (x) = cos
(
x5 − 2x+ 1
) (
5x4 − 2
)
.
(iii) Derivemos f : X ⊂ R→ R, com X =
{
x ∈ R : x 6= π
2
+ kπ, k ∈ Z
}
, tal que f (x) = tg6 (x).
A função f pode ser vista como a composta f = g◦h tal que g (x) = x6 e h (x) = tg (x), que são funções deriváveis.
Logo, pela Regra da Cadeia, f′ (x) = g′ (h (x))h′ (x) = 6 (h (x))
5
h′ (x) = 6 tg5 (x) sec2 (x).
(iv) Derivemos f : R→ R tal que f (x) =
Ä
1−2x
1+x4
ä4
.
A função f pode ser vista como a composta f = g ◦h tal que g (x) = x4 e h (x) = 1−2x
1+x4
, que são funções deriváveis.
Logo, pela Regra da Cadeia, f′ (x) = g′ (h (x))h′ (x) = 4h (x)
3
h′ (x) = 4
Ä
1−2x
1+x4
ä3 Å−2(1+x4)−(1−2x)4x3
(1+x4)2
ã
.
(v) Derivemos f : R→ R tal que f (x) =
(x2−1)
3
(1+x2)2
.
Pela regra do quociente, f′ (x) =
(
(x2−1)
3
)′
(1+x2)
2
−(x2−1)
3
(
(1+x2)
2
)′
((1+x2)2)
2 . Temos duas compostas a serem derivadas:
((
x2 − 1
)3)′
= 3
(
x2 − 1
)2
2x((
1+ x2
)2)′
= 2
(
1+ x2
)
2x
Logo, f′ (x) =
3(x2−1)
2
2x(1+x2)
2
−(x2−1)
3
2(1+x2)2x
((1+x2)2)
2 .
Observação: vimos como calcular a derivada de f (x) = xk para k ∈ Z e k = 1
n
com n ∈ N. Com a Regra da Cadeia,
temos como calcular a derivada de f (x) = xk com k ∈ Q. De fato, fazendo k = m
n
temos:
f′ (x) =
Ä
x
m
n
ä′
=
(Ä
x
1
n
äm)′
= m
Ä
x
1
n
äm−1 Ä
x
1
n
ä′
= mx
m
n
− 1
n 1
n
x
1
n
−1 =
m
n
x
m
n
−1 = kxk−1.
Fica faltando o caso da derivada de f (x) = xk com k irracional (x > 0). Mas para demonstrar esse caso, precisamos
das derivadas de funções exponenciais e de funções logaŕıtmicas, que serão vistas um pouco mais adiante.
3.7 Derivadas de Funções Inversas
A Regra da Cadeia permite que possamos derivar a composta de uma função com sua inversa (quando esta existir).
Deste fato, temos uma proposição que estabelece a derivada da inversa de uma função. O enunciado segue abaixo.
Proposição 3.5 Seja g : Y ⊂ R → X ⊂ R derivável e invert́ıvel tal que g−1 seja cont́ınua e, ainda, g′
(
g−1 (x)
)
6= 0
para todo x ∈ X. Então, g−1 : X ⊂ R→ Y ⊂ R é derivável e(
g−1
)′
(x) = 1
g′(g−1(x))
.
Observações:
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Cálculo Diferencial e Integral 1 UFU Página 113 de 239 páginas
(1) se escrevermos y = g−1 (x) e x = g (y) temos, na notação de Leibniz, dy
dx
= 1
dx
dy
.
(2) um procedimento prático para o cálculo da derivada de uma função inversa, considerando g e g−1 sejam deriváveis,
vem da Regra da Cadeia:
g
(
g−1 (x)
)
= x⇒ (
g
(
g−1 (x)
))′
= (x)
′ ⇒ g′
(
g−1 (x)
)
.
(
g−1
)′
(x) = 1⇒ (
g−1
)′
(x) = 1
g′(g−1(x))
,
supondo, obviamente, que g′
(
g−1 (x)
)
6= 0.
(3) podemos demonstrar que se f : R+ → R é tal que f (x) = x
1
n = n
√
x, sendo n ∈ N, então f′ (x) = 1
n
x
1
n
−1, utilizando
a proposição acima. De fato, f é inversa de g : R+ → R tal que g (x) = xn, ou seja, f (x) = g−1 (x). Logo,
f′ (x) =
(
g−1
)′
(x) = 1
g′(g−1(x))
= 1
g′(f(x)) = 1
n
Ä
x
1
n
än−1 = 1
nx
1− 1
n
= 1
n
x
1
n
−1.
Exemplo 3.10 (i) Derivemos f : ]−1, 1[ ⊂ R→ ]
−π
2
, π
2
[
⊂ R tal que f (x) = arcsen (x).
A função f é a inversa da função seno, ou seja, f = g−1 sendo g :
]
−π
2
, π
2
[
⊂ R→ ]−1, 1[ ⊂ R tal que g (x) = sen (x).
x
y
0
gráfico de f
1
p/2
-1
-p/2
A função g é derivável, g−1 é cont́ınua e g′
(
g−1 (x)
)
6= 0 no domı́nio considerado.
Logo, (
g−1
)′
(x) = 1
g′(g−1(x))
⇒ f′ (x) = 1
cos(arcsen(x)) ⇒
f′ (x) = 1√
1−sen2(arcsen(x))
(em
]
−π
2
, π
2
[
cosseno é positivo)⇒ f′ (x) = 1√
1−x2
.
Pelo “procedimento prático”:
sen (arcsen (x)) = x⇒ (sen (arcsen (x)))
′
= (x)
′ ⇒ cos (arcsen (x)) (arcsen (x))
′
= 1⇒
(arcsen (x))
′
= 1
cos(arcsen(x)) ⇒ f′ (x) = 1√
1−sen2(arcsen(x))
⇒ f′ (x) = 1√
1−x2
.
Conclusão: Se f : ]−1, 1[ → ]
−π
2
, π
2
[
é tal que f (x) = arcsen (x) , então f′ : ]−1, 1[ → [1,+∞[ é tal que
f′ (x) = 1√
1−x2
.
(ii) Derivemos f : ]−1, 1[ ⊂ R→ ]0, π[ ⊂ R tal que f (x) = arccos (x).
A função f é a inversa da funçãocosseno, ou seja, f = g−1 sendo g : ]0, π[ ⊂ R→ ]−1, 1[ ⊂ R tal que g (x) = cos (x).
x
y
0
gráfico de f
1
p/2
-1
p
A função g é derivável, g−1 é cont́ınua e g′
(
g−1 (x)
)
6= 0 no domı́nio considerado.
Logo, (
g−1
)′
(x) = 1
g′(g−1(x))
⇒ f′ (x) = 1
− sen(arccos(x)) ⇒
f′ (x) = −1√
1−cos2(arccos(x))
(em ]0, π[ seno é positivo)⇒ f′ (x) = −1√
1−x2
.
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Pelo “procedimento prático”:
cos (arccos (x)) = x⇒ (cos (arccos (x)))
′
= (x)
′ ⇒ − sen (arccos (x)) (arccos (x))
′
= 1⇒
(arccos (x))
′
= −1
sen(arccos(x)) ⇒ f′ (x) = −1√
1−cos2(arccos(x))
⇒ f′ (x) = −1√
1−x2
.
Conclusão: Se f : ]−1, 1[→ ]0, π[ é tal que f (x) = arccos (x) , então f′ : ]−1, 1[→ ]−∞,−1] é tal que f′ (x) = −1√
1−x2
.
Exemplo 3.11 (i) Derivemos f : R→ ]
−π
2
, π
2
[
⊂ R tal que f (x) = arctg (x).
A função f é a inversa da função tangente, ou seja, f = g−1 sendo g :
]
−π
2
, π
2
[
⊂ R→ R tal que g (x) = tg (x).
x
y
0
gráfico de f
p/2
-p/2
A função g é derivável, g−1 é cont́ınua e g′
(
g−1 (x)
)
6= 0 no domı́nio considerado.
Logo, (
g−1
)′
(x) = 1
g′(g−1(x))
⇒ f′ (x) = 1
sec2(arctg(x))
⇒ f′ (x) = 1
1+tg2(arctg(x))
⇒ f′ (x) = 1
1+x2
.
Pelo “procedimento prático”:
tg (arctg (x)) = x⇒ (tg (arctg (x)))
′
= (x)
′ ⇒ sec2 (arctg (x)) (arctg (x))
′
= 1⇒
(arctg (x))
′
= 1
sec2(arctg(x))
⇒ f′ (x) = 1
1+tg2(arctg(x))
⇒ f′ (x) = 1
1+x2
.
Conclusão: Se f : R→ ]
−π
2
, π
2
[
é tal que f (x) = arctg (x) , então f′ : R→ ]0, 1] é tal que f′ (x) = 1
1+x2
.
(ii) Derivemos f : R→ ]0, π[ ⊂ R tal que f (x) = arccotg (x).
A função f é a inversa da função cotangente, ou seja, f = g−1 sendo g : ]0, π[ ⊂ R→ R tal que g (x) = cotg (x).
x
y
0
gráfico de f
p/2
p
A função g é derivável, g−1 é cont́ınua e g′
(
g−1 (x)
)
6= 0 no domı́nio considerado.
Logo, (
g−1
)′
(x) = 1
g′(g−1(x))
⇒ f′ (x) = 1
− cossec2(arccotg(x))
⇒ f′ (x) = −1
1+cotg2(arccotg(x))
⇒ f′ (x) = −1
1+x2
.
Pelo “procedimento prático”:
cotg (arccotg (x)) = x⇒ (cotg (arccotg (x)))
′
= (x)
′ ⇒ − cossec2 (arccotg (x)) (arccotg (x))
′
= 1⇒
(arccotg (x))
′
= −1
cossec2(arccotg(x))
⇒ f′ (x) = −1
1+cotg2(arccotg(x))
⇒ f′ (x) = −1
1+x2
.
Conclusão: Se f : R→ ]0, π[ é tal que f (x) = arccotg (x) , então f′ : R→ [−1, 0[ é tal que f′ (x) = −1
1+x2
.
Exemplo 3.12 (1) Derivemos f : R→ R tal que f (x) = x arctg
(
x2
)
.
Temos
f′ (x) = 1. arctg
(
x2
)
+ x. 1
1+(x2)2
.2x = arctg
(
x2
)
+ 2x2
1+x4
.
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(2) Derivemos f : R∗ → R tal que f (x) = sen(3x)
arctg(4x) .
Temos
f′ (x) =
cos (3x) arctg (4x) − sen (3x) 1
1+(4x)2
4
arctg2 (4x)
=
cos (3x) arctg (4x) − 4 sen(3x)
1+16x2
arctg2 (4x)
.
(3) Derivemos f : R→ R tal que f (x) =
3
»
(x+ arctg (x))
2
.
Temos
f′ (x) = 2
3
(x+ arctg (x))
− 1
3
Ä
1+ 1
1+x2
ä
=
2+ 2
1+x2
3 3
√
x+ arctg (x)
.
3.8 Derivadas de f (x) = ex e f (x) = ln (x)
Nesta seção vamos fazer o cálculo da derivada da função exponencial, bem como de sua inversa.
Exemplo 3.13 Mostremos que se f : R→ R+ é tal que f (x) = ex, então f′ (x) = ex.
Temos
f′ (x) = lim
h→0 e
x+h−ex
h
= lim
h→0 ex
Ä
eh−1
h
ä
= ex lim
h→0 e
h−1
h
.
Mas, fazendo y = eh − 1, temos
lim
h→0 e
h−1
h
= lim
y→0 y
ln(y+1) = lim
y→0 1
ln(y+1)
1
y
= 1
ln
(
lim
y→0(y+1)
1
y
) = 1
ln(e) = 1.
Conclusão:
f′ (x) = ex .
Exemplo 3.14 Mostremos que se f : R+ → R é tal que f (x) = ln (x), então f′ (x) = 1
x
.
Temos que f (x) = ln (x) é inversa de g (x) = ex, ou seja, f = g−1, sendo g derivável, g−1 cont́ınua e g′
(
g−1 (x)
)
6= 0.
Logo,
f′ (x) =
(
g−1
)′
(x) = 1
g′(g−1(x))
= 1
eln(x) ⇒ f′ (x) = 1
x
.
Observação: pelo “procedimento prático”: eln(x) = x ⇒ (
eln(x)
)′
= (x)
′ ⇒ eln(x) (ln (x))
′
= 1 ⇒ (ln (x))
′
=
1
eln(x)
= 1
x
.
Exemplo 3.15 Derivemos f : R+ → R, tal que f (x) = log2 (x).
Temos f (x) = log2 (x) =
ln(x)
ln(2) . Logo, f′ (x) = 1
x ln(2) .
3.9 Derivada de f (x) = g (x)h(x)
Com o aux́ılio da derivada da função exponencial e da Regra da Cadeia, é posśıvel deduzir derivadas de funções
que se comportam como exponenciais e potências ao mesmo tempo.
Sejam g : X ⊂ R→ R+, ou seja, g (x) > 0 para qualquer x ∈ X, e h : X ⊂ R→ R deriváveis.
Consideremos f : X ⊂ R→ R+ dada por f (x) = g (x)
h(x)
.
Temos:
f′ (x) =
Ä
g (x)
h(x)
ä′
=
(
eln(g(x)
h(x))
)′
=
Ä
eh(x) ln(g(x))
ä′
= eh(x) ln(g(x)) [h (x) ln (g (x))]
′ ⇒
f′ (x) = g (x)
h(x)
[h (x) ln (g (x))]
′
.
Exemplo 3.16 Derivemos f : R+ → R+ tal que f (x) = xx.
Neste caso, temos g (x) = h (x) = x. Logo,
f′ (x) = xx [x ln (x)]
′
= xx
(
1. ln (x) + x1
x
)
= xx (1+ ln (x)) .
Exemplo 3.17 (i) Sendo f : R+ → R+ tal que f (x) = xα com α real, a derivada de f segue a mesma regra que
deduzimos para α = n natural. Porém, no caso real a justificativa é dada pela regra da derivada de g (x)
h(x)
que,
neste caso, é g (x) = x e h (x) = α. Assim:
f′ (x) = xα [α ln (x)]
′
= xα
(
α1
x
)
= αxα−1.
(ii) Derivemos f : R→ R, tal que f (x) = ax, sendo a > 0.
Temos
f′ (x) = ax [x ln (a)]
′
= ax ln (a) .
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Exemplo 3.18 Derivemos f : R+ → R, tal que f (x) = 8x + log2 (x).
Temos f (x) = 8x + ln(x)
ln(2) , ou seja, f′ (x) = 8x ln (8) + 1
x ln(2) .
3.10 Derivadas de Funções Hiperbólicas
As chamadas funções trigonométricas hiperbólicas tem sua história no desenvolvimento de uma das chamadas
Geometrias não Euclidianas homogêneas no século XIX, que é a Geometria Hiperbólica. É surpreendente que, embora
as funções trigonométricas hiperbólicas sejam definidas a partir das funções exponenciais que, nem sequer, são funções
periódicas, os seus comportamentos assemelham-se muito com as funções trigonométricas euclidianas (ou seja, as
funções trigonométricas “comuns”). Essa similaridade se dá em termos das chamadas leis trigonométricas (Leis do Seno
e do Cosseno, por exemplo) bem como nas diversas fórmulas trigonométricas das Geometrias Hiperbólica e Euclidiana.
Naturalmente, o desenvolvimento dessas ideias é demasiadamente longo e foge completamente aos objetivos dessas
notas. Por enquanto, basta-nos as definições de tais funções e como calcular suas derivadas.
A função f : R → R dada por f (x) = ex−e−x
2
é chamada de função seno hiperbólico e é indicada por
f (x) = senh (x).
A função f : R → R dada por f (x) = ex+e−x
2
é chamada de função cosseno hiperbólico e é indicada por
f (x) = cosh (x).
A função f : R → R dada por f (x) = senh(x)
cosh(x) é chamada de função tangente hiperbólica e é indicada por
f (x) = tgh (x).
A função f : R∗ → R dada por f (x) = cosh(x)
senh(x) é chamada de função cotangente hiperbólica e é indicada por
f (x) = cotgh (x).
A função f : R → R dada por f (x) = 1
cosh(x) é chamada de função secante hiperbólica e é indicada por
f (x) = sech (x).
A função f : R∗ → R dada por f (x) = 1
senh(x) é chamada de função cossecante hiperbólica e é indicada por
f (x) = cossech (x).
