Apostila de Matemática II

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EB-003 OSTENSIVO
MATEMÁTICA II
Curso de Formação de
Marinheiros (C-FMN)
Marinha do Brasil
Escola de Aprendizes-Marinheiros de Pernambuco
2022
MATEMÁTICA II
Marinha do Brasil
Escola de Aprendizes-Marinheiros de Pernambuco
2022
FINALIDADE: Didática
REV.2
OSTENSIVO EB-003
ATO DE APROVAÇÃO
Aprovo, para emprego nas Escolas de Aprendizes-Marinheiros, a publicação EB-003
– APOSTILA DE MATEMÁTICA II - 2ª Revisão.
OLINDA, PE.
Em 9 de novembro de 2022.
ROGÉRIO ALVES RIBEIRO 
Capitão de Fragata
Comandante
Autenticado PELO ORC
Rubrica
CARIMBO DO OCR
Em____ /____ / ____
OSTENSIVO - III - REV.2
ASSINADO DIGITALMENTE
OSTENSIVO EB-003
Lista de Figuras
1.1 Transformando o inteiro em 100 centésimos . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 A parte hachurada corresponde a quarenta centésimos . . . . . . . . . . 3
1.3 Grá�co da Distância x Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Grá�co Velocidade x Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Enquete sobre o aquecimento global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Retângulo com um lado de medida �xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Plotagem dos pontos no plano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Gra�co da função y = x+ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Gra�co da função y =
3
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Gra�co da relação x = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Gra�co da função y = π +
√
5x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Gra�co da função y = −x+ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8 Interceptos nos eixos x e y da função y = π +
√
5x. . . . . . . . . . . . 21
3.1 Quadrado onde se retira quatro triângulos isóceles de catetos x . . . . . 23
3.2 Plotagem dos pontos da tabela para o gra�co da função y = x2. . . . . 25
3.3 Gra�co da função y = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Gra�co da relação y2 = x, x > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Gra�co das funções y = x2, y = x2 − 1 e y = x2 + 1. . . . . . . . . . . . 26
3.6 Gra�co das funções y = x2 − 4x+ 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7 Figura do exercício 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1 Exemplo de grá�co em colunas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Exemplo de grá�co de setores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Exemplo de grá�co de linhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Grá�co do exercício 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
OSTENSIVO -V- REV.2
OSTENSIVO EB-003
4.5 Escolaridade dos jogadores futebol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.6 Porcentagem de reclamações sobre os tipos de poluição nas cidades X,
Y e Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.7 Extensão do gelo marítimo anual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.8 Naufrágios no SINAU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.9 Percentual de imunização à gripe A-H1N1 em categorias. . . . . . . . . 45
4.10 Participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro. . . . . . . . . 46
4.11 Produção brasileira de trigo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.12 Taxa de desemprego em SP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.13 Evolução do total de vendas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.14 Quantidade de litros de água para procução de alimentos. . . . . . . . . 48
4.15 Variação do IPCA.Disponível em: http://www.ibge.gov.br. Acesso em: 05 jul. 2008 (adaptado). . . . 48
4.16 Gasto militar americano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.17 Produção com ovos de páscoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1 Conjunto de dados (x1,y1), (xa,ya) e (x2,y2). . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 Triângulos semelhantes formado pelo conjunto de dados (x1,y1), (xa,ya)
e (x2,y2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Grá�co da temperatura pelo tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1 Árvores em escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.2 Desenho da aeronave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3 Poltronas do setor três. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4 Sombra de um prédio e uma pessoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.5 Polias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.6 Dimensões de uma fragata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.7 Palitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.8 Figura do exercício 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.9 Figura do exercício 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.10 Figura do exercício 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.11 Desenho ilustrativo fora de Escala. . . . . . . . . . . . . . 73
6.12 Grá�cos de f(x) e g(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.13 Grá�co de f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
OSTENSIVO -VI- REV.2
http://www.ibge.gov.br
OSTENSIVO EB-003
6.14 Grá�co do exercício 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.15 Figura do exercício 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.16 Grá�co da parábola y = x2 − x− 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.17 Resultado de coleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.18 Dados sobre a preferência de curso técnico. . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.19 Altura dos atletas. FONTE: Brasil escola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.20 Crescimento da indústria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.21 População em relação ao tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.22 Quantidade de bactérias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.23 Cotação do dólar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.24 Quantidade anual de tratores fabricados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.25 Variação da velocidade de um automóvel preso em um congestionamento. 86
6.26 Escala de IDHM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.27 IDHM das cidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.28 Grá�co dos números de pontos e grati�cação. . . . . . . . . . . . . . . 89
6.29 Grá�co da quantidade de um medicamento a ser tomado em função do
peso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.30 Preço da mercadoria pela quantidade de unidades compradas. . . . . . 90
7.1 Grá�co da função v = −2t+ 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.2 Grá�co da função r = −5− 6s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.3 Grá�co da função P = 40 + 2x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4 Grá�co da função y = x/3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.5 Grá�co da função y = −πx−
√
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.6 Grá�co da função 2y + 3x− 4 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.7 Grá�co da função y =
−3x+ 2
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.8 Grá�co da função y = −3x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.9 Grá�co das funções y = 2x, y = 2x+ 2 e y = 2x− 2. . . . . . . . . . . 105
7.10 Grá�co das funções y = −3x, y = −3x+ 3 e y = −3x− 3. . . . . . . . 106
7.11 Grá�co da função y = x2 − 6x+ 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.12 Grá�co da função y = 5x2 − 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.13 Grá�co da função y = −2x2 − 4x− 2. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 110
OSTENSIVO -VII- REV.2
OSTENSIVO EB-003
7.14 Grá�co da função y = −2x2 − 4x− 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.15 Tanque com duas torneiras depois de uma hora . . . . . . . . . . . . . 120
7.16 Tanque com duas torneiras e um ralo depois de uma hora . . . . . . . . 121
7.17 Desenho da aeronave numa folha em posição retrato . . . . . . . . . . . 123
7.18 Desenho da aeronave numa folha em posição paisagem . . . . . . . . . 123
7.19 Figura do exercício 23b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
OSTENSIVO -VIII- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Lista de Tabelas
1.1 Distância x Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Velocidade x Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Agrupando as grandezas da mesma espécie por colunas . . . . . . . . . 7
1.4 Agrupando os valores por linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Agrupando as grandezas da mesma espécie por colunas . . . . . . . . . 7
1.6 Agrupando os valores por linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1 Tabela para a função y = x+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Tabela de pontos para o grá�co da função y = x2. . . . . . . . . . . . . 24
4.1 Tabela de frequência das notas obtidas no exemplo 4.1.1. . . . . . . . . 34
4.2 Tabela de notas de Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Tabela da receita bruta anual das microempresas. . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Tabelade avaliações de uma aluna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5 Tabela dos salários. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.6 Tabela horas extras dos funcionários. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.7 Tabela de preços dos sucos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.8 Medições das temperaturas em �. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.9 Cotação mensal do ovo extra branco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.10 Emissão de dióxido de carbono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.11 Potência e tempo efetivo de uso diário de cada aparelho doméstico. . . 43
4.12 Percentual de medalhistas de ouro por região. . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1 Correspondência entre escala Celsius e escala Fahrenheit. . . . . . . . . 53
5.2 Conjunto de dados entre escala Celsius e escala Fahrenheit. . . . . . . . 53
5.3 Correspondência entre os valores das grandezas A e B. . . . . . . . . . 53
5.4 Correspondência entre os valores das grandezas A e B. . . . . . . . . . 54
OSTENSIVO -IX- REV.2
OSTENSIVO EB-003
5.5 Volume de bactérias por hora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.6 Deslocamento em relação ao tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.7 Valores de x e f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1 Retenção de luminosidade das películas fumês. . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Fluxo de entrada e saída dos sistemas de água. . . . . . . . . . . . . . . 65
6.3 Classi�cação dos intervalos de temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.4 Dados da entrevista sobre ganhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.5 Distribuição de salários de uma empresa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.6 Notas dos testes físicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.7 Quantidade de pessoas que compraram ingressos antecipados. . . . . . 84
6.8 Quantidade de funcionários que possuem determinado salário. . . . . . 85
6.9 Quantidade de sapatos dos candidatos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.10 Salários dos funcionários das classes A, B e C. . . . . . . . . . . . . . . 87
6.11 Notas dos alunos na prova de Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.12 Expectativa de vida ao nascer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.1 Tabela da receita bruta anual, com a média anual, das microempresas. 113
7.2 Tabela das médias saláriais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
OSTENSIVO -X- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Sumário
Páginas
Folha de rosto i
Ato de aprovação iii
Lista de Figuras v
Lista de Tabelas ix
Sumário xi
Capítulo 1 - Razões e proporções 1
1.1 Razões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Grandezas Diretas e Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Problemas de Regras de Três . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Capítulo 2 - Função de 1ºGrau 15
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 De�nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Grá�co de uma Função do 1º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Raiz e Intercepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Capítulo 3 - Função do 2º grau 23
OSTENSIVO -XI- REV.2
OSTENSIVO EB-003
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 De�nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Grá�co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Raiz e Intercepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Soma e Produto das Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6 Vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Capítulo 4 - Gráficos estatísticos 33
4.1 Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Moda e Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Grá�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.1 Grá�cos de Coluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Grá�cos de Setores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5 Grá�cos de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Capítulo 5 - INTERPOLAÇÃO LINEAR 51
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Interpolação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Capítulo 6 - Exercícios complementares 57
6.1 Capítulo 1 - Razões e proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Capítulo 2 - Função do 1º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3 Capítulo 3 - Função do 2º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.4 Capítulo 4 - Grá�cos estatísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.5 Capítulo 5 - Interpolação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Capítulo 7 - Resolução dos Exercícios 91
7.1 Capítulo 1 - Razões e proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 Capítulo 2 - Função Polinomial de 1º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.3 Capítulo 3 - Função polinomial de 2º grau . . . . . . . . . . . . . . . . 107
OSTENSIVO -XII- REV.2
OSTENSIVO EB-003
7.4 Capítulo 4 - Grá�cos estatísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.5 Capítulo 5 - Interpolação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.6 Capítulo 6 - Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Bibliografia 153
Índice Remissivo 155
OSTENSIVO -XIII- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Introdução
PropósitoEsta publicação tem o propósito de conteúdos da disciplina de MATEMÁTICA
II do C-FMN, construindo relações entre conceitos matemáticos e as situações do
cotidiano do trabalho marinheiro. Além disso, contribui para a padronização do
conteúdo ministrado pelos Instrutores das EAM.
Descrição
Esta publicação está dividida em 7 capítulos.
Recomendação
Prioritariamente, essa publicação destina-se à aplicação da disciplina de
MATEMÁTICA II no C-FMN.
Classificação
Esta publicação é classi�cada, de acordo com o EMA-411, Manual de Publicações
da Marinha, como Publicação da Marinha do Brasil não controlada, ostensiva, didática
e manual.
OSTENSIVO -XV- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Capítulo 1
Razões e proporções
1.1 Razões
A palavra razão tem origem no termo latino ratio. A razão entre os números a
e b, nessa ordem, é indicada pelo quociente
a
b
(ou a/b ou a : b), com b ̸= 0, isto é,
uma razão pode indicar uma divisão. O número a é chamado de antecedente e b é o
consequente. Dada uma razão
a
b
, com a ̸= 0, sua inversa é
b
a
(ou b/a ou b : a).
As razões servem para relacionar entre si os valores de uma grandeza e podem ser
operadas e simpli�cadas da mesma forma que as frações. Por exemplo, se os tempos de
serviço de dois militares forem, respectivamente, 20 anos e 15 anos, a razão entre esses
tempos, na ordem de apresentação é
20
15
, que equivale a
4
3
. Isso indica que enquanto
o primeiro militar cumpre 4 anos de serviço o outro cumpre 3, ou ainda que a cada
dois anos do primeiro corresponde 1,5 anos do segundo, ou ainda que a cada 1 ano do
primeiro correspondem 0,75 anos do segundo, correspondendo a 9 meses. Já a razão
na ordem inversa de apresentação é
15
20
, que equivale a
3
4
.
Se multiplicarmos
15
20
por
3
4
, teremos:
15
20
× 3
4
= 1. Isso signi�ca que o produto de
duas razões inversas resulta em 1.
Formalizando: dadas as razões
a
b
e
b
a
, com a ̸= 0 ̸= b, o produto entre elas será
a
b
× b
a
.
1.2 Proporções
A palavra proporção deriva da palavra latina proportione, que signi�ca relação
entre partes de uma grandeza. Uma proporção é uma igualdade entre duas razões.
OSTENSIVO -1-1- REV.2
OSTENSIVO EB-003
A igualdade
15
20
=
3
4
, por exemplo, constitui-se em uma proporção e dizemos que os
números 15 e 20 e 3 e 4 são proporcionais. A proporção entre a, b, c e d, nessa
ordem,é a igualdade
a
b
=
c
d
, com b ̸= 0 ̸= d.
Escrevendo a proporção
a
b
=
c
d
na forma a/b = c/d, os números a e d são escritos
nas extremidades (são os extremos da proporção) enquanto os números b e c são
escritos no meio (são os meios da proporção) e dizemos que a está para b assim como
c está para d. Assim, a proporção
4
6
=
8
12
pode ser escrita como 4 : 6 = 8 : 12 (ou
4/6 = 8/12). Podemos observar que, na proporção 4 : 6 = 8 : 12, o produto dos
extremos (4 × 12) é igual ao produto produto dos meios (6 × 8). Generalizando, se
tivermos a proporção a/b = c/d, teremos a×d = b×c. Essa igualdade entre produtos é
denominada propriedade (ou princípio) fundamental das proporções. Podemos
ver uma aplicação da propriedade fundamental na seguinte situação: suponhamos, por
exemplo, que em um determinado momento do dia a razão entre a sombra de um
marinheiro e a medida de sua altura seja 3/2. Se a altura do militar for 1,80 m, o
comprimento de sua sombra S seria determinado resolvendo a proporção
3
2
=
S
1,8
.
Essa expressão pode ser resolvida aplicando a propriedade fundamental da proporção:
2 × S = 3 × 1,80, o que leva a 2S = 5,40. Logo, nessas condições, o comprimento da
sombra seria 2,70 m.
1.3 Porcentagem
Retornemos à representação fracionária de um inteiro dividido em 100 partes (�gura
1.1), gerando a representação geométrica de quarenta centésimos (40/100 ou 0,40)
(�gura 1.2).
Figura 1.1: Transformando o inteiro em 100 centésimos
OSTENSIVO -1-2- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Figura 1.2: A parte hachurada corresponde a quarenta centésimos
A forma 40/100 corresponde a uma razão centesimal, que também é representada
na forma 40%. Uma porcentagem corresponde a uma razão centesimal, ou seja, uma
razão que tem como consequente o número 100.
Exemplo 1.3.1.
1. 24/100;
2. 125 : 100;
3.
4
100
.
Razões centesimais também podem ser representadas na forma de percentuais,
utilizando o símbolo %. Os exemplos acima �cam: 24%, 125% e 4%.
Essas razões centesimais, também são chamadas de taxas percentuais (ou
porcentagem), podem ser expressas na forma de número decimal.
Os exemplos acima �cam: 0,24; 1,25 e 0,04.
Para calcular uma porcentagem de uma quantidade, basta fazer uma multiplicação
seguida de uma divisão. Calcular, por exemplo, 24% de R$ 20.000,00. Isso corresponde
a
24
100
× 20.000,00 = 4.800,00.
Isso quer dizer que 24% de R$ 20.000,00 valem R$ 4.800,00. Neste caso, o valor
24% também é chamado de alíquota. Outra forma de realizar esse cálculo é fazer a
seguinte multiplicação:
0,24× 20.000 = 4.800.
1.4 Escalas
Ao confeccionar um mapa, por exemplo, reproduzimos uma determinada �gura de
forma reduzida, mas isso não é feito aleatoriamente. Nesse caso busca-se manter a
OSTENSIVO -1-3- REV.2
OSTENSIVO EB-003
proporção entre o objeto reproduzido e a sua �gura no mapa. O número que expressa
numericamente essa redução é uma escala.
Por exemplo, se a escala de um mapa é 1 : 4.000, cada centímetro no mapa
representa 4.000 centímetros do objeto real. Essa proporção é, portanto, 1 para 4.000.
Essa escala é uma escala numérica, por utilizar números e é apresentada na forma de
uma razão. Assim, podemos fazer a seguinte representação para o cálculo da escala:
E =
d
R
.
Nesse caso, E representa o valor da escala, d amedida no mapa e R é amedida
do objeto real.
Se, por exemplo, a distância real entre duas cidades é 120 km e a distância entre
elas no mapa é 6 cm, então a escala de produção desse mapa será
E =
6 cm
120 km
=
6 cm
12.000.000 cm
=
6
12.000.000
.
Simpli�cando a fração, temos que a escala é 1 : 2.000.000.
1.5 Grandezas Diretas e Inversas
Observe a tabela a seguir (tabela 1.1). Ela relaciona o tempo necessário para
percorrer determinada distância com velocidade constante.
Distância percorrida em metros 35 70 105 210 315
Tempo de percurso em segundos 1 2 3 6 9
Tabela 1.1: Distância x Tempo
Conforme a distância é multiplicada (por 2, 3, 6, 9) o tempo é multiplicado pelo
mesmo valor que multiplicou a distância (por 2, 3, 6, 9), ou seja, o que ocorre com uma
grandeza ocorre também com a outra. Dizemos então que neste exemplo a distância
percorrida e o tempo de percurso são diretamente proporcionais (dp).
Duas grandezas são dp quando, ao multiplicar (ou dividir) o valor de uma delas
por um número diferente de zero, o valor da outra é multiplicado (ou dividido) por
esse número. Outra forma de dizer isso é a�rmar que a razão entre os valores de
OSTENSIVO -1-4- REV.2
OSTENSIVO EB-003
uma grandeza e os seus correspondentes da outra grandeza fornecem um quociente
constante.
Na tabela anterior,
35
1
=
70
2
=
105
3
=
210
6
=
315
9
. Existe uma constante na
proporção, denominada constante de proporcionalidade. Nesse caso ela vale 35 : 1.
Lançando os valores da distância percorrida e do tempo em um plano cartesiano
retangular, teríamos a �gura a seguir (�gura 1.3):
x
y
35
70
105
210
315
50
100
150
200
250
300
350
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 1.3: Grá�co da Distância x Tempo
O comportamento grá�co acima ocorre com duas grandezas que sejam diretamente
proporcionais. Quer dizer: os pontos associados aos valores correspondentes de
grandezas diretamente proporcionais �cam alinhados segundo uma reta.
Agora atente para a situação a seguir, onde as grandezas velocidade e tempo de
viagem (sem alterar a distância a percorrer) estão relacionadas.
Velocidade em km/h 5 10 20 40 80
Tempo de percurso em h 8 4 2 1 0,5
Tabela 1.2: Velocidade x Tempo
Conforme a velocidade é multiplicada (por 2, 4, 8, 16) o tempo �ca dividido pelo
mesmo valor que multiplicou a velocidade (por 2, 4, 8, 16), ouseja, a alteração de
uma grandeza ocorre de forma inversa em relação à outra. Dizemos então que neste
exemplo a velocidade e o tempo de percurso têm comportamentos inversos.
Duas grandezas são inversamente proporcionais (ip) quando, ao multiplicar
(ou dividir) o valor de uma delas por um número diferente de zero, o valor da outra
OSTENSIVO -1-5- REV.2
OSTENSIVO EB-003
é dividido (ou multiplicado) por esse mesmo número. Outra forma de dizer isso é
a�rmar o produto entre os valores de uma grandeza e os seus correspondentes da outra
grandeza é constante.
