Funções básicas

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Funções básicas
Conceitos iniciais da matemática para a solução de equações de primeiro grau e de segundo grau, bem
como de funções exponenciais e logarítmicas, além de suas representações e interpretações gráficas.
Profª. Aneuri Souza de Amorim
1. Itens iniciais
Propósito
A análise e a compreensão de fenômenos e situações do cotidiano na área da saúde demandam a construção
e a interpretação de gráficos por meio da solução de equações de primeiro e segundo grau e das funções
exponenciais e logarítmicas, o que torna esses conhecimentos matemáticos essenciais à sua atuação
profissional.
Preparação
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos uma calculadora científica, papel, caneta e régua para a
resolução dos exercícios algébricos e confecção de gráficos no plano cartesiano.
Objetivos
Demonstrar as propriedades e aplicação das funções de primeiro grau e seus gráficos.
Demonstrar as propriedades e aplicação das funções de segundo grau e seus gráficos.
Demonstrar as propriedades e aplicação das funções exponenciais e seus gráficos.
Demonstrar as propriedades e aplicação das funções logarítmicas e seus gráficos.
Introdução
Na área de saúde, é comum o uso de variadas funções matemáticas para descrever diversos
comportamentos, como o crescimento linear da resposta de um grupo de pacientes a dado medicamento, por
exemplo.
A compreensão dessas funções matemáticas, suas soluções próprias e as particularidades nas construções
de representações gráficas permitem aos profissionais de saúde representar diferentes fenômenos e
interpretar o comportamento de funções pelo uso de gráficos.
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1. Funções de primeiro grau
Características da função de primeiro grau
A função de primeiro grau é caracterizada por uma relação entre duas variáveis Y e X, que podem ser
representadas no plano cartesiano, sendo Y representado no eixo vertical e X no eixo horizontal. Com esse
tipo de equação, estuda-se a variação de Y quando X varia de forma linear, ou seja, quando X tem expoente 1.
Essa função tem como principal finalidade escrever uma fórmula matemática na qual consigamos atribuir
valores à variável X e obtermos o valor de Y. Sua equação é:
Em que:
X e Y são as variáveis.
 e são os coeficientes.
Para que esta função exista:
Equações algébricas em situações contextualizadas com funções de
primeiro grau
Existem diferentes aplicações da função de primeiro grau em variadas áreas, inclusive no nosso dia a dia.
Devemos ser capazes de observar se há a possibilidade de escrever uma fórmula matemática que permita
encontrar um valor desejado atribuindo valores para uma dada variável e realizando operações matemáticas
descritas nesse tipo de função.
A título de exemplo, podemos pensar em uma situação do cotidiano: uma pessoa vai almoçar em um
restaurante que serve comida por quilo. O valor do quilograma da comida é R$30, porém, para pagamentos no
cartão de crédito, o restaurante cobra uma taxa fixa de R$5.
Analisando essa situação, uma pessoa pode saber quanto gastará assim que souber o peso total dos
alimentos que selecionou, basta transformar essa descrição em uma equação matemática. Se pensarmos em
calcular o valor final a pagar, essa é a variável que queremos calcular, Y; como a quantidade de comida em
quilograma varia de pessoa para pessoa, essa é a variável X, para a qual serão atribuídos valores diferentes a
fim de calcular o resultado final. Sendo assim, a equação estruturada ficará da seguinte forma:
Em que:
Y representa o que queremos saber, o valor final a pagar.
30 é o valor por cada quilograma selecionado no prato.
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X é o valor em quilograma da quantidade colocada no prato.
5 é o valor fixo cobrado para pagamento com cartão de crédito.
Dessa forma, podemos prever o gasto para pagamento no cartão de crédito da quantidade de comida
selecionada.
Suponha que uma pessoa colocou no prato 0,3kg e outra 0,5kg, quanto cada uma irá pagar?
Assim, conseguimos prever os valores a serem pagos para qualquer peso de comida. 
Atenção
A lei de formação da função de primeiro grau possui sempre um valor constante (coeficiente b) somado
ao produto de uma quantidade fixa e um valor variável na forma linear (coeficiente a), ou seja, com
expoente 1. 
Vamos analisar outra situação para compreender melhor essa lei de formação.
Suponhamos a importação de vacinas feitas pelo Brasil para o tratamento de uma doença que está atingindo
uma grande parcela da população. Essas vacinas serão transportadas de forma rápida diretamente da China
para o Brasil, em voo direto, a um custo total de US$2 milhões. A negociação foi feita diretamente com o
laboratório produtor e conseguiu-se o preço de US$10 por dose de vacina. Vamos estruturar e escrever essa
lei de formação usando a função de primeiro grau.
Em que:
Y representa o custo total que queremos calcular.
X representa a quantidade de doses de vacina.
10 é o preço por unidade de vacina.
2.000.000 é o valor do transporte do produto.
Dessa forma, pode-se planejar o gasto final da compra de qualquer quantidade de vacina. Por exemplo,
quanto se gastará caso sejam compradas 50 milhões de doses dessa vacina? Basta resolvermos e
calcularmos a equação da seguinte forma:
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Pessoa 1 Pessoa 2 
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Imagine uma pesquisa que avalia o crescimento de uma bactéria no corpo humano. Observou-se que, no
primeiro dia de contato com o ser humano, já surgem 1.000 bactérias na pessoa contaminada e que, a cada
dia que passa sem tratamento médico, há um crescimento de 20 bactérias por dia. Vamos estruturar a lei de
