Lógica Matemática - Unidades

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MATEMÁTICA
Lógica
LÓGICA
MATEMÁTICA
1ª Edição
JanEiro | 2021
Universidade La Salle Canoas | Av. Victor Barreto, 2288 | Canoas - RS
CEP: 92010-000 | 0800 541 8500 | ead@unilasalle.edu.br
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Tiago Konrath Araujo
APRESENTAÇÃO
Prezado estudante,
A equipe de gestão da EaD LaSalle sente-se honrada em entregar a 
você este material didático. Ele foi produzido com muito cuidado para 
que cada Unidade de estudos possa contribuir com seu aprendizado 
da maneira mais adequada possível à modalidade que você escolheu 
estudar: a modalidade a distância. Temos certeza de que o conteúdo 
apresentado será uma excelente base para o seu conhecimento e para 
a sua formação. Por isso, indicamos que, conforme as orientações de 
seus professores e tutores, você reserve tempo semanalmente para 
realizar a leitura detalhada dos textos deste livro, buscando sempre 
realizar as atividades com esmero a fim de alcançar o melhor resultado 
possível em seus estudos. Destacamos também a importância de 
questionar, de participar de todas as atividades propostas no ambiente 
virtual e de buscar, para além de todo o conteúdo aqui disponibilizado, 
o conhecimento relacionado a esta disciplina que está disponível por 
meio de outras bibliografias e por meio da navegação online.
Desejamos a você um excelente módulo e um produtivo ano letivo. 
Bons estudos!
Gestão de EaD LaSalle
APRESENTANDO A DISCIPLINA
Lógica
Matemática
Olá!
Seja bem vindo à disciplina de Lógica Matemática! Nela abordaremos 
as ferramentas que lhe auxiliarão na resolução de problemas envolvendo 
argumentação e raciocínio lógico.
Trata-se de uma disciplina que irá lhe incentivar a compreender e a utilizar 
as habilidades lógicas para avaliar e justificar enunciados e teoremas comuns 
em matemática e em aplicações na ciência da computação. Ao longo das 
unidades os conceitos são apresentados buscando relacionar as definições 
matemáticas com a resolução de problemas aplicados.
A disciplina está estruturada em 4 unidades, que descrevemos brevemente 
nos parágrafos a seguir.
Na primeira unidade abordaremos os conceitos iniciais da lógica matemática 
e a distinção entre a lógica matemática, quantitativa e numérica.
Na segunda, estudaremos as lógicas analítica e crítica e iniciaremos o 
estudo de proposições.
Na terceira, trabalharemos as proposições compostas, suas operações e as 
relações de implicação e equivalência, muito importantes na demonstração 
de teoremas.
Finalmente, a quarta unidade será dedicada às argumentações. Nela 
abordaremos as regras de inferência, que podem ser aplicadas com ou sem 
o uso de quantificadores.
Esperamos que esse livro lhe ajude na compreensão da relação existente 
entre a lógica matemática e seu curso de graduação.
Bons estudos!
Sumário
UNIDADE 1
Introdução à Logica .......................................................................................................................................9
 Parte 1: Introdução à Lógica e ao Raciocínio Lógico ............................................................................... 11
 Parte 2: Lógica Matemática ........................................................................................................................19
 Parte 3: Lógica Quantitativa .......................................................................................................................31
 Parte 4: Lógica Numérica ...........................................................................................................................39
UNIDADE 2
Lógicas Analítica, Crítica e Proposições ....................................................................................................49
 Parte 1: Lógica Analítica ............................................................................................................................51
 Parte 2: Lógica Crítica ................................................................................................................................73
 Parte 3: Cálculo Proposicional ...................................................................................................................83
 Parte 4: Proposições Simples .....................................................................................................................91
UNIDADE 3
Relações Envolvendo Proposições .............................................................................................................95
 Parte 1: Proposições Compostas ................................................................................................................97
 Parte 2: Relações de Equivalência e Implicação Lógica .........................................................................101
 Parte 3: Propriedades das Equivalências e Implicações Lógicas ...........................................................107
 Parte 4: Dedução ......................................................................................................................................113
 
UNIDADE 4
Argumentação ...........................................................................................................................................121
 Parte 1: Indução ........................................................................................................................................123
 Parte 2: Sofismas ou Falácias ..................................................................................................................131
 Parte 3: Argumentos e Regras de Inferência ...........................................................................................137
 Parte 4: Regras de Inferência para Proposições Quantificadas .............................................................145
 
unidade 
1
Introdução à Lógica
Prezado(a) estudante
Estamos começando uma unidade desta disciplina. Os textos que a compõem 
foram organizados com cuidado e atenção, para que você tenha contato com um 
conteúdo completo e atualizado tanto quanto possível. Leia com dedicação, realize 
as atividades e tire suas dúvidas com os tutores. Desta forma, você com certeza 
alcançará os objetivos propostos para essa disciplina.
OBJETIVO GERAL 
Definir lógica matemática, sua linguagem e relaciona-la com aplicações.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
• Introduzir o estudo da lógica matemática.
• Desenvolver a capacidade de solução de problemas matemáticos a 
partir da lógica.
• Diferenciar lógica matemática, quantitativa e numérica.
unidade 
1
O conteúdo deste livro é 
disponibilizado por SAGAH.
Parte 1
Introdução à Lógica e 
ao Raciocínio Lógico
LÓGICA MATEMÁTICA12
visão geral
Vivemos na Era da Informação. As estações de televisão 
a cabo dão notícias locais e mundiais 24 horas por dia. 
A Internet fornece acesso a milhões de livros, artigos e 
milhares de jornais de todo o mundo. Os Web sites pes-
soais, os Web logs (blogs) e os chat rooms apresentam 
comentários instantâneos a respeito dos eventos em todo 
o planeta. Frequentemente, descobrimos que, juntamen-
te com a informação, diversas afirmações são apresenta-
das. Por exemplo, suponha que leiamos o seguinte:
Alguns estúdios cinematográficos e diretores independen-
tes de cinema estão lançando seus filmes em DVD, em vez 
de colocá-los nos cinemas. Em breve, você será capaz de 
assistir à estreia de um filme em sua casa, pagando uma 
fração do que custaria caso você fosse a um cinema, com-
prasse ou alugasse o filme. De fato, as vendas de ingressos 
nos cinemas americanos vêm caindo de forma contínua 
durante os últimos dez anos. Portanto, é de se esperar que 
os cinemas irão se tornar obsoletos.
Esse trecho contém uma inferência. Uma inferência, ou 
argumento, é um encadeamento de proposições (sentenças que 
são ou verdadeiras, ou falsas). As primeiras três proposições do 
trecho são premissas; contêm informações com o objetivo de dar 
boas razões para se aceitar a conclusão, ou seja, a afirmação de 
que os cinemas irão se tornar obsoletos. Nesse trecho há duas 
coisas a considerar: a informação dada é verdadeira? Se a infor-
1.1 CONTEÚDO DE VERDADE E 
COMPONENTE LÓGICO
1.2 LÓGICA E RELAÇÕES
1.3 ERROS DE CONTEÚDO 
DE VERDADE, ERROS DE 
COMPONENTE LÓGICO
E A ANÁLISE DE 
INFERÊNCIAS
1.4 RACIOCÍNIO, 
JULGAMENTO E ANÁLISE 
DEDUTIVA
1.5 INFERÊNCIAS DEDUTIVAS E 
INDUTIVAS
1.6 INCERTEZA E ANÁLISE 
INDUTIVA
11capítulo
13 Introdução à Lógica UNIDADE 1
 Introdução à Lógica e ao Raciocínio Lógico PARTE 130 Lógica
mação for verdadeira, ela oferecerá boas razões para que a conclusão seja 
aceita? Essas questões oferecem um vislumbre do papel da lógica, que é 
o estudo do raciocínio. A análise lógica revela a extensão da correção do 
raciocínio encontrado nas inferências. A lógica fornece as habilidades 
necessárias para se identificar as inferências dos outros, colocando uma 
pessoa em uma posição que permite a análise coerente e precisa dessas 
inferências. O aprendizado das habilidades lógicas irá capacitá-lo a sub-
meter as suas próprias inferências a essa mesma análise, de modo que 
possa antecipar objeções e críticas. Este livro introduz as ferramentas da 
análise lógica e apresenta aplicações práticas da lógica.
1.1 CONTEÚDO DE VERDADE E COMPONENTE LÓGICO
O nosso interesse inicial no estudo da lógica está em dois modos impor-
tantes de avaliarmos a informação que recebemos durante a nossa inte-
ração consciente com o mundo. Primeiro, o conteúdo de verdade – A 
informação é verdadeira ou falsa? Segundo, o componente lógico – Se a 
informação for verdadeira, então que poderá se concluir dela? Por exemplo, 
se alguém entrar em um quarto e aparentar estar encharcado, podere-
mos concluir que está chovendo lá fora. Esse pensamento muito natural 
e quase instantâneo é na realidade o resultado de dois processos. O pri-
meiro é a avaliação da informação visual – a pessoa “aparenta estar mo-
lhada”. O segundo processo, embora complexo, ocorre tão rapidamente 
que pode escapar à atenção. A sua complexidade está no notável processo 
de se levar uma peça de informação para além de seus limites. A partir 
de “uma pessoa molhada”, concluímos que “está chovendo”. De uma peça 
de informação, desenvolvemos, ou inferimos, uma consequência. Damo-
nos conta da complexidade apenas quando nos tornamos conscientes do 
processo. Então, somos confrontados com o processo seguinte de calcular 
e justificar a nossa inferência. Se fizermos para alguém um comentário 
de que está chovendo lá fora, essa pessoa poderá nos pedir para explicar 
por que pensamos isso. Só então ficaremos conscientes da necessidade 
de analisar e justificar a nossa conclusão. Apontar para a pessoa mo-
lhada pode ajudar a justificar a nossa conclusão, mas uma análise mais 
profunda levanta a possibilidade de que possamos estar enganados, ou 
seja, de que não esteja chovendo. Há certamente outras razões para uma 
pessoa estar molhada – ela pode ter sido atingida por balões com água, 
pode ter se borrifado com água devido ao calor, pode ter passado entre 
os esguichos de água de um gramado, ou o umedecimento deve-se a suor 
excessivo etc. De fato, à medida que as explicações para o umedecimento 
começam a se empilhar, podemos ir ficando menos confiantes de que 
realmente esteja chovendo. Esse exemplo mostra que devemos conside-
rar a nossa interação com o mundo de duas maneiras diferentes: (1) A 
informação que recebemos é exata, correta ou verdadeira? (2) Se for ver-
dadeira, então o que poderemos inferir dela; que conclusões resultarão?
Inferência: Um 
conjunto de pro-
posições, nas quais 
as premissas são 
apresentadas como 
fundamentação da 
conclusão.
Proposição: Um 
enunciado que é ou 
verdadeiro, ou falso.
Premissa: Uma 
proposição (ou 
conjunto de propo-
sições) que é dada 
como fundamen-
tação para uma 
conclusão.
Conclusão: A parte 
final de uma infe-
rência; a proposição 
que se pretende 
obter a partir das 
premissas.
Conteúdo de ver-
dade: A verdade ou 
falsidade efetiva de 
uma proposição e 
os métodos de sua 
determinação.
Componente lógi-
co: A relação lógica 
entre as premissas e 
uma conclusão.
LÓGICA MATEMÁTICA 14
C A P Í T U L O 1 • Lógica e Verdade 31
1.2 LÓGICA E RELAÇÕES
A determinação do conteúdo de verdade e do componente lógico de 
uma inferência constituem um processo complexo, de modo que erros 
podem facilmente ser cometidos. Há duas fontes potenciais de erros 
– conteúdo de verdade incorreto e componente lógico incorreto. Embora 
improvável, é possível contudo que, no nosso exemplo anterior, estivés-
semos errados em relação à pessoa estar realmente molhada (lembre-se, 
dissemos que a pessoa “aparentava” estar encharcada). Se for assim, esse 
seria um caso de conteúdo de verdade incorreto. Por outro lado, a nossa 
inferência poderia estar errada, pois poderia não estar chovendo. Se for 
assim, esse seria um caso de componente lógico incorreto. (É possível 
que estejamos errados nos dois casos – conteúdo de verdade incorreto 
e componente lógico incorreto.) A primeira fonte de erro, conteúdo de 
verdade incorreto, é a mais familiar. Muito da nossa educação formal 
é dedicada ao conteúdo de verdade das informações. Entretanto, a se-
gunda fonte de erro, componente lógico incorreto, é mais difícil de ser 
reconhecida porque diz respeito à relação entre as proposições e não às 
proposições em si. Para isso ser completamente entendido, é necessário 
olhar os exemplos que elucidarão as distinções que estamos fazendo. 
Suponha que você receba duas peças de informação:
 1. Vincent van Gogh nasceu em alguma data durante os anos 1800.
 2. Marie Curie nasceu em alguma data durante os anos 1800.
Primeiro, podemos investigar a verdade das proposições. Observe 
que a verdade ou falsidade de cada proposição é independente da outra 
– isto é, ambas podem ser verdadeiras, ambas podem ser falsas ou uma 
pode ser verdadeira e a outra, falsa. Facilmente poderíamos encontrar 
evidências a respeito da verdade ou falsidade de cada proposição (con-
sultando uma enciclopédia, um livro de história da ciência, pesquisando 
na Internet etc.). O resultado dessa linha de análise seria conhecermos 
o conteúdo de verdade; teríamos determinado a verdade ou a falsidade 
real de cada proposição. Entretanto, antes de investigar o conteúdo de 
verdade, poderíamos examinar as duas proposições como premissas em 
potencial. O nosso foco seria então o que poderia ser inferido a partir 
delas – O que se concluirá delas se forem verdadeiras? Essa linha de análise 
leva-nos à área do componente lógico, cujo foco éa relação entre o par 
de duas proposições acima e uma nova proposição, a conclusão, que 
poderemos obter do par. Uma possível conclusão é a seguinte:
 3. Van Gogh nasceu antes de Marie Curie.
A nossa atenção agora está focada em perguntas diferentes, tais 
como “E se as duas primeiras proposições forem verdadeiras?”, “Como 
a verdade ou falsidade das duas primeiras proposições relacionam-se 
com a verdade ou falsidade da terceira proposição?”, “As duas primeiras 
proposições fundamentam a terceira?” e “As duas primeiras proposições 
15 Introdução à Lógica UNIDADE 1
 Introdução à Lógica e ao Raciocínio Lógico PARTE 132 Lógica
fornecem boas razões para se aceitar a terceira?”. Essas considerações são 
radicalmente diferentes das nossas preocupações com o conteúdo de ver-
dade das duas primeiras proposições. Como agora estamos concentrados 
na relação entre as três proposições, a nossa análise tem uma forma com-
pletamente diferente. Uma analogia poderá ajudá-lo a compreender esse 
ponto. Quando falamos a respeito da relação entre duas pessoas, podere-
mos pensar se ela é “boa”, “forte”, “de apoio mútuo”, “estremecida”, “muito 
fraca” etc. Isso é similar ao que estamos fazendo agora. Isso poderá ser 
visto mais claramente se mostrarmos as proposições de modo diferente.
Exemplo 1.1
 1. Vincent van Gogh nasceu em alguma data durante os anos 
1800.
 2. Marie Curie nasceu em alguma data durante os anos 1800.
 3. Van Gogh nasceu antes de Marie Curie.
Essa forma de mostrar a informação indica que o objetivo é as duas pri-
meiras proposições serem premissas, ao passo que a proposição abaixo 
da linha é a conclusão de uma inferência. Queremos analisar a relação 
lógica {R} entre as premissas e a conclusão. Especificamente, queremos 
ver se as premissas, quando ambas são verdadeiras, garantem alguma coi-
sa a respeito da conclusão. Se aceitarmos que a informação da primeira 
premissa é verdadeira, então seremos informados de que van Gogh nas-
ceu em alguma data entre os anos 1800 e 1899. Se aceitarmos que a in-
formação da segunda premissa é verdadeira, então seremos informados 
de que Marie Curie também nasceu em alguma data entre os anos 1800 
e 1899. Neste ponto, é importante fazer uma separação entre o conteúdo 
de verdade da conclusão e a análise lógica que determina se é possível ou 
não obtê-la das premissas, ou seja, uma questão de relação. Isso é crucial 
porque nem sempre estamos em condições de determinar o conteúdo 
de verdade das proposições. Contudo, podemos desenhar uma linha de 
tempo para representar os anos 1800.
18991800
Como não determinamos o conteúdo de verdade dessas premissas, é pelo 
menos logicamente possível situar as datas de nascimento de van Gogh e 
Curie sobre essa linha de modo tal que a conclusão seja verdadeira.
van Gogh Curie
18991800
Relação lógica: 
A conexão lógica 
entre premissas e 
conclusões.
LÓGICA MATEMÁTICA 16
C A P Í T U L O 1 • Lógica e Verdade 33
Também é logicamente possível situar as datas de nascimento de Van 
Gogh e Curie sobre essa linha de modo que a conclusão seja falsa.
Curie van Gogh
18991800
Entretanto, a análise do Exemplo 1.1 revelou que, embora a informação 
das premissas seja verdadeira, é logicamente possível que a conclusão 
seja tanto verdadeira como falsa. Esse exemplo mostra que podemos de-
terminar a relação lógica entre as proposições sem conhecermos a verda-
de ou falsidade real das proposições envolvidas.
Agora, vamos examinar um par ligeiramente diferente de propo-
sições.
 1. Marie Curie nasceu em alguma data durante os anos 1800.
 2. Nelson Mandela nasceu em alguma data durante os anos 1900.
Agora estamos interessados na relação que existe entre esse par de pro-
posições e uma nova proposição, uma que podemos derivar como uma 
consequência desse par. Uma candidata seria esta proposição: 
 3. Marie Curie nasceu antes de Nelson Mandela.
Isso nos dá um novo exemplo de análise lógica.
Exemplo 1.2
 1. Marie Curie nasceu em alguma data durante os anos 1800.
 2. Nelson Mandela nasceu em alguma data durante os anos 
1900. 
 3. Marie Curie nasceu antes de Nelson Mandela.
Como antes, para fins de análise lógica, começaremos admitindo que as 
premissas são verdadeiras. Se assim for, a informação dada é: Premissa 
1 – Marie Curie nasceu em alguma data entre 1800 e 1899, e Premissa 
2 – Nelson Mandela nasceu em alguma data entre 1900 e 1999. No-
vamente podemos desenhar uma linha de tempo para nos ajudar na 
análise.
1900
Curie Mandela
19991800
17 Introdução à Lógica UNIDADE 1
 Introdução à Lógica e ao Raciocínio Lógico PARTE 134 Lógica
A data de nascimento de Marie Curie pode ser colocada em qualquer 
lugar entre 1800 e 1899. A data de nascimento de Nelson Mandela pode 
ser colocada em qualquer lugar entre 1900 e 1999. Agora, se as informa-
ções das premissas forem verdadeiras, então a relação {R} entre essas três 
proposições será tal que a conclusão do Exemplo 1.2 também deverá ser 
verdadeira. Lembre-se de que essa é apenas uma análise lógica – não es-
tamos afirmando que qualquer uma das proposições seja realmente ver-
dadeira. Mais exatamente, estamos considerando apenas o componente 
lógico contido na inferência (e se as premissas forem verdadeiras?). A 
nossa análise revelou algo completamente diferente do Exemplo 1.1. Es-
pecificamente, o Exemplo 1.2 mostra que em uma inferência é possível 
existir uma relação em que as premissas, se verdadeiras, garantem que a 
conclusão seja verdadeira. Assim, a análise lógica é completamente dife-
rente da análise de conteúdo de verdade, que considera apenas qual é o 
caso (se as proposições são verdadeiras ou falsas).
Um exemplo final será considerado aqui.
Exemplo 1.3
 1. Marie Curie nasceu em alguma data durante os anos 1800.
 2. Nelson Mandela nasceu em alguma data durante os anos 
1900. 
 3. Nelson Mandela nasceu antes de Marie Curie.
Como antes, para fins de análise lógica, começaremos aceitando que as 
premissas são verdadeiras. Se for assim, a informação dada é a mesma 
de antes: Premissa 1 – Marie Curie nasceu em alguma data entre 1800 e 
1899. Premissa 2 – Nelson Mandela nasceu em alguma data entre 1900 
e 1999. Se as premissas forem aceitas como verdadeiras, então a relação 
{R} entre essas três proposições será tal que a conclusão deve ser falsa.
No que diz respeito à questão da relação, a discussão até aqui revelou 
que os resultados podem ser diferentes. No Exemplo 1.1, a relação era tal 
que, mesmo se as premissas fossem ambas verdadeiras, a conclusão pode-
ria ser tanto verdadeira ou falsa. No Exemplo 1.3, a relação era tal que, se as 
premissas fossem ambas verdadeiras, então a conclusão tinha que ser falsa. 
Mais importante ainda, no Exemplo 1.2 a relação era tal que, se as premis-
sas fossem ambas verdadeiras, era garantida a verdade da conclusão.
O domínio da análise lógica requer a separação efetiva dos dois ti-
pos de avaliação de informação que examinamos. Como as nossas men-
tes naturalmente processam a informação segundo os dois modos que 
discutimos, frequentemente fica confuso quando pela primeira vez ten-
tamos conscientemente manter separados os dois modos. Primeiro, a in-
formação que estou recebendo é exata, correta ou verdadeira? Segundo, 
se for verdadeira, então o que eu posso inferir dela – isto é, que conclu-
sões podem ser tiradas? De fato, para a maioria das pessoas, o primeiro 
LÓGICA MATEMÁTICA 18 C A P Í T U L O 1 • Lógica e Verdade 35
tipo de avaliação (o conteúdo de verdade) tem prioridade. Se você não 
estiver consciente da diferença entre conteúdo de verdade e componente 
lógico, então surgirá uma confusão. Podemos ilustrar isso realizando um 
pequeno experimento em que você lê uma frase, compreende o seu sig-
nificado, mas não a julga como verdadeira ou falsa. Tentecompreender o 
significado da frase sem decidir a respeito de sua veracidade ou falsidade 
real. A frase irá se referir ao livro que você está lendo agora. Aqui está a 
frase:
O livro que você está lendo agora pesa 1000 quilogramas.
Ao terminar de ler a frase, a maioria das pessoas, se não todas, imediata-
mente sabe que é falsa. A “decisão” de que a frase era falsa ocorre tão ra-
pidamente que as pessoas não conseguem evitá-la. Isso mostra que uma 
parte da nossa mente está constantemente analisando a informação em 
relação à sua verdade ou falsidade. Isso é importante para a nossa discus-
são precisamente porque devemos reconhecer que as nossas mentes estão 
constantemente trabalhando em dois níveis diferentes, e devemos apren-
der a manter separados esses níveis. Para avaliarmos a relação (o compo-
nente lógico) que existe entre as proposições, devemos desconsiderar o 
conteúdo de verdade. Temporariamente, devemos ignorar os resultados 
de verdade ou falsidade reais – não porque não sejam importantes, mas 
simplesmente porque estamos fazendo algo inteiramente diferente.
É possível ter um entendimento claro de como as duas funções dife-
rem examinando como nós processamos outros tipos de informação. Os 
sentidos da visão e do olfato são duas funções distintas. Não esperamos que 
nossos olhos detectem a fragrância de uma flor, ou que nossos narizes nos 
digam qual é a cor da flor. Na verdade, quando as pessoas estão cheirando 
algo, algumas vezes elas fecham os olhos para dar a mais alta prioridade ao 
sentido de olfato. Bem frequentemente, fechamos os olhos quando quere-
mos nos concentrar para ouvir alguma coisa. De forma semelhante, quan-
do estamos concentrados no componente lógico, devemos aprender a tem-
porariamente “fechar” a nossa capacidade de ver o conteúdo de verdade.
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
unidade 
1
O conteúdo deste livro é 
disponibilizado por SAGAH.
Parte 2
Lógica Matemática
LÓGICA MATEMÁTICA 20
Este capítulo trata da arte das explicações e dos argumentos matemáticos. Primei-
ramente, analisarei essa arte em termos de sua história e seu desenvolvimento e, 
depois, vamos dar uma olhada mais de perto em algumas das formas mais comuns 
de explicações e argumentos matemáticos que caracterizam a noção moderna de pro-
va. Meu objetivo não é ensinar a prova em si – embora peça, aqui e em capítulos pos-
teriores, que você tente fazer uma prova – e proporcionar uma introdução modesta às 
habilidades de desenvolvimento e leitura de provas.
Para preparar o terreno, por assim dizer, comecemos com a história curta de uma 
sala de aula da educação infantil. A professora Austin-Page vem usando blocos de 
montar para ajudar seus alunos a ampliar e desenvolver seu sentido de espaço. Nes-
ta história, ouvimos como a professora pergunta aos alunos o que aprenderam hoje 
(ANDREWS, 1999).
José levanta a mão freneticamente, exclamando: “Consigo provar que um triân-
gulo é igual a um quadrado”. A professora pede a ele para contar mais à turma 
sobre sua descoberta. José vai para o canto onde estão os blocos e retorna com dois 
meios blocos quadrados, dois meios blocos triangulares e um bloco retangular.
“Olha só”, ele diz com orgulho. “Se estes dois [levanta os meios blocos qua-
drados] são os mesmos que este [levanta o bloco retangular],
e estes dois [agora levanta os meios blocos triangulares] são os mesmos que este 
[levanta o bloco retangular de novo],
este quadrado tem de ser o mesmo que este triângulo [levanta o meio bloco qua-
drado e o meio bloco triangular]!”
CAP Í TU LO
Explicações e argumentos 
matemáticos 1
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21 Introdução à Lógica UNIDADE 1
 Lógica Matemática PARTE 218 Edward S. Wall
Embora a maneira de José falar – sua afirmação de que as formas eram “iguais” 
– não seja matematicamente correta (por exemplo, as formas não são congruentes), 
fico intrigado com a sua explicação e seu uso do termo prova. E se, por exemplo, ele 
tivesse dito: “A área deste quadrado é igual à área deste triângulo porque cada um 
deles é metade da área do mesmo retângulo maior”, e continuasse com sua demons-
tração? Em que sentido isso pode ser considerado uma prova ou, pelo menos, uma 
demonstração convincente?
RACIOCÍNIO E PROVA A PARTIR DE UMA PERSPECTIVA HISTÓRICA
A história das explicações e dos argumentos matemáticos é complicada pelo fato de 
que aquilo que hoje aceitamos como paradigmático da prova matemática é uma me-
todologia que surgiu por volta de 300 a. C., em grande parte graças aos esforços de 
Euclides de Alexandria. No entanto, como indica a Figura 1.1, as civilizações da Índia 
e da China produziram muito, em termos de explicações e argumentos matemáticos, 
daquilo que Euclides, muito possivelmente, mais tarde codificou em seu Os elementos. 
Um exemplo é seu enunciado e suas soluções para o que veio a ser conhecido como 
Teorema de Pitágoras (em um triângulo retângulo qualquer, a soma das áreas dos qua-
drados construídos nos catetos é igual à área do quadrado construído na hipotenusa).
À luz de Os elementos, de Euclides, os argumentos e explicações anteriores de-
vem ser considerados demonstrações convincentes.1 Isso porque, como observa José 
(1994), há uma diferença essencial entre a prova indiana (upapattis) e a prova grega 
(apodeixis). O objetivo de um estudioso indiano era convencer o aluno inteligente da 
validade, de forma que uma demonstração visual era uma forma aceitável de argu-
mento. A apodeixis grega, por outro lado, ainda que muitas vezes incluísse uma de-
monstração geométrica, era construída a partir de axiomas selecionados e se baseava 
na lógica proposicional. Ambos, argumenta José, empregavam a dedução lógica.
Jund-i-Shapur
(Pérsia)
Toledo
(Espanha)
Córdoba
(Espanha)
Cairo
(Egito)
Bagdá
(Iraque)
Europa
Ocidental Sicília Mundo
helênico
China
Índia
FIGURA 1.1 Desenvolvimento matemático durante a Idade das Trevas.
Fonte: Adaptado de JOSEPH (1991, p. 10).
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LÓGICA MATEMÁTICA 22
Teoria dos Números para Professores do Ensino Fundamental 19
RACIOCÍNIO E PROVA A PARTIR DE UMA PERSPECTIVA DO 
DESENVOLVIMENTO
Como já indiquei, a noção de prova ocorre muito cedo no desenvolvimento de uma 
pessoa. José, nosso aluno da educação infantil, certamente apresentou uma demons-
tração convincente – que depende da forma dos blocos, da forma dos quadrados e 
da forma do retângulo produzido. A abordagem experimental de José à prova é um 
tanto típica do que se vê no currículo do ensino fundamental. Consigo provar que 5 
é a solução para
3 1 ? 5 8
experimentando números de 1 a 10. De certa forma, nos primeiros anos, não há neces-
sidade de empregar mais do que um processo de tentativa e erro com reflexão.
Mais ou menos no 3o ano, costuma acontecer uma mudança na eficácia percebida 
do método de tentativa e erro. As habilidades de contagem de crianças se desen-
volvem até o ponto onde elas começam a perceber que “os números avançam para 
sempre”. Enunciados como:
Um número par mais um número ímpar é igual a um número ímpar
embora demonstráveis para números de tamanho moderado, não o são quando se 
trata de números verdadeiramente grandes. Muitas vezes se pede que as crianças 
acreditem na estrutura de um sistema que já não podem contar nos dedos.
VARIEDADES DE PROVA
Discutirei, de forma breve, quatro variedades de prova: a prova por exaustão, a prova 
por postulados, a prova por indução e a prova por contradição. Essas variedades 
diferem em sua estrutura, mas têm pelo menos três coisas em comum. Exigem que 
você – a pessoa que faz a prova – tenha observado algum tipo de padrão sistemático 
(por exemplo, José observou que dois triângulos e dois quadrados formam um de-
terminado retângulo). Elas demandam que você faça algumtipo de enunciado sobre 
o padrão que vê. (Nos anos do ensino fundamental, isso costuma ser chamado de 
conjectura, mas afirmações mais fortes incluem proposições, preceitos ou teoremas.) E 
exigem que você defenda essa afirmação de forma lógica.
Prova por exaustão
Aqui está um problema (BALL, 1992) que pode ser apresentado em uma sala de aula 
do 3o ano (de forma reduzida em uma sala de 2o ano, e aumentada no 4o ano e depois 
dela):
Tenho moedas de 1, 5 e 10 centavos no bolso, e pego três delas. Quais seriam as diferentes 
quantias que eu poderia ter?
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23 Introdução à Lógica UNIDADE 1
 Lógica Matemática PARTE 220 Edward S. Wall
P R O B L E M A 1 . 1
Escreva este problema em uma folha de papel. Feche este livro e experimente, em princípio, 
sua própria solução sistemática.
Se você for tentado a pular este passo (ou ignorar qualquer um dos problemas deste livro), 
lembre-se de que a matemática é algo que você faz, não é algo sobre o qual você simplesmen-
te reflete. Nisso, é um pouco como a natação. Não é uma boa ideia pular na água profunda 
sem primeiro praticar as braçadas sobre as quais já leu tanto.
Uma solução possível (com alguma ajuda do professor para montar as tabelas) pode 
assumir a forma mostrada na Figura 1.2. Como você pode ver, há dez soluções para 
este problema. Mas isso é tudo? Na verdade, você pode provar que só existem dez?
Quando fiz esta pergunta, os alunos muitas vezes responderam que tentaram 
várias combinações, mas que, depois de um tempo, começaram a se repetir. Outros 
dizem que eles e seus colegas têm o mesmo número de soluções, de modo que essas 
devem ser todas as possíveis. Esse tipo de resposta pode ser um pouco convincente, 
mas não é uma prova. Preciso de algum tipo de apresentação padronizada que forne-
ça a base para um argumento convincente. Que tal a Figura 1.3?
Em referência a esta segunda solução, observo que as alternativas são: nenhuma 
moeda de 10 centavos, uma moeda de 10 centavos, duas ou três moedas de 10 centa-
vos. Assim, tenho quatro casos,
 1. Nenhuma moeda de 10 centavos. Bom, tenho, no máximo, três moedas de 1 centavo. 
Então, começando com essas três moedas, troco, passo a passo, cada moeda de 1 
centavo por uma de 5, e obtenho exatamente quatro combinações.
 2. Uma moeda de 10 centavos. Tenho no máximo duas moedas de 1 centavo. Então, 
começando com essas duas moedas de 1 centavo, troco, passo a passo, cada uma 
por uma moeda de 5 centavos. Obtenho exatamente três combinações.
 3. Duas moedas de 10 centavos. Tenho no máximo uma moeda de 1 centavo. Então, 
começando com essa moeda, troco, passo a passo, cada centavo por 5 centavos. 
Obtenho exatamente duas combinações.
 4. Três moedas de 10 centavos. É apenas uma combinação.
1 centavo
1
15c3
21c21
–
– –
–
–
–
–
–
––
–
–
7c12
12c12
3
11c21
2
1
3c3
2 25c
5 centavos 10 centavos Total
16c
30c
20c1
1 1
FIGURA 1.2 Primeira solução para três moedas.
Fonte: O autor.
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LÓGICA MATEMÁTICA 24
Teoria dos Números para Professores do Ensino Fundamental 21
Assim sendo – e isto é uma típica prova por exaustão – há exatamente dez soluções 
para o problema.
Observe que, graças ao padrão, há um sentido em que a minha segunda solução 
é esteticamente mais agradável do que a primeira. Além disso, observe que não pre-
ciso especificar combinações, porque a solução para o problema pode ser obtida da 
seguinte forma: Comece com o menor valor – apenas moedas de 1 centavo – e, em 
seguida, àqueles 3 centavos,
 1. Adicione 4 centavos um total de três vezes (7 centavos, 11 centavos, 15 centavos).
 2. Adicione 9 centavos para um total de 12 centavos, e a estes 12 centavos, adicione 
4 centavos, um total de duas vezes (16 centavos e 20 centavos).
 3. Adicione 18 centavos (9 1 9) para um total de 21 centavos, e a estes 21 centavos, 
adicione 4 centavos de um total de uma vez (25 centavos).
 4. Adicione 27 centavos (9 1 9 1 9) para um total de 30 centavos.
Assim, o número total de soluções é 4 1 3 1 2 1 1 5 10.
P R O B L E M A 1 . 2
 a. Na minha solução, explique de onde vêm os 4 centavos e os 9 centavos.
 b. Prove que, para quatro moedas, as soluções são: 4, 8, 12, 16, 20, 13, 17, 21, 25, 22, 
26, 30, 31, 35 e 40 centavos e, é claro, o número de soluções é exatamente 5 1 4 1 3 
1 2 1 1 5 15.
Provas por postulados
Esse tipo de prova – a prova por apode ixis – tende a ser muito mais eficiente do que a 
prova por exaustão, porque costuma partir de axiomas, definições, e algum padrão 
observado. Se, por exemplo, quisesse ampliar o problema das moedas para números 
cada vez maiores de moedas, uma prova por exaustão se tornaria realmente exausti-
va. Embora o problema da moeda se preste a apodeixis, apresentarei duas provas por 
postulados de que
Um número par mais um número par é igual a um número par.
1 centavo
3
7c2
11c21
15c3
12c12
1
20c2
1
30c3
2 25c
5 centavos 10 centavos Total
3c
16c
21c2
1
– –
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
11
1
1
FIGURA 1.3 Segunda solução para três moedas.
Fonte: O autor.
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25 Introdução à Lógica UNIDADE 1
 Lógica Matemática PARTE 222 Edward S. Wall
A primeira, observei em salas de aula de 3o ano; a segunda é mais típica em cursos de 
álgebra para iniciantes.
Ao apresentar uma prova por postulados, preciso avançar logicamente a partir 
de alguns fatos conhecidos – geralmente, definições e/ou axiomas – para algum fato 
novo. No 3o ano, a definição mais comum de número par é a contagem de um grupo 
de objetos no qual cada um tem um parceiro. Por exemplo,
2 1 1 10 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1)
Uma prova por postulados de 3o ano é mais ou menos assim:
Um número é par se, e apenas se, for um grupo de pares. A soma de dois núme-
ros pares é o mesmo que a combinação dos dois grupos de pares. Mas, então, 
você tem um grupo de pares que, por definição, representa um número par.
Aqui está uma prova por postulados simbólica. Mais uma vez, preciso de uma defi-
nição de número par. Um aluno de álgebra iniciante pode dizer que um número é par 
se, e apenas se, estiver na forma 2 ? n, onde n é um número inteiro. A prova é mais ou 
menos assim:
Você tem dois números pares, 2 ? n e 2 ? m, onde m e n são números inteiros. A 
soma deles é
2 ? n 1 2 ? m 5 2 ? (m 1 n)
No entanto, como m 1 n é um número inteiro,2 eu tenho, por definição, que 
2 ? (m 1 n) é um número par.