Na tabela anterior, 5 × 8 = 10 × 4 = 20 × 2 = 40 × 1 = 80 × 0,5. Existe uma
constante na proporção, denominada constante de proporcionalidade. Nesse caso
ela vale 40.
Lançando os valores da velocidade e do tempo em um plano cartesiano retangular,
teríamos a �gura a seguir (�gura 1.4):
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
Figura 1.4: Grá�co Velocidade x Tempo
O comportamento grá�co acima ocorre com duas grandezas que sejam inversamente
proporcionais. Quer dizer: os pontos associados aos valores correspondentes de
grandezas inversamente proporcionais �cam alinhados segundo um ramo de hipérbole.
1.6 Problemas de Regras de Três
Um roteiro simples para resolver exercícios de regra de três consiste no seguinte:
1. Preparar um dispositivo no qual as grandezas da mesma espécie sejam agrupadas
em colunas;
2. Identi�car se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais.
3. Escrever ordenadamente os valores das grandezas na mesma linha.
4. Escrever a proporção e resolvê-la. Lembre-se de que para aplicar a propriedade
fundamental das proporções é necessário ter uma proporção direta.
OSTENSIVO -1-6- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Exemplo 1.6.1. Como exemplo, observe o seguinte enunciado: Sabe-se que 20 laranjas
rendem 13 litros de suco. Calcule quantos litros de suco pode-se obter com 50 laranjas.
Agrupando as grandezas da mesma espécie por colunas (tabela 1.3), identi�camos
que elas são diretamente proporcionais, pois o aumento da quantidade de laranjas
acarreta aumento da quantidade de suco produzido. Essas grandezas estão em razão
direta.
Total de laranjas usadas Total de litros de suco produzido
Tabela 1.3: Agrupando as grandezas da mesma espécie por colunas
Escrevendo os valores das grandezas correspondentes na mesma linha (tabela 1.4).
Total de laranjas usadas Total de litros de suco
Quantidade inicial 20 13
Quantidade �nal 50 ?
Tabela 1.4: Agrupando os valores por linhas
Escrevemos a proporção:
20
50
=
13
x
.
Aplicando o princípio fundamental das proporções, temos: 20x = 13 × 50, que
resulta em x = 32,5. Temos então que 50 laranjas produzem 32,5 L de suco.
O exercício poderia ser resolvido de outra forma. Bastava reparar que a quantidade
�nal de laranjas é 2,5 vezes a quantidade inicial. Assim, seria necessário apenas
multiplicar os 13 L iniciais por 2,5, isto é, fazendo 13 × 2,5 = 32,5.
Observe o próximo enunciado: Lendo 12 páginas por dia, consegui ler um livro em
15 dias. Se tivesse lido 6 páginas por dia, em quanto tempo eu leria o mesmo livro?
Agrupando as grandezas da mesma espécie por colunas (tabela 1.5), identi�camos
que elas são inversamente proporcionais, pois o aumento da quantidade de páginas
lidas ao dia acarreta diminuição da quantidade de dias necessários para ler o livro.
Essas grandezas estão em razão inversa.
Número de páginas Quantidade dias necessários
lidas ao dia para ler o livro
Tabela 1.5: Agrupando as grandezas da mesma espécie por colunas
OSTENSIVO -1-7- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Escrevendo os valores das grandezas de espécies diferentes na mesma linha (tabela
1.6).
Número de páginas Quantidade dias necessários
lidas ao dia para ler o livro
Quantidade inicial 12 15
Quantidade �nal 6 ?
Tabela 1.6: Agrupando os valores por linhas
Como as grandezas estão em razão inversa, é necessário inverter uma das colunas
para poder aplicar a propriedade fundamental. A proporção �caria assim:
12
6
=
x
15
.
Aplicando a propriedade fundamental temos: 6x = 12× 15, resultando no valor de
x = 30. Temos então que reduzir para 6 o número de páginas lidas ao dia, a quantidade
de dias necessários para ler o livro aumenta para 30 dias.
O exercício poderia ser resolvido de outra forma. O livro foi lido em 15 dias mediante
a leitura de 12 páginas ao dia. Logo, o livro tem 15× 12 = 180 páginas. Ler 6 páginas
ao dia signi�ca dividir essa leitura em grupos de 6 elementos. Logo, o novo total de
dias de leitura será 180 : 6 = 30.
1.7 Exercícios
1. As razões 1/4 e 3/12 se equivalem? Elas formam uma proporção? Explique seu
pensamento de duas formas diferentes.
2. Se a razão entre os números a e b, nessa ordem (a/b), é igual a 20, determine sua
razão inversa.
3. Veri�cou-se que na embalagem de um determinado mantimento do rancho está
escrito: 500 g de �peso� líquido e 600 g de �peso� bruto.
a) Calcule a razão entre os pesos bruto e líquido.
b) Se uma embalagem do produto indicar o valor bruto de 1.260 g, qual o valor
líquido?
c) Se uma embalagem do produto indicar um valor líquido de 1.260 g, qual o
valor bruto?
OSTENSIVO -1-8- REV.2
OSTENSIVO EB-003
4. Os números 5, 4, 50 e x (x ̸= 0), na ordem, formam uma proporção. Qual é o
valor de x? Explique seu pensamento de duas formas diferentes.
5. Uma empresa tem 210 funcionários. A relação entre os totais de funcionários é
de 5 efetivos para 2 contratados.
a) Qual o total de funcionários efetivos?
b) Qual o total de funcionários contratados?
6. A cisterna de uma escola, de volume total de 6 m3, está com 1.500 L de água. A
partir desse dado e lembrando que 1 dm3 equivale a 1 L de água, calcule o que
se pede a seguir:
a) a razão entre a quantidade de água restante no reservatório e sua capacidade
total;
b) a razão entre o volume que já saiu da cisterna e o que ainda nela se encontra;
c) a razão entre o volume que já saiu da cisterna e seu volume total.
7. Em uma tabela consultada no sítio (MARINHA DO BRASIL. Marinha do
Brasil Protegendo Nossas Riquesas, Cuidando da Nossa Gente. 25
jun. 2019. Disponível em: <http://www.marinha.mil.br/>), o soldo do
Marinheiro-recruta em janeiro de 2.018 era de R$ 854,00. Para janeiro de 2.019
o soldo anunciado é de R$ 956,00. Qual o valor aproximado, com duas casas
decimais, que resulta ao dividir o antecedente pelo consequente da razão entre o
valor de janeiro de 2.019 e o de janeiro de 2.018? Se um marinheiro gastava 4/5
do valor bruto do soldo de 2.018, quantos reais sobravam? E se ele gastar 80%
de soldo bruto de 2.019, quantos reais sobrarão?
8. Durante um torneio de futebol entre os pelotões de uma EAM, um time teve 12
pênaltis assinalados a seu favor. A razão entre o total de acertos e o de cobranças
foi de 3/4.
a) Quantos pênaltis foram convertidos em gol pelo pelotão?
b) Quantos pênaltis foram desperdiçados pelo pelotão?
OSTENSIVO -1-9- REV.2
http://www.marinha.mil.br/
OSTENSIVO EB-003
9. A soma de dois números é 120 e eles estão entre si como 5 está para 7. Quais são
esses números?
10. Sabendo que x+ y = 70, determine x e y na proporção
x
y
=
10
18
.
11. Dois meninos foram colher acerolas, sendo que o primeiro colheu 1.200 frutas
em 2 h e, o segundo, 2.400 em 8 h. Quantas acerolas cada um receberá, se a
divisão for proporcional à quantidade de horas? E se a divisão for proporcional
à e�ciência de colheita?
12. (ENEM - modi�cada) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água,
equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que
utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias
sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas
Técnicas (ABNT).
a) Qual é razão entre o consumo da bacia não ecológica e o da ecológica?
b) Qual é a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia
sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga,
por uma bacia sanitária ecológica?13. Calcule
a) 25% de 600
b) 0,5% de 6
c) 35% de 800
d) 0,003% de 1.200
e) 50% de 1.234
f) 123% de 0,25
14. O valor de R$ 175,80 representa que percentual de R$ 879,00?
15. Em uma loja, uma mercadoria pode ser comprada em até três parcelas mensais
e iguais, totalizando R$ 750,00. Se a mesma mercadoria for adquirida à vista, a
loja oferece desconto de 15% sobre o total da venda parcelada. Calcule:
a) o desconto para a compra a vista em reais.
b) o preço da mercadoria com desconto.
OSTENSIVO -1-10- REV.2
OSTENSIVO EB-003
16. Escreva os seguintes números na forma de fração centesimal.
a) 0,35
b) 0,3
c) 42:10
d) 5%
e) 30/200
17. Escreva na forma de número decimal.
a) 320/400
b) 0,32/100
c) 35/700
d) 32,2%
18. Em um pelotão de uma EAM que tem 26 alunos, sabe-se que 18 deles nasceram
no estado do Rio de Janeiro. Que porcentagem de alunos desse pelotão não
nasceu no estado do Rio de Janeiro?
19. Em uma pesquisa sobre a preferência por um time de futebol, 1.260 pessoas foram
entrevistadas. Destas, 52% rejeitam o time A.
a) Quantas pessoas rejeitam o time A?
b) Quantas pessoas não rejeitam o time A?
20. José é um trabalhador isento de desconto de imposto de renda na fonte. Do
salário bruto, 11% são descontados pela previdência, 30% são depositados em
uma poupança e 35% são despendidos com a própria alimentação. Restam ainda
R$ 479,76 para outros gastos. Calcule:
a) o valor gasto com a alimentação.
b) o total recolhido pela previdência;
c) o valor depositado na poupança;
d) o salário bruto de José;
OSTENSIVO -1-11- REV.2
OSTENSIVO EB-003
21. (ENEM - adaptada) Uma enquete, realizada em março de 2.010, perguntava
aos internautas se eles acreditavam que as atividades humanas provocam o
aquecimento global. Eram três as alternativas possíveis e 279 internautas
responderam à enquete, como mostra o grá�co abaixo (�gura 1.5).
Figura 1.5: Enquete sobre o aquecimento global
Analisando os dados do grá�co, quantos internautas responderam �NÃO� à
enquete:
a) Menos de 23.
b) Mais de 23 e menos de 25.
c) Mais de 50 e menos de 75.
d) Mais de 100 e menos de 190.
e) Mais de 200.
22. Aplicar dois descontos sucessivos, de 20% e 30% respectivamente, corresponde a
um único desconto de que percentual?
23. Uma loja vende uma mercadoria para pagamento à vista por R$ 400,00 ou em
duas parcelas iguais de R$ 260,00, da seguinte forma:
� a primeira parcela no ato da compra;
� a segunda parcela paga 30 dias depois da aquisição da mercadoria.
Qual a taxa de juros mensal praticada pela loja?
OSTENSIVO -1-12- REV.2
OSTENSIVO EB-003
24. Um comerciante vendia uma mercadoria por R$ 350,00 e aumentou o preço em
30%. Em seguida, anunciou a mercadoria em promoção com 20% de desconto.
Qual o preço da mercadoria nessa promoção.
25. Se tivermos uma escala E = 1 : 100.000, cada 1 centímetro no mapa representa
quantos centímetros da �gura real?
26. Um mapa na escala 1:300.000 apresenta uma distância de 25 cm entre os centros
das cidades A e B. Qual é o valor da distância real nesse caso?
27. Considere dois mapas do Brasil. Um deles está na escala de 1/10.000.000 e o
outro na escala 1/50.000.000. Se uma distância real entre dois pontos for de
4.500 km, qual a distância representada em cada mapa?
28. Em um mapa construído em escala 1:725.000 temos a localização de uma reserva
�orestal, representada por um quadrado de lado 9 cm. Qual é a área aproximada
dessa reserva na realidade?
29. Em um determinado mapa a distância real de 10 km equivale a 5 cm sobre a
�gura. Se uma reserva tiver a forma aproximada de um quadrado cuja área é
250.000 m2, sua representação sobre o mapa terá quantos centímetros de lado?
30. Classi�que os pares de grandezas a seguir em diretas ou inversas.
( ) Valor aplicado em dinheiro em um banco e o total de rendimentos obtidos
à uma taxa constante e pré-�xada.
( ) Tempo de conclusão de uma obra e a quantidade de operários necessários
para concluí-la.
( ) Quantidade de alunos em uma EAM e o total de pães necessários para o
café da manhã.
( ) Quantidade de alunos em uma EAM e a duração do estoque de comida para
o rancho.
( ) Vazão de uma torneira e o tempo necessário para preencher um balde.
( ) Quantidade de litros de tinta para pintar uma parede e as medidas da
parede.
OSTENSIVO -1-13- REV.2
OSTENSIVO EB-003
31. Quatro trabalhadores, com aproximadamente a mesma produtividade, são
capazes de construir um muro com 32 m2 em um determinado intervalo de tempo.
Quantos trabalhadores são necessários para construir um muro de 64 m2 dentro
do mesmo tempo?
32. Se oito metros de um tecido custam R$ 345,68, qual o preço de 28 metros do
mesmo tecido? Resolva pelo menos de duas formas diferentes.
33. Vinte e cinco professores gastaram 28 dias para corrigir as provas de redação
de um vestibular. Guardando essa proporção, quantos dias setenta e cinco
professores levariam para corrigir a mesma quantidade de provas?
34. Em uma rodovia cuja velocidade máxima permitida é 110 km/h, um automóvel
com velocidade de 100 km/h gasta 25 minutos em um percurso. Se a velocidade
for reduzida para 75 km/h, quanto tempo esse veículo gastará no mesmo
percurso?
35. Cinco torneiras enchem completamente um tanque em duas horas. Se fossem seis
torneiras, quanto tempo levariam para encher o mesmo tanque?
36. A roda dianteira de um trator tem 1 m de diâmetro e a roda traseira, 1 m de
raio. Se a roda dianteira se deslocar por 1 m, em quantos metros a roda traseira
se deslocará?
37. Uma torneira despeja 60 litros de água em um tanque em 10 minutos. Quantos
litros essa mesma torneira despejaria em 25 minutos?
38. Em 30 dias em uma EAM são necessários 13.500 pães para o café da manhã dos
alunos. Quantos pães são necessários para o mês de fevereiro de um ano que não
é bissexto?
39. Resolva a situação a seguir por meio de uma regra de três simples. Com 9 tratores
de mesma capacidade de trabalho uma empresa de terraplanagem gasta 5 dias
de trabalho a 8 h diárias para concluir um aterro. Devido às atuais condições
do tempo os tratores poderão ser utilizados apenas por 6 h diárias. Em quantos
dias de trabalho sob as novas condições o mesmo aterro seria concluído por 15
tratores equivalentes aos primeiros?
OSTENSIVO -1-14- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Capítulo 2
Função Polinomial de 1º Grau
2.1 Introdução
Observe a seguinte situação: o retângulo a seguir tem apenas um lado com medida
�xa.
x
20 cm
Figura 2.1: Retângulo com um lado de medida �xa
Chamando de P o perímetro da �gura (2.1), teremos P = (20 + x + 20 + x) cm.
Isso resulta no seguinte valor de P , em centímetros: P = 40 + 2x. Nesse contexto,
x pode assumir de maneira independente qualquer valor real positivo. Podemos
ter, por exemplo, x = 100 cm, x = 2,5333 . . . cm, x = 3/2 cm, x =
√
3
2
cm,
x =
1√
2π
e
−
(ω − ϕ)2
2 cm ou mesmo x = 0,9 cm. Devido ao fato de x variar livremente
ele será chamado de variável independente (ou variável livre). Entretanto, P varia
na dependência do valor de x. Por exemplo, para x = 100 cm temos que P = 240 cm,
para x = 3/2 cm temos P = 43 cm. Devido a isso chamaremos P de variável
dependente de x. Já o valor 40 é constante e, portanto, não varia.
O exemplo do perímetro do retângulo acima exprime uma relação de dependência
de uma variável em relação a outra, na qual cada valor real de x leva a um e somente
um valor de P . Dizemos então que P varia em função de x.
OSTENSIVO -2-15- REV.2
OSTENSIVO EB-003
De maneira geral, uma função que leva elementos de um conjunto em outro é uma
regra que faz corresponder a cada elemento do conjunto de partida um único elemento
de chegada. Quando uma relação exprime uma função, o conjunto de partida é chamado
de domínio e o de chegada é o contradomínio. Os elementos do contradomínio que
correspondem aos elementos do domínio formam o conjunto imagem da função.
No exemplo do perímetro, cada número real aplicado na fórmula é transformado
em outro número real. O domínio é o conjunto dos números reais positivos,pois não
teremos um retângulo de para x ≤ 0. O contradomínio também será o conjunto dos
números reais, mas a imagem será composta apenas pelos números reais maiores que
40. Isso signi�ca que o contradomínio nem sempre se constituirá no conjunto imagem
da função. No nosso caso trabalharemos com funções em que tanto o domínio quanto
o contradomínio estão contidos no conjunto dos números reais.
2.2 Definição
Retornando ao exemplo do perímetro, cuja expressão algébrica é P = 40 + 2x,
notamos que o expoente da variável independente (x, que representa a medida de
um lado da �gura) é um. A expressão corresponde a P = 40 + 2x1. Generalizando,
dizemos que uma função de variável dependente y e variável independente x é chamada
de Função polinomial de 1º grau (doravante chamada simplesmente de função de
primeiro grau) se
y = ax+ b, b ∈ R, a ∈ R∗.
Se tivéssemos a = 0 a função seria constante como, por exemplo, y = 20 + 0x, na
qual y não varia na dependência de x. O número real a é chamado de coe�ciente
angular e o número real b é chamado de coe�ciente linear da função de primeiro
grau. Importante: os nomes coe�ciente angular e coe�ciente linear são utilizados
apenas quando se trata da função de primeiro grau. Para funções de outros graus
não se aplicam essas denominações de coe�cientes.
OSTENSIVO -2-16- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Exemplo 2.2.1. São exemplos de funções do 1º grau:
1. y = −2x+ 3, a = −2 e b = 3.
2. P = 40 + 2x, a = 2, b = 40.
3. y = πx−
√
5; a = π; b = −
√
5.
4. y =
−3x+ 2
2
, a = −3
2
, b = 1.
5. y = −5− 6x; a = −6; b = −5.
6. y =
x
3
; a =
1
3
; b = 0.
7. 2y + 3x− 4 = 0; a = −3/2; b = 2.
Exemplo 2.2.2. Não são funções do 1º grau:
1. y =
1
x
, pois escrever
1
x
equivale à forma x−1.
2. y =
√
x, pois equivale à forma x1/2.
3. y = x2.
4. y =
√
x2, pois
√
x2 = |x|, que é uma função modular.
2.3 Gráfico de uma Função do 1º Grau
Tomemos, por exemplo, a função y = x+1, x ∈ R, y ∈ R. Como x varia livremente,
pode-se construir a tabela a seguir (tabela 2.1):
x y = x+ 1 (x,y)
−2 y = −2 + 1 = −1 (−2,− 1)
−1 y = −1 + 1 = 0 (−1,0)
0 y = 0 + 1 = 1 (0,1)
1 y = 1 + 1 = 2 (1,2)
2 y = 2 + 1 = 3 (2,3)
Tabela 2.1: Tabela para a função y = x+ 1
OSTENSIVO -2-17- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Lançando os valores da tabela em um plano cartesiano temos a seguinte �gura
(�gura 2.2):
x
y
−2.0 −1 0 1 2
−1.0
0
1
2
3
Figura 2.2: Plotagem dos pontos no plano cartesiano.
Pelo fato do conjunto dos números reais ser denso (entre dois números reais sempre
há um número real) podemos traçar uma reta unindo os pontos assinalados no plano
cartesiano. Pode-se notar que temos uma reta (�gura 2.3).
x
y
−2.0 −1 0 1 2
−1.0
0
1
2
3
Figura 2.3: Gra�co da função y = x+ 1.