Os gráficos de tais funções seguem na próxima figura.
f senh x= )((x)
y
0 x
1
f cosh x= )((x)
senh
cosh
bissetriz
f tgh x= )((x)
f cotgh x= )((x)
cotgh
tgh
xx
y
y
0 0
1
yy y
xxx0 0 0
1 1 1
-1 -1 -1
Observemos algumas das fórmulas trigonométricas hiperbólicas:
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(1) cosh2 (x) − senh2 (x) = 1 , pois
Ä
ex+e−x
2
ä2
−
Ä
ex−e−x
2
ä2
= e2x+2exe−x+e−2x−e2x+2exe−x−e−2x
4
= 1.
(2) tgh2 (x) + sech2 (x) = 1 , pois
Ä
senh(x)
cosh(x)
ä2
+
Ä
1
cosh(x)ä2
= 1+senh2(x)
cosh2(x)
= 1.
(3) cotgh2 (x) − cossech2 (x) = 1 , pois
Ä
cosh(x)
senh(x)
ä2
−
Ä
1
senh(x)
ä2
= cosh2(x)−1
senh2(x)
= 1.
Derivando as funções trigonométricas hiperbólicas:
(senh (x))
′
=
Ä
ex−e−x
2
ä′
= ex−e−x(−1)
2
= ex+e−x
2
= cosh (x)
(cosh (x))
′
=
Ä
ex+e−x
2
ä′
= ex+e−x(−1)
2
= ex−e−x
2
= senh (x)
(tgh (x))
′
=
Ä
senh(x)
cosh(x)
ä′
= cosh(x) cosh(x)−senh(x) senh(x)
cosh2(x)
= 1
cosh2(x)
= sech2 (x)
(cotgh (x))
′
=
Ä
cosh(x)
senh(x)
ä′
= senh(x) senh(x)−cosh(x) cosh(x)
senh2(x)
= −1
senh2(x)
= − cossech2 (x)
(sech (x))
′
=
Ä
1
cosh(x)
ä′
= 0. cosh(x)−1. senh(x)
cosh2(x)
= − 1
cosh(x) .
senh(x)
cosh(x) = − sech (x) tgh (x)
(cossech (x))
′
=
Ä
1
senh(x)
ä′
= 0. senh(x)−1. cosh(x)
senh2(x)
= − 1
senh(x) .
cosh(x)
senh(x) = − cossech (x) cotgh (x)
Exemplo 3.19 Derivemos f : R → R, tal que f é a função inversa do seno hiperbólico: f (x) = senh−1 (x) (observe
que a função seno hiperbólico é bijetiva).
Temos que g (x) = senh (x) é derivável, g−1 (x) = f (x) = senh−1 (x) é cont́ınua e g′
(
g−1 (x)
)
6= 0 para todo x real.
Logo, f′ (x) = 1
cosh(senh−1(x))
= 1√
1+senh2(senh−1(x))
= 1√
1+x2
.
Pelo “procedimento prático”:
senh
Ä
senh−1 (x)
ä
= x⇒ Äsenh
Ä
senh−1 (x)
ää′
= (x)
′ ⇒ cosh
Ä
senh−1 (x)
ä Ä
senh−1 (x)
ä′
= 1⇒Ä
senh−1 (x)
ä′
= 1
cosh(senh−1(x))
= 1√
1+x2
.
Exemplo 3.20 Derivemos f : ]1,+∞[ ⊂ R → R+, tal que f é a função inversa do cosseno hiperbólico: f (x) =
cosh−1 (x). (observe a restrição no domı́nio da função cosseno hiperbólico para que exista sua inversa)
Temos que g (x) = cosh (x) é derivável, g−1 (x) = f (x) = cosh−1 (x) é cont́ınua e g′
(
g−1 (x)
)
6= 0 para todo
x ∈ ]1,+∞[.
Logo, f′ (x) = 1
senh(cosh−1(x))
= 1√
cosh2(cosh−1(x))−1
= 1√
x2−1
.
Pelo “procedimento prático”:
cosh
Ä
cosh−1 (x)
ä
= x⇒ Äcosh
Ä
cosh−1 (x)
ää′
= (x)
′ ⇒ senh
Ä
cosh−1 (x)
ä Ä
cosh−1 (x)
ä′
= 1⇒Ä
cosh−1 (x)
ä′
= 1
senh(cosh−1(x))
= 1√
x2−1
.
3.11 Derivadas de Ordens Superiores
Seja f : X ⊂ R→ R derivável.
Se f′ : X1 ⊂ R→ R for derivável, podemos considerar a derivada da derivada de f, chamada de derivada segunda
de f ou derivada de segunda ordem de f e indicada por f′′ : X2 ⊂ R→ R.
A derivada segunda de y = f (x) na notação de Leibniz é dada por y′′ = f′′ (x) = d
dx
Ä
dy
dx
ä
= d2y
dx2
, ou então,
f′′ (x) = d2f
dx2
(x).
Naturalmente, podemos generalizar o procedimento acima criando as derivadas de ordem superior .
A derivada de ordem n ∈ N de f, indicada por f(n) : Xn ⊂ R→ R tal que f(n) (x) =
(
(f′)
′)···′
(x), (n derivadas).
Na notação de Leibniz: y(n) = f(n) (x) = d
dx
Ä
d
dx
· · ·
Ä
d
dx
Ä
dy
dx
äää
︸ ︷︷ ︸
n derivadas
= dny
dxn
, ou então, f(n) (x) = dnf
dxn
(x).
Exemplo 3.21 Dada f : R→ R tal que f (x) = sen (x), encontremos f(5).
Temos f′ (x) = cos (x), f′′ (x) = − sen (x), f′′′ (x) = − cos (x), f(4) (x) = sen (x) e, finalmente, f(5) (x) = cos (x).
Exemplo 3.22 Dada f : R→ R tal que f (x) = x5 + 2x− 5, encontremos f(200).
Temos f′ (x) = 5x4+ 2, f′′ (x) = 20x3, f′′′ (x) = 60x2, f(4) (x) = 120x, f(5) (x) = 120 e, finalmente, f(n) (x) = 0 para
n ≥ 6. Em particular, f(200) (x) = 0.
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Exemplo 3.23 Dada f : R∗ → R tal que f (x) = 1
x
, encontremos f(n).
Temos f′ (x) = − 1
x2
, f′′ (x) = 1.2
x3
, f′′′ (x) = −1.2.3
x4
, f(4) (x) = 1.2.3.4
x5
, f(5) (x) = −1.2.3.4.5
x6
. Generalizando:
f(n) (x) = (−1)
n n!
xn+1 .
O próximo exemplo é, na verdade, uma dedução do desenvolvimento de (1+ x)
n
utilizando derivadas de ordem
superior. Esta não é a única maneira de fazer essa dedução, nem a mais curta. Entretanto, é um bom exerćıcio para
aqueles que desejam se aprofundar um pouco mais nas justificativas matemáticas.
Exemplo 3.24 Dada f : R→ R tal que f (x) = (1+ x)
n
, utilizando derivadas, desenvolvamos a potência.
Sabemos que (1+ x)
n
é um polinômio de grau n. Logo,
(1+ x)
n
= a0 + a1x+ a2x
2 + a3x
3 + · · ·+ an−1xn−1 + anxn (1)
Quando x = 0 temos
1 = a0 ⇒ a0 =
1
1
⇒ a0 =
n!
0!(n−0)! .
Derivando (1) temos
n (1+ x)
n−1
= 1a1 + 2a2x+ 3a3x
2 + · · ·+ (n− 1)an−1x
n−2 + nanx
n−1 (2)
Quando x = 0 temos
n = 1a1 ⇒ a1 =
n
1
⇒ a1 =
n!
1!(n−1)! .
Derivando (2) temos
n (n− 1) (1+ x)
n−2
= 1.2a2 + 2.3a3x+ · · ·+ (n− 1) (n− 2)an−1x
n−3 + n (n− 1)anx
n−2 (3)
Quando x = 0 temos
n (n− 1) = 1.2a2 ⇒ a2 =
n(n−1)
2.1
⇒ a2 =
n!
2!(n−2)! .
Derivando (3) temos
n (n− 1) (n− 2) (1+ x)
n−3
= 1.2.3a3 + · · ·+ (n− 1) (n− 2) (n− 3)an−1x
n−4 + n (n− 1) (n− 2)anx
n−3
Quando x = 0 temos
n (n− 1) (n− 2) = 1.2.3a3 ⇒ a3 =
n(n−1)(n−2)
3.2.1
⇒ a3 =
n!
3!(n−3)! .
Generalizando, na k-ésima derivada (k 6 n) temos
ak = n!
k!(n−k)!
Os números da forma n!
k!(n−k)! são chamados de números binomiais (ou coeficientes binomiais) de n na
classe k e são indicados por
(
n
k
)
, ou seja, (
n
k
)
= n!
k!(n−k)!
Uma curiosidade:
(
n
k
)
consiste no número de combinações de n termos, k a k.
Com isso, para k = 0, . . . , n, temos
ak =
(
n
k
)
e conclúımos que
(1+ x)
n
=
n∑
k=0
(
n
k
)
xk .
Observação: como desenvolver o Binômio de Newton (a+ b)
n
, a 6= 0? Observe:
(a+ b)
n
=
(
a
(
1+ b
a
))n
= an
(
1+ b
a
)n
= an
n∑
k=0
(
n
k
) (
b
a
)k
=
n∑
k=0
(
n
k
)
an b
k
ak
⇒
(a+ b)
n
=
n∑
k=0
(
n
k
)
an−kbk ,
que é a chamada Fórmula do Binômio de Newton.
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3.12 Derivação Impĺıcita
Seja E (x, y) = 0 uma equação nas variáveis x e y. Dizemos que a função f : X ⊂ R→ R, tal que y = f (x), é dada
implicitamente por tal equação quando (x, f (x)) for solução de E (x, y) = 0 para todo x ∈ X.
Por exemplo, E (x, y) = 0 dada por E (x, y) = x2 + y2 − 1 fornece a equação x2 + y2 = 1, e podemos definir
y = f (x) =
√
1− x2, ou então y = f (x) = −
√
1− x2, com −1 ≤ x ≤ 1, como sendo funções dadas implicitamente por
x2 + y2 = 1.
Como derivar y = f (x) dada implicitamente em uma equação? Resposta: utilizando a Regra da Cadeia.
No exemplo acima:
x2 + y2 = 1⇒ x2 + (f (x))
2
= 1⇒ 2x+ 2f (x) f′ (x) = 0⇒ f′ (x) = − x
f(x) , sendo f (x) 6= 0.
Exemplo 3.25 Dada a equação y3 + y = x, sendo y = f (x) dada implicitamente, derivemos f.
Temos
y3 + y = x⇒ (f (x))
3
+ f (x) = x⇒ 3 (f (x))
2
f′ (x) + f′ (x) = 1⇒ f′ (x) = 1
1+3(f(x))2
.
De forma simplificada:
y′ = 1
1+3y2
.
Notemos que, neste caso, não é fácil encontrar uma expressão anaĺıtica expĺıcita para y = f (x).
Exemplo 3.26 No exemplo acima, calculemos a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) no ponto (10, 2).
Primeiramente, observemos que (x0, y0) = (10, 2) satisfaz a equação y3 + y = x, o que significa que (10, 2) está no
gráfico de f.
O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (10, 2) é dado por f′ (10). Como f (10) = 2, a
derivada f′ (x) = 1
1+3(f(x))2
encontrada no exemplo acima permite que encontremos f′ (10):
f′ (10) = 1
1+3(f(10))2
= 1
1+3(2)2
= 1
13
.
Da equação da reta tangente y− y0 = f
′ (x0) (x− x0) temos
y− 2 = 1
13
(x− 10) .
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Seção de Exerćıcios Propostos: Derivadas
Exerćıcio 3.1 (Resolvido) Verifique se a função f : R→ R com
f (x) =
{
x2, se x 6 1
2x− 1, se x > 1
é derivável em x = 1.
Resolução.
Recordemos que uma função f : X ⊂ R → R é derivável em a ∈ X quando existir, e for número real, o limite
lim
x→a f(x)−f(a)x−a que, neste caso, é denotado por f′ (a).
Logo, se a f dada for derivável no ponto 1, devemos ter a existência e igualdade (como número real) dos limites
laterais lim
x→1− f(x)−f(1)
x−1 e lim
x→1+ f(x)−f(1)
x−1 . Vamos às contas:
lim
x→1− f(x)−f(1)x−1 = lim
x→1− x2−1
x−1 = lim
x→1− (x+1)(x−1)
x−1 = lim
x→1− (x+ 1) = 2
lim
x→1+ f(x)−f(1)
x−1 = lim
x→1+ 2x−1−1
x−1 = lim
x→1+ 2x−2
x−1 = lim
x→1+ 2(x−1)
x−1 = lim
x→1+ 2 = 2
Conclusão:
lim
x→1 f(x)−f(1)x−1 = 2
e, portanto, f é derivável no ponto 1, sendo f′ (1) = 2.
Exerćıcio 3.2 (Resolvido) Quais as equações das retas tangente e normal à curva y = ln (3x) no ponto cuja abscissa
é 1?
Resolução.
Seja a função derivável y = f (x) = ln (3x), sendo x > 0.
Seja P = (x0, y0) = (x0, f (x0)) = (1, f (1)) = (1, ln (3)) ponto do gráfico de f (que é a curva y = ln (3x)).
A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P é dada por y − y0 = m (x− x0), ou seja, y − f (x0) =
f′ (x0) (x− x0). Como f′ (x) = 1
3x
.3 = 1
x
, temos que f′ (x0) = f
′ (1) = 1. Assim,
y− ln (3) = 1. (x− 1)⇒ y = x+ ln (3) − 1
é a equação da reta tangente em questão.
1 x
y
ln 3 1( ) -
ln 3 1( ) +
ln 3( ) P
reta tangente
reta normal
gráfico de f
0
O coeficiente angular m da reta normal ao gráfico de f no ponto P é tal que m.m = −1. Logo, m = − 1
f′(x0)
=
−1
1
= −1.
Como a reta normal passa por P, sua equação é dada por y− f (x0) = m (x− x0), ou seja,
y− ln (3) = −1 (x− 1)⇒ y = −x+ ln (3) + 1.
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Exerćıcio 3.3 Achar a equação cartesiana da reta tangente à curva y = f (x) pelo ponto (x0, f (x0)) sendo:
(i) f (x) = x2 e x0 = −1.
(ii) f (x) = 3x2 − 5x+ 2 e x0 = 2.
(iii) f (x) = sen (x) com x0 = 2π, x1 =
π
6
e x2 =
5π
6
. (são três retas tangentes a um mesmo gráfico)
(iv) f (x) = ln (x) e x0 = 1.
Exerćıcio 3.4 (Resolvido) Calcule a derivada de f : R → R, tal que f (x) = x3, em x0 = 2, usando a definição de
derivada. Encontre a reta tangente ao gráfico de f em P (2, 8).
Resolução.
Temos
f′ (x0) = lim
x→x0 f(x)−f(x0)x−x0
⇒ f′ (2) = lim
x→2 x
3−23
x−2 = lim
x→2 (x−2)(x2+2x+4)
x−2 = lim
x→2
(
x2 + 2x+ 4
)
= 12.
A reta tangente ao gráfico de f em P (2, 8) é dada pela equação cartesiana
y− f (x0) = f
′ (x0) (x− x0)⇒ y− 8 = 12 (x− 2)⇒ y = 12x− 16 .
Sugestão: trace o gráfico de f e a reta tangente obtido em em mesmo sistema de coordenadas.
Exerćıcio 3.5 (Resolvido) Calcule a derivada de f : R→ R, tal que f (x) = 3x2 + 5, em x0 = 1, usando a definição
de derivada. Encontre a reta tangente ao gráfico de f em P (1, 8).
Resolução.
Temos
f′ (x0) = lim
x→x0 f(x)−f(x0)x−x0
⇒ f′ (1) = lim
x→1 3x
2+5−(3.12+5)
x−1 = lim
x→1 3x
2−3
x−1
= lim
x→1 3(x
2−1)
x−1 = lim
x→1 3(x−1)(x+1)x−1 = lim
x→1 3 (x+ 1) = 6.
A reta tangente ao gráfico de f em P (1, 8) é dada pela equação cartesiana
y− f (x0) = f
′ (x0) (x− x0)⇒ y− 8 = 6 (x− 1)⇒ y = 6x+ 2 .
