Teorema de Pitágoras e Áreas

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Matemática
2o bimestre – Aula 33 
Ensino Fundamental: Anos Finais
PISA – Fazendas
● Semelhança de triângulos;
● Teorema de Pitágoras;
● Área de figuras planas.
● Reconhecer quando triângulos 
são semelhantes;
● Aplicar o teorema de Pitágoras 
na resolução de situações-
problema;
● Calcular áreas de figuras 
planas (quadrado e triângulo).
Dimensão do PISA
● Ver estruturas matemáticas e 
suas regularidades.
A Pirâmide do Louvre é uma 
estrutura, construída em vidro e 
metal, localizada no pátio principal do 
Palácio do Louvre em Paris, França. 
A Grande Pirâmide serve de entrada 
principal para o famoso museu.
Concluída em 1989, sua instalação 
provocou muita discussão em razão 
de ser uma construção futurista em 
contradição a uma arquitetura 
clássica do museu. Os anos 
passaram e a pirâmide 
definitivamente foi incorporada à
paisagem parisiense.
Mas você imagina qual seja a altura 
aproximada da Pirâmide do Louvre? 
Dez metros? Quinze metros?
Vamos lhe oferecer dois valores 
para que chegue ao resultado:
• A base quadrada da pirâmide 
tem 35 m de medida do lado;
• O apótema da face lateral 
mede 27 m.
apótema
Sugestão: represente as informações em um 
triângulo retângulo e utilize o teorema de 
Pitágoras na resolução. 
Apótema: perpendicular baixada do vértice de uma pirâmide regular para qualquer um dos lados do polígono de base.
Virem e conversemTeorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras é uma relação entre as medidas dos lados de 
um triângulo retângulo. Segundo o teorema, o quadrado da medida da 
hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
∟.
𝒂
𝒃
𝒄
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄²
Descubra, aplicando o 
teorema de Pitágoras,
qual é o comprimento de 
uma escada posicionada 
a 4 metros de distância da 
parede de um muro que 
mede 3 metros de altura. 
𝒂 → 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐
𝒃 → 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐
𝒄 → 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
Atividade 1
Qual é a altura aproximada da Pirâmide do Louvre, sabendo que o lado da base 
quadrada da pirâmide tem 35 metros de comprimento e o apótema da face 
lateral tem 27 metros? 
Mostre as etapas
Atividade 1
Qual é a altura aproximada da Pirâmide do Louvre, sabendo que o lado da base 
quadrada da pirâmide tem 35 metros de comprimento e o apótema da face 
lateral tem 27 metros? 
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐²
ℎ2 + (17,5)2= 27²
ℎ2 + 306,25 = 729
ℎ2 = 729 − 306,25
ℎ2 = 422,75
ℎ = ± 422,75
ℎ = ±20,5
Como estamos diante de uma medida de 
comprimento, a altura será um valor positivo, isto é, 
aproximadamente 20,5 m.
Correção
.
𝟏𝟕,𝟓 𝒎
𝟐𝟕𝒎
𝒉
𝟏𝟕,𝟓 𝒎
Você pode ver aqui a fotografia de uma casa de 
fazenda com o telhado em forma de pirâmide.
Ao lado, está o modelo matemático do telhado da 
casa preparado por um estudante.
Adaptado: PISA 2012
A B
D C
Hábitos de discussão
T
O chão do sótão, denominado ABCD no 
modelo, é um quadrado. As vigas que 
suportam o teto são laterais do bloco 
(prisma retangular) EFGHKLMN. Os pontos 
E, F, G e H são, respectivamente, os pontos 
médios dos segmentos AT, BT, CT e DT. 
Todas as arestas da pirâmide, no modelo, 
têm o comprimento de 12 m.
Fonte: PISA 2012
Esquema do telhado
Hábitos de discussão
A B
D C
H G
F
E
T
12 m
12 m
K
M
L
N
Atividade 2
Calcule a área total do chão do sótão ABCD.