O grá�co de uma função do 1º grau é uma reta e, entretanto, nem toda reta é o
grá�co de uma função do 1º grau.
x
y
−2.0 −1 0 1 2
−1.0
0
1
2
3
Figura 2.4: Gra�co da função y =
3
2
.
OSTENSIVO -2-18- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Na �gura acima (�gura 2.4) temos o grá�co da função constante y = 3/2.
x
y
−2.0 −1 0 1 2 3
−1.0
0
1
2
3
Figura 2.5: Gra�co da relação x = 3.
Na �gura acima (2.5) temos o grá�co da relação x = 3, que não representa uma
função.
Como o grá�co de uma função de primeiro grau é uma reta, basta que tenhamos
dois pontos para traçá-lo. Para construir, por exemplo, o grá�co da função do 1º grau
y = π +
√
5x, começamos atribuindo o valor zero à variável x. Depois fazemos o
mesmo para a variável y. Para x = 0 temos primeiro y = π +
√
5× 0 = π, que leva ao
valor numérico y = π. Em seguida fazemos y = 0, o que leva a 0 = π+
√
5x, resultando
em x = − π√
5
.
O grá�co da função �cará com o aspecto a seguir (�gura 2.6):
x
y
−2.0 −1 0 1
−1.0
0
1
2
3
4
(0,π)
(
−
π
√
5
,0
)
Figura 2.6: Gra�co da função y = π +
√
5x.
Considerando a forma y = ax + b, note que y = π é o valor da constante b (o
coe�ciente linear, também chamado de termo independente da função) e que x = − π√
5
é a raiz da função. Portanto, para traçar o grá�co de uma função de primeiro grau,
basta determinar a raiz e observar o valor do termo independente.
OSTENSIVO -2-19- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Pode-se aplicar o que foi veri�cado no parágrafo acima para a função y = −x+ 1.
Fazendo o cálculo da raiz:
y = 0⇒ 0 = −x+ 1⇒ 0 + x = 1⇒ x = 1.
O coe�ciente linear (termo independente da função) vale 1. Assinalando a raiz e
o coe�ciente linear no plano cartesiano o grá�co �ca com o aspecto da �gura abaixo
(2.7)
x
y
−3.0 −2 −1 0 1 2 3
−2.0
−1
0
1
2
3
4
(0,1)
(1,0)
Figura 2.7: Gra�co da função y = −x+ 1.
2.4 Raiz e Intercepto
Voltando à função y = π +
√
5x, o valor y = π é denominado intercepto da
função sobre o eixo y e o valor x = − π√
5
é denominado intercepto da função
sobre o eixo x.
Retornando à forma y = ax + b, se x = 0, temos y = b e, quando y = 0, x = − b
a
.
Os valores y = b e x = − b
a
são chamados, respectivmente de intercepto do eixo
y e intercepto do eixo x, respectivamente. Esses dois interceptos determinam dois
pontos sobre o plano cartesiano
(0, y) e
(
− b
a
, 0
)
.
OSTENSIVO -2-20- REV.2
OSTENSIVO EB-003
x
y
−2.0 −1 0 1
−1.0
0
1
2
3
4
Intercepto y
Intercepto x (ou raiz)
Figura 2.8: Interceptos nos eixos x e y da função y = π +
√
5x.
2.5 Exercícios
1. Determine o coe�ciente angular, o coe�ciente linear, os interceptos do grá�co
sobre os eixos e construa o grá�co de cada função:
a) v = −2t+ 3;
b) r = −5− 6s;
c) P = 40 + 2x;
d) y = x/3;
e) y = −πx−
√
5;
f) 2y + 3x− 4 = 0;
g) y =
−3x+ 2
2
;
h) y = −3x.
2. Trace, no mesmo plano cartesiano, os grá�cos de y = 2x, y = 2x+2 e y = 2x−2.
Qual a posição relativa ocupadas pelas retas que correspondem a essas funções?
3. Trace, no mesmo plano cartesiano, os grá�cos de y = −3x, y = −3x + 3 e
y = −3x − 3. Qual a posição relativa ocupadas pelas retas que correspondem a
essas funções?
4. O que o coe�ciente angular e o coe�ciente linear determinam no grá�co de uma
função de primeiro grau?
5. (CPAEAM - adaptada) A raiz da equação 2(3x + 2) = 2(4 − x) é um número
racional maior ou menor que 1?
OSTENSIVO -2-21- REV.2
OSTENSIVO EB-003
6. (CPAEAM - adaptada) Para que valores de x a expressão
√
2x− 3 representa
um número real?
7. (CPAEAM- adaptada) Dada a função real de�nida por f(x) = 6− 5x, calcule o
valor da expressão f(2)− 3f(−2).
8. (CPAEAM - adaptada) Determine o conjunto solução da inequação
3x + 5 > −7x + 3 no campo real.
9. (CPAEAM) A função f : R→ R de�nida por f(x) = −3x+ 6 é:
(A) crescente para todos os reais;
(B) decrescente para x < 2;
(C) crescente para x > 2;
(D) decrescente para x ≤ 2.
(E) decrescente para todos os reais;
10. (CPAEAM - adaptada) Seja a função real de�nida por f(x) =
x+ k
p
. Sabendo-se
que f(3) = 2 e f(5) = 4, determine o valor de k + p.
OSTENSIVO -2-22- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Capítulo 3
Função polinomial de 2º grau
3.1 Introdução
A partir de um quadrado de área igual a 9 dm2 recortamos, em cada um de seus
cantos, um triângulo isósceles de catetos x dm (veja �gura 3.1).
x
x
x
x
x
x
x
x
Figura 3.1: Quadrado onde se retira quatro triângulos isóceles de catetos x
A área A da nova �gura será
A = 9− 4× x× x
2
= 9− 4× x2
2
,
o que leva a
A = 9− 2x2.
Observe que a expressão da área da �gura resultante, em dm2, é uma função em
que a variável independente (o elemento x) está elevado ao expoente 2, ou seja, ela é
do segundo grau.
OSTENSIVO -3-23- REV.2
OSTENSIVO EB-003
3.2 Definição
Uma Função polinomial de 2º grau (doravante apenas função de segundo grau)
apresenta a forma geral
y = ax2 + bx+ c, a ∈ R∗,b ∈ R,c ∈ R.
Exemplo 3.2.1. São exemplos de funções do 2º grau:
1. y = −2x2 + 3x+ 4; a = −2; b = 3; c = 4;
2. A = 9− 2x2, a = −2, b = 0, c = 9;
3. y = x2 + πx−
√
5, a = 1, b = π, c = −
√
5;
4. y =
−3x+ 4x2
2
, a = 2, b = −3
2
, c = 0; e
5. y = −6x2, a = −6, b = 0, c = 0.
Exemplo 3.2.2. Não são funções do 2º grau:
1. y =
1
x2
, pois escrever
1
x2
equivale à forma x−2;
2. y =
3
√
x2, pois equivaleà forma x2/3; e
3. y = x4.
3.3 Gráfico
Tomemos, por exemplo, a função y = x2, x ∈ R, y ∈ R. Como x varia livremente,
pode-se construir a tabela a seguir (tabela 3.1):
x y = x2 (x, y)
−2 y = (−2)2 = 4 (−2,4)
−1 y = (−1)2 = 1 (−1,1)
0 y = (0)2 = 0 (0,0)
1 y = (1)2 = 1 (1,1)
2 y = (2)2 = 4 (2,4)
Tabela 3.1: Tabela de pontos para o grá�co da função y = x2.
OSTENSIVO -3-24- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Lançando os valores da tabela em um plano cartesiano temos a seguinte �gura
(�gura 3.2):
x
y
−2.0 −1 0 1 2
−1.0
0
1
2
3
4
Figura 3.2: Plotagem dos pontos da tabela para o gra�co da função y = x2.
O fato do conjunto dos números reais ser denso nos permite traçar uma curva unindo
os pontos assinalados no plano cartesiano. Pode-se notar que temos uma parábola.
x
y
−2.0 −1 0 1 2
−1.0
0
1
2
3
4
Figura 3.3: Gra�co da função y = x2.
O grá�co de uma função do 2º grau é uma parábola mas, entretanto, nem toda
parábola é o grá�co de uma função do 2º grau (ver �gura 3.4).
x
y
−1.0 0 1 2 3 4
−2.0
−1
0
1
2
Figura 3.4: Gra�co da relação y2 = x, x > 0.
Como o grá�co de uma função de segundo grau é uma parábola, não basta que
tenhamos dois pontos para traçá-lo. São necessários no mínimo cinco.
OSTENSIVO -3-25- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Exemplo 3.3.1. Construir, no mesmo plano de y = x2, as parábolas correspondentes
às funções y = x2 − 1 e y = x2 + 1. Podemos fazer algo análogo ao que foi feito
com a função de primeiro grau: construir o grá�co sem uso de tabela. Para traçar, por
exemplo, o grá�co da função do 2º grau y = x2−1, começamos atribuindo o valor zero
à variável x. Depois fazemos o mesmo para a variável y. Temos primeiro y = 02 − 1,
que leva ao valor numérico y = −1. Fazemos y = 0, o que leva a 0 = x2 − 1,
resultando em x = +1 e em x = −1. Em seguida, fazer y = 3, por exemplo, nos
leva a 3 = x2 − 1, resultando em x = +2 e em x = −2. Assim, obtemos os pares
(0,− 1), (−1,0), (1,0), (3,2), (3,− 2). Analogamente para y = x2 + 1, teremos os pares
(0,1), (2,− 1), (2,− 1), (5,− 2), (5,2).
x
y
−2.0 −1 0 1 2
−2.0
−1
0
1
2
3
4
5
y = x2
y = x2 + 1
y = x2 − 1
Figura 3.5: Gra�co das funções y = x2, y = x2 − 1 e y = x2 + 1.
Note que, em todas as parábolas até aqui desenhadas, existe um ponto em que
a função representada muda de comportamento: se ela era crescente, passa a ser
decrescente (e vice-versa). Esse ponto é chamado de vértice da parábola.
3.4 Raiz e Intercepto
Dada a função de segundo grau y = ax2 + bx + c, a ∈ R∗,b ∈ R,c ∈ R,
existem três interceptos importantes. O valor y = c, no ponto (0,c), é chamado de
intercepto do eixo-y. Os valores
−b+
√
∆
2a
e
−b−
√
∆
2a
, nos pontos
(
−b+
√
∆
2a
, 0
)
e
(
−b−
√
∆
2a
, 0
)
, onde ∆ = b2 − 4ac, são as raízes da função e chamados de
interceptos do eixo-x.
OSTENSIVO -3-26- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Se ∆ < 0, a função não tem raiz real (ou o conjunto solução é vazio). Se ∆ = 0, a
função tem apenas uma raiz real (também dizemos duas raízes reais iguais ou um zero
duplo). Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais (também dizemos duas raízes reais
distintas ou dois zeros distintos).
3.5 Soma e Produto das Raízes
Dada a função de segundo grau y = ax2 + bx + c, a ∈ R∗, b ∈ R, c ∈ R, podemos
determinar diferentes relações entre as suas raízes, que são
−b+
√
∆
2a
e
−b−
√
∆
2a
.
A soma das raízes S é:
S =
−b+
√
∆
2a
+
−b−
√
∆
2a
=
−b+
√
∆− b−
√
∆
2a
=
=
−2b
2a
= − b
a
.
Temos então que a soma das raízes S é
S = − b
a
.
O produto das raízes P é:
P =
(
−b+
√
∆
2a
)(
−b−
√
∆
2a
)
=
(
−b+
√
∆
)(
−b−
√
∆
)
4a2
=
=
b2 −∆
4a2
=
b2 − (b2 − 4ac)
4a2
=
=
c
a
.
Temos então que o produto das raízes P é
P =
c
a
.
Assim, temos que b = −aS e c = aP e a função do segundo grau y = ax2 + bx+ c
OSTENSIVO -3-27- REV.2
OSTENSIVO EB-003
pode ser escrita na forma
y = ax2 − aSx+ aP = a
(
x2 − Sx+ P
)
.
3.6 Vértice
Observe o vértice da parábola que representa a função y = x2 − 4x+ 3.
A abscissa do vértice da parábola é xv = 2 e a sua ordenada é yv = −1. Observe
que y = x2− 4x+ 3 = x2− 4x+ 4− 4 + 3 = (x− 2)2− 1. Quando x = xv = 2, o valor
de y será y = −1 = yv.
x
y
−1.0 0 1 2 3 4 5
−2.0
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 3.6: Gra�co das funções y = x2 − 4x+ 3.
Retornando à expressão geral y = ax2 + bx+ c, a ̸= 0, temos que:
y = ax2 + bx+ c = a
(
x2 +
b
a
x+
c
a
)
= a
(
x2 + 2× b
2a
× x+
c
a
)
= a
[(
x+
b
2a
)2
− b2
4a2
+
c
a
]
= a
(
x+
b
2a
)2
− ∆
4a
.
Substituindo x = − b
2a
, o valor de y �ca y = −∆
4a
.
Ao ponto V = (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
chamamos de vértice da parábola.
OSTENSIVO -3-28- REV.2
OSTENSIVO EB-003
O vértice possui as seguintes propriedades:
1. O vértice é o ponto da parábola onde ocorre o valor mínimo da função (se
a > 0) ou o valor máximo (se a < 0). Ele será chamado de ponto de máximo
(caso a função tenha valor máximo) ou ponto de mínimo (caso a função tenha
valor mínimo);
2. A coordenada xv é o extremante da função. Será chamado de maximante
(caso a função tenha valor máximo) ou de minimante (caso a função tenha
valor mínimo).
3. A coordenada yv é o valor extremo da função. Ela será o valor máximo caso
o vértice da parábola seja ponto de máximo (ou valor mínimo caso o vértice da
parábola seja ponto de mínimo).
4. O grá�co da parábola é simétrico em relação à reta x = xv, chamada de eixo de
simetria da parábola.
3.7 Exercícios
1. Seja y = ax2 + bx + c, a ̸= 0 uma função do segundo grau com duas raízes reais
distintas. Demonstre que a coordenada x do vértice é a média aritmética das
raízes.
2. Considere um retângulo de dimensões 5x cm por 2x cm.
a) Escreva a fórmula:
� do seu perímetro;
� da sua área.
b) Qual dessas fórmulas não pode ser considerada uma função de primeiro grau?
c) Qual dessas fórmulas não pode ser considerada uma função de segundo grau?
3. Dada a função f(x) = 3x2 − 12, calcule f(54.321)− f(54.320).
4. Dada a equação (x + 1)3(x + 3)2(x + 2) = 0, qual é a soma das duas menores
raízes reais?
OSTENSIVO -3-29- REV.2
OSTENSIVO EB-003
5. Determine o eixo de simetria, o vértice, o intercepto com o eixo y e as raízes de
cada função a seguir. Em seguida, trace o grá�co em cada caso. Depois classi�que
o vértice como um ponto de máximo ou de mínimo da função.
a) y = x2 − 6x+ 5.
b) y = 5x2 − 20.
c) y = −2x2 − 4x− 2.
d) y = 3x2 − 12x.
6. (ENEM - adaptada) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma
parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a �gura abaixo (�gura 3.7). A
função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da �gura, é dada pela
lei y =
3
2
x2−6x+C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em
centímetros. Sabe-se que o ponto V , na �gura, representa o vértice da parábola,
localizado sobre o eixo x.
Figura 3.7: Figura do exercício 6.
Nessas condições, qual a altura do líquido contido na taça, em centímetros?
7. (CN - adaptada) Qual é o maior valor inteiro de `k' para que
x2 + 2.018x + 2.018k = 0 tenha soluções reais?
8. (CPAEAM - adaptada) Qual é o maior número que é solução da equação
x2 − 3x + 2 = 0 ?
9. (CPAEAM - adaptada) Qual é a média aritmética das raízes da equação
2x2 − 22x + 56 = 0 ?
OSTENSIVO -3-30- REV.2
OSTENSIVO EB-003
10. (PUC Campinas - adaptada) O biodiesel resulta da reação química desencadeada
por uma mistura de óleo vegetal (soja, milho, mamona, babaçu e outros) com
álcool de cana. O ideal é empregar uma mistura do biodiesel com diesel de
petróleo. Quantidades exageradas de biodiesel fazem decair o desempenho do
combustível. Seja f a função desempenho do combustível obtido pela mistura de
biodiesel com combustível de petróleo, dada por f(p) = 12p − p2, em que p é a
porcentagem de biodiesel na mistura, 0 ≤ p ≤ 12. Qual o valor de p que gera o
melhor desempenho?
11. Considere que um senhor deseja cercar um terreno retangular de 200 m2 de área,
utilizando 60 m de arame. Sendo assim, quais são o comprimento e a largura do
terreno?
OSTENSIVO -3-31- REV.2OSTENSIVO EB-003
Capítulo 4
Gráficos estatísticos
4.1 Média
A palavra média é um termo estatístico referente a uma das medidas de tendência
central. A média é um valor entre o maior e o menor número de uma lista. A média
aritmética simples é calculada dividindo a soma dos valores pela quantidade de
elementos.
Exemplo 4.1.1. Um determinado pelotão de uma EAM obteve as seguintes notas em
uma prova de Matemática:
9,5−9,0−7,5−9,0−7,5−8,5−7,0−9,5−8,0−8,0−8,5−8,0−7,5−9,0−9,0−7,0−7,5−
− 9,5− 7,5− 7,5− 8,5− 8,0 (são 22 elementos).
Calculando a média aritmética simples, teremos
(9,5+9+7,5+9+7,5+8,5+7+9,5+8+8+8,5+8+7,5+9+9+7+7,5+9,5+7,5+7,5+
+ 8,5 + 8) : 22 =
181
22
= 8,227272727 . . . .
Arredondando para três casas decimais, temos 8,227, número que representa um
valor intermediário entre a maior nota (9,5) e a menor (7,0) que os alunos desse pelotão
obtiveram.
Outra modalidade de cálculo de médias é denominado de média aritmética
ponderada, calculada atribuindo um peso a cada valor. Aquele que tiver maior
OSTENSIVO -4-33- REV.2
OSTENSIVO EB-003
incidência em um rol de dados terá maior peso. Os itens com maior peso in�uenciarão
mais a média do que aqueles que possuem menor peso.
Exemplo 4.1.2. Retomemos aos dados do exemplo anterior. As notas obtidas pelos
alunos têm suas incidências apresentadas na tabela a seguir (tabela 4.1):
Nota obtida 9,5 9,0 8,5 8,0 7,5 7,0
Quantidades de repetições (pesos) 3 4 3 4 4 2
Tabela 4.1: Tabela de frequência das notas obtidas no exemplo 4.1.1.
A média pode ser calculada multiplicando cada nota pelo seu peso, adicionando os
produtos obtidos e dividindo essa soma pela soma dos pesos.
9,5× 3 + 9,0× 4 + 8,5× 3 + 8× 4 + 7,5× 4 + 7,0× 2
3 + 4 + 3 + 4 + 6 + 2
=
=
28,5 + 36,0 + 25,5 + 32 + 30 + 14,0
22
=
181
22
= 8,227272727 . . . .
4.2 Moda e Mediana
Além da média, uma outra medida de tendência central de um conjunto de dados
na Estatística é a moda.
De�nição 1. A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com maior
frequência nesse conjunto.
No conjunto de dados do pelotão a nota que aparece mais vezes é 7,5 (6 vezes).
Um conjunto de dados pode ter mais de uma moda. Basta que existam dados com a
mesma quantidade de repetições.