P R O B L E M A 1 . 3
Prove que um número par mais um número ímpar é igual a um número ímpar. Dica: Você tem 
uma definição de número par; você precisa de uma definição para número ímpar.
Provas por indução
A linha divisória entre indução matemática e prova por postulados não é muito clara, 
porque a primeira requer raciocínio apodíctico (raciocínio com base na prova grega, 
apodeixis). No entanto, as provas por indução assumem uma forma especial, e são 
especialmente eficazes quando desejamos estabelecer um enunciado que seja verda-
deiro para todos os números inteiros. Portanto, vale a pena destacar essas provas em 
uma seção própria. A ideia é a seguinte:
 1. Demonstro que o primeiro enunciado P0 de uma sequência infinita de enuncia-
dos é verdadeiro (a propósito, não é necessário começar com 0).
 2. A seguir, provo (efetivamente, uma prova por postulados) que, se o enunciado 
arbitrário Pn na sequência infinita de enunciados é verdadeiro, como são todos 
os enunciados anteriores a esse enunciado arbitrário, a próxima instrução Pn 11 
também o é.
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LÓGICA MATEMÁTICA 26
Teoria dos Números para Professores do Ensino Fundamental 23
Se eu puder fazer dessa forma, considerando-se que a minha escolhado enunciado 
Pn foi arbitrária, isso deve aplicar-se a todos os enunciados. Pense a respeito. Diga-
mos que haja um primeiro enunciado Pm11 na minha sequência que era falso. Nesse 
caso, o enunciado Pm é verdadeiro. No entanto, dado o passo 2 acima, isso leva a uma 
contradição.
Examinemos uma prova por indução para esclarecer um pouco a situação. Co-
meço com a seguinte situação:
Tenho um monte de blocos que são vermelhos ou azuis e, usando somente essas 
cores, quero construir todas as torres possíveis de altura 4. Quantas torres exis-
tem?
P R O B L E M A 1 . 4
Escreva este problema em um pedaço de papel. Feche este livro e tente a sua própria solução 
sistemática.
Se eu listar as torres – em essência, uma prova por exaustão – obtenho, simbolicamen-
te, (V indica um bloco vermelho e A indica um bloco azul) o seguinte:
V V V V V V V V A A A A A A A A 
V V V V A A A A V V V V A A A A
V V A A V V A A V V A A V V A A
V A V A V A V A V A V A V A V A
o que indica que existem 16 possibilidades.
Se testasse o problema com torres de altura 5, descobriria 32 possibilidades. Isso 
implica que o número de torres de altura N seja 2N. Esta é uma conjectura razoável, 
mas preciso prová-la. Uma prova por indução pode ser mais ou menos assim:
Passo 1: Para torres com altura de 1 bloco, tenho apenas o bloco vermelho ou o 
bloco azul. Isso significa duas possibilidades ao todo, e 21 5 2. Assim, 
minha fórmula funciona para torres de altura 1.
Passo 2: Preciso mostrar se 2n é o número de torres que têm altura n, de modo 
que 2n 1 1 seja o número de torres de altura n 1 1. Portanto, imagino 
que tenho uma sala cheia de todas as torres (2n torres) de altura n. Para 
tornar a altura das torres n 1 1, posso acrescentar um vermelho ou 
um azul ao topo de cada uma dessas torres. Digamos que eu acres-
cente um vermelho ao topo de todas as torres. Agora, tenho 2n torres 
de altura n 1 1, com um vermelho no topo. Da mesma forma, se eu 
acrescentar um azul, terei 2n torres de altura n 1 1, com um azul no 
topo. Juntas, essas são todas as minhas torres possíveis que têm altura 
de n 1 1 blocos:
azul vermelho
topo topo
2n 1 2n 5 2 ? 2n
5 2n 1 1
 como se queria demonstrar.
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27 Introdução à Lógica UNIDADE 1
 Lógica Matemática PARTE 224 Edward S. Wall
P R O B L E M A 1 . 5
Apresente uma prova por indução de que, se você puder usar apenas blocos vermelhos, azuis 
e verdes, o número de torres possíveis com altura de N blocos será 3N.
Provas por contradição
Uma prova por contradição estabelece a verdade de um enunciado ao pressupor que 
é falso e, com base nessa premissa, deduzir uma contradição. Considere a seguinte 
história:
Susie vem até a escrivaninha. “Professor Bass”, ela diz, “tenho uma conjectura. 
Estivemos falando de números primos. Sabe como é, aqueles números que só são 
divisíveis por si mesmos e 1. Como o 19! Fiz uns experimentos. Não acho que 
qualquer número entre 1 e 11 seja a diferença de dois números primos.” O profes-
sor Bass pensa um momento e diz: “E 3 menos 2?”. Susie franze a testa: “Pensei 
que o senhor tinha dito que não tínhamos que fazer um, mas, de qualquer forma, 
eu disse ‘entre 1 e 11’. Então, acho que é este [e aponta o 1]”. O professor sorri e 
pergunta: “Isso é outra conjectura?”. Susie sorri e responde: “Ainda não. Preciso 
experimentar mais”. O professor diz: “OK. E que tal 5 menos 3?”. Susie franze a 
testa e diz: “Eu me esqueci do 2 porque ele é muito estranho. Um primo par! Mas 
tenho certeza sobre o resto [ela não parece ter certeza]. Ah, não! Acabo de me dar 
conta de que 23 menos 13 é 10! Acho que não é uma boa conjectura”. O professor 
sorri. “Talvez devêssemos chamar o resto da turma para ajudar. OK, que tal algo 
como... [E ele escreve e diz]:
A questão de Susie
Quais números entre 1 e 11 não são a diferença de dois números primos? Prove 
suas respostas.
Então, ele sorri e diz: “Você quer incluir esse negócio do 1?”. Susie ri, “Sim!”. 
E, então, o professor Bass acrescenta
A conjectura de Susie
A única situação em que 1 é a diferença entre dois números primos é quando 
esses números primos são 2 e 3 (2 menos 1 não conta). Prove sua resposta.
P R O B L E M A 1 . 6
Escreva a questão de Susie e sua conjectura em um pedaço de papel. Feche este livro e tente 
suas próprias soluções sistemáticas.
A maioria das crianças (e muitos adultos) que tenta responder à questão de Susie 
observa que
5 – 3 5 2 7 – 3 5 4 17 – 11 5 6 13 – 5 5 8 17 – 7 5 10
5 – 2 5 3 7 – 2 5 5 11 – 2 5 9
mas não consegue encontrar dois números primos cuja diferença seja 7. Isso parece 
indicar que 7 é, de fato, o único número entre 1 e 11 que não é a diferença de dois 
números primos. No entanto, há muitos números primos e, é claro, não podemos 
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LÓGICA MATEMÁTICA 28
Teoria dos Números para Professores do Ensino Fundamental 25
experimentar todos. Para solucionar a situação, deixe-me apresentar uma prova por 
contradição:
Começo pressupondo o contrário; que há, de fato, dois primos x e y cuja diferen-
ça é 7. Isto é,
x – y 5 7
Observe que isso sugere que
x 5 y 1 7
Agora, 7 é ímpar e tenho dois casos:3
Caso 1: Se y é ímpar, x deve ser par e primo. Isso só é possível se x for 2. No en-
tanto, é claro que x é maior do que 7. Então, y não pode ser ímpar.
Caso 2: Então, y deve ser par. Isto é, y tem de ser 2. Logo, x deve ser 9. No entan-
to, embora seja ímpar, 9 não é primo.
Assim, tenho uma contradição e, portanto, 7 não é a diferença de dois números 
primos.
A conjectura de Susie pode ser resolvida de forma semelhante:
Suponha que a conjectura de Susie seja falsa. Há um par de números primos x e 
y diferentes de 2 e 3, de modo que
x – y 5 1
Observe que isso implica que
x 5 y 11
Tenho dois casos:
Caso 1: Se y é par, isto é, se y for 2, x é 3. Mas, parti do princípio de que não é esse 
o caso.
Caso 2: Então, y tem que ser ímpar. No entanto, considerando-se que um núme-
ro ímpar mais um número ímpar é par, x tem de ser par. Isto é, x tem de 
ser 2. Isso implica que y seja 1. Isso, contudo, foi negado no enunciado 
da conjectura de Susie.
Portanto, tenho uma contradição, e assim, a conjectura de Susie deve ser verdadeira.
INVESTIGAÇÕES
 1. Tenho moedas de 1, 5 e 10 centavos no bolso. Pego três moedas do bolso e dobro 
o valor de uma moeda. (a) Quantas quantias diferentes eu poderia ter? (b) Apre-
sente uma prova por exaustão convincente de que você tem todas elas.
 2. Você tem dois números inteiros x e y, de modo que 2 , x e 2 , y. Pressuponha 
que, para quaisquer três números inteiros a, b (b diferente de zero), z,
Se a , z, logo a ? b , b ? z
Apresente uma prova de postulados convincente de que 4 , x ? y.
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29 Introdução à Lógica UNIDADE 1
 Lógica Matemática PARTE 226 Edward S. Wall
 3. Ao construir trens com triângulos equiláteros com lados unitários, como segue,
TremCarros
1 1
1
você observa que o perímetro P do trem parece ser dado por
P 5 T 1 2
onde T é o número de triângulos.
Prove, usando indução, que se trata realmente disso.
 4. Prove que n2 $ 2n for 2, 3, 4, 5 ... [Dica: Use uma prova por indução.]
 5. Prove que não existe um número inteiro maior. [Dica: Use uma prova por contra-
dição.]
NOTAS
 1. Isso não significa minimizar sua importância matemática. O trabalho numérico-teórico de Diofanto de 
Alexandria pode ser visto, em parte, como uma tentativa de sistematizar a solução para uma série de 
antigos problemas de texto.
 2. Uma questão matemática importante e legítima é: “Como eu sei que m 1 n é, de fato, um número in-
teiro?” Como indiquei na introdução que poderia fazer, parti desse pressuposto coma finalidade de 
apresentação. No entanto, você pode querer examinar mais profundamente.
 3. Observe que, neste momento, estou apresentando provas por postulados.
REFERÊNCIAS
ANDREWS, A. G. Solving geometric problems by using unit blocks. Teaching Children Mathematics, v. 6, p. 
318-323, 1999.
BALL, D. L. The permutations project: mathematics as a context for learning and teaching. In: FEINMAN-
-NEMSER, S.; FEATHERSTONE, H. (Ed.). Exploring teaching: reinventing an introductory course. New 
York: Teachers College, 1992.
JOSEPH, G. G. Different ways of knowing: contrasting styles of argument in Indian and Greek mathematical 
traditions. In: ERNEST, P. (Ed.). Mathematics, education and philosophy: an international perspective. Lon-
don: The Falmer, 1994. p. 185-204.
JOSEPH, G. G. The crest of the peacock: non-European roots of mathematics. New York: St. Martin’s, 1991.
Wall_Edward_01.indd 26 27/01/14 17:58
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
unidade 
1
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disponibilizado por SAGAH.
Parte 3
 Lógica Quantitativa
LÓGICA MATEMÁTICA 32 C A P Í T U L O 7 • A Lógica dos Quantificadores 303
Como não há nenhuma linha em que ambas as premissas são verdadeiras e 
a conclusão é falsa, o método da tabela de verdade comprova que essa é uma 
inferência válida.
A seguir está uma demonstração da mesma inferência usando a dedução na-
tural:
 1. M � P
 2. S � M � S � P
 3. S � P 1, 2, SH
 2. Nenhum M é P
Alguns S são M
Alguns S não são P
 3. Nenhum P é M
Todos S são M
Nenhum S é P
 4. Alguns M são P
Todos M são S
Alguns S são P
 5. Nenhum P é M
Alguns M são S
Alguns S não são P
7.2 INTEGRANDO PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS E 
VEROFUNCIONAIS
Considere a seguinte inferência, que contém um tipo de inferência dife-
rente daqueles discutidos em capítulos anteriores:
Todos os vice-presidentes dos Estados Unidos são presidentes do 
Senado.
Dick Cheney é vice-presidente dos Estados Unidos.
Dick Cheney é presidente do Senado.
A primeira premissa é uma proposição categórica que pode ser tradu-
zida por “Todos V são P”. A segunda premissa não é uma proposição 
categórica, de modo que temos uma inferência que não se encaixa di-
retamente em nossos procedimentos de demonstração anteriores. Em-
bora a inferência seja perfeitamente válida, não temos nenhuma ma-
neira de demonstrá-la. Na verdade, se usarmos as traduções que estão 
à nossa disposição, resultará que a inferência é inválida. Por exemplo, 
a interpretação booleana da primeira premissa permite-nos traduzi-la 
por “V � P”. De acordo com essa interpretação, como V significa “vice-
presidentes dos Estados Unidos” e P significa “presidentes do Senado”, 
então o que poderemos fazer quando tratarmos da segunda premissa e 
da conclusão? Não podemos traduzir a segunda premissa, “Dick Che-
33 Introdução à Lógica UNIDADE 1
 Lógica Quantitativa PARTE 3304 Lógica
ney é vice-presidente dos Estados Unidos”, por V porque não é a mesma 
proposição. A conclusão também não pode ser traduzida por P. Se tra-
duzirmos a segunda premissa por D e a conclusão por C, obteremos a 
seguinte inferência inválida:
A teoria moderna da lógica, que interpreta proposições como 
“Dick Cheney é vice-presidente dos Estados Unidos” permitindo-nos 
incorporá-las em um novo sistema de demonstração, é denominada ló-
gica dos quantificadores, ou lógica dos predicados. Esse é o sistema lógico 
usado para analisar inferências complexas constituídas de proposições 
verofuncionais e categóricas. Esse sistema facilita a integração suave de 
resultados categóricos e verofuncionais, oferecendo um modo eficiente 
de transpor mais da linguagem natural e permitindo a análise precisa de 
proposições e inferências. Por exemplo, na lógica dos quantificadores, a 
proposição “Dick Cheney é vice-presidente dos Estados Unidos” é deno-
minada proposição singular – afirmando que uma pessoa em particu-
lar tem uma característica específica. Nessa proposição, o termo sujeito 
“Dick Cheney” denota um determinado indivíduo. O termo predicado 
“vice-presidente dos Estados Unidos” designa uma característica especí-
fica. É possível que os mesmos termos sujeito e predicado ocorram em 
várias proposições singulares. Algumas dessas asserções serão verdadei-
ras e algumas serão falsas. Por exemplo, “Dick Cheney é um democrata” 
é uma proposição falsa. Essa proposição contém o mesmo termo sujeito 
que a proposição anterior (Dick Cheney), mas 
contém um termo predicado (democrata) dife-
rente. A proposição “Tom Cruise é vice-presi-
dente dos Estados Unidos” também é falsa. Essa 
proposição contém o mesmo termo predicado 
de antes (vice-presidente dos Estados Unidos), 
mas contém um termo sujeito (Tom Cruise) di-
ferente. A proposição “Dick Cheney é um repu-
blicano” é verdadeira. Essa proposição contém o 
mesmo termo sujeito que a proposição anterior 
(Dick Cheney), mas contém um termo predica-
do (republicano) diferente.
Precisamos de uma notação simbólica simples que nos capacite 
a fazer a distinção entre os indivíduos e as características que lhes atri-
buímos. Estipularemos que as letras minúsculas de a até w serão usadas 
como constantes para designar indivíduos (Dick Cheney, Tom Cruise, 
etc.). Por outro lado, as características tomadas como predicados dos 
indivíduos serão simbolizadas pelas letras maiúsculas A, B, C, etc. (“... é 
Lógica dos quanti-
ficadores: O siste-
ma lógico de quan-
tificação usado para 
analisar inferências 
complexas consti-
tuídas de proposi-
ções verofuncionais 
e categóricas.
Proposição singu-
lar: Uma proposi-
ção afirmando que 
um indivíduo em 
particular tem ou 
não uma caracterís-
tica especificada.
Estratégia
Ao fazer a tradução para símbolos, 
assegure-se de que o termo pre-
dicado receba uma letra maiús-
cula (para facilitar, muitas vezes 
você pode usar a primeira letra do 
termo predicado). Para designar o 
indivíduo, sempre escolha uma letra 
minúscula, colocando-a após o ter-
mo predicado.
LÓGICA MATEMÁTICA 34 C A P Í T U L O 7 • A Lógica dos Quantificadores 305
um atleta”, “... é solteiro”, “.. é um congressista”). O sistema de símbolos 
usado nas proposições singulares coloca primeiro a letra maiúscula, o 
símbolo que designa a característica tomada como predicado, seguindo-
se uma letra minúscula, o símbolo que denota o indivíduo. Por exemplo, 
se d representar “Dick Cheney” (o indivíduo) e V representar “vice-pre-
sidente dos Estados Unidos” (a característica tomada como predicado), 
então a proposição “Dick Cheney é vice-presidente dos Estados Unidos” 
poderá ser simbolizada por Vd. A proposição “Dick Cheney é republica-
no” pode ser representada por Rd.
Alguns exemplos de traduções básicas são os seguintes:
Proposições em português Tradução simbólica
Arnold Schwarzenegger é um governador. Ga
Arnold Schwarzenegger é um ator. Aa
O Círculo Polar Ártico não é um local quente. ~ Qa
Nevada é um estado seco. Sn
A pornografia é ilegal. Ip
BIOGRAFIA GOTTLOB FREGE
Gottlob Frege (1848–1925) foi um dos mais 
originais e influentes pensadores modernos. 
Sua tentativa monumental de reduzir a mate-
mática à lógica reuniu os dois campos para 
sempre, permitindo que Frege afirmasse que 
a partir de então “todo matemático deve ser 
um filósofo e todo filósofo deve ser um mate-
mático”. Uma das convicções fundamentais 
de Frege era a natureza a priori da matemáti-
ca e da lógica, a partir da qual os fundamen-
tos de ambos os campos podem ser desenvol-
vidos usando-se apenas a razão. É irônico que o trabalho de Frege 
resultou na descoberta de paradoxos lógicos e matemáticos associados 
a esse sistema – descobertas que, por sua vez, levaram a ideias revolu-
cionárias sobre os fundamentos da matemática.
Aqui estão apenas alguns dos insights originais de Frege: o desen-
volvimento da lógicados quantificadores, a distinção entre constantes 
e variáveis, o uso correto de uma função lógica, e o primeiro esclare-
cimento de sentido e referência. O campo da lógica matemática pode 
ter suas origens remetidas ao trabalho pioneiro de Frege e, com isso, 
pode-se estabelecer uma conexão direta com o desenvolvimento das 
linguagens de computador.
35 Introdução à Lógica UNIDADE 1
 Lógica Quantitativa PARTE 3306 Lógica
Proposições mais complexas podem ser traduzidas usando-se os conec-
tivos verofuncionais. Por exemplo:
Proposições em português Tradução simbólica
Carly é uma desenhista de moda ou uma
dançarina.
Mc v Dc
Se Shane é um excelente estudante, então ele é 
brilhante.
Es � Bs
Se e apenas se Bill for honesto e leal, ele
conseguirá o emprego.
(Hb • Lb) � Eb
John vencerá o concurso somente se ele não 
entrar em pânico.
Cj � ~ Pj
Referência Rápida 7.2 • Uso de símbolos em proposições 
singulares
 1. a-w � constantes que designam indivíduos.
 2. A–Z � características tomadas como predicados de indivíduos.
 3. Em proposições singulares, escreve-se primeiro uma letra maiús-
cula, que designa uma característica, seguindo-se uma letra minús-
cula, que designa um indivíduo.
As proposições singu-
lares usam os símbolos 
a-w e A-Z.
CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 7.2 ���
Traduza as seguintes proposições usando a notação simbólica aprendida nesta 
seção:
 1. Repolho é um vegetal saudável.
Resposta: Sr
 2. Repolho é um alimento que exala um forte aroma quando cozido.
 3. Coelhos são animais sexualmente ativos.
 4. Sir Lancelot foi um membro da Távola Redonda.
 5. Steve McQueen não foi um ganhador de Oscar.
 *6. Somente se Joe correr uma milha em menos de quatro minutos ele se 
qualificará para a competição.
 7. Choverá hoje à noite somente se as nuvens continuarem a aumentar.
 8. O Taj Mahal é uma das sete maravilhas do mundo moderno.
 9. A torre Eiffel de Las Vegas tem um terço da altura da torre original em 
Paris.
LÓGICA MATEMÁTICA 36 C A P Í T U L O 7 • A Lógica dos Quantificadores 307
 10. Eu venderei meu carro se e somente se conseguir um bom preço por ele e 
puder encontrar algo melhor.
 *11. O salmão tem um sabor agradável quando grelhado.
 12. Os livros-textos são meus amigos.
 13. Os telefones celulares não são produtos universalmente apreciados.
 14. Ela passará no exame somente se estiver bem preparada.
 15. Somente se estiver aqui às 20 horas ele será admitido.
7.3 QUANTIFICAÇÃO
Foi estipulado que as constantes individuais, que denotam indivíduos, são 
designadas por qualquer letra minúscula de a até w. As demais letras mi-
núsculas, x, y e z, tem um uso diferente – são usadas para designar uma va-
riável individual. Essa variável indica onde uma constante particular pode 
ser colocada, resultando numa proposição singular. Por exemplo, Vx, My e 
Kz usam variáveis individuais. Entretanto, não são exemplos de proposi-
ções, mas sim de funções proposicionais, as quais não são nem verdadeiras 
nem falsas, mas podem ter instâncias de substituição verdadeiras e falsas. 
Uma instância de substituição é quando uma função proposicional trans-
forma-se em uma proposição, que é ou verdadeira ou falsa. Por exemplo, o 
predicado “tem mais de dois metros de altura” pode ser usado para criar a 
função proposicional Ax. A variável x pode ser substituída então por uma 
constante individual. Por exemplo, se s designar “Shaquille O’Neal”* e d 
designar “Dustin Huffman”, então obteremos os seguintes resultados:
As: “Shaquille O’Neal tem mais de dois metros de altura” – Essa 
proposição é verdadeira.
Ad: “Dustin Huffman tem mais de dois metros de altura” – Essa 
proposição é falsa.
A lógica dos quantificadores pode ser usada quando um termo pre-
dicado ocorre em uma proposição não singular. Por exemplo, as propo-
sições que começam com “Tudo é...”, “Algo é...” ou “Nada é...” são formas 
genéricas de proposições. O processo de transformar funções proposicio-
nais em proposições é denominado quantificação. Usaremos o quantifi-
cador universal (x) para afirmar que o termo predicado que vem a seguir 
é verdadeiro para todos os elementos. Portanto, (x)Bx é lido como “Dado 
qualquer x, B é verdadeiro”. Por exemplo, se fizermos B significar “bom”, 
então (x)Bx será lido como “Para todo indivíduo (x), tal indivíduo é bom 
(B)”. Usaremos o quantificador existencial �x para afirmar que o termo 
predicado que vem a seguir tem no mínimo uma instância de substituição 
verdadeira. Portanto, é lido como “Existe um x tal que B é verda-
* N. de T.: Jogador americano de basquetebol.
Constante indivi-
dual: Na lógica dos 
predicados, é um 
símbolo (designa-
do por qualquer 
letra minúscula de 
a até w) usado na 
notação lógica para 
designar um indi-
víduo.
Variável indivi-
dual: Na lógica 
dos predicados, é 
um símbolo usado 
na notação lógica 
que funciona como 
indicador do local 
onde uma constan-
te individual deve 
ser colocada (são 
usadas as letras mi-
núsculas x, y e z).
Função proposi-
cional: As funções 
proposicionais não 
são nem verdadei-
ras nem falsas, mas 
podem ter instân-
cias de substituição 
verdadeiras e falsas.
Instância de subs-
tituição: Quando 
uma função propo-
sicional transforma-
se em uma pro-
posição, que é ou 
verdadeira ou falsa.
Quantificação: 
O processo de 
converter funções 
proposicionais em 
proposições.
Quantificador uni-
versal: Um símbolo 
da lógica dos quan-
tificadores (x ou y), 
que é colocado à 
frente de uma fun-
ção proposicional, 
tornando possível 
afirmar que o pre-
dicado que vem a 
seguir é verdadeiro 
para todos os ele-
mentos.
37 Introdução à Lógica UNIDADE 1
 Lógica Quantitativa PARTE 3308 Lógica
deiro para ele”. Por exemplo, se fizermos B significar “bom”, então 
será lido como “Existe no mínimo um indivíduo (x) que é bom (B)”.
A quantificação universal de uma função proposicional será verda-
deira se e somente se todas as instâncias de substituição possíveis forem 
verdadeiras. Por exemplo, se fizermos B significar “bom”, então (x)Bx 
será verdadeira somente se toda instância de substituição possível for 
verdadeira ou, em outras palavras, somente se tudo for bom. Por ou-
tro lado, a quantificação existencial de uma função proposicional será 
verdadeira se e somente se ela tiver, no mínimo, uma instância de subs-
tituição verdadeira. Por exemplo, se fizermos B significar “bom”, então 
 será verdadeira se no mínimo um indivíduo for bom. Dados 
esses requisitos, proposições podem ser derivadas das funções proposi-
cionais de dois modos: (1) por instanciação, a substituição de uma va-
riável individual por uma constante individual, e (2) por generalização, 
usando um quantificador universal ou existencial.
Nem todas as proposições são afirmativas, de modo que, nesses 
casos, devemos usar o conceito de negação (~) para elaborar as funções 
proposicionais apropriadas. Por exemplo, a proposição “Nada é bom” 
pode ser reescrita como “Dado qualquer x, ele não é bom”. Isso é tra-
duzido usando-se o quantificador universal para se obter (x) ~ Bx. De 
modo similar, a proposição “Algumas coisas não são boas” é traduzida 
usando-se o quantificador existencial para se obter .
A letra grega fi (�) pode ser usada para representar qualquer pre-
dicado simples. Dado isso, o que aprendemos poderá ser usado para 
criar um quadro de oposições dos quantificadores (Figura 7.1).
FIGURA 7.1 • Quadro 
de oposições para pre-
dicados simples.
(x) ~ �x
(�x) ~ �x
(x) �x
(�x) �x
Contraditórias
Os dois conjuntos (pares) de contraditórias permitirão que estipule-
mos quatro relações lógicas importantes entre a quantificação universal e 
a existencial. Por exemplo, a proposição é logicamente equivalente 
a (a negação doseu membro oposto do par). O inverso tam-
bém é verdadeiro, isto é, é logicamente equivalente a . O 
outro par de contraditórias pode ser entendido da mesma forma: 
é logicamente equivalente a , ao passo que é logica-
mente equivalente a . A Tabela 7.1 resume esses resultados.
Quantificador exis-
tencial: Na lógica 
dos quantificadores, 
o símbolo � é usa-
do para afirmar que 
qualquer função 
proposicional, que 
vem imediatamente 
após o símbolo, 
tem alguma instân-
cia de substituição 
verdadeira.
Quantificação 
universal: Quando 
uma função propo-
sicional será verda-
deira, se e somente 
se todas as possíveis 
instâncias de substi-
tuição forem verda-
deiras.
Quantificação 
existencial: Quan-
do uma função 
proposicional será 
verdadeira, se e so-
mente se ela tiver, 
no mínimo, uma 
possível instância 
de substituição ver-
dadeira.
Instanciação: Na 
lógica dos quanti-
ficadores, a subs-
tituição de uma 
variável individual 
por uma constante 
individual.
Generalização: Na 
lógica dos quantifi-
cadores, o processo 
pelo qual uma 
proposição é criada 
a partir de uma fun-
ção proposicional 
usando um quanti-
ficador universal ou 
existencial.
LÓGICA MATEMÁTICA 38
C A P Í T U L O 7 • A Lógica dos Quantificadores 309
Tabela 7.1 Equivalências lógicas de predicados simples
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
C A P Í T U L O 7 • A Lógica dos Quantificadores 309
Tabela 7.1 Equivalências lógicas de predicados simples
unidade 
1
O conteúdo deste livro é 
disponibilizado por SAGAH.
Parte 4
 Lógica Numérica
LÓGICA MATEMÁTICA 40
2.4 Seqüências e Somatórios
Introdução
Seqüências são listas ordenadas de elementos. As seqüências são usadas em matemática dis-
creta de várias maneiras. Elas podem ser usadas para representar soluções de certos problemas 
de contagem, como veremos no Capítulo 7. Elas são também uma estrutura de dados importan-
te em ciência da computação. Esta seção contém uma revisão da notação usada para represen-
tar seqüências e somas de termos das seqüências.
Quando os elementos de um conjunto innito podem ser listados, o conjunto é chamado de 
contável. Discutiremos nesta seção sobre os conjuntos contáveis e incontáveis. Demonstraremos 
que o conjunto dos números racionais é contável, mas o conjunto dos números reais não o é.
 2.4 Seqüências e Somatórios 1492-39
41 Introdução à Lógica UNIDADE 1
 Lógica Numérica PARTE 4
150 2 / Estruturas Básicas: Conjuntos, Funções, Seqüências e Somatórios 
Seqüências
Uma seqüência é uma estrutura discreta usada para representar uma lista ordenada. Por exem-
plo, 1, 2, 3, 5, 8 é uma seqüência com cinco termos e 1, 3, 9, 27, 81 , . . . , 30, . . . é uma seqüên-
cia innita.
DEFINIÇÃO 1 Uma seqüência é uma função de um subconjunto do conjunto dos números inteiros (geralmente 
ou do conjunto {0, 1, 2, . . .} ou do conjunto {1, 2, 3, . . .}) para um conjunto S. Usamos a notação 
an para indicar a imagem do número inteiro n. Chamamos an de termo da seqüência.
Usamos a notação {an} para descrever a seqüência. (Note que an representa um único termo 
da seqüência {an}. Note também que a notação {an} para a seqüência é a mesma para a notação 
de um conjunto. Entretanto, o contexto no qual usamos essa notação sempre deixará claro quan-
do estamos trabalhando com conjuntos ou com seqüências. Note que, apesar de termos usado a 
letra a na notação para uma seqüência, outras letras ou expressões podem ser usadas, dependendo 
da seqüência que considerarmos. Ou seja, a escolha da letra a é arbitrária.)
Descrevemos as seqüências pela listagem de termos da seqüência em ordem crescente de 
subscritos.
EXEMPLO 1 Considere a seqüência {an}, em que 
a
nn = 1 .
A lista de termos dessa seqüência, começando por a1, ou seja,
a1, a2, a3, a4, . . . , 
começa com
1 1
2
1
3
1
4
, , , ,
DEFINIÇÃO 2 Uma progressão geométrica é uma seqüência na forma 
a, ar, ar2, . . . , arn, . . . 
em que o termo inicial a e a razão r são números reais.
Lembre-se: Uma progressão geométrica é um análogo discreto de uma função exponencial 
f (x) arx.
EXEMPLO 2 As seqüências {bn}, com bn ( 1)n, {cn}, com cn 2·5n e {dn}, com dn 6·(1/3)n são progres-
sões geométricas com termo inicial e razão comum igual a 1 e 1; 2 e 5; e 6 e 1/3, respectiva-
mente, se começarmos com n 0. A lista de termos b0, b1, b2, b3, b4, . . . começa com 
1, 1, 1, 1, 1, . . . ; 
2-40
LÓGICA MATEMÁTICA 42
a lista de termos c0, c1, c2, c3, c4, . . . começa com 
2, 10, 50, 250, 1250, . . . ;
e a lista de termos d0, d1, d2, d3, d4, . . . começa com 
6 2 2
3
2
9
2
27
, , , , , 
◄
DEFINIÇÃO 3 Uma progressão aritmética é uma seqüência da forma
a, a d, a 2d, . . . , a nd,. . . 
em que o termo inicial a e a diferença (ou razão) d são números reais.
Lembre-se: Uma progressão aritmética é um análogo discreto da função linear f (x) dx a.
EXEMPLO 3 As seqüências {sn}, com sn 1 4n e {tn}, com tn 7 3n são progressões aritméticas com 
termos iniciais e diferenças comuns iguais a 1 e 4 e 7 e 3, respectivamente, se começarmos 
em n 0. A lista de termos s0, s1, s2, s3, . . . começa com 
1, 3, 7, 11, . . . , 
e a lista de termos t0, t1, t2, t3, . . . começa com
7, 4, 1, 2, . . . . ◄
As seqüências na forma a1, a2, . . . , an são geralmente usadas em ciência da computação. 
Essas seqüências nitas são também chamadas de cadeias. Esta cadeia é também indicada por 
a1a2 . . . an. (Lembre-se que cadeias de bits, que são seqüências nitas de bits, foram introduzidas 
na Seção 1.1.) A extensão da cadeia S é o número de termos nessa cadeia. A cadeia vazia, indi-
cada por λ, é a cadeia que não tem termos. A cadeia vazia tem extensão zero.
EXEMPLO 4 A cadeia abcd é uma cadeia de extensão quatro. ◄
Seqüências de Números Inteiros Especiais
Um problema comum em matemática discreta é encontrar uma fórmula ou uma regra para cons-
truir termos de uma seqüência. Às vezes, apenas poucos termos de uma seqüência que resolvem 
um problema são conhecidos; o objetivo é também identicar a seqüência. Mesmo que os termos 
iniciais de uma seqüência não determinem a seqüência inteira (anal, há innitas seqüências que 
começam com o mesmo conjunto nito de termos iniciais), conhecer os primeiros termos pode 
ajudar você a montar uma conjectura sobre sua seqüência. Uma vez feita essa conjectura, você 
pode tentar vericar se montou uma seqüência correta.
Ao tentar deduzir uma fórmula possível ou regra para os termos de uma seqüência a partir 
dos termos iniciais, tente encontrar um padrão desses termos. Você pode também ver se é possí-
vel determinar como um termo pode ser produzido a partir de seu antecedente. Há muitas ques-
tões que você poderia fazer, mas algumas das mais úteis são:
 Existem séries com o mesmo valor? Ou seja, o mesmo valor ocorre várias vezes em uma 
la?
Existem termos obtidos a partir de termos antecedentes pela adição do mesmo valor ou de 
algum valor que depende da posição na seqüência?
Existem termos obtidos a partir de termos antecedentes pela multiplicação de um determi- 
nado valor?
 2.4 Seqüências e Somatórios 1512-41
43 Introdução à Lógica UNIDADE 1
 Lógica Numérica PARTE 4
152 2 / Estruturas Básicas: Conjuntos, Funções, Seqüências e Somatórios 
Existem termos obtidos pela combinação, de certa maneira, de termos antecedentes? 
Existem ciclos entre os termos? 
EXEMPLO 5 Encontre as fórmulas para as seqüências com os seguintes termos: (a) 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 
(b) 1, 3, 5, 7, 9 (c) 1, 1, 1, 1, 1.
Solução: (a) Identicamos os denominadores de potência 2. A seqüência com an 1/2n, 
n 0, 1, 2, . . . é uma possibilidade. Essa seqüência proposta é umaprogressão geométrica com 
a 1 e r 1/2. 
(b) Notamos que cada termo é obtido pela adição de 2 ao termo anterior. A seqüência com an 
 2n 1, n 0, 1, 2, . . . é uma possibilidade. Essa seqüência proposta é uma progressão arit-
mética com a 1 e d 2. 
(c) Os termos alternam-se entre 1 e 1. A seqüência com an ( 1)n, n 0, 1, 2 . . . é uma 
possibilidade. Essa seqüência proposta é uma progressão geométrica com a 1 e r 1. ◄
Os exemplos 6 e 7 mostram como podemos analisar seqüências para descobrir como os ter-
mos são construídos.
EXEMPLO 6 Como podemos construir os termos de uma seqüência se os primeiros 10 termos são 1, 2, 2, 3, 3, 
3, 4, 4, 4, 4?
Solução: Note que o número inteiro 1 aparece uma vez, o número inteiro 2 aparece duas vezes, o 
número inteiro 3 aparece três vezes e o número inteiro 4 aparece quatro vezes. Um regra razoável 
para a construção dessa seqüência é que o número inteiro n aparece exatamente n vezes, então os 
próximos cinco termos da seqüência seriam 5, os seguintes seis termos seriam 6, e assim por 
diante. A seqüência construída dessa maneira é uma possibilidade. ◄
EXEMPLO 7 Como podemos construir os termos de uma seqüência se os primeiros 10 termos são 5, 11, 17, 23, 
29, 35, 41, 47, 53, 59?