formação da situação descrita na forma de uma equação matemática, partindo dos seguintes dados: uma
parte inicial constante de 1.000 bactérias no primeiro dia de contato com ser humano e uma parte variável de
20 bactérias por dia nos demais dias. Obtemos a seguinte equação:
Suponha agora que um médico queira saber quantas bactérias tem seu paciente que teve contato com o
microrganismo 15 dias antes da consulta, para assim poder prever a quantidade de medicação que vai
prescrever. Será possível calcular essa quantidade de bactérias nesse período de tempo da seguinte forma:
A função de primeiro grau tem uma parte constante e uma parte variável, descrita por sua variável com
expoente 1, de forma linear.
Equação de primeiro grau
Veja como resolver uma equação de primeiro grau. 
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Construção do gráfico relacionado à função
Também chamada de função afim, a função de primeiro grau pode ser descrita conforme visto anteriormente:
Nesse caso:
X e Y são as variáveis.
 e são os coeficientes.
Para que esta função exista:
 bacterias
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Essa função descreve uma reta em um plano cartesiano bidimensional, com seus termos identificados da
seguinte forma:
Y são os valores do par ordenado no eixo Y.
X são os valores do par ordenado no eixo X.
 é chamado de coeficiente angular da reta.
 é chamado de coeficiente linear da reta.
Para a construção de um gráfico de uma reta em um plano cartesiano, resolvemos a equação anterior
atribuindo valores a X e obtendo valores correspondentes para Y. Contudo, antes de iniciarmos a construção
da reta, apresentaremos o plano cartesiano e os pares ordenados, que serão necessários para a
representação da reta.
Gráfico: Representação dos eixos cartesianos X e Y e sua divisão em quadrantes.
O eixo X, também chamado de abscissa, é o eixo horizontal do plano cartesiano; já o eixo Y, conhecido como
ordenada, é o eixo vertical desse plano. Os dois eixos se cruzam em um único ponto que chamamos de origem
dos eixos.
Qualquer ponto a ser representado no plano cartesiano deve possuir um par ordenado da forma (X, Y), sempre
nessa ordem: o primeiro corresponde ao valor do eixo X, o segundo, ao valor do eixo Y. Então, um ponto
qualquer P pode ser identificado e representado no plano cartesiano, como podemos ver a seguir:
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Gráfico: Plano cartesiano em escala com o ponto P (2, 5) representado.
Nessa imagem, vemoso ponto P (2, 5) representado no plano cartesiano: seu valor no eixo X é 2 e seu valor
no eixo Y é 5. Assim, devemos marcar o ponto de interseção entre esses dois valores, que corresponde ao
ponto P (2, 5).
Para representar a função de primeiro grau no plano, que é uma reta, vamos escolher valores para X (eixo
horizontal do plano) e calcular o valor correspondente de Y (eixo vertical do plano), obtendo assim alguns
pares ordenados. Então, ligaremos os pontos e traçaremos a reta formada pelos resultados da equação da
função de primeiro grau.
Vamos traçar o gráfico da reta dada por esta função de primeiro grau: 
Existe ainda uma particularidade: entre dois pontos no plano cartesiano, só é possível traçarmos uma única
reta. Logo, precisamos apenas de dois pares ordenados para traçarmos a reta. Escolheremos, então, dois
valores da variável X para encontrar o valor correspondente da variável Y e assim obter dois pares ordenados.
Inicialmente, consideraremos X = 1, portanto, devemos substituir esse valor na equação da reta anterior. 
Então, quando X for 1, Y vale 5, e assim temos o primeiro par ordenado: (1,5).
Consideraremos agora X = -1.
Então, quando X for –1, Y vale 3, e assim temos o segundo par ordenado: (-1,3)
Podemos resumir os cálculos na seguinte tabela:
X Y
1 1
-1 3
Aneuri de Amorim.
Finalmente, vamos marcar esses pontos no plano cartesiano e traçar a reta que os une. 
Gráfico: Plano cartesiano em escala com os pontos (1, 5) e (–1, 3) e a reta \(Y = X +
4\) representados na imagem.
Gráfico da função de primeiro grau
Veja como construir um gráfico da função de primeiro grau.
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Inferências sobre um gráfico e seus coeficientes
Resumindo, aprendemos que a função de primeiro grau é descrita pela equação geral: 
Aprendemos também como se constrói um gráfico atribuindo valores para X e calculando valores para Y e,
além disso, vimos que o gráfico dessa função no plano cartesiano sempre será uma reta. Contudo, podemos
construir esse gráfico e analisar algumas características e particularidades a partir da análise dos coeficientes
a e b da equação.
Vamos avançar para mais um tópico!
Coeficiente angular
O coeficiente a é chamado de coeficiente angular da reta, pois representa a sua inclinação. Temos duas
possibilidades:
Coeficiente angular positivo: 
Significa que a inclinação da reta será positiva, isto é, será uma reta
crescente e o ângulo com o eixo será menor do que .
A reta apresentada a seguir foi construida usando a seguinte equação:
Em que 
Coeficiente angular negativo: 
Significa que a inclinação da reta será negativa, portanto, uma reta
decrescente. Nesse caso, o ângulo com o eixo será maior do que 
.
Esta reta negativa foi construída a partir da seguinte equação:
Podemos ver, nessa equação, que , logo, a .
Coeficiente linear
O coeficiente b é chamado de coeficiente linear da reta. Ele representa o ponto em que a reta irá tocar o eixo
Y e sempre será o par ordenado (0, b), obtido ao assumir o valor X = 0 na equação geral da reta:
Nos dois gráficos anteriores, podemos ver que os pontos onde as retas tocam o eixo Y podem ser obtidos por
suas equações.
No primeiro gráfico
A equação da reta é dada por: 
Podemos ver que a reta toca o eixo no
ponto .
No segundo gráfico
A equação da reta é dada por: 
 