Exemplo 4.2.1. Se o mesmo pelotão tivesse obtido as notas da tabela a seguir (tabela
4.2), teríamos duas modas (9,5 e 9,0) e portanto, teríamos um conjunto de dados
bimodal.
Nota obtida 9,5 9,0 8,5 8,0 7,5
Quantidades de repetições (pesos) 5 5 4 4 4
Tabela 4.2: Tabela de notas de Matemática.
OSTENSIVO -4-34- REV.2
OSTENSIVO EB-003
De�nição 2. Amediana de um conjunto de dados ordenados é o valor que ocupando
a posição central e separa os elementos em dois outros conjuntos com quantidades de
dados iguais.
Exemplo 4.2.2. Suponhamos que tivéssemos um pelotão com as notas a seguir
9,5−9,0−7,5−9,0−7,5−8,5−7,0−9,5−8,0−8,0−8,5−8,0−9,0−9,0−7,0−7,5−9,5−
− 7,5− 7,5− 8,5− 8,0 (são ao todo 21 elementos).
A ordenação dos dados �caria
7,0 - 7,0 - 7,5 - 7,5 - 7,5 - 7,5 - 7,5 - 8,0 - 8,0 - 8,0 - 8,0 - 8,5 - 8,5 - 8,5 - 9,0 - 9,0 -
9,0 - 9,0 - 9,5 - 9,5 - 9,5
O valor em destaque (8,0) é a mediana do conjunto de dados. Ela tem 10 elementos
que lhe antecedem e 10 elementos que o sucedem.
Exemplo 4.2.3. Se os alunos tivessem obtido as seguintes 22 notas a seguir
7,0−7,0−7,5−7,5−7,5−7,5−7,5−7,5−8,0−8,0−8,0−8,5−8,5−8,5−8,5−9,0−9,0−
− 9,0− 9,0− 9,5− 9,5− 9,5
o conjunto seria dividido pelos valores 8,0 e 8,5. Nesse caso (quantidade par de
dados) a mediana seria a média aritmética simples dos dois elementos mais ao centro,
levando ao valor (8,0 + 8,5) : 2 = 16,5 : 2 = 8,25. Note que, neste caso, a mediana não
é um elemento do conjunto original de dados.
4.3 Gráficos
O grá�co é um recurso visual para representar geometricamente a quanti�cação (ou
determinadas qualidades) de diferentes fenômenos. Portanto, é necessário aprender a
ler e interpretar corretamente o que está representado no grá�co.
OSTENSIVO -4-35- REV.2
OSTENSIVO EB-003
4.3.1 Gráficos de Coluna
No grá�co de colunas o eixo das ordenadas representa a variação do dado analisado.
As colunas devem ter a mesma largura e os eixos podem ser apresentados de forma
explícita ou não.
Figura 4.1: Exemplo de grá�co em colunas.
FONTE: http://www2.mat.ufrgs.br/matematicao/assessorias/2011/iv5_112/aula3.htm.
Na horizontal da representação acima (�gura 4.1) estão enumeras diferentes
modalidades de gasto energético e, na vertical, cada coluna representa um valor de
gasto de energia para cada modalidade. Note que os eixos não são representados
explicitamente, mas é possível veri�car as quantidades de gasto de energia referentes a
cada atividade pela altura de cada coluna. O número acima de cada coluna substitui
a marcação das ordenadas.
4.4 Gráficos de Setores
Os grá�cos de setores são mais utilizados para representar dados expressos na forma
de porcentagem. A veri�cação de quais percentuais são maiores (ou menores) se faz
pela comparação das superfícies ocupadas pelos setores circulares.
Figura 4.2: Exemplo de grá�co de setores.
FONTE: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22698.
OSTENSIVO -4-36- REV.2
http://www2.mat.ufrgs.br/matematicao/assessorias/2011/iv5_112/aula3.htm
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22698
OSTENSIVO EB-003
O grá�co acima (�gura 4.2) representa a quantidade de medalhas de ouro dos
principais vencedores da liga mundial de vôlei.
4.5 Gráficos de Linha
Os grá�cos de linha são mais utilizados para representar gra�camente a distribuição
de um dado ao longo do tempo.
Figura 4.3: Exemplo de grá�co de linhas.
FONTE: http://puc-riodigital.com.puc-rio.br .
O grá�co acima (�gura 4.3) representa a evolução da quantidade de alunos
matriculados no curso de comunicação da PUC Rio.
4.6 Exercícios
1. (UNIUBE) Um aluno deve atingir 70 pontos para ser aprovado. Esse total de
pontos é resultado de uma média ponderada de 3 notas, N1, N2 e N3, cujos pesos
são, respectivamente, 1, 2 e 2. As suas notas, N1 e N2, são, respectivamente, em
um total de 100 pontos distribuídos em cada uma, 50 e 65. Para ser aprovado, a
sua nota N3 (em 100 pontos distribuídos) deverá ser:
(A) Maior ou igual a 70 pontos.
(B) Maior ou igual a 85 pontos.
(C) Maior que 70 pontos.
(D) Maior ou igual a 80 pontos.
(E) Maior que 85 pontos.
OSTENSIVO -4-37- REV.2
OSTENSIVO EB-003
2. (ENEM - adaptada) A tabela a seguir (tabela 4.3) mostra a evolução da receita
bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram
à venda.
ME
2009 2010 2011
(em milhares (em milhares (em milhares
de reais) de reais) de reais)
Al�netes V 200 220 240
Balas W 200 230 200
Chocolates X 250 210 215
Pizzaria Y 230 230 230
Tecelagem Z 160 210 245
Tabela 4.3: Tabela da receita bruta anual das microempresas.
FONTE: ENEM 2012, Segundo Dia, Caderno azul .
Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele
calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011)
e escolhe as duas empresas de maior media anual. Quais serão as empresas que
este investidor escolherá comprar?
3. (UNCISAL - adaptada) Em cada bimestre, uma faculdade exige a realização de
quatro tipos de avaliação, calculando a nota bimestral pela média ponderada
dessas avaliações.
Avaliação Nota Peso
Prova escrita 6,00 4
Avaliação continuada 7,00 4
Seminário 8,00 2
Trabalho em grupo 9,00 2
Tabela 4.4: Tabelade avaliações de uma aluna.
A tabela acima (tabela 4.4)apresenta as notas obtidas por uma aluna nos quatro
tipos de avaliações realizadas e os pesos dessas avaliações. Qual é a nota bimestral
aproximada da aluna?
OSTENSIVO -4-38- REV.2
OSTENSIVO EB-003
4. Qual é a média aritmética dos números
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8?
b) 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7 e 7?
c) 4/6, 14/5 e 2/3?
5. Qual é a moda e a mediana em cada caso?
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8.
b) 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7 e 7.
6. (FGV, SP - adaptada) A tabela abaixo (tabela 4.5) representa a distribuiçãode
frequências dos salários de um grupo de 50 empregados de uma empresa, em
certo mês. Determine o salário médio dos empregados nesse mês.
Número da classe Salário do mês (R$) Número de empregados
1 1.000 a 2.000 20
2 2.001 a 3.000 18
3 3.001 a 4.000 9
4 4.001 a 5.000 3
Tabela 4.5: Tabela dos salários.
7. (PMES - adaptada) O número de horas extras trabalhadas por 5 funcionários
de determinado setor de uma empresa durante uma semana estão registradas na
seguinte tabela (tabela 4.6):
Funcionários A B C D E
Nº horas extras x x+ 2 1 4 3
Tabela 4.6: Tabela horas extras dos funcionários.
Sabendo-se que nessa semana, na média, o número de horas extras trabalhadas
por um funcionário foi 4, quais os dois funcionários que �zeram o maior número
de horas extras nessa semana?
8. (PMES - adaptada) A média das alturas de três amigos é 1,60 m. Se mais um
amigo que mede 1,80 m entrar nesse grupo, qual será a nova média das alturas?
OSTENSIVO -4-39- REV.2
OSTENSIVO EB-003
9. (PMES - adaptada) Uma pessoa comprou 5 garrafas de suco de frutas, uma de
cada tipo. A tabela abaixo (tabela 4.7) mostra o preço de cada garrafa de suco.
Sucos Maracujá Laranja Caju Abacaxi Uva
Preço por Garrafa (R$) 5,70 3,50 2,30 3,20 ?
Tabela 4.7: Tabela de preços dos sucos.
Sabendo que nessa compra o preço médio de uma garrafa foi R$ 3,80, pode-se
concluir que o preço da garrafa de suco de uva é igual a quanto?
10. (ENEM - adaptada) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma
cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15
dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento
é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos
e veri�cação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições
ocorridas nesse período estão indicadas no quadro abaixo (quadro 4.8).
Dia do mês Temperatura (�)
1 15,5
3 14,0
5 13,5
7 18,0
9 19,5
11 20,0
13 13,5
15 13,5
17 18,0
19 20,0
21 18,5
23 13,5
25 21,5
27 20,0
29 16,0
Tabela 4.8: Medições das temperaturas em �.
Em relação à temperatura, quais são os valores da média, mediana e moda,
respectivamente?
OSTENSIVO -4-40- REV.2
OSTENSIVO EB-003
11. (ENEM - adaptada) O grá�co abaixo (�gura 4.4) apresenta o comportamento de
emprego formal sugerido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a
outubro de 2010. Com base no grá�co, qual é o valor da parte interna da mediana
dos empregos formais surgidos no período?
Figura 4.4: Grá�co do exercício 11.
12. (ENEM - adaptada) Na tabela abaixo (tabela 4.9), são apresentados dados da
cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais,
por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.
Mês Cotação (R$) Ano
Outubro 83,00 2007
Novembro 73,10 2007
Dezembro 81,60 2007
Janeiro 82,00 2008
Fevereiro 85,30 2008
Março 84,00 2008
Abril 84,60 2008
Tabela 4.9: Cotação mensal do ovo extra branco.
FONTE: Cadernos do Gestar II, Matemática TP3. Disponível em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009.
De acordo com esses dados, qual foi o valor da mediana das cotações mensais do
ovo extra branco nesse período?
OSTENSIVO -4-41- REV.2
www.mec.gov.br
OSTENSIVO EB-003
13. (ENEM - adaptada) A tabela abaixo (tabela 4.10) mostra alguns dados da
emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas
produzidas.
Produção Emissão de dióxido de carbono
(em tonelada) (em partes por milhão - ppm)
1,1 2,14
1,2 2,30
1,3 2,46
1,4 2,64
1,5 2,83
1,6 3,03
1,7 3,25
1,8 3,48
1,9 3,73
2,0 4,00
Tabela 4.10: Emissão de dióxido de carbono.
Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de
dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é
(A) inferior a 0,18.
(B) superior a 0,18 e inferior a 0,50.
(C) superior a 0,50 e inferior a 1,50.
(D) superior a 1,50 e inferior a 2,80.
(E) superior a 2,80.
14. (ENEM - adaptada) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros
é mostrada na pesquisa abaixo (�gura 4.5).
Figura 4.5: Escolaridade dos jogadores futebol.
De acordo com esses dados, qual o percentual aproximado de jogadores dos quatro
clubes que concluíram o Ensino Médio?
OSTENSIVO -4-42- REV.2
OSTENSIVO EB-003
15. (ENEM - adaptada) Nos grá�cos abaixo (�gura 4.6), estão representadas as
porcentagens de reclamações sobre cada tipo de poluição ambiental.
Figura 4.6: Porcentagem de reclamações sobre os tipos de poluição nas cidades X, Y e Z.
Considerando a queixa principal dos cidadãos de cada cidade, a primeira medida
de combate à poluição em cada uma delas seria, respectivamente:
(A) Manejamento de lixo, Esgotamento sanitário, Controle emissão de gases;
(B) Controle de despejo industrial, Manejamento de lixo, Controle emissão de
gases;
(C) Manejamento de lixo, Esgotamento sanitário, Controle de despejo industrial;
(D) Controle emissão de gases, Controle de despejo industrial, Esgotamento
sanitário;
(E) Controle de despejo industrial, Manejamento de lixo, Esgotamento sanitário.
16. (ENEM - adaptada) Podemos estimar o consumo de energia elétrica de uma
casa, considerando as principais fontes desse consumo. Pense na situação em que
apenas os aparelhos que constam da tabela abaixo (tabela 4.11), fossem utilizados
diariamente da mesma forma.
Aparelho Potência (kW) Tempo de Uso Diário (horas)
Ar Condicionado 1,50 8
Chuveiro Elétrico 3,30 1/3
Freezer 0,20 10
Geladeira 0,35 10
Lâmpadas 0,10 6
Tabela 4.11: Potência e tempo efetivo de uso diário de cada aparelho doméstico.
Supondo que o mês tenha 30 dias e que o custo de 1 kWh é de R$ 0,40, qual foi
o consumo de energia elétrica mensal dessa casa?
OSTENSIVO -4-43- REV.2
OSTENSIVO EB-003
17. (ENEM - adaptada) A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de
Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano. O quadro
abaixo (tabela 4.12) indica o percentual de medalhistas de ouro, por região, nas
edições da OBMEP de 2005 a 2009.
Região
2005 2006 2007 2008 2009
(%) (%) (%) (%) (%)
Norte 2 2 1 2 1
Nordeste 18 19 21 15 19
Centro-oeste 5 6 7 8 9
Sudeste 55 61 58 66 60
Sul 21 12 13 9 11
Tabela 4.12: Percentual de medalhistas de ouro por região.
Disponível em: http://www.obmep.org.br. Acesso em: abr. 2010 (adaptado).
Em relação às edições de 2005 a 2009 da OBMEP, qual o percentual médio de
medalhistas de ouro da região Nordeste?
18. (ENEM - adaptada) O grá�co abaixo (�gura 4.7) mostra a variação da extensão
média de gelo marítimo anual, nos meses de junho a setembro. O Ártico recobra
o gelo no término do verão (meados de setembro). O gelo do mar resfria a
temperatura da Terra ao re�etir quase toda a luz solar de volta ao espaço e
as águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o
aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo.
Figura 4.7: Extensão do gelo marítimo anual.
FONTE: ENEM - 2012 - Segundo Dia - Caderno azul - Questão 151.
Com base no grá�co e nas informações do texto, é possível inferir que houve
maior aquecimento global em qual ano?
OSTENSIVO -4-44- REV.2
http://www.obmep.org.br
OSTENSIVO EB-003
19. (ENEM - adaptada) Na maioria das vezes, não há como prever as tragédias, mas
muitas vezes elas acontecem pela falta de recursos para evitá-las, pela falta de
infraestrutura para minorar suas consequências ou simplesmente por ignorância
da população e falta de uma política de segurança mais rígida. A seguir (�gura
4.8), tem-se um grá�co que mostra a estatística de naufrágios de navios nas costas
brasileiras.
Figura 4.8: Naufrágios no SINAU.
Observando o grá�co, é correto a�rmar que os tipos de acidentes que estão acima
da média de acidentes são
(A) guerra, mau tempo e acidentes diversos.
(B) acidentes diversos, incêndios e explosão.
(C) encalhe, choque e guerra.
(D) encalhe, choque, guerra e mau tempo.
(E) incêndio e explosão.
20. (ENEM - adaptada) O grá�co abaixo expõe alguns números da gripe A-H1N1.
Entre as categorias que estãoem processo de imunização, uma já está
completamente imunizada, a dos trabalhadores da saúde. De acordo com o
grá�co, entre as demais categorias, qual é a que está mais exposta ao vírus da
gripe A-H1N1?
Figura 4.9: Percentual de imunização à gripe A-H1N1 em categorias.
OSTENSIVO -4-45- REV.2
OSTENSIVO EB-003
21. (ENEM - adaptada) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e
à pecuária, pois as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de
equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comercialização dos
produtos. O grá�co seguinte (�gura 4.10) mostra a participação percentual do
agronegócio no PIB brasileiro:
Figura 4.10: Participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro.
Esse grá�co foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda
da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa
participação, em termos percentuais. Segundo o grá�co, o período de queda
ocorreu entre os anos de
(A) 1998 e 2001.
(B) 2001 e 2003.
(C) 2003 e 2006.
(D) 2003 e 2007.
(E) 2003 e 2008.
22. (ENEM - adaptada) O grá�co abaixo (�gura 4.11) mostra estimativas da
produção brasileira de trigo em safras recentes. Qual foi a média da produção
brasileira de trigo de 2005/06 a 2009/10, em milhões de toneladas?
Figura 4.11: Produção brasileira de trigo.
OSTENSIVO -4-46- REV.2
OSTENSIVO EB-003
23. (ENEM - adaptada) O grá�co abaixo (�gura 4.12) apresenta as taxas de
desemprego durante o ano de 2011 e o primeiro semestre de 2012 na região
metropolitana de São Paulo. A taxa de desemprego total é a soma das taxas
de desemprego aberto e oculto.
Figura 4.12: Taxa de desemprego em SP.
Disponível em: www.dieese.org.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (fragmento).
Suponha que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 tenha
sido a metade da mesma taxa em junho de 2012 e que a taxa de desemprego
total em dezembro de 2012 seja igual a essa taxa em dezembro de 2011. Nesse
caso, a taxa de desemprego aberto de dezembro de 2012 teria sido, em termos
percentuais, de
(A) 1,1.
(B) 3,5.
(C) 4,5.
(D) 6,8.
(E) 7,9.
24. (ENEM - adaptada) O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público
o grá�co mostrado a seguir (�gura 4.13), que representa a evolução do total de
vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011. De acordo
com o grá�co abaixo, em que meses ocorreram, respectivamente, a maior e a
menor venda absolutas em 2011?
Figura 4.13: Evolução do total de vendas.
OSTENSIVO -4-47- REV.2
www.dieese.org.br
OSTENSIVO EB-003
25. (ENEM - adaptada) Nos últimos anos, o aumento da população, aliado ao
crescente consumo de água, tem gerado inúmeras preocupações, incluindo o
uso desta na produção de alimentos. O grá�co a seguir (�gura 4.14) mostra
a quantidade de litros de água necessária para a produção de 1 kg de alguns
alimentos.
Figura 4.14: Quantidade de litros de água para procução de alimentos.
Com base no grá�co, para a produção de 100 kg de milho, 100 kg de trigo, 100 kg
de arroz, 100 kg de carne de porco e 600 kg de carne de boi, a quantidade média
necessária de água, por quilograma de alimento produzido, é aproximadamente
igual a quantos litros por quilograma?
26. (ENEM - adaptada) Para o cálculo da in�ação, utiliza-se, entre outros, o
Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), que toma como base
os gostos das famílias residentes nas áreas urbanas, com rendimentos mensais
compreendidos entre um e quarenta salários mínimos. O grá�co a seguir (�gura
4.15) mostra as variações do IPCA de quatro capitais brasileiras no mês de maio
de 2008.
Figura 4.15: Variação do IPCA.Disponível em: http://www.ibge.gov.br. Acesso em: 05 jul. 2008 (adaptado).
Com base no grá�co, qual item foi determinante para a in�ação de maio de 2008?
OSTENSIVO -4-48- REV.2
http://www.ibge.gov.br
OSTENSIVO EB-003
27. (ENEM - adaptada) O grá�co a seguir (�gura 4.16) apresenta o gasto militar dos
Estados Unidos, no período de 1988 a 2006.
Figura 4.16: Gasto militar americano.
Com base no grá�co, o gasto militar no início da guerra no Iraque foi de
(A) U$ 4.174.000,00.
(B) U$ 41.740.000,00.
(C) U$ 417.400.000,00.
(D) U$ 41.740.000.000,00.
(E) U$ 417.400.000.000,00.