Solução: Note que cada um dos 10 primeiros termos dessa seqüência a partir do primeiro é obti-
do pela adição de 6 ao termo subseqüente. (Podemos ver isto conferindo que a diferença entre 
dois termos consecutivos é 6.) Conseqüentemente, o n-ésimo termo poderia ser construído come-
çando com 5 e adicionando 6 a ele um total de n 1 vezes; ou seja, é possível que o n-ésimo 
termo seja 5 6(n 1) 6n 1. (Essa é uma progressão aritmética com a 5 e d 6.) ◄
Outra técnica útil para encontrar uma regra para a construção de termos de uma seqüência é 
comparar os termos de uma seqüência de interesse com os termos de uma seqüência de números 
inteiros conhecida, ou seja, os termos de uma progressão aritmética, termos de uma progressão 
geométrica, quadrados perfeitos, cubos perfeitos e assim por diante. Os 10 primeiros termos de 
algumas seqüências que você deve querer guardar estão dispostos na Tabela 1.
EXEMPLO 8 Conjecture uma fórmula simples para an, se os 10 primeiros termos da seqüência {an} são 1, 7, 
25, 79, 241, 727, 2185, 6559, 19681, 59047.
Solução: Para resolver este problema, começamos olhando para a diferença entre dois termos 
consecutivos, mas não vemos um padrão. Quando formamos uma razão de termos consecutivos 
para vermos se cada termo é um múltiplo do termo anterior, encontramos que essa razão, embora 
não uma constante, se aproxima de 3. Então, é razoável suspeitar que os termos dessa seqüência 
são construídos com uma fórmula que envolve 3n. Comparando esses termos com os termos cor-
respondentes da seqüência {3n}, percebemos que o n-ésimo termo é 2 menos a potência de 3 
correspondente. Vemos que an 3n 2 para 1 ≤ n ≤ 10 e conjeturamos que esta fórmula é man-
tida para todo n. ◄
2-42
Exemplos
Extras
LÓGICA MATEMÁTICA 44
Veremos ao longo deste texto que as seqüências de números inteiros aparecem em uma gran-
de variedade de contextos em matemática discreta. As seqüências que temos ou que serão encon-
tradas incluem a seqüência de números primos (Capítulo 3), o número de maneiras de ordenar n 
objetos discretos (Capítulo 5), o número de movimentos necessários para resolver o famoso 
quebra-cabeça da Torre de Hanói com n discos (Capítulo 7) e o número de coelhos em uma ilha 
depois de n meses (Capítulo 7). 
As seqüências de números inteiros aparecem em uma grande variedade de áreas além da 
matemática discreta, incluindo biologia, engenharia, química e física, assim como em quebra-
cabeças. Uma grande base de dados com mais de 100 000 seqüências de números inteiros dife-
rentes pode ser encontrada na On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Esta base de dados foi 
criada por Neil Sloane na década de 1960. A última versão impressa dessa base foi publicada em 
1995 ([SIPI95]); a enciclopédia atual ocuparia mais de 150 volumes do tamanho da edição de 
1995. Novas seqüências foram adicionadas regularmente a essa base de dados. Há também um 
programa acessível via Internet que você pode usar para encontrar seqüências a partir da enciclo-
pédia que coincidem com os termos iniciais que você possui.
Somatórios
Agora, introduziremos a notação de somatória. Começamos por descrever a notação usada para 
expressar a soma dos termos 
am, am+1, . . . , an 
da seqüência {an}. Usamos a notação
j m
n
j jj m
n
jj n
a a a
=
1
, , ou
para representar 
a a am m n1 .
Aqui, a variável j é chamada de índice da somatória, e a escolha da letra j como variável é arbi-
trária; ou seja, poderíamos usar qualquer outra letra, como i ou k. Ou, na notação,
j
n
j
i
n
i
k
n
ka a a
= = =
= = .
m m m
Aqui, o índice da somatória assume todos os números inteiros, começando com seu menor 
limite m e terminando com seu maior limite n. A letra maiúscula grega sigma, , é usada 
para indicar somatória.
TABELA 1 Algumas Seqüências Usuais.
n-ésimo termo Primeiros 10 termos
n2 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, . . .
n3 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, . . .
n4 1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, . . .
2n 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
3n 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, . . .
n! 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, . . .
Links
 2.4 Seqüências e Somatórios 1532-43
45 Introdução à Lógica UNIDADE 1
 Lógica Numérica PARTE 4
154 2 / Estruturas Básicas: Conjuntos, Funções, Seqüências e Somatórios 
As leis usuais da aritmética são aplicadas à somatória. Por exemplo, quando a e b são números 
reais, temos 
j
n
j j y
n
j j
n
jax by a x b y
=1 =1 =1
( ) = , em que x1, x2, . . . , xn e y1, y2, . . . , yn
são números reais. (Não apresentamos uma demonstração formal desta identidade aqui. Tal de-
monstração pode ser construída usando a indução matemática, um método de demonstração que 
introduziremos no Capítulo 4. A demonstração também usa as propriedades comutativas e asso-
ciativas para adição e a propriedade distributiva de multiplicação sobre adição.)
Daremos alguns exemplos de notação de somatória.
EXEMPLO 9 Expresse a soma dos primeiros 100 termos da seqüência {an}, em que an 1/n para n 1, 
2, 3,. . . .
Solução: O menor limite para o índice da somatória é 1 e o maior limite é 100. Escrevemos a soma 
como 
j
j
=1
100 1 .
◄
EXEMPLO 10 Qual o valor de j
j
=1
5 2
?
Solução: Temos 
j
j
=1
5
2 2 2 2 2 2= 1 2 3 4 5
= 1 4 9 16 25
= 55. ◄
EXEMPLO 11 Qual o valor de 
k
k
=4
8
( 1) ?
Solução: Temos
k
k
=4
8
4 5 6 7 8( 1) = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
= 1 ( 1) 1 ( 1) 1
= 1.. ◄
Links
NEIL SLOANE (Nascido em 1939) Neil Sloane estudou matemática e engenharia elétrica na Universidade de Melbourne, 
com uma bolsa de estudos da companhia de telefone do governo australiano. Ele teve muitos trabalhos relacionados com tele-
fonia, como construção de postes telefônicos, em seus trabalhos de férias. Depois de se graduar, ele foi designado para cuidar 
das redes de transmissão de telefone de custo mínimo na Austrália. Em 1962, foi para os Estados Unidos e estudou engenharia 
elétrica na Cornell University. Sua tese de Ph.D. foi sobre o que chamamos agora de redes neurais.
Ele conseguiu um emprego nos Laboratórios Bell em 1969, trabalhando em muitas áreas, incluindo criação de rede de 
transmissão e teoria de codi cação. Atualmente trabalha para os Laboratórios AT&T, saindo dos Laboratórios Bell quando a 
AT&T se separou destes em 1996. Um dos seus problemas favoritos é o kissing problem, ou problema do beijo (nome que 
ele cunhou), que pergunta quantas esferas podem ser organizadas em n dimensões para que todas elas toquem uma esfera cen-
tral de mesmo tamanho. (Em duas dimensões, a resposta é 6, pois 6 moedaspodem ser colocadas de modo que elas toquem uma moeda central. Em 
três dimensões, 12 bolas de bilhar podem ser colocadas para que elas toquem uma bola de bilhar central. Duas bolas de bilhar que se tocam dão um 
“beijo”, o que dá sentido à terminologia “kissing problem” e “kissing number”, ou “números de beijos”.) Sloane, junto com Andrew Odlyzko, mostrou 
que em 8 e 24 dimensões os números de beijos otimizados são, respectivamente, 240 e 196.560. Os kissing number são conhecidos nas dimensões 1, 
2, 3, 8 e 24, mas não em outras dimensões. Os livros de Sloane incluem Sphere Packings, Lattices and Groups, 3. ed., com John Conway; The Theory 
of Error-Correcting Codes, com Jessie MacWilliams; The Encyclopedia of Integer Sequences, com Simon Plouffe; e The Rock-Climbing Guide to 
New Jersey Crags, com Paul Nick. Este último livro demonstra seu interesse em escalar montanhas rochosas, incluindo mais de 50 sites sobre escala-
da em New Jersey.
Exemplos
Extras
2-44
LÓGICA MATEMÁTICA 46
Às vezes é útil modicar o índice da somatória em uma soma. Isso geralmente é feito quando 
dois somatórios devem ser adicionados, mas seus índices da somatória não combinam. Ao avaliar 
um índice de soma, é importante fazer as mudanças apropriadas no somatório correspondente. 
Isso será ilustrado pelo Exemplo 12.
EXEMPLO 12 Suponha que tenhamos a soma 
j
j
=1
5
2
mas queremos o índice da somatória entre 0 e 4 em vez de 1 a 5. Para fazer isso, consideremos 
k j 1. Então, o novo índice de soma vai de 0 a 4 e o termo j2 é dado por (k 1)2. Assim, 
j k
j k
=1
5
2
=0
4
2= ( 1) .
É fácil vericar que ambas as somas são 1 4 9 16 25 55. ◄
Somas de termos de progressões geométricas são normalmente crescentes (tais somas são 
chamadas de séries geométricas). O Teorema 1 nos dá uma fórmula para a soma dos termos de 
uma progressão geométrica.
TEOREMA 1 Se a e r são números reais e r 0, então
j
n
j
n
ar
ar a
r
se r
n a se r=0
1
= 1
1
( 1) = 1.
Demonstração: Considere
S ar
j
n
j= .
=0
Para calcular S, primeiro multiplicamos os dois lados da equação por r e então manipulamos a 
soma resultante da seguinte forma:
rS r ar
ar
ar
ar
j
n
j
j
n
j
k
n
k
k
n
k
=
=
=
=0
=0
1
=1
1
=0
( )
= ( )
1
1
ar a
S ar a
n
n
substituindo a fórmula da somatória por S
pela propriedade distributiva
alterando o índice da somatória, com k j 1
removendo o termo k n 1 e adicionando o termo k 0
substituindo S pela fórmula da somatória
 2.4 Seqüências e Somatórios 1552-45
Exemplos
Extras
47 Introdução à Lógica UNIDADE 1
 Lógica Numérica PARTE 4
156 2 / Estruturas Básicas: Conjuntos, Funções, Seqüências e Somatórios 
A partir dessas equações, vemos que 
r S S (arn+1 a).
Isolando S, mostramos que se r 1, então
S ar a
r
n
=
1
.
1
Se r 1, então a soma certamente é igual a (n 1)a. 
EXEMPLO 13 Somatórias duplas aparecem em muitos contextos (como na análise de laços agrupados em pro-
gramas de computador). Um exemplo de somatória dupla é
i j
ij
=1
4
=1
3
.
Para avaliar a dupla soma, primeiro expanda a somatória interna e então continue computando a 
somatória externa:
i j i
i
ij i i i
i
=1
4
=1
3
=1
4
=1
4
= ( 2 3 )
= 6
= 6 12 18 24 = 60. ◄
Podemos também usar a notação de somatória para adicionar todos os valores de uma fun-
ção, ou termos de um conjunto indexado, em que o índice da somatória é compatível com todos 
os valores do conjunto. Ou seja, escrevemos
s S
f s( )
para representar a soma dos valores de f (s), para todos os membros s de S.
EXEMPLO 14 Qual o valor de s
s
{0,2,4} ?
Solução: Como s
s
{0,2,4} representa a soma de valores de s para todos os membros do con-
junto {0, 2, 4}, temos que
s
s
{0,2,4}
= 0 2 4 = 6. ◄
Certas somas aparecem repetidamente em matemática discreta. Ter um grupo de fórmulas 
para tais somas pode ser útil; a Tabela 2 fornece uma pequena relação das fórmulas para as somas 
mais freqüentes.
Demonstramos a primeira fórmula dessa tabela no Teorema 1. As próximas três fórmulas nos 
dão a soma dos primeiros n números inteiros positivos, a soma de seus quadrados e a soma de seus 
cubos. Essas três fórmulas podem ser obtidas de muitas maneiras diferentes (por exemplo, veja os 
exercícios 21 e 22 no nal desta seção). Note também que cada uma dessas fórmulas, uma vez co-
nhecidas, pode ser facilmente demonstrada usando a indução matemática, assunto da Seção 4.1. As 
últimas duas fórmulas da Tabela envolvem séries innitas e serão discutidas brevemente.
O Exemplo 15 mostra como as fórmulas da Tabela 2 podem ser úteis.
2-46
LÓGICA MATEMÁTICA 48
EXEMPLO 15 Encontre 
k
k
=50
100 2 .
Solução: Primeiro note que como 
k k k
k k k
=1
100 2
=1
49 2
=50
100 2= , temos que
k k k
k k k
=50
100
2
=1
100
2
=1
49
2= .
Usando a fórmula 
k
n
k n n n
=1
2 = ( 1)(2 1)/6 da Tabela 2, vemos que 
k
k
=50
100
2 = 100 101 201
6
49 50 99
6
= 338350 40425 = 297925. ◄
ALGUMAS SÉRIES INFINITAS Embora a maioria dos somatórios neste livro seja nita, as 
séries innitas são importantes em algumas partes da matemática discreta. As séries innitas são 
geralmente estudadas em um curso de cálculo e mesmo a denição dessas séries requer o uso de 
cálculo, mas algumas vezes elas aparecem em matemática discreta, pois esta trata de coleções 
innitas de elementos discretos. Em particular, em nossos estudos futuros de matemática discre-
ta, encontraremos fórmulas fechadas para as séries innitas nos exemplos 16 e 17 que serão 
bastante usuais.
EXEMPLO 16 (Requer cálculo) Considere x como um número real com |x| < 1. Encontre 
n
nx
=0
.
Solução: Pelo Teorema 1, com a 1 e r x, vemos que 
n
k n
k
x x
x=0
1
= 1
1
. Como |x| < 1, 
xk+1 tende a 0 quando k tende ao innito. Temos que 
n
n
k
k
x x
x x x
=0
1
= 1
1
= 1
1
= 1
1
.lim ◄
Podemos produzir novas fórmulas de somatória a partir de fórmulas conhecidas por diferen-
ciação ou integração.
TABELA 2 Algumas Fórmulas Para Somatórios Usuais.
Soma Fórmula Fechada
ar a
r
r
n 1
1
1,
k
k
n
=1
n n( 1)
2
k
k
n
2
=1
n n n( 1)(2 1)
6
k
k
n
3
=1
n n2 2( 1)
4
x xk
k
, | |< 1
=0
1
1 x
, , | |< 11
1
kx xk
k
1
(1 )2x
 2.4 Seqüências e Somatórios 1572-47
ar rk
k
n
( )0
0
Exemplos
Extras
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
unidade 
2
Lógicas Analítica, 
Crítica e Proposições
Prezado(a) estudante
Estamos começando uma unidade desta disciplina. Os textos que a compõem 
foram organizados com cuidado e atenção, para que você tenha contato com um 
conteúdo completo e atualizado tanto quanto possível. Leia com dedicação, realize 
as atividades e tire suas dúvidas com os tutores. Desta forma, você com certeza 
alcançará os objetivos propostos para essa disciplina.
OBJETIVO GERAL 
Definir lógica e crítica e iniciar o estudo de proposições.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
• Diferenciar lógica analítica e lógica crítica.
• Aplicar as operações de dedução, indução e abdução.
• Reconhecer uma proposição simples.
unidade 
2
O conteúdo deste livro é 
disponibilizado por SAGAH.
Parte 1
Lógica Analítica
LÓGICA MATEMÁTICA 52
visão geral
Uma parte importante da análise lógica de inferências 
envolve a elucidação das possíveis condições sob as quais 
as proposições individuais que constituem a inferência 
podem ser verdadeiras ou falsas. Para demonstrar que 
uma inferência é válida ou inválida, você deve compreen-
der os requisitos lógicos das proposições individuais en-
volvidas e ser capaz de analisar a relação lógica entre as 
premissas e a conclusão da inferência. O fundamento da 
nossa discussão neste capítulo é a lógica das proposições 
categóricas.
3.1 PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS
Uma proposição categórica expressa uma relação específica en-
tre classes de objetos. Uma classe é definida como um grupode 
objetos que têm algumas características comuns reconhecíveis. 
As classes também podem ser referidas como categorias ou con-
juntos. Usaremos S para a classe designada pelo termo sujeito de 
uma proposição categórica e P para a classe designada pelo termo 
predicado. Toda proposição categórica ou afirma que o termo su-
jeito relaciona-se parcial ou totalmente com o termo predicado, 
ou nega que o termo sujeito relaciona-se parcial ou totalmente 
com o termo predicado. Em outras palavras, podemos expressar 
qualquer uma das seguintes possibilidades em relação a S e P:
3.1 PROPOSIÇÕES 
CATEGÓRICAS
3.2 SILOGISMOS 
CATEGÓRICOS
33capítulo
53 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2
 Lógica Analítica PARTE 1122 Lógica
Todos S são P Nenhum S é P Alguns S são P Alguns S não são P
A primeira proposição categórica, “Todos S são P”, é denominada 
proposição universal afirmativa, porque declara que todos os membros 
do termo sujeito são membros do termo predicado. Essas declarações são 
ou verdadeiras ou falsas, mas isso só pode ser decidido quando os S e os P 
são substituídos por termos reais da classe, por exemplo, “Todas as árvores 
são decíduas”*. Podemos ver nesse exemplo a asserção de que toda árvo-
re (a classe designada pelo termo sujeito) é decídua (a classe designada 
pelo termo predicado). Como sabemos que há, no mínimo, uma classe de 
árvores que não é decídua (pinheiros etc.), o conteúdo de verdade dessa 
instância particular de uma proposição universal afirmativa é falsa.
* N. de T.: Em biologia, o termo decíduo indica a queda de folhas. No caso, todas as 
árvores perdem as folhas.
Proposição ca-
tegórica: Uma 
proposição que usa 
conjuntos, cate-
gorias, ou grupos 
de objetos (reais 
ou imaginários) 
para substituir as 
variáveis em uma 
das quatro formas 
específicas seguin-
tes – “Todos S são 
P”, “Nenhum S é 
P”, “Alguns S são 
P” e “Alguns S não 
são P”.
Classe: Um gru-
po, conjunto ou 
coleção de objetos 
que têm uma ca-
racterística comum 
atribuída a cada 
membro.
Termo sujeito: A 
classe designada 
pelo primeiro termo 
de uma proposição 
categórica.
Termo predicado: 
A classe designada 
pelo segundo ter-
mo de uma propo-
sição categórica.
Proposição uni-
versal afirmativa: 
A forma de propo-
sição “Todos S são 
P”, a qual declara 
que todos os mem-
bros do termo sujei-
to são membros do 
termo predicado.
BIOGRAFIA ARISTÓTELES
Aristóteles (384 a.C.–322 a.C.) é frequentemen-
te considerado como o criador do estudo da ló-
gica. As suas ideias dominaram o pensamento 
ocidental por dois mil anos e os seus escritos in-
fluenciaram todos os aspectos da cultura euro-
peia: metafísica, ética, política, estética e episte-
mologia. Tão dominante eram as ideias de 
Aristóteles que todo o pensamento subsequente, 
científico e lógico, tinha que estar de acordo 
com o seu trabalho.
O sistema de lógica de Aristóteles baseia-se nas relações entre ter-
mos. As proposições categóricas, como “Todos os homens são mortais”, 
contêm um termo sujeito (“homens”) e um termo predicado (“mor-
tais”). Isso é um exemplo de uma proposição universal afirmativa. Ela 
faz a asserção de que a classe inteira dos homens está incluída na classe 
dos seres mortais. Aristóteles queria que a lógica e a ciência se com-
plementassem mutuamente, de modo que não surpreende que a sua 
lógica foi desenvolvida, em grande parte, para solidificar o raciocínio 
científico. A ciência de Aristóteles baseava-se na ideia de classificação. 
O conhecimento científico é obtido por meio da capacidade de classi-
ficar um grupo de objetos como subclasse de uma classe que já é bem 
compreendida. Essa disposição científica significava que Aristóteles en-
tendia que ao menos algumas proposições universais assumem que a 
classe de objetos que está sendo referida têm membros que realmente 
existem. Para analisar algumas inferências, isso requer que o conteúdo 
de verdade de certas proposições seja investigado. Entretanto, as ideias 
lógicas modernas têm enfatizado a separação entre conteúdo de verda-
de e componente lógico das inferências.
LÓGICA MATEMÁTICA 54 C A P Í T U L O 3 • Proposições Categóricas e Inferências 123
Se substituirmos os termos sujeito e predicado por “árvore” e “de-
cídua” nas três proposições categóricas restantes, obteremos os seguintes 
resultados: “Nenhuma árvore é decídua”, “Algumas árvores são decídu-
as” e “Algumas árvores não são decíduas”. A primeira dessas, “Nenhuma 
árvore é decídua”, é denominada proposição universal negativa porque 
declara que nenhum membro do termo sujeito é membro do termo pre-
dicado. Essa proposição afirma que não existe nem ao menos um mem-
bro de S que seja membro de P. Entretanto, como algumas árvores são 
decíduas, o conteúdo de verdade dessa proposição é falso.
O próximo exemplo, “Algumas árvores são decíduas”, é denomina-
do proposição particular afirmativa porque declara que alguns membros 
do termo sujeito são membros do termo predicado. Em outras palavras, 
essa proposição declara que ao menos um membro de S é membro de 
P.* O nosso conhecimento anterior sobre árvores diz-nos que essa pro-
posição é verdadeira.
O exemplo seguinte, “Algumas árvores não são decíduas”, é de-
nominado proposição particular negativa porque declara que alguns 
membros do termo sujeito não são membros do termo predicado. Em 
outras palavras, essa proposição declara que, no mínimo, um membro 
de S não é membro de P.** O nosso conhecimento anterior sobre árvores 
diz-nos que essa proposição também é verdadeira.
Quando uma proposição categórica refere-se a objetos, tais como 
“pinheiros”, parece ser natural a referência ao conteúdo de verdade da 
proposição. Entretanto, considere esta proposição: “Todos os unicórnios 
são criaturas de um chifre”. Como interpretaremos o conteúdo de ver-
dade dessa proposição? De um lado, poderíamos dizer que a proposição 
é verdadeira por definição (o termo “unicórnio” é definido como sen-
do “uma criatura de um chifre”). Por outro lado, poderíamos dizer que 
a proposição é falsa porque não existe nenhum unicórnio. Isso levanta 
uma questão importante em relação à interpretação de proposições ca-
tegóricas universais. Diz-se que uma proposição tem importação exis-
tencial quando ela declara a existência de objetos. A partir disso, deve-se 
assumir que toda proposição universal tem importação existencial? Se a 
resposta for “sim”, então a proposição “Todos os unicórnios são criaturas 
de um chifre” será falsa, já que não existe nenhum unicórnio. Se a respos-
ta for “não”, então a proposição “Todos os unicórnios são criaturas de um 
chifre” será verdadeira por definição, mesmo que não haja unicórnios.
Assim, é claramente óbvio que algumas proposições categóricas 
universais têm importação existencial (“Todas as árvores são decídu-
as”), ao passo que outras não (“Todos os unicórnios são criaturas de um 
chifre”). Entretanto, se tivermos que decidir em cada instância se uma 
proposição categórica universal individual tem importação existencial, 
* N. de T.: Caso particularizado como “Algum S é P”.
** N. de T.: “Algum S não é P.”
Proposição univer-
sal negativa: A for-
ma de proposição 
“Nenhum S é P”, 
a qual declara que 
nenhum dos mem-
bros do termo sujei-
to são membros do 
termo predicado.
Proposição parti-
cular afirmativa: 
A forma de pro-
posição “Alguns 
S são P”, a qual 
declara que alguns 
(pelo menos um) 
dos membros do 
termo sujeito são 
membros do termo 
predicado.
Proposição par-
ticular negativa: 
A forma de pro-
posição “Alguns S 
não são P”, a qual 
declara que alguns 
(pelo menos um) 
dos membros do 
termo sujeito não 
são membros do 
termo predicado.
Importação exis-
tencial: Em uma 
proposição, a asser-
ção da existência de 
objetos de algum 
tipo.
55 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2Lógica Analítica PARTE 1124 Lógica
então estaremos fazendo análise do conteúdo de verdade ao invés de 
análise lógica. Assim, uma proposição que tem a estrutura “Todos S são 
P” é entendida como afirmando que “Se alguma coisa for um S, então 
também será um P”. Uma proposição que tem a estrutura “Nenhum S 
é P” é entendida como afirmando que “Se alguma coisa for um S, então 
não será um P”. Essa interpretação coloca de lado a questão do conteúdo 
de verdade relacionado com a existência dos objetos referidos pela pro-
posição. Como a frase “Se alguma coisa for um S,” não implica a existên-
cia de membros da classe S, essa interpretação pode ser usada para fazer 
diagrama do requisito lógico da proposição. Os diagramas das proposi-
ções categóricas serão discutidos após a próxima seção.
Referência Rápida 3.1 • As quatro proposições categóricas
Todos S são P Universal afirmativa
Nenhum S é P Universal negativa
Alguns S são P Particular afirmativa
Alguns S não são P Particular negativa
Os quatro tipos de 
proposições categóricas 
incluem duas proposi-
ções universais e duas 
proposições particu-
lares.
Traduzindo sentenças ordinárias
em proposições categóricas
No Capítulo 2, vimos que as informações faltantes exigiram que nós 
reconstruíssemos as inferências com base em nossa compreensão do 
contexto no qual as informações foram apresentadas. De modo similar, 
muitas sentenças da linguagem ordinária não espelham a estrutura dos 
quatro tipos de proposições categóricas. Esses casos requerem que nós 
façamos a reconstrução e a tradução das sentenças nas estruturas que 
estivemos usando. As traduções são úteis porque elucidam o significado 
e revelam os requisitos lógicos das proposições.
A linguagem ordinária contém um número ilimitado de sentenças 
possíveis, de modo que exploraremos apenas umas poucas das ocorrências 
mais comuns. Por exemplo, a sentença comum “Todos os tubarões caçam” 
pode ser facilmente traduzida pela proposição categórica universal afir-
mativa “Todos os tubarões são caçadores”. A sentença comum “Nenhum 
tubarão caça” é traduzida pela proposição categórica universal negativa 
“Nenhum tubarão é caçador”. De modo similar, a sentença “Algumas pes-
soas jogam boliche” pode ser traduzida pela proposição categórica parti-
cular afirmativa “Algumas pessoas são jogadoras de boliche”, e “Algumas 
pessoas não jogam boliche” pode ser traduzida pela proposição categórica 
particular negativa “Algumas pessoas não são jogadoras de boliche”.
A tradução de algumas sentenças da linguagem ordinária requer 
uma interpretação da referência que normalmente é feita às classes men-
LÓGICA MATEMÁTICA 56 C A P Í T U L O 3 • Proposições Categóricas e Inferências 125
cionadas. Por exemplo, a sentença “Um golfinho é um mamífero” é me-
lhor traduzida como sendo a proposição universal afirmativa “Todos os 
golfinhos são mamíferos”, já que normalmente estamos nos referimos à 
classe inteira de golfinhos ao classificá-los como mamíferos. Pela mesma 
razão, traduziríamos a sentença “Um golfinho não é um peixe” como 
sendo a proposição universal negativa “Nenhum golfinho é peixe”. Por 
outro lado, a sentença “Um golfinho vive no aquário local” seria tradu-
zida pela proposição particular afirmativa “Alguns golfinhos vivem no 
aquário local”, já que certamente a sentença não está se referindo a todos 
os golfinhos. (O uso de “alguns” é apropriado nesta tradução porque seu 
uso em proposições categóricas significa “no mínimo um”.)
A sentença “Todo computador é uma máquina complexa” refere-
se a todos os computadores, de modo que é traduzida pela proposição 
universal afirmativa “Todos os computadores são máquinas complexas”. 
BIOGRAFIA JOHN VENN
Embora muitas pessoas tenham expandido as 
ideias da álgebra booleana, talvez a mais útil 
dessas expansões é a que começou a ser usada 
por John Venn (1834–1923), ao criar o que 
veio a se tornar conhecido como diagramas de 
Venn. Esses diagramas distinguem-se dos cír-
culos de Euler por alguns poucos e importan-
tes modos de uso. Se quisermos analisar silo-
gismos categóricos usando o sistema de Venn, 
sempre começaremos desenhando três círcu-
los sobrepostos de mesmo tamanho. Cada cír-
culo é, então, designado conforme qual dos três termos do silogismo 
está sendo representado pelo círculo: o termo sujeito da conclusão, o 
termo predicado da conclusão, ou o termo médio, que é o termo que 
ocorre apenas nas premissas. Quando usado em análise lógica, as dife-
rentes áreas recebem então anotações para mostrar todas as asserções 
possíveis, de inclusão e exclusão de classe, das três proposições categó-
ricas que constituem o silogismo categórico. O sombreamento de uma 
área indica que a classe é vazia e é usado nas proposições categóricas 
universais. A presença de um “X” indica que a classe não está vazia e ele 
é usado nas proposições categóricas particulares. Essas anotações são 
usadas com ambas as proposições afirmativas e negativas.
A uniformidade dos diagramas de Venn oferece um método per-
feitamente mecânico para determinar a validade ou invalidade de qual-
quer silogismo categórico. Além disso, os diagramas de Venn são usa-
dos frequentemente em análise matemática para representar a união e 
interseção de conjuntos.
57 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2
 Lógica Analítica PARTE 1126 Lógica
A mesma tradução é válida para a sentença “Qualquer computador é 
uma máquina complexa”. Entretanto, a sentença “Nem todo computa-
dor é caro” deve ser traduzida pela proposição particular negativa “Al-
guns computadores não são caros”, porque é improvável que a sentença 
esteja declarando que nenhum computador é caro. Por outro lado, a 
sentença “Todo computador não é caro” deve ser traduzida pela pro-
posição universal negativa “Nenhum computador é caro”, porque ela se 
refere à classe inteira dos computadores.
Referência Rápida 3.2 • Traduzindo sentenças ordinárias em 
proposições categóricas
Sentença ordinária Tradução
Todos os tubarões caçam. Todos os tubarões são caçadores.
Nenhum tubarão caça. Nenhum tubarão é caçador.
Algumas pessoas jogam boliche. Algumas pessoas são jogadoras de 
boliche.
Algumas pessoas não jogam 
boliche.
Algumas pessoas não são jogadoras 
de boliche.
Um golfinho é um mamífero. Todos os golfinhos são mamíferos.
Um golfinho não é um peixe. Nenhum golfinho é peixe.
Um golfinho vive no aquário 
local.
Alguns golfinhos vivem no aquário 
local.
Qualquer computador é uma 
máquina complexa.
Todos os computadores são 
máquinas complexas.
Nem todo computador é caro. Alguns computadores não são caros.
Qualquer computador não é caro. Nenhum computador é caro.
Uma sentença ordinária 
pode ser traduzida por 
uma das quatro pro-
posições categóricas 
depois de ser recons-
truída.
Construindo diagramas de proposições categóricas:
os diagramas de Venn
Quando fazemos diagramas para as proposições categóricas, usamos os 
diagramas de Venn. Um diagrama de Venn consiste em círculos sobrepos-
tos que designam classes, juntamente com anotações específicas associadas 
aos círculos. Como uma proposição categórica contém duas classes, dese-
nharemos dois círculos que se intersecionam e então faremos anotações 
nos desenhos dependendo do que é dito na proposição. A estrutura básica 
do diagrama de Venn de uma proposição categórica está mostrada abaixo.
1
S P
2 3 4
Diagrama de 
Venn: Um diagra-
ma que usa círculos 
sobrepostos para 
representar propo-
sições categóricas e 
para ilustrar a vali-
dade ou invalidade 
de uma inferência 
categórica.
LÓGICA MATEMÁTICA 58 C A P Í T U L O 3 • Proposições Categóricas e Inferências 127
A Área 1 designa aqueles membros de S que não são membros de P. A 
Área 2 designa aqueles membros de S que são membros de P. A Área 3 
designa aqueles membros de P que não são membros de S. Finalmente, 
na Área4 não há nenhum membro nem de S nem de P.
Todos S são P Os nossos diagramas precisam incluir os requisitos lógi-
cos expressos pelas proposições categóricas. Na proposição “Todos S são 
P ”, a palavra “Todos” liga-se diretamente a S e não a P. A proposição está 
expressando alguma coisa definitiva sobre S (que todo membro dessa 
classe é membro de P), mas deixa em aberto a questão da extensão do 
domínio P.
Tendo isso em mente, podemos produzir o diagrama de Venn dessa pro-
posição.
1
S P
2 3 4
Todos S são P
Como a Área 1 designa aqueles membros de S que não são membros de 
P, o diagrama deve mostrar que essa área está vazia, que ela não contém 
nenhum membro de S. Para mostrar que uma área está vazia, ela é som-
breada. Portanto, o diagrama ilustra aquilo que a proposição expressa: 
se qualquer objeto for um membro de S, então ele será um membro de 
P. Esse diagrama pode ser usado para ilustrar os requisitos lógicos de 
qualquer proposição categórica universal afirmativa.
O diagrama de Venn anterior fornece o mecanismo necessário 
para fazer análises simples de inferências. Para demonstrar a validade 
ou invalidade, precisamos apenas consultar os diagramas da proposição 
envolvida em uma inferência. Por exemplo,
Todos S são P
Todos P são S
Se assumirmos que a premissa é verdadeira, poderemos usar o diagrama 
de Venn para representá-la. Então, o diagrama revelará se a premissa fun-
damenta logicamente ou não a conclusão. O diagrama completo revelará 
se a conclusão deve ser verdadeira (caso em que teremos demonstrado 
que a inferência é válida) ou revelará a possibilidade de uma conclusão 
falsa (caso em que teremos demonstrado que a inferência é inválida). 
59 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2
 Lógica Analítica PARTE 1128 Lógica
Esse método visual de análise capacita-nos a ver a lógica das inferências. 
Assim, na inferência anterior, podemos fazer a seguinte pergunta: é pos-
sível que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa? Usando o diagra-
ma anterior da premissa “Todos S são P ”, teremos a resposta.
Premissa: Todos S são P = Verdadeira
Conclusão: Todos P são S = Falsa
Essa figura é tudo de que precisamos para demonstrar que a inferência 
é inválida. Tudo que tivemos que mostrar foi a possibilidade de termos 
uma premissa verdadeira e uma conclusão falsa, e isso foi feito.
Nenhum S é P O nosso diagrama dessa proposição precisa incluir os 
requisitos lógicos expressos pela proposição. A asserção é que nenhum 
membro da classe S é membro da classe P. Isso está expresso no seguinte 
diagrama de Venn:
1
S P
2 3 4
Nenhum S é P
Como a Área 2 designa aqueles membros de S que são membros de P, 
o diagrama deve mostrar que essa área está vazia, de modo que ela está 
sombreada. Esse diagrama pode ser usado para ilustrar os requisitos ló-
gicos de qualquer proposição categórica universal negativa.
Novamente, uma inferência simples pode ser construída e analisa-
da usando-se essa estrutura de proposição.
Nenhum S é P
Nenhum P é S
É possível que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa? Acontece 
que isso não é possível. O diagrama mostra a única maneira da premissa 
ser verdadeira.
Premissa: Nenhum S é P = Verdadeira
Conclusão: Nenhum P é S = Verdadeira
Como o diagrama ilustra, se tornarmos verdadeira a premissa, então 
automaticamente também tornaremos verdadeira a conclusão. Como é 
impossível tornar verdadeira a premissa dessa inferência e falsa a con-
clusão ao mesmo tempo, demonstramos que essa inferência é válida.
Alguns S são P Nós estipularemos que “alguns” significa no mínimo 
um, de modo que a proposição diz que no mínimo um membro de S é 
LÓGICA MATEMÁTICA 60 C A P Í T U L O 3 • Proposições Categóricas e Inferências 129
membro de P. Diferentemente das proposições universais, as proposi-
ções categóricas particulares sempre são entendidas como tendo impor-
tação existencial. Portanto, a proposição “Alguns S são P” está na verda-
de dizendo que existe no mínimo um S e que ele é um P. Se for dito que 
existe no mínimo um membro em uma classe de objetos, então um X 
será colocado dentro do círculo.
1
S P
2 3 4
Alguns S são P
X
Como a Área 2 designa aqueles membros de S que são membros de P, o 
diagrama deve mostrar que essa área tem no mínimo um membro. Esse 
diagrama pode ser usado para ilustrar os requisitos lógicos de qualquer 
proposição categórica particular afirmativa.
Agora, usando essa estrutura de proposição, poderemos analisar 
uma inferência simples em relação à validade.
Alguns S são P
Alguns P são S
O diagrama mostra a única maneira da premissa ser verdadeira.
Premissa: Alguns S são P = Verdadeira
Conclusão: Alguns P são S = Verdadeira
Como o diagrama ilustra, se tornarmos verdadeira a premissa, então 
automaticamente também tornaremos verdadeira a conclusão. Como, 
nessa inferência, é impossível ao mesmo tempo tornar a premissa verda-
deira e a conclusão falsa, demonstramos que essa inferência é válida.