Sugestão: trace o gráfico de f e a reta tangente obtido em em mesmo sistema de coordenadas.
Exerćıcio 3.6 (Resolvido) Calcule a derivada de f : R+ → R, tal que f (x) =
√
x, em x0 = 4, usando a definição de
derivada. Encontre a reta tangente ao gráfico de f em P (4, 2).
Resolução.
Temos
f′ (x0) = lim
x→x0 f(x)−f(x0)x−x0
⇒ f′ (4) = lim
x→4
√
x−
√
4
x−4 = lim
x→4
√
x−
√
4
(
√
x−
√
4)(
√
x+
√
4)
= lim
x→4 1√
x+
√
4
= 1
4
.
A reta tangente ao gráfico de f em P (4, 2) é dada pela equação cartesiana
y− f (x0) = f
′ (x0) (x− x0)⇒ y− 2 = 1
4
(x− 4)⇒ y = 1
4
x+ 1 .
Sugestão: trace o gráfico de f e a reta tangente obtido em em mesmo sistema de coordenadas.
Exerćıcio 3.7 Seja f : ]−r, r[ ⊂ R→ R uma função derivável. Prove que:
(i) Se f for uma função ı́mpar, então f′ é uma função par.
(ii) Se f for uma função par, então f′ é uma função ı́mpar.
Nota: f é uma função par quando f (−x) = f (x), ∀x ∈ ]−r, r[ e f é uma função ı́mpar quando f (−x) = −f (x),
∀x ∈ ]−r, r[.
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Exerćıcio 3.8 (Resolvido) Calcule a derivada de f : R∗ → R, tal que f (x) = 1
x
, em x0 = −1, usando a definição de
derivada. Encontre a reta tangente ao gráfico de f em P (−1,−1).
Resolução.
Temos
f′ (x0) = lim
x→x0 f(x)−f(x0)x−x0
⇒ f′ (−1) = lim
x→−1
1
x
− 1
−1
x− (−1)
= lim
x→−1
1
x
+ 1
x+ 1
= lim
x→−1
x+1
x
x+ 1
= lim
x→−1
1
x
= −1.
A reta tangente ao gráfico de f em P (−1,−1) é dada pela equação cartesiana
y− f (x0) = f
′ (x0) (x− x0)⇒ y+ 1 = −1 (x+ 1)⇒ y = −x− 2 .
Sugestão: trace o gráfico de f e a reta tangente obtido em em mesmo sistema de coordenadas.
Exerćıcio 3.9 Sendo u (x) = x2, v (x) = x3 e p (x) = u (x) v (x), obtenha:
(i) u′ (x) v′ (x) (ii) p′ (x) (iii) u′ (x) v (x) + u (x) v′ (x)
Exerćıcio 3.10 (Resolvido) Seja f : R+ → R dada por f (x) =
√
x. Obtenha f′ usando a definição de derivada.
Resolução.
Temos
f′ (x) = lim
h→0 f(x+h)−f(x)h
= lim
h→0
√
x+h−
√
x
h
= lim
h→0 x+h−x
h(
√
x+h+
√
x)
= lim
h→0 1√
x+h+
√
x
= 1
2
√
x
.
Logo, f′ : R+ → R é tal que f′ (x) = 1
2
√
x
.
Exerćıcio 3.11 (Resolvido) Seja f : R∗ → R dada por f (x) = 1
x
. Obtenha f′ usando a definição de derivada.
Resolução.
Temos
f′ (x) = lim
h→0 f(x+h)−f(x)h
= lim
h→0
1
x+h − 1
x
h
= lim
h→0
x−(x+h)
x(x+h)
h
= lim
h→0
−h
x(x+h)
h
= lim
h→0 −1
x(x+h) = − 1
x2
.
Logo, f′ : R+ → R é tal que f′ (x) = − 1
x2
.
Exerćıcio 3.12 Calcule a função derivada e dê seu domı́nio:
(i) f (x) = x23
(ii) f (x) = x−57
(iii) f (x) = x5
5
− 3x4
4
+ 5x3
3
− 7x2
2
+ 9x− 11
(iv) f (x) =
(
x5 + 4x4 − 5x3 + 3
)
(x− 1)
(v) f (x) = 7
√
x
(vi) f (x) = (1− x)
2
(vii) f (x) =
(
5x2 + 3x
)2
(viii) f (x) =
»
(x2 + 1)
5
(ix) f (x) = (2x− 1)
5 (
x2 + 3
)10
(x) f (x) = 4x−x4
x3+2
, x 6= 3
√
−2
(xi) f (x) = 1
(12−x2)2
, x 6= ±
√
12
(xii) f (x) = xe + x
√
2π, x > 0
Exerćıcio 3.13 (Resolvido) Calcule, com detalhamento, as derivadas de
(i) f (x) = tg
(
cos
(
sen4 (x)
))
e (ii) g (x) = cos5 (x) sen
(
x5
)
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Resolução.
(i) f (x) = tg
(
cos
(
sen4 (x)
))
é a composta f (x) = g (h (i (j (x)))), sendo g (x) = tg (x), h (x) = cos (x), i (x) = x4 e
j (x) = sen (x). Para calcular a derivada de f utilizamos a Regra da Cadeia 3 vezes. Logo,
f′ (x) = tg′
(
cos
(
sen4 (x)
))
.
(
cos
(
sen4 (x)
))′
(1a.)
= sec2
(
cos
(
sen4 (x)
))
.
î(
cos′
(
sen4 (x)
))
.
(
sen4 (x)
)′ó
(2a.)
= sec2
(
cos
(
sen4 (x)
))
.
(
− sen
(
sen4 (x)
))
.
[(
4 sen3 (x)
)
. (cos (x))
]
(3a.)
= −4 sec2
(
cos
(
sen4 (x)
))
. sen
(
sen4 (x)
)
. sen3 (x) . cos (x)
Lembrando que g′ (x) = sec2 (x), h′ (x) = − sen (x) e j′ (x) = cos (x).
(ii) g (x) = cos5 (x) sen
(
x5
)
. Pela regra do produto:
g′ (x) =
(
cos5 (x)
)′
.
(
sen
(
x5
))
+
(
cos5 (x)
)
.
(
sen
(
x5
))′
=
[
5 cos4 (x) . (− sen (x))
]
. sen
(
x5
)
+ cos5 (x) .
[
cos
(
x5
)
.5x4
]
= −5 cos4 (x) sen (x) sen
(
x5
)
+ 5x4 cos5 (x) cos
(
x5
)
Lembrando que tanto
(
cos5 (x)
)′
quanto
(
sen
(
x5
))′
foram calculadas pela Regra da Cadeia, pois tanto g1 (x) =
cos5 (x) quanto g2 (x) = sen
(
x5
)
são compostas.
Exerćıcio 3.14 São dadas funções envolvendo funções trigonométricas. Calcule a derivada dê seu domı́nio:
(i) f (x) = sen (2x)
(ii) f (x) = x sen (x)
(iii) f (x) = sen
(
x3
)
(iv) f (x) = sen
Ä√
x2 + 1
ä
(v) f (x) = sen3 (x)
(vi) f (x) = cos
(
x2 + 4x
)
(vii) f (x) = sen (x) + cos (x)
(viii) f (x) = tg10
(
x2 + 3x− 5
)
(ix) f (x) = sen2 (x) cos
(
x2
)
(x) f (x) = sen
(
cos
(
sen2 (x)
))
(xi) f (x) =
√
x2−5
sec(x) , x 6= π
2
+ kπ, k ∈ Z, x2 > 5
(xii) f (x) = cos
(
sen
(
5x3
))
(xiii) f (x) =
»
(x2 + 1+ cos (x))
3
, x2 + 1+ cos (x) > 0
(xiv) f (x) = cotg(x)+7x
cossec(x)+log10(x)
, x > 0,cossec (x) + log10 (x) 6= 0
Exerćıcio 3.15 (Resolvido) Calcule, com detalhamento, a derivada de f (x) = arctg(2x)
1+4x2
.
Resolução.
Pela regra do quociente:
f′ (x) =
(arctg(2x))′(1+4x2)−(arctg(2x))(1+4x2)′
(1+4x2)2
=
î
1
1+(2x)2
.2
ó
.(1+4x2)−(arctg(2x)).[8x]
(1+4x2)2
= 2−8x arctg(2x)
(1+4x2)2
.
Lembremos que F (x) = arctg (2x) é a composta F (x) = g (h (x)), sendo g (x) = arctg (x) e h (x) = 2x. Para
calcular a derivada de F utilizamos a Regra da Cadeia: F′ (x) = g′ (h (x)) .h′ (x), sendo que g′ (x) = 1
1+x2
.
Exerćıcio 3.16 São dadas funções relacionadas com funções trigonométricas inversas. Calcule a derivada dê seu
domı́nio:
(i) f (x) = arcsen2 (x) , − 1 < x < 1
(ii) f (x) = arcsen2 (3x) , − 1
3
< x < 1
3
(iii) f (x) = arccos2
(√
x
)
, 0 < x < 1
(iv) f (x) = arctg(x)
1+x2
(v) f (x) = arctg3 (x)
(vi) f (x) = arccotg (3x)
(vii) f (x) = arccos2 (cos (x)) , 0 < x < π
(viii) f (x) = arcsec (x) , x ≥ 1
(ix) f (x) = arccossec (x) , x ≥ 1
Exerćıcio 3.17 (Resolvido) Calcule, com detalhamento, a derivada de f (x) = x2x
5
, x > 0.
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Resolução.
Temos que f (x) = x2x
5
= e
ln
Ä
x2x
5
ä
= e2x
5 ln(x). Logo,
f′ (x) =
Ä
e2x
5 ln(x)
ä
.
(
2x5 ln (x)
)′
; (Regra da Cadeia)
=
Ç
e
ln
Ä
x2x
5
äå
.
Å
10x4 ln (x) + 2x5
1
x
ã
; (Regra do Produto)
= x2x
5
.
(
10x4 ln (x) + 2x4
)
= 2x2x
5
x4 (5 ln (x) + 1)
= 2x2x
5+4
(
ln
(
x5
)
+ 1
)
Lembrando que (ex)
′
= ex e (ln (x))
′
= 1
x
.
Exerćıcio 3.18 São dadas funções relacionadas com funções exponenciais e logaŕıtmicas. Calcule a derivada dê seu
domı́nio:
(i) f (x) = πx
(ii) f (x) = ln (|x|) , x 6= 0
(iii) f (x) = log2 (|x|) , x 6= 0
(iv) f (x) = log10 (|x|) , x 6= 0
(v) f (x) = x5 + 5x
(vi) f (x) = 2xx2
(vii) f (x) = xx
2
, x > 0
(viii) f (x) = lncos(x) (x) , x > 1
(ix) f (x) = 5sen(x)
(x) f (x) = ln (ln (x)) , x > 1
(xi) f (x) = esen(x)
(xii) f (x) = (2x)
3x
, x > 0
Exerćıcio 3.19 (i) Que valores devem ter as constantes a, b e c se as curvas y = x2 + ax + b e y = cx − x2 têm a
mesma tangente no ponto (3, 3)?
(ii) Ache a equação da reta normal (= perpendicular à tangente) à curva y = x − x2 no ponto (1, 0). Onde essa reta
intesecta a curva uma segunda vez?
(iii) Qual a equação da reta normal à curva y = e2x no ponto cuja abscissa é nula?
Exerćıcio 3.20 Determine todos os pontos da hipérbole y = 6
x
em que a reta tangente é paralela à reta 2x+3y+1 = 0.
Exerćıcio 3.21 Verifique a veracidade das equações (diferenciais ordinárias) abaixo:
(i) y′′ +w2y = 0 quando y = cos (wt).
(ii) (1− x)y′′ = 2y′ quando y = x+1
x−1 .
(iii) (y′)
2
+ yy′′ = 1 quando y =
√
x2 + 1.
Exerćıcio 3.22 Determinar uma fórmula geral para y(n) (derivada de ordem n de y) quando:
(i) y = 1
1−x (ii) y = x
1+x (iii) y = 1
a+bx
Exerćıcio 3.23 Dada a função posição s (t) de um móvel em relação ao tempo, define-se a sua velocidade escalar ins-
tantânea e a sua aceleração escalar instantânea no instante t como sendo v (t) = s′ (t) e a (t) = v′ (t), respectivamente.
Obtenha estas funções nos casos abaixo:
(i) s (t) = 7.
(ii) s (t) = 5+ 3t.
(iii) s (t) = 2+ 3t− 5t2.
(iv) s (t) = 3t2 + t3.
(v) s (t) = 5 (2t).
(vi) s (t) = 2 cos (t).
(vii) s (t) = 5 cos
(
3t+ π
7
)
.
(viii) s (t) = A cos (ωt+ϕ0), sendo A > 0, ω e ϕ0 constantes.
Exerćıcio 3.24 Mostre que se a > 0 e g : D ⊂ R→ R é derivável, então
[
ag(x)
]′
= ag(x) ln (a)g′ (x).
Exerćıcio 3.25 Mostre que se f, g : D ⊂ R→ R são deriváveis e f (x) > 0, entãoî
f (x)
g(x)
ó′
= f (x)
g(x)
g′ (x) ln (f (x)) + g (x) f (x)
g(x)−1
f′ (x) .
Observe que a primeira parcela é a derivada de f (x)
g(x)
supondo f constante e a segunda parcela é a derivada
de f (x)
g(x)
supondo g constante.
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Exerćıcio 3.26 Seja g : R→ R uma função derivável tal que g (2) = 2 e g′ (2) = 2. Calcule H′ (2) sendo H dada por
H (x) = g (g (g (x))).
Exerćıcio 3.27 Mostre, utilizando a definição de derivada:
(i) Se f (x) = xn, n ∈ N, então f′ (x) = nxn−1.
(ii) Se f (x) = x−n = 1
xn
, n ∈ N, então f′ (x) = −nx−n−1 = − n
xn+1 .
(iii) Se f (x) = x
1
n = n
√
x, n ∈ N, então f′ (x) = 1
n
x
1
n
−1 = 1
n
n√
xn−1
.
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Caṕıtulo 4
Aplicações das Funções Derivadas
Neste caṕıtulo vamos apresentar algumas das principais aplicações das derivadas nos mais diversos problemas. Há
aplicações mais voltadas para a própria Matemática, como o traçado rigoroso de gráficos de funções reais de uma
variável real, e a chamada Regra de L’Hospital para o cálculo de determinados limites. Mas há também aplicações
mais voltadas para as Ciências Aplicadas, como os importantes problemas envolvendo as chamadas taxas de variações
e os problemas de otimização, nos quais se busca maximizar ou minimizar uma função que modela matematicamente
determinada situação ou problema prático. Trata-se de um caṕıtulo imprescind́ıvel para o aprendizado do Cálculo.
Enfatizamos que os inúmeros exerćıcios na última seção deste caṕıtulo são parte importante do texto. Portanto,
recomendamos que o leitor se empenhe na resolução dos mesmos.
4.1 Interpretação da Derivada como Taxa de Variação Instantânea
Motivação:
Considere que um objeto inicia um movimento ao longo de um caminho retiĺıneo que está associado a um semieixo
cartesiano, com origem O, cuja unidade de medida é o metro. Considere, ainda, que a função posição (coordenada)
do objeto ao longo do caminho seja dada por
s (t) = 5t2,
sendo t > 0 o tempo, medido em segundos (s) e s (t) medido em metros (m).
Logo:
- No instante t = 0 s, o objeto encontra-se na posição s (0) = 5.02 = 0 m do caminho.
- No instante t = 1 s, o objeto encontra-se na posição s (1) = 5.12 = 5 m do caminho.
- No instante t = 2 s, o objeto encontra-se na posição s (2) = 5.22 = 20 m do caminho.
...
- No instante t = t0 s, o objeto encontra-se na posição s (t0) = 5t
2
0 m do caminho.
0 m 5 m 20 m
t 0 s= t 1 s= t 2 s=
caminho
Figura: Percebemos que a velocidade do objeto está variando, ou seja, não é constante.
Antes de prosseguirmos algumas observações interessantes:
(i) A velocidade é uma grandeza vetorial. Portanto, ela é caracterizada por módulo (velocidade escalar), direção
e sentido de percurso do objeto no espaço. Geralmente a representamos por um vetor posicionado com origem
no objeto que se desloca no espaço. Entretanto, quando consideramos um movimento retiĺıneo ao longo de um
eixo cartesiano, a direção fica univocamente estabelecida e inalterada e, portanto, o estudo da velocidade pode ser
restrito ao estudo da velocidade escalar e o sentido de percurso (expresso pelo sinal da velocidade). É o que estamos
fazendo com o exemplo acima.