28. (ENEM - adaptada) Para conseguir chegar a um número recorde de produção de
ovos de Páscoa, as empresas brasileiras começam a se planejar para esse período
com um ano de antecedência. O grá�co a seguir (�gura 4.17) mostra o número
de ovos de Páscoa produzidos no Brasil no período de 2005 a 2009.
Figura 4.17: Produção com ovos de páscoa.
De acordo com o grá�co, o biênio que apresentou maior produção acumulada foi
(A) 2004-2005.
(B) 2005-2006.
(C) 2006-2007.
(D) 2007-2008.
(E) 2008-2009.
OSTENSIVO -4-49- REV.2
OSTENSIVO EB-003
29. (UFC - adaptada) A média aritmética das notas dos alunos de uma turma
formada por 25 meninas e 5 meninos é igual a 7. Se a média aritmética das
notas dos meninos é igual a 6, qual é a média aritmética das notas das meninas?
OSTENSIVO -4-50- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Capítulo 5
INTERPOLAÇÃO LINEAR
5.1 Introdução
O termômetro é um aparelho desenvolvido para medir temperaturas e o modelo
mais comum é fabricado com mercúrio. Ele consiste em um vidro graduado com um
bulbo de paredes �nas, ligado a um tubo muito �no, chamado tubo capilar. Quando a
temperatura do termômetro aumenta, as moléculas de mercúrio aumentam sua agitação
fazendo com que este se dilate, preenchendo o tubo capilar. Para cada altura atingida
pelo mercúrio está associada uma temperatura. A temperatura então corresponde
ao valor atingido dentro de uma escala e existem diversas escalas de medição de
temperatura, tais como Fahrenheit, Celsius e Kelvin.
A Escala Celsius (�) é a escala usada no Brasil e foi estabelecida em 1742 pelo
astrônomo e físico sueco Anders Celsius (1701-1744). Esta escala tem como pontos
de referência a temperatura de congelamento da água sob pressão normal (0�) e a
temperatura de ebulição da água sob pressão normal (100�). Já a Escala Fahrenheit
(°F), bastante utilizada principalmente nos países de língua inglesa, foi criada em
1708 pelo físico alemão Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736), tendo como referência
a temperatura de uma mistura de gelo e cloreto de amônia (0°F) e a temperatura
do corpo humano (100°F)1. Em comparação com a escala Celsius, temos que 0�
corresponde a 32°F e que 100� corresponde a 212°F.
Exemplo 5.1.1. Um MN observa que no termômetro instalado na praça de máquinas
do navio a temperatura está marcando 100°F, mas o SG quer saber qual a temperatura
em �. Como o marinheiro deve proceder?
1Só Física (2022).
OSTENSIVO -5-51- REV.2
OSTENSIVO EB-003
5.2 Interpolação Linear
Como visto no exemplo acima, muitas vezes é necessário determinar valores
desconhecidos de uma variável a partir de um rol de dados apresentados. A interpolação
linear é um exemplo dessa modalidade de cálculo, sendo resolvido a partir do uso de
funções polinomiais de grau 1.
Supondo conhecidos os valores x1 e x2 que geram, respectivamente, y1 e y2, o
processo buscará determinar um valor ya entre y1 e y2, que corresponde a um valor xa
entre x1 e x2 (veja �gura 5.1).
x
y
x1 xa x2
y1
ya
y2
Figura 5.1: Conjunto de dados (x1,y1), (xa,ya) e (x2,y2).
Teremos na verdade um problema de proporção pois, se observarmos atentamente,
os triângulos destacados na �gura a seguir (�gura 5.2) são semelhantes. Assim, a altura
de um deles estará para a do segundo, assim as bases estarão entre si na mesma ordem.
x
y
x1 xa x2
y1
ya
y2
xa − x1 x2 − xa
ya − y1
y2 − ya
Figura 5.2: Triângulos semelhantes formado pelo conjunto de dados (x1,y1), (xa,ya) e (x2,y2).
Dessa forma o valor desejado deve satisfazer a seguinte proporção
y2 − ya
ya − y1
=
x2 − xa
xa − x1
.
OSTENSIVO -5-52- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Quando o valor xa não estiver entre x1 e x2, chamamos o processo de extrapolação
linear.
Exemplo 5.2.1. No nosso exemplo anterior (exemplo 5.1.1), temos que determinarque
temperatura na escala Celsius corresponde a 100ºF com as seguintes correspondências
(tabela 5.1):
Celsius (�) Fahrenheit (°F)
0 32
100 212
Tabela 5.1: Correspondência entre escala Celsius e escala Fahrenheit.
O problema consiste em resolver o seguinte conjunto de dados:
y x
0 32
ya xa = 100
100 212
Tabela 5.2: Conjunto de dados entre escala Celsius e escala Fahrenheit.
Utilizando a proporção
y2 − ya
ya − y1
=
x2 − xa
xa − x1
acima e substituindo os dados
apresentados temos:
100− ya
ya − 0
=
212− 100
100− 32
=
28
17
.
Aplicando a propriedade fundamental das proporções temos 1.700 − 17ya = 28ya.
Logo, a temperatura procurada é, aproximadamente, 37,8�.
Exemplo 5.2.2. Duas grandezas estão relacionadas entre si conforme a tabela abaixo
(tabela 5.4). Determine qual valor de B corresponde a 260 unidades de A.
Grandeza A Grandeza B
300 148
200 90
Tabela 5.3: Correspondência entre os valores das grandezas A e B.
OSTENSIVO -5-53- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Resolveremos o seguinte conjunto de dados:
x y
300 148
xa = 260 ya
200 90
Tabela 5.4: Correspondência entre os valores das grandezas A e B.
Formulando a proporção, temos
148− ya
ya − 90
=
300− 260
260− 200
=
2
3
.
Resolvendo, temos 3 (148− ya) = 2 (ya − 90). Logo temos que 5ya = 624, ou seja,
ya = 124,8 unidades. Assim, deveremos ter 125 unidades da grandeza B.
5.3 Exercícios
1. (UFMS - adaptado) O número de bactérias P , por unidade de volume, existente
em uma cultura após t horas é apresentado na tabela abaixo (tabela 5.5). Calcule
o volume de bactérias no instante t = 3 horas e 42 minutos, ou seja, calcule o
valor correspondente a P1 = 3,7.
t (horas) 0 1 2 3 4
P (volumes de bactérias) 32 47 65 92 132
Tabela 5.5: Volume de bactérias por hora.
2. Considere um objeto que se move 5 m a cada 2 s. A tabela a seguir (tabela
5.6) relaciona seu deslocamento em relação ao tempo. Responda as perguntas a
seguir.
Deslocamento (em metros) 0 5 B C 60
Tempo (em segundos) 0 A 4 6 D
Tabela 5.6: Deslocamento em relação ao tempo.
a) Existe uma relação de proporcionalidade direta entre as grandezas da tabela?
b) Calcule os valores que preenchem os espaços vazios da tabela.
OSTENSIVO -5-54- REV.2
OSTENSIVO EB-003
3. Se temos sen(0,1) = 0,1 e sen(0,2) = 0,199, utilize um polinômio de grau 1 para
calcular, o valor aproximado de sen(0,15).
4. (UFES - adaptado) Seja f(x) uma função cujos valores se apresentam na forma:
x 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6
f(x) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32
Tabela 5.7: Valores de x e f(x).
Determine a abscissa do ponto de ordenada f(0,47) usando um polinômio de
grau 1.
5. (CESGRANRIO - adaptada) Em uma barra de ferro, sua temperatura inicial de
−10� foi aquecida até 30�. O grá�co a seguir (�gura 5.3) representa a variação
da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência. Calcule
em quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu
0�.
Tempo
(minutos)
Temperatura (�)
0 5
−10
30
Figura 5.3: Grá�co da temperatura pelo tempo.
OSTENSIVO -5-55- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Capítulo 6
Exercícios complementares
6.1 Capítulo 1 - Razões e proporções
1. Um tanque é abastecido por duas torneiras e drenado por um ralo. Uma das
torneiras enche o tanque, sozinha, em 2 h, a outra, em 3 h e o ralo sozinho
esvazia o tanque em 4 h. As duas torneiras juntas encherão o tanque em quanto
tempo? Se o tanque estiver vazio e abrirmos as duas torneiras ao mesmo tempo
e, por distração, deixarmos o ralo destampado, em quanto tempo esse tanque
�cará completamente cheio?
2. De acordo com o sítio infoescola.com ((INFOESCOLA, 2019)) uma liga de cobre
com zinco é classi�cada como latão se tiver de 5% a 45% de Zn em sua composição.
Se tivermos uma liga de cobre com zinco em que o último equivale a 40 de 100
partes do total, responda:
a) Essa liga é um latão?
b) Para 270 g dessa liga, qual é o total, em gramas, de cada um desses
componentes?
3. A soma da idade do pai com a do �lho é 90 anos. Sabe-se que a idade do pai
está para a do �lho na razão de 7 para 2. Calcule a idade de cada um.
4. Em um determinado bairro, a razão entre a área construída e o total de terreno
deve ser, no máximo, de 1 : 30. Uma construção de 600 m2 de área está em um
terreno de 2.100 m2. Essa construção está de acordo com o regulamento da área?
5. A densidade do óleo de cozinha é de, aproximadamente, 0,86 g/cm3. Qual é a
massa aproximada do óleo contido em um litro?
OSTENSIVO -6-57- REV.2
OSTENSIVO EB-003
6. (ENEM - adaptada) Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e
representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes,
conforme indicações na �gura a seguir (6.1). Qual é a árvore que apresenta a
maior altura real?
Figura 6.1: Árvores em escala
7. (ENEM - adaptada) A �gura abaixo (6.2) mostra as medidas reais de uma
aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo.
Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1 : 150. Para o
engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de
1 cm em relação às bordas da folha, que dimensões mínimas em centímetros essa
folha deverá ter?
Figura 6.2: Desenho da aeronave
8. Um pote de margarina de 20 g custa R$ 1,50 e o de 50 g, R$ 3,00. Quanto deve
custar o pote de 35 g? E o de 30 g? E o de 60 g?
9. (ENEM - adaptada) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade
A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de
Alagoas, é igual a 2.000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, veri�cou com
sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm. Os dados
nos indicam que o mapa observado pelo estudante está em que escala?
OSTENSIVO -6-58- REV.2
OSTENSIVO EB-003
10. (ENEM - adaptada) Para uma atividade realizada no laboratório de Matemática,
um aluno precisa construir uma maquete da quadra de esportes da escola que
tem 28 m de comprimento por 15 m de largura. A maquete deverá ser construída
na escala de 1 : 250. Que medidas de comprimento e largura, em cm, o aluno
utilizará na construção da maquete?
11. (ESA - adaptada) Uma herança de R$ 193.800,00 será repartida integralmente
entre três herdeiros em partes diretamente proporcionais às suas respectivas
idades: 30 anos, 35 anos e 37 anos. O herdeiro mais velho receberá quantos
reais?
12. (ENEM - adaptada) No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama,
no Chile, �cará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu
Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de
diâmetro, �o maior olho do mundo voltado para o céu� (Disponível em htttp:
//www.estadao.com.br - Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado)). Ao ler esse
texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro
do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro
aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho
primário do telescópio citado?
13. (ENEM - adaptada) Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores.
A �gura (�gura 6.3) apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras
escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas.
Figura 6.3: Poltronas do setor três.
Qual é a razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em
relação ao total de cadeiras desse mesmo setor?
OSTENSIVO -6-59- REV.2
htttp://www.estadao.com.br
htttp://www.estadao.com.br
OSTENSIVO EB-003
14. (CPAEAM - adaptada) Os investimentos a juros simples são diretamente
proporcionais ao valor do capital inicialmente aplicado e também à quantidade
de tempo que o valor �ca investido. Ou seja, a taxa de juros simples é sempre
aplicada sobre o capital inicial. Sendo assim, um capital será triplicado ao ser
aplicado à taxa simples de 5% ao mês depois de quanto tempo?
15. (IFES - adaptada) Tainá tinha um boleto de R$ 420,00 com vencimento para
segunda-feira. Ela havia se esquecido desse compromisso e, quandofoi pagar,
observou que havia uma multa de 4% por não ter pago no vencimento, além de
juros simples de 1% por dia de atraso, incididos sobre o valor do boleto. Quanto
Tainá gastou a mais, se só efetuou o pagamento na sexta-feira daquela mesma
semana?
16. (ENEM - adaptada) Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição
do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de
cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso de
uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 14 m3
de concreto. Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto trazido
pela betoneira?
17. (IFES - adaptada) No seu primeiro mês de atividade uma pequena empresa lucrou
R$ 6.500,00. Sabe-se que os dois sócios proprietários dessa empresa investiram no
negócio R$ 10.000,00 e R$ 3.000,00, respectivamente. Se a divisão dos lucros será
proporcional ao investimento de cada um, quanto o menor investidor receberá?
18. (IFES - adaptada) Para fazer um bolo, é comum, na constituição da massa do
tipo A, utilizar-se manteiga, trigo e açúcar na seguinte proporção: 1 parte de
manteiga, 4 partes de trigo e 2 partes de açúcar. Com o objetivo de comemorar
o aniversário da cidade de Vitória, a prefeitura encomendou 168 kg dessa massa.
Quantos quilogramas de trigo foram necessários para fazer essa massa?
19. (ENEM - adaptada) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade
A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de
Alagoas, é igual a 2.000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, veri�cou com
sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm. Os dados
nos indicam que o mapa observado pelo estudante está em que escala?
OSTENSIVO -6-60- REV.2
OSTENSIVO EB-003
20. (CPAEAM - adaptada) Observe a �gura 6.4.
Figura 6.4: Sombra de um prédio e uma pessoa.
Um prédio projeta no solo uma sombra uma sombra de 30 m de extensão no
mesmo instante em que uma pessoa de 1,80 m projeta uma sombra de 2,0 m.
quanto vale a altura do prédio?
21. (ENEM - adaptada) Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta
pela caatinga, em quase 800 mil km2 de área. Quando não chove, o homem
do sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da água dos
açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem na
vida do sertanejo (Disponível em: http://www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr.
2010). Segundo este levantamento, qual é a densidade demográ�ca da região
coberta pela caatinga, em habitantes por km2?
22. (ESA - adaptada) Uma caixa d'água, na forma de um paralelepípedo reto de base
quadrada, cuja altura é metade do lado da base e tem medida k, está com 80%
de sua capacidade máxima ocupada. Sabendo-se que há uma torneira de vazão
50 L/min enchendo essa caixa d'água e que após 2 h ela estará completamente
cheia, qual o volume de uma caixa d'água cúbica de aresta k em dm3?
23. (CPAEAM - adaptada) Uma piscina se utiliza de duas torneiras, A e B, e de
um ralo para manutenção do seu nível de água. A torneira B, aberta sozinha,
enche a piscina em 6 horas e a torneira A, também sozinha, enche o tanque em
4 horas. Caso a piscina esteja cheia, o ralo a esvaziaria num tempo t. Num certo
dia, o piscineiro, estando a piscina vazia, abriu as duas torneiras, porém esqueceu
de fechar o ralo, constatando posteriormente que a piscina �cou completamente
cheia, nessas condições, em 12 horas. Sendo assim, é correto a�rmar que a
piscina com as duas torneiras fechadas e o ralo aberto, estando totalmente cheia,
necessitará de t horas para esvaziá-la. Qual o valor de t?
OSTENSIVO -6-61- REV.2
http://www.wwf.org.br
OSTENSIVO EB-003
24. (IFES - adaptada) Uma forma de se saber qual a distância entre você e uma
tempestade é medir o intervalo de tempo entre o relâmpago e o som da trovoada.
Considerando a velocidade do som no ar de 340 m/s e o intervalo de tempo igual
a 4,5 s, em que distância da tempestade em km você se encontra?
25. (CPAEAM - adaptada) Um ciclista fez um percurso em 4 horas a uma velocidade
constante de 9 km por hora. Se o ciclista dobrar sua velocidade, qual será o tempo
necessário para percorrer o mesmo trajeto?
26. (IFES - adaptada) Lendo sempre 15 páginas de um livro por dia, eu conseguiria
�nalizar sua leitura em 15 dias. Se pretendo �nalizar a leitura do livro em 9 dias,
quantas páginas devo ler por dia?
27. (IFES - adaptada) As polias e correias formam a base de equipamentos de
transmissão de energia mecânica. A sua principal função é transferir movimento
e força de um lado a outro da máquina, con�gurando um sistema de transferência
de força e movimento altamente con�ável. Motores de automóveis, máquinas de
tração, esteiras e linhas de produção são alguns tipos de maquinário que precisam
do uso constante dessas peças. A �gura 6.5 representa um sistema composto por
discos A e B representando polias de diâmetros 8 e 2 cm, respectivamente, unidas
por correias que se movimentam sem deslizar. Quando o disco A dá uma volta
completa no sentido horário, o disco B gira quantas voltas e em qual sentido?
Figura 6.5: Polias.
28. (ENEM - adaptada) Nos últimos cinco anos, 32 mil mulheres de 20 a 24 anos
foram internadas nos hospitais do SUS por causa de AVC. Entre os homens da
mesma faixa etária, houve 28 mil internações pelo mesmo motivo. (Disponível em
Época. 26 abr. 2010 (adaptado)). Suponha que, nos próximos cinco anos, haja
um acréscimo de 8 mil internações de mulheres e que o acréscimo de internações
de homens por AVC ocorra na mesma proporção. De acordo com as informações
dadas, o número de homens que seriam internados por AVC, nos próximos cinco
anos, corresponderia a qual valor?
OSTENSIVO -6-62- REV.2
OSTENSIVO EB-003
29. (CPAEAM - adaptada) Uma tropa possui 7% de seus soldados nascidos no Norte
do país, 15% na região sudeste, 10% na região Sul, 3% na região Centro-oeste e o
restante no Nordeste. Considerando que a tropa é constituída por 140 soldados,
quantos são os provenientes do Nordeste?
30. (CPAEAM - adaptada) Dentre os inscritos em um concurso público, 60% são
homens e 40% são mulheres. Sabe-se que já estão empregados 80% dos homens
e 30% das mulheres. Qual a porcentagem dos candidatos que já tem emprego?
31. (EAMCE) Na sala de aula do 10º pelotão, as janelas estão sem película nos
vidros, possibilitando que entre 100% de luminosidade naquele ambiente, o que
di�culta a projeção do projetor de multimídia na tela retrátil. Visando melhorar
a visibilidade, pretende-se instalar duas películas fumês, uma sobre a outra, de
modo que a luminosidade interna do ambiente seja a menor possível. As películas
fumês disponíveis no mercado estão descritas na tabela abaixo (tabela 6.1):
Películas fumês I II III IV V
Retenção de luminosidade 70% 75% 60% 50% 30%
Tabela 6.1: Retenção de luminosidade das películas fumês.
De acordo com a tabela, para que a luminosidade no ambiente seja de 21%, as
películas fumês que devem ser instaladas são:
(A) I e III
(B) III e V
(C) I e IV
(D) I e V
(E) II e IV
32. (CPAEAM - adaptada) Uma câmera digital custa R$ 500,00 à vista Se for vendida
a prazo, o valor passa a ser R$ 560,00. Qual o percentual de acréscimo na venda
dessa câmera a prazo?
OSTENSIVO -6-63- REV.2
OSTENSIVO EB-003
33. (ESA - adaptada) Se a velocidade de um automóvel for aumentada em 60%,
o tempo necessário para percorrer um mesmo trajeto, supondo a velocidade
constante, diminuirá em que percentual?
34. (ESA - adaptada) Em uma das OMSE do concurso da ESA, farão a prova 550
candidatos. O número de candidatos brasileiros natos está para o número de
candidatos brasileiros naturalizados assim como 19 está para 3. Podemos a�rmar
que o número de candidatos naturalizados é igual a quanto?