Temos: 
 
Logo, a reta toca o eixo no ponto .
Há ainda outra propriedade que devemos conhecer: a raiz da reta.
A raiz da reta, é o ponto onde a reta toca o eixo X, no qual Y = 0.
Observando a equação da reta como exemplo:
Para obter sua raiz, sempre fazemos com que Y = 0 e assim teremos:
A raiz dessa equação da reta será X = 1, logo, a reta irá tocar o eixo X no ponto (1, 0), conforme demonstrado
no gráfico:
Grafico: Raiz da reta \(Y= -4X + 4\).
Aplicações da função de primeiro grau
Veja como resolver problemas reais usando a função de primeiro grau.
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Demonstração
Como já vimos, para traçarmos uma reta no plano cartesiano são necessários apenas dois pontos, dois pares
ordenados (X, Y). Sendo assim, podemos escolher um ponto em que a reta toca o eixo Y, dado pelo
coeficiente linear da reta e, um ponto em que a reta toca o eixo X, dado pela raiz da reta.
Utilizaremos, para demonstração, a reta dada pela equação:
Comparando com a equação geral da reta:
Podemos ver que: e 
Se , o coeficiente angular é negativo, logo, a reta é decrescente. Considerando que , a reta tocará
o eixo em .
Para vermos isso, basta assumir na equação.
Então, já temos um ponto (0, 2) para traçar a reta. Falta o segundo ponto, que é a raiz, obtida ao considerar
Y=0 na equação e calcular o valor de X.
Resolvendo: X = 2
Logo, temos o segundo ponto da reta: (2, 0).
Traçando a reta, teremos a seguinte imagem:
Gráfico da reta \(Y = -X + 2\). Estão representados no gráfico o ponto em que a reta
toca o eixo Y (coeficiente linear da reta) e o ponto em que toca o eixo X (raiz da
reta).
Mão na massa
Questão 1
Marque a afirmativa correta relacionada à reta da equação .
A
Representa uma reta crescente, pois o coeficiente angular é .
B
Representa uma reta decrescente, pois o coeficiente angular é .
C
Representa uma reta crescente, pois o coeficiente angular é .
D
Representa uma reta decrescente, pois o coeficiente angular é .
E
Representa uma reta constante, pois o coeficiente angular é .
A alternativa B está correta.
A equação geral da reta é , onde a representa o coeficiente angular. Quando , a reta é
crescente; quando , a reta é decrescente. Nesse caso, , logo, , sendo uma reta
decrescente.
Questão 2
Marque a afirmativa correta com relação à equação da reta .
A
Essa reta possui coeficiente linear .
B
Essa reta possui coeficiente linear .
C
Essa reta não possui coeficiente linear.
D
Essa reta possui coeficiente linear .
E
Essa reta possui coeficiente linear .
A alternativa D está correta.
A equação geral da reta é , onde b representa o coeficiente linear. Logo, por comparação com
a equação dada, o coeficiente linear é .
Questão 3
Sobre a equação , é correto afirmar que
A
representa uma reta crescente e toca o eixo Y no ponto (0, -2).
B
representa uma reta decrescente e toca o eixo Y no ponto (2, 0).
C
representa uma reta crescente e toca o eixo Y no ponto (2, 0).
D
não representa uma reta.
E
representa uma reta decrescente e toca o eixo Y no ponto (0, 2).
A alternativa E está correta.
A equação geral da reta é , onde a representa o coeficiente angular. Quando , a reta é
crescente; quando , a reta é decrescente. Nesse caso , logo, , sendo assim uma reta
decrescente. 0 ponto onde a reta toca o eixo é dado por , onde é o coeficiente linear. Nesse
caso, essa reta toca o eixo em .
Questão 4
Sobre a equação , podemos afirmar que é uma reta
A
decrescente, pois , que toca o eixo Y no ponto (0, 2).
B
crescente, pois , que toca o eixo Y no ponto (0, 3).
C
crescente, pois , que toca o eixo Y no ponto (3, 0).
D
decrescente, pois , que toca o eixo Y no ponto (3, 0).
E
crescente, pois , que toca o eixo Y no ponto (0, 0).
A alternativa B está correta.
A equação geral da reta é , onde a representa o coeficiente angular. Quando , a reta é
crescente; quando , a reta é decrescente. Nesse caso , logo, , sendo assim uma reta
crescente. 0 ponto onde a reta toca o eixo é dada por , onde b é o coeficiente linear, então, essa
reta toca o eixo em .
Questão 5
Observando o gráfico a seguir, marque a opção com a resposta correta:
A
Reta com coeficiente linear 3 e raiz 5.
B
Reta com coeficiente linear 5 e raiz 3.
C
Reta com coeficiente angular 3 e raiz 5.
D
Reta com coeficiente angular 5 e raiz 3.
E
Reta com coeficiente linear 3 e coeficiente angular 5.
A alternativa A está correta.
Observando o gráfico, vemos que a reta toca o eixo no ponto . As retas de função de primeiro
grau tocam o eixo no ponto , logo, o coeficiente linear é . Essa reta toca o eixo no ponto 
, e a propriedadediz que a raiz da reta é obtida quando , portanto, esse ponto indica que a raiz
da reta é .
Questão 6
Indique o valor da raiz da reta .
A
X = 0,5
B
X = -2
C
X = 2
D
X = -0,5
E
X = 4
A alternativa C está correta.
Para encontrar a raiz dessa função, basta considerar e substituir na equação:
Resolvendo:
Teoria na prática
As funções de primeiro grau têm grande aplicação no nosso dia a dia e em diferentes áreas do conhecimento.
Sempre que observamos um crescimento ou um decrescimento de forma linear entre duas variáveis, teremos
aí representada uma função de primeiro grau.
Suponha a análise da ação de dado medicamento em um grupo grande de pessoas da população. Foi
observado que o número de pessoas curadas (Y) crescia de forma linear de acordo com a quantidade de
medicação dada (X), seguindo a seguinte equação:
Podemos afirmar que se nenhum medicamento (X = 0) for dado à população analisada, teremos uma
quantidade pequena de pessoas curadas (Y = 100). Contudo, é possível ver que quanto mais medicação dada,
maior será a quantidade de pessoas curadas.
Pode-se analisar os dados usando os conceitos da equação da reta:
0 coeficiente angular da reta: , logo, a reta é crescente, pois .
0 coeficiente linear da reta: , assim, a reta toca o eixo em .
Se nenhum medicamento for dado, 100 pessoas se curam.
Vamos supor que são dados 100 medicamentos (X = 100):
Quando 100 medicamentos são dados (X = 100), 600 pessoas são curadas (Y = 600).
O gráfico nos mostra um crescimento linear grande.
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• 
Verificando o aprendizado
Questão 1
Dada a função de primeiro grau:
 
Assinale a opção que apresenta o valor da raiz dessa função:
A
X = 0,5
B
X = 2
C
X = -0,5
D
X = -2
E
X = 4
A alternativa A está correta.
A raiz da função é o valor de x que torna y = 0. Se x = 0,5, jogamos na equação: y = 4.0,5 – 2 = 2 – 2 = 0. Ou
simplesmente, vamos chamar y de zero, e resolver a questão: 
4X – 2 = 0 
4X = 2 
X = 2/4 = 0,5
Questão 2
Qual o ponto onde a reta dada pela equação a seguir toca o eixo ?
 