(ii) Observemos que, no exemplo acima, a função s (t), posição do objeto ao longo do caminho no instante t
segundos, é equivalente à distância do objeto até o ponto O no instante t segundos. É importante ter em
mente que essa associação posição-distância geralmente só vale para movimentos retiĺıneos, ou seja, de um modo
geral, a função posição S (t) de um objeto em movimento no plano ou no espaço pode não coincidir com a distância
do objeto a um ponto fixado (até porque, no plano ou no espaço, a posição é vetor e a distância é número).
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Observemos, também que, de um modo geral, para descrevermos precisamente o movimento de um objeto no plano
ou no espaço precisamosnecessariamente conhecer a função posição S (t) (ou seja, as coordenadas) deste objeto no
espaço a cada instante t de tempo; não sendo suficiente apenas a distância do objeto a um ponto fixado.
(iii) Como a função s (t), do exemplo acima, também é crescente (ou seja, s (t) sempre aumenta à medida em que
t aumenta), então a função posição s (t) também é equivalente à distância percorrida pelo objeto ao longo do
caminho após t segundos. Aqui, mais uma vez, cabe a obsevação (ii) acima, ou seja, de um modo geral, a função
posição S (t) de um objeto no plano ou no espaço, no instante t segundos, não expressa, necessariamente, a distância
percorrida pelo objeto após t segundos. Aliás, podemos ter situações até mesmo com movimentos retiĺıneos em que
não ocorre essa equivalência entre posição do objeto e distância percorrida; basta pensar um movimento oscilatório,
em que o objeto possa percorrer ambos os sentidos de percurso ao longo do caminho.
Algumas perguntas:
(1′) Quão rápido está variando a posição do objeto ao longo do caminho, em relação ao tempo, em um determinado
instante?
ou, equivalentemente:
(1′′) Qual é a taxa de variação da posição do objeto ao longo do caminho, em relação ao tempo, em um determinado
instante?
ou, equivalentemente:
(1′′′) Qual é a velocidade instantânea (ou exata) do objeto em determinado instante?
Se preferir, tendo em mente a observação (ii) que fizemos acima, podemos podemos reformular as perguntas (1′)
e (1′′) acima do seguinte modo:
(2′) Quão rápido está crescendo a distância do objeto ao ponto O, em relação ao tempo, em um determinado
instante?
ou, equivalentemente:
(2′′) Qual é a taxa de crescimento da distância do objeto ao ponto O, em relação ao tempo, em um determinado
instante?
Antes de prosseguirmos, mais uma pausa para reflexão:
A velocidade média de um objeto é definida como sendo a razão entre a distância percorrida pelo objeto e o
tempo gasto para o objeto percorrer essa distância, ou seja,
vm = distância percorrida
tempo gasto .
Quanto a descrição do movimento do objeto é dada por uma função posição s (t) que também é a distância
percorrida pelo objeto, podemos escrever
vm = ∆s
∆t
= s(t2)−s(t1)
t2−t1
, sendo t2 > t1.
No caso do movimento retiĺıneo que estamos considerando no exemplo, s (t) é a posição do objeto ao longo de
uma reta orientada, portanto, s (t) é número (coordenada do objeto no eixo). Logo, a depender da expressão de
s (t), se tivermos s (t2) < s (t1), então vm é negativa, o que indica que o sentido de percurso do objeto é contrário
à orientação da reta.
Chamando de v (t) a velocidade instantânea do objeto no instante t, uma aproximação de v (t) é dada pela
velocidade média do objeto no “trecho” de s (t) e s (t+ h) para h pequeno, ou seja,
v (t) ∼=
s(t+h)−s(t)
(t+h)−t = s(t+h)−s(t)
h
m/s.
Por exemplo:
- Se t = 1 s e h = 0, 1 então v (1) ∼=
s(1,1)−s(1)
0,1
= 5.(1,1)2−5.12
0,1
= 10, 5 m/s.
- Se t = 1 s e h = 0, 01 então v (1) ∼=
s(1,01)−s(1)
0,01
= 5.(1,01)2−5.12
0,01
= 10, 05 m/s.
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É claro que quanto menor for h, melhor será a aproximação da velocidade instantânea v (t) no instante t pela
velocidade média no “trecho” de s (t) a s (t+ h).
Assim, é natural definir a velocidade instantânea v (t) como sendo o limite das velocidades médias quando h
tende a 0, ou seja,
v (t) = lim
h→0 s(t+h)−s(t)h
= s′ (t) m/s .
No nosso exemplo, v (1) = s′ (1) = 2.5.12 = 10 m/s.
Genericamente:
v (t) = s′ (t) = 10t m/s.
Isso nos motiva a considerar a seguinte definição, de cunho geral:
A taxa de variação instantânea (ou taxa de crescimento/decrescimento) de uma função f : X ⊂ R→ R,
em relação a sua variável, em um ponto x ∈ X é dada pela derivada de f em x, ou seja, f′ (x), caso a derivada
exista.
Desta forma, generalizando, a velocidade instantânea de um objeto em movimento no espaço no instante t é a
taxa de variação da função posição s (t) desse objeto, em relação ao tempo, no instante t.
É claro que, no caso de movimentos de objetos no plano ou no espaço, ainda não sabemos derivar as respecti-
vas funções S (t) (que são funções vetoriais cujas imagens são pares ou ternas ordenadas). Esse é um assunto que
retomaremos mais adiante, quando estudarmos funções com várias variáveis e funções vetoriais.
Exemplo 4.1 Consideremos um objeto em movimento por um caminho retiĺıneo cuja distância a um ponto O (em
metros), em função do tempo (em segundos), é dada por s (t) = 39, 2t + 4, 9t2, t > 0 (ou seja, s (t) é posição do
objeto ao longo do caminho e, também, s (t) é a distância percorrida pelo objeto). Sabendo-se que a taxa de variação
da posição do objeto em relação ao tempo é a velocidade (instantânea); e que a taxa de variação da velocidade em
relação ao tempo é a aceleração; vamos verificar se o movimento é uniformemente acelerado e qual é a distância até
O, velocidade e aceleração do objeto em t = 0 s e t = 1 s.
Temos:
s (t) = 39, 2t+ 4, 9t2 m (distância até O)
v (t) = s′ (t) = 39, 2+ 9, 8t m/s (velocidade)
a (t) = v′ (t) = 9, 8 m/s2 (aceleração)
Como a aceleração é constante, o movimento é uniformemente acelerado.
Para t = 0 s:
s (0) = 0 m (o objeto partiu de O).
v (0) = 39, 2 m/s (o objeto não partiu do repouso).
a (0) = 9, 8 m/s2.
Para t = 1 s:
s (1) = 44, 1 m (de O).
v (1) = 49 m/s (a velocidade está aumentando).
a (1) = 9, 8 m/s2.
4.2 Taxas Relacionadas
É frequente problemas envolvendo duas taxas de crescimento ou decrescimento (variação) que estão relacionadas
ou vinculadas. Por exemplo, quando enchemos uma bexiga com formato esférico, a taxa de crescimento do volume
interno em relação ao tempo está relacionada com a taxa de crescimento do raio de bexiga, também em relação ao
tempo.
Geralmente, conhecendo-se uma taxa, podemos calcular a outra taxa relacionada usando a Regra da Cadeia.
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Exemplo 4.2 Suponha que a taxa de crescimento do volume de uma bexiga esférica em relação ao tempo é constante
e de 100 cm3/s (fluxo). Qual é a taxa de crescimento do raio da bexiga, também em relação ao tempo (velocidade de
crescimento do raio), no instante em que o raio da bexiga é de 25 cm ?
Resolução:
Temos
r100 cm s3/
Figura: Bexiga esférica que está sendo inflada.
V (r) = 4
3
πr3 : volume da bexiga em função do raio.
v (t) : volume da bexiga em função do tempo.
v′ (t) = 100 cm3/s : taxa de crescimento do volume da bexiga em relação ao tempo (fluxo).
r (t) : raio da bexiga em função do tempo.
r′ (t) : taxa de crescimento do raio da bexiga em relação ao tempo (velocidade).
Notemos que, neste exemplo, a taxa de variação v′ (t) é constante, ou seja, não depende do tempo.
É claro que
v (t) = V (r (t)) ,
ou seja, os volumes em função do tempo são iguais.
Queremos r′ (t) no instante t = t0 em que o raio da bexiga é de 25 cm, ou seja, queremos r′ (t) quando r (t0) = 25
cm.
Pela Regra da Cadeia, de v (t) = V (r (t)),
v′ (t) = (V (r (t)))
′
= V ′ (r (t)) .r′ (t) .
Como
V (r) = 4
3
πr3 ⇒ V ′ (r) = 4πr2 ⇒ V ′ (r (t)) = 4π (r (t))
2
.
No instante t = t0 desejado:
v′ (t0) = V
′ (r (t0)) .r
′ (t0) = 4π (r (t0))
2
.r′ (t0)⇒ 100 = 4π (25)
2
.r′ (t0)⇒ r′ (t0) =
1
25π
cm/s,
ou seja, o raio da bexiga está crescendo à taxa de 1
25π
cm/s quando seu raio é de 25 cm.
Exemplo 4.3 Dois carros A e B estão trafegando por estradas perpendiculares conforme o esquema abaixo.
A
B
Figura: Carros que se aproximam em um cruzamento.
Suponhamos que as velocidades constantes dos carros A e B sejam 50 km/h e 60 km/h, respectivamente.
Qual é a velocidadede aproximação dos carros no instante em que eles estão a 300 m e 400 m, respectivamente,
do cruzamento das estradas?
Resolução:
Consideremos o esquema:
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A O
B
0 3 km,
0 4 km,
50 km h/
60 km h/
Figura: Triângulo retângulo proveniente da situação exposta.
Temos:
x (t) : distância entre A e O em função do tempo.
x′ (t) = −50 km/h : taxa de decrescimento da distância entre A e O em relação ao tempo.
y (t) : distância entre B e O em função do tempo.
y′ (t) = −60 km/h : taxa de decrescimento da distância entre B e O em relação ao tempo.
d (t) : distância entre A e B em função do tempo.
Observemos que as taxas x′ (t) e y′ (t) são negativas porque as distâncias de A e B até O estão diminuindo à
medida que o tempo passa.
Queremos d′ (t), que é a taxa de variação da distância entre A e B, em relação ao tempo, quando t = t0 é tal que
x (t0) = 0, 3 km e y (t0) = 0, 4 km. Em palavras mais simples, d′ (t) é a velocidade de aproximação entre A e B.
Pelo Teorema de Pitágoras e Regra da Cadeia,
d (t)
2
= x (t)
2
+ y (t)
2 ⇒ 2d (t)d′ (t) = 2x (t) x′ (t) + 2y (t)y′ (t)⇒ d (t)d′ (t) = x (t) x′ (t) + y (t)y′ (t) .
No instante t = t0 temos
d (t0) =
»
x (t0)
2
+ y (t0)
2
=
√
0, 32 + 0, 42 = 0, 5
portanto,
d (t0)d
′ (t0) = x (t0) x
′ (t0) + y (t0)y
′ (t0)⇒ 0, 5.d′ (t0) = 0, 3 (−50) + 0, 4 (−60)⇒ d′ (t0) = −78 km/h.
Logo, no instante t = t0 do enunciado, os carros A e B estão se aproximando à velocidade de 78 km/h.
Exemplo 4.4 Um recipiente cheio de água com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado a uma taxa de 6
cm3/min (fluxo). A altura do cone é de 24 cm e o raio da base é de 12 cm. Encontre a velocidade com que o ńıvel
da água está abaixando quando sua altura for de 10 cm.
Resolução.
Considere a figura abaixo.
12 cm
24 cm
r
h
6 cm min3/
Figura: Cone com água escoando.
Temos:
h
r
= 24
12
⇒ r = h
2
(colocando r em função de h)
V = πr2h
3
⇒ V (h) = πh3
12
: volume do ĺıquido em função da altura.
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Mas r = r (t) e h = h (t), ou seja, o raio e a altura do cone de ĺıquido variam com o tempo. Logo,
V (h (t)) = πh(t)3
12
.
Por outro lado, chamando de v (t) o volume do cone de ĺıquido em função do tempo, temos v′ (t) = −6 cm3/min
a taxa de variação de seu volume em relação ao tempo (negativa porque o volume está diminuindo).
Deste modo, temos duas funções do volume do cone de ĺıquido em função do tempo. Portanto:
v (t) = V (h (t)) = πh(t)3
12
.
Queremos h′ (t0) no instante t0 em que h (t0) = 10 cm.
Logo, pela Regra da Cadeia,
v′ (t) = V ′ (h (t)) .h′ (t) = πh(t)2
4
h′ (t) .
Em t = t0 temos
v′ (t0) =
πh(t0)
2
4
h′ (t0)⇒ −6 = π102
4
h′ (t0)⇒ h′ (t0) = − 6
25π
cm/min.
Observemos que h′ (t0) é negativa porque a altura h está diminuindo à medida que o tempo passa.
Exemplo 4.5 Considere um triângulo ABC articulado nos vértices tal modo que A (0, 0), C (x, 0), d (A,B) = 3 cm e
d (B,C) = 5 cm (x está variando). Suponha que a taxa de variação da medida do ângulo  seja de 1
2
rad/s no sentido
anti-horário. Determine a velocidade com que C se aproxima de A quando ângulo  medir π
2
rad.
Resolução.
Consideremos a figura abaixo.
3 cm
5 cm
A
B
C
x t( ) x
y
q( )t
Figura: Triângulo articulado.
Sejam
θ (t) : medida do ângulo  em função do tempo.
x (t) : distância de C até A em função do tempo.
θ′ (t) = 1
2
rad/s : taxa de variação da medida do ângulo  em relação ao tempo.
Queremos x′ (t0) quando t = t0 é tal que θ (t0) =
π
2
rad, ou seja, quando x (t0) = 4 cm.
3 cm 5 cm
A
B
Cx t( )0
x
y
q( )t0
Figura: Triângulo no instante t = t0 tal que θ (t0) =
π
2
.
Pela Lei dos Cossenos aplicada ao triângulo ABC (qualquer) da penúltima figura:
52 = 32 + x (t)
2
− 2.3.x (t) . cos (θ (t))⇒
0 = 0+ 2x (t) x′ (t) − 6x′ (t) cos (θ (t)) − 6x (t) (− sen (θ (t))) θ′ (t) .
Para t = t0 da última figura (ABC retângulo em Â) temos
0 = x (t0) x
′ (t0) − 3x
′ (t0) cos (θ (t0)) + 3x (t0) sen (θ (t0)) θ
′ (t0)⇒
0 = 4x′ (t0) − 3x
′ (t0) cos
(
π
2
)
+ 3.4. sen
(
π
2
)
.1
2
⇒
0 = 4x′ (t0) + 6⇒
x′ (t0) = −3
2
cm/s.
Sinal negativo: o ponto C está se aproximando de A.
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Exemplo 4.6 Uma lâmpada é colocada em um poste a 5 m de altura. Se um homem de 2 m de altura caminha
afastando-se da lâmpada a uma velocidade constante de 5 m/s, com que velocidade se alonga sua sombra?
Resolução.
Temos a figura abaixo.
5 m
x t( )
2 m
y t( )
Figura: Poste, homem e sombra.
Sejam
x (t) : comprimento da sombra em função do tempo.
y (t) : distância do homem ao poste em função do tempo.
y′ (t) = 5 m/s taxa de crescimento da distância do homem ao poste em relação ao tempo. (velocidade do homem)
Queremos x′ (t).
Temos
5
2
= y(t)+x(t)
x(t) ⇒ 5
2
= y(t)
x(t) + 1⇒ 2y (t) = 3x (t)⇒ 2y′ (t) = 3x′ (t)⇒ 2.5 = 3.x′ (t)⇒ x′ (t) = 10
3
m/s.
Logo, a sombra do homem está crescendo a uma taxa de 10
3
m/s, ou seja, a velocidade de alongamento da sombra
do homem é de 10
3
m/s.