Alguns S não são P Essa estrutura de proposição está fazendo uma de-
claração a respeito da classe de S – que existe no mínimo um membro 
de S e que ele não é membro de P. Como vimos antes, se for dito que 
existe no mínimo um membro em uma classe de objetos, então um X 
será colocado dentro do círculo.
1
S P
2 3 4
Alguns S não são P
X
61 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2
 Lógica Analítica PARTE 1130 Lógica
Como a Área 1 designa aqueles membros de S que não são membros de 
P, o diagrama deve mostrar que essa área tem no mínimo um membro. 
Esse diagrama pode ser usado para ilustrar os requisitos lógicos de qual-
quer proposição categórica particular negativa.
Agora, usando essa estrutura de proposição, poderemos analisar 
uma inferência simples em relação à validade.
Alguns S não são P
Alguns P não são S
O diagrama mostra a única maneira da premissa ser verdadeira.
Premissa: Alguns S não são P = Verdadeira
Conclusão: Alguns P não são S = Falsa
Para que a conclusão fosse verdadeira, deveria haver um X na Área 3 do 
círculo P. Entretanto, a informação da premissa não nos permite colocar 
um X nessa área. Como já mostramos claramente que é possível haver 
uma premissa verdadeira e uma conclusão falsa, então demonstramos 
que a inferência é inválida.
Vamos trabalhar passo a passo em uma inferência simples, mas 
interessante.
Todos S são P
Alguns S são P
Como antes, uma proposição universal afirmativa pode usar o diagrama 
de Venn para representar a informação da premissa.
S P
Premissa: Todos S são P = Verdadeira
Conclusão: Alguns S são P = Falsa
A inferência é inválida.
Isso ilustra a importância de se compreender a importação existencial. 
As proposições universais são interpretadas como não fazendo nenhu-
ma declaração existencial. É por isso que o diagrama de “Todos S são 
P ” e “Nenhum S é P ” usam apenas o sombreamento de áreas. Os dia-
gramas dessas proposições não contêm nenhum X para indicar que um 
objeto existe verdadeiramente em uma área dada. Entretanto, proposi-
ções particulares são sempre entendidas como declarando existência (é 
por isso que se usa um X para ilustrar que no mínimo um dos objetos 
LÓGICA MATEMÁTICA 62
C A P Í T U L O 3 • Proposições Categóricas e Inferências 131
existe realmente). Assim, de fato é verdade que “Todos os unicórnios são 
criaturas de um chifre” (por definição), e é falso que “Alguns unicórnios 
são criaturas de um chifre”, porque isso afirma que existe no mínimo 
um unicórnio. No diagrama anterior, para a conclusão ser verdadeira, 
deveria haver um X na área onde S e P se sobrepõem, mas não há ne-
nhum X porque uma premissa universal não nos permite colocar um X 
em lugar algum, somente umaproposição particular permite isso. Ao 
declarar que essa inferência é inválida, estamos apenas expressando a 
possibilidade de uma premissa ser verdadeira e a conclusão ser falsa, o 
que é revelado pelo diagrama de Venn.
A Referência Rápida 3.3 mostra os diagramas de Venn das propo-
sições categóricas.
Referência Rápida 3.3 • Os diagramas de Venn são usados 
para ilustrar os quatro tipos de proposições categóricas
Todos S são P Nenhum S é P Alguns S são P Alguns S não são P
S P S P S P S P
X X
Os diagramas de Venn 
são usados para ilustrar 
os quatro tipos de pro-
posições categóricas.
CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 3.1
Exercícios 1–20 Traduza as seguintes sentenças para estruturas de proposições 
categóricas, estipulando o que S e P representarão em cada caso. A seguir, dese-
nhe diagramas de Venn para representar a lógica de cada proposição.
 1. Alguns bonecos de neve são elementos decorativos permanentes de gra-
mados.
Resposta: S = “bonecos de neve”, P = “elementos decorativos permanentes de 
gramados”
S P
X
 2. Nenhuma sanguessuga é advogado.
 3. Alguns apresentadores de notícias da televisão são bons atores.
 4. Todas as rosquinhas fazem parte da culinária sem gordura.
 5. Todas as pessoas paranormais são impostoras.
134 Lógica
 *51. Nenhum S é P
Alguns P não são S
 52. Alguns S são P
Todos S são P
 53. Alguns S são P
Todos P são S
 54. Alguns S são P
Nenhum S é P
 55. Alguns S são P
Nenhum P é S
 *56. Alguns S são P
Alguns P são S
 57. Alguns S são P
Alguns S são P
 58. Alguns S são P
Alguns S não são P
 59. Alguns S são P
Alguns P não são S
 60. Alguns S não são P
Todos S são P
 *61. Alguns S não são P
Todos P são S
 62. Alguns S não são P
Nenhum S é P
 63. Alguns S não são P
Nenhum P é S
 64. Alguns S não são P
Alguns S são P
 65. Alguns S não são P
Alguns P são S
 *66. Alguns S não são P
Alguns S não são P
 67. Alguns S não são P
Alguns P não são S
3.2 SILOGISMOS CATEGÓRICOS
Nesta seção, a discussão das proposições categóricas será ampliada para 
incluir a análise dos silogismos categóricos. Um silogismo é uma infe-
rência que tem exatamente duas premissas e uma conclusão. Um silogis-
mo categórico é uma inferência construída inteiramente de proposições 
Silogismo: Qual-
quer inferência que 
tem exatamente 
duas premissas e 
uma conclusão.
Silogismo cate-
górico: Uma infe-
rência construída 
inteiramente de 
proposições cate-
góricas.
63 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2
 Lógica Analítica PARTE 1C A P Í T U L O 3 • Proposições Categóricas e Inferências 135
categóricas. Se assumirmos que as premissas de uma inferência são ver-
dadeiras, então poderemos usar um diagrama de Venn para represen-
tar uma premissa e, em seguida, acrescentar uma segunda premissa ao 
nosso desenho. O diagrama completo revelará se a conclusão deverá ser 
verdadeira, caso em que teremos demonstrado que a inferência é válida, 
ou revelará a possibilidade de uma conclusão falsa, caso em que teremos 
demonstrado que a inferência é inválida. Esse método visual de análise 
usando diagramas de Venn capacita-nos a ver a lógica das inferências.
O uso de figuras para revelar a validade ou a invalidade é útil por-
que nos dá algo para ver. Para ilustrar com mais detalhes as questões 
lógicas que estamos indagando, será útil mostrar o quanto o conteúdo 
de verdade de uma inferência pode ser confuso e desorientador quando 
estamos fazendo uma análise de inferência lógica. Por exemplo, conside-
re a inferência do Exemplo 3.1A.
Exemplo 3.1A
Conteúdo de Verdade
Todos os quadrados são triângulos = Falso (F)
Todos os triângulos são retângulos = Falso (F)
Todos os quadrados são retângulos = Verdade (V)
Os conteúdos de verdade dessas proposições estão sendo mostrados 
para ajudar a ilustrar como essa informação não nos ajuda a decidir se a 
inferência é válida ou inválida, porque a questão lógica é algo completa-
mente diferente. A análise lógica começa vendo que todo silogismo cate-
górico contém exatamente três termos, cada um dos quais é usado duas 
vezes. Os dois termos da conclusão são referidos como sendo os termos 
sujeito (S) e predicado (P) da inferência. O termo que ocorre apenas nas 
premissas é denominado termo médio (M). Com isso, podemos mostrar 
a estrutura da inferência fazendo S = “quadrados”, P = “retângulos” e M 
= “triângulos”.
Exemplo 3.1B
Estrutura
Todos S são M
Todos M são P
Todos S são P
Como os silogismos categóricos têm três termos, teremos que acrescen-
tar um círculo ao nosso diagrama de Venn básico. O diagrama seguinte 
é o modelo para a análise lógica dos silogismos categóricos.
LÓGICA MATEMÁTICA 64136 Lógica
S P
M
Nesse diagrama de Venn, S representa o termo sujeito da conclusão, P, o 
termo predicado da conclusão, e M, o termo médio, o qual é encontrado 
apenas nas premissas. Como o interesse lógico é a validade, precisamos 
ver o que acontece quando tornamos verdadeiras ambas as premissas. 
Agora, podemos completar o diagrama de Venn com as anotações apro-
priadas. Começamos desenhando a informação dada na primeira pre-
missa como se ela fosse verdadeira. Ela diz que qualquer área do círculo S 
fora de M está vazia, de modo que sombreamos a área correspondente.
S P
M
O próximo passo é marcar o diagrama desenhando a informação da 
segunda premissa. Ela diz que qualquer área do círculo M fora de P está 
vazia, de modo que, novamente, sombreamos as área correspondente.
S P
M
O diagrama está completo quando contém as informações dadas 
nas duas premissas. Para decidir se a inferência é válida ou inválida, verifi-
camos se a conclusão deve ser verdadeira. No nosso exemplo, a conclusão 
declara que a classe S está completamente contida na classe P. No diagra-
ma de Venn, isso pode ser verificado, de modo que a inferência é válida.
Vamos analisar uma inferência similar à do Exemplo 3.1A.
65 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2
 Lógica Analítica PARTE 1C A P Í T U L O 3 • Proposições Categóricas e Inferências 137
Exemplo 3.2A
Conteúdo de Verdade
Todos os quadrados são triângulos = Falso (F)
Todos os retângulos são triângulos = Falso (F)
Todos os quadrados são retângulos = Verdade (V)
O conteúdo de verdade dessa inferência corresponde ao da infe-
rência do Exemplo 3.1A; isto é, ambas tem premissas falsas e uma con-
clusão verdadeira. Se a validade dependesse disso, poderíamos concluir 
que, como a primeira inferência foi válida, então esta também deve ser 
válida. Podemos mostrar a estrutura da inferência fazendo S = “quadra-
dos”, P = “retângulos” e M = “triângulos”.
Exemplo 3.2B
Estrutura
Todos S são M
Todos P são M
Todos S são P
Novamente, começamos desenhando a informação dada na primeira pre-
missa como se ela fosse verdadeira. Ela diz que qualquer área do círculo S 
fora de M está vazia, de modo que sombreamos a área correspondente.
S P
M
O próximo passo é marcar o diagrama desenhando a informação da 
segunda premissa. Ela diz que qualquer área do círculo P fora de M está 
vazia, de modo que, novamente, sombreamos a área correspondente.
S P
M
LÓGICA MATEMÁTICA 66138 Lógica
O diagrama estará completo quando contiver as informações dadas nas 
duas premissas. Para decidir se a inferência é válida ou inválida, verifi-
camos se a conclusão é verdadeira. A conclusão diz que a classe S está 
completamente contida na classe P, mas o diagrama de Venn mostra 
claramente que a conclusão é falsa. Portanto, demonstramos que essa 
inferência é inválida.
Depois de mostrarmos que uma inferência é inválida, saberemos 
que é logicamente possível substituir cada símbolo por alguma coisa e 
obter premissas verdadeiras e uma conclusão falsa. Considere as seguin-tes substituições dos símbolos do Exemplo 3.2B – Estrutura: S = “ho-
mens”, P = “mulheres” e M = “seres humanos”.
Exemplo 3.3
Conteúdo de Verdade
Todos os homens são seres humanos = Verdade (V)
Todas as mulheres são seres humanos = Verdade (V)
Todos os homens são mulheres = Falso (F)
Esse exemplo ilustra que, como as inferências inválidas permitem que haja 
premissas verdadeiras e uma conclusão falsa, elas não podem garantir que 
a verdade será preservada do começo ao fim em uma inferência.
Para mostrar que nós não estamos enganando o leitor, podemos 
substituir os símbolos pelas mesmas palavras no Exemplo 3.1B – Es-
trutura (que mostrou ser uma inferência válida). Novamente, S = “ho-
mens”, P = “mulheres” e M = “seres humanos”.
Exemplo 3.4
Conteúdo de Verdade
Todos os homens são seres humanos = Verdade (V)
Todos os seres humanos são mulheres = Falso (F)
Todos os homens são mulheres = Falso (F)
Lembre-se do que a validade garante – se as premissas forem verdadeiras, 
então a conclusão não poderá ser falsa.
Para conseguir mais prática, vamos analisar uma outra inferência.
Exemplo 3.5A
Todas as pessoas que dirigem carros compactos são pessoas de 
egos bem-ajustados.
67 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2
 Lógica Analítica PARTE 1C A P Í T U L O 3 • Proposições Categóricas e Inferências 139
Nenhuma pessoa que deseje ser muito rica é uma pessoa de ego 
bem-ajustado. 
Nenhuma pessoa que dirige carros compactos é uma pessoa que 
deseja ser muito rica.
Se fizermos S = “pessoas que dirigem carros compactos”, P = “pessoas 
que desejam ser muito ricas” e M = “pessoas de egos bem-ajustados”, 
obteremos a seguinte estrutura de inferência:
Exemplo 3.5B
Estrutura
Todos S são M
Nenhum P é M
Nenhum S é P
Podemos começar a nossa análise tornando verdadeiras ambas as pre-
missas, como se mostra a seguir:
S P
M
Premissa 1: Todos S são M = Verdadeira
Premissa 2: Nenhum P é M = Verdadeira
O diagrama de Venn completo confirma que, se as premissas forem ver-
dadeiras, então a conclusão, “Nenhum S é P ”, será verdadeira. Portanto, 
demonstramos que a inferência é válida.
Iremos trabalhar agora passo a passo na análise de mais duas infe-
rências para nos familiarizarmos com o uso das proposições “Alguns S 
são P ” e “Alguns S não são P ”. Desta vez, começaremos com a estrutura 
da inferência.
Exemplo 3.6
Todos S são M
Alguns M são P
Alguns S são P
LÓGICA MATEMÁTICA 68140 Lógica
Iremos tratar uma premissa de cada vez porque a análise dessa inferên-
cia revelará a necessidade de uma nova técnica para fazer o diagrama 
das proposições categóricas particulares. Começaremos desenhando a 
informação da primeira premissa como se ela fosse verdadeira.
S P
M
O próximo passo é marcar o diagrama desenhando a informação da 
segunda premissa. Essa é uma proposição particular, a qual declara que 
existe ao menos um M que é um P. Assim, devemos colocar um X em 
algum lugar das áreas onde M e P se sobrepõem. Vamos considerar três 
possibilidades, que são denominadas (a), (b) e (c).
(a)
 
S P
M
X
(b)
 
S P
M
X
Nas ilustrações (a) e (b), o X representa um objeto que é M e P, como 
requerido pela proposição “Alguns M são P ”. Entretanto, em (a), o X 
está expressando um objeto que também é um S, ao passo que em (b) o 
X está indicando que o objeto não é um S. Embora ambos os diagramas 
69 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2
 Lógica Analítica PARTE 1C A P Í T U L O 3 • Proposições Categóricas e Inferências 141
representem possibilidades lógicas desde que a segunda premissa seja 
verdadeira, os objetos referidos pelos Xs nos dois diagramas não são os 
mesmos. De fato, ambas os diagramas “dizem demais”. A informação da 
segunda premissa não nos permite escolher uma das possibilidades em 
detrimento da outra. Resolveremos esse problema fazendo o diagrama 
da segunda premissa como se mostra na ilustração (c).
(c)
 
S P
M
X
A razão da colocação do X em (c) é que não pode haver mais de um X 
para representar o que está sendo expresso por qualquer uma das pro-
posições em particular. Assim, em (c), o X está colocado na linha que 
separa as duas áreas nas quais o objeto poderia existir. Essa localização 
do X informa-nos que ele pode estar localizado na área mostrada ou 
em (a), ou em (b). Entretanto, ele não pode estar em ambas ao mesmo 
tempo. A ilustração final (c) mostra a seguinte possibilidade:
Premissa 1: Todos S são M = Verdadeira
Premissa 2: Alguns M são P = Verdadeira
Conclusão: Alguns S são P = Falsa
Como é possível o X referido na premissa 2 existir apenas na área mos-
trada em (b), a análise lógica revela que é possível haver premissas ver-
dadeiras e uma conclusão falsa. Portanto, a inferência é inválida.
O Exemplo 3.7 apresenta a última análise de inferência desta seção.
Exemplo 3.7
Alguns P não são M
Todos S são M
Alguns S não são P
Iremos tratar uma premissa de cada vez porque a análise dessa infe-
rência revelará uma nova estratégia para fazer o diagrama das proposi-
ções categóricas particulares. Começaremos desenhando a informação 
dada na primeira premissa, “Alguns P não são M”, como se ela fosse 
verdadeira.
LÓGICA MATEMÁTICA 70
142 Lógica
S P
M
X
O próximo passo é marcar o diagrama desenhando a informação dada 
na segunda premissa, “Todos S são M ”.
S P
M
X
Como agora uma das áreas possíveis para a colocação do X foi elimina-
da, o X deve ser deslocado para a única possibilidade que restou.
S P
M
X
Para evitar que tenhamos de alterar a localização do X no diagrama, 
poderíamos ter começado a análise desenhando a segunda premissa. 
Assim, sempre que uma inferência tiver uma pre-
missa particular e uma universal, a estratégia a 
ser empregada é sempre fazer primeiro o diagra-
ma da premissa universal. Frequentemente, isso 
eliminará a necessidade de se alterar a localização 
do X dentro do diagrama de Venn.
Agora, a análise final da inferência pode ser 
completada.
Estratégia
Em uma inferência que contém uma 
premissa universal e uma premis-
sa particular, sempre faça primei-
ro o diagrama da premissa universal.
71 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2
 Lógica Analítica PARTE 1C A P Í T U L O 3 • Proposições Categóricas e Inferências 143
S P
M
X
Premissa 1: Alguns P não são M = Verdadeira
Premissa 2: Todos S são M = Verdadeira
Conclusão: Alguns S não são P = Falsa
O diagrama de Venn completo demonstra que a inferência é inválida, 
porque ela revela a possibilidade de premissas verdadeiras e uma con-
clusão falsa.
CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 3.2 ���
Exercícios 1–20 (1) Substitua os símbolos para descobrir a estrutura lógica das 
inferências categóricas e, então, (2) demonstre que as inferências são ou válidas 
ou inválidas. Use o seu conhecimento de proposições categóricas e diagramas 
de Venn para ajudar a desenvolver as suas demonstrações.
 1. Todos os personagens de desenhos em quadrinhos são criações fictícias.
Algumas criações fictícias são objetos possíveis.
Alguns personagens de desenhos em quadrinhos são objetos possíveis.
Resposta: Inválida
Sejam S = “personagens de desenhos em quadrinhos”, P = “objetos possíveis” e 
M = “criações fictícias”. A estrutura da inferência é:
Todos S são M
Alguns M são P
Alguns S são P
S P
M
X
 2. Nenhuma estrela de cinema é ganhadora do prêmio Pulitzer.
Nenhum ganhador do prêmio Pulitzer é analfabeto.
Nenhuma estrela de cinema é analfabeta.
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
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unidade 
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Parte 2
Lógica Crítica
LÓGICA MATEMÁTICA 74
Lógica e Verdade
75 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2
 Lógica Crítica PARTE 2
visão geral
Vivemos na Era da Informação. As estações de televisão 
a cabo dão notícias locais e mundiais 24 horas por dia. 
A Internet fornece acesso a milhões de livros, artigos e 
milhares de jornais de todo o mundo. Os Web sites pes-
soais, os Web logs (blogs) e os chat rooms apresentam 
comentários instantâneos a respeito dos eventos em todo 
o planeta. Frequentemente, descobrimos que, juntamen-
te com a informação, diversas afirmações são apresenta-
das. Por exemplo, suponha que leiamos o seguinte:
Alguns estúdios cinematográficos e diretores independen-
tes de cinema estão lançando seus filmes em DVD, em vez 
de colocá-los nos cinemas. Em breve, você será capaz de 
assistir à estreia de um filme em sua casa, pagando uma 
fração do que custaria caso você fosse a um cinema, com-
prasse ou alugasse o filme. De fato, as vendas de ingressos 
nos cinemas americanos vêm caindo de forma contínua 
durante os últimos dez anos. Portanto, é de se esperar que 
os cinemas irão se tornar obsoletos.
Esse trecho contém uma inferência. Uma inferência, ou 
argumento, é um encadeamento de proposições (sentenças que 
são ou verdadeiras, ou falsas). As primeiras três proposições do 
trecho são premissas; contêm informações com o objetivo de dar 
boas razões para se aceitar a conclusão, ou seja, a afirmação de 
que os cinemas irão se tornar obsoletos. Nesse trecho há duas 
coisas a considerar: a informação dada é verdadeira? Se a infor-
1.1 CONTEÚDO DE VERDADE E 
COMPONENTE LÓGICO
1.2 LÓGICA E RELAÇÕES
1.3 ERROS DE CONTEÚDO 
DE VERDADE, ERROS DE 
COMPONENTE LÓGICO
E A ANÁLISE DE 
INFERÊNCIAS
1.4 RACIOCÍNIO, 
JULGAMENTO E ANÁLISE 
DEDUTIVA
1.5 INFERÊNCIAS DEDUTIVAS E 
INDUTIVAS
1.6 INCERTEZA E ANÁLISE 
INDUTIVA
11capítulo
LÓGICA MATEMÁTICA 7630 Lógica
mação for verdadeira, ela oferecerá boas razões para que a conclusão seja 
aceita? Essas questões oferecem um vislumbre do papel da lógica, que é 
o estudo do raciocínio. A análise lógica revela a extensão da correção do 
raciocínio encontrado nas inferências. A lógica fornece as habilidades 
necessárias para se identificar as inferências dos outros, colocando uma 
pessoa em uma posição que permite a análise coerente e precisa dessas 
inferências. O aprendizado das habilidades lógicas irá capacitá-lo a sub-
meter as suas próprias inferências a essa mesma análise, de modo que 
possa antecipar objeções e críticas. Este livro introduz as ferramentas da 
análise lógica e apresenta aplicações práticas da lógica.
1.1 CONTEÚDO DE VERDADE E COMPONENTE LÓGICO
O nosso interesse inicial no estudo da lógica está em dois modos impor-
tantes de avaliarmos a informação que recebemos durante a nossa inte-
ração consciente com o mundo. Primeiro, o conteúdo de verdade – A 
informação é verdadeira ou falsa? Segundo, o componente lógico – Se a 
informação for verdadeira, então que poderá se concluir dela? Por exemplo, 
se alguém entrar em um quarto e aparentar estar encharcado, podere-
mos concluir que está chovendo lá fora. Esse pensamento muito natural 
e quase instantâneo é na realidade o resultado de dois processos. O pri-
meiro é a avaliação da informação visual – a pessoa “aparenta estar mo-
lhada”. O segundo processo, embora complexo, ocorre tão rapidamente 
que pode escapar à atenção. A sua complexidade está no notável processo 
de se levar uma peça de informação para além de seus limites. A partir 
de “uma pessoa molhada”, concluímos que “está chovendo”. De uma peça 
de informação, desenvolvemos, ou inferimos, uma consequência. Damo-
nos conta da complexidade apenas quando nos tornamos conscientes do 
processo. Então, somos confrontados com o processo seguinte de calcular 
e justificar a nossa inferência. Se fizermos para alguém um comentário 
de que está chovendo lá fora, essa pessoa poderá nos pedir para explicar 
por que pensamos isso. Só então ficaremos conscientes da necessidade 
de analisar e justificar a nossa conclusão. Apontar para a pessoa mo-
lhada pode ajudar a justificar a nossa conclusão, mas uma análise mais 
profunda levanta a possibilidade de que possamos estar enganados, ou 
seja, de que não esteja chovendo. Há certamente outras razões para uma 
pessoa estar molhada – ela pode ter sido atingida por balões com água, 
pode ter se borrifado com água devido ao calor, pode ter passado entre 
os esguichos de água de um gramado, ou o umedecimento deve-se a suor 
excessivo etc. De fato, à medida que as explicações para o umedecimento 
começam a se empilhar, podemos ir ficando menos confiantes de que 
realmente esteja chovendo. Esse exemplo mostra que devemos conside-
rar a nossa interação com o mundo de duas maneiras diferentes: (1) A 
informação que recebemos é exata, correta ou verdadeira? (2) Se for ver-
dadeira, então o que poderemos inferir dela; que conclusões resultarão?
Inferência: Um 
conjunto de pro-
posições, nas quais 
as premissas são 
apresentadas como 
fundamentação da 
conclusão.
Proposição: Um 
enunciado que é ou 
verdadeiro, ou falso.
Premissa: Uma 
proposição (ou 
conjunto de propo-
sições) que é dada 
como fundamen-
tação para uma 
conclusão.
Conclusão: A parte 
final de uma infe-
rência; a proposição 
que se pretende 
obter a partir das 
premissas.
Conteúdo de ver-
dade: A verdade ou 
falsidade efetiva de 
uma proposição e 
os métodos de sua 
determinação.
Componente lógi-
co: A relação lógica 
entre as premissas e 
uma conclusão.
77 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2
 Lógica Crítica PARTE 2C A P Í T U L O 1 • Lógica e Verdade 31
1.2 LÓGICA E RELAÇÕES
A determinação do conteúdo de verdade e do componente lógico de 
uma inferência constituem um processo complexo, de modo que erros 
podem facilmente ser cometidos. Há duas fontes potenciais de erros 
– conteúdo de verdade incorreto e componente lógico incorreto. Embora 
improvável, é possível contudo que, no nosso exemplo anterior, estivés-
semos errados em relação à pessoa estar realmente molhada (lembre-se, 
dissemos que a pessoa “aparentava” estar encharcada). Se for assim, esse 
seria um caso de conteúdo de verdade incorreto. Por outro lado, a nossa 
inferência poderia estar errada, pois poderia não estar chovendo. Se for 
assim, esse seria um caso de componente lógico incorreto. (É possível 
que estejamos errados nos dois casos – conteúdo de verdade incorreto 
e componente lógico incorreto.) A primeira fonte de erro, conteúdo de 
verdade incorreto, é a mais familiar. Muito da nossa educação formal 
é dedicada ao conteúdo de verdade das informações. Entretanto, a se-
gunda fonte de erro, componente lógico incorreto, é mais difícil de ser 
reconhecida porque diz respeito à relação entre as proposições e não às 
proposições em si. Para isso ser completamente entendido, é necessário 
olhar os exemplos que elucidarão as distinções que estamos fazendo. 
Suponha que você receba duas peças de informação:
 1. Vincent van Gogh nasceu em alguma data durante os anos 1800.
 2. Marie Curie nasceu em alguma data durante os anos 1800.
Primeiro, podemos investigar a verdade das proposições. Observe 
que a verdade ou falsidade de cada proposição é independente da outra 
– isto é, ambas podem ser verdadeiras, ambas podem ser falsas ou uma 
pode ser verdadeira e a outra, falsa. Facilmente poderíamos encontrar 
evidências a respeito da verdade ou falsidade de cada proposição (con-
sultando uma enciclopédia, um livro de história da ciência, pesquisando 
na Internet etc.). O resultado dessa linha deanálise seria conhecermos 
o conteúdo de verdade; teríamos determinado a verdade ou a falsidade 
real de cada proposição. Entretanto, antes de investigar o conteúdo de 
verdade, poderíamos examinar as duas proposições como premissas em 
potencial. O nosso foco seria então o que poderia ser inferido a partir 
delas – O que se concluirá delas se forem verdadeiras? Essa linha de análise 
leva-nos à área do componente lógico, cujo foco é a relação entre o par 
de duas proposições acima e uma nova proposição, a conclusão, que 
poderemos obter do par. Uma possível conclusão é a seguinte:
 3. Van Gogh nasceu antes de Marie Curie.
A nossa atenção agora está focada em perguntas diferentes, tais 
como “E se as duas primeiras proposições forem verdadeiras?”, “Como 
a verdade ou falsidade das duas primeiras proposições relacionam-se 
com a verdade ou falsidade da terceira proposição?”, “As duas primeiras 
proposições fundamentam a terceira?” e “As duas primeiras proposições 
LÓGICA MATEMÁTICA 7832 Lógica
fornecem boas razões para se aceitar a terceira?”. Essas considerações são 
radicalmente diferentes das nossas preocupações com o conteúdo de ver-
dade das duas primeiras proposições. Como agora estamos concentrados 
na relação entre as três proposições, a nossa análise tem uma forma com-
pletamente diferente. Uma analogia poderá ajudá-lo a compreender esse 
ponto. Quando falamos a respeito da relação entre duas pessoas, podere-
mos pensar se ela é “boa”, “forte”, “de apoio mútuo”, “estremecida”, “muito 
fraca” etc. Isso é similar ao que estamos fazendo agora. Isso poderá ser 
visto mais claramente se mostrarmos as proposições de modo diferente.
Exemplo 1.1
 1. Vincent van Gogh nasceu em alguma data durante os anos 
1800.
 2. Marie Curie nasceu em alguma data durante os anos 1800.
 3. Van Gogh nasceu antes de Marie Curie.
Essa forma de mostrar a informação indica que o objetivo é as duas pri-
meiras proposições serem premissas, ao passo que a proposição abaixo 
da linha é a conclusão de uma inferência. Queremos analisar a relação 
lógica {R} entre as premissas e a conclusão. Especificamente, queremos 
ver se as premissas, quando ambas são verdadeiras, garantem alguma coi-
sa a respeito da conclusão. Se aceitarmos que a informação da primeira 
premissa é verdadeira, então seremos informados de que van Gogh nas-
ceu em alguma data entre os anos 1800 e 1899. Se aceitarmos que a in-
formação da segunda premissa é verdadeira, então seremos informados 
de que Marie Curie também nasceu em alguma data entre os anos 1800 
e 1899. Neste ponto, é importante fazer uma separação entre o conteúdo 
de verdade da conclusão e a análise lógica que determina se é possível ou 
não obtê-la das premissas, ou seja, uma questão de relação. Isso é crucial 
porque nem sempre estamos em condições de determinar o conteúdo 
de verdade das proposições. Contudo, podemos desenhar uma linha de 
tempo para representar os anos 1800.
18991800
Como não determinamos o conteúdo de verdade dessas premissas, é pelo 
menos logicamente possível situar as datas de nascimento de van Gogh e 
Curie sobre essa linha de modo tal que a conclusão seja verdadeira.
van Gogh Curie
18991800
Relação lógica: 
A conexão lógica 
entre premissas e 
conclusões.
79 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2
 Lógica Crítica PARTE 2C A P Í T U L O 1 • Lógica e Verdade 33
Também é logicamente possível situar as datas de nascimento de Van 
Gogh e Curie sobre essa linha de modo que a conclusão seja falsa.
Curie van Gogh
18991800
Entretanto, a análise do Exemplo 1.1 revelou que, embora a informação 
das premissas seja verdadeira, é logicamente possível que a conclusão 
seja tanto verdadeira como falsa. Esse exemplo mostra que podemos de-
terminar a relação lógica entre as proposições sem conhecermos a verda-
de ou falsidade real das proposições envolvidas.
Agora, vamos examinar um par ligeiramente diferente de propo-
sições.
 1. Marie Curie nasceu em alguma data durante os anos 1800.
 2. Nelson Mandela nasceu em alguma data durante os anos 1900.
Agora estamos interessados na relação que existe entre esse par de pro-
posições e uma nova proposição, uma que podemos derivar como uma 
consequência desse par. Uma candidata seria esta proposição: 
 3. Marie Curie nasceu antes de Nelson Mandela.
Isso nos dá um novo exemplo de análise lógica.
Exemplo 1.2
 1. Marie Curie nasceu em alguma data durante os anos 1800.
 2. Nelson Mandela nasceu em alguma data durante os anos 
1900. 
 3. Marie Curie nasceu antes de Nelson Mandela.
Como antes, para fins de análise lógica, começaremos admitindo que as 
premissas são verdadeiras. Se assim for, a informação dada é: Premissa 
1 – Marie Curie nasceu em alguma data entre 1800 e 1899, e Premissa 
2 – Nelson Mandela nasceu em alguma data entre 1900 e 1999. No-
vamente podemos desenhar uma linha de tempo para nos ajudar na 
análise.
1900
Curie Mandela
19991800
LÓGICA MATEMÁTICA 8034 Lógica
A data de nascimento de Marie Curie pode ser colocada em qualquer 
lugar entre 1800 e 1899. A data de nascimento de Nelson Mandela pode 
ser colocada em qualquer lugar entre 1900 e 1999. Agora, se as informa-
ções das premissas forem verdadeiras, então a relação {R} entre essas três 
proposições será tal que a conclusão do Exemplo 1.2 também deverá ser 
verdadeira. Lembre-se de que essa é apenas uma análise lógica – não es-
tamos afirmando que qualquer uma das proposições seja realmente ver-
dadeira. Mais exatamente, estamos considerando apenas o componente 
lógico contido na inferência (e se as premissas forem verdadeiras?). A 
nossa análise revelou algo completamente diferente do Exemplo 1.1. Es-
pecificamente, o Exemplo 1.2 mostra que em uma inferência é possível 
existir uma relação em que as premissas, se verdadeiras, garantem que a 
conclusão seja verdadeira. Assim, a análise lógica é completamente dife-
rente da análise de conteúdo de verdade, que considera apenas qual é o 
caso (se as proposições são verdadeiras ou falsas).
Um exemplo final será considerado aqui.
Exemplo 1.3
 1. Marie Curie nasceu em alguma data durante os anos 1800.
 2. Nelson Mandela nasceu em alguma data durante os anos 
1900. 
 3. Nelson Mandela nasceu antes de Marie Curie.
Como antes, para fins de análise lógica, começaremos aceitando que as 
premissas são verdadeiras. Se for assim, a informação dada é a mesma 
de antes: Premissa 1 – Marie Curie nasceu em alguma data entre 1800 e 
1899. Premissa 2 – Nelson Mandela nasceu em alguma data entre 1900 
e 1999. Se as premissas forem aceitas como verdadeiras, então a relação 
{R} entre essas três proposições será tal que a conclusão deve ser falsa.
No que diz respeito à questão da relação, a discussão até aqui revelou 
que os resultados podem ser diferentes. No Exemplo 1.1, a relação era tal 
que, mesmo se as premissas fossem ambas verdadeiras, a conclusão pode-
ria ser tanto verdadeira ou falsa. No Exemplo 1.3, a relação era tal que, se as 
premissas fossem ambas verdadeiras, então a conclusão tinha que ser falsa. 
Mais importante ainda, no Exemplo 1.2 a relação era tal que, se as premis-
sas fossem ambas verdadeiras, era garantida a verdade da conclusão.
O domínio da análise lógica requer a separação efetiva dos dois ti-
pos de avaliação de informação que examinamos. Como as nossas men-
tes naturalmente processam a informação segundo os dois modos que 
discutimos, frequentemente fica confuso quando pela primeira vez ten-
tamos conscientemente manter separados os dois modos. Primeiro, a in-
formação que estou recebendo é exata, correta ou verdadeira? Segundo, 
se for verdadeira, então o que eu posso inferir dela – isto é, que conclu-
sões podem ser tiradas? De fato, para a maioria das pessoas, o primeiro 
81 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2Lógica Crítica PARTE 2C A P Í T U L O 1 • Lógica e Verdade 35
tipo de avaliação (o conteúdo de verdade) tem prioridade. Se você não 
estiver consciente da diferença entre conteúdo de verdade e componente 
lógico, então surgirá uma confusão. Podemos ilustrar isso realizando um 
pequeno experimento em que você lê uma frase, compreende o seu sig-
nificado, mas não a julga como verdadeira ou falsa. Tente compreender o 
significado da frase sem decidir a respeito de sua veracidade ou falsidade 
real. A frase irá se referir ao livro que você está lendo agora. Aqui está a 
frase:
O livro que você está lendo agora pesa 1000 quilogramas.
Ao terminar de ler a frase, a maioria das pessoas, se não todas, imediata-
mente sabe que é falsa. A “decisão” de que a frase era falsa ocorre tão ra-
pidamente que as pessoas não conseguem evitá-la. Isso mostra que uma 
parte da nossa mente está constantemente analisando a informação em 
relação à sua verdade ou falsidade. Isso é importante para a nossa discus-
são precisamente porque devemos reconhecer que as nossas mentes estão 
constantemente trabalhando em dois níveis diferentes, e devemos apren-
der a manter separados esses níveis. Para avaliarmos a relação (o compo-
nente lógico) que existe entre as proposições, devemos desconsiderar o 
conteúdo de verdade. Temporariamente, devemos ignorar os resultados 
de verdade ou falsidade reais – não porque não sejam importantes, mas 
simplesmente porque estamos fazendo algo inteiramente diferente.