A
(0,0)
B
(-2,0)
C
(2,0)
D
(0,-2)
E
(0,2)
A alternativa D está correta.
Quando uma reta toca o eixo y, isso significa que seu valor em x é zero. Portanto, se pegarmos a equação,
e substituirmos x por zero, encontraremos y, e assim o ponto no qual a reta toca o eixo y. Veja: 
Y = 2X – 2 
Y = 2.0 – 2 
Y = 0 – 2 
Y = -2 
Portanto, o ponto é (0, -2)
2. Funções de segundo grau
Características da função de segundo grau
A função de segundo grau apresenta uma relação entre duas variáveis, Y e X, que podem ser representadas
no plano cartesiano, sendo Y representado no eixo vertical e X no eixo horizontal. Estuda-se, com esse tipo de
equação, como fica a variação da variável Y quando a variável X varia de forma quadrática, ou seja, quando X
tem expoente 2. Essa função tem como principal finalidade escrever uma fórmula matemática na qual
consigamos atribuir valores à variável X e obtermos o valor de Y. Sua equação é:
Em que:
X e Y são as variáveis.
, e são os coeficientes.
Para que esta função exista:
Equações algébricas em situações contextualizadas com funções de
segundo grau
Existem diversas aplicações da função de segundo grau em diferentes áreas, inclusive no nosso dia a dia. O
importante é saber observar, em cada situação, se há a possibilidade de escrever uma fórmula matemática
que permita encontrar um valor desejado, atribuindo valores para uma dada variável e realizando operações
matemáticas descritas nesse tipo de função.
As aplicações mais conhecidas da função de segundo grau estão na área da física, com a função horária de
movimento retilíneo uniformemente variado, mas existem outras aplicações nas áreas de negócios e ciências,
desde de que se consiga descrever da seguinte forma:
A solução dessa equação, quando representada em um gráfico no plano cartesiano, apresenta-se como uma
parábola. Assim, é muito usada para analisar crescimentos e decrescimentos de uma variável (X) em função
de outra variável (Y).
Considere um exemplo hipotético: um médico pesquisa a absorção em miligramas (Y) de dado medicamento
em função do tempo (X). A equação que descreve essa análise é dada por:
• 
• 
Vamos analisar o que ocorre na quantidade de medicação absorvida (Y) com o passar do tempo.
0,5 hora após a ingestão
X=0,5
Y=(0,5)²-2(0,5)+1
Y=0,25-1+1=0,25
Ou seja, meia hora após a ingestão, é absorvido
0,25mg da medicação.
1 hora após a ingestão
X=1
Y=(1)²-2(1)+1
Y=1-2+1=0
 
Conclui-se que 1 hora após a ingestão o
organismo não absorve a medicação.
2 horas após a ingestão
X=2
Y=(2)²-2(2)+1
Y=4-4+1=1
Isso significa que 2 horas após a ingestão o
organismo absorve 1mg da medicação.
Podemos observar que essa função não tem o mesmo comportamento da função de primeiro grau, pois ela
apresenta um valor inicial que diminuiu e depois cresceu novamente.
Ainda no exemplo da análise de absorção de um medicamento, considere que a equação que descreve esse
processo seja:
Essa também é uma função de segundo grau, mas com um sinal negativo no termo .
Vamos analisar o comportamento apresentado acerca da quantidade de medicação absorvida (Y) com o
passar do tempo.
0,5 hora após a ingestão
X=0,5
Y=-(0,5)²+2(0,5)+1
Y=-0,25+1+1=1,75
Isto é, meia hora após a ingestão, seria
absorvido 1,75mg da medicação.
1 hora após a ingestão
X=1
Y=-(1)²+2(1)+1
Y=-1+2+1=2
 
Isso significa que 1 hora após a ingestão o
organismo absorve 2mg da medicação.
2 horas após a ingestão
X=2
Y=-(2)²+2(2)+1
Y=-4+4+1=1
Conclui-se que 2 horas após a ingestão o
organismo absorve 1mg da medicação.
Podemos observar que há um rápido crescimento da absorção da medicação até 1 hora após a ingestão; após
2 horas, a quantidade absorvida começa a diminuir.
O comportamento apresentado é diverso nas duas situações hipotéticas, e isso ocorre principalmente em
razão do sinal negativo na frente do termo X², que diferencia as duas funções de segundo grau. Veremos esse
aspecto em mais detalhes na sequência.
Equações de segundo grau
Veja como resolver equações de segundo grau.
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Construção do gráfico relacionado à função do segundo
grau
Também chamada de função quadrática, a função de segundo grau pode ser descrita como visto
anteriormente:
Em que:
X e Y são as variáveis.
, e são os coeficientes.
Para que esta função exista:
Essa função é representada graficamente por uma parábola em um plano cartesiano bidimensional. Para a
construção do gráfico, precisamos saber:
 