35. (EAMCE) Um automóvel 0 km sofre depreciação do seu valor assim que o mesmo
sai da loja. Supondo que o automóvel foi vendido a R$ 60.000,00 e sofreu duas
depreciações seguidas de 5% e 15%, qual o valoratual desse automóvel?
36. (IFES - adaptada) O intervalo de tempo entre o reconhecimento de uma situação
perigosa e a ação de resposta a esta situação é chamado de tempo de reação, e
depende da condição física e do estado emocional do indivíduo. O tempo médio de
reação de uma pessoa jovem em bom estado de saúde é de aproximadamente 0,75
segundos. Este é praticamente o tempo que o cérebro necessita para processar as
informações que está recebendo e de�nir uma ação. (Fonte: http://wwwp.feb.
unesp.br/jcandido/higiene/artigos/4_transito.htm/)
Um motorista jovem e em bom estado de saúde, dirige um veículo num trecho
retilíneo de uma rodovia com velocidade escalar constante de 108,0 km/h.
Subitamente ele avista uma árvore caída obstruindo a rodovia. Considerando
o tempo de reação do motorista, descrito no texto acima, que distância o veículo
percorre do instante em que o motorista avista a árvore até acionar os freios?
37. (EAMCE) Um sargento tem 20 anos de serviço na Marinha do Brasil. Serviu
durante 5 anos no Rio de Janeiro, 4 anos em Manaus e o resto desse tempo serviu
no Ceará. Em porcentagem, quantos anos ele serviu no Comando do 3º Distrito
Naval?
38. (EAMCE) Uma corveta navega com velocidade média de 45 nós, e perfaz um
trajeto em 1h30min. Para chegar 45 min depois do previsto, a corveta deverá
navegar a uma velocidade média de quantos nós?
OSTENSIVO -6-64- REV.2
http://wwwp.feb.unesp.br/jcandido/higiene/artigos/4_transito.htm/
http://wwwp.feb.unesp.br/jcandido/higiene/artigos/4_transito.htm/
OSTENSIVO EB-003
39. (EAMCE) Devem ser servidos pães para dieta dos tipos A, B, C, D e E, que
apresentam em seus rótulos, as seguintes orientações, respectivamente: 2 g de
�bras por porção de 50 g; 5 g de �bras por porção de 40 g; 5 g de �bras por
porção de 100 g; 6 g de �bras por porção de 90 g; 7 g de �bras por porção de
70 g. Dos pães citados acima, qual o tipo do que possui maior concentração de
�bras?
40. (EAMCE) Visando adotar um sistema de reutilização de água, a EAMCE testou
cinco sistemas com diferentes �uxos de entrada de água suja e �uxos de saída de
água puri�cada (ver tabela 6.2).
Sistema I
(L/h)
Sistema II
(L/h)
Sistema III
(L/h)
Sistema IV
(L/h)
Sistema V
(L/h)
Fluxo de entrada
(água suja)
45 40 40 20 20
Fluxo de saída (água
puri�cada)
15 10 5 10 5
Tabela 6.2: Fluxo de entrada e saída dos sistemas de água.
Supondo que o custo por litro de água puri�cada seja o mesmo, qual dos sistemas
obtém-se maior e�ciência na puri�cação da água?
41. (EAMCE) A �gura a seguir (�gura 6.6), mostra as medidas reais de uma Fragata
que será construída. Um engenheiro precisa fazer o desenho dessa Fragata em
escala de 1:20.
Figura 6.6: Dimensões de uma fragata.
Quais as dimensões desse desenho?
42. (PM - SP - adaptada) Uma pessoa comprou determinado volume de suco de uva,
bebendo 200 mL desse suco por dia. Se essa pessoa bebesse 150 mL por dia, com
o mesmo volume comprado, poderia beber suco de uva por mais 5 dias. Quantos
litros foram comprado por essa pessoa?
OSTENSIVO -6-65- REV.2
OSTENSIVO EB-003
43. (EAMSC) Um certo metal é obtido, fundido-se 15 partes de cobre com 6 partes
de zinco. Para obter-se 136,5 kg desse metal, são necessários quantos kg de cada
componente?
44. (VUNESP - CM de Sumaré) Para ser aprovado, certo projeto de lei precisa que
dos 300 parlamentares, no mínimo 51% votem sim. No dia da votação, 150
parlamentares votaram sim. Nesse caso,
(A) faltaram apenas 2 votos para o projeto ser aprovado.
(B) faltaram apenas 3 votos para o projeto ser aprovado.
(C) o projeto foi aprovado com 3 votos a mais do que o mínimo necessário.
(D) o projeto foi aprovado com 5 votos a mais do que o mínimo necessário.
(E) o projeto foi aprovado com exatamente 51% de votos sim.
45. (FCC/BANRISUL - adaptada) Uma papelaria vende cadernos de dois tamanhos:
pequenos e grandes. Esses cadernos podem ser verdes ou vermelhos. No estoque
da papelaria, há 155 cadernos, dos quais 82 são vermelhos e 85 são pequenos.
Sabendo que 33 dos cadernos em estoque são pequenos e vermelhos, qual é a
porcentagem dos cadernos grandes que são verdes?
6.2 Capítulo 2 - Função Polinomial de 1º Grau
1. (CPAEAM - adaptada) João e Maria têm juntos 50 anos. Sabe-se que João é 10
anos mais velho que Maria. Qual é a idade de João?
2. (CPAEAM - adaptada) A soma de um número x com o dobro de um número y é
−7; e a diferença entre o triplo desse número x e o número y é igual a 7. Sendo
assim, é correto a�rmar que o produto xy tem que valor?
3. (IFES - adaptada) Quantos números inteiros existem entre dois números reais
positivos, tais que um é 3 unidades maior do que o dobro do outro e o produto
entre esses dois números é 10?
4. (IFES - adaptada) O an�trião de uma festa infantil tinha um número N de balas,
su�ciente para que cada criança presente ganhasse oito balas e ainda sobrariam
quatro. Enquanto realizava a distribuição, duas crianças foram embora e não
receberam as balas, cabendo então, a cada uma das demais crianças nove balas
e não sobrou nenhuma. Qual foi o número de crianças que recebeu balas?
OSTENSIVO -6-66- REV.2
OSTENSIVO EB-003
5. (IFES - adaptada) Uma pessoa brinca de arrumar palitos fazendo uma sequência
de quadrados como na �gura abaixo (�gura 6.7). Sabendo que ele construiu n
quadrados de acordo com o padrão apresentado na imagem, qual o número de
palitos que ele utilizou?
Figura 6.7: Palitos
6. (IFES - adaptada) Carlos e Emanuel trabalham em uma loja especializada em um
determinado produto. O salário de cada um é composto por um valor �xo mais
uma comissão por vendas desse produto. Carlos recebe R$ 1.200,00 de salário
�xo mais a reais por unidade vendida, enquanto Emanuel recebe R$ 1.800,00 de
salário �xo mais b reais por unidade vendida. Se cada um vender 60 unidades
no mês, seus salários serão iguais. Se cada um vender 120 unidades, o salário de
Carlos será 11/10 do salário de Emanuel. Qual será o salário de Carlos se ele
vender 20 unidades no mês?
7. (EEAR - adaptada) Seja a equação geral da reta ax + by + c = 0. Quando
a = 0, b ̸= 0 e c ̸= 0 a reta:
(A) passa pelo ponto (c,0);
(B) passa pelo ponto (0,0);
(C) é horizontal;
(D) é vertical.
8. (EEAR - adaptada) Hoje, o dobro da idade de Beatriz é a metade da idade de
Amanda. Daqui a 2 anos, a idade de Amanda será o dobro da idade de Beatriz.
Qual é a idade de Beatriz hoje?
9. (EEAR - adaptada) Na função f(x) = mx − 2(m − n),m, n ∈ R. Sabendo que
f(3) = 4 e f(2) = −2, quais são os valores de m e n?
OSTENSIVO -6-67- REV.2
OSTENSIVO EB-003
10. (EEAR - adaptada) Dada a reta
←→
DG , conforme ilustração abaixo (�gura 6.8),
e, sabendo que a área do quadrado ABCD é igual a 9 m2 e a área do quadrado
BEFG é 25 m2, qual é a equação da reta
←→
DG?
x
y
A B
CD
E
FG
Figura 6.8: Figura do exercício 10.
11. (EEAR - adaptada) Na função f(x) = 27
x+2
x , tal que x ̸= 0, o valor de x para
que f(x) = 36, é um número:
(A) divisível por 2
(B) divisível por 3
(C) divisível por 5
(D) divisível por 7
12. (EEAR - adaptada) Seja a função f(x) = 2x2 + 8x+ 5. Se P (a,b) é o vértice do
grá�co de f , qual é o valor de |a+ b|?
13. (EEAR - adaptada) Qual é a equação reduzida da reta que passa pelos pontos
a(0, 1) e b(6, 8)?
14. (ESA - adaptada) Sejam as funções reais dadas por f(x) = 5x+1 e g(x) = 3x−2.
Se m = f(n), calcule g(m).
15. (Vunesp - adaptada) Um clube promoveu um show de música popular brasileira
ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não-sócios. No total, o valor
arrecadado foi R$ 1.400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo-se que
o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse valor, qual
é o número de sócios presentes ao show?
16. (EPCAr - adaptada) Considere a função real f(x) = 1/(2x + 2), x ̸= 1. Se
f(−2 + a) + f(1/5) = f(−a), calcule f(a/2− 1) + f(4 + a).
OSTENSIVO -6-68- REV.2
OSTENSIVO EB-003
17. (EPCAr - adaptada) Sejam Q(x) e R(x) o quociente e o resto, respectivamente,
da divisão do polinômio x3−6x2+9x−3pelo polinômio x2−5x+6, em que x ∈ R.
O grá�co que melhor representa a função real de�nida por P (x) = Q(x) + R(x)
é:
(A)
x
y
(B)
x
y
(C)
x
y
(D)
x
y
18. (ESA) Em um treinamento de condicionamento físico, um soldado inicia seu
primeiro dia correndo 800 m. No dia seguinte corre 850 m. No terceiro 900 m e
assim sucessivamente até atingir a meta diária de 2.200 m. Ao �nal de quantos
dias, ele terá alcançado a meta?
(A) 31
(B) 29
(C) 27
(D) 25
(E) 23
19. (VUNESP - adaptada) Em uma sala, havia certo número de jovens. Quando
Paulo chegou, o número de rapazes presentes na sala �cou o triplo do número
de garotas. Se, ao invés de Paulo, tivesse entrado na sala Alice, o número de
garotas �caria a metade do número de rapazes. Qual era o número de jovens que
estavam inicialmente na sala (antes de Paulo chegar)?
20. (FAZU - adaptada) Determine o dobro do maior número natural n, tal que n
satisfaz a condição: 60% de (3n+ 1) é menor que a soma do número 1 com 75%
de (2n+ 1).
OSTENSIVO -6-69- REV.2
OSTENSIVO EB-003
21. (FATEC - adaptada) Uma pessoa, pesando atualmente 70 kg, deseja voltar
ao peso normal de 56 kg. Suponha que uma dieta alimentar resulte em um
emagrecimento de exatamente 200 g por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa
alcançará seu objetivo ao �m de quantas semanas?
22. (FUVEST - adaptada) Um casal tem �lhos e �lhas. Cada �lho tem o número de
irmãos igual ao número de irmãs. Cada �lha tem o número de irmãos igual ao
dobro do número de irmãs. Qual é o total de �lhos e �lhas do casal?
23. (EPCAr - adaptada) João, ao perceber que seu carro apresentara um defeito,
optou por alugar um veículo para cumprir seus compromissos de trabalho. A
locadora, então, lhe apresentou duas propostas:
� plano A: no qual é cobrado um valor �xo de R$ 50,00 e mais R$ 1,60 por
quilômetro rodado;
� plano B: no qual é cobrado um valor �xo de R$ 64,00 mais R$ 1,20 por
quilômetro rodado.
João observou que, para um certo deslocamento que totalizava k quilômetros,
era indiferente optar pelo plano A ou pelo plano B, pois o valor �nal a ser pago
seria o mesmo. É correto a�rmar que k é um número racional entre
(A) 14,5 e 20
(B) 20 e 25,5
(C) 25,5 e 31
(D) 31 e 36,5
24. (EAMSC) Considere a função a�m f(x) = ax+b de�nida para todo número real,
onde a e b são números reais. Sabendo que f(4) = 2, qual o valor da soma
f(f(3) + f(5))?
25. (PUC - SP) Às 8 horas de certo dia, um tanque cuja capacidade é de 2.000
litros estava cheio de água; entretanto, um furo na base desse tanque fez com
que a água por ele escoasse a uma vazão constante. Sabendo que às 14 horas
desse mesmo dia o tanque estava com apenas 1.760 litros, determine após quanto
tempo o tanque atingiu a metade da sua capacidade total.
OSTENSIVO -6-70- REV.2
OSTENSIVO EB-003
26. (UFRN - adaptada) Um comerciante decidiu fabricar camisetas de malha para
vendê-las na praia, ao preço de R$ 8,00 a unidade. Investiu R$ 320,00 no negócio.
Sabendo que o lucro (y) obtido é função da quantidade de unidades vendidas (x),
o grá�co que mais se aproxima da representação dessa função é:
(A)
x
y
−40
320
(B)
x
y
−40
320
(C)
x
y
−40
−320
(D)
x
y
40
−320
27. (EAMSC) O volume de água de um reservatório aumenta em função do tempo,
de acordo com o grá�co abaixo (�gura 22).
x(h)
y(kL)
1 2 3 4−1.0
1
2
0
Figura 6.9: Figura do exercício 22.
Para encher este reservatório de água com 2.500 litros, uma torneira é aberta.
Qual o tempo necessário para que o reservatório �que completamente cheio?
6.3 Capítulo 3 - Função polinomial de 2º grau
1. (ESA - adaptada) As funções do 2º grau com uma variável: f(x) = ax2 + bx+ c
terão valor máximo quando:
(A) a < 0
(B) b > 0
(C) ∆ > 0
(D) c < 0
(E) a > 0
OSTENSIVO -6-71- REV.2
OSTENSIVO EB-003
2. (CPAEAM) Se a soma dos quadrados das raízes da equação x2 + px + 10 = 0 é
igual a 29, é correto a�rmar que o valor de p2 é um múltiplo de:
(A) 2
(B) 3
(C) 5
(D) 7
(E) 9
3. (IFES - adaptada) Das alternativas abaixo, assinale a que representa uma raiz
da equação a+ bx+ cx2 = 0, sabendo que a, b e c são números reais positivos e
distintos.
(A)
b+
√
b2 − 4ac
2a
(B)
−b−
√
b2 − 4ac
2a
(C) a
(D)
−c−
√
a2 − 4bc
2b
(E)
−b−
√
b2 − 4ac
2c
4. (ESA - adaptada) Qual o grau do polinômio (4x− 1)(x2 − x− 3)(x+ 1)?
5. (EsPCEx - adaptada) Um portal de igreja tem a forma de um arco de parábola,
conforme �gura abaixo (�gura 6.10). A medida da sua base AB é 4 m e da sua
altura é 5 m. Um vitral foi colocado 3,2 m acima da base. Qual a medida CD
da base, em metros?
Figura 6.10: Figura do exercício 5
OSTENSIVO -6-72- REV.2
OSTENSIVO EB-003
6. (CPAEAM) É correto a�rmar que o valor da soma das raízes da equação
x4 = 7x2 + 18 é um número:
(A) primo
(B) divisor de 36
(C) múltiplo de 3
(D) divisor de 16
(E) divisor de 25
7. Dispondo de 100 metros de arame para delimitar um curral de forma retangular,
quais são as dimensões da construção para que a área cercada seja máxima?
8. Suponha que eu ainda disponha de 100 metros de arame para delimitar um curral
de forma retangular, mas aproveitando uma parede, de modo a cercar apenas
três lados. Se x é o comprimento de um lado perpendicular à parede do celeiro,
calcule o valor de x para que a área cercada seja máxima. Qual é o valor dessa
área máxima?
9. (EsPCEx - adaptada) Na �gura abaixo (�gura 6.11) estão representados os
grá�cos das funções reais f(x) (quadrática) e g(x) (modular) de�nidas em R.
Todas as raízes das funções f e g também estão representadas na �gura. Sendo
h(x) = f(x)/g(x), veri�que em que intervalos h(x) assume valores negativos.
x
y
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Figura 6.11: Desenho ilustrativo fora de Escala.
OSTENSIVO -6-73- REV.2
OSTENSIVO EB-003
10. (EPCAr - adaptada) Nos grá�cos abaixo (�gura 6.12) estão desenhadas uma
parábola e uma reta que representam as funções reais f e g de�nidas por
f(x) = ax2 + bx + c e g(x) = dx + e , respectivamente. Analisando
cada um deles, é correto a�rmar, necessariamente, que
x
f(x)
0
x
g(x)
Figura 6.12: Grá�cos de f(x) e g(x).
(A) (a+ e)c ≥ b
(B) −e/d < −b
(C) abc+ (e/d) > 0
(D) (−b+ a)e > ac
11. (CPAEAM - adaptada) Qual é a soma das raízes da equação 4x2− 11x+6 = 0 ?
12. (EPCAr - adaptada) Considere, em R, a equação (m+2)x2−2mx+(m−1) = 0
na variável x, em que m é um número real diferente de −2. Analise as a�rmativas
abaixo e classi�que em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).
( ) Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio.
( ) Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais.
( ) Na equação, se ∆ > 0 , então m só poderá assumir valores positivos.
13. (ENEM - adaptada) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por
dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de
desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por
exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200
litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada
litro, e v o valor em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, escreva uma
expressão que relaciona v e x.
OSTENSIVO -6-74- REV.2
OSTENSIVO EB-003
14. (EsPCEx - adaptada) Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça ao
custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, este fabricante venderá
por mês (600− x) unidades, em que 0 ≤ x ≤ 600. Qual é o número de unidades
vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo?
15. (ENEM - adaptada) Uma pessoa, em seu antigo emprego, trabalhava uma
quantidade x de horas por semana e ganhava R$ 60,00 pela semana trabalhada.
Em seu novo emprego, essa pessoa continua ganhando os mesmos R$ 60,00 por
semana. Trabalha, porém, 4 horas a mais por semana e recebe R$ 4,00 a menos
por hora trabalhada. Qual é o valor de x?
16. (ENEM - adaptada) Uma empresa vendia, por mês, 200 unidades de certo
produto ao preço de R$ 40,00 a unidade. A empresa passou a conceder desconto
na venda desse produto e veri�cou-seque a cada real de desconto concedido por
unidade do produto implicava na venda de 10 unidades a mais por mês. Para
obter o faturamento máximo de um mês, o valor do desconto, por unidade do
produto, deve ser de quantos reais?
17. (UFRGS - adaptada) O grá�co do polinômio de coe�cientes reais
P (x) = ax2 + bx + c está representado abaixo (�gura 6.13). Com base
nos dados desse grá�co, é correto a�rmar que os coe�cientes a, b e c satisfazem
as desigualdades
x
y
0
Figura 6.13: Grá�co de f(x).
(A) a > 0; b < 0; c < 0
(B) a > 0; b < 0; c > 0
(C) a > 0; b > 0; c > 0
(D) a > 0; b > 0; c < 0
(E) a < 0; b < 0; c < 0
OSTENSIVO -6-75- REV.2
OSTENSIVO EB-003
18. (VUNESP - adaptada) Em uma loja, todos os CDs de uma determinada seção
estavam com o mesmo preço, y. Um jovem escolheu, nesta seção, uma quantidade
x de CDs, totalizando R$ 60,00.
a) Determine y em função de x.
b) Ao pagar sua compra no caixa, o jovem ganhou, de boni�cação, 2 CDs a mais,
da mesma seção e, com isso, cada CD �cou R$ 5,00 mais barato. Com quantos
CDs o jovem saiu da loja e a que preço saiu realmente cada CD (incluindo os
CDs que ganhou)?