4.3 Máximos e Mı́nimos Locais
Desta seção em diante, quando for conveniente, vamos abusar um pouco da linguagem e tomar emprestado a
palavra “ponto” para designar um número real. Isso até que não é de todo estranho. Lembremos que no Caṕıtulo ??
associamos o conjunto R dos números reais à reta (o que deu origem à reta real ou eixo) e, portanto, cada número
real está representado na reta por um ponto (e vice-versa). Como no plano cartesiano, quando lidamos com gráficos, o
domı́nio de uma função real de uma variável real é representado sobre o eixo das abscissas, cremos que neste contexto
é até natural chamar um número de “ponto”.
Dizemos que x0 ∈ X ⊂ R é ponto de máximo local de f : X ⊂ R→ R quando existir uma vizinhança ]a, b[ de x0
tal que f (x) 6 f (x0) para todo x ∈ ]a, b[ ∩ X.
y
xba x0
gráfico de ff( )x0
x
f( )x
A imagem f (x0) é chamada de valor máximo local de f.
Analogamente, dizemos que x0 ∈ X ⊂ R é ponto de mı́nimo local de f : X ⊂ R → R quando existir uma
vizinhança ]a, b[ de x0 tal que f (x) > f (x0) para todo x ∈ ]a, b[ ∩ X.
y
xba x0
gráfico de f
f( )x0
x
f( )x
A imagem f (x0) é chamada de valor mı́nimo local de f.
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Proposição 4.1 (Lema do Teorema de Rolle) Seja a função cont́ınua f : [a, b]→ R, derivável em ]a, b[. Se x0 ∈ ]a, b[
é ponto de máximo local ou ḿınimo local de f, então f′ (x0) = 0.
y
xx1
gráfico de f
x0
reta tangente
reta tangente
Observações:
(1) A reta tangente ao gráfico de f em (x0, f (x0)) é horizontal.
(2) A rećıproca da proposição acima não é verdeira. Por exemplo: f (x) = x3 é derivável em R e tal que f′ (0) = 0,
mas x0 = 0 não é ponto de máximo e nem ponto de mı́nimo local de f.
y
x0
1
1
f
Em matemática dizemos que f′ (x0) = 0 é uma condição necessária, mas não suficiente, para que x0 seja ponto
extremo local de f.
4.4 Teoremas de Rolle e do Valor Médio
O Teorema de Rolle, enunciado abaixo, é demonstrado a partir do Teorema de Weierstrass (Proposição 2.8) que
vimos no Caṕıtulo 2, na Seção 2.9, que trata de teoremas importantes envolvendo continuidade.
Proposição 4.2 (Teorema de Rolle) Seja a função cont́ınua f : [a, b]→ R, derivável em ]a, b[ e tal que f (a) = f (b).
Então, existe c ∈ ]a, b[ tal que f′ (c) = 0.
y
x
f a( ) = ( )f b
a bc
gráfico de f
Demonstração.
Se f for uma funçãoconstante, então f′ (x) = 0 para quaisquer x ∈ ]a, b[ e, portanto, o resultado é verdadeiro.
Se f não for constante, então, pelo Teorema de Weierstrass, existem xm, xM ∈ [a, b] tais que f (xm) 6 f (x) 6
f (xM) para qualquer x ∈ [a, b].
Mas de f (xm) 6 f (x) 6 f (xM) temos:{
f não é constante⇒ f (xm) 6= f (xM)
f (a) = f (b)⇒ xm e xM não são os dois extremos do intervalo [a, b]
.
Logo, xm ∈ ]a, b[ é ponto de mı́nimo local de f ou, então, xM ∈ ]a, b[ é ponto de máximo local de f. Pela
Proposição 4.1 temos, no primeiro caso, que f′ (xm) = 0 e, no segundo caso, que f′ (xM) = 0.
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Conclusão: existe c ∈ ]a, b[ tal que f′ (c) = 0. �
Observemos que, geometricamente, o Teorema de Rolle garante a existência de pelo menos uma reta tangente
horizontal ao gráfico de f.
Além disso, o Teorema de Rolle é utilizado na demonstração do important́ıssimo Teorema do Valor Médio, enun-
ciado abaixo.
Proposição 4.3 (Teorema do Valor Médio - Lagrange) Seja a função cont́ınua f : [a, b] → R, derivável em ]a, b[.
Então, existe c ∈ ]a, b[ tal que f (b) − f (a) = f′ (c) (b− a).
y
xa bc
f c( )
f a( )
f b( )
gráfico de f
f b( ) - f a( )
b - a
r
s
r s//
Demonstração.
Definamos
g (x) = f (x) − f (a) − f(b)−f(a)
b−a (x− a) .
Logo, g : [a, b]→ R é cont́ınua e derivável em ]a, b[.
Mas g (a) = 0 = g (b). Logo, g cumpre as hipóteses do Teorema de Rolle. Portanto, existe c ∈ ]a, b[ tal que
g′ (c) = 0.
Mas
g′ (x) = f′ (x) − f(b)−f(a)
b−a ⇒ g′ (c) = f′ (c) − f(b)−f(a)
b−a ⇒ 0 = f′ (c) − f(b)−f(a)
b−a ⇒ f′ (c) = f(b)−f(a)
b−a .
�
Observemos que, geometricamente, o Teorema do Valor Médio garante a existência de pelo menos uma reta tangente
ao gráfico de f com coeficiente angular f(b)−f(a)
b−a .
Proposição 4.4 (Corolário 1 do Teorema do Valor Médio) Seja a função cont́ınua f : [a, b]→ R, derivável em ]a, b[.
Se f′ (x) = 0 para qualquer x ∈ ]a, b[, então f é constante.
y
xa bx
f x( )
gráfico de f
Demonstração.
Sejam x1, x2 ∈ [a, b] tais que a 6 x1 < x2 6 b.
Pelo Teorema do Valor Médio, existe c ∈ ]x1, x2[ tal que f′ (c) = f(x2)−f(x1)
x2−x1
.
Mas, por hipótese, f′ (c) = 0. Logo, f (x2) = f (x1).
Como x1 6= x2 são arbitrários, temos f (x) = k para qualquer x ∈ [a, b]. �
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Proposição 4.5 (Corolário 2 do Teorema do Valor Médio) Sejam as funções cont́ınuas f, g : [a, b] → R, deriváveis
em ]a, b[. Se f′ (x) = g′ (x) para qualquer x ∈ ]a, b[, então existe k ∈ R tal que f (x) = g (x) + k para qualquer
x ∈ [a, b].
y
xa bx
g x( )
g a( )
g b( ) gráfico de g
f a( )
f b( )
g x k f x( ) + = ( )
gráfico de f
Demonstração.
Seja h (x) = f (x) − g (x) para qualquer x ∈ [a, b].
Logo, h′ (x) = f′ (x) − g′ (x) = 0 para qualquer x ∈ ]a, b[.
Mas de h′ (x) = 0 para qualquer x ∈ ]a, b[ temos, pelo coroláro acima, que h (x) = k para qualquer x ∈ [a, b].
Portanto, f (x) = g (x) + k para qualquer x ∈ [a, b]. �
O Teorema do Valor Médio é utilizado na demonstração do teorema mais importante do Cálculo Diferencial e
Integral de funções reais de uma variável real, que é o Teorema Fundamental do Cálculo. Trata-se de um teorema que
relaciona integrais com derivadas e será visto mais adiante.
4.5 Funções Monótonas: crescimento e decrescimento
Dizemos que f : X ⊂ R→ R é crescente em A ⊂ X quando para quaisquer x1 < x2 em A temos f (x1) < f (x2).
x
y
x2
f( )x2
gráfico de f
x1
f( )x1
Dizemos que f : X ⊂ R→ R é decrescente em A ⊂ X quando para quaisquer x1 < x2 em A temos f (x1) > f (x2).
x
y
x2
f( )x1
gráfico de f
x1
f( )x2
Dizemos que f : X ⊂ R → R é monótona em seu domı́nio quando f for ou crescente, ou decrescente, em seu
domı́nio.
Exemplo 4.7 A função f : R → R dada por f (x) = x2 é crescente em A1 = [0,+∞) ⊂ R e decrescente em
A2 = (−∞, 0] ⊂ R, portanto, não é monótona em R.
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0 x
y
A2 A1
Exemplo 4.8 A função f : R→ R dada por f (x) = x3 é crescente em R e, portanto, monótona em R.
y
x0
Proposição 4.6 (Corolário 3 do Teorema do Valor Médio) Sejam a função derivável f : X ⊂ R → R e [a, b] ⊂ X.
Então:
(i) Se f′ (x) > 0 para qualquer x ∈ ]a, b[ ⊂ X, então f é crescente em [a, b].
(ii) Se f′ (x) < 0 para qualquer x ∈ ]a, b[ ⊂ X, então f é decrescente em [a, b].
y
xx1
gráfico de f
x0
f x 0¢( ) >0
f x 0¢( ) <1
Demonstração.
Sejam x1, x2 ∈ [a, b] tais que a 6 x1 < x2 6 b.
Pelo Teorema do Valor Médio, existe c ∈ ]x1, x2[ tal que f′ (c) = f(x2)−f(x1)
x2−x1
.
Se f′ (c) > 0, então f (x2) − f (x1) > 0, ou seja, f (x1) < f (x2). Portanto, f é crescente em [a, b].
Se f′ (c) < 0, então f (x2) − f (x1) < 0, ou seja, f (x1) > f (x2). Portanto, f é decrescente em [a, b]. �
Exemplo 4.9 Dada f : R→ R tal que f (x) = 2x3−3x2−12x+12, determinemos os intervalos nos quais f é crescente
ou decrescente.
Precisamos calcular a derivada de f e fazer o estudo de sinal dessa derivada. Assim,
f′ (x) = 6x2 − 6x− 12.
Sendo f′ uma função cont́ınua, suas ráızes desempenham um papel importante da divisão de seu domı́nio em intervalos.
As ráızes de f′ são −1 e 2 (verifique). No plano cartesiano, o gráfico de f′ é uma parábola com concavidade para cima
e sua intersecção com o eixo x se dá em pontos cujas abscissas são as ráızes reais de f′.
Desta forma, temos f′ (x) < 0 para x ∈ ]−1, 2[ e f′ (x) > 0 para x ∈ ]−∞,−1[ ∪ ]2,+∞[.
De acordo com a Proposição 4.6 acima, isto significa que:{
f é decrescente no intervalo [−1, 2] e
f é crescente na reunião de intervalos ]−∞,−1] ∪ [2,+∞[ .
x-1 2
sinal de f¢
x-1 2
crescimento/decrescimento de f
+ +-
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Na figura abaixo temos os gráficos de f e f′, que sintetizam nossas conclusões acima.
y
x
gráfico de f
0-1
10
2
y
x0-1
10
2
y
x0-1
10
2
gráfico de f¢
gráficos de e ff ¢
( )gráficos fora de escala
Exemplo 4.10 Dada f : R→ R tal que f (x) = x
1+x2
, determinemos os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
Precisamos calcular a derivada de f e fazer o estudo de sinal dessa derivada. Assim,
f′ (x) =
(1).(1+x2)−(x).(2x)
(1+x2)2
= 1−x2
(1+x2)2
.
Sendo f′ uma função cont́ınua, suas ráızes desempenham um papel importante da divisão de seu domı́nio em
intervalos. As ráızes de f′ são −1 e 1 (verifique).
O sinal de f′ depende apenas de seu numerador, pois seu denominador é sempre positivo para qualquer x. Mas o
numerador n (x) = 1 − x2 de f′ é uma função quadrática, cujo gráfico no plano cartesiano possui concavidade para
baixo e passa pelos pontos de abscissas −1 e 1 (que também são as ráızes do numerador).
Desta forma, temos f′ (x) < 0 para x ∈ ]−∞,−1[ ∪ ]1,+∞[ e f′ (x) > 0 para x ∈ ]−1, 1[.
De acordo com a Proposição 4.6 acima, isto significa que:{
f é decrescente na reunião de intervalos ]−∞,−1] ∪ [1,+∞[ e
f é crescente no intervalo [−1, 1] .
x-1 1
sinal de f¢
x-1 1
crescimento/decrescimento de f
- -+
Na figura abaixo temos os gráficos de f e f′, que sintetizam nossas conclusões acima.
y
x
gráfico de f
0-1
1 gráfico de f¢ gráficos de e ff ¢
( )gráficos fora de escala
1
y
x0
-1
1
1
y
x0
-1
1
1
gráfico de n
Uma pergunta natural surge com esses dois exemplos. Em ambos, analisamos o sinal da derivada utilizando
informações vindas de parábolas no plano cartesiano, que é algo fácil de se fazer. Mas, e se a análise de sinal da
derivada recair sobre expressões dif́ıceis de estudar o sinal? Temos um procedimentoprático bastante útil para o caso
da derivada ser uma função cont́ınua.
Por exemplo, suponhamos que f′ seja cont́ınua em um intervalo ]a, b[ e que r1 < · · · < rn sejam todas as ráızes
reais de f′ desse intervalo. Consideremos os n+ 1 intervalos abertos I ⊂ ]a, b[ que podem ter extremos em:
• a e a raiz r1, ou seja, I = I0 = ]a, r1[;
• duas ráızes consecutivas ri e ri+1, ou seja, I = Ii = ]ri, ri+1[ com i = 1, . . . , n− 1;
• a raiz rn e b, ou seja, I = In = ]rn, b[.
Então, em cada intervalo aberto I ⊂ ]a, b[, o gráfico de f′ deve estar acima, ou então abaixo, do eixo x. Isto
significa que o sinal de f′ em um intervalo I não varia e, portanto, para descobri-lo, basta testar um valor escolhido
no intervalo I; em outras palavras, escolhemos um valor c ∈ I conveniente e calculamos f′ (c), descobrindo, assim, o
sinal de f′ no intervalo I.
A justificativa para o procedimento prático descrito acima vem do Teorema do Anulamento (Proposição 2.7, página
90), pois se em um intervalo I a derivada f′, cont́ınua, possuir dois sinais opostos, então deve existir uma raiz de f′ em
I, o que contraria a hipótese que estamos assumindo.
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Cálculo Diferencial e Integral 1 UFU Página 139 de 239 páginas
Abaixo segue uma ilustração que auxilia o entendimento deste processo prático. Neste caso, todas as ráızes reais
da função derivada cont́ınua f′ no intervalo ]a, b[ são r1, . . . , r6 (f′ pode ter mais ráızes fora de ]a, b[). Escolhamos
um intervalo I ⊂ ]a, b[ conforme descrito acima, por exemplo, I = I2 = ]r2, r3[ e tomemos um c ∈ I2. Como f′ (c) < 0,
isto significa que f′ (x) < 0 para qualquer x ∈ I2. Naturalmente, devemos escolher um c em cada um dos posśıveis
intervalos I e repetir a análise para concluir o estudo de sinais de f′ ao longo de todo o intervalo ]a, b[.
y
xa
f c( )¢
gráfico de f¢
cr1 r2 r3 r4 r5 r6
b
I
Proposição 4.7 Sejam a função derivável f : X ⊂ R→ R, ]a, b[ ⊂ X e x0 ∈ ]a, b[ tal que f′ (x0) = 0. Então:
(i) Se f′ (x) > 0 em ]a, x0[ e f′ (x) < 0 em ]x0, b[, então x0 é ponto de máximo local de f.
(ii) Se f′ (x) < 0 em ]a, x0[ e f′ (x) > 0 em ]x0, b[, então x0 é ponto de ḿınimo local de f.
(iii) Se f′ (x) > 0 em ]a, x0[ e f′ (x) > 0 em ]x0, b[, então x0 não é ponto de ḿınimo e nem de máximo local de f.
(iv) Se f′ (x) < 0 em ]a, x0[ e f′ (x) < 0 em ]x0, b[, então x0 não é ponto de ḿınimo e nem de máximo local de f.
y
xx1
gráfico de f
x2 x3 x4
máximo local mínimo local
1
2
3 4
Dada f : X ⊂ R→ R derivável, x0 ∈ X tal que f′ (x0) = 0 é chamado de ponto cŕıtico de f.
Exemplo 4.11 Dada f : R → R tal que f (x) = x7
7
− 3
2
x6 + 29
5
x5 − 39
4
x4 + 6x3, encontremos e classifiquemos seus
pontos cŕıticos.
Temos f′ (x) = x6 − 9x5 + 29x4 − 39x3 + 18x2 = x2 (x− 1) (x− 2) (x− 3)
2
. Assim, x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2 e x3 = 3
são os pontos cŕıticos de f.
(a) Para x < 0 temos f′ (x) > 0, o que significa que f é crescente em ]−∞, 0[.