Faça agora
Fonte: PISA 2012
A B
D C
12 m
12 m
Atividade 2
Calcule a área total do chão do sótão ABCD.
Correção
Área do quadrado:
𝐴 = 𝑙2
𝐴 = 122
𝑨 = 𝟏𝟒𝟒
A área total do chão do sótão é de 144 m².
A B
D C
12 m
12 m
Atividade 3
Calcule o comprimento de EF, uma das laterais horizontais do bloco.
A B
D C
H G
FE
T
12 m
12 m
Fonte: PISA 2012
K L
MN
Atividade 3
Calcule o comprimento de 𝐸𝐹, uma das arestas horizontais do bloco.
Correção
As faces laterais são formadas por triângulos equiláteros, “[...] as arestas da 
pirâmide, no modelo, têm o comprimento de 12 m”. O triângulo EFT é semelhante ao 
triângulo ABT, pelo caso AAA (ângulo, ângulo, ângulo) sendo a razão de semelhança 
𝟏
𝟐
, indicando que 𝑬𝑭 é metade da medida do segmento 𝑨𝑩.
𝑬𝑭 = 𝟔𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
A B
D C
H G
FE
T
12 m
12 m
K L
N M
Mostre as etapas
A B
D C
H G
FE
T
12 m
12 m
Determine a área da superfície de uma face lateral do telhado.
Fonte: PISA 2012
K L
MN
Determine a área da superfície de uma face lateral do telhado.
Correção
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐²
ℎ2 + 62 = 12²
ℎ2 + 36 = 144
ℎ2 = 144 − 36
ℎ2 = 108
ℎ = ± 108
ℎ = ±6 3
A B
D C
H G
FE
T
12 m
12 mK L
MN
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 (ℎ) 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 6 3
𝐴Δ =
𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
𝐴Δ =
12 ∙ 6 3
2
𝐴Δ = 6 ∙ 6 3
𝑨𝜟 = 𝟑𝟔 𝟑
● Utilizamos o teorema de Pitágoras 
para o cálculo de alturas e na 
resolução de situações-problema;
● Calculamos a área de figuras planas 
– quadrado e triângulo.
Referências
LEMOV, Doug. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala 
de aula. Porto Alegre: Penso, 2023.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Testes e Questionários. Disponível em: 
https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de-atuacao/avaliacao-e-exames-
educacionais/pisa/testes-e-questionarios. Acesso em: 8 abr. 2024.
Edições anteriores. Itens liberados de matemática.
https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de-atuacao/avaliacao-e-exames-educacionais/pisa/testes-e-questionarios
https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de-atuacao/avaliacao-e-exames-educacionais/pisa/testes-e-questionarios
https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de-atuacao/avaliacao-e-exames-educacionais/pisa/testes-e-questionarios
https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de-atuacao/avaliacao-e-exames-educacionais/pisa/testes-e-questionarios
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slides 3, 4, 6 e 7 – Pixabay. Disponível em: https://pixabay.com/pt/photos/paris-
louvre-museu-pir%C3%A2mide-7159870/. Acesso em: 07 abr. 2024
Slide 5 – Pixabay. Disponível em: https://pixabay.com/pt/vectors/tijolo-vermelho-muro-
barreira-158629/. Acesso em: 07 abr. 2024
Pixabay. Disponível em: https://pixabay.com/pt/vectors/ferramenta-equipamento-
escada-145193/. Acesso em: 07 abr. 2024
Slides 8 a 15 – PISA.
https://pixabay.com/pt/photos/paris-louvre-museu-pir%C3%A2mide-7159870/
https://pixabay.com/pt/photos/paris-louvre-museu-pir%C3%A2mide-7159870/
https://pixabay.com/pt/vectors/tijolo-vermelho-muro-barreira-158629/
https://pixabay.com/pt/vectors/tijolo-vermelho-muro-barreira-158629/
https://pixabay.com/pt/vectors/ferramenta-equipamento-escada-145193/
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