Ponto em que a parábola tocará o eixo Y.
Ponto ou pontos em que a parábola tocará o eixo X.
Vértice da parábola, isto é, o ponto em que ela muda de direção.
A parábola tocará o eixo Y no ponto em que X=0. Substituindo na equação, teremos:
Portanto, o ponto em que a parábola toca o eixo Y é sempre o par ordenado (0, c).
A parábola pode tocar o eixo X mais de uma vez, diferentemente da reta da função de primeiro grau. Quando
há esse encontro entre parábola e eixo X, chamamos o(s) ponto(s) de raízes da parábola. Para obter a raiz,
consideramos Y=0 e:
• 
• 
1. 
2. 
3. 
Substituímos na equação geral da parábola: 0 = a X 2 + b X + c 0=a X^{2}+b X+c 
Ou melhor escrevendo: a X 2 + b X + c = Ou melhor escrevendo: 0 a X^{2}+b X+c=0 
Essa equação é solucionada pela fórmula de Bhaskara, dada por: X 1 , 2 = − b ± Δ 2 a
X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a} 
Substituímos na equação geral da parábola: 0 = a X 2 + b X + c 0=a X^{2}+b X+c 
Por fim, para a construção do gráfico da parábola, precisaremos do vértice, que é dado por um ponto com
coordenadas (X, Y) que são:
X do vértice Y do vértice
Vértice
Vamos representar graficamente a função de segundo grau dada pela equação: 
Observando a equação geral da função de segundo grau: , podemos identificar os
coeficientes a, b e c.
Coeficientes
a 2
b -1
c -1
Ou melhor escrevendo: a X 2 + b X + c = 0 a X^{2}+b X+c=0 
Essa equação é solucionada pela fórmula de Bhaskara, dada por: X 1 , 2 = −b ± Δ 2 a
X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a} 
Sendo: Δ = b 2 − 4 a c \Delta=b^{2}-4 a c 
X 1 , 2 X _{1,2} significa que é possível que a parábola tenha duas raízes, devido ao sinal ± d
a \pm d a fórmula de Bhaskara.
Thaiane Andrade.
Em seguida, acompanhando o passo a passo é possível:
Primeiro passo
Encontrar o ponto onde a parábola toca eixo Y.
Como vimos, esse ponto (X=0) é dado pelo par ordenado (0,c), logo, a parábola toca o eixo Y em
(0,-1).
Segundo passo
Encontrar as raízes.
As raízes são os pontos onde a parábola toca o eixo X, conforme visto anteriormente. Para encontrá-
las, é necessário resolver a equação pela fórmula de Bhaskara.
 
 
Então, a parábola tocará o eixo X nos pontos: (1,0) e (-0,5,0) 
Terceiro passo
Encontrar o vértice da parábola.
Para chegar ao vértice da parábola, utilizaremos a fórmula dada:
 
Os pontos encontrados que permitirão desenhar a parábola no plano cartesiano são:
Ponto em que a parábola tocará o eixo Y: (0,-1).
Pontos em que a parábola tocará eixo X (raízes da parábola): (1,0) e (-0,5,0).
Vértice da parábola: (0,25 ,-1,125).
• 
• 
• 
Gráfico: Parábola dada pela equação \(Y=2 X^{2}-X-1\).
Gráfico da função do 2º grau
Veja como resolver passo a passo a construção do gráfico. 
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Interpretação do gráfico da função de segundo grau —
parábola
Como já mencionado, a função de segundo grau, também conhecida como função quadrática, é descrita pela
equação geral:
Você já entendeu como é construído o gráfico da parábola, característico das funções de segundo grau,
então, vamos analisá-lo a partir de alguns pontos notáveis da parábola.
As parábolas possuem algumas características particulares que podem ser observadas mesmo antes de sua
representação gráfica final, como as concavidades e a quantidade de vezes que a parábola pode tocar o eixo
X.
A concavidade da parábola pode ser voltada para cima ou para baixo. Quando a equação de segundo grau
tem o coeficiente a positivo, a>0, teremos uma parábola com concavidade voltada para cima (U). Quando o
coeficiente a é negativo, a 0 e concavidade
para cima.
Gráfico 2
Parábola de equação com a 0\).
Parábola com uma raiz: são as parábolas que tocam o eixo uma única vez no ponto dado pelo par
ordenado , em que , obtido pela solução da fórmula de Bhaskara. Esse tipo de parábola
é caracterizada por possuir sua resolução.
Gráfico: Representação de uma parábola com duas raízes, \(\log o,
\operatorname{com} \Delta>0\).
Parábola sem raiz: são as parábolas que não tocam o eixo , caracterizadas por ter . Como não há
raiz quadrada de números negativos, não temos solução da fórmula de Bhaskara no conjunto dos números
reais, logo, não tem raiz.
Gráfico: Parábola que não tem raiz, não toca o eixo \(X, \operatorname{logo}
\Deltaduas vezes.
Questão 6
Quando solucionamos a equação de uma parábola , encontramos um valor de , o
que isso significa?
A
Significa que a parábola não tem raiz, logo, não existe a parábola.
B
Significa que a parábola não tem raiz, logo, toca o eixo X duas vezes.
C
Significa que a parábola tem duas raízes, logo, toca o eixo X duas vezes.
D
Significa que a parábola tem uma raiz, logo, toca o eixo X uma vez.
E
Significa que a parábola não tem raiz, logo, não toca o eixo X.
A alternativa D está correta.
Conforme já apresentado, uma equação de segundo grau é solucionada por meio da fórmula de Bhaskara:
 