19. (ESA - adaptada) Quais os valores de k, de modo que o valor mínimo da função
quadrática f(x) = x2 + (2k − 1)x+ 1 seja −3?
20. (UNESP - adaptada) O grá�co da função quadrática de�nida por y = x2−mx+
(m− 1), onde m ∈ R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas.
Então, qual é o valor de y que essa função associa a x = 2?
21. (EAMSC) O grá�co abaixo (�gura 6.14) representa uma função do tipo
y = ax2 + bx + c, a ̸= 0:
x
y
0
Figura 6.14: Grá�co do exercício 21.
Podemos a�rmar:
(A) a > 0, b2 = 4ac, c > 0 e b < 0.
(B) a < 0, b2 > 4ac, c < 0 e b > 0.
(C) a < 0, b2 < 4ac, c < 0 e b > 0.
(D) a < 0, b2 > 4ac, c > 0 e b > 0.
(E) a < 0, b2 > 4ac, c < 0 e b < 0.
OSTENSIVO -6-76- REV.2
OSTENSIVO EB-003
22. (EAMCE) Qual das funções abaixo melhor representa o grá�co abaixo
(�gura 6.15)?
x
y
0
Figura 6.15: Figura do exercício 22.
(A) y = 2x2 + x+ 1
(B) y = −x2 + 2x− 2
(C) y = −x2 − 9
(D) y = x2 − 4
(E) y = x2 − 4x
23. (UNICAMP - adaptada) Uma piscina, cuja capacidade é de 120 m3, leva 20 horas
para ser esvaziada. O volume de água na piscina, t horas após o início do processo
de esvaziamento, é dado pela função V (t) = a (b− t)2 para 0 ≤ t ≤ 20 e v(t) = 0
para t ≥ 20.
a) Calcule as constantes a e b.
b) Faça o grá�co da função v(t) para t ≥ 20.
24. (UFAL - adaptada) O grá�co da função quadrática de�nida por
f(x) = 4x2 + 5x + 1 é uma parábola de vértice V e intercepta o
eixo das abscissas nos pontos A e B. Calcule a área do triângulo AV B.
25. (UFSM - adaptada) Um laboratório testou a ação de uma droga em uma amostra
de 720 frangos. Constatou-se que a lei de sobrevivência do lote de frangos era
dada pela relação v(t) = at2 + b, onde v(t) é o número de elementos vivos no
tempo t (meses). Sabendo-se que o último frango morreu quando t = 12 meses
após o início da experiência, qual a quantidade de frangos que ainda estava viva
no 10º mês?
OSTENSIVO -6-77- REV.2
OSTENSIVO EB-003
26. (ENEM - adaptada) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo
tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as
bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada
pela expressão t(h) = −h2 + 22h − 85, em que h representa as horas do dia.
Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua
temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela
abaixo (tabela 6.3) associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as
classi�cações: muito baixa, média, alta e muito alta. Quando o estudante obtém
o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está
Intervalos de temperatura Classi�cação
T < 0 Muito baixa
0 ≤ T ≤ 17 Baixa
17 < T < 30 Média
30 ≤ T ≤ 43 Alta
T > 43 Muilto alta
Tabela 6.3: Classi�cação dos intervalos de temperatura.
(A) muito baixa
(B) baixa
(C) média
(D) alta
(E) muito alta
27. (UFAL) O grá�co da função f , de R em R de�nida por f(x) = ax+ b, contém o
ponto (0; 0) e o vértice V da parábola de equação y = x2− 6x+7. Os valores de
a e b são tais que
(A) ab = −1
(B) ba = 1
(C) ab = −2/3
(D) a+ b = 2/3
(E) b− a = 2/3
OSTENSIVO -6-78- REV.2
OSTENSIVO EB-003
28. (PUC-RJ) Sabendo que a curva a seguir (�gura 6.16) é a parábola de equação
y = x2 − x − 6, calcule a área do triângulo ABC.
x
y
0
B
A
C
Figura 6.16: Grá�co da parábola y = x2 − x− 6.
6.4 Capítulo 4 - Gráficos estatísticos
1. (CPAEAM - adaptada) O grá�co a seguir (�gura 6.17) representa o resultado
de uma coleta seletiva de lixo realizada por uma empresa de limpeza urbana em
uma determinada praia do litoral brasileiro.
Figura 6.17: Resultado de coleta
De acordo com o grá�co, qual é a fração irredutível que representa a quantidade
de papel encontrado em relação à quantidade de lixo recolhido?
2. (EAMSC) Um grupo de pessoas apresenta as idades de 10, 13, 15 e 17 anos. Se
uma pessoa de 12 anos se juntar ao grupo, o que acontecerá com a média de
idade do grupo?
3. (ESA - adaptada) Uma pesquisa feita em uma Organização Militar constatou que
as idades de 10 militares eram: 25, 20, 30, 30, 23, 35, 22, 20, 30 e 25. Analisando
essas idades, quais são, respectivamente, a média aritmética, a moda e a mediana?
4. (EEAR - adaptada) Considere o conjunto de valores x, 90, 72, 58, 85, 55. Se 58 <
x < 72 e a mediana desse conjunto é 66, qual é o valor de x?
OSTENSIVO -6-79- REV.2
OSTENSIVO EB-003
5. (IFES - adaptada) O grá�co de setores abaixo (6.18) apresenta os dados de uma
entrevista realizada com 480 pessoas sobre a preferência de curso técnico. As
medidas dos ângulos centrais respectivos aos setores estão destacadas na �gura.
Qual a quantidade de entrevistados prefere o curso de Técnico em Mecânica,
sendo que cada pessoa optou por apenas um curso?
Figura 6.18: Dados sobre a preferência de curso técnico.
6. (IFES - adaptada) Na tabela abaixo (tabela 6.4), estão representados os dados
de uma pesquisa feita com 300 pessoas na praça de alimentação de um Shopping
Center. Nesse Shopping Center da pesquisa, que porcentagem dos entrevistados
gasta menos de R$ 24,00?
Ganhos em reais número de pessoas
8 ⊢ 16 50
16 ⊢ 24
x
2
24 ⊢ 32 x+ 5
Total ?
Tabela 6.4: Dados da entrevista sobre ganhos.
7. O histograma a seguir (�gura 6.19) mostra a altura de 20 atletas de uma equipe
de natação. Qual a porcentagem de atletas com altura maior ou igual a 1,80 m?
Figura 6.19: Altura dos atletas.
FONTE: Brasil escola.
OSTENSIVO -6-80- REV.2
OSTENSIVO EB-003
8. (ENEM - adaptada) A cidade de Guarulhos (SP) tinha o 8º PIB municipal
do Brasil em 2013 e, em proporção, possuía a economia que mais crescia em
indústrias, conforme mostra o grá�co abaixo (�gura 6.20). Analisando esses
dados percentuais, qual a diferença entre o maior e o menor percentual entre os
centros em crescimento industrial da época?
Figura 6.20: Crescimento da indústria.
9. (ENEM - adaptada) O número de indivíduos de certa população é representado
pelo grá�co abaixo (�gura 6.21). Em 1975, a população tinha um tamanho
aproximadamente igual ao de:
Figura 6.21: População em relação ao tempo.
(A) 1960
(B) 1963
(C) 1967
(D) 1970
(E) 1980
OSTENSIVO -6-81- REV.2
OSTENSIVO EB-003
10. (IFES - adaptada) A tabela abaixo (tabela 6.5) mostra a frequência atual
da distribuição de salários de uma Empresa. Um valor de R$ 4.000,00
será distribuído igualmente entre os funcionários e, somado ao salário atual,
representará o novo salário. Nestas condições, pode-se dizer que o menor salário
será de quantos reais?
Frequência Salários em reais
8 730
6 850
4 1.200
2 1.500
Tabela 6.5: Distribuição de salários de uma empresa.
11. (ENEM - adaptada) Um cientista trabalha com as espécies I e II de bactérias em
um ambiente de cultura. Inicialmente, existem 350 bactérias da espécie I e 1 250
bactérias da espécie II. O grá�co abaixo (�gura 6.22)representa as quantidades
de bactérias de cada espécie, em função do dia, durante uma semana. Em que
dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi
máxima?
Figura 6.22: Quantidade de bactérias.
12. (Mackenzie - SP - adaptada) A média aritmética de n números positivos é 7.
Retirando-se do conjunto desses números o número 5, a média aritmética dos
números que restam passa a ser 8. Qual é o valor de n?
OSTENSIVO -6-82- REV.2
OSTENSIVO EB-003
13. (UCB - adaptada) Com base exclusivamente nos dados apresentados no grá�co
abaixo (�gura 6.23) quanto à cotação do dólar comercial no último dia útil de
cada mês de 2015, assinale a alternativa correta.
Figura 6.23: Cotação do dólar.
Disponível em: http://oglobo.globo.com. Acesso em: 28 nov. 2016.
(A) Em dezembro de 2014, a cotação do dólar comercial foi menor que 2,689.
(B) O maior valor para a cotação do dólar comercial foi veri�cado em 28 de
setembro.
(C) A função que representa o valor da cotação do dólar comercial em relação
ao tempo é crescente, no intervalo apresentado no grá�co.
(D) A diferença entre os valores da cotação do dólar comercial de maio e de
março foi menor que um centavo de real.
(E) Em 15 de agosto, o valor da moeda foi menor que 3,629.
14. (EEAR - adaptada) Ao calcular a média aritmética das notas dos Testes Físicos
(TF) de suas três turmas, um professor de Educação Física anotou os seguintes
valores:
Turma Número de alunos Média do TF
A 20 9
B 40 7,5
C 30 8
Tabela 6.6: Notas dos testes físicos.
Qual foi a média aritmética das notas do TF dos 90 alunos das turmas A, B e
C?
OSTENSIVO -6-83- REV.2
http://oglobo.globo.com/economia/negocios/bc-prometeduas-intervencoes-de-ate-us-3-bi-no-mercado-de-cambio-17625197
OSTENSIVO EB-003
15. (ESPCEx) Uma fábrica de tratores agrícolas, que começou a produzir em 2010,
estabeleceu como meta produzir 20.000 tratores até o �nal do ano de 2025. O
grá�co abaixo (�gura 6.24) mostra as quantidades de tratores produzidos no
período 2010-2017. Admitindo que a quantidade de tratores produzidos evolua
nos anos seguintes segundo a mesma razão de crescimento do período 2010-2017,
é possível concluir que a meta prevista
Figura 6.24: Quantidade anual de tratores fabricados.
(A) deverá ser atingida, sendo superada em 80 tratores.
(B) deverá ser atingida, sendo superada em 150 tratores.
(C) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 1.850 tratores a menos.
(D) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 150 tratores a menos.
(E) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 80 tratores a menos.
16. (EEAR - adaptada) A tabela seguinte (tabela 6.7) informa a quantidade de
pessoas que compraram ingressos antecipados de um determinado show, cujos
preços eram modi�cados semanalmente. Qual o percentual de pessoas que
adquiriram o ingresso por menos de R$ 125,00?
Valor do ingresso (R$) Número de pessoas
50 ⊢ 75 300
75 ⊢ 100 640
100 ⊢ 125 500
125 ⊢ 150 1.310
150 ⊢ 175 850
Tabela 6.7: Quantidade de pessoas que compraram ingressos antecipados.
OSTENSIVO -6-84- REV.2
OSTENSIVO EB-003
17. (ESA - adaptada) O exército realizou um concurso de seleção para contratar
sargentos e cabos. A prova geral foi igual para ambos. Compareceram 500
candidatos para sargento e 100 para cabo. Na prova, a média de todos os
candidatos foi 4, porém, a média apenas entre os candidatos a sargento foi 3,8.
Desse modo, qual foi a média entre os candidatos a cabo?
18. (EEAR - adaptada) Os salários de 100 funcionários de uma determinada empresa
estão representados na tabela abaixo (tabela 6.8). Com relação às medidas de
tendência central, mediana e moda, pode-se a�rmar que:
Salários (em reais) Nº de funcionários
1200 29
1700 23
2300 25
2800 13
3500 10
Total 100
Tabela 6.8: Quantidade de funcionários que possuem determinado salário.
(A) a moda é aproximadamente 1,5 vezes maior que a mediana.
(B) o valor da mediana é maior que o dobro do valor da moda.
(C) a diferença entre a mediana e a moda é igual a R$ 500,00.
(D) o valor da moda é superior a R$ 1.500,00.
19. (AFA - adaptada) Em uma turma de 5 alunos, as notas de um teste de matemática
são números inteiros tais que a média aritmética e a mediana são iguais a 5, e
nenhum aluno errou todas as questões. Sabendo que esse conjunto de notas é
unimodal, com moda igual a 8, então a diferença entre a maior nota e a menor
nota é um número que é divisor de
(A) 14
(B) 15
(C) 16
(D) 18
OSTENSIVO -6-85- REV.2
OSTENSIVO EB-003
20. (EEAR - adaptada) A tabela abaixo mostra os números dos sapatos dos
candidatos ao Curso de Formação de Sargentos 1/2018 da Força Aérea Brasileira.
Qual é a Moda dessa Distribuição?
Nº do sapato fi
33 182
34 262
35 389
36 825
37 1.441
38 2.827
39 3.943
40 2.126
41 1.844
42 1.540
43 989
44 421
Total 16.789
Tabela 6.9: Quantidade de sapatos dos candidatos.
21. (EAMCE) O grá�co abaixo (�gura 6.25) ilustra a variação da velocidade de um
automóvel preso em um congestionamento, representado, em certo intervalo de
tempo.
Tempo (min)
Velocidade
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
20
40
60
80
100
Figura 6.25: Variação da velocidade de um automóvel preso em um congestionamento.
Quantos minutos o veículo permaneceu imóvel ao longo do intervalo de tempo
total analisado?
OSTENSIVO -6-86- REV.2
OSTENSIVO EB-003
22. (AFA - adaptada) Na tabela a seguir (tabela 6.10) estão relacionados os salários
de todos os funcionários das classes A, B e C de uma empresa cuja média salarial
é R$ 1.680,00. Se a mediana para a distribuição de frequências obtida acima é
m, qual é a soma dos algarismos de m?
Classes Salários Quantidade de funcionários
A 900 ⊢ 1.500 20
B 1.500 ⊢ 2.100 x
C 2.100 ⊢ 2.700 10
Tabela 6.10: Salários dos funcionários das classes A, B e C.
23. (EAMSC) No segundo bimestre, João alcançou as seguintes médias:
Matemática: 8,5 Português: 7,3 História: 7,0 Geogra�a: 7,5
Inglês: 9,2 Espanhol: 8,4 Física: 9,0
Química: 7,2 Biologia: 8,0 Educação Física: 9,5
Determine a média aritmética bimestral de João.
24. (AFA - adaptada) As notas de oito alunos numa prova de matemática foram
escritas pelo professor numa tabela como a que segue (tabela 6.11):
Aluno A B C D E F G H
Nota 6,5 10 8 9,4 8 6,4 x 7,4
Tabela 6.11: Notas dos alunos na prova de Matemática.
Sabe-se que a média aritmética dessas notas é 8,2 Considerando as notas dos oito
alunos, é correto a�rmar que a nota do aluno G é
(A) igual à moda.
(B) inferior a 9,8
(C) superior à mediana.
(D) inferior à média aritmética das outras sete notas.
OSTENSIVO -6-87- REV.2
OSTENSIVO EB-003
25. (AFA - adaptada) No Atlas de Desenvolvimento Humano no Brasil 2013 constam
valores do Índice de Desenvolvimento Humano Municipal (IDHM) de todas as
cidades dos estados brasileiros. O IDHM é um número que varia entre 0 e 1.
Quanto mais próximo de 1, maior o desenvolvimento humano de um município,
conforme escala a seguir (�gura 6.26):
Figura 6.26: Escala de IDHM
Abaixo (�gura 6.27) estão relacionados o IDHM de duas cidades de Minas
Gerais em condições extremas, Monte Formoso e Uberlândia, e uma em situação
intermediária, Barbacena.
Figura 6.27: IDHM das cidades.
Analisando os dados acima, a�rma-se que
I. o município de maior crescimento do IDHM, nos períodos considerados, é
Monte Formoso.
II. na última década, Barbacena apresentou maior evolução do IDHM que
Uberlândia.
III. uma tabela que relaciona cidade, época e faixa de IDHM pode ser
representada corretamente como:
Monte Formoso Barbacena Uberlândia
1991 Muito baixo Baixo Baixo
2000 Muito baixo Alto Alto
2010 Baixo Alto Alto
São corretas
(A) apenas I e II
(B) apenas II e III
(C) apenas I e III
(D) I, II e III
OSTENSIVO -6-88- REV.2
OSTENSIVO EB-003
6.5 Capítulo 5 - Interpolação linear
1. (UFF) A Cerâmica Marajó concede uma grati�cação mensal a seus funcionários
em função da produtividade de cada um é convertida em pontos; a relação entre
a grati�cação e o número de pontos está representada no grá�coa seguir (�gura
6.28).
número de pontos
grati�cação (em reais)
30 50 90100
110
310
Figura 6.28: Grá�co dos números de pontos e grati�cação.
Observando que, entre 30 e 90 pontos, a variação da grati�cação é proporcional
à variação do número de pontos, determine a grati�cação que um funcionário
receberá no mês em que obtiver 100 pontos.
2. (UFRN - adaptada) Na �gura a seguir (�gura 6.29), tem-se o grá�co de uma
reta que representa a quantidade, medida em mL, de um medicamento que uma
pessoa deve tomar em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de
determinada infecção. O medicamento deverá ser aplicado em seis doses.
kgf
mL
25 65 85
12
40
Figura 6.29: Grá�co da quantidade de um medicamento a ser tomado em função do peso.
Assim, uma pessoa que pesa 85 kgf receberá em cada dose:
(A) 7 mL
(B) 9 mL
(C) 8 mL
(D) 10 mL
OSTENSIVO -6-89- REV.2
OSTENSIVO EB-003
3. (UERJ - adaptada) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está
representada, no grá�co a seguir (�gura 6.30), por 6 pontos de uma mesma reta.
quantidade de
unidades compradas
valor total da compra (R$)
5 3020
150
50
Figura 6.30: Preço da mercadoria pela quantidade de unidades compradas.
Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará quantos reais
por unidade?
4. (PUCMG - adaptada) A tabela mostra a expectativa de vida ao nascer de pessoas
de um certo país:
Ano de nascimento 1960 1980 2000
Expectativa de vida (em anos) 66,6 71,0 75,4
Tabela 6.12: Expectativa de vida ao nascer.
Supondo-se que a expectativa de vida aumente de forma linear, uma pessoa
nascida nesse país, no ano de 2010, deverá viver quantos anos, meses e dias?
Considere 1 ano como tendo 365 dias.
5. Sabendo que 3
√
2 ≈ 1,26 e 3
√
4 ≈ 1,59, a 3
√
3 é aproximadamente:
(A) 1,921
(B) 1,732
(C) 1.755
(D) 1,442
(E) 1,425
OSTENSIVO -6-90- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Capítulo 7
Resolução dos Exercícios
7.1 Capítulo 1 - Razões e proporções
1. A razão 1/4 é equivalente à razão 3/12, pois 1 : 4 = 0,25 e 3 : 12 = 0,25.
Logo, são razões iguais e, consequentemente, são proporcionais. Além disso,
1
4
=
1× 3
4× 3
=
3
12
.