É possível ter um entendimento claro de como as duas funções dife-
rem examinando como nós processamos outros tipos de informação. Os 
sentidos da visão e do olfato são duas funções distintas. Não esperamos que 
nossos olhos detectem a fragrância de uma flor, ou que nossos narizes nos 
digam qual é a cor da flor. Na verdade, quando as pessoas estão cheirando 
algo, algumas vezes elas fecham os olhos para dar a mais alta prioridade ao 
sentido de olfato. Bem frequentemente, fechamos os olhos quando quere-
mos nos concentrar para ouvir alguma coisa. De forma semelhante, quan-
do estamos concentrados no componente lógico, devemos aprender a tem-
porariamente “fechar” a nossa capacidade de ver o conteúdo de verdade.
CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 1.2 ���
Para analisar as relações das inferências seguintes, (1) imagine que todas as pre-
missas são verdadeiras, (2) determine se a conclusão de cada inferência é então 
(a) verdadeira, (b) falsa ou (c) tanto verdadeira como falsa, e (3) explique os 
seus resultados. (Uma resposta completa para o primeiro exercício em cada con-
junto é dada para que você tenha um modelo a ser seguido. Soluções e explicações 
para os exercícios com asteriscos estão no final do livro.)
 1. O livro A tem mais de 200 páginas.
O livro B tem mais de 500 páginas.
O livro B tem mais páginas do que o livro A.
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
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Parte 3
Cálculo Proposicional
LÓGICA MATEMÁTICA 84
13
As proposições podem ser simples (também chamadas de atômicas, pois não po-
dem ser decompostas em proposições mais simples), ou compostas, utilizando 
operadores lógicos, também denominados conetivos.
Proposições simples
A proposição simples não contém qualquer outra proposição como parte inte-
grante de si mesma. 
Por exemplo:
 • Paulo é médico.
 • 2 < 1
 • A impressora é um periférico.
 DEFINIÇÃO
Proposição é toda oração 
declarativa, de sentido 
completo, para a qual se 
associa apenas um dos 
dois atributos: verdadeiro 
ou falso.
Proposições compostas
A proposição composta é formada por duas ou mais proposições simples unidas 
por conetivos, como “e”, “ou”, “se... então...”, “se, e somente se,” e “não”.
Por exemplo:
 • 2 < 1 ou 7 <> 4
 • Se Pedro é estudante, então lê livros.
 • Pedro é inteligente se, e somente se, estuda. 
 • O sol é quadrado e a neve é branca.
 • O computador não é barato.
Agora é a sua vez!
 3. Considerando que a = 4, b = 5 e c = 2, discuta com seu colega qual é o valor lógico resultante (V ou F) 
de cada proposição abaixo:
a. a >= c
b. b < a
c. c – (b + a) >= (c * b)
12
Proposições
Uma proposição é uma construção (sentença, frase, pensamento) à qual se pode 
atribuir juízo. No caso da lógica matemática, o tipo de juízo é o verdadeiro-falso, ou 
seja, o interesse é na “verdade” das proposições. Em informática, o valor lógico (V) é 
representado pelo número (1), e o valor lógico (F), pelo número (0).
85 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2
 Cálculo Proposicional PARTE 3
M
at
em
át
ic
a 
ap
lic
ad
a 
à 
in
fo
rm
át
ic
a
14
Operadores lógicos
As variáveis proposicionais são representadas por letras minúsculas para indicar as 
proposições simples. 
Por exemplo:
p: A taxa de juros é alta.
q: O computador é caro.
Agora, considerando as proposições simples dadas acima, observe no Quadro 1.5 
as representações simbólicas das proposições.
Agora é a sua vez!
 4. Considerando que a = 4, b = 5 e c = 2, apresente o valor de x. Se (a > b) ou (c < a), então x = b + (a/c), 
senão x = 10.
Quadro 1.5 Representações simbólicas das proposições
Proposição Conetivo
Linguagem 
simbólica
A taxa de juros não é alta.
O computador não é caro.
negação
~p
~q
A taxa de juros é alta e o computador 
é caro.
conjunção p q
A taxa de juros é alta ou o computador 
é caro.
disjunção p q
Se a taxa de juros é alta, então o computador 
é caro.
condicional p ��q
O computador é caro se, e somente se, a taxa 
de juros é alta.
bicondicional q ��p
LÓGICA MATEMÁTICA 86
ca
pí
tu
lo
 1
 
 
N
oç
õe
s 
de
 ló
gi
ca
 m
at
em
át
ic
a
15
Ordem de precedência dos operadores lógicos
No intuito de reduzir o número de parênteses, simplificando visualmente as fórmu-
las, a seguinte ordem de precedência entre os conetivos é convencionada:
 1. Conetivos entre parênteses, dos mais internos para os mais externos
 2. Negação (~)
 3. Conjunção ( ) e disjunção ( )
 4. Condição (�)
 5. Bicondição (�)
Tabelas-verdade
Negação
A negação de uma proposição p consiste em negar sua informação. Dessa forma, 
caso a proposição p = Marcos é japonês, quando negada (~p, lê-se “não p”) passa a 
ser ~p = Marcos não é japonês. Isso indica que, caso a proposição p seja verdadeira, 
~p passa a ser falsa e vice-versa, como mostrado na tabela-verdade a seguir.
Seja p uma proposição simples, tem-se que:
p ~p
V F
F V
Conjunção
A conjunção de duas proposições p e q é verdadeira quando o valor lógico da pro-
posição p é verdadeiro e o valor lógico da proposição q também é verdadeiro, ou 
seja, V(p) = V(q) = V, e falsa nos demais casos, como mostrado na tabela-verdade 
a seguir. 
Por exemplo: Para imprimir uma foto, é necessário que se tenha papel especial e 
cartucho colorido.
Sejam as proposições simples:
p: Alex tem papel especial.
q: Alex tem cartucho colorido.
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
87 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2
 Cálculo Proposicional PARTE 3
M
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ap
lic
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Disjunção
A disjunção de duas proposições p e q é falsa quando V(p) = V(q) = F e verdadeira 
nos demais casos. Isto é, só será falsa quando ambas forem falsas, como pode ser 
observado na tabela-verdade a seguir.
Por exemplo: Para escrever um poema, é necessário que se tenha caneta ou lápis.
Sejam as proposições simples:
p: Alex tem caneta. 
q: Alex tem lápis.
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
Condicional
O condicional de duas proposições p e q é falso quando V(p) = V e V(q) = F, e 
verdadeiro nos demais casos. A proposição p é chamada de antecedente e a 
proposiçãoq é o consequente do condicional. Isto é, o condicional será falso se 
o antecedente for verdadeiro e o consequente falso, como mostrado na tabela-
-verdade a seguir.
Por exemplo: Se navegar na internet, então deverá responder uma pesquisa.
Sejam as proposições simples:
p: Mariana navegou na internet. 
q: Mariana respondeu uma pesquisa.
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
Bicondicional
O bicondicional de duas proposições p e q é verdadeiro quando V(p) = V(q) e falso 
quando V(p) <> V(q), como pode ser observado na tabela-verdade a seguir.
Por exemplo: O lucro será máximo se, e somente se, todos os produtos forem ven-
didos.
 NO SITE
Não se esqueça de conferir 
as respostas das questões 
dos quadros “Agora é a sua 
vez!” no ambiente virtual de 
aprendizagem Tekne.
LÓGICA MATEMÁTICA 88
17
Sejam as proposições simples:
p: A empresa XYZ teve lucro máximo. 
q: A empresa XYZ vendeu todos os produtos.
p q p ��q
V V V
V F F
F V F
F F V
Construção de tabelas-verdade
Uma tabela-verdade deve conter todas as combinações possíveis dos valores ló-
gicos das proposições simples componentes. Ou seja, cada proposição simples 
pode assumir dois valores lógicos: V e F. Assim, na tabela-verdade da negação 
(ilustrada anteriormente), por exemplo, duas linhas são suficientes para expres-
sar os valores lógicos possíveis. No caso de tabelas com duas proposições sim-
ples, são necessárias quatro linhas (BLAUTH, 2013).
 APLICAÇÃO
Veja a seguir dois exemplos de como construir uma tabela-verdade.
1. p (~q)
p q ~q p (~q)
V V F V
V F V V
F V F F
F F V V
Observe que:
 •
 • As duas primeiras colunas expressam as combinações possíveis de p e q.
 • A terceira coluna e corresponde à negação de q, ou seja, à fórmula ~q.
 • A quarta coluna corresponde à disjunção de p com ~q, ou seja, p ~q.
89 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2
 Cálculo Proposicional PARTE 3
M
at
em
át
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ap
lic
ad
a 
à 
in
fo
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át
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 APLICAÇÃO
2. p (q r) (p q) (p r)
p q r q r p (q r) p q p r (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)
V V V V V V V V V
V V F F V V V V V
V F V F V V V V V
V F F F V V V V V
F V V V V V V V V
F V F F F V F F V
F F V F F F V F V
F F F F F F F F V
p (q r) (p q) (p r) tem três proposições simples. Dessa forma, a tabela-verdade tem 8 (2³) 
linhas. Observe que a construção da tabela respeitou a ordem de precedência definida.
Agora é a sua vez!
 5. Construa a tabela-verdade de (w t) u.
Tipos de proposições compostas
São tipos de proposições compostas:
 • A tautologia: é a proposição composta que, em sua tabela-verdade, resulta 
em valores lógicos todos verdadeiros, quaisquer que sejam os valores lógicos 
das proposições componentes.
 • A contradição: é a proposição composta que, em sua tabela-verdade, resul-
ta em valores lógicos todos falsos, quaisquer que sejam os valores lógicos 
das proposições componentes.
 • A contingência: é a proposição composta que, em sua tabela-verdade, re-
sulta em valores lógicos verdadeiros e falsos. 
LÓGICA MATEMÁTICA 90
19
Implicação
Diz-se que uma proposição p implica uma proposição q (indica-se por p q) 
quando o condicional p q for tautologia.
 APLICAÇÃO
Verifique se p q p.
Resolução. Tabela-verdade:
p q q p p (q p) 
V V V V
V F V V
F V F V
F F V V
Conclusão: p q p, pois o condicional p (q p) é tautologia.
Equivalência
Diz-se que uma proposição p equivale a uma proposição q (indica-se por p q) 
quando o bicondicional p q for tautologia.
 APLICAÇÃO
Verifique se p q q p:
Resolução. Tabela-verdade:
p q p q q p p q q p
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F V V V
Conclusão: p q q p, pois o bicondicional p q q p é tautologia.
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Parte 4
Proposições Simples
LÓGICA MATEMÁTICA 92
13
As proposições podem ser simples (também chamadas de atômicas, pois não po-
dem ser decompostas em proposições mais simples), ou compostas, utilizando 
operadores lógicos, também denominados conetivos.
Proposições simples
A proposição simples não contém qualquer outra proposição como parte inte-
grante de si mesma. 
Por exemplo:
 • Paulo é médico.
 • 2 < 1
 • A impressora é um periférico.
 DEFINIÇÃO
Proposição é toda oração 
declarativa, de sentido 
completo, para a qual se 
associa apenas um dos 
dois atributos: verdadeiro 
ou falso.
Proposições compostas
A proposição composta é formada por duas ou mais proposições simples unidas 
por conetivos, como “e”, “ou”, “se... então...”, “se, e somente se,” e “não”.
Por exemplo:
 • 2 < 1 ou 7 <> 4
 • Se Pedro é estudante, então lê livros.
 • Pedro é inteligente se, e somente se, estuda. 
 • O sol é quadrado e a neve é branca.
 • O computador não é barato.
Agora é a sua vez!
 3. Considerando que a = 4, b = 5 e c = 2, discuta com seu colega qual é o valor lógico resultante (V ou F) 
de cada proposição abaixo:
a. a >= c
b. b < a
c. c – (b + a) >= (c * b)
12
Proposições
Uma proposição é uma construção (sentença, frase, pensamento) à qual se pode 
atribuir juízo. No caso da lógica matemática, o tipo de juízo é o verdadeiro-falso, ou 
seja, o interesse é na “verdade” das proposições. Em informática, o valor lógico (V) é 
representado pelo número (1), e o valor lógico (F), pelo número (0).
93 Lógicas Analítica, Crítica e Proposições UNIDADE 2
 Proposições Simples PARTE 4
M
at
em
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a 
ap
lic
ad
a 
à 
in
fo
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át
ic
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14
Operadores lógicos
As variáveis proposicionais são representadas por letras minúsculas para indicar as 
proposições simples. 
Por exemplo:
p: A taxa de juros é alta.
q: O computador é caro.
Agora, considerando as proposições simples dadas acima, observe no Quadro 1.5 
as representações simbólicas das proposições.
Agora é a sua vez!
 4. Considerando que a = 4, b = 5 e c = 2, apresente o valor de x. Se (a > b) ou (c < a), então x = b + (a/c), 
senão x = 10.
Quadro 1.5 Representações simbólicas das proposições
Proposição Conetivo
Linguagem 
simbólica
A taxa de juros não é alta.
O computador não é caro.
negação
~p
~q
A taxa de juros é alta e o computador 
é caro.
conjunção p q
A taxa de juros é alta ou o computador 
é caro.
disjunção p q
Se a taxa de juros é alta, então o computador 
é caro.
condicional p ��q
O computador é caro se, e somente se, a taxa 
de juros é alta.
bicondicional q ��p
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Relações Envolvendo Proposições
Prezado(a) estudante
Estamos começando uma unidade desta disciplina. Os textos que a compõem 
foram organizados com cuidado e atenção, para que você tenha contato com um 
conteúdo completo e atualizado tanto quanto possível. Leia com dedicação, realize 
as atividades e tire suas dúvidas com os tutores. Desta forma, você com certeza 
alcançará os objetivos propostos para essa disciplina.
OBJETIVO GERAL 
Definir proposições compostas, as relações entre elas e o processo de 
dedução.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
• Diferenciar proposições simples e compostas.
• Aplicar os conceitos de implicação e equivalência lógica.
• Desenvolver uma demonstração utilizando dedução.
unidade 
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Parte 1
Proposições Compostas
LÓGICA MATEMÁTICA 98
Lógica e Cálculo Proposicional
Capítulo 4
4.1 INTRODUÇÃO
Muitos algoritmos e demonstrações usam expressões lógicas como:
“SE p ENTÃO q” ou “SE p1 e p2, ENTÃO q1 OU q2”
Logo, é necessário conhecer os casos nos quais essas expressões são VERDADEIRAS ou FALSAS, ou seja, saber 
o “valor verdade” de taisexpressões. Discutimos essas questões neste capítulo.†
Também investigamos o valor verdade de afirmações quantificadas, as quais são expressões que empregam os 
quantificadores lógicos “para todo” e “existe”.‡
4.2 PROPOSIÇÕES E SENTENÇAS COMPOSTAS
Uma proposição (ou sentença) é uma afirmação declarativa que é verdadeira ou falsa, mas não ambas. Considere, 
por exemplo, os seis itens a seguir:
 (i) Gelo flutua na água. (iii) 2 + 2 = 4 (v) Aonde você está indo?
 (ii) A China é na Europa. (iv) 2 + 2 = 5 (vi) Faça seu tema de casa.
Os quatro primeiros são proposições. Os dois últimos não. Além disso, (i) e (iii) são verdadeiras, mas (ii) e (iv) são 
falsas.
Proposições compostas
Muitas proposições são compostas, isto é, formadas por subproposições e vários conectivos discutidos a seguir. 
Tais sentanças são chamadas de proposições compostas. Uma proposição é denominada primitiva se não puder ser 
decomposta em proposições mais simples, ou seja, se não for composta.
Por exemplo, as proposições acima, de (i) a (iv), são primitivas. Por outro lado, as duas proposições a seguir 
são compostas:
“Rosas são vermelhas e violetas são azuis.” e “John é esperto ou ele estuda todas as noites.”
† N. de T.: É importante observar que os autores estão seguindo uma abordagem meramente intuitiva para o cálculo proposi-
cional clássico. Do ponto de vista da lógica matemática, o objetivo do cálculo proposicional não é estabelecer o “valor verdade” 
de expressões.
‡ N. de T.: Normalmente o estudo de quantificadores se faz no cálculo de predicados de primeira ordem e não no cálculo pro-
posicional.
Lógica e Cálculo Proposicional
Capítulo 4
4.1 INTRODUÇÃO
Muitos algoritmos e demonstrações usam expressões lógicas como:
“SE p ENTÃO q” ou “SE p1 e p2, ENTÃO q1 OU q2”
Logo, é necessário conhecer os casos nos quais essas expressões são VERDADEIRAS ou FALSAS, ou seja, saber 
o “valor verdade” de tais expressões. Discutimos essas questões neste capítulo.†
Também investigamos o valor verdade de afirmações quantificadas, as quais são expressões que empregam os 
quantificadores lógicos “para todo” e “existe”.‡
4.2 PROPOSIÇÕES E SENTENÇAS COMPOSTAS
Uma proposição (ou sentença) é uma afirmação declarativa que é verdadeira ou falsa, mas não ambas. Considere, 
por exemplo, os seis itens a seguir:
 (i) Gelo flutua na água. (iii) 2 + 2 = 4 (v) Aonde você está indo?
 (ii) A China é na Europa. (iv) 2 + 2 = 5 (vi) Faça seu tema de casa.
Os quatro primeiros são proposições. Os dois últimos não. Além disso, (i) e (iii) são verdadeiras, mas (ii) e (iv) são 
falsas.
Proposições compostas
Muitas proposições são compostas, isto é, formadas por subproposições e vários conectivos discutidos a seguir. 
Tais sentanças são chamadas de proposições compostas. Uma proposição é denominada primitiva se não puder ser 
decomposta em proposições mais simples, ou seja, se não for composta.
Por exemplo, as proposições acima, de (i) a (iv), são primitivas. Por outro lado, as duas proposições a seguir 
são compostas:
“Rosas são vermelhas e violetas são azuis.” e “John é esperto ou ele estuda todas as noites.”
† N. de T.: É importante observar que os autores estão seguindo uma abordagem meramente intuitiva para o cálculo proposi-
cional clássico. Do ponto de vista da lógica matemática, o objetivo do cálculo proposicional não é estabelecer o “valor verdade” 
de expressões.
‡ N. de T.: Normalmente o estudo de quantificadores se faz no cálculo de predicados de primeira ordem e não no cálculo pro-
posicional.
MATEMÁTICA DISCRETA70
A propriedade fundamental de uma proposição composta é que seu valor verdade é completamente determi-
nado pelos valores verdade de suas subproposições, junto com a maneira como elas são conectadas para 
formar as proposições compostas. A seção a seguir explora alguns desses conectivos.
4.3 OPERAÇÕES LÓGICAS BÁSICAS
Esta seção discute as três operações lógicas básicas de conjunção, disjunção e negação, as quais correspondem, 
respectivamente, às palavras “e”, “ou” e “não”.
Conjunção, p ∧ q
Quaisquer duas proposições podem ser combinadas pela palavra “e” para formar uma proposição composta chama-
da de conjunção das proposições originais. Simbolicamente,
p ∧ q
que se lê “p e q”, denota a conjunção de p e q. Como p ∧ q é uma proposição, ela tem um valor verdade que depen-
de apenas dos valores verdade de p e q. Especificamente:
Definição 4.1: Se p e q são verdadeiras, então p ∧ q é verdadeira; caso contrário, p ∧ q é falsa.
O valor verdade de p ∧ q pode ser definido equivalentemente pela tabela na Fig. 4-1(a). Aqui a primeira linha 
é uma maneira abreviada de dizer que se p é verdadeira e q é verdadeira, então p ∧ q é verdadeira. A segunda linha 
diz que se p é verdadeira e q é falsa, então p ∧ q é falsa. E assim por diante. Observe que há quatro linhas corres-
pondentes às quatro possíveis combinações de V e F para as duas subproposições p e q. Note que p ∧ q é verdadei-
ra apenas quando p e q são ambas verdadeiras.
p e q p ou q não p
Figura 4-1
Exemplo 4.1 Considere as quatro proposições a seguir:
 (i) Gelo flutua na água e 2 + 2 = 4. (iii) China é na Europa e 2 + 2 = 4.
 (ii) Gelo flutua na água e 2 + 2 = 5. (iv) China é na Europa e 2 + 2 = 5.
Apenas a primeira é verdadeira. As outras são falsas, pois pelo menos uma de suas subproposições é falsa.
Disjunção, p ∨ q
Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “ou” para formar uma proposição composta cha-
mada de disjunção das proposições originais. Simbolicamente,
p ∨ q
que se lê “p ou q”, denota a disjunção de p e q. O valor verdade de p ∨ q depende apenas dos valores verdade de p 
e q como se segue.
99 Relações Envolvendo Proposições UNIDADE 3
 Proposições Compostas PARTE 1
MATEMÁTICA DISCRETA70
A propriedade fundamental de uma proposição composta é que seu valor verdade é completamente determi-
nado pelos valores verdade de suas subproposições, junto com a maneira como elas são conectadas para 
formar as proposições compostas. A seção a seguir explora alguns desses conectivos.
4.3 OPERAÇÕES LÓGICAS BÁSICAS
Esta seção discute as três operações lógicas básicas de conjunção, disjunção e negação, as quais correspondem, 
respectivamente, às palavras “e”, “ou” e “não”.
Conjunção, p ∧ q
Quaisquer duas proposições podem ser combinadas pela palavra “e” para formar uma proposição composta chama-
da de conjunção das proposições originais. Simbolicamente,
p ∧ q
que se lê “p e q”, denota a conjunção de p e q. Como p ∧ q é uma proposição, ela tem um valor verdade que depen-
de apenas dos valores verdade de p e q. Especificamente:
Definição 4.1: Se p e q são verdadeiras, então p ∧ q é verdadeira; caso contrário, p ∧ q é falsa.
O valor verdade de p ∧ q pode ser definido equivalentemente pela tabela na Fig. 4-1(a). Aqui a primeira linha 
é uma maneira abreviada de dizer que se p é verdadeira e q é verdadeira, então p ∧ q é verdadeira. A segunda linha 
diz que se p é verdadeira e q é falsa, então p ∧ q é falsa. E assim por diante. Observe que há quatro linhas corres-
pondentes às quatro possíveis combinações de V e F para as duas subproposições p e q. Note que p ∧ q é verdadei-
ra apenas quando p e q são ambas verdadeiras.
p e q p ou q não p
Figura 4-1
Exemplo 4.1 Considere as quatro proposições a seguir:
 (i) Gelo flutua na água e 2 + 2 = 4. (iii) China é na Europa e 2 + 2 = 4.
 (ii) Gelo flutua na água e 2 + 2 = 5. (iv) China é na Europa e 2 + 2 = 5.
Apenas a primeira é verdadeira. As outras são falsas, pois pelo menos uma de suas subproposições é falsa.
Disjunção, p ∨ q
Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “ou” para formar uma proposição composta cha-
mada de disjunção das proposições originais. Simbolicamente,
p ∨ q
que se lê “p ou q”, denota a disjunção de p e q. O valor verdade de p ∨ q depende apenas dos valores verdade de p 
e q como sesegue.
CAPÍTULO 4 • LÓGICA E CÁLCULO PROPOSICIONAL 71
Definição 4.2: Se p e q são falsas, então p ∨ q é falsa; caso contrário, p ∨ q é verdadeira.
O valor verdade de p ∨ q pode ser definido equivalentemente pela tabela na Fig. 4-1(b). Observe que p ∨ q é 
falsa apenas no quarto caso, quando p e q são ambas falsas.
Exemplo 4.2 Considere as quatro sentenças a seguir:
(i) Gelo flutua na água ou 2 + 2 = 4. (iii) China é na Europa ou 2 + 2 = 4.
(ii) Gelo flutua na água ou 2 + 2 = 5. (iv) China é na Europa ou 2 + 2 = 5.
Apenas a última sentença (iv) é falsa. As outras são verdadeiras, uma vez que pelo menos uma de suas subsentenças 
é verdadeira.
Observação: A palavra “ou” é comumente usada de duas maneiras distintas em português. Às vezes, é empregada 
no sentido de “p ou q, ou ambas”, ou seja, pelo menos uma das duas alternativas acontece; e, às vezes, é usada no 
sentido de “p ou q, mas não ambas”, isto é, somente uma das alternativas ocorre. Por exemplo, a afirmação “Ele irá 
para Harvard ou Yale” utiliza “ou” no último sentido, chamado eventualmente de disjunção exclusiva. A menos que 
seja estabelecido o contrário, “ou” deve ser empregado no primeiro sentido. Essa discussão aponta para a precisão 
conquistada em nossa linguagem simbólica: p ∨ q é definida por sua tabela verdade e sempre significa “p e/ou q”.
Negação, ¬ p
Dada qualquer sentença p, outra sentença, chamada de negação de p, pode ser formada escrevendo-se “Não é ver-
dade que . . .” ou “É falso que . . .” antes de p ou, se possível, inserindo em p a palavra “não”. Simbolicamente, a 
negação de p, que se lê “não p ”, é denotada por
¬ p
O valor verdade de ¬ p depende do valor verdade de p como se segue:
Definição 4.3: Se p é verdadeira, então ¬ p é falsa; e se p é falsa, então ¬ p é verdadeira.
O valor verdade de ¬ p pode ser definido equivalentemente pela tabela da Fig. 4-1(c). Assim, o valor verdade 
da negação de p é sempre o oposto do valor verdade de p.
Exemplo 4.3 Considere as seis sentenças a seguir:
(a1) Gelo flutua na água. (a2) É falso que gelo flutua na água. (a3) Gelo não flutua na água.
(b1) 2 + 2 = 5 (b2) É falso que 2 + 2 = 5. (b3) 2 + 2 �= 5
Então, tanto (a2) quanto (a3) são a negação de (a1); e tanto (b2) quanto (b3) são a negação de (b1). Como (a1) é 
verdadeira, (a2) e (a3) são falsas; e como (b1) é falsa, (b2) e (b3) são verdadeiras.
Observação: A notação lógica para os conectivos “e”, “ou” e “não” não é completamente padronizada. Por exem-
plo, alguns textos usam:
ou
ou
4.4 PROPOSIÇÕES E TABELAS VERDADE
Seja P( p, q, . . .) uma expressão construída a partir de variáveis lógicas p, q, . . ., que assumem o valor VERDA-
DEIRO (V) OU FALSO (F), e a partir dos conectivos lógicos ∧, ∨ e ¬ (bem como outros discutidos adiante). Tal 
expressão é chamada de proposição.
A principal propriedade de uma proposição P( p, q, . . .) é que seu valor verdade depende exclusivamente dos 
valores verdade de suas variáveis, ou seja, o valor verdade de uma proposição é determinado, uma vez que o valor 
LÓGICA MATEMÁTICA 100
CAPÍTULO 4 • LÓGICA E CÁLCULO PROPOSICIONAL 71
Definição 4.2: Se p e q são falsas, então p ∨ q é falsa; caso contrário, p ∨ q é verdadeira.
O valor verdade de p ∨ q pode ser definido equivalentemente pela tabela na Fig. 4-1(b). Observe que p ∨ q é 
falsa apenas no quarto caso, quando p e q são ambas falsas.
Exemplo 4.2 Considere as quatro sentenças a seguir:
(i) Gelo flutua na água ou 2 + 2 = 4. (iii) China é na Europa ou 2 + 2 = 4.
(ii) Gelo flutua na água ou 2 + 2 = 5. (iv) China é na Europa ou 2 + 2 = 5.
Apenas a última sentença (iv) é falsa. As outras são verdadeiras, uma vez que pelo menos uma de suas subsentenças 
é verdadeira.
Observação: A palavra “ou” é comumente usada de duas maneiras distintas em português. Às vezes, é empregada 
no sentido de “p ou q, ou ambas”, ou seja, pelo menos uma das duas alternativas acontece; e, às vezes, é usada no 
sentido de “p ou q, mas não ambas”, isto é, somente uma das alternativas ocorre. Por exemplo, a afirmação “Ele irá 
para Harvard ou Yale” utiliza “ou” no último sentido, chamado eventualmente de disjunção exclusiva. A menos que 
seja estabelecido o contrário, “ou” deve ser empregado no primeiro sentido. Essa discussão aponta para a precisão 
conquistada em nossa linguagem simbólica: p ∨ q é definida por sua tabela verdade e sempre significa “p e/ou q”.
Negação, ¬ p
Dada qualquer sentença p, outra sentença, chamada de negação de p, pode ser formada escrevendo-se “Não é ver-
dade que . . .” ou “É falso que . . .” antes de p ou, se possível, inserindo em p a palavra “não”. Simbolicamente, a 
negação de p, que se lê “não p ”, é denotada por
¬ p
O valor verdade de ¬ p depende do valor verdade de p como se segue:
Definição 4.3: Se p é verdadeira, então ¬ p é falsa; e se p é falsa, então ¬ p é verdadeira.
O valor verdade de ¬ p pode ser definido equivalentemente pela tabela da Fig. 4-1(c). Assim, o valor verdade 
da negação de p é sempre o oposto do valor verdade de p.
Exemplo 4.3 Considere as seis sentenças a seguir:
(a1) Gelo flutua na água. (a2) É falso que gelo flutua na água. (a3) Gelo não flutua na água.
(b1) 2 + 2 = 5 (b2) É falso que 2 + 2 = 5. (b3) 2 + 2 �= 5
Então, tanto (a2) quanto (a3) são a negação de (a1); e tanto (b2) quanto (b3) são a negação de (b1). Como (a1) é 
verdadeira, (a2) e (a3) são falsas; e como (b1) é falsa, (b2) e (b3) são verdadeiras.
Observação: A notação lógica para os conectivos “e”, “ou” e “não” não é completamente padronizada. Por exem-
plo, alguns textos usam:
ou
ou
4.4 PROPOSIÇÕES E TABELAS VERDADE
Seja P( p, q, . . .) uma expressão construída a partir de variáveis lógicas p, q, . . ., que assumem o valor VERDA-
DEIRO (V) OU FALSO (F), e a partir dos conectivos lógicos ∧, ∨ e ¬ (bem como outros discutidos adiante). Tal 
expressão é chamada de proposição.
A principal propriedade de uma proposição P( p, q, . . .) é que seu valor verdade depende exclusivamente dos 
valores verdade de suas variáveis, ou seja, o valor verdade de uma proposição é determinado, uma vez que o valor 
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Parte 2
Relações de Equivalência 
e Implicação Lógica
LÓGICA MATEMÁTICA 102
1.2 Equivalências Proposicionais
Introdução
Um importante tipo de passo usado na argumentação matemática é a substituição de uma propo-
sição por outra com o mesmo valor-verdade. Por esse motivo, métodos que produzem proposi-
ções com o mesmo valor-verdade que uma dada proposição composta são usados largamente na 
construção de argumentos matemáticos. Note que vamos usar o termo “proposições compostas” 
para nos referir a uma expressão formada a partir de variáveis proposicionais que utilizam opera-
dores lógicos, tais como p q.
Começaremos nossa discussão com a classicação de proposições compostas de acordo com 
seus possíveis valores-verdade.
DEFINIÇÃO 1 Uma proposição composta que é sempre verdadeira, qualquer que sejam os valores-verda-
de das proposições que ocorrem nela, é chamada de tautologia. Uma proposição compos-
ta que é sempre falsa, qualquer que seja o valor-verdade das proposições que a compõem, 
é chamada de contradição. Uma proposição composta que não é nem tautologia nem con-
tradição é chamada de contingência.
Tautologias e contradições são muito importantes no raciocínio matemático. O Exemplo 1 ilustra 
esses tipos de proposições compostas.
1-21 1.2 Equivalências Proposicionais 21
22 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-22
 
TABELA 2 Leis de De 
Morgan.
p q) p q
p q) p q
EXEMPLO 1 Podemos construir exemplos de tautologias e contradições usando apenas uma variável proposi-
cional. Considere a tabela-verdade de p p e p p, mostrada na Tabela 1. Como p p é 
sempre verdadeira, é uma tautologia. Como p p é sempre falsa, é uma contradição. ◄
Equivalências Lógicas
Proposições compostas que têm o mesmo valor-verdadeem todos os possíveis casos são chama-
das de logicamente equivalentes. Podemos denir esta noção como se segue.
DEFINIÇÃO 2 As proposições compostas p e q são chamadas de logicamente equivalentes se p ↔ q é uma 
tautologia. A notação p ≡ q indica que p e q são logicamente equivalentes.
Lembre-se: O símbolo ≡ não é um conectivo lógico e p ≡ q não é uma proposição composta, 
apenas quer dizer que p ↔ q é uma tautologia. O símbolo é usado freqüentemente no lugar de 
≡ para indicar equivalências lógicas.
Uma maneira de determinar quando duas proposições compostas são equivalentes é usar a 
tabela-verdade. Em particular, as proposições compostas p e q são equivalentes se e somente se 
as colunas que fornecem seus valores-verdade são idênticas. O Exemplo 2 ilustra esse método 
para estabelecer uma importantíssima e muito usada equivalência lógica: (p q) é o mesmo 
que p q. Essa equivalência lógica é uma das duas leis de De Morgan, mostrada na Tabela 
2, demonstradas pelo matemático inglês Augustus De Morgan, na metade do século XIX.
EXEMPLO 2 Mostre que (p q) e p q são logicamente equivalentes.
Solução: As tabelas-verdade dessas proposições compostas estão na Tabela 3. Como os valores-
verdade (p q) e p q coincidem para todas as possibilidades de combinações de valo-
res-verdade de p e q, segue-se que (p q) ↔ ( p q) é uma tautologia e, portanto, essas 
proposições compostas são logicamente equivalentes. ◄
TABELA 3 Tabelas-Verdade para (p q) e p q.
p q p q (p q) p q p q
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Demo
Exemplos
Extras
TABELA 1 Exemplos de uma Tautologia e 
de uma Contradição.
p p p p p p
V
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103 Relações Envolvendo Proposições UNIDADE 3
 Relações de Equivalência e Implicação Lógica PARTE 2
22 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-22
 
TABELA 2 Leis de De 
Morgan.
p q) p q
p q) p q
EXEMPLO 1 Podemos construir exemplos de tautologias e contradições usando apenas uma variável proposi-
cional. Considere a tabela-verdade de p p e p p, mostrada na Tabela 1. Como p p é 
sempre verdadeira, é uma tautologia. Como p p é sempre falsa, é uma contradição. ◄
Equivalências Lógicas
Proposições compostas que têm o mesmo valor-verdade em todos os possíveis casos são chama-
das de logicamente equivalentes. Podemos denir esta noção como se segue.
DEFINIÇÃO 2 As proposições compostas p e q são chamadas de logicamente equivalentes se p ↔ q é uma 
tautologia. A notação p ≡ q indica que p e q são logicamente equivalentes.
Lembre-se: O símbolo ≡ não é um conectivo lógico e p ≡ q não é uma proposição composta, 
apenas quer dizer que p ↔ q é uma tautologia. O símbolo é usado freqüentemente no lugar de 
≡ para indicar equivalências lógicas.
Uma maneira de determinar quando duas proposições compostas são equivalentes é usar a 
tabela-verdade. Em particular, as proposições compostas p e q são equivalentes se e somente se 
as colunas que fornecem seus valores-verdade são idênticas. O Exemplo 2 ilustra esse método 
para estabelecer uma importantíssima e muito usada equivalência lógica: (p q) é o mesmo 
que p q. Essa equivalência lógica é uma das duas leis de De Morgan, mostrada na Tabela 
2, demonstradas pelo matemático inglês Augustus De Morgan, na metade do século XIX.
EXEMPLO 2 Mostre que (p q) e p q são logicamente equivalentes.
Solução: As tabelas-verdade dessas proposições compostas estão na Tabela 3. Como os valores-
verdade (p q) e p q coincidem para todas as possibilidades de combinações de valo-
res-verdade de p e q, segue-se que (p q) ↔ ( p q) é uma tautologia e, portanto, essas 
proposições compostas são logicamente equivalentes. ◄
TABELA 3 Tabelas-Verdade para (p q) e p q.
p q p q (p q) p q p q
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Demo
Exemplos
Extras
TABELA 1 Exemplos de uma Tautologia e 
de uma Contradição.
p p p p p p
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TABELA 4 Tabela-Verdade para p q 
e p → q.
p q p p q p → q
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EXEMPLO 3 Mostre que p → q e p q são logicamente equivalentes.
Solução: Construímos a tabela-verdade dessas proposições compostas na Tabela 4. Como os 
valores-verdade de p q e p → q são idênticos, eles são logicamente equivalentes. ◄
Vamos agora estabelecer uma equivalência lógica entre duas proposições compostas que 
envolvem três variáveis proposicionais diferentes p, q e r. Para usar a tabela-verdade estabelecen-
do essa equivalência lógica, precisamos de oito linhas, uma para cada combinação de valores- 
verdade dessas três variáveis. Simbolicamente, nós representamos essas combinações listando os 
valores de p, q e r, respectivamente. Essas oito combinações de valores-verdade são VVV, VVF, 
VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF; usaremos essa ordem quando montarmos as linhas da tabela-
verdade. Note que precisamos do dobro de linhas de que precisávamos quando tínhamos duas 
variáveis proposicionais; essa relação continua sendo válida para cada nova variável proposicio-
nal que venha a ser adicionada, então precisaremos de 16 linhas para estabelecer a equivalência 
entre duas proposições compostas com quatro variáveis proposicionais, e assim sucessivamente. 