Quando encontramos , significa que há uma solução da equação, logo, há uma raiz. Portanto, a
parábola toca o eixo uma única vez.
Teoria na prática
Voltando à análise inicial deste módulo, apresentamos uma situação hipotética, na qual era pesquisada a
quantidade de incorporação de um medicamento ao longo do tempo, dada pela equação:
Com os conhecimentos acumulados até aqui, podemos traçar o gráfico e analisá-lo.
Os coeficientes são:
Coeficientes
a 1
b -2
c 1
Elaborado por Thaiane Andrade.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como , só temos uma raiz . Portanto, a parábola toca o eixo no ponto .
Sabemos que a parábola sempre toca o eixo no ponto , logo, temos o ponto .
0 vértice da parábola será calculado com base na fórmula já apresentada:
Podemos verificar que o vértice coincide com a raiz.
Com esses pontos, o gráfico já pode ser formado:
Gráfico: Parábola \(Y=X^{2}-2 X+1\), com concavidade para cima e tocando o eixo \
(X\) em um único ponto.
Analisando esse gráfico, o eixo Y representa a absorção em mg do medicamento, já o eixo X, o tempo em
horas de absorção. É possível observar que há uma grande absorção assim que a medicação é administrada,
visível pelo ponto em que a parábola toca o eixo Y. Vemos também que a absorção é nula após 1 hora da
administração do medicamento, indicada pelo ponto onde a parábola toca o eixo X. A sequência da parábola
demonstra que a absorção vai aumentando com o passar do tempo.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Considere a seguinte função de segundo grau:
Marque a opção que apresenta o ponto em que a parábola toca o eixo Y.
A
(0,1).
B
(1,0).
C
(0,3).
D
(0, -2).
E
(-2,0).
A alternativa A está correta.
Para saber em qual ponto a parábola toca o eixo y, basta colocarmos x = 0. Vamos lá?
Y = 3X2 - 2X + 1
Y = 3.0 - 2.0 + 1
Y = 1 
Portanto, o ponto é (0,1).
Questão 2
Marque a opção correta com relação à parábola da seguinte equação:
A
É uma parábola com a concavidade para baixo, pois .
B
É uma parábola com a concavidade para baixo, pois .
C
É uma parábola com a concavidade para cima, pois .
D
É uma parábola com a concavidade para baixo, pois .
E
É uma parábola com a concavidade para baixo, pois .
A alternativa D está correta.
Essa parábola tem concavidade voltada para baixo, uma vez que o coeficiente "a" é negativo (a = -2).
3. Funções exponenciais
Características da função exponencial
A função exponencial representa uma relação entre duas variáveis Y e X, que podem ser representadas no
plano cartesiano, sendo Y representado no eixo vertical e X no eixo horizontal. Esse tipo de equação é
utilizado para estudar a variação de Y quando X varia de forma exponencial, ou seja, quando X é o expoente. A
principal finalidade dessa equação é escrever uma fórmula matemática na qual consigamos atribuir valores à
variável X e obtermos o valor de Y. Sua equação é:
Em que:
 é chamado de base.
x é chamado de expoente.
Para que esta função exista:
Veja alguns exemplos:
• 
• 
• 
A função exponencial tem uma característica diferente das funções de primeiro e de segundo grau: a variável
X está no expoente de uma base. Sendo assim, para que a função exista no conjunto dos números reais, a
base a deve seguir duas condições: a > 0 e . Vamos analisá-las:
Se a base a fosse igual a 0, teríamos uma indeterminação:
X = 0
Y = ax
Y = 0º
Essa indeterminação matemática é resolvida fazendo com que a função exponencial só seja definida
quando .
• 
• 
 e 
Se a base a fosse igual a 1, teríamos uma constante, e não uma função:
Y = ax
Y = 1x = 1
Como o número 1 elevado a qualquer expoente resulta em 1, teríamos uma função constante: 
, e não uma função com as características da função exponencial. Logo, 
a 1, a função exponencial é definida como crescente. Para exemplificar,
representaremos graficamente a seguinte função:
Vamos escolher valores de X e calcular o valor de Y:
Ao calcularmos com os números inteiros subsequentes, obtemos os valores a seguir:
X Y
-3 0,125
-2 0,25
-1 0,5
0 1
1 2
2 4
3 8
Thaiane Andrade.
Podemos perceber que a função exponencial sempre toca o eixo Y no ponto (0, 1) quando temos X=0, Y=1,
pois qualquer número elevado a zero é igual a 1.
Gráfico: Função exponencial crescente \(Y=2^{X}\).
Ainda, é possível observar por que essa é uma função crescente: conforme o valor de aumenta, o valor de
Y também cresce. 0 crescimento inicial é pequeno, mas depois vai aumentando consideravelmente. Essa é
uma característica das funções exponenciais com base a > 1.
Função exponencial decrescente
Sempre que o valor de 0 1, a função é classificada como decrescente. Quando a base é maior do que
zero e menor do que 1, seu valor é um número fracionário.
A título de exemplo, representaremos graficamente esta função:
Vamos escolher valores de X e calcular o valor de Y:
Ao calcularmos com os números inteiros subsequentes, obtemos os valores a seguir:
X Y
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 0,5
2 0,25
Thaiane Andrade.
Conforme já vimos, a função exponencial sempre toca o eixo Y no ponto (0,1).
Gráfico: Função exponencial decrescente \(Y=(0,5)^{X}\).
Assim, é possível observar por que essa é uma função decrescente: à medida que o valor de X aumenta, o
valor de Y decresce. Os valores iniciais são grandes, depois diminuem bastante. Essa é uma característica das
funções exponenciais com base entre 0 e 1.
Gráfico exponencial
Veja como construir um gráfico crescente e outro decrescente.
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Problemas com funções exponenciais
As funções exponenciais são muito usadas na área da saúde, pois diversos comportamentos analisados
podem ser explicados e estudados por esse tipo de relação entre variáveis.
Suponhamos que um pesquisador esteja analisando o crescimento de uma bactéria em uma cultura. Ele
observa que a função do crescimento do número de bactérias (Y) com o passar do tempo (X) é dada pela
equação: 
Em que X representa o tempo em horas e Y representa o número de bactérias na placa.
Conforme já vimos, essa função tem a base 2, que é maior do que 1 , e sempre que isso ocorre temos
uma função exponencial crescente. A partir da equação, podemos prever o número de bactérias que estarão
presentes na placa em qualquer valor de tempo, lembrando que no tempo inicial, X=0, teremos como resultado
Y=1, isto é, uma bactéria na placa. Veja a resolução da equação:
Analisaremos agora duas situações considerando diferentes períodos de tempo:
1º caso: X = 192 horas 2º caso: X = 384 horas
Podemos perceber que o crescimento do número de bactérias é muito maiorconforme o tempo passa. Esse
tipo de equação, chamada de função resposta, tem como característica um crescimento muito acentuado.
Gráfico: Crescimento e o decrescimento da covid-19
como funções exponenciais.
Ao final de 2019, surgiu a covid-19. No mundo
todo, seu comportamento foi semelhante a um
crescimento exponencial, e depois de
implementadas algumas medidas, como
distanciamento social, uso de máscaras e
vacinação em massa, iniciou-se uma diminuição
também exponencial. Esse comportamento
pode ser exemplificado no gráfico.
Análise do gráfico exponencial
Veja a análise de um gráfico exponencial.
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Demonstração
Vamos supor que um país esteja fazendo tudo que é possível, com medidas bastante rígidas, para controlar a
covid-19 e diminuir o número de casos graves em seu sistema de hospitalização. A partir da análise dos
dados, delineou-se uma previsão, representada pela função exponencial a seguir:
Como vemos, a base dessa função é do tipo 0 0.
C
Função exponencial decrescente, pois a base é .
D
Função exponencial crescente, pois a base é .
E
Função exponencial constante, pois a base é (0 1. Então, por efeito de alguma ação, o número de casos começa a diminuir de forma
acentuada, seguindo as características de uma função exponencial com base 0cuja base é igual à base do
logaritmo, o expoente da potência será o resultado do logaritmo.
Temos ainda:
Logaritmo da potência Logaritmo do produto
Logaritmo do quociente
Quando a base do logaritmo é 10, ela não deve ser indicada: .
Logaritmo
Veja como calcular uma função logarítmica.
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Gráficos de funções logarítmicas
Para traçarmos um gráfico de uma função logarítmica, devemos selecionar valores de X e calcular o valor de Y
associado, resolvendo a função logarítmica na base desejada, da seguinte forma:
Vamos atribuir valores para a variável X e, sabendo o valor da base a — base 2 ou base 10, por exemplo —,
obtemos o valor de Y correspondente.
A fim de exemplificar a construção de um gráfico que represente a função logarítmica, usaremos um exemplo
numérico. Então, analisaremos algumas particularidades de seus gráficos.
Considere a seguinte função logarítmica:
A base do logaritmo selecionado é 2. Utilizando uma calculadora científica, vamos calcular o logaritmo com
diversos valores para X, conforme apresentado no quadro a seguir:
X log2
01 D
44B Y
0,125 log2 0,125= -3
0,25 log2 0,25= -2
0,5 log2 0,5= -1
1 log2 1= 0
2 log2 2= 1
4 log2 4= 2
8 log2 8= 3
Aneuri de Amorim.
Ao representar os pares ordenados (X, Y) no plano cartesiano, desenha-se o seguinte gráfico:
Gráfico da função \(Y=\log _{2} X\).
A função logarítmica tem algumas características que podemos ver no gráfico anterior.
Esse tipo de função nunca toca o eixo Y, isto é, não há a possibilidade de um par ordenado (0, Y), pois o X
nunca assumirá o valor de zero. Não é possível, por exemplo, . Em síntese, não existe logaritmo de
zero em nenhuma base.
Podemos perceber outra característica importante no gráfico dessa função: ela toca o eixo X (raiz da função)
no ponto (1,0). Como vimos, em uma das propriedades, logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero. Logo,
ao assumirmos (X=1), teremos:
Portanto, independentemente da base selecionada, toda função logarítmica tem como raiz (1, 0) e tocará o
eixo X nesse ponto.
Ainda, pode-se destacar que, quando a base é maior do que 1, a função é crescente. Nesse caso, os valores
assumidos por X maiores que 1 têm logaritmos positivos; já os valores de X entre 0 e 1 tem logaritmos
negativos.
Quando a base é menor do que 1, os números maiores que 1 têm logaritmos negativos e aqueles entre 0 e 1
têm logaritmos positivos. Nos casos em que a base do logaritmo é um valor entre 0 e 1, a função é 
decrescente, veja:
Considere a seguinte função:
Ao atribuir os valores de X e calcular o Y usando uma calculadora científica, obtemos estes resultados:
X 01 D
44C =log0,5
01 D
44B Y
0,125 log0,5 0,125= 3
0,25 log0,5 0,25= 2
0,5 log0,5 0,5= 1
1 log0,5 1= 0
2 log0,5 2= -1
4 log0,5 4= -2
8 log0,5 8= -3
 