(b) Para 0 < x < 1 temos f′ (x) > 0, o que significa que f é crescente em ]0, 1[.
(c) Para 1 < x < 2 temos f′ (x) < 0, o que significa que f é decrescente em ]1, 2[.
(d) Para 2 < x < 3 temos f′ (x) > 0, o que significa que f é crescente em ]2, 3[.
(e) Para 3 < x temos f′ (x) > 0, o que significa que f é crescente em ]3,+∞[.
x10 2 3
x10 3
sinal de f¢
crescimento/decrescimento de f
++-++
2
De acordo com a proposição acima,
De (a) e (b) conclúımos que x0 = 0 não é ponto de mı́nimo e nem de máximo local de f.
De (b) e (c) conclúımos que x1 = 1 é ponto de máximo local de f.
De (c) e (d) conclúımos que x2 = 2 é ponto de mı́nimo local de f.
De (d) e (e) conclúımos que x3 = 3 não é ponto de mı́nimo e nem de máximo local de f.
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y
x
gráfico de f
1
ponto de
mínimo
local
0
1
2
3
ponto de
máximo
local
f 1( )
valor
máximo
local
f 2( )
valor
mínimo
local
Exemplo 4.12 Dada f : R→ R tal que f (x) = 2x3−3x2−12x+12, encontremos e classifiquemos seus pontos cŕıticos.
Temos f′ (x) = 6x2 − 6x− 12 = 6 (x+ 1) (x− 2). Assim, x0 = −1 e x2 = 2 são os pontos cŕıticos de f.
(a) Para x < −1 temos f′ (x) > 0, o que significa que f é crescente em ]−∞,−1[.
(b) Para −1 < x < 2 temos f′ (x) < 0, o que significa que f é decrescente em ]−1, 2[.
(c) Para 2 < x temos f′ (x) > 0, o que significa que f é crescente em ]2,+∞[.
De acordo com a proposição acima,
De (a) e (b) conclúımos que x0 = −1 é ponto de máximo local de f.
De (b) e (c) conclúımos que x1 = 2 é ponto de mı́nimo local de f.
Este exemplo tem seu gráfico esboçado no Exemplo 4.9, página 137, acima.
4.6 Concavidades em Gráficos de Funções
Seja f : X ⊂ R→ R derivável em ]a, b[ ⊂ X.
Dizemos que o gráfico de f é côncavo para cima em x0 ∈ ]a, b[ quando a reta tangente ao gráfico de f em
(x0, f (x0)) estiver abaixo do gráfico de f em uma vizinhança de x0, ou seja, f (x) > f (x0) + f
′ (x0) (x− x0) para x
próximo de x0.
y
x
x0
gráfico de f
x
f( )x
y f x f x x x= ( ) + ¢( )( - )0 0 0
f x f x x x( ) + ¢( )( - )0 0 0
Dizemos que o gráfico de f é côncavo para baixo em x0 ∈ ]a, b[ quando a reta tangente ao gráfico de f em
(x0, f (x0)) estiver acima do gráfico de f em uma vizinhança de x0, ou seja, f (x) < f (x0) + f
′ (x0) (x− x0) para x
próximo de x0.
y
x
x0
gráfico de f
x
f( )x
y f x f x x x= ( ) + ¢( )( - )0 0 0
f x f x x x( ) + ¢( )( - )0 0 0
Dizemos que o gráfico de f é côncavo para cima em ]a, b[ quando for côncavo para cima em qualquer x0 ∈ ]a, b[.
Dizemos que o gráfico de f é côncavo para baixo em ]a, b[ quando for côncavo para baixo em qualquer x0 ∈ ]a, b[.
Proposição 4.8 Seja f : X ⊂ R→ R duas vezes derivável em ]a, b[ ⊂ X. Seja x0 ∈ ]a, b[.
(i) Se f′′ (x0) > 0, então o gráfico de f é côncavo para cima em x0.
(ii) Se f′′ (x0) < 0, então o gráfico de f é côncavo para baixo em x0.
Exemplo 4.13 Dada f : R→ R tal que f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x+ 12, determinemos os intervalos nos quais o gráfico
de f é côncavo para cima ou côncavo para baixo.
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Cálculo Diferencial e Integral 1 UFU Página 141 de 239 páginas
Temos f′ (x) = 6x2 − 6x − 12 e f′′ (x) = 12x − 6 = 6 (2x− 1). Sendo x0 = 1
2
raiz de f′′ temos, de acordo com
proposição acima,
Para x < 1
2
, temos f′′ (x) < 0 e, portanto, o gráfico de f é côncavo para baixo no intervalo
]
−∞, 1
2
[
.
Para x > 1
2
, temos f′′ (x) > 0 e, portanto, o gráfico de f é côncavo para cima no intervalo
]
1
2
,+∞[.
x
sinal de f¢¢
x
concavidade do gráfico de f
+-
y
x
gráfico de f
0-1
10
2
( )gráfico fora de escala
1
2
1
2
1
2
Exemplo 4.14 Dada f : R → R tal que f (x) = x
x2+1
, determinemos os intervalos nos quais o gráfico de f é côncavo
para cima ou côncavo para baixo.
Temos f′ (x) =
(1)(x2+1)−(x)(2x)
(x2+1)2
= 1−x2
(x2+1)2
e f′′ (x) =
(−2x)(x2+1)
2
−(1−x2)2(x2+1)(2x)
(x2+1)4
= · · · = (2x)(x−
√
3)(x+
√
3)
(x2+1)3
.
Sendo x0 = −
√
3, x1 = 0 e x2 =
√
3 ráızes de f′′ temos, de acordo com proposição acima,
Para x < −
√
3, temos f′′ (x) < 0 e, portanto, o gráfico de f é côncavo para baixo no intervalo
ó
−∞,−√3î.
Para −
√
3 < x < 0, temos f′′ (x) > 0 e, portanto, o gráfico de f é côncavo para cima no intervalo
ó
−
√
3, 0
î
.
Para 0 < x <
√
3, temos f′′ (x) < 0 e, portanto, o gráfico de f é côncavo para baixo no intervalo
ó
0,
√
3
î
.
Para
√
3 < x, temos f′′ (x) > 0 e, portanto, o gráfico de f é côncavo para cima no intervalo
ó√
3,+∞î.
x
sinal de f¢¢
x
concavidade do gráfico de f
+
y
x
gráfico de f
0
-1
1( )gráfico fora de escala
1 Ö3
-Ö3
-Ö3
Ö30
0 Ö3
-Ö3
-+-
Proposição 4.9 (Teste da Derivada Segunda) Seja f : X ⊂ R → R duas vezes derivável em ]a, b[ ⊂ X. Seja
x0 ∈ ]a, b[ ponto cŕıtico def.
(i) Se f′′ (x0) > 0, então x0 é ponto de ḿınimo local.
(ii) Se f′′ (x0) < 0, então x0 é ponto de máximo local.
y
x
x0
gráfico de f f x 0
f x 0
¢( ) =
¢¢( ) <
0
0
y
x
x0
gráfico de ff x 0
f x 0
¢( ) =
¢¢( ) >
0
0
Exemplo 4.15 Dada f : R→ R nos casos abaixo, classifiquemos os pontos cŕıticos de f utilizando o Teste da Derivada
Segunda.
(i) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x+ 12.
Temos f′ (x) = 6x2 − 6x− 12 = 6 (x+ 1) (x− 2) e os pontos cŕıticos de f são x0 = −1 e x1 = 2.
Temos f′′ (x) = 12x− 6. Assim:
f′′ (−1) = −18 < 0 e, Pelo Teste da Derivada Segunda, x0 = −1 é ponto cŕıtico de máximo local.
f′′ (2) = 18 > 0 e, Pelo Teste da Derivada Segunda, x1 = 2 é ponto cŕıtico de mı́nimo local.
(ii) f (x) = x4 + 2x3 + x2 − 8.
Temos f′ (x) = 4x3 + 6x2 + 2x = 2x (x+ 1) (2x+ 1) e os pontos cŕıticos de f são x0 = −1, x1 = −1
2
e x2 = 0.
Temos f′′ (x) = 12x2 + 12x+ 2. Assim:
f′′ (−1) = 2 > 0 e, Pelo Teste da Derivada Segunda, x0 = −1 é ponto cŕıtico de mı́nimo local.
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f′′
(
−1
2
)
= −1 < 0 e, Pelo Teste da Derivada Segunda, x1 = −1
2
é ponto cŕıtico de máximo local.
f′′ (0) = 2 > 0 e, Pelo Teste da Derivada Segunda, x2 = 0 é ponto cŕıtico de mı́nimo local.
(iii) f (x) = x4 + 4x3.
Temos f′ (x) = 4x3 + 12x2 = 4x2 (x+ 3) e os pontos cŕıticos de f são x0 = 0 e x1 = −3.
Temos f′′ (x) = 12x2 + 24x. Assim:
f′′ (0) = 0 e o Teste da Derivada Segunda não pode ser aplicado neste caso.
f′′ (−3) = 36 > 0 e, Pelo Teste da Derivada Segunda, x1 = −3 é ponto cŕıtico de mı́nimo local.
Embora não se possa concluir a natureza do ponto cŕıtico x0 = 0 pelo Teste da Derivada Segunda, por meio da
análise de sinal da derivada, conclúımos facilmente que x0 = 0 não é ponto de máximo e nem de mı́nimo local de f.
Observação: no item (iii) do exemplo acima ocorreu a existência de um ponto cŕıtico x0 ∈ R tal que f′′ (x0) = 0 e
este ponto não é de máximo e nem de mı́nimo local de f. Entretanto, pode ocorrer que um ponto cŕıtico de f tal que
f′′ (x0) = 0 seja ponto de máximo ou de mı́nimo local de f.
Por exemplo, f : R→ R tal que f (x) = x4 é tal que f′ (x) = 4x3 e f′′ (x) = 12x2. Temos assim, que f′ (0) = f′′ (0) = 0
e x0 = 0 é ponto de mı́nimo local de f.
0 x
y
gráfico de f
Seja f : X ⊂ R→ R. Dizemos que x0 ∈ X é ponto de inflexão de f quando o gráfico de f muda de concavidade
em (x0, f (x0)).
y
x
gráfico de f
x0
f( )x0
Proposição 4.10 Seja f : X ⊂ R→ R duas vezes derivável em um ponto de inflexão x0 ∈ X de f. Então f′′ (x0) = 0.
Observação: a rećıproca da proposição acima é falsa, ou seja, f′′ (x0) = 0 não significa necessariamente que x0 é ponto
de inflexão de f. Um contra-exemplo, conforme visto acima, é dado por f (x) = x4. Entretanto, os pontos x0 tais
f′′ (x0) = 0 são candidatos a pontos de inflexão, uma vez que estes devem satisfazer f′′ (x0) = 0.
Exemplo 4.16 Encontremos os pontos de inflexão de f : R→ R tal que f (x) = x4 + 4x3.
Temos f′ (x) = 4x3 + 12x2 e f′′ (x) = 12x2 + 24x = 12x (x+ 2). Assim, as ráızes de f′′, que são x0 = −2 e x1 = 0
são candidatas a pontos de inflexão de f.
Observemos que:
Para x < −2, temos f′′ (x) > 0 e, portanto, o gráfico de f é côncavo para cima no intervalo ]−∞,−2[.
Para −2 < x < 0, temos f′′ (x) < 0 e, portanto, o gráfico de f é côncavo para baixo no intervalo ]−2, 0[.
Para 0 < x, temos f′′ (x) > 0 e, portanto, o gráfico de f é côncavo para cima no intervalo ]0,+∞[.
Conclusão: tanto x0 = −2 quanto x1 = 0 são pontos de inflexão de f.
4.7 Asśıntotas Não Verticais
Seja a função f : X ⊂ R→ R, sendo X não limitado superiormente ou não limitado inferiormente. Dizemos que
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a reta de equação reduzida y = ax+ b é uma asśıntota não vertical ao gráfico de f quando
lim
x→+∞ (f (x) − (ax+ b)) = 0 ou lim
x→−∞ (f (x) − (ax+ b)) = 0 .
Observemos que, se a = 0 (ou seja, y = b), temos lim
x→+∞ f (x) = b ou lim
x→−∞ f (x) = b, e recáımos na definição de
asśıntota horizontal já estudada.
y
x
gráfico de f
y ax b= +
assíntota do gráfico de f
Exemplo 4.17 Verifiquemos se f : R→ R, dada por f (x) =
√
x2 + 1, possui asśıntotas não verticais.
Suponhamos que exista uma reta de equação cartesiana y = ax+ b que seja uma asśıntota do gráfico de f. Logo,
devemos verificar se existem a e b reais tais que lim
x→+∞ (f (x) − (ax+ b)) = 0 ou lim
x→−∞ (f (x) − (ax+ b)) = 0.
Vejamos o primeiro caso:
lim
x→+∞ (f (x) − (ax+ b)) = 0⇒ lim
x→+∞
Ä√
x2 + 1− ax− b
ä
= 0⇒ lim
x→+∞
(»
x2
(
1+ 1
x2
)
− ax
)
= b⇒
lim
x→+∞
(
|x|
»
1+ 1
x2
− ax
)
= b⇒ lim
x→+∞
(
x
»
1+ 1
x2
− ax
)
= b⇒ lim
x→+∞ x
(»
1+ 1
x2
− a
)
= b.
Observemos que a única chance deste último limite ser um número real é quando lim
x→+∞
(»
1+ 1
x2
− a
)
= 0 pois,
caso contrário, teŕıamos lim
x→+∞ x
(»
1+ 1
x2
− a
)
= ±∞ (a depender do sinal de
»
1+ 1
x2
− a), ou mesmo a não
existência do limite.
Assim,
lim
x→+∞
(»
1+ 1
x2
− a
)
= 0⇒ lim
x→+∞
»
1+ 1
x2
= a⇒ 1 = a .
Com este valor de a, voltemos ao limite e verifiquemos se existe b:
lim
x→+∞ (f (x) − (ax+ b)) = 0⇒ lim
x→+∞
Ä√
x2 + 1− x
ä
= b⇒ lim
x→+∞ (x2+1)−x2√
x2+1+x
= b⇒ lim
x→+∞ 1√
x2+1+x
= b⇒ 0 = b .
Conclusão: a reta de equação cartesiana y = x é uma asśıntota do gráfico de f (e a aproximação ocorre do lado
direito do plano cartesiano).
Agora, vamos ao segundo caso:
lim
x→−∞ (f (x) − (ax+ b)) = 0⇒ lim
x→−∞
Ä√
x2 + 1− ax− b
ä
= 0⇒ lim
x→−∞
(»
x2
(
1+ 1
x2
)
− ax
)
= b⇒
lim
x→−∞
(
|x|
»
1+ 1
x2
− ax
)
= b⇒ lim
x→−∞
(
−x
»
1+ 1
x2
− ax
)
= b⇒ lim
x→−∞ x
(
−
»
1+ 1
x2
− a
)
= b.
Novamente, a única chance deste último limite ser um número real é quando lim
x→−∞
(
−
»
1+ 1
x2
− a
)
= 0.
Assim,
lim
x→−∞
(
−
»
1+ 1
x2
− a
)
= 0⇒ lim
x→−∞
(
−
»
1+ 1
x2
)
= a⇒ −1 = a .
Com este valor de a, voltemos ao limite e verifiquemos se existe b:
lim
x→−∞ (f (x) − (ax+ b)) = 0⇒ lim
x→−∞
Ä√
x2 + 1+ x
ä
= b⇒ lim
x→−∞ (x2+1)−x2√
x2+1−x
= b⇒ lim
x→−∞ 1√
x2+1−x
= b⇒ 0 = b .
Conclusão: a reta de equação cartesiana y = −x é outra asśıntota do gráfico de f (e a aproximação ocorre do lado
esquerdo do plano cartesiano).
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y
x
gráfico de f
0 1
1
y x=y x= -
Exemplo 4.18 Verifiquemos se f : R→ R, dada por f (x) = x3
x2+1
, possui asśıntotas não verticais.
Suponhamos que exista uma reta de equação cartesiana y = ax+ b que seja uma asśıntota do gráfico de f. Logo,
devemos verificar se existem a e b reais tais que lim
x→+∞ (f (x) − (ax+ b)) = 0 ou lim
x→−∞ (f (x) − (ax+ b)) = 0.