Em geral, 2n linhas são necessárias quando temos n variáveis proposicionais.
EXEMPLO 4 Mostre que p (q r) e (p q) (p r) são logicamente equivalentes. Essa é a propriedade 
distributiva da disjunção sobre a conjunção.
Solução: Construímos a tabela-verdade para essas duas proposições compostas na Tabela 5. 
Como os valores-verdade de p (q r) e (p q) (p r) são iguais, essas proposições são 
logicamente equivalentes. ◄
TABELA 5 Uma Demonstração de que p (q r) e (p q) (p r) São Logicamente 
Equivalentes.
p q r q r p (q r) p q p r (p q) (p r)
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1-23 1.2 Equivalências Proposicionais 23
LÓGICA MATEMÁTICA 104
TABELA 4 Tabela-Verdade para p q 
e p → q.
p q p p q p → q
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EXEMPLO 3 Mostre que p → q e p q são logicamente equivalentes.
Solução: Construímos a tabela-verdade dessas proposições compostas na Tabela 4. Como os 
valores-verdade de p q e p → q são idênticos, eles são logicamente equivalentes. ◄
Vamos agora estabelecer uma equivalência lógica entre duas proposições compostas que 
envolvem três variáveis proposicionais diferentes p, q e r. Para usar a tabela-verdade estabelecen-
do essa equivalência lógica, precisamos de oito linhas, uma para cada combinação de valores- 
verdade dessas três variáveis. Simbolicamente, nós representamos essas combinações listando os 
valores de p, q e r, respectivamente. Essas oito combinações de valores-verdade são VVV, VVF, 
VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF; usaremos essa ordem quando montarmos as linhas da tabela-
verdade. Note que precisamos do dobro de linhas de que precisávamos quando tínhamos duas 
variáveis proposicionais; essa relação continua sendo válida para cada nova variável proposicio-
nal que venha a ser adicionada, então precisaremos de 16 linhas para estabelecer a equivalência 
entre duas proposições compostas com quatro variáveis proposicionais, e assim sucessivamente. 
Em geral, 2n linhas são necessárias quando temos n variáveis proposicionais.
EXEMPLO 4 Mostre que p (q r) e (p q) (p r) são logicamente equivalentes. Essa é a propriedade 
distributiva da disjunção sobre a conjunção.
Solução: Construímos a tabela-verdade para essas duas proposições compostas na Tabela 5. 
Como os valores-verdade de p (q r) e (p q) (p r) são iguais, essas proposições são 
logicamente equivalentes. ◄
TABELA 5 Uma Demonstração de que p (q r) e (p q) (p r) São Logicamente 
Equivalentes.
p q r q r p (q r) p q p r (p q) (p r)
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1-23 1.2 Equivalências Proposicionais 23
1.5 Regras de Inferência 
Introdução
Mais adiante, neste capítulo, vamos estudar demonstrações. Demonstrações em matemática são 
argumentos válidos que estabelecem a veracidade das sentenças matemáticas. Por um argumen-
to, entendemos uma seqüência de sentenças que terminam com uma conclusão e, por válido, que 
uma conclusão, ou a sentença nal do argumento, deve seguir o valor-verdade das sentenças 
precedentes, ou premissas, do argumento. Ou seja, um argumento é válido se e somente se for 
impossível que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa. Para deduzir novas 
sentenças de sentenças que já temos, usamos regras de inferência, as quais são moldes para cons-
trução de argumentos válidos. Regras de inferência são nossas ferramentas básicas para o estabe-
lecimento do valor-verdade das sentenças.
Antes de estudarmos demonstrações matemáticas, vamos olhar para argumentos que envol-
vem apenas proposições compostas. Vamos denir o que signica um argumento ser válido quan-
do envolve proposições compostas. Então, vamos introduzir um conjunto de regras de inferência 
de lógica proposicional. Essas regras de inferência são o mais importante ingrediente na produ-
ção de argumentos válidos. Depois de ilustrar como as regras de inferência são utilizadas para 
produzir argumentos válidos, vamos descrever algumas formas comuns de raciocínio incorreto, 
chamadas de falácias, que nos levam a argumentos inválidos.
Depois de estudar as regras de inferência em lógica proposicional, vamos introduzir regras 
de inferência para sentenças quanticadas. Vamos descrever como essas regras de inferência 
podem ser utilizadas para produzir argumentos válidos. Essas regras de inferência para sentenças 
que envolvem quanticadores universal e existencial representam importante papel em demons-
trações em ciência da computação e matemática, embora elas sejam sempre utilizadas sem serem 
explicitamente mencionadas.
Finalmente, vamos mostrar como regras de inferência para sentenças proposicionais e quan-
ticacionais podem ser combinadas. Essas combinações são freqüentemente utilizadas em argu-
mentos complicados.
Argumentos Válidos em Lógica Proposicional
Considere o seguinte argumento que envolve proposições (o qual, por denição, é uma seqüência 
de proposições):
“Se você tem uma senha atualizada, então você pode entrar na rede.”
“Você tem uma senha atualizada.”
Portanto,
“Você pode entrar na rede.”
Gostaríamos de determinar quando este argumento é válido. Ou seja, gostaríamos de deter-
minar se a conclusão “Você pode entrar na rede” deve ser verdadeira quando as premissas “Se 
você tem uma senha atualizada, então você pode entrar na rede” e “Você tem uma senha atuali-
zada” também forem ambas verdadeiras.
Antes de discutir a validade deste argumento particular, vamos olhar para sua forma. Use p 
para representar “Você tem uma senha atualizada” e q para representar “Você pode entrar na 
rede”. Então, o argumento tem a forma
 p → q
 p
 q
em que é o símbolo para indicar “portanto”.
1-63 1.5 Regras de Inferência 63
105 Relações Envolvendo Proposições UNIDADE 3
 Relações de Equivalência e Implicação Lógica PARTE 2
1.5 Regras de Inferência 
Introdução
Mais adiante, neste capítulo, vamos estudar demonstrações. Demonstrações em matemática são 
argumentos válidos que estabelecem a veracidade das sentenças matemáticas. Por um argumen-
to, entendemos uma seqüência de sentenças que terminam com uma conclusão e, por válido, que 
uma conclusão, ou a sentença nal do argumento, deve seguir o valor-verdade das sentenças 
precedentes, ou premissas, do argumento. Ou seja, um argumento é válido se e somente se for 
impossível que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa. Para deduzir novas 
sentenças de sentenças que já temos, usamos regras de inferência, as quais são moldes para cons-
trução de argumentos válidos. Regras de inferência são nossas ferramentas básicas para o estabe-
lecimento do valor-verdade das sentenças.
Antes de estudarmos demonstrações matemáticas, vamos olhar para argumentos que envol-
vem apenas proposições compostas. Vamos denir o que signica um argumento ser válido quan-
do envolve proposições compostas. Então, vamos introduzir um conjunto de regras de inferência 
de lógica proposicional. Essas regras de inferência são o mais importante ingrediente na produ-
ção de argumentos válidos. Depois de ilustrar como as regras de inferência são utilizadas para 
produzir argumentos válidos, vamos descrever algumas formas comuns de raciocínio incorreto, 
chamadas de falácias, que nos levam a argumentos inválidos.
Depois de estudar as regras de inferência em lógica proposicional, vamos introduzir regras 
de inferência para sentenças quanticadas. Vamos descrever como essas regras de inferência 
podem ser utilizadas para produzir argumentos válidos. Essas regras de inferência para sentenças 
que envolvem quanticadores universal e existencial representam importante papel em demons-
trações em ciência da computação e matemática, embora elas sejam sempre utilizadas sem serem 
explicitamente mencionadas.
Finalmente, vamos mostrar como regras de inferência para sentenças proposicionais e quan-
ticacionais podem ser combinadas. Essas combinações são freqüentemente utilizadas em argu-
mentos complicados.
Argumentos Válidos em Lógica Proposicional
Considere o seguinte argumento que envolve proposições (o qual, por denição, é uma seqüência 
de proposições):
“Se você tem uma senha atualizada, então você pode entrar na rede.”
“Você tem uma senha atualizada.”
Portanto,
“Você pode entrar na rede.”
Gostaríamos de determinar quando este argumento é válido. Ou seja, gostaríamos de deter-
minar se a conclusão “Você pode entrar na rede” deve ser verdadeira quando as premissas “Se 
você tem uma senha atualizada, então você pode entrar na rede” e “Você tem uma senha atuali-
zada” também forem ambas verdadeiras.
Antes de discutir a validade deste argumento particular, vamos olhar para sua forma. Use p 
para representar “Você tem uma senha atualizada” e q para representar “Você pode entrar na 
rede”. Então, o argumento tem a forma
 p → q
 p
 q
em que é o símbolo para indicar “portanto”.
1-63 1.5 Regras de Inferência 63
64 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-64
Sabemos que se p e q são variáveis proposicionais, a sentença ((p → q) p) → q é uma tau-
tologia (veja o Exercício 10(c) na Seção 1.2). Em particular, quando ambos p → q e p são verda-
deiras, sabemos que q também deve ser. Dizemos que essa é uma forma válida de argumento 
porque sempre que todas as suas premissas (todas as sentenças do argumento, a não ser a última, 
a conclusão) são verdadeiras, a conclusão também deve ser. Agora suponha que ambas “Se você 
tem uma senha atualizada, então você pode entrar na rede” e “Você tem uma senha atualizada” 
são sentenças verdadeiras. Quando trocamos p por “Você tem uma senha atualizada” e q por 
“Você pode entrar na rede”, segue necessariamente que a conclusão “Você pode entrar na rede” é 
verdadeira. Esse argumento é válido porque está na forma válida. Note que sempre que substituir-
mos p e q por proposições em que p → q e p são verdadeiras, então q deve ser verdadeira.
O que acontece quando substituímos p e q nessa forma de argumento por proposições tal que 
p e p → q não são ambas verdadeiras? Por exemplo, suponha que p represente “Você tem acesso 
à rede” e q represente “Você pode mudar suas notas” e p seja verdadeira, mas p → q seja falsa. O 
argumento que obtemos substituindo esses valores de p e q na forma do argumento anterior é:
 “Se você tem acesso à rede, então você pode mudar suas notas.”
 “Você tem acesso à rede.”
 “Você pode mudar suas notas.”
O argumento obtido é um argumento válido,mas, como uma das premissas, chamada de primei-
ra premissa, é falsa, não podemos decidir se a conclusão é verdadeira. (Mas parece que essa 
conclusão é falsa.)
Em nossa discussão, para analisar um argumento, substituímos as proposições por variáveis 
proposicionais. Isso transforma um argumento em uma forma de argumento. Dizemos que a vali-
dade de um argumento segue a validade da forma do argumento. Resumimos a terminologia utili-
zada para discutir a validade de argumentos com nossa denição dessas noções importantes.
DEFINIÇÃO 1 Um argumento em lógica proposicional é uma seqüência de proposições. Todas, menos a 
última das proposições, são chamadas de premissas, e a última é chamada de conclusão. Um 
argumento é válido se a veracidade das premissas implica que a conclusão seja verdadeira.
 Uma forma de argumento em lógica proposicional é a seqüência de proposições compostas 
que envolvem variáveis proposicionais. Uma forma de argumento é válida quaisquer que 
sejam as proposições substituídas nas variáveis proposicionais em suas sentenças; a conclu-
são é verdadeira se as premissas forem todas verdadeiras.
Da denição de forma de argumento válida, vemos que uma forma de argumento com premis-
sas p1, p2, p3, ... , pn e conclusão q é válida, quando (p1 p2 ... pn) → q é uma tautologia.
A chave para mostrar que um argumento na lógica proposicional é válido é mostrar que 
sua forma de argumento é válida. Conseqüentemente, gostaríamos de ter técnicas para mos-
trar que formas de argumentos são válidas. Vamos agora desenvolver métodos para alcançar 
esse objetivo.
Regras de Inferência para Lógica Proposicional
Podemos sempre usar uma tabela-verdade para mostrar que uma forma de argumento é válida. 
Fazemos isso mostrando que sempre que as premissas são verdadeiras, a conclusão deve ser 
verdadeira também. No entanto, esse pode ser um modo um pouco tedioso. Por exemplo, quando 
uma forma de argumento envolve 10 variáveis proposicionais diferentes, usar uma tabela-verda-
de para mostrar que esse argumento é válido requer 210 1.024 linhas diferentes. Felizmente, não 
LÓGICA MATEMÁTICA 106
64 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-64
Sabemos que se p e q são variáveis proposicionais, a sentença ((p → q) p) → q é uma tau-
tologia (veja o Exercício 10(c) na Seção 1.2). Em particular, quando ambos p → q e p são verda-
deiras, sabemos que q também deve ser. Dizemos que essa é uma forma válida de argumento 
porque sempre que todas as suas premissas (todas as sentenças do argumento, a não ser a última, 
a conclusão) são verdadeiras, a conclusão também deve ser. Agora suponha que ambas “Se você 
tem uma senha atualizada, então você pode entrar na rede” e “Você tem uma senha atualizada” 
são sentenças verdadeiras. Quando trocamos p por “Você tem uma senha atualizada” e q por 
“Você pode entrar na rede”, segue necessariamente que a conclusão “Você pode entrar na rede” é 
verdadeira. Esse argumento é válido porque está na forma válida. Note que sempre que substituir-
mos p e q por proposições em que p → q e p são verdadeiras, então q deve ser verdadeira.
O que acontece quando substituímos p e q nessa forma de argumento por proposições tal que 
p e p → q não são ambas verdadeiras? Por exemplo, suponha que p represente “Você tem acesso 
à rede” e q represente “Você pode mudar suas notas” e p seja verdadeira, mas p → q seja falsa. O 
argumento que obtemos substituindo esses valores de p e q na forma do argumento anterior é:
 “Se você tem acesso à rede, então você pode mudar suas notas.”
 “Você tem acesso à rede.”
 “Você pode mudar suas notas.”
O argumento obtido é um argumento válido, mas, como uma das premissas, chamada de primei-
ra premissa, é falsa, não podemos decidir se a conclusão é verdadeira. (Mas parece que essa 
conclusão é falsa.)
Em nossa discussão, para analisar um argumento, substituímos as proposições por variáveis 
proposicionais. Isso transforma um argumento em uma forma de argumento. Dizemos que a vali-
dade de um argumento segue a validade da forma do argumento. Resumimos a terminologia utili-
zada para discutir a validade de argumentos com nossa denição dessas noções importantes.
DEFINIÇÃO 1 Um argumento em lógica proposicional é uma seqüência de proposições. Todas, menos a 
última das proposições, são chamadas de premissas, e a última é chamada de conclusão. Um 
argumento é válido se a veracidade das premissas implica que a conclusão seja verdadeira.
 Uma forma de argumento em lógica proposicional é a seqüência de proposições compostas 
que envolvem variáveis proposicionais. Uma forma de argumento é válida quaisquer que 
sejam as proposições substituídas nas variáveis proposicionais em suas sentenças; a conclu-
são é verdadeira se as premissas forem todas verdadeiras.
Da denição de forma de argumento válida, vemos que uma forma de argumento com premis-
sas p1, p2, p3, ... , pn e conclusão q é válida, quando (p1 p2 ... pn) → q é uma tautologia.
A chave para mostrar que um argumento na lógica proposicional é válido é mostrar que 
sua forma de argumento é válida. Conseqüentemente, gostaríamos de ter técnicas para mos-
trar que formas de argumentos são válidas. Vamos agora desenvolver métodos para alcançar 
esse objetivo.
Regras de Inferência para Lógica Proposicional
Podemos sempre usar uma tabela-verdade para mostrar que uma forma de argumento é válida. 
Fazemos isso mostrando que sempre que as premissas são verdadeiras, a conclusão deve ser 
verdadeira também. No entanto, esse pode ser um modo um pouco tedioso. Por exemplo, quando 
uma forma de argumento envolve 10 variáveis proposicionais diferentes, usar uma tabela-verda-
de para mostrar que esse argumento é válido requer 210 1.024 linhas diferentes. Felizmente, não 
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Parte 3
Propriedades das Equivalências 
e Implicações Lógicas
LÓGICA MATEMÁTICA 108
24 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-24
TABELA 6 Equivalências Lógicas.
Equivalências Nome
p V p
p F p
Propriedades dos elementos neutros
p V V
p F F
Propriedades de dominação
p p p
p p p
Propriedades idempotentes
 ( p) p Propriedade da dupla negação
p q q p
p q q p
Propriedades comutativas
(p q) r p (q r)
(p q) r p (q r)
Propriedades associativas
p q r) (p q) (p r)
p q r) (p q) p r)
Propriedades distributivas
(p q) p q
(p q) p q
Leis de De Morgan
p (p q) p
p (p q) p
Propriedades de absorção
p p V
p p F
Propriedades de negação
A Tabela 6 contém algumas equivalências importantes.* Nessas equivalências, V indica uma 
proposição composta que é sempre verdadeira, uma tautologia, e F indica uma proposição que é 
sempre falsa, uma contradição. Nós também mostramos algumas equivalências importantes que 
envolvem condicionais e bicondicionais nas tabelas 7 e 8, respectivamente. Ao leitor será pedido 
que verique a veracidade dessas equivalências nos exercícios no nal desta seção.
A propriedade associativa para a disjunção mostra que a expressão p q r é bem denida, no 
sentido de que tanto faz qual disjunção é considerada primeiro, ou seja, tanto faz se fazemos primeiro 
p q e posteriormente a disjunção deste com r, ou se fazemos primeiro a disjunção de q com r e 
depois com p. De maneira análoga, p q r também está bem denida. Estendendo esse racio-
cínio, segue-se que p1 p2 pn e p1 p2 pn também são bem denidas sempre que p1, 
p2, pn são proposições. Além disso, note que as leis de De Morgan podem ser estendidas para 
(p1 p2 pn) ( p1 p2 pn)
e
(p1 p2 pn) ( p1 p2 pn).
(Métodos para demonstrar essas identidades serão analisados na Seção 4.1.)
* Leitores familiarizados com os conceitos de álgebra booleana vão notar que essas identidades são um caso especial de
identidades que valem para qualquer álgebra booleana. Compare-as com o conjunto de identidades da Tabela 1 da Seção 
2.2e com as identidades booleanas da Tabela 5 na Seção 11.1.
109 Relações Envolvendo Proposições UNIDADE 3
 Propriedades das Equivalências e Implicações Lógicas PARTE 3
Usando as Leis de De Morgan
As duas equivalências lógicas conhecidas como leis de De Morgan são particularmente impor-
tantes. Elas nos mostram como negar conjunções e como negar disjunções. Em particular, a 
equivalência (p q) p q nos diz que a negação de uma disjunção é formada tomando 
a conjunção das negações das proposições componentes. Similarmente, (p q) p q 
nos diz que a negação de uma conjunção é formada tomando a disjunção das negações das pro-
posições componentes. O Exemplo 5 ilustra o uso das leis de De Morgan.
EXEMPLO 5 Use as leis de De Morgan para expressar as negações de “Miguel tem um celular e um laptop” e 
“Rodrigo vai ao concerto ou Carlos vai ao concerto”.
Solução: Seja p “Miguel tem um celular” e q “Miguel tem um laptop”. Então, “Miguel tem um 
celular e um laptop” pode ser representado por p q. Contudo, pela primeira lei de De Mor-
gan, (p q) é equivalente a p q. Conseqüentemente, podemos expressar a negação de 
nossa proposição original por “Miguel não tem um celular ou não tem um laptop”.
TABELA 7 Equivalências Lógicas 
que Envolvem Sentenças 
Condicionais.
p → q p q
p → q q → p
p q p → q
p q (p → q)
 (p → q) p q
(p → q) (p → r) p → (q r)
(p → r) (q → r) (p q) → r
(p → q) (p → r) p → (q r)
(p → r) (q → r) (p q) → r
TABELA 8 Equivalências Lógicas 
que Envolvem Bicondicionais.
p ↔ q (p → q) (q → p)
p ↔ q p ↔ q
p ↔ q (p q) ( p q)
 (p ↔ q) p ↔ q
Links
AUGUSTUS DE MORGAN (1806–1871) Augustus De Morgan nasceu na Índia, onde seu pai era coronel no exér-
cito indiano. A família De Morgan mudou-se para a Inglaterra quando ele tinha 7 meses de idade. Ele freqüentou esco-
las particulares, onde desenvolveu um grande interesse por matemática na sua juventude. De Morgan estudou na 
Universidade de Trinity, em Cambridge, graduando-se em 1827. Embora pensasse em entrar em medicina ou direito, 
De Morgan decidiu seguir carreira em matemática. Ele conquistou uma cadeira na Universidade de College, em Lon-
dres, em 1828, mas demitiu-se quando a faculdade despediu um colega sem apresentar as causas para a demissão. 
Entretanto, ele retomou essa cadeira em 1836, quando seu sucessor morreu, permanecendo até 1866.
De Morgan foi um professor notável que dava ênfase aos princípios mais que às técnicas. Entre seus estudantes 
estão muitos matemáticos famosos, incluindo Augusta Ada, Condessa de Lovelace, que era colaboradora de Charles 
Babbage em seu trabalho com máquinas computacionais (veja a página 27 nas notas biográ cas de Augusta Ada). (De Morgan preveniu a 
condessa de que estudar matemática em excesso, poderia interferir em suas habilidades maternais!)
De Morgan foi um escritor extremamente prolí co. Escreveu milhares de artigos para mais de 15 periódicos. Também escreveu livros 
teóricos sobre muitos assuntos, incluindo lógica, probabilidade, cálculo e álgebra. Em 1838, ele apresentou o que talvez tenha sido a primei-
ra explicação clara de uma importante técnica de demonstração, conhecida como indução matemática (discutida na Seção 4.1 deste livro), 
termo que ele cunhou. Na década de 1840, De Morgan fez contribuições fundamentais ao desenvolvimento da lógica simbólica. Ele criou 
notações que o ajudaram a provar equivalências proposicionais, assim como as leis que receberam seu nome. Em 1842, De Morgan apresen-
tou o que talvez tenha sido a primeira de nição precisa de limite e o desenvolvimento de alguns testes de convergência de séries in nitas. 
De Morgan interessou-se também pela história da matemática, escrevendo biogra as de Newton e Halley.
Em 1837, De Morgan casou-se com Sophia Frend, que escreveu a biogra a do marido em 1882. A pesquisa, a escrita e o ensino de De 
Morgan deixaram pouco tempo para ele se dedicar a sua família e vida social. No entanto, ele  cou conhecido pela sua bondade, bom humor 
e grande inteligência.
1-25 1.2 Equivalências Proposicionais 25
LÓGICA MATEMÁTICA 110
26 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-26
Seja r “Rodrigo vai ao concerto” e s “Carlos vai ao concerto”. Então, “Rodrigo vai ao con-
certo ou Carlos vai ao concerto” pode ser representado por r s. E, pela segunda lei de De Mor-
gan, temos que (r s) é equivalente a r s. Logo, podemos expressar sua negação por 
“Rodrigo não vai ao concerto e Carlos não vai ao concerto”. ◄
Construindo Novas Equivalências Lógicas
As equivalências lógicas na Tabela 6, assim como qualquer outra que seja estabelecida (como as 
mostradas nas tabelas 7 e 8), podem ser usadas para construir equivalências lógicas adicionais. A 
razão para isso é que uma proposição composta pode ser substituída por outra proposição com-
posta que é logicamente equivalente a essa sem mudar o valor-verdade da proposição original. 
Essa técnica é ilustrada nos exemplos 6–8, em que também usamos o fato de que se p e q são 
logicamente equivalentes e q e r são logicamente equivalentes, então p e r também são logica-
mente equivalentes (veja o Exercício 56).
EXEMPLO 6 Mostre que (p → q) e p q são logicamente equivalentes.
Solução: Podemos usar uma tabela-verdade para mostrar que essas proposições compostas são 
equivalentes (como no Exemplo 4). Inclusive, não deve ser difícil fazer isso. No entanto, quere-
mos ilustrar como usar identidades lógicas que já conhecemos para estabelecer novas identidades 
lógicas, isso porque esse método tem uma importância prática para estabelecer equivalências de 
proposições compostas com um grande número de variáveis. Então, vamos estabelecer essa equi-
valência desenvolvendo uma série de equivalências lógicas, usando uma das equivalências da 
Tabela 6 por vez, começando por (p → q) e terminando com p q. Temos, assim, as equiva-
lências a seguir. 
(p → q) ( p q) pelo Exemplo 3
 ( p) q pela segunda lei de De Morgan
 p q pela propriedade da dupla negação ◄
EXEMPLO 7 Mostre que (p ( p q)) e p q são logicamente equivalentes desenvolvendo uma série 
de equivalências lógicas.
Solução: Vamos usar uma das equivalências da Tabela 6 por vez, começando por (p ( p q)) 
e terminando com p q. (Nota: Poderíamos estabelecer essa equivalência facilmente usando 
tabelas-verdade.) Assim, temos as equivalências a seguir.
(p ( p q)) p ( p q) pela segunda lei de De Morgan
p [ ( p) q] pela primeira lei de De Morgan
p (p q) pela propriedade da dupla negação
( p p) ( p q) pela segunda propriedade distributiva
 F ( p q) pois p p F
( p q) F pela propriedade comutativa para disjunções
p q pela propriedade dos elementos neutros para F
Em conseqüência, (p ( p q)) e p q são logicamente equivalentes. ◄
Exemplos
Extras
111 Relações Envolvendo Proposições UNIDADE 3
 Propriedades das Equivalências e Implicações Lógicas PARTE 3
EXEMPLO 1 Suponha que a sentença condicional “Se nevar hoje, então eu vou esquiar” e sua hipótese “Está 
nevando hoje” são verdadeiras. Então, por modus ponens, segue que a conclusão do condicional 
“Vou esquiar” é verdadeira. ◄
Como mencionado anteriormente, um argumento válido pode nos levar a uma conclusão incor-
reta se uma ou mais de suas premissas são falsas. Ilustramos isso, novamente, no Exemplo 2.
EXEMPLO 2 Determine se o argumento dado aqui é válido e se sua conclusão deve ser verdadeira apenas pela 
validade do argumento.
“Se 2 3
2 , então 2
2 3
2
2
. Sabemos que 2 3
2 . Conseqüentemente,
2 2
2 3
2
2 9
4 . ”
Solução: Seja p a proposição “ 2 3
2 ” e q a proposição “ 2 3
2
2
”. As premissas do argumen-
to são p → q e p, e q é a conclusão. Esse argumento é válido, pois é construído de acordo com 
modus ponens, uma forma válida de argumento. No entanto, uma de suas premissas, 2 3
2 , é 
falsa. Conseqüentemente, nãopodemos deduzir que a conclusão seja verdadeira. Nesse caso, 
notamos que a conclusão é falsa, pois 2 9
4 . ◄
A Tabela 1 lista as mais importantes regras de inferência para a lógica proposicional. Os 
exercícios 9, 10, 15 e 30 na Seção 1.2 pedem vericações de que essas regras de inferência são 
formas válidas de argumento. Agora daremos exemplos de argumentos que usam essas regras de 
inferência. Em cada argumento, primeiro usaremos variáveis proposicionais para expressar as 
proposições no argumento. Depois, mostraremos que a forma resultante de argumento é uma re-
gra da Tabela 1.
EXEMPLO 3 Diga qual regra de inferência é a base do seguinte argumento: “Está esfriando agora. Portanto, 
está esfriando ou chovendo agora”.
1-65 1.5 Regras de Inferência 65
66 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-66
TABELA 1 Regras de Inferência.
Regra de Inferência Tautologia Nome
 p
 p → q
 q
[p (p → q)] → q Modus ponens
 q
 p → q
 p
[ q (p → q)] → p Modus tollens
 p → q
 q → r
 p → r
[(p → q) (q → r)] → (p → r) Silogismo hipotético
 p q
 p
 q
[(p q) p] → q Silogismo disjuntivo
 p
 p q
p → (p q) Adição
 p q
p
(p q) → p Simplicação
 p
 q
 p q
[(p) (q)] → (p q) Conjunção
 p q
 p r
 q r
[(p q) ( p r)] → (q r) Resolução
Solução: Seja p a proposição “Está esfriando agora” e q a proposição “Está chovendo agora”. 
Então esse argumento é da forma 
 p
p q
Esse é um argumento que usa a regra da adição. ◄
EXEMPLO 4 Diga qual regra de inferência é a base do seguinte argumento: “Está esfriando e chovendo agora. 
Portanto, está esfriando agora”.
Solução: Seja p a proposição “Está esfriando agora” e q a proposição “Está chovendo agora”. 
Então, esse argumento é da forma 
 p q
p
Esse é um argumento que usa a regra da simplicação. ◄
LÓGICA MATEMÁTICA 112
66 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-66
TABELA 1 Regras de Inferência.
Regra de Inferência Tautologia Nome
 p
 p → q
 q
[p (p → q)] → q Modus ponens
 q
 p → q
 p
[ q (p → q)] → p Modus tollens
 p → q
 q → r
 p → r
[(p → q) (q → r)] → (p → r) Silogismo hipotético
 p q
 p
 q
[(p q) p] → q Silogismo disjuntivo
 p
 p q
p → (p q) Adição
 p q
p
(p q) → p Simplicação
 p
 q
 p q
[(p) (q)] → (p q) Conjunção
 p q
 p r
 q r
[(p q) ( p r)] → (q r) Resolução
Solução: Seja p a proposição “Está esfriando agora” e q a proposição “Está chovendo agora”. 
Então esse argumento é da forma 
 p
p q
Esse é um argumento que usa a regra da adição. ◄
EXEMPLO 4 Diga qual regra de inferência é a base do seguinte argumento: “Está esfriando e chovendo agora. 
Portanto, está esfriando agora”.
Solução: Seja p a proposição “Está esfriando agora” e q a proposição “Está chovendo agora”. 
Então, esse argumento é da forma 
 p q
p
Esse é um argumento que usa a regra da simplicação. ◄
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Parte 4
Dedução
LÓGICA MATEMÁTICA 114
1.6 Introdução a Demonstrações
Introdução
Nesta seção, introduziremos a noção de demonstração e descreveremos métodos para a construção de 
demonstrações. Uma demonstração é um argumento válido que estabelece a verdade de uma sentença 
matemática. Uma demonstração pode usar as hipóteses do teorema, se existirem, axiomas assumidos 
com verdade e teoremas demonstrados anteriormente. Usando esses ingredientes e regras de inferên-
cia, o passo nal da demonstração estabelece a verdade da sentença que está sendo demonstrada. 
Em nossa discussão, vamos nos mover de demonstrações formais de teoremas até demons-
trações mais informais. Os argumentos que introduzimos na Seção 1.5 para demonstrar que sen-
tenças que envolvem proposições e sentenças quanticadas são verdadeiras sob demonstrações 
formais, se todos os passos são dados, e as regras para cada passo do argumento são também 
dadas. No entanto, demonstrações formais de teoremas muito comuns podem ser extremamente 
longas e difíceis de fazer. Na prática, as demonstrações dos teoremas feitas por humanos são na 
sua maioria demonstrações informais, em que mais de uma regra de inferência pode ser utiliza-
da em cada passo, passos podem ser pulados, axiomas são assumidos e as regras de inferência 
utilizadas em cada passo não são explicitamente demonstradas. Demonstrações informais podem 
explicar aos humanos por que teoremas são verdadeiros, enquanto computadores só se contentam 
quando produzem uma demonstração formal usando sistemas de raciocínio automático.
Os métodos de demonstrações discutidos neste capítulo são importantes não só porque são utili-
zados para demonstrar teoremas, mas também pelas muitas aplicações em ciência da computação. 
Essas aplicações incluem vericar se programas de computador são corretos, estabelecendo se siste-
mas de operação são seguros, fazendo inferência em inteligência articial, mostrando que sistemas de 
especicações são consistentes, e assim por diante. Conseqüentemente, compreender as técnicas uti-
lizadas em demonstrações é essencial tanto para matemática quanto para ciência da computação.
Alguma Terminologia
Formalmente, um teorema é uma sentença que se pode demonstrar que é verdadeira. Em escrita 
matemática, o termo teorema é usualmente reservado para as sentenças que são consideradas com 
alguma importância. Teoremas menos importantes são comumente chamados de proposições. (Te-
oremas podem ser também referidos como fatos ou resultados.) Um teorema pode ser uma quan-
ticação universal de uma sentença condicional com uma ou mais premissas e uma conclusão. No 
entanto, pode ser outro tipo de sentença lógica, como os exemplos vão mostrar, mais tarde, neste 
capítulo. Nós demonstramos que um teorema é verdadeiro com uma demonstração. Uma demons-
tração é um argumento válido que estabelece a verdade de um teorema. As sentenças utilizadas na 
demonstração podem incluir axiomas (ou postulados), os quais são sentenças que assumimos ser 
verdadeiras (por exemplo, veja Apêndice 1 com axiomas para os números reais), as premissas do 
teorema, se existirem, e teoremas previamente provados. Axiomas podem ser descritos usando 
termos primitivos que não requerem denição, mas todos os outros termos utilizados em teoremas 
e suas demonstrações devem ser denidos. Regras de inferência, juntamente com as denições dos 
termos, são utilizadas para chegar a conclusões a partir de outras armações, unindo os passos da 
demonstração. Na prática, o passo nal de uma demonstração é usualmente a conclusão do teorema. 
No entanto, para esclarecer, vamos freqüentemente retomar a sentença do teorema como o passo 
nal de uma demonstração.
Um teorema menos importante que nos ajuda em uma demonstração de outros resultados é cha-
mado de lema (plural lemas ou lemata). Demonstrações complicadas são usualmente mais fáceis de 
entender quando elas são demonstradas utilizando-se uma série de lemas, em que cada lema é de-
monstrado individualmente. Um corolário é um teorema que pode ser estabelecido diretamente de um 
teorema que já foi demonstrado. Uma conjectura é uma sentença que inicialmente é proposta como 
verdadeira, usualmente com base em alguma evidência parcial, um argumento heurístico ou a intuição 
de um perito. Quando uma demonstração de uma conjectura é achada, a conjectura se torna um teore-
ma. Muitas vezes são vericadas que conjecturas são falsas, portanto elas não são teoremas.
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1-75 1.6 Introdução a Demonstrações 75
115 Relações Envolvendo Proposições UNIDADE 3
 Dedução PARTE 476 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-76
Entendendo como Teoremas São Descritos
Antes de introduzir métodos para demonstrar teoremas,precisamos entender como teoremas 
matemáticos são expostos. Muitos teoremas dizem que essa propriedade é assegurada para todos 
os elementos em um domínio, como os inteiros ou os números reais. Embora as sentenças preci-
sas desses teoremas necessitem da inclusão de um quanticador universal, a convenção em ma-
temática é omiti-la. Por exemplo, a sentença
“Se x > y, em que x e y são números reais positivos, então x2 > y2.”
signica que
“Para todos os números reais positivos x e y, se x > y, então x2 > y2.”
Entretanto, quando teoremas desse tipo são demonstrados, a propriedade da instanciação univer-
sal é freqüentemente usada sem ser explicitamente mencionada. O primeiro passo da demons-
tração usualmente envolve selecionar um elemento geral do domínio. Os passos subseqüentes 
mostram que esse elemento tem a propriedade em questão. Finalmente, a generalização universal 
implica que o teorema é válido para todos os membros do domínio.
Métodos de Demonstrações de Teoremas
Vamos agora mudar nossa atenção para demonstração de teoremas matemáticos. Demonstrar teore-
mas pode ser difícil. Vamos precisar de toda a munição que tivermos para nos ajudar a demons-
trar resultados diferentes. Vamos, então, introduzir uma bateria de métodos de demonstrações 
diferentes. Esses métodos podem se tornar parte de nosso repertório para demonstrar teoremas.
Para demonstrar um teorema da forma x (P (x) → Q (x)), nosso objetivo é mostrar que 
P (c) → Q (c) é verdadeira, em que c é um elemento arbitrário do domínio, e então aplicar a ge-
neralização universal. Nesta demonstração, precisamos mostrar que uma sentença condicional é 
verdadeira. Por isso, focalizaremos métodos que demonstram que condicionais são verdadeiras. 