É possível, então, construir o seguinte gráfico:
Gráfico da função \(Y=\log _{0,5} X\).
Como a base dessa função logarítmica vale 0,5, logo, está entre 0 e 1, seu gráfico mostra que é uma função 
decrescente.
O gráfico logarítmico
Veja como construir o gráfico da função logarítmica.
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Problemas com funções logarítmicas
As funções logarítmicas e suas propriedades podem ser aplicadas em funções exponenciais para analisarmos
o comportamento ou calcularmos a variável X que se encontra no expoente.
Utilizaremos como exemplo a função exponencial, conhecida anteriormente, que descreve o crescimento do
número de bactérias (Y) com o passar do tempo (X), dada pela equação:
Em que X representa o tempo em horas e Y representa o número de bactérias na placa.
Anteriormente, atribuímos valores de tempo a X para encontrarmos a quantidade de bactérias que estaria
presente na placa analisada. Aplicando a função logarítmica, podemos definir valores para a quantidade de
bactérias e calcular, então, o tempo necessário para chegar a esse número.
Matematicamente, aplicamos uma função logarítmica aos dois lados do sinal de igual.
Dessa forma, é possível calcularmos quanto tempo será necessário para obtermos certa quantidade de
bactérias.
Agora, vamos analisar quanto tempo é necessário para termos as seguintes quantidades de bactérias (Y):
1º Caso
Y= 256 bactérias X = 24log2(256) = 24(8) = 192
2º Caso
X= 20.000 bactérias X = 24log2(20.000) =
24(14,2877) = 343
3º Caso
X= 200.000 bactérias X= 24log2(200.000) =
24(17,6096) = 422
Problemas com funções logarítmicas
Veja como resolver um problema real usando a função logarítmica.
Nesse exemplo, utilizaremos a base 2: log 2 ( Y ) = log 2 ( 2 X / 24 ) \log _{2}(Y)=\log
_{2}\left(2^{X / 24}\right) 
Há uma propriedade que podemos aplicar: log a a m = m \log _{a} a^{m}=m 
Então: log 2 ( Y ) = X 24 \log _{2}( Y )=\frac{X}{24} 
Para deixarmos o X como variável, resolvemos: X = 24 log 2 ( Y ) X=24 \log _{2}(Y) 
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Demonstração
Utilizaremos algumas propriedades da função logarítmica para exercitar os trabalhos algébricos desse tipo de
função.
Sabendo que e , vamos calcular o valor de:
O intuito aqui é usar as propriedades para melhorar o raciocínio lógico, logo, não utilizaremos a calculadora
científica.
Podemos resolver usando apenas os valores fornecidos de e . Veja como:
Devemos fatorar o 64 e expressá-lo como um valor exponencial de base 2, obtendo:
E passamos a ter:
Usando uma das propriedade do logaritmo de uma exponencial, teremos:
Substituindo o valor dado para :
Reescrevendo a , temos:
Usando a propriedade do logaritmo do produto, teremos:
Substituindo os valores dados:
 