Vejamos o primeiro caso:
lim
x→+∞ (f (x) − (ax+ b)) = 0⇒ lim
x→+∞
Ä
x3
x2+1
− ax− b
ä
= 0⇒ lim
x→+∞
Ä
x3
x2+1
− ax
ä
= b⇒
lim
x→+∞ x
Ä
x2
x2+1
− a
ä
= b⇒ lim
x→+∞ x
Ç
1
1+ 1
x2
− a
å
= b.
Observemos que a única chance deste último limite ser um número real é quando lim
x→+∞
Ç
1
1+ 1
x2
− a
å
= 0.
Assim,
lim
x→+∞
Ç
1
1+ 1
x2
− a
å
= 0⇒ lim
x→+∞ 1
1+ 1
x2
= a⇒ 1 = a .
Com este valor de a, voltemos ao limite e verifiquemos se existe b:
lim
x→+∞ (f (x) − (ax+ b)) = 0⇒ lim
x→+∞
Ä
x3
x2+1
− x
ä
= b⇒ lim
x→+∞ x3−x3−x
x2+1
= b⇒
lim
x→+∞ −x
x2+1
= b⇒ lim
x→+∞ −1
x+ 1
x
= b⇒ 0 = b .
Conclusão: a reta de equação cartesiana y = x é uma asśıntota do gráfico de f (e a aproximação ocorre do lado
direito do plano cartesiano).
Agora, vamos ao segundo caso:
lim
x→−∞ (f (x) − (ax+ b)) = 0⇒ lim
x→−∞
Ä
x3
x2+1
− ax− b
ä
= 0⇒ lim
x→−∞
Ä
x3
x2+1
− ax
ä
= b⇒
lim
x→−∞ x
Ä
x2
x2+1
− a
ä
= b⇒ lim
x→−∞ x
Ç
1
1+ 1
x2
− a
å
= b.
Novamente, a única chance deste último limiteser um número real é quando lim
x→−∞
Ç
1
1+ 1
x2
− a
å
= 0.
Assim,
lim
x→−∞
Ç
1
1+ 1
x2
− a
å
= 0⇒ lim
x→−∞ 1
1+ 1
x2
= a⇒ 1 = a .
Com este valor de a, voltemos ao limite e verifiquemos se existe b:
lim
x→−∞ (f (x) − (ax+ b)) = 0⇒ lim
x→−∞
Ä
x3
x2+1
− x
ä
= b⇒ lim
x→−∞ x3−x3−x
x2+1
= b⇒
lim
x→−∞ −x
x2+1
= b⇒ lim
x→−∞ −1
x+ 1
x
= b⇒ 0 = b .
Conclusão: a mesma reta de equação cartesiana y = x é, também, asśıntota do gráfico de f do lado esquerdo do
plano cartesiano.
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y
x
gráfico de f
0
1
1
y x=
4.8 Traçados de Gráficos de Funções
Baseados nos resultados das seções anteriores temos uma sugestão de roteiro para o traçado rigoroso de gráficos
de funções. Naturalmente, dependendo da função a qual se deseja traçar o gráfico, nem sempre é necessário (e, às
vezes, nem é posśıvel por métodos anaĺıticos) determinar todos os itens propostos abaixo e nem seguir a mesma ordem.
Cabe ressaltar que com os recursos computacionais e bons aplicativos livres dispońıveis na atualidade, o traçado
rigoroso de gráficos de funções tem ficado a cargo das máquinas. E isso tem sido muito bom para a agilidade de
nossos estudos. Entretanto, é importante que o leitor saiba quais são, e como usar, as ferramentas matemáticas que
desvendam as caracteŕısticas que permitem o traçado rigoroso dos gráficos das funções reais de uma variável real.
Sugestão de Roteiro:
(1) Determine o maior domı́nio posśıvel para f.
(2) Determine as ráızes de f (fazendo f (x) = 0).
(3) Determine os pontos cŕıticos de f (fazendo f′ (x) = 0).
(4) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f (fazendo o estudo de sinal de f′ (x))
(5) Determine os candidatos a pontos de inflexão de f (fazendo f′′ (x) = 0).
(6) Determine os intervalos de concavidade para cima e concavidade para baixo do gráfico de f (fazendo o estudo de
sinal de f′′ (x)).
(7) Determine quais dos pontos candidatos a pontos de inflexão de f realmente o são.
(8) Classifique os pontos cŕıticos de f (máximo local, mı́nimo local ou nem um dos dois).
(9) Determine as asśıntotas verticais ao gráfico de f (quanto ocorrem, geralmente passam por pontos do eixo x que
não estão no domı́nio de f).
(10) Determine as asśıntotas não verticais ao gráfico de f (isso inclui as asśıntotas horizontais).
(11) Calcule os limites no infinito de f (caso o domı́nio de f permita) e outros limites que julgar necessários.
(12) Calcule, caso julgue necessário, alguns valores (imagens) de f.
Vamos fazer apenas um exemplo com todos os itens apresentados acima. Como é fácil perceber, o exerćıcio fica
bastante longo quando procuramos atender todos os itens propostos.
Exemplo 4.19 Trace, de modo justificado, o gráfico de f : X ⊂ R→ R tal que f (x) = 7x+9
x2−1
.
(1) O maior domı́nio possivel para f é X = R− {−1, 1} . (obs.: ±1 são as ráızes do denominador)
(2) A única raiz de f é x0 = −9
7
. Logo, o gráfico de f intersecta o eixo x no ponto
(
−9
7
, 0
)
.
(3) Pontos cŕıticos. Derivada primeira: f′ (x) =
(7)(x2−1)−(7x+9)(2x)
(x2−1)2
= −7x
2+18x+7
(x2−1)2
.
Assim, f′ (x) = 0⇒ 7x2+ 18x+ 7 = 0⇒ x1 =
−9−4
√
2
7
∼= −2, 1 e x2 =
−9+4
√
2
7
∼= −0, 5 são os pontos cŕıticos de
f.
(4) Crescimento e decrescimento: temos f′ (x) = −7x
2+18x+7
(x2−1)2
= −
7
(
x−−9−4
√
2
7
)(
x−−9+4
√
2
7
)
(x2−1)2
e o sinal de f′ é o mesmo
sinal do numerador de f, já que o denominador é sempre positivo. Assim, seja n (x) = −7
Ä
x− −9−4
√
2
7
ä Ä
x− −9+4
√
2
7
ä
.
• Para x < −9−4
√
2
7
, temos n (x) < 0⇒ f′ (x) < 0⇒ f é decrescente em
ó
−∞, −9−4√2
7
î
.
• Para −9−4
√
2
7
< x < −9+4
√
2
7
, temos n (x) > 0 ⇒ f′ (x) > 0 ⇒ f é crescente em
ó
−9−4
√
2
7
,−1
î
∪
ó
−1, −9+4
√
2
7
î
.
(observe que −1 e 1 não estão em X).
• Para −9+4
√
2
7
< x, temos n (x) < 0⇒ f′ (x) < 0⇒ f é decrescente em
ó
−9+4
√
2
7
, 1
î
∪ ]1,+∞[.
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x1
x-1- ,2 1 1
sinal de f¢
crescimento/decrescimento de f
--++-
- ,0 5
- ,2 1 -1 - ,0 5
(5) Candidatos a pontos de inflexão: temos f′′ (x) = −
(14x+18)(x2−1)
2
−(7x2+18x+7)2(x2−1)(2x)
(x2−1)4
= 2
(7x2+6x+3)(x+3)
(x2−1)3
.
Assim, f′′ (x) = 0 ⇒ x3 = −3 (o polinômio p (x) = 7x2 + 6x + 3 não possui ráızes reais). Logo, x3 = −3 é o único
candidato a ponto de inflexão de f.
(6) Quanto ao estudo de sinal de f′′ temos que p (x) = 7x2 + 6x+ 3 possui sinal positivo pois seu gráfico cartesiano é
uma parábola com concavidade para cima que não intersecta o eixo x (pois p não tem ráızes reais). Logo, o estudo de
sinal de f′′ pode ser feito com s (x) = x+3
(x2−1)3
. Assim:
• Para x < −3, temos s (x) < 0⇒ f′′ (x) < 0⇒ f tem gráfico côncavo para baixo no intervalo ]−∞,−3[.
• Para −3 < x < −1, temos s (x) > 0⇒ f′′ (x) > 0⇒ f tem gráfico côncavo para cima no intervalo ]−3,−1[.
• Para −1 < x < 1, temos s (x) < 0⇒ f′′ (x) < 0⇒ f tem gráfico côncavo para baixo no intervalo ]−1, 1[.
• Para 1 < x, temos s (x) > 0⇒ f′′ (x) > 0⇒ f tem gráfico côncavo para cima no intervalo ]1,+∞[.
x
sinal de f¢¢
x
concavidade do gráfico de f
+
-1
-+-
-1
-3
-3 1
1
(7) O ponto x3 = −3 realmente é um ponto de inflexão pois, pelo item (6) acima, há mudança de concavidade do
gráfico de f em uma vizinhança de x3.
(8) A classificação dos pontos cŕıticos pode ser feita pelo Teste da Derivada Segunda, ou pelo item (4) acima. Neste
caso:
• Para x1 =
−9−4
√
2
7
, temos f′′
Ä
−9−4
√
2
7
ä
∼= f′′ (−2, 1) > 0⇒ x1 =
−9−4
√
2
7
é ponto cŕıtico de mı́nimo local .
• Para x2 =
−9+4
√
2
7
, temos f′′
Ä
−9+4
√
2
7
ä
∼= f′′ (−0, 5) < 0⇒ x2 =
−9+4
√
2
7
é ponto cŕıtico de máximo local .
(9) Asśıntotas verticais: se ocorrerem asśıntotas verticais, elas passarão pelos pontos de abscissa −1 e 1 (que não estão
em X). Assim, devemos analisar quatro limites:
• lim
x→−1−
f (x) = lim
x→−1−
7x+9
x2−1
= lim
x→−1−
7x+9
(x−1)(x+1) = +∞ ⇒ x = −1 é equação de asśıntota vertical com aproximação
no lado superior do plano cartesiano.
• lim
x→−1+
f (x) = lim
x→−1+
7x+9
x2−1
= lim
x→−1+
7x+9
(x−1)(x+1) = −∞ ⇒ x = −1 é equação de asśıntota vertical com aproximação
no lado inferior do plano cartesiano.
• lim
x→1− f (x) = lim
x→1− 7x+9
x2−1
= lim
x→1− 7x+9
(x−1)(x+1) = −∞⇒ x = 1 é equação de asśıntota vertical com aproximação no lado
inferior do plano cartesiano.
• lim
x→1+ f (x) = lim
x→1+ 7x+9
x2−1
= lim
x→1+ 7x+9
(x−1)(x+1) = +∞⇒ x = 1 é equação de asśıntota vertical com aproximação no lado
superior do plano cartesiano.
Temos assim, duas asśıntotas verticais x = −1 e x = 1 .
Observação: se p 6= ±1 temos lim
x→p f (x) = f (p) 6= ±∞.
(10) Asśıntotas não verticais: seja y = ax+ b equação de reta tal que lim
x→±∞ (f (x) − (ax+ b)) = 0.
• Primeiro caso:
lim
x→+∞
Ä
7x+9
x2−1
− ax− b
ä
= 0⇒ lim
x→+∞ x
(
7+ 9
x
x2−1
− a
)
= b,
que só ocorre quando lim
x→+∞
(
7+ 9
x
x2−1
− a
)
= 0⇒ lim
x→+∞ 7+ 9
x
x2−1
= a⇒ 0 = a .
Substituindo: lim
x→+∞
Ä
7x+9
x2−1
− b
ä
= 0⇒ lim
x→+∞ 7+ 9
x
x− 1
x
= b⇒ 0 = b .
Conclusão: a reta de equação y = 0 (ou seja, o eixo x) é uma asśıntota não vertical de f com aproximação no lado
direito do plano cartesiano. (neste caso é uma asśıntota horizontal)
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• Segundo caso:
lim
x→−∞
Ä
7x+9
x2−1
− ax− b
ä
= 0⇒ lim
x→−∞ x
(
7+ 9
x
x2−1
− a
)
= b,
que só ocorre quando lim
x→−∞
(
7+ 9
x
x2−1
− a
)
= 0⇒ lim
x→−∞ 7+ 9
x
x2−1
= a⇒ 0 = a .
Substituindo: lim
x→−∞
Ä
7x+9
x2−1
− b
ä
= 0⇒ lim
x→−∞ 7+ 9
x
x− 1
x
= b⇒ 0 = b .
Conclusão: a reta de equaçãoy = 0 (ou seja, o eixo x) é novamente asśıntota não vertical de f com aproximação no
lado esquerdo do plano cartesiano.
Portanto, há apenas uma asśıntota não vertical, y = 0 , ao gráfico de f.
(11) Limites no infinito: lim
x→+∞ f (x) = lim
x→+∞ 7x+9
x2−1
= lim
x→+∞ 7+ 9
x
x− 1
x
= 0 e lim
x→−∞ f (x) = lim
x→−∞ 7x+9
x2−1
= lim
x→−∞ 7+ 9
x
x− 1
x
= 0.
(12) Algumas imagens:
• f (−3) = −3
2
= −1, 5
• f
Ä
−9−4
√
2
7
ä
= −4
√
2(
−9−4
√
2
7
)2
−1
∼= −1, 7
• f
Ä
−9+4
√
2
7
ä
= 4
√
2(
−9+4
√
2
7
)2
−1
∼= −7, 3
• f (0) = −9
Juntando todas as informações desses doze itens temos o seguinte gráfico:
y
x
0 1
- ,71
- ,7 3
-9
-1
- ,0 5
-3 - ,2 1
gráfico de f
( )gráfico fora de escala
- /9 7
4.9 Regras de L’Hospital para Cálculo de Limites
As regras de L’Hospital são proposições que utilizam derivadas para o cálculo de limites que apresentam indeter-
minações do tipo “0
0
” ou “∞∞”.
Naturalmente, elas não foram apresentadas no Caṕıtulo 2, que trata especificamente de limites, devido ao fato das
derivadas serem desenvolvidas posteriormente ao referido caṕıtulo.
Há duas proposições importantes, cujos enunciados seguem abaixo.
Proposição 4.11 Sejam f e g funções deriváveis um uma vizinhança de p ∈ R de tal modo que g′ (x) 6= 0 nesta
vizinhança. Se lim
x→p f (x) = lim
x→pg (x) = 0 e existe lim
x→p f
′(x)
g′(x) , então existe lim
x→p f(x)g(x) , sendo lim
x→p f(x)g(x) = lim
x→p f
′(x)
g′(x) .
Proposição 4.12 Sejam f e g funções deriváveis um uma vizinhança de p ∈ R de tal modo que g′ (x) 6= 0 nesta
vizinhança. Se lim
x→p f (x) = ±∞, lim
x→pg (x) = ±∞ e existe lim
x→p f
′(x)
g′(x) , então existe lim
x→p f(x)g(x) , sendo lim
x→p f(x)g(x) =
lim
x→p f
′(x)
g′(x) .
Observações:
(1) com as devidas adaptações, os teoremas acima são válidos para limites laterais e limites no infinito, ou seja,
x→ p+, x→ p−, x→ +∞ ou x→ −∞ no lugar de x→ p.
(2) lim
x→p f
′(x)
g′(x) pode ser um limite infinito, ou seja, lim
x→p f
′(x)
g′(x) = ±∞.
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Exemplo 4.20 Calculemos lim
x→1 x
5−6x3+8x−3
x4−1
utilizando a Regra de L’Hospital.
Façamos f (x) = x5 − 6x3 + 8x − 3 e g (x) = x4 − 1, que são deriváveis em qualquer vizinhança de p = 1. Temos
g′ (x) = 4x3 6= 0, para x próximo de 1, e lim
x→1 f (x) = lim
x→1g (x) = 0.
Como lim
x→1 f
′(x)
g′(x) = lim
x→1 5x
4−18x2+8
4x3
= −5
4
temos, pela Regra de L’Hospital, que lim
x→1 x
5−6x3+8x−3
x4−1
= −5
4
.
De modo resumido:
lim
x→1 x
5−6x3+8x−3
x4−1
=↓ lim
x→1 5x
4−18x2+8
4x3
Regra de L’Hospital
= −5
4
.
Observemos que o limite em questão pode ser calculado por meio de fatoração, uma vez que p = 1 é raiz de f e de
g, ou seja, lim
x→1 x
5−6x3+8x−3
x4−1
= lim
x→1 (x−1)(x4+x3−5x2−5x+3)
(x−1)(x3+x2+x+1)
= lim
x→1 x
4+x3−5x2−5x+3
x3+x2+x+1
= −5
4
.