Lembre-se de que p → q é verdadeira, a menos que p seja verdadeira e q seja falsa. Note que para 
a sentença p → q ser demonstrada, é necessário apenas mostrar que q é verdadeira se p é verda-
deira. A seguinte discussão nos dará as técnicas mais comuns para demonstrar sentenças condi-
cionais. Mais tarde vamos discutir métodos para demonstrar outros tipos de sentenças. Nesta 
seção e na Seção 1.7, vamos desenvolver um arsenal de muitas técnicas diferentes de demonstra-
ção, que podem ser usadas para demonstrar uma grande variedade de teoremas.
Quando você ler demonstrações, encontrará freqüentemente as palavras “obviamente” ou 
“claramente”. Essas palavras indicam que passos foram omitidos e que o autor espera que o leitor 
seja capaz de fazê-los. Infelizmente, assumir isso nem sempre é interessante, pois os leitores não 
são todos capazes de fazer os passos nesses buracos das demonstrações. Vamos assiduamente 
tentar não usar essas palavras e não omitir muitos passos. No entanto, se concluirmos todos os 
passos em demonstrações, nossas demonstrações serão com freqüência exaustivamente longas. 
Demonstrações Diretas
Uma demonstração direta de uma sentença condicional p → q é construída quando o primeiro 
passo é assumir que p é verdadeira; os passos subseqüentes são construídos utilizando-se regras 
de inferência, com o passo nal mostrando que q deve ser também verdadeira. Uma demonstra-
ção direta mostra que uma sentença condicional p → q é verdadeira mostrando que p é verdadei-
ra, então q deve ser verdadeira, de modo que a combinação p verdadeira e q falsa nunca ocorre. 
Em uma demonstração direta, assumimos que p é verdadeira e usamos axiomas, denições e te-
oremas previamente comprovados, junto com as regras de inferência, para mostrar que q deve ser 
também verdadeira. Você verá que demonstrações diretas de muitos resultados são construídas de 
Exemplos
Extras
Auto-
avaliação
LÓGICA MATEMÁTICA 116
maneira direta, com uma seqüên cia óbvia de passos que levam da hipótese à conclusão. No en-
tanto, demonstrações diretas algumas vezes requerem insights particulares e podem ser bastante 
astuciosas. As primeiras demonstrações diretas que vamos apresentar aqui são bastante óbvias; 
mais tarde veremos algumas menos óbvias. 
Vamos dar muitos exemplos de demonstrações diretas. Mas, antes de darmos o primeiro 
exemplo, precisamos de uma denição.
DEFINIÇÃO 1 O inteiro n é par se existe um inteiro k tal que n 2k, e n é ímpar se existe um inteiro k tal que 
n 2k 1. (Note que um inteiro é sempre par ou ímpar e nenhum inteiro é par e ímpar.)
EXEMPLO 1 Dê uma demonstração direta do teorema “Se n é um número inteiro ímpar, então n2 é ímpar”.
Solução: Note que este teorema diz nP((n) → Q(n)), em que P(n) é “n é um inteiro ímpar” e 
Q(n) é “n2 é ímpar”. Como dissemos, vamos seguir a convenção matemática usual para demons-
trações, mostrando que P(n) implica Q(n), e não usando explicitamente instanciação universal. 
Para começar uma demonstração direta desse teorema, vamos assumir que a hipótese dessa sen-
tença condicional é verdadeira, ou seja, assumimos que n é ímpar. Pela denição de número ímpar, 
temos que n 2k 1, em que k é algum inteiro. Queremos demonstrar que n2 é também ímpar. 
Podemos elevar ao quadrado ambos os membros da equação n 2k 1 para obter uma nova 
equação que expresse n2. Quando zermos isso, teremos n2 (2k 1)2 4k2 4k 1 
2(2k 2 2k) 1. Pela denição de inteiro ímpar, concluímos que n2 é ímpar (ele é um a mais que 
o dobro de um inteiro). Conseqüentemente, provamos que se n é um número inteiro ímpar, então 
n2 é ímpar. ◄
EXEMPLO 2 Dê uma demonstração direta de que se m e n são ambos quadrados perfeitos, então nm tam-
bém é um quadrado perfeito. (Um inteiro a é um quadrado perfeito se existe um inteiro b 
tal que a b2.)
Solução: Para produzir uma demonstração direta desse teorema, assumimos que a hipótese dessa 
condicional é verdadeira, ou seja, assumimos que m e n são ambos quadrados perfeitos. Pela 
denição de quadrado perfeito, segue-se que existem inteiros s e t tal que m s2 e n t2. O ob-
jetivo da demonstração é mostrar que mn também deve ser um quadrado perfeito quando m e n o 
são; olhando adiante, vemos como podemos mostrar isto apenas multiplicando as duas equações 
m s2 e n t2. Isso mostra que mn s2t2, o que implica que mn (st)2 (usando comutatividade 
e associatividade da multiplicação). Pela denição de quadrado perfeito, segue que mn também 
é um quadrado perfeito, pois é o quadrado de st, o qual também é um inteiro. Demonstramos que 
se m e n são ambos quadrados perfeitos, então mn também é um quadrado perfeito.
Demonstração por Contraposição
Demonstrações diretas vão da hipótese do teorema à sua conclusão. Elas começam com as premis-
sas, continuam com uma seqüência de deduções e com a conclusão. No entanto, vamos ver que 
tentar fazer demonstrações diretas freqüentemente não tem um bom nal. Precisamos de outros 
métodos para demonstrar teoremas da forma x(P(x) → Q(x)). Demonstrações de teoremas desse 
tipo que não são demonstrações diretas, ou seja, que não seguem das hipóteses e terminam com a 
conclusão, são chamadas de demonstrações indiretas. 
Uma demonstração indireta extremamente usada é conhecida como demonstração por contra-
posição. Demonstrações por contraposição fazem uso do fato de que a sentença condicional 
p → q é equivalente a sua contrapositiva, q → p , isto signica que uma sentença condicional 
Exemplos
Extras
1-77 1.6 Introdução a Demonstrações 77
117 Relações Envolvendo Proposições UNIDADE 3
 Dedução PARTE 478 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-78
p → q pode ser demonstrada mostrando que sua contrapositiva, q→ p, é verdadeira. Em uma 
demonstração por contraposição de p → q, vamos tomar q como uma hipótese, e usando 
axiomas, denições e teoremas previamente demonstrados, juntamente com regras de inferên-
cia, mostramos que p deve ser verdadeira.Vamos ilustrar demonstração por contraposição 
com dois exemplos. Esses exemplos mostram que demonstrações por contraposição podem ser 
bem-sucedidas quando nãoé fácil achar demonstrações diretas.
EXEMPLO 3 Demonstre que se n é um inteiro e 3n 2 é ímpar, então n é ímpar.
Solução:Primeiro vamos olhar para uma demonstração direta. Para construir uma demonstração 
direta, devemos assumir que 3n 2 é um número ímpar. Isso signica que 3n 2 2k 1 para 
algum inteiro k. Podemos usar esse fato para mostrar que n é ímpar? Vemos que 3n 1 2k, mas 
não parece ter algum meio direto para concluir que n é ímpar. Como nossa tentativa com demons-
tração direta falhou, vamos tentar uma demonstração por contraposição.
O primeiro passo em uma demonstração por contraposição é assumir que a conclusão da sentença 
condicional “Se 3n 2 é ímpar, então n é ímpar” é falsa; assumimos que n é par. Então, pela denição 
de número par, n 2k para algum inteiro k. Substituindo 2k em n, chegamos a 3n 2 3(2k) 2 
6k 2 2(3k 1). Isso nos diz que 3n 2 é par (pois é um múltiplo de 2), e logo não é ímpar. Isso 
é a negação da hipótese do teorema. Como a negação da conclusão da sentença condicional implica 
que a hipótese é falsa, a sentença original é verdadeira. Nossa demonstração por contraposição foi 
bem-sucedida; demonstramos que se n é um inteiro e 3n 2 é ímpar, então n é ímpar. ◄
EXEMPLO 4 Demonstre que se n ab, em que a e b são inteiros positivos, então a n b n ou .
Solução: Como não há um meio óbvio de mostrar que a n b n ou diretamente da equação 
n ab, em que a e b são inteiros positivos, vamos tentar uma demonstração por contraposição. 
O primeiro passo nesta demonstração é assumir que a conclusão da condicional “Se n ab, 
em que a e b são inteiros positivos, então a n b n ou ” é falsa. Ou seja, assumir que a 
sentença ( ) ( )a n b n é falsa. Usando o signicado da disjunção junto com a lei de 
De Morgan, vemos que isso implica que ambos a n b n e são falsas. Isso implica que 
a n e b n. Podemos multiplicar essas inequações juntas (usando o fato de que se 0 < t e 
0 < v, então su < tv) para obter ab n n n. Isso mostra que ab n, o que contradiz a 
sentença n ab. 
Como a negação da conclusão da condicional implica que a hipótese é falsa, a sentença con-
dicional original é verdadeira. Nossa demonstração por contraposição foi bem-sucedida; de-
monstramos que se n ab, em que a e b são inteiros positivos, então a n b n ou . ◄
DEMONSTRAÇÃO POR VACUIDADE E DEMONSTRAÇÃO POR TRIVIALIZAÇÃO Po-
demos rapidamente demonstrar que uma sentença condicional p → q é verdadeira quando sabe-
mos que p é falsa, pois p → q deve ser verdadeira quando p é falsa. Conseqüentemente, se 
pudermos mostrar que p é falsa, então teremos uma demonstração, chamada de demonstração 
por vacuidade, da condicional p → q. Demonstrações por vacuidade são empregadas para esta-
belecer casos especiais de teoremas que dizem que uma condicional é verdadeira para todos os 
números inteiros positivos [isto é, um teorema do tipo nP(n), em que P(n) é uma função propo-
sicional]. Técnicas de demonstração para esse tipo de teoremas serão discutidas na Seção 4.1.
EXEMPLO 5 Mostre que a proposição P (0) é verdadeira, em que P (n) é “Se n > 1, então n2 > n” e o domínio 
consiste todos os inteiros.
Solução: Note que P (0) é “Se 0 > 1, então 02 > 0”. Podemos mostrar P (0) utilizando-se uma 
demonstração por vacuidade, pois a hipótese 0 > 1 é falsa. Isso nos diz que P (0) é automa-
ticamente verdadeira. ◄
Exemplos
Extras
LÓGICA MATEMÁTICA 118
Lembre-se: O fato de a conclusão desta sentença condicional, 02 > 0, ser falsa é irrelevante para 
o valor-verdade da sentença condicional, pois uma condicional com uma hipótese falsa é direta-
mente verdadeira. 
Podemos também demonstrar rapidamente que a condicional p → q é verdadeira se sabemos que 
a conclusão q é verdadeira. Mostrar que q é verdadeira faz com que p → q deva ser também verdadei-
ra. Uma demonstração de p → q que usa o fato de que q é verdadeira é chamada de demonstração 
por trivialização. Demonstrações por trivialização são freqüentemente usadas e de grande importân-
cia quando demonstramos casos especiais de teoremas (veja a discussão de demonstrações por casos 
na Seção 1.7) e em indução matemática, que é uma técnica de demonstração discutida na Seção 4.1.
EXEMPLO 6 Seja P (n) a proposição “Se a e b são inteiros positivos com a ≥ b, então an ≥ bn”, em que o do-
mínio consiste em todos os inteiros. Mostre que P (0) é verdadeira.
Solução: A proposição P (0) é “Se a ≥ b, então a0 ≥ b0”. Como a0 b0 1, a conclusão da con-
dicional é “Se a ≥ b, então a0 ≥ b0” é verdadeira. Portanto, a sentença condicional, que é P (0), é 
verdadeira. Este é um exemplo de demonstração por trivialização. Note que a hipótese, a senten-
ça “a ≥ b”, não foi necessária nesta demonstração. ◄
UM POUCO DE ESTRATÉGIA DE DEMONSTRAÇÃO Descrevemos dois importantes méto-
dos para provar teoremas da forma x(P (x) → Q (x)): demonstração direta e demonstração por 
contraposição. Também demos exemplos que mostram como cada uma é usada. No entanto, quan-
do você recebe um teorema da forma x(P (x) → Q (x)), que método você deve tentar usar para 
demonstrar? Vamos prover algumas regras rápidas aqui; na Seção 1.7 vamos discutir estratégias de 
demonstração com mais detalhes. Quando queremos demonstrar uma sentença da forma x (P (x) 
→ Q (x)), primeiro devemos avaliar o que parece ser uma demonstração direta para esta sentença. 
Comece expandindo as denições da hipótese. Vá raciocinando sobre essas hipóteses, juntamente 
com os axiomas e os teoremas demonstrados. Se uma demonstração direta não aparecer em nenhu-
ma situação, tente a mesma coisa com a contraposição. Lembre-se de que em uma demonstração 
por contraposição você assume que a conclusão é falsa e usa uma demonstração direta para mostrar 
que a hipótese deve ser falsa. Vamos ilustrar essa estratégia nos exemplos 7 e 8. Antes de apresentar 
nossos próximos exemplos, precisamos de uma denição.
DEFINIÇÃO 2 O número real r é racional se existem inteiros p e q com q 0, tal que r p/q. Um número 
real que não é racional é chamado de irracional.
EXEMPLO 7 Demonstre que a soma de dois números racionais é um racional. (Note que se incluirmos o quan-
ticador implícito aqui, o teorema que queremos demonstrar é “Para todo número real r e todo 
real s, se r e s são números racionais, então r s é racional”.)
Solução:Primeiro tentemos uma demonstração direta. Para começar, suponha que r e s são racio-
nais. Da denição de números racionais, segue que existem inteiros p e q, com q 0, tal que 
r p/q, e inteiros t e u, com u 0, tal que s t/u. Podemos usar essas informações para mostrar 
que r s é racional? O próximo passo é adicionar r p/q e s t/u, para obter
r s p
q
t
u
pu qt
qu
.
Como q 0 e u 0, temos que qu 0. Conseqüentemente, expressamos r s como a razão de 
dois inteiros, pu qt e qu, em que qu 0. Isso signica que r s é racional. Demonstramos que 
a soma de dois números racionais é racional; nossa tentativa de achar uma demonstração direta 
foi bem-sucedida. ◄
Exemplos
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1-79 1.6 Introdução a Demonstrações 79
119 Relações Envolvendo Proposições UNIDADE 3
 Dedução PARTE 480 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-80
EXEMPLO 8 Demonstre que se n é um número inteiro e n2 é ímpar, então n é ímpar.
Solução: Primeiro tentaremos uma demonstração direta. Suponha que n é um inteiro e n2 é ímpar. 
Então existe um inteiro k, tal que n2 2k 1. Podemos usar essa informação para mostrar que 
n é ímpar? Parece que não existe uma saída óbvia para mostrar que n é ímpar, pois, resolvendo a 
equação em n, temos n k2 1, que não é interessante de trabalhar. 
Como a tentativa de uma demonstração direta não rendeu frutos, tentaremos uma demonstração 
por contraposição. Tomaremos como hipótese a sentença n não é ímpar. Como todo inteiro é par ou 
ímpar, isso signica que n é par. E isso implica que existe um inteirok, tal que n 2k. Para demons-
trar o teorema, devemos mostrar que essa hipótese implica a conclusão, ou seja, n2 não é ímpar, ou 
ainda, que n2 é par. Podemos usar a equação n 2k para determinar isso? Elevando ao quadrado 
ambos os membros da equação, obtemos n2 4k 2 2(2k 2), o que implica que n2 é também par, 
pois n2 2t, em que t 2k 2. Demonstramos que se n é um número inteiro e n2 é ímpar, então n é 
ímpar. Nossa tentativa de encontrar uma demonstração por contraposição foi bem-sucedida. ◄
Demonstração por Contradição
Suponha que queremos demonstrar que uma sentença p é verdadeira. Além disso, suponha que pode-
mos achar uma contradição q tal que p → q é verdadeira. Como q é falsa, mas p → q é verdadei-
ra, podemos concluir que p é falsa, o que signica que p é verdadeira. Como podemos encontrar 
uma contradição q que possa nos ajudar a demonstrar que p é verdadeira usando esse raciocínio? 
Como a sentença r r é uma contradição qualquer que seja a proposição r, podemos de-
monstrar que p é verdadeira se pudermos mostrar que p → (r r) é verdadeira para alguma 
proposição r. Demonstrações desse tipo são chamadas de demonstrações por contradição. 
Como uma demonstração por contradição não mostra o resultado diretamente, esse é um outro 
tipo de demonstração indireta. Daremos três exemplos de demonstração por contradição. O pri-
meiro é um exemplo de uma aplicação do princípio da casa dos pombos, uma técnica combina-
tória que vamos desenvolver profundamente na Seção 5.2.
EXEMPLO 9 Demonstre que ao menos 4 de 22 dias escolhidos devem cair no mesmo dia da semana.
Solução: Seja p a proposição “Ao menos 4 dos 22 dias escolhidos caem no mesmo dia da semana”. 
Suponha que p é verdadeira. Isso signica que no máximo 3 dos 22 dias caem no mesmo dia da 
semana. Como existem 7 dias na semana, isso implica que no máximo 21 dias podem ser escolhi-
dos, pois, para cada dia da semana, podem ser escolhidos no máximo 3 dias que coincidem no 
mesmo dia da semana. Isso contradiz a hipótese que armava ter 22 dias considerados. Assim, se r 
é a sentença que diz que 22 dias foram escolhidos, então temos mostrado que p → (r r). 
Conseqüentemente, sabemos que p é verdadeira. Demonstramos que ao menos 4 de 22 dias esco-
lhidos devem cair no mesmo dia da semana. ◄
EXEMPLO 10 Demonstre que 2 é irracional por meio de uma demonstração por contradição.
Solução: Seja p a proposição “ 2 é irracional”. Para começar uma demonstração por contradição, 
supomos que p é verdadeira. Note que p é a sentença “Não é o caso que 2 é irracional”, o que 
diz que 2 é racional. Vamos demonstrar que, assumindo que p é verdadeira, chegaremos a uma 
contradição.
Se 2 é racional, existem inteiros a e b tal que 2 a/b, em que a e b não têm fator comum 
(então a fração a/b é irredutível). (Aqui, estamos usando o fato de que todo número racional pode 
ser escrito em uma fração irredutível.) Como 2 a/b, quando ambos os membros da equação 
são elevados ao quadrado, segue-se que 
2 a2/b2.
Exemplos
Extras
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
unidade 
4
Relações Envolvendo Proposições
Prezado(a) estudante
Estamos começando uma unidade desta disciplina. Os textos que a compõem foram 
organizados com cuidado e atenção, para que você tenha contato com um conteúdo 
completo e atualizado tanto quanto possível. Leia com dedicação, realize as atividades 
e tire suas dúvidas com os tutores. Desta forma, você com certeza alcançará os 
objetivos propostos para essa disciplina.
OBJETIVO GERAL 
Desenvolver formas diferentes de argumentação na lógica matemática.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
• Reconhecer quando um teorema pode ser demonstrado por meio da 
indução.
• Identificar sofismas ou falácias.
• Verificar a validade de um argumento (com ou sem quantificadores) 
utilizando tabelas-verdade ou regras de inferência.
unidade 
4
O conteúdo deste livro é 
disponibilizado por SAGAH.
Parte 1
Indução
LÓGICA MATEMÁTICA 124 Indução e Recursão
Muitas proposições matemáticas armam que uma propriedade é verdadeira para todos os
números inteiros positivos. Alguns exemplos dessas proposições são: para todo número 
inteiro positivo n: n! nn, n3 n é divisível por 3; um conjunto com n elementos tem 2n sub-
conjuntos e a soma dos primeiros n números inteiros positivos é n (n 1) / 2. Um dos objetivos 
principais deste capítulo, e do livro, é dar ao estudante um entendimento da indução matemática, 
que é utilizada para demonstrar resultados desse tipo.
As demonstrações com o uso da indução matemática têm duas partes. Primeiro, elas mos-
tram que a proposição é verdadeira para o número inteiro positivo 1. Segundo, elas mostram que 
se a proposição for verdadeira para um número inteiro positivo, então deve ser mantida para o 
número inteiro seguinte. A indução matemática baseia-se na regra de inferência, que nos diz que 
se P (1) e k (P (k) → P (k 1)) são verdadeiras para o domínio dos números inteiros positivos, 
então P (n) é verdadeira. A indução matemática pode ser usada para demonstrar diversos resul-
tados. Entender como ler e construir demonstrações por indução matemática é a chave para 
aprender matemática discreta.
Nos capítulos 2 e 3, denimos conjuntos e funções, ou seja, descrevemos os conjuntos listando 
seus elementos ou dando propriedades que caracterizassem seus elementos. Fornecemos fórmulas 
para os valores das funções. Há outra maneira importante de denir esses objetos, baseando-se em 
indução matemática. Para denir as funções, alguns termos iniciais são especicados e uma regra é 
dada para encontrar os valores subseqüentes a partir daqueles já conhecidos. Os conjuntos podem 
ser denidos listando-se alguns de seus elementos e dando-se regras para a construção de elementos 
a partir daqueles já conhecidos como pertencendo ao conjunto. Essas denições, chamadas de defi-
nições recursivas, são usadas pela matemática discreta e pela ciência da computação. Uma vez que 
denimos um conjunto recursivamente, podemos usar um método de demonstração chamado de 
indução estrutural, ou recursão, para mostrar os resultados sobre esse conjunto.
Quando um procedimento é especíco para a resolução de um problema, ele deve sempre 
resolver o problema corretamente. Apenas testar para ver se o resultado obtido para um conjunto 
com valores de entrada é correto não mostra se o procedimento trabalha sempre corretamente. A 
exatidão de um procedimento apenas pode ser garantida demonstrando-se que ele sempre forne-
ce o resultado correto. A seção nal deste capítulo contém uma introdução sobre as técnicas de 
vericação de programas. Esta é uma técnica formal para vericar se um procedimento está 
correto. A vericação de programas serve como base para a tentativa de demonstrar de modo 
mecânico que os programas estão corretos.
4.1 Indução Matemática 
Introdução
Suponha que tenhamos uma escada innita, como mostrada na Figura 1, e queremos saber se 
podemos alcançar todos os degraus dessa escada. Sabemos duas coisas:
1. Podemos alcançar o primeiro degrau da escada.
2. Se pudermos alcançar um determinado degrau da escada, então poderemos alcançar o
próximo degrau.
Podemos concluir que nós podemos alcançar todos os degraus? Por (1), sabemos que podemos 
alcançar o primeiro degrau da escada. Além disso, como podemos alcançar o primeiro, por (2), 
podemos também alcançar o segundo degrau, que é o próximo degrau depois do primeiro. Apli-
cando (2) novamente, como podemos alcançar o segundo degrau, podemos também alcançar o 
terceiro. Continuando dessa maneira, podemos mostrar que será possível alcançar o quarto de-
grau, o quinto degrau, e assim por diante. Por exemplo, depois de usar 100 vezes (2), sabemos 
4
4.1 Indução 
Matemática
4.2 Indução 
Completa e 
Boa Ordenação
4.3 Denições 
Recursivas e 
Indução 
Estrutural
4.4 Algoritmos 
Recursivos
4.5 Exatidão de 
Programas
4-1 263
C A P Í T U L O
125 Argumentação UNIDADE 4Indução PARTE 1264 4 / Indução e Recursão 
que poderemos alcançar o 101o degrau. Mas podemos concluir que é possível alcançar todos os 
degraus dessa escada innita? A resposta é sim, às vezes podemos fazer essa vericação usando 
uma importante técnica de demonstração chamada de indução matemática. Ou seja, podemos 
mostrar que P (n) é verdadeira para todo número inteiro positivo n, em que P (n) é a proposição 
que arma que podemos alcançar o n-ésimo degrau da escada.
A indução matemática é uma técnica de demonstração extremamente importante que pode 
utilizada para apresentar declarações desse tipo. Como veremos nesta seção e nas subseqüentes, 
a indução matemática é muito usada para demonstrar resultados sobre diversos objetos discretos. 
Por exemplo, ela é aplicada para demonstrar resultados sobre complexidade de algoritmos, exa-
tidão de certos tipos de programas, teoremas sobre grafos e árvores, assim como várias identida-
des e inequações.
Nesta seção, descreveremos como a indução matemática pode ser usada e por que é uma 
técnica de demonstração válida. É extremamente importante notar que a indução matemática 
pode ser utilizada apenas para demonstrar resultados obtidos de outras formas. Ela não é um 
instrumento para descobrir fórmulas ou teoremas.
Indução Matemática
Em geral, a indução matemática* pode ser usada para demonstrar proposições que armam que 
P (n) é verdadeira para todos os números inteiros positivos n, em que P (n) é uma função propo-
sicional. Uma demonstração por indução matemática tem duas partes, um passo base, em que 
mostramos que P (1) é verdadeira, e um passo de indução, em que mostramos que para todos os 
números inteiros k, se P (k) for verdadeira, então P (k 1) é verdadeira.
* Infelizmente, usar a terminologia “indução matemática” entra em confronto com a terminologia usada para descrever dife-
rentes tipos de argumentos. Em lógica, o argumento dedutivo usa regras de inferência para construir as conclusões a partir 
de premissas, enquanto o argumento indutivo obtém conclusões apenas apoiado, não assegurado, em evidências. As demons-
trações matemáticas, que incluem argumentos que usam a indução matemática, são dedutivas, não indutivas.
4-2
FIGURA 1 Subindo uma Escada Infinita.
Degrau 1
Degrau 2
Degrau 3
Degrau 4
Degrau k + 1
...
...
Degrau k
Podemos alcançar o
primeiro degrau
Podemos alcançar
o degrau k+1
se pudermos 
alcançar
o degrau k
Auto-
avaliação
LÓGICA MATEMÁTICA 126 4.1 Indução Matemática 265
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA Para demonstrar que P (n) é verdadeira para 
todos os números inteiros n, em que P (n) é uma função proposicional, completamos dois 
passos:
PASSO BASE: Vericamos que P (1) é verdadeira.
PASSO DE INDUÇÃO: Mostramos que a proposição condicional P (k) → P (k 1) é verda-
deira para todos os números inteiros positivos k.
Para completar o passo de indução de uma demonstração que utiliza o princípio da indução mate-
mática, assumimos que P(k) seja verdadeira para um número inteiro positivo k arbitrário e mos-
tramos, sob hipótese, que P(k 1) deve ser também verdadeira. A hipótese de que P(k) é 
verdadeira é chamada de hipótese indutiva. Uma vez completados os dois passos da demonstra-
ção por indução matemática, mostramos que P(n) é verdadeira para todos os números inteiros po-
sitivos, ou seja, evidenciamos que n P (n) é verdadeira onde esta quanticação tem como domínio 
o conjunto dos números inteiros positivos. No passo de indução, mostramos que k(P(k) → P(k 1))
é verdadeira onde novamente o domínio é o conjunto dos números inteiros positivos.
Expressa como uma regra de inferência, essa técnica de demonstração pode ser declarada como
[P (1) k (P (k) → P (k 1))] → n P (n), 
em que o domínio é o conjunto dos números inteiros positivos. Como a indução matemática é uma 
importante técnica, é válido explicar em detalhes os passos de uma demonstração que usa essa 
técnica. A primeira coisa que fazemos ao demonstrar que P(n) é verdadeira para todos os números 
inteiros positivos n é mostrar que P(1) é verdadeira. Ou seja, devemos evidenciar que a proposição 
obtida quando n é substituído por 1 em P(n) é verdadeira. Então, devemos evidenciar que P(k) → 
P(k 1) é verdadeira para todos os números inteiros positivos k. Para demonstrar que essa propo-
sição condicional é verdadeira para todo número inteiro positivo k, precisamos evidenciar que 
P (k 1) não pode ser falsa quando P(k) é verdadeira. Isso pode ser feito assumindo-se que P(k) é 
verdadeira e mostrando que, a partir dessa hipótese, P (k 1) deve também ser verdadeira.
Lembre-se: Em uma demonstração por indução matemática não assumimos que P(k) seja verdadei-
ra para todos os números inteiros positivos! Apenas mostramos que se assumimos que P(k) é verda-
deira, então P(k 1) também é verdadeira. Assim, uma demonstração por indução matemática não 
pode ser vista como um caso de usar o que se quer demonstrar, ou um argumento circular.
Quando usamos a indução matemática para demonstrar um teorema, primeiro mostramos que 
P (1) é verdadeira. Então, sabemos que P (2) é verdadeira, porque P (1) implica P (2). Assim, sa-
bemos que P (3) é verdadeira, porque P (2) implica P (3). Continuando nessa linha, vemos que 
P (n) é verdadeira para todo número inteiro positivo n.
MANEIRAS DE LEMBRAR COMO A INDUÇÃO MATEMÁTICA FUNCIONA Pensar em 
uma escada innita e nas regras para alcançar os degraus pode ajudá-lo a lembrar como a indução 
matemática funciona. Note que as proposições (1) e (2) para a escada innita são exatamente o 
passo base e o de indução, respectivamente, da demonstração de que P (n) é verdadeira para todos 
os números inteiros positivos n, em que P (n) é a proposição que arma que podemos alcançar o 
n-ésimo degrau da escada. Conseqüentemente, podemos invocar a indução matemática para con-
cluir que podemos alcançar todos os degraus.
4-3
NOTA HISTÓRICA O primeiro uso conhecido da indução matemática é o trabalho do matemático Francesco 
Maurolico (1494–1575), no século XVI. Maurolico escreveu exaustivamente sobre os trabalhos de matemáticos 
clássicos e fez muitas contribuições em geometria e ótica. Em seu livro, Arithmeticorum Libri Duo, Maurolico 
apresentou várias propriedades de números inteiros juntamente com as demonstrações dessas propriedades. Para 
demonstrar algumas dessas propriedades, ele desenvolveu o método de indução matemática. Seu primeiro uso da 
indução matemática em seu livro foi para demonstrar que a soma dos primeiros n números inteiros positivos e 
ímpares é igual a n2.
Links
127 Argumentação UNIDADE 4
 Indução PARTE 1266 4 / Indução e Recursão 
Além da escada innita, muitas outras ilustrações úteis da indução matemática podem ajudá-lo 
a lembrar como esse princípio funciona. Uma delas contém uma la de pessoas, a pessoa um, a pes-
soa dois, e assim por diante. Um segredo é contado à pessoa um e cada pessoa conta o segredo à 
próxima da la, se a pessoa anterior ouvi-lo. Considere P(n) como a proposição: a pessoa n sabe o 
segredo. Então P(1) é verdadeira, porque o segredo é contado à pessoa um; P(2) é verdadeira, porque 
a pessoa um conta o segredo à pessoa dois; P(3) é verdadeira, porque a pessoa dois conta o segredo 
à terceira pessoa, e assim por diante. Pelo princípio da indução matemática, cada pessoa da la ouve 
o segredo. Isso é ilustrado na Figura 2. (Assumimos que cada pessoa repassa o segredo, sem mudá-
lo, para a próxima pessoa, o que geralmente não é verdade na vida real.)
Outra maneira de ilustrar o princípio da indução matemática é considerar uma la innita de 
dominós, marcados a partir de 1, 2, 3, . . . , n, . . . , em que cada dominó está em pé. Considere 
P (n) como a proposição: o dominó n caiu. Se o primeiro dominó cair, considerando-se que P (1) 
seja verdadeira, e se, sempre que o k-ésimo dominócair, o (k 1)-ésimo dominó também vai 
cair, ou seja, se P (k) → P (k 1) for verdadeira para todo número inteiro positivo k —, então 
todos os dominós vão cair. Isso é ilustrado na Figura 3.
Exemplos de Demonstrações por Indução Matemática
Muitos teoremas armam que P(n) é verdadeira para todos os números inteiros positivos n, em que 
P(n) é uma função proposicional, tal como a proposição de que 1 2 · · · n n (n 1) /2 para 
todo número inteiro positivo n ou a proposição n 2n para todos os números inteiros positivos n. 
4-4
Pessoa 1Pessoa 2 Pessoa 3
Pessoa 4
Pessoa 5
Pessoa 6
Pessoa 7
Pessoa 8
Pessoa 10
Pessoa 11
Pessoa 12
Pessoa 13
Pessoa 14
Pessoa 15
Pessoa 16
Pessoa 17
Pessoa 18
Pessoa 19
Pessoa 20
Pessoa 21
Pessoa 22
Pessoa 23
Pessoa 26
Pessoa 9
Pessoa 24
Pessoa 25
FIGURA 2 Pessoas Contando Segredos.
FIGURA 3 Ilustrando a Indução Matemática com o Uso de Dominós.
LÓGICA MATEMÁTICA 128
A indução matemática é uma técnica para demonstrar teoremas desse tipo. Em outras palavras, ela 
pode ser utilizada para demonstrar proposições na forma n P (n), em que o domínio é o conjunto 
dos números inteiros positivos. Pode ser usada também para demonstrar diversos teoremas, sendo 
cada um deles uma proposição nessa forma.
Usaremos vários exemplos para ilustrar como os teoremas são demonstrados aplicando-se a 
indução matemática. Os teoremas que vamos demonstrar incluem fórmulas de somatório, inequa-
ções, identidades para combinações de conjuntos, resultados de divisibilidade, teoremas sobre al-
goritmos e alguns outros resultados criativos. Nas seções posteriores, vamos empregar a indução 
matemática para demonstrar muitos outros tipos de resultados, incluindo exatidão de programas 
de computação e algoritmos. Esta pode ser utilizada para demonstrar vários teoremas, não apenas 
fórmulas de somatório, inequações e outros tipos de exemplos que ilustramos aqui. Note que há 
muitas oportunidades para erro nas demonstrações por indução. Vamos descrever algumas de-
monstrações incorretas por indução matemática no nal desta seção e nos exercícios.
DEMONSTRAÇÃO DE FÓRMULAS DE SOMATÓRIO Comecemos usando a indução mate-
mática para demonstrar muitas fórmulas de somatório diferentes. Como veremos, ela é particu-
larmente apropriada para demonstrar que essas fórmulas são válidas. Entretanto, as fórmulas de 
somatório podem ser demonstradas de outras maneiras. Isso não é surpreendente porque existem 
normalmente maneiras diferentes para demonstrar um teorema. A maior desvantagem do uso da 
indução matemática é que ela não pode ser utilizada para encontrar uma fórmula de somatório, 
ou seja, é necessário ter a fórmula antes de começar a prová-la com a indução matemática. Co-
meçamos utilizando-a para demonstrar uma fórmula para a soma dos n menores números inteiros 
positivos.
EXEMPLO 1 Mostre que se n for um número inteiro positivo, então
1 2 = ( 1)
2
.n n n
Solução: Considere P (n) como a proposição que arma que a soma dos primeiros n números 
inteiros positivos é n (n 1) / 2. Devemos fazer duas coisas para demonstrar que P (n) é verda-
deira para n 1, 2, 3, . . . . Ou seja, precisamos mostrar que P (1) é verdadeira e que a proposição 
condicional P (k) implica que P (k 1) é verdadeira para k 1, 2, 3, . . . .
PASSO BASE: P (1) é verdadeira, pois 1 = 1(1 1)
2
.
PASSO DE INDUÇÃO: Para a hipótese indutiva, assumimos que P(k) é verdadeira para um nú-
mero inteiro positivo arbitrário k, ou seja, assumimos que
1 2 = ( 1)
2
.k k k
Considerando essa hipótese, devemos mostrar que P (k 1) é verdadeira, ou seja, que
1 2 ( 1) = ( 1)[( 1) 1]
2
= ( 1)( 2)
2
k k k k k k
também é verdadeira. Quando adicionamos k 1 nos dois lados da equação em P (k), obtemos 
1 2 ( 1) = ( 1)
2
( 1)
= ( 1) 2( 1)
2
= ( 1)( 2)
2
k k k k k
k k k
k k .
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4-5 4.1 Indução Matemática 267
Exemplos
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LÓGICA MATEMÁTICA 130
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Parte 2
Sofismas ou Falácias
LÓGICA MATEMÁTICA 132
66 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-66
TABELA 1 Regras de Inferência.
Regra de Inferência Tautologia Nome
 p
 p → q
 q
[p (p → q)] → q Modus ponens
 q
 p → q
 p
[ q (p → q)] → p Modus tollens
 p → q
 q → r
 p → r
[(p → q) (q → r)] → (p → r) Silogismo hipotético
 p q
 p
 q
[(p q) p] → q Silogismo disjuntivo
 p
 p q
p → (p q) Adição
 p q
p
(p q) → p Simplicação
 p
 q
 p q
[(p) (q)] → (p q) Conjunção
 p q
 p r
 q r
[(p q) ( p r)] → (q r) Resolução
Solução: Seja p a proposição “Está esfriando agora” e q a proposição “Está chovendo agora”. 
Então esse argumento é da forma 
 p
p q
Esse é um argumento que usa a regra da adição. ◄
EXEMPLO 4 Diga qual regra de inferência é a base do seguinte argumento: “Está esfriando e chovendo agora. 