Mão na massa
Questão 1
Assinale a afirmativa correta com relação à função logarítmica a seguir: .
A
Representa uma função crescente, pois a base é a 1.
C
Representa uma função decrescente, pois a base é a = 10 > 1.
D
Representa uma função crescente, pois esse tipo de função sempre é crescente.
E
Representa uma função decrescente, pois esse tipo de função sempre é decrescente.
A alternativa B está correta.
Considerando a equação geral da função logarítmica, , a base da função apresentada é 
. Sempre que a base é maior do que 1, teremos uma função logarítmica crescente.
Questão 2
Marque a afirmativa correta acerca da função logarítmica a seguir: .
A
Representa uma função decrescente, pois a base é (0indica a aplicação adequada de uma propriedade para solucionar a equação a seguir:
.
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
A propriedade a ser usada é:
Teoria na prática
Exemplificamos o uso da função exponencial em uma análise da diminuição dos casos graves de covid-19 com
o passar do tempo, sendo utilizada a função a seguir:
No exemplo, escolhemos um valor de X que representa o tempo em meses e calculamos o número de casos
graves, expresso pela variável Y.
Com a aplicação da função logarítmica, é possível definirmos o número de casos (Y) e calcularmos quanto
tempo (X) levará para alcançar esse valor. Para isso, devemos aplicar a função logarítmica aos dois lados do
sinal de igual da equação anterior. Utilizaremos o logaritmo de base 2, mas poderia ser qualquer base.
Aplicamos, então, a propriedade do logaritmo do produto. Observe:
Calculando o logaritmo e aplicando a propriedade do logaritmo do expoente, teremos:
1º Caso
 casos 
Considerando o resultado, este seria o nosso
ponto de partida: um milhão de casos de
covid-19 no momento do início do estudo.
2º Caso
 casos 
Com o cálculo, concluímos que levará 1 mês
para chegar a 250 mil casos.
3º Caso
 casos 
Por meio da função logarítmica, constata-se
que serão necessários 4 meses para chegar a
10 mil casos de covid-19.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Considere esta função logarítmica: .
Qual o valor de Y para X=2?
A
Y=1
B
Y=2
C
Y=0
D
Y=-1
E
Y=-2
A alternativa A está correta.
Basta substituir o valor de X na equação. Vamos lá?
Y = log2X
Y = log22
Y = 1
Lembre: podemos escrever essa mesma expressão como 2Y = X.
Questão 2
Considere as duas funções logarítmicas:
- 1a função: 
-2a função: 
É correto afirmar que
A
a primeira é uma função constante e a segunda é uma função decrescente.
B
as duas funções são decrescentes.
C
as duas funções são crescentes.
D
a primeira é uma função crescente e a segunda é uma função decrescente.
E
a primeira é uma função decrescente e a segunda é uma função crescente.
A alternativa D está correta.
A primeira função é crescente, pois a base é 2, um número acima de 1. A segunda função é decrescente,
pois a base (0,5) está entre 0 e 1.
5. Conclusão
Considerações finais
Neste conteúdo, você adquiriu conhecimentos de matemática e agora está mais preparado e dotado dos
recursos necessários para avançar na sua profissão. Foram apresentados conceitos e aplicações de diferentes
funções matemáticas: função de primeiro grau, de segundo grau, exponencial e logarítmica.
Essas funções são muito utilizadas no dia a dia, bem como na descrição de situações, estudos e análises na
área da saúde, conforme as características dessas funções e dos dados analisados. Neste estudo, você
observou esse uso em crescimentos lineares e exponenciais de bactérias em uma amostra, por exemplo.
Portanto, todos os conceitos aqui apresentados são de grande utilidade para a sua formação profissional.
Podcast
Para encerrar, ouça sobre as funções e como aplicá-las no dia a dia do profissional de saúde.
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Referências
MAIO, W. de (coord.); BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos da matemática: cálculo e análise. Rio de
Janeiro: LTC, 2007.
 
GUIMARÃES, L. G. S. et al. Bases matemáticas para engenharia. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
 
REGRA DE TRÊS. Matemática Didática. Consultado na internet em: 18 ago. 2021.
	Funções básicas
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	1. Funções de primeiro grau
	Características da função de primeiro grau
	Equações algébricas em situações contextualizadas com funções de primeiro grau
	Atenção
	Equação de primeiro grau
	Conteúdo interativo
	Construção do gráfico relacionado à função
	Gráfico da função de primeiro grau
	Conteúdo interativo
	Inferências sobre um gráfico e seus coeficientes
	Coeficiente angular
	Coeficiente angular positivo:
	Coeficiente angular negativo:
	Coeficiente linear
	No primeiro gráfico
	No segundo gráfico
	Aplicações da função de primeiro grau
	Conteúdo interativo
	Demonstração
	Mão na massa
	Questão 5
	Teoria na prática
	Verificando o aprendizado
	2. Funções de segundo grau
	Características da função de segundo grau
	Equações algébricas em situações contextualizadas com funções de segundo grau
	0,5 hora após a ingestão
	1 hora após a ingestão
	2 horas após a ingestão
	0,5 hora após a ingestão
	1 hora após a ingestão
	2 horas após a ingestão
	Equações de segundo grau
	Conteúdo interativo
	Construção do gráfico relacionado à função do segundo grau
	X do vértice
	Y do vértice
	Vértice
	Primeiro passo
	Segundo passo
	Terceiro passo
	Gráfico da função do 2º grau
	Conteúdo interativo
	Interpretação do gráfico da função de segundo grau — parábola
	Gráfico 1
	Gráfico 2
	Análise do gráfico da função de segundo grau
	Conteúdo interativo
	Demonstração
	Primeiro passo
	Segundo passo
	Terceiro passo
	Quarto passo
	Mão na massa
	Teoria na prática
	Verificando o aprendizado
	3. Funções exponenciais
	Características da função exponencial
	a