Exemplo 4.21 Calculemos lim
x→+∞ ex
x
.
Façamos f (x) = ex e g (x) = x, que são deriváveis em R. Temos g′ (x) = 1 6= 0, para qualquer x, e lim
x→+∞ f (x) =
lim
x→+∞g (x) = +∞.
Como lim
x→+∞ f′(x)
g′(x) = lim
x→+∞ ex
1
= +∞ temos, pela Regra de L’Hospital, que lim
x→+∞ ex
x
= +∞.
De modo resumido:
lim
x→+∞ ex
x
=↓ lim
x→+∞ ex
1
Regra de L’Hospital
= +∞ .
Exemplo 4.22 Calculemos lim
x→0+ x ln (x) e lim
x→0+ xx.
(1) Quanto a lim
x→0+ x ln (x), façamos lim
x→0+ x ln (x) = lim
x→0+ ln(x)
1
x
.
Façamos f (x) = ln (x) e g (x) = 1
x
, que são deriváveis em qualquer vizinhança (positiva) de 0. Temos g′ (x) =
− 1
x2
6= 0, para qualquer x > 0, lim
x→0+ f (x) = −∞ e lim
x→0+ g (x) = +∞.
Como lim
x→0+ f′(x)
g′(x) = lim
x→0+
1
x
− 1
x2
= 0 temos, pela Regra de L’Hospital, que lim
x→0+ x ln (x) = 0.
De modo resumido:
lim
x→0+ x ln (x) = lim
x→0+ ln(x)
1
x
=↓ lim
x→0+
1
x
− 1
x2
= lim
x→0+ (−x) = 0
Regra de L’Hospital
.
(2) Quanto a lim
x→0+ xx, temos lim
x→0+ xx = lim
x→0+ eln(x
x) = lim
x→0+ ex ln(x) = e
lim
x→0+ x ln(x) = e0 = 1, utilizando o item (1).
Exemplo 4.23 Calculemos o 1o. e o 2o. Limite Fundamental, lim
x→0 sen(x)
x
e lim
x→+∞
(
1+ 1
x
)x
, utilizando a Regra de
L’Hospital.
(1) Quanto ao 1o. Limite Fundamental:
Façamos f (x) = sen (x) e g (x) = x, que são deriváveis em qualquer vizinhança de p = 0. Temos g′ (x) = 1 6= 0,
para qualquer x, e lim
x→0 f (x) = lim
x→0g (x) = 0.
Como lim
x→0 f
′(x)
g′(x) = lim
x→0 cos(x)
1
= 1 temos, pela Regra de L’Hospital, que lim
x→0 sen(x)
x
= 1.
De modo resumido:
lim
x→0 sen(x)
x
=↓ lim
x→0 cos(x)
1
Regra de L’Hospital
= 1 .
(2) Quanto ao 2o. Limite Fundamental: lim
x→+∞
(
1+ 1
x
)x
= lim
x→+∞ eln((1+ 1x )
x
) = lim
x→+∞ ex ln(1+ 1x ) = e
lim
x→+∞x ln(1+ 1x ) =
e
lim
x→+∞
ln(1+ 1x )
1
x .
Façamos f (x) = ln
(
1+ 1
x
)
e g (x) = 1
x
, que são deriváveis em qualquer x positivo. Temos g′ (x) = − 1
x2
6= 0, para
qualquer x positivo, e lim
x→+∞ f (x) = lim
x→+∞g (x) = 0.
Como lim
x→+∞ f′(x)
g′(x) = lim
x→+∞
1
1+ 1
x
.
(
− 1
x2
)
− 1
x2
= lim
x→+∞ 1
1+ 1
x
= 1 temos, pela Regra de L’Hospital, que lim
x→+∞ ln(1+ 1x )
1
x
= 1
e, portanto, lim
x→+∞
(
1+ 1
x
)x
= e1 = e.
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De modo resumido:
lim
x→+∞ ln
Ä(
1+ 1
x
)xä
= lim
x→+∞ x ln
(
1+ 1
x
)
= lim
x→+∞
ln
Ä
1+
1
x
ä
1
x
=↓ lim
x→+∞
1
1+ 1
x
.
(
− 1
x2
)
− 1
x2
Regra de L’Hospital
= lim
x→+∞ 1
1+ 1
x
= 1 .
Exemplo 4.24 Acompanhe o seguinte racioćınio:
“Considere f (x) = x2 sen
(
1
x
)
e g (x) = x para x 6= 0. Temos g′ (x) = 1 6= 0, lim
x→0 f (x) = lim
x→0g (x) = 0 e
lim
x→0 f(x)g(x) = 0. Entretanto, lim
x→0 f
′(x)
g′(x) = lim
x→0
2x sen( 1x )+x
2 cos( 1x )
(
− 1
x2
)
1
= lim
x→0
(
2x sen
(
1
x
)
− cos
(
1
x
))
que não existe!
Portanto, lim
x→0 f(x)g(x) 6= lim
x→0 f
′(x)
g′(x) . Há contradição com a Regra de L’Hospital?”
Resposta. Não! Não há contradição com a Regra de L’Hospital pois, se observarmos bem o enunciado da Proposição
4.11, é hipótese da regra que exista lim
x→0 f
′(x)
g′(x) , o que não ocorre no exemplo acima. Portanto, a Regra de L’Hospital
não pode ser aplicada neste caso.
4.10 Problemas de Otimização
Um problema de otimização geralmente é um problema prático no qual estamos interessados em encontrar pontos
de máximo ou pontos de mı́nimo de determinada função resultante da modelagem matemática desse problema.
Já vimos como encontrar pontos de máximo ou de mı́nimo locais de funções deriváveis. Basta “derivar e igualar a
zero”. Entretanto, nos problemas de otimização estamos interessados em pontos de máximo ou de mı́nimo globais,
ou seja, pontos que maximizam ou minimizam a função em todo o seu domı́nio. Ocorre que, dependendo da função
e de seu domı́nio, pontos de máximo ou de mińımo globais podem não anular a derivada da função (caso a função seja
derivável). Por exemplo, f (x) = x com domı́nio X = [0, 1] tem, claramente, ponto de mı́nimo global x0 = 0 e máximo
global x1 = 1. Todavia, f′ (x) = 1 para x ∈ ]0, 1[ e f′− (1) = f′+ (0) = 1 (derivada à esquerda e à direita).
Temos duas proposições que nos auxiliam na procura de máximos e mı́nimos globais. Uma dessas proposições é o
Teorema de Weierstrass (Proposição 2.8, página 92), que já vimos no Caṕıtulo 2, de limites. Esse teorema garante a
existência de pontos de máximo e mı́nimo globais em funções cont́ınuas com domı́nio da forma [a, b]. Recordemos seu
enunciado:
Proposição 4.13 (Teorema de Weierstrass) Se f : [a, b] ⊂ R → R é cont́ınua, então existem xm, xM ∈ [a, b] tais
que f (xm) ≤ f (x) ≤ f (xM), ∀x ∈ [a, b], ou seja, xm é ponto de ḿınimo global e xM é ponto de máximo global de f.
Baseados no Teorema de Weierstrass, temos um roteiro para procurar pontos de máximo ou mı́nimo globais de
funções cont́ınuas com domı́niodo tipo [a, b]:
(1) Considere os pontos cŕıticos de f;
(2) Considere os pontos a e b extremos do intervalo [a, b];
(3) Considere os pontos nos quais f não é derivável.
Os pontos de máximo ou mı́nimos globais de f estão entre os pontos dos três itens acima.
Observações importantes:
(i) Nos casos em que o domı́nio de f é um intervalo I diferente de [a, b] pode não haver máximo ou mı́nimo global
para a função. A análise, neste caso, consiste em adaptar o item (2) acima e considerar limites com x tendendo aos
extremos do intervalo I de f (isso inclui os casos em que o intervalo é ilimitado, fazendo x→ −∞ ou x→∞).
(ii) Com a consideração da observação (i) acima, o roteiro apresentado pode ser empregado para buscar máximos e
mı́nimos globais de quaisquer funções, inclusive funções descont́ınuas pois, nesse caso, os pontos de descontinuidade
serão naturalmente analisados no item (3) do roteiro.
(iii) Outra situação pasśıvel de análise é quando o domı́nio de f é composto por uma reunião disjunta de intervalos.
Nesse caso, cada intervalo que compõe o domı́nio de f pode ser analisado conforme o roteiro apresentado.
Por fim, para auxiliar na caça aos máximos e mı́nimos globais, há também a seguinte proposição.
Proposição 4.14 Seja f : R → R derivável. Se c é o único ponto cŕıtico de ḿınimo (máximo) local de f, então c é
ponto cŕıtico de ḿınimo (máximo) global de f.
Vejamos alguns exemplos de problemas de otimização:
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Exemplo 4.25 Encontremos dois números reais cuja soma é 16 e o produto é o máximo posśıvel.
Sejam x e y os números procurados.
De acordo com a hipótese, temos x+ y = 16.
Chamemos o produto de x e y de P, ou seja, P = xy.
De x+y = 16 temos y = 16−x que, substituindo em P resulta em P = x (16− x). Desta forma, temos uma função
real e uma variável real que modela matematicamente o problema. Trata-se da função P : R→ R, dada por
P (x) = −x2 + 16x .
Observemos que não há restrições quanto ao número x, o que significa que o domı́nio de P é o conjunto de todos
os números reais R.
Temos P derivável e P′ (x) = −2x+ 16. Assim, P′ (x) = 0⇒ −2x+ 16 = 0⇒ x0 = 8 é o único ponto cŕıtico de P.
Como P′′ (x) = −2⇒ P′′ (8) = −2 < 0⇒ x0 = 8 é ponto cŕıtico de máximo local de P.
Pela Proposição 4.14, x0 = 8 é ponto cŕıtico de máximo global de P.
Conclusão: os números procurados são iguais a 8. O produto máximo é 64.
y
x
gráfico de P
( )gráfico fora de escala
0 8 16
64
Exemplo 4.26 Determinemos as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito em um semićırculo de
raio a, conforme figura abaixo.
a
y
xx
y
2x
Sejam 2x e y a largura e a altura do retângulo inscrito no semićırculo de raio a. Logo, 0 < 2x < 2a e 0 < y < a.
Assim, 0 < x < a .
A relação existente entre x e y é dada pela equação cartesiana do ćırculo de raio a, ou seja, x2 + y2 = a2. Logo,
y =
√
a2 − x2 (observemos que y deve ser positivo).
Seja A = (2x)y a área do retângulo. Logo, A = 2x
√
a2 − x2 e temos uma função A : ]0, a[→ R, dada por
A (x) = 2x
√
a2 − x2 ,
que modela matematicamente o problema.
Temos A derivável e A′ (x) = (2)
√
a2 − x2 + (2x) 1
2
√
a2−x2
(−2x)⇒ A′ (x) = 2a2−4x2√
a2−x2
.
De acordo com o roteiro que apresentamos para ajudar a maximizar A globalmente, devemos analisar três itens:
(1) Pontos cŕıticos: A′ (x) = 0⇒ 2a2−4x2√
a2−x2
= 0⇒ x0 =
√
2
2
a (observemos que x deve ser positivo).
(2) Pontos extremos do intervalo ]0, a[, ou seja, x1 = 0 e x2 = a. Neste caso, a análise é por limites laterais, pois o
intervalo é aberto.
(3) Pontos onde A não é derivável. Neste caso, não há.
Como A′′ (x) =
(−8x)
√
a2−x2−(2a2−4x2) 1√
a2−x2
(−2x)
a2−x2
= −4xa2√
(a2−x2)3
⇒ A′′
Ä√
2
2
a
ä
< 0 ⇒ x0 =
√
2
2
a é ponto cŕıtico
de máximo local de A, então temos três opções:
A
Ä√
2
2
a
ä
= 2
Ä√
2
2
a
ä…
a2 −
Ä√
2
2
a
ä2
= a2
lim
x→0+A (x) = lim
x→0+ 2x
√
a2 − x2 = 0
lim
x→a−
A (x) = lim
x→a−
2x
√
a2 − x2 = 0
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Portanto, x0 =
√
2
2
a é ponto de máximo global de A.
Como x2 + y2 = a2, substituindo x0, temos y0 =
√
2a
2
.
Conclusão: o retângulo de dimensões
√
2a e
√
2
2
a é o retângulo de maior área que pode ser inscrito em um
semićırculo de raio a (observemos que trata-se de metade um quadrado de lado
√
2a. Neste caso, a área máxima é
A = a2.
y
x
gráfico de A
0 aÖ2
2
a
a2
Exemplo 4.27 Um vendedor consegue vender 500 objetos a R$ 1, 50 cada, sendo o custo R$ 0, 70 cada. Para cada
desconto de R$ 0, 01 que concede, consegue vender mais 25 unidades, ou seja, para cada centavo que abaixa no preço,
a quantidade vendida pode ser aumentada de 25 unidades. Qual é o preço unitário que maximiza o lucro?
Seja p o preço, em reais, de venda de cada unidade do objeto. Este preço varia de R$ 0, 01 em R$ 0, 01; ou seja, p
é um variável discreta. Entretanto, para a modelagem que vamos fazer, consideremos p como variável cont́ınua (quer
dizer, varia em intervalo de números reais). É claro que, se no final encontrarmos uma solução ótima que possua mais
do que duas casas decimais, devemos fazer um “arredondamento” para o valor fact́ıvel mais próximo.
Desta forma, para que o problema seja realista, p deve variar de R$ 0, 70 até R$ 1, 50. Obviamente, se p for igual
a R$ 0, 70 não há lucro algum, pois R$ 0, 70 é custo. Por outro lado, se p for igual a R$ 1, 50, não há desconto algum
nas vendas. Resumindo: 0, 7 ≤ p ≤ 1, 5 .
Estabelecida a variável, vamos encontrar a função lucro.
Observemos que R$ 1, 50− p (reais) possui 100 (1, 50− p) centavos, ou seja, 100 (1, 50− p) é a quantidade (por-
tanto, número inteiro não negativo) de centavos entre p e R$ 1, 50. Assim, de acordo com o enunciado, [100 (1, 50− p)] 25
é a quantidade de objetos que são vendidos a mais (além dos 500 “iniciais”).
Desta forma, 500+ [100 (1, 5− p)] 25 é a quantidade total de objetos que são vendidos quando o preço unitário
é p reais. Sendo o lucro por objeto dado por p− 0, 7 reais, temos a função lucro L : [0, 7 ; 1, 5] ⊂ R→ R dada por
L (p) = (500+ [100 (1, 5− p)] 25) (p− 0, 7), ou seja,
L (p) = −2500p2 + 6000p− 2975
A função L é derivável para qualquer p e modela matematicamente o problema. Sua derivada é L′ (p) = −5000p+
6000. Quanto aos pontos cŕıticos: L′ (p) = 0⇒ −5000p+ 6000 = 0⇒ p0 =
6
5
= 1, 2 que está no intervalo do domı́nio
de L.
Quanto à derivada segunda: L′′ (p) = −5000⇒ L′′
(
6
5
)
= −5000 < 0. Portanto, p0 =
6
5
é ponto cŕıtico de máximo
local de L.
De acordo com o roteiro apresentado, temos ainda que analisar L nos extremos do intervalo: p1 = 0, 7 e p2 = 1, 5 .
Assim:
• L (0, 7) = −2500 (0, 7)
2
+ 6000 (0, 7) − 2975 = 0
• L
(
6
5
)
= L (1, 2) = −2500
(
6
5
)2
+ 6000
(
6
5
)
− 2975 = 625
• L (1, 5) = −2500 (1, 5)
2
+ 6000 (1, 5) − 2975 = 400
Conclusão: p0 = 1, 2, ou seja R$ 1, 20 é ponto de máximo global de L. Neste caso, o preço unitário é R$ 1, 20, o
lucro é R$ 625, 00 e a quantidade de objetos vendida é 1250.
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y
x
gráfico de L
( )gráfico fora de escala
0 1 5,
625
1 2,0 7,
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Seção de Exerćıcios Propostos: Aplicações da Derivada
Exerćıcio 4.1 Suponha que o custo de produção de um determinado produto seja dado por C (x) = 1500 + 20x
reais, sendo x o número de itens produzidos. Dê a taxa de variação (instantânea)