Portanto, está esfriando agora”.
Solução: Seja p a proposição “Está esfriando agora” e q a proposição “Está chovendo agora”. 
Então, esse argumento é da forma 
 p q
p
Esse é um argumento que usa a regra da simplicação. ◄
133 Argumentação UNIDADE 4
 Sofismas ou Falácias PARTE 2
EXEMPLO 5 Diga qual regra de inferência é a base do seguinte argumento: 
“Se chover, então não haverá churrasco hoje. Se não houver churrasco hoje, haverá amanhã. 
Portanto, se chover hoje, então haverá churrasco amanhã.”
Solução: Seja p a proposição “Está chovendo hoje”, q a proposição “Não terá churrasco hoje” e 
r a proposição “Terá churrasco amanhã”. Então esse argumento é da forma
 p → q
 q → r
 p → r
Logo, esse argumento é um silogismo hipotético. ◄
Usando Regras de Inferência para Construir Argumentos
Quando existem muitas premissas, muitas regras de inferência são freqüentemente necessárias 
para mostrar que um argumento é válido. Isso é ilustrado nos exemplos 6 e 7, onde os passos do 
argumento são dispostos em linhas separadas, com a razão para cada passo explicitamente colo-
cada ao lado. Esses exemplos também mostram como argumentos em português podem ser ana-
lisados por meio de regras de inferência.
EXEMPLO 6 Mostre que as hipóteses “Não está ensolarada esta tarde e está mais frio que ontem”, “Vamos 
nadar se estiver ensolarado”, “Se não formos nadar, então vamos fazer um passeio de barco” e 
“Se zermos um passeio de barco, então estaremos em casa ao anoitecer” nos levam à conclusão 
“Estaremos em casa ao anoitecer”.
Solução: Seja p a proposição “Está ensolarada esta tarde”, q a proposição “Está mais frio que on-
tem”, r a proposição “Vamos nadar”, s a proposição “Vamos fazer um passeio de barco” e t a pro-
posição “Estaremos em casa ao anoitecer”. Então, as hipóteses se tornam p q, r → p, r → s, 
e s → t e a conclusão é simplesmente t.
Construímos um argumento para mostrar que nossas hipóteses nos levam à conclusão como 
se segue.
Passo Razão
1. p q Hipótese
2. p Simplicação usando (1)
3. r → p Hipótese
4. r Modus tollens usando (2) e (3)
5. r → s Hipótese
6. s Modus ponens usando (4) e (5)
7. s → t Hipótese
8. t Modus ponens usando (6) e (7)
Note que poderíamos ter empregado uma tabela-verdade para mostrar que, sempre que as hipó-
teses são verdadeiras, a conclusão também será. No entanto, como estamos trabalhando com 
cinco variáveis proposicionais (p, q, r, s e t ), essa tabela teria 32 linhas. ◄
EXEMPLO 7 Mostre que as hipóteses “Se você me mandar um e-mail, então eu terminarei o programa”, 
“Se você não me mandar um e-mail, então vou dormir cedo” e “Se eu dormir cedo, então 
Exemplos
Extras
1-67 1.5 Regras de Inferência 67
LÓGICA MATEMÁTICA 134
68 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-68
acordarei sentindo-me bem” nos levam à conclusão “Se eu não terminar o programa, então eu 
acordarei sentindo-me bem”.
Solução:Seja p a proposição “Você me manda um e-mail”, q a proposição “Eu terminarei o pro-
grama”, r a proposição “Eu vou dormir cedo” e s a proposição “Eu acordarei sentindo-me bem”. 
Então as hipóteses são p → q, p → r e r → s. A conclusão desejada é q → s. Temos de dar 
um argumento válido com as hipóteses p → q, p → r e r → s e a conclusão q → s.
Essa forma de argumento mostra que as hipóteses nos levam à conclusão desejada.
Passo Razão
1. p → q Hipótese
2. q → p Contrapositiva de (1)
3. p → r Hipótese
4. q → r Silogismo hipotético usando (2) e (3)
5. r → s Hipótese
6. q → s Silogismo hipotético usando (4) e (5) ◄
Resolução
Programas de computador têm sido desenvolvidos para automatizar a tarefa de raciocinar e for-
necer teoremas. Muitos desses programas fazem uso da regra de inferência conhecida como re-
solução. Essa regra de inferência baseia-se na tautologia
(( p q) ( p r)) → (q r).
(A vericação de que essa sentença é uma tautologia foi pedida no Exercício 30 na Seção 1.2.) A 
disjunção nal da regra, q r, é chamada de resolvente. Quando q r na tautologia, obtemos 
(p q) ( p q) → q. Além disso, quando r F, obtemos ( p q) ( p) → q (porque q F q), 
que é a tautologia na qual está fundamentada a regra do silogismo disjuntivo.
EXEMPLO 8 Use a resolução para mostrar que as hipóteses “Jasmim está esquiando ou não está nevando” e 
“Está nevando ou José está jogando futebol” implica que “Jasmim está esquiando ou José está 
jogando futebol”.
Solução: Seja p a proposição “Está nevando”, q a proposição “Jasmim está esquiando”, e r a 
proposição “José está jogando futebol”. Podemos representar as hipóteses por p q e p r, 
respectivamente. Usando resolução, a proposição q r, “Jasmim está esquiando ou José está 
jogando futebol”, pode ser concluída. ◄
A resolução tem um importante papel em linguagens de programação fundamentadas nas 
regras da lógica, como Prolog (onde as regras de resolução para sentenças quanticadas são apli-
cadas). Além disso, pode ser utilizada para construir sistemas que provêm teoremas automatica-
mente. Para construir demonstrações em lógica proposicional usando resolução como a única 
regra de inferência, as hipóteses e a conclusão devem ser expressas como cláusulas, em que uma 
cláusula é uma disjunção de variáveis ou das negações dessas variáveis. Podemos substituir uma 
sentença em lógica proposicional que não é uma cláusula por uma ou mais sentenças equivalen-
tes que são cláusulas. Por exemplo, suponha que tenhamos uma sentença da forma p (q r). 
Como p (q r) (p q) (p r), podemos substituir a sentença p (q r) por duas sentenças 
Exemplos
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135 Argumentação UNIDADE 4
 Sofismas ou Falácias PARTE 2
p q e p r, cada uma delas sendo uma cláusula. Podemos substituir uma sentença da forma 
(p q) por duas sentenças p e q porque a lei de De Morgan nos diz que (p q) p 
 q. Podemos também substituir uma sentença condicional p → q pela disjunção equivalen-
te p q.
EXEMPLO 9 Mostre que as hipóteses (p q) r e r → s implicam a conclusão p s.
Solução: Podemos reescrever a hipótese (p q) r como duas cláusulas, p r e q r. Podemos 
também substituir r → s pela cláusula equivalente r s. Usando as duas cláusulas p r e r s, 
podemos usar uma resolução para concluir p r. ◄
Falácias
Muitas falácias comuns aparecem em argumentos incorretos. Essas falácias assemelham-se a 
regras de inferência, mas baseiam-se em contingências em vez de tautologias. Isso será discutido 
aqui para mostrar a distinção entre um raciocínio correto e um incorreto.
A proposição [(p → q) q] → p não é uma tautologia, pois é falsa quando p é falsa e q é 
verdadeira. No entanto, existem muitos argumentos incorretos que tratam isso como uma tauto-
logia. Em outras palavras, eles tratam o argumento com premissas p → q e q e conclusão p como 
uma forma válida de argumento, e não é. Esse tipo de raciocínio incorreto é chamado de falácia 
da armação da conclusão.
EXEMPLO 10 O seguinte argumento é válido?
Se zer todos os exercícios deste livro, então você terá aprendido matemática discreta. Você 
aprendeu matemática discreta.
Portanto, você fez todos os exercícios deste livro.
Solução: Seja p a proposição “Você fez todos os exercícios deste livro”. Seja q a proposição 
“Você aprendeu matemática discreta”. Então este argumento é da forma: se p → q e q, então p. 
Esse é um exemplo de um argumento incorreto que usa a falácia da armação da conclusão. Pois 
é possível você aprender matemática discreta de maneira diferente sem ter de fazer todos os exer-
cícios deste livro. (Você pode aprender matemática discreta lendo, assistindo a palestras, fazendo 
muitos, mas não todos os exercícios e assim por diante.) ◄
A proposição [(p → q) p] → q não é uma tautologia, pois é falsa quando p é falsa e q é 
verdadeira. Muitos argumentos usam isso incorretamente como se fosse uma regra de inferência. 
Esse tipo de raciocínio incorreto é chamado de falácia da negação das hipóteses.
EXEMPLO 11 Sejam p e q as proposições do Exemplo 10. Se a sentença condicional p → q é verdadeira, e 
p é verdadeira, é correto concluir que q é verdadeira? Em outras palavras, é correto as-
sumir que você não aprende matemática discreta se você não fizer todos os exercícios do 
livro, assumindo que se você resolver todos os problemas do livro, então você terá aprendido 
matemática discreta?
Solução: É possível que você aprenda matemática discreta mesmo que você não faça todos os 
exercícios do livro. Esse argumento incorreto é da forma p → q e p implica q, que é um 
exemplo de falácia da negação das hipóteses. ◄
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1-69 1.5 Regras de Inferência 69
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Parte 3
Argumentos e Regras 
de Inferência
LÓGICA MATEMÁTICA 138
1.5 Regras de Inferência 
Introdução
Mais adiante, neste capítulo, vamos estudar demonstrações. Demonstrações em matemática são 
argumentos válidos que estabelecem a veracidade das sentenças matemáticas. Por um argumen-
to, entendemos uma seqüência de sentenças que terminam com uma conclusão e, por válido, que 
uma conclusão, ou a sentença nal do argumento, deve seguir o valor-verdade das sentenças 
precedentes, ou premissas, do argumento. Ou seja, um argumento é válido se e somente se for 
impossível que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa. Para deduzir novas 
sentenças de sentenças que já temos, usamos regras de inferência, as quais são moldes para cons-
trução de argumentos válidos. Regras de inferência são nossas ferramentas básicas para o estabe-
lecimento do valor-verdade das sentenças.
Antes de estudarmos demonstrações matemáticas, vamos olhar para argumentos que envol-
vem apenas proposições compostas. Vamos denir o que signica um argumento ser válido quan-
do envolve proposições compostas. Então, vamos introduzir um conjunto de regras de inferência 
de lógica proposicional. Essas regras de inferência são o mais importante ingrediente na produ-
ção de argumentos válidos. Depois de ilustrar como as regras de inferência são utilizadas para 
produzir argumentos válidos, vamos descrever algumas formas comuns de raciocínio incorreto, 
chamadas de falácias, que nos levam a argumentos inválidos.
Depois de estudar as regras de inferência em lógica proposicional, vamos introduzir regras 
de inferência para sentenças quanticadas. Vamos descrever como essas regras de inferência 
podem ser utilizadas para produzir argumentos válidos. Essas regras de inferência para sentenças 
que envolvem quanticadores universal e existencial representam importante papel em demons-
trações em ciência da computação e matemática, embora elas sejam sempre utilizadas sem serem 
explicitamente mencionadas.
Finalmente, vamos mostrarcomo regras de inferência para sentenças proposicionais e quan-
ticacionais podem ser combinadas. Essas combinações são freqüentemente utilizadas em argu-
mentos complicados.
Argumentos Válidos em Lógica Proposicional
Considere o seguinte argumento que envolve proposições (o qual, por denição, é uma seqüência 
de proposições):
“Se você tem uma senha atualizada, então você pode entrar na rede.”
“Você tem uma senha atualizada.”
Portanto,
“Você pode entrar na rede.”
Gostaríamos de determinar quando este argumento é válido. Ou seja, gostaríamos de deter-
minar se a conclusão “Você pode entrar na rede” deve ser verdadeira quando as premissas “Se 
você tem uma senha atualizada, então você pode entrar na rede” e “Você tem uma senha atuali-
zada” também forem ambas verdadeiras.
Antes de discutir a validade deste argumento particular, vamos olhar para sua forma. Use p 
para representar “Você tem uma senha atualizada” e q para representar “Você pode entrar na 
rede”. Então, o argumento tem a forma
 p → q
 p
 q
em que é o símbolo para indicar “portanto”.
1-63 1.5 Regras de Inferência 63
139 Argumentação UNIDADE 4
 Argumentos e Regras de Inferência PARTE 364 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-64
Sabemos que se p e q são variáveis proposicionais, a sentença ((p → q) p) → q é uma tau-
tologia (veja o Exercício 10(c) na Seção 1.2). Em particular, quando ambos p → q e p são verda-
deiras, sabemos que q também deve ser. Dizemos que essa é uma forma válida de argumento 
porque sempre que todas as suas premissas (todas as sentenças do argumento, a não ser a última, 
a conclusão) são verdadeiras, a conclusão também deve ser. Agora suponha que ambas “Se você 
tem uma senha atualizada, então você pode entrar na rede” e “Você tem uma senha atualizada” 
são sentenças verdadeiras. Quando trocamos p por “Você tem uma senha atualizada” e q por 
“Você pode entrar na rede”, segue necessariamente que a conclusão “Você pode entrar na rede” é 
verdadeira. Esse argumento é válido porque está na forma válida. Note que sempre que substituir-
mos p e q por proposições em que p → q e p são verdadeiras, então q deve ser verdadeira.
O que acontece quando substituímos p e q nessa forma de argumento por proposições tal que 
p e p → q não são ambas verdadeiras? Por exemplo, suponha que p represente “Você tem acesso 
à rede” e q represente “Você pode mudar suas notas” e p seja verdadeira, mas p → q seja falsa. O 
argumento que obtemos substituindo esses valores de p e q na forma do argumento anterior é:
 “Se você tem acesso à rede, então você pode mudar suas notas.”
 “Você tem acesso à rede.”
 “Você pode mudar suas notas.”
O argumento obtido é um argumento válido, mas, como uma das premissas, chamada de primei-
ra premissa, é falsa, não podemos decidir se a conclusão é verdadeira. (Mas parece que essa 
conclusão é falsa.)
Em nossa discussão, para analisar um argumento, substituímos as proposições por variáveis 
proposicionais. Isso transforma um argumento em uma forma de argumento. Dizemos que a vali-
dade de um argumento segue a validade da forma do argumento. Resumimos a terminologia utili-
zada para discutir a validade de argumentos com nossa denição dessas noções importantes.
DEFINIÇÃO 1 Um argumento em lógica proposicional é uma seqüência de proposições. Todas, menos a 
última das proposições, são chamadas de premissas, e a última é chamada de conclusão. Um 
argumento é válido se a veracidade das premissas implica que a conclusão seja verdadeira.
 Uma forma de argumento em lógica proposicional é a seqüência de proposições compostas 
que envolvem variáveis proposicionais. Uma forma de argumento é válida quaisquer que 
sejam as proposições substituídas nas variáveis proposicionais em suas sentenças; a conclu-
são é verdadeira se as premissas forem todas verdadeiras.
Da denição de forma de argumento válida, vemos que uma forma de argumento com premis-
sas p1, p2, p3, ... , pn e conclusão q é válida, quando (p1 p2 ... pn) → q é uma tautologia.
A chave para mostrar que um argumento na lógica proposicional é válido é mostrar que 
sua forma de argumento é válida. Conseqüentemente, gostaríamos de ter técnicas para mos-
trar que formas de argumentos são válidas. Vamos agora desenvolver métodos para alcançar 
esse objetivo.
Regras de Inferência para Lógica Proposicional
Podemos sempre usar uma tabela-verdade para mostrar que uma forma de argumento é válida. 
Fazemos isso mostrando que sempre que as premissas são verdadeiras, a conclusão deve ser 
verdadeira também. No entanto, esse pode ser um modo um pouco tedioso. Por exemplo, quando 
uma forma de argumento envolve 10 variáveis proposicionais diferentes, usar uma tabela-verda-
de para mostrar que esse argumento é válido requer 210 1.024 linhas diferentes. Felizmente, não 
LÓGICA MATEMÁTICA 140
precisamos sempre recorrer às tabelas-verdade. Em vez disso, podemos estabelecer a validade de 
algumas formas de argumento relativamente simples, chamadas de regras de inferência. Essas 
regras de inferência podem ser utilizadas como tijolos para construir formas de argumento váli-
das mais complicadas. Vamos agora introduzir a mais importante das regras de inferência na ló-
gica proposicional.
A tautologia (p (p → q)) → q é a base da regra de inferência chamada de modus ponens, 
ou propriedade de destacamento. (Modus ponens, em latim, signica modo que arma.) Essa 
tautologia nos leva à seguinte forma de argumento válida, que já foi vista na nossa discussão 
sobre argumentos (em que, como antes, o é o símbolo para indicar “portanto”):
 p
 p → q
 q
Usando essa notação, as hipóteses são escritas em colunas, seguidas por uma barra horizontal, 
seguida por uma linha que começa com o símbolo “portanto” e termina com a conclusão. Em 
particular, modus ponens nos diz que se uma sentença condicional e a hipótese dessa sentença 
condicional são verdadeiras, então a conclusão também deve ser verdadeira. O Exemplo 1 ilustra 
o uso do modus ponens.
EXEMPLO 1 Suponha que a sentença condicional “Se nevar hoje, então eu vou esquiar” e sua hipótese “Está 
nevando hoje” são verdadeiras. Então, por modus ponens, segue que a conclusão do condicional 
“Vou esquiar” é verdadeira. ◄
Como mencionado anteriormente, um argumento válido pode nos levar a uma conclusão incor-
reta se uma ou mais de suas premissas são falsas. Ilustramos isso, novamente, no Exemplo 2.
EXEMPLO 2 Determine se o argumento dado aqui é válido e se sua conclusão deve ser verdadeira apenas pela 
validade do argumento.
“Se 2 3
2 , então 2
2 3
2
2
. Sabemos que 2 3
2 . Conseqüentemente,
2 2
2 3
2
2 9
4 . ”
Solução: Seja p a proposição “ 2 3
2 ” e q a proposição “ 2 3
2
2
”. As premissas do argumen-
to são p → q e p, e q é a conclusão. Esse argumento é válido, pois é construído de acordo com 
modus ponens, uma forma válida de argumento. No entanto, uma de suas premissas, 2 3
2 , é 
falsa. Conseqüentemente, não podemos deduzir que a conclusão seja verdadeira. Nesse caso, 
notamos que a conclusão é falsa, pois 2 9
4 . ◄
A Tabela 1 lista as mais importantes regras de inferência para a lógica proposicional. Os 
exercícios 9, 10, 15 e 30 na Seção 1.2 pedem vericações de que essas regras de inferência são 
formas válidas de argumento. Agora daremos exemplos de argumentos que usam essas regras de 
inferência. Em cada argumento, primeiro usaremos variáveis proposicionais para expressar as 
proposições no argumento. Depois, mostraremos que a forma resultante de argumento é uma re-
gra da Tabela 1.
EXEMPLO 3 Diga qual regra de inferência é a base do seguinte argumento: “Está esfriando agora. Portanto, 
está esfriando ou chovendo agora”.
1-65 1.5 Regras de Inferência 65
141 Argumentação UNIDADE 4
 Argumentos e Regrasde Inferência PARTE 366 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-66
TABELA 1 Regras de Inferência.
Regra de Inferência Tautologia Nome
 p
 p → q
 q
[p (p → q)] → q Modus ponens
 q
 p → q
 p
[ q (p → q)] → p Modus tollens
 p → q
 q → r
 p → r
[(p → q) (q → r)] → (p → r) Silogismo hipotético
 p q
 p
 q
[(p q) p] → q Silogismo disjuntivo
 p
 p q
p → (p q) Adição
 p q
p
(p q) → p Simplicação
 p
 q
 p q
[(p) (q)] → (p q) Conjunção
 p q
 p r
 q r
[(p q) ( p r)] → (q r) Resolução
Solução: Seja p a proposição “Está esfriando agora” e q a proposição “Está chovendo agora”. 
Então esse argumento é da forma 
 p
p q
Esse é um argumento que usa a regra da adição. ◄
EXEMPLO 4 Diga qual regra de inferência é a base do seguinte argumento: “Está esfriando e chovendo agora. 
Portanto, está esfriando agora”.
Solução: Seja p a proposição “Está esfriando agora” e q a proposição “Está chovendo agora”. 
Então, esse argumento é da forma 
 p q
p
Esse é um argumento que usa a regra da simplicação. ◄
LÓGICA MATEMÁTICA 142
EXEMPLO 5 Diga qual regra de inferência é a base do seguinte argumento: 
“Se chover, então não haverá churrasco hoje. Se não houver churrasco hoje, haverá amanhã. 
Portanto, se chover hoje, então haverá churrasco amanhã.”
Solução: Seja p a proposição “Está chovendo hoje”, q a proposição “Não terá churrasco hoje” e 
r a proposição “Terá churrasco amanhã”. Então esse argumento é da forma
 p → q
 q → r
 p → r
Logo, esse argumento é um silogismo hipotético. ◄
Usando Regras de Inferência para Construir Argumentos
Quando existem muitas premissas, muitas regras de inferência são freqüentemente necessárias 
para mostrar que um argumento é válido. Isso é ilustrado nos exemplos 6 e 7, onde os passos do 
argumento são dispostos em linhas separadas, com a razão para cada passo explicitamente colo-
cada ao lado. Esses exemplos também mostram como argumentos em português podem ser ana-
lisados por meio de regras de inferência.
EXEMPLO 6 Mostre que as hipóteses “Não está ensolarada esta tarde e está mais frio que ontem”, “Vamos 
nadar se estiver ensolarado”, “Se não formos nadar, então vamos fazer um passeio de barco” e 
“Se zermos um passeio de barco, então estaremos em casa ao anoitecer” nos levam à conclusão 
“Estaremos em casa ao anoitecer”.
Solução: Seja p a proposição “Está ensolarada esta tarde”, q a proposição “Está mais frio que on-
tem”, r a proposição “Vamos nadar”, s a proposição “Vamos fazer um passeio de barco” e t a pro-
posição “Estaremos em casa ao anoitecer”. Então, as hipóteses se tornam p q, r → p, r → s, 
e s → t e a conclusão é simplesmente t.
Construímos um argumento para mostrar que nossas hipóteses nos levam à conclusão como 
se segue.
Passo Razão
1. p q Hipótese
2. p Simplicação usando (1)
3. r → p Hipótese
4. r Modus tollens usando (2) e (3)
5. r → s Hipótese
6. s Modus ponens usando (4) e (5)
7. s → t Hipótese
8. t Modus ponens usando (6) e (7)
Note que poderíamos ter empregado uma tabela-verdade para mostrar que, sempre que as hipó-
teses são verdadeiras, a conclusão também será. No entanto, como estamos trabalhando com 
cinco variáveis proposicionais (p, q, r, s e t ), essa tabela teria 32 linhas. ◄
EXEMPLO 7 Mostre que as hipóteses “Se você me mandar um e-mail, então eu terminarei o programa”, 
“Se você não me mandar um e-mail, então vou dormir cedo” e “Se eu dormir cedo, então 
Exemplos
Extras
1-67 1.5 Regras de Inferência 67
143 Argumentação UNIDADE 4
 Argumentos e Regras de Inferência PARTE 368 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-68
acordarei sentindo-me bem” nos levam à conclusão “Se eu não terminar o programa, então eu 
acordarei sentindo-me bem”.
Solução: Seja p a proposição “Você me manda um e-mail”, q a proposição “Eu terminarei o pro-
grama”, r a proposição “Eu vou dormir cedo” e s a proposição “Eu acordarei sentindo-me bem”. 
Então as hipóteses são p → q, p → r e r → s. A conclusão desejada é q → s. Temos de dar 
um argumento válido com as hipóteses p → q, p → r e r → s e a conclusão q → s.
Essa forma de argumento mostra que as hipóteses nos levam à conclusão desejada.
Passo Razão
1. p → q Hipótese
2. q → p Contrapositiva de (1)
3. p → r Hipótese
4. q → r Silogismo hipotético usando (2) e (3)
5. r → s Hipótese
6. q → s Silogismo hipotético usando (4) e (5) ◄
Resolução
Programas de computador têm sido desenvolvidos para automatizar a tarefa de raciocinar e for-
necer teoremas. Muitos desses programas fazem uso da regra de inferência conhecida como re-
solução. Essa regra de inferência baseia-se na tautologia
(( p q) ( p r)) → (q r).
(A vericação de que essa sentença é uma tautologia foi pedida no Exercício 30 na Seção 1.2.) A 
disjunção nal da regra, q r, é chamada de resolvente. Quando q r na tautologia, obtemos 
(p q) ( p q) → q. Além disso, quando r F, obtemos ( p q) ( p) → q (porque q F q), 
que é a tautologia na qual está fundamentada a regra do silogismo disjuntivo.
EXEMPLO 8 Use a resolução para mostrar que as hipóteses “Jasmim está esquiando ou não está nevando” e 
“Está nevando ou José está jogando futebol” implica que “Jasmim está esquiando ou José está 
jogando futebol”.
Solução: Seja p a proposição “Está nevando”, q a proposição “Jasmim está esquiando”, e r a 
proposição “José está jogando futebol”. Podemos representar as hipóteses por p q e p r, 
respectivamente. Usando resolução, a proposição q r, “Jasmim está esquiando ou José está 
jogando futebol”, pode ser concluída. ◄
A resolução tem um importante papel em linguagens de programação fundamentadas nas 
regras da lógica, como Prolog (onde as regras de resolução para sentenças quanticadas são apli-
cadas). Além disso, pode ser utilizada para construir sistemas que provêm teoremas automatica-
mente. Para construir demonstrações em lógica proposicional usando resolução como a única 
regra de inferência, as hipóteses e a conclusão devem ser expressas como cláusulas, em que uma 
cláusula é uma disjunção de variáveis ou das negações dessas variáveis. Podemos substituir uma 
sentença em lógica proposicional que não é uma cláusula por uma ou mais sentenças equivalen-
tes que são cláusulas. Por exemplo, suponha que tenhamos uma sentença da forma p (q r). 
Como p (q r) (p q) (p r), podemos substituir a sentença p (q r) por duas sentenças 
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Parte 4
Regras de Inferência para 
Proposições Quantificadas
LÓGICA MATEMÁTICA 146
70 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-70
Regras de Inferência para Sentenças Quantificadas
Discutimos regras de inferência para proposições. Vamos agora descrever algumas regras impor-
tantes de inferência para sentenças que envolvem quanticadores. Essas regras de inferência são 
usadas extensivamente em argumentos matemáticos, freqüentemente sem menção explícita. 
Instanciação universal é a regra de inferência usada para concluir que P (c) é verdadeira, em 
que c é um elemento particular do domínio, quando é dada a premissa xP (x). A instanciação 
universal é usada quando concluímos da sentença “Todas as mulheres são discretas” que “Maria 
é discreta”, em que Maria é um elemento do domínio das mulheres.
Generalização universal é a regra de inferência que diz que xP (x) é verdadeira, dada como 
premissa que P (c) é verdadeira para todos os elementos c do domínio. A generalização universal 
é usada quando mostramos que x P (x) é verdadeira tomando um elemento arbitrário c do domí-
nio e mostrando que P(c) é verdadeira. O elemento c que selecionamos deve ser um elemento do 
domínio arbitrário, e não um especíco. Ou seja, quando concluímos de xP (x) aexistência de 
um elemento c no domínio, temos o controle sobre c e não podemos fazer nenhuma outra conclu-
são sobre c que não seja pertencente ao domínio. A generalização universal é usada implicitamen-
te em muitas demonstrações e é raro ser mencionada explicitamente. No entanto, o erro de fazer 
conclusões sem garantia sobre um elemento arbitrário c quando a generalização universal é usada 
é também comum em raciocínios incorretos.
Instanciação existencial é a regra que nos permite concluir que existe um elemento c no 
domínio para o qual P (c) é verdadeira se sabemos que xP (x) é verdadeira. Não podemos sele-
cionar um valor arbitrário de c aqui, mas deve ser um c para o qual P (c) é verdadeira. Usualmen-
te não temos conhecimento sobre qual c é, apenas que ele existe. Como ele existe, podemos lhe 
dar um nome (c) e continuar nosso argumento.
Generalização existencial é a regra de inferência que é usada para concluir que xP (x) é verda-
deira quando um elemento particular c com P (c) verdadeira é conhecido. Ou seja, se conhecemos um 
elemento c no domínio para o qual P (c) é verdadeira, então sabemos que xP (x) é verdadeira.
Resumimos essas regras de inferência na Tabela 2. Vamos ilustrar como uma dessas regras 
de inferência para sentenças quanticadas é usada no Exemplo 12.
EXEMPLO 12 Mostre que as premissas “Todos os alunos da classe de matemática discreta estão tendo um curso 
de ciência da computação” e “Maria é uma estudante dessa classe” implica a conclusão “Maria 
está freqüentando um curso de ciência da computação”.
TABELA 2 Regras de Inferência para Sentenças Quanticadas.
Regra de Inferência Nome
xP (x)
 P (c)
Instanciação universal
P (c) para um c arbitrário
 xP (x)
Generalização universal
xP (x)
 P (c) para algum elemento c
Instanciação existencial
P (c) para algum elemento c
 xP (x)
Generalização existencial
147 Argumentação UNIDADE 4
 Regras de Inferência para Proposições Quantificadas PARTE 4
Solução: Seja D (x) a sentença “x está na classe de matemática discreta” e seja C (x) a sentença “x 
está freqüentando um curso de ciência da computação.” Então, as premissas são x (D (x) → C (x)) 
e D (Maria). E a conclusão é C (Maria).
Os seguintes passos podem ser utilizados para estabelecer a conclusão a partir das premissas.
Passo Razão
1. x (D (x) → C (x)) Premissa
2. D (Maria) → C (Maria) Instanciação Universal de (1)
3. D (Maria) Premissa
4. C (Maria) Modus ponens a partir de (2) e (3) ◄
EXEMPLO 13 Mostre que as premissas “Um estudante desta classe não tem lido o livro” e “Todos nesta classe 
passaram no primeiro exame” implica a conclusão “Alguém passou no primeiro exame sem ter 
lido o livro”.
Solução: Sejam C (x) a sentença “x está nesta classe”, B (x) a sentença “x não tem lido o livro” e 
P (x) a sentença “x passou no primeiro exame”. As premissas são x(C (x) B (x)) e x (C (x) → 
P (x)). A conclusão é x (P(x) B (x)). Estes passos podem ser utilizados para estabelecer a 
conclusão a partir das premissas.
Passo Razão
1. x (C(x) B (x)) Premissa
2. C (a) B (a) Instanciação existencial a partir de (1)
3. C (a) Simplicação a partir de (2)
4. x(C (x) → P (x)) Premissa
5. C (a) → P (a) Instanciação universal a partir de (4)
6. P (a) Modus ponens a partir (3) e (5)
7. B (a) Simplicação a partir de (2)
8. P (a) B (a) Conjunção a partir de (6) e (7)
9. x (P(x) B (x)) Generalização existencial a partir de (8) ◄
Combinando Regras de Inferência para Proposições 
e Sentenças Quantificadas
Desenvolvemos regras de inferência para proposições e para sentenças quanticadas. Note que 
em nossos argumentos nos exemplos 12 e 13 usamos tanto instanciação universal, uma regra de 
inferência para sentenças quanticadas, quanto modus ponens, uma regra de inferência para a 
lógica proposicional. Vamos freqüentemente precisar usar essa combinação de regras de inferên-
cia. Como instanciação universal e modus ponens são usadas freqüentemente juntas, essa combi-
nação de regras é costumeiramente chamada de modus ponens universal. Essa regra nos diz que 
se x (P (x) → Q (x)) é verdadeira, e se P (a) é verdadeira para algum elemento particular a no 
domínio do quanticador universal, então Q (a) deve ser verdadeira. Para ver isso, note que, por 
instanciação universal, P (a) → Q (a) é verdadeira. Então, por modus ponens, Q (a) deve também 
ser verdadeira. Podemos descrever o modus ponens universal como se segue:
x(P (x) → Q (x))
 P (a), em que a é um elemento particular do domínio
 Q (a)
O modus ponens universal é comumente usado em argumentos matemáticos. Isso é ilustrado 
no Exemplo 14.
EXEMPLO 14 Assuma que “Para todo inteiro positivo n, se n é maior que 4, então n2 é menor que 2n” é verda-
deira. Use o modus ponens universal para mostrar que 1002 < 2100.
Exemplos
Extras
1-71 1.5 Regras de Inferência 71
LÓGICA MATEMÁTICA 148
72 1 / Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações 1-72
Solução: Seja P (n) a sentença “n > 4” e Q (n) a sentença “n2 < 2n ”. A sentença “Para todo intei-
ro positivo n, se n é maior que 4, então n2 é menor que 2n” pode ser representada por n(P(n) → 
Q (n)), em que o domínio consiste em todos os inteiros positivos. Estamos assumindo que n (P(n) 
→ Q(n)) é verdadeira. Note que P (100) é verdadeira, pois 100 > 4. Então segue por modus po-
nens universal que Q (n) é verdadeira, explicitamente 1002 < 2100. ◄
Outra combinação muito utilizada de regra de inferência para lógica com uma regra de infe-
rência para sentenças quanticadas é o modus tollens universal. Modus tollens universal combi-
na a instanciação universal e o modus tollens e pode ser expresso por:
x(P (x) → Q (x))
Q (a), em que a é um elemento particular no domínio
P (a)
Deixamos a vericação do modus tollens universal para o leitor (veja o Exercício 25). O 
Exercício 26 desenvolve combinações adicionais de regras de inferência na lógica proposicional 
e sentenças quanticadas.
Exercícios
1. Encontre a forma de argumento para o argumento dado e
determine se é válido. Podemos inferir que a conclusão é
verdadeira se as premissas forem verdadeiras?
Se Sócrates é humano, então Sócrates é mortal.
Sócrates é humano.
 Sócrates é mortal.
2. Encontre a forma de argumento para o argumento dado e
determine se é válido. Podemos inferir que a conclusão é 
verdadeira se as premissas forem verdadeiras?
Se George não tem oito patas, então ele não é um 
inseto.
George é um inseto.
 George tem oito patas.
3. Qual a regra de inferência usada em cada um dos argumentos
abaixo?
a) Alice é graduada em matemática. Por isso, Alice é
graduada ou em matemática ou em ciência da compu-
tação. 
b) Jerry é um graduado em matemática e em ciência da
computação. Por isso, Jerry é um graduado em mate-
mática.
c) Se o dia estiver chuvoso, então a piscina estará fechada.
O dia está chuvoso. Por isso, a piscina está fechada.
d) Se nevar hoje, a universidade estará fechada. A univer-
sidade não está fechada hoje. Por isso, não nevou hoje.
e) Se eu for nadar, então eu carei no sol por muito tempo.
Se eu car no sol por muito tempo, então eu me queima-
rei. Por isso, se eu for nadar, eu me queimarei.
4. Qual a regra de inferência utilizada em cada um dos argu-
mentos a seguir?
a) Cangurus vivem na Austrália e são marsupiais. Por isso,
cangurus são marsupiais.
b) Ou está mais quente que 100 graus hoje ou a poluição é
perigosa. Está menos de 100 graus lá fora hoje. Por isso,
a poluição é perigosa.
c) Linda é uma excelente nadadora. Se Linda é uma
excelente nadadora, então ela pode trabalhar como
salva-vidas. Por isso, Linda pode trabalhar como salva-
vidas.
d) Steve trabalhará em uma indústria de computadores
neste verão. Por isso, neste verão ele trabalhará em uma
indústria de computadores ou ele será um desocupado
na praia.
e) Se eu trabalhar a noite toda nesta tarefa de casa, então
posso resolver todos os exercícios. Se eu resolver todos
os exercícios, eu entenderei o material. Por isso, se eu
trabalharà noite nesta tarefa, então eu entenderei o
material.
5. Use as regras de inferência para mostrar que as hipóteses
“Randy trabalha muito”, “Se Randy trabalha muito, então
ele é um garoto estúpido” e “Se Randy é um garoto estúpido,
então ele não conseguirá o emprego” implicam a conclusão
“Randy não conseguirá o emprego”.
6. Use as regras de inferência para mostrar que as hipóteses
“Se não chove ou não tem neblina, então a competição de
vela acontecerá e a apresentação de salvamento continuará”,
“Se a competição de vela é mantida, então o troféu será
conquistado” e “O troféu não foi conquistado” implicam a
conclusão “Choveu”.
7. Quais regras de inferência são utilizadas no famoso argu-
mento abaixo?
“Todos os homens são mortais. Sócrates é um homem. Por
isso, Sócrates é mortal.”
8. Quais as regras de inferência utilizadas no argumento
abaixo? “Nenhum homem é uma ilha. Manhattan é uma
ilha. Por isso, Manhattan não é um homem.”
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