2. Como 20 = 20/1, sua razão inversa será 1/20.
3. Temos, na embalagem de um determinado mentimento do rancho, a indicação de
500 g de �peso� líquido e 600 g de �peso� bruto.
a) A razão entre os pesos bruto e líquido é
600
500
=
6
5
.
b) Se uma embalagem do produto indicar um valor bruto de 1.260 g, então o valor
líquido (L) satisfará que
1.260 g
L
=
6
5
. Assim L =
(5× 1.260) g
6
= 1.050 g.
c) Se uma embalagem do produto indicar um valor líquido de 1.260 g, então
o valor bruto (B) satisfará que
B
1.260 g
=
6
5
. Assim B =
(6× 1.260) g
5
=
1.512 g.
4. Como 5, 4, 50 e x formam uma proporção nessa ordem, com x ̸= 0,
5
4
=
50
x
.
Logo, 5x = 4× 50 = 200 e, x = 40. Além disso, como 5, 4, 50 e x formam uma
proporção nessa ordem, com x ̸= 0, 5 : 4 = 50 : x. Pelo princípio fundamental
das proporções, temos que 5x = 4× 50, e x = 40.
5. Chamando de e a quantidade de funcionários efetivos e de c a quantidade de
funcionários contratados e como a relação entre os totais de funcionários é de
5 efetivos para 2 contratados, temos que e/c = 5/2. Logo,
e+ c
5 + 2
=
e
5
. Assim,
e
5
=
210
7
= 30 e, consequentemente, e = 5× 30 = 150 e c = 210− 150 = 60.
OSTENSIVO -7-91- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Solução alternativa: A razão de 5 efetivos para 2 contratados nos diz que a
cada 7 funcionários, 5 são efetivos e 2 são contratados. Como em 210 formamos
210 : 7 = 30 grupos de 7 funcionários, teremos um total de 30 grupos de 5 efetivos,
num total de 30× 5 = 150 funcionários efetivos e 30× 2 = 60 contratados.
Solução alternativa: A razão de 5 efetivos para 2 contratados, nos dá que
e
c
=
5
2
. (7.1)
Como e+ c = 210, temos que
c = 210− e. (7.2)
Substituindo (7.2) em (7.1), temos
e
210− e
=
5
2
.
Assim, 5 × (210 − e) = 2e. Logo, 1.050 − 5e = 2e ⇒ 7e = 1.050 e e = 150.
Consequentemente, c = 60.
6. A cisterna de uma escola, de volume total de 6 m3 (equivalente a 6.000 L), está
com 1.500 L de água.
a) A raão entre a quantidade de água restante e a capacidade total da cisterna
é
1.500 L
6.000 L
=
1
4
= 0,25;
b) A razão entre o volume que já saiu da cisterna e o que ainda nela se encontra
(6.000− 1.500) L
1.500 L
=
4.500 L
1.500 L
= 3.
c) A razão entre o volume que já saiu da cisterna e seu volume total é
4.500 L
6.000 L
=
15
2
= 7,5.
7. O soldo do Marinheiro-recruta em janeiro de 2018 era de R$ 854,00 e em janeiro
de 2019 é de R$ 956,00.
OSTENSIVO -7-92- REV.2
OSTENSIVO EB-003
� O valor aproximado, com duas casas decimais, que resulta ao dividir o
antecedente pelo consequente da razão entre o valor de janeiro de 2.019
e o de janeiro de 2.018 é
R$ 956,00
R$ 854,00
≈ 1,12.
� Se um marinheiro gastava 4/5 do valor bruto do soldo de 2.018, sobravam
R$ (854,00− 4/5× 854,00) = R$ (854,00− 683,20) = R$ 170,80.
Solução alternativa: Se ele gastou 4/5, sobrou 1 − 4/5 = 1/5. Logo,
sobrou R$ (1/5× 854,00) = R$ 170,80.
� Se ele gastar 80% de soldo bruto de 2.019, sobrarão R$ (956,00 − 0,8 ×
956,00) = R$ (956,00− 764,80) = R$ 192,00.
Solução alternativa: Se ele gastou 80%, então sobrará (100−80)% = 20%.
Assim, sobrará R$ (0,2× 956,00) = R$ 191,20.
8. Durante um torneio de futebol entre os pelotões de uma EAM, um time teve
12 pênaltis assinalados a seu favor. A razão entre o total de acertos e o de
cobranças foi de 3/4. Sejam T o total de pênaltis assinalados, A o total de pênaltis
acertados e E o total de pênaltis errados. Assim, teremos que A/T = 3/4,
E/T = (4− 3)/4 = 1/4 e A/E = 3/1.
a) Como A + E = 12, teremos que E = 12 − A. Assim, A/(12 − A) = 3/1.
Logo, A = 36 − 3A e 4A = 36. Então a quantidade de pênaltis que foram
convertidos em gol pelo pelotão é A = 9.
b) Foram desperdiçados E = 12− 9 = 3 pênaltis.
9. A soma de dois números é 120 e eles estão entre si como 5 está para 7. Chamando
de x o menor e de y o maior, teremos que
x+ y
5 + 7
=
x
5
=
y
7
. Assim,
120
12
=
x
5
.
Logo, x =
120× 5
12
= 50 e y = 120− 50 = 70.
Solução alternativa: Como x + y = 120 , temos que y = 120 − x. Como
eles estão entre si como 5 está para 7, temos que
x
y
=
5
7
. Logo,
x
120− x
=
5
7
e
7x = 600− 5x. Consequentemente, x = 600 : 12 = 50 e y = 70.
10. Uma vez que x + y = 70 e
x
y
=
10
18
, temos que
70
28
=
x
10
e x =
70× 10
28
= 25 e
y = 70− 25 = 45.
OSTENSIVO -7-93- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Solução alternativa: Como x + y = 70, temos que y = 70 − x. Uma vez que
x
y
=
10
18
=
5
9
, teremos que
x
70− x
=
5
9
. Logo, 9x = 350−5x e 14x = 350. Assim,
x = 25 e y = 45.
11. Dois meninos (chamaremos de M1 e M2) foram colher acerolas, sendo que o
primeiro colheu 1.200 frutas em 2 h e, o segundo, 2.400 em 8 h. Utilizando a
razão acerolas/tempo, temos que M1 teve o desempenho de colher 1.200/2 =
600 acerolas/h e, M2, 2.400/8 = 300 acerolas/h.
� Como a colheira de um não interfere do outro, podemos supor que os
meninos colheram um total de (1.200+2.400) acerolas = 3.600 acerolas num
total de (8 + 2) h = 10 h. Isto mostra que foram colhidas
3.600 acerolas
10 h
=
360
acerolas
h
, isto é, a cada hora trabalhada foram colhidas 360 acerolas.
Logo, M1 deve receber
(
2 h× 360
acerolas
h
)
= 720 acerolas. E M2,
(3.600− 720) acerolas = 2.880 acerolas.
� Como a e�ciência de colheita baseia-se na velocidade de colheita de cada
menino, temos que foram colhidas um total de 3.600 acerolas numa
velocidade total de colheita de (600 + 300) acerolas/h = 900 acerolas/h.
Isto mostra que foram colhidas
3.600 acerolas
900 acerolas/h
= 4
acerolas
acerolas/h
, isto é, a
cada unidade de velocidade (acerolas/h) foram colhidas 4 acerolas. Logo,
M1 deve receber
(
600 acerolas/h× 4
acerolas
acerolas/h
)
= 2.400 acerolas. E M2,
(3.600− 2.400) acerolas = 1.200 acerolas.
12. Temos que as bacias sanitárias ecológicas utilizam 6 litros de água por descarga
e as não ecológicas, 15 litros.
a) A razão entre o consumo da bacia nãoecológica e o da ecológica é
15 L
6 L
=
5
2
.
Isto quer dizer que enquanto a bacia ecológica consome 5 L de água, a outra
consome 2 L.
b) Como a razão entre o consumo da bacia não ecológica (N) e o consumo da
bacia ecológica E é 5/2, temos que N/E = 5/2. Logo, 60/E = 5/2 e 5E =
120. Assim temos que E = 24 L e a economia será de (60− 24) L = 36 L.
13. a) 25% de 600 =
25
100
× 600 = 150.
OSTENSIVO -7-94- REV.2
OSTENSIVO EB-003
b) 0,5% de 6 =
0,5
100
× 6 = 0,03.
c) 35% de 800 =
35
100
× 800 = 280.
d) 0,003% de 1.200 =
0,003
100
× 1.200 = 0,036.
e) 50% de 1.234 =
50
100
× 1.234 = 617.
f) 123% de 0,25 =
123
100
× 0,25 = 0,3075.
14. A pergunta �x representa que percentual de y� é a mesma pergunta que �x
representa que fração de y�. Assim sendo, o percentual será R$ 175,80 :
R$ 879,00 = 0,2 = 0,20 =
20
100
= 20%, isto é, R$ 175,80 representa 20% de
R$ 879,00.
15. a) O desconto para a compra a vista em reais será 15% de R$ 750,00 = 0,15 ×
R$ 750,00 = R$ 112,50.
b) O preço da mercadoria com desconto será R$ (750− 112,50) = R$ 637,50.
Solução alternativa: Como tivemos um desconto de 15%, a porcentagem
com desconto será (100− 15)% = 85%. Assim, o valor com desconto será de
0,85× R$ 750,00 = R$ 637,50.
16. a) 0,35 =
35
100
.
b) 0,3 = 0,30 =
30
100
.
c) 42 : 10 =
42
10
=
420
100
.
d) 5% =
5
100
.
e) 30/200 =
15
100
.
17. a) 320/400 = 320 : 400 = 0,8.
b) 0,32/100 = 0,0032
c) 35/700 = 35 : 700 = 0,05
d) 32,2% =
32,2
100
=
3,22
10
= 0,322.
OSTENSIVO -7-95- REV.2
OSTENSIVO EB-003
18. Se dos 26 alunos, 18 nasceram no estado do Rio de Janeiro, então a quantidade
de alunos que não nasceram no Rio de Janeiro será de 25 − 18 = 7 alunos, e a
porcentagem é 18/26 ≈ 0,307692308 ≈ 31%.
19. a) 1.260× 52/100 = 12,6× 52 = 655,2. Logo, 656 pessoas rejeitam o time A.
b) 1.260− 656 = 604 pessoas não rejeitam o time A.
20. Como foram gastos 11% com previdência, 30% com poupança e 35% com
alimentação, restam (100− [11 + 30 + 35])% = (100− 76)% = 24% do seu
salário, que correspondem a R$ 479,76. Dessa forma, 1% do salário vale
R$ (479,76 : 24) = R$ 19,99.
a) O valor gasto com a alimentação é de R$ (35× 19,99) = R$ 699,65.
b) O total recolhido pela previdência é de R$ (11× 19,99) = R$ 219,89.
c) O valor depositado na poupança foi de R$ (30× 19,99) = R$ 599,70.
d) O salário bruto de José era de R$ (100× 19,99) = R$ 1.999,00.
21. O não equivale a 25% de 280 (número inteiro que melhor aproxima 279 em uma
divisão por 4). Assim, 280× 25/100 = 280/4 = 70 pessoas.
Letra (C).
22. Aplicar descontos sucessivos é realizar descontos sobre um valor que já sofreu
desconto anterior. Assim, aplicar um desconto sucessivo de 20% e 30% é fazer um
desconto de 30% sobre o valor do desconto de 20%. Suponha que temos um valor
de 100 reais. Ao aplicarmos um desconto de 20% �caremos com (100−20) reais =
80 reais e, ao aplicar o desconto de 30% sobre o novo valor (80 reais), �caremos
com R$ 80,00 − R$ 80,00 × 30/100 = R$ 80,00 (100− 30) /100 = R$ 80,00 ×
70/100 = R$ 56,00. Logo, o desconto total é de (100− 56)% = 44%.
Solução alternativa: Aplicar um desconto de x% a um determinado valor v é
fazer v (1− x/100). Assim, aplicar um desconto sucessivo de 20% e 30% é fazer
(1− 20/100) (1− 30/100) = (1− 0,2) (1− 0,3) = 0,8×0,7 = 0,56 = (1− 0,44) =
(1− 44/100), isto é, é aplicar um desconto total de 44%.
OSTENSIVO -7-96- REV.2
OSTENSIVO EB-003
23. Pagando a primeira parcela temos (400−260) reais = 140 reais. O cliente passa a
dever 140 reais e a nova parcela é de 260 reais. Assim, os juros são de (260−140)
reais = 120 reais. Dessa forma, 120 : 140 = 0,857142857. Aproximadamente 86%
de juros sobre a parcela devida.
24. Aplicar um aumento percentual de x% a um valor v, é fazer v + v × x/100 =
v(1+x/100). Assim, aplicar um aumento de 30% e um desconto de 20% sobre um
determinado preço é aplicar uma porcentagem total de (1+30/100)(1−20/100) =
1,3×0,8 = 1,04 = (1+4/100), isto é terá um aumento real de 4%. A mercadoria
valerá R$ 350,00× 1,04 = R$ 364,00.
Solução alternativa: Aplicando o aumento de 30% teremos R$ 350,00 +
R$ 350,00×30/100 = R$ 350,00+R$ 105,00 = R$ 455,00. Aplicando o desconto
de 20%, teremos R$ 455,00 − R$ 455,00 × 20/100 = R$ 455,00 − R$ 91,00 =
R$ 364,00. O preço da mercadoria na promoção é R$ 364,00.
25. Como a escala é E = 1 : 100.000, então cada 1 centímetro no mapa representa
100.000 centímetros da �gura real.
26. Como a escala é 1:300.000, temos que
1
300.000
=
25 cm
D
.
Assim, o valor da distância real D é
D = (25× 300.000) cm = 7.500.000 cm = 75.000 m = 75 km.
27. No mapa cuja escala é 1/10.000.000 temos que
1
10.000.000
=
d1
4.500 km
.
Assim, a distância entre os dois pontos d1 será
d1 =
4.500 km
10.000.000
=
450.000.000 cm
10.000.000
=
450 cm
10
= 45 cm.
OSTENSIVO -7-97- REV.2
OSTENSIVO EB-003
No outro mapa cuja escala é 1/50.000.000, temos que
1
50.000.000
=
d2
4.500 km
.
Assim, a distância entre os dois pontos d2 será
d2 =
4.500 km
50.000.000
=
450.000.000 cm
50.000.000
=
450 cm
50
= 9 cm.
28. Num mapa cuja escala seja 1:725.000 temos
1
725.000
=
9 cm
L
.
Assim, o lado do quadrado L da reserva �orestal na realidade será de
L = (9× 725.000) cm = 6.525.000 cm = 65.250 m = 65,25 km.
Logo a área A da reserva será A = 65,252 km2 = 4.257,5625 km2 =
4.257.562.500 m2.
29. Num mapa onde uma distância real de 10 km equivale a 5 cm, a escala será
E = 5 cm/10 km = 5 cm/1.000.000 cm = 1/200.000.
Se a área da reserva é 250.000 m2, então seu lado L será
L =
√
250.000 m2 = 500 m = 50.000 cm.
Assim, a representação do lado l da reserva sobre o mapa terá
1
200.000
=
l
50.000 cm
.
Logo,
l =
50.000
200.000
cm = 0,25 cm.
OSTENSIVO -7-98- REV.2
OSTENSIVO EB-003
30. Classi�que os pares de grandezas a seguir em diretas ou inversas.
(direta) Valor aplicado em dinheiro em um banco e o total de rendimentos obtidos à
uma taxa constante e pré-�xada. Quanto mais valores aplicados, maior será
os rendimentos.
(inversa) Tempo de conclusão de uma obra e a quantidade de operários necessários
para concluí-la. Quanto mais operários trabalhando, menos tempo gasto na
conclusão.
(direta) Quantidade de alunos em uma EAM e o total de pães necessários para o
café da manhã. Quanto mais alunos, mais pães preciso no café da manhã.
(inversa) Quantidade de alunos em uma EAM e a duração do estoque de comida para
o rancho. Quanto mais alunos temos, menos tempo durará o estoque de
comida para o rancho.
(inversa) Vazão de uma torneira e o tempo necessário para preencher um balde.
Quanto maior a vazão da torneira, menos tempo será necessário para encher
o balde.
(direta) Quantidade de litros de tinta para pintar uma parede e as medidas da
parede. Quanto maior as medidas da parede forem, mais litros de tinta
serão necessários.
31. As grandezas quantidade de trabalhadores e quantidade de obra executada,
mantido o tempo de execuçõ, são diretamente proporcionais (dp). Para dobrar
a área construída, passar de 32 para 64 metros quadrados, deveremos dobrar a
quantidade de trabalhadores que passará de 4 trabalhadores para 8.
32. As grandezas comprimento de tecido e preço são diretamente proporcionais. Logo
teremos
8 m
28 m
=
R$ 345,68
x
.
Assim, 8x = 28× 345,68 e x = 1.209,88 reais.
Solução alternativa: Se oito metros de um tecido custam R$ 345,68, então o
metro custará R$ (345,68 : 8) = R$ 43,21 e 28 metros custará R$ (28× 43,21) =
R$ 1.209,88
OSTENSIVO -7-99- REV.2
OSTENSIVO EB-003
33. Como as grandezas número de professores e número de dias são inversamente
proporcionais, teremos a seguinte proporção:
25
75
=
x
28
.
Assim, 75x = 25× 28 e x = 9,333 . . . ≈ 10 dias.
Solução alternativa: Se vinte e cinco professores gastaram 28 dias para corrigir
as provas de redação de um vestibular, então tínhamos 25 × 28 = 700 provas.
Assim, setenta e cinco professores gastariam 700 : 75 = 9,333 . . . ≈ 10 dias para
corrigir as provas.
34. Como as grandezas velocidade do automóvel e tempo gasto no percursosão
inversamente proporcionais, temos
100 km/h
75 km/h
=
x
25 min
=
x
0,41666 . . . h
.
Assim, 75x = 0,41[6]× 100 e x = 0,555 . . . h = 33,33 . . . min = 2.000 s.
Solução alternativa: Se o automóvel desenvolve uma velocidade de 100 km/h,
em 25 minutos percorrerá uma distância d de d = 100 km/h × 25/60 h =
41,[6] km. Se percorrer este percurso numa velocidade de 75 km/h, gastará
41,[6] km : 75 km/h = 0,[5] h.
35. Como as grandezas quantidade de torneiras e tempo são inversamente
proporcionais, temos
5
6
=
x
2 h
.
Assim, x =
(
5
6
× 2
)
h = 1,[6] h = 1h40min = 100 min.
Solução alternativa: Como cinco torneiras enchem completamente um tanque
em duas horas, cada torneira encherá o tanque em (2× 5) h = 10 h. Assim, seis
torneiras encherão o mesmo tanque em 10/6 h = (10/6× 60) min = 100 min .
36. A roda dianteira de um trator tem 1 m de diâmetro e a roda traseira, 1 m de
raio. Se a roda dianteira se deslocar por 1 m, a roda traseira se deslocará 1 m.
OSTENSIVO -7-100- REV.2
OSTENSIVO EB-003
37. As grandezas volume despejado pela torneira e tempo de enchimento são
diretamente proporcionais, assim
60 L
x
=
10 min
25 min
=
2 min
5 min
.
Logo, 2x = 5× 60 e x = 150 L.
Solução alternativa: Como a torneira despeja 60 litros de água em um tanque
em 10 minutos, ela possui uma vazão V de V = 60 L/10 min = 6 L/min. Assim,
em 25 minutos ela despejará 6 L/min×25 min = 150 L.
38. Como as grandezas tempo e quantidade de pães são diretamente proporcionais,
temos
30
28
=
13.500
x
.
Assim, 30x = 28× 13.500 e x = 12.600 pães.
Solução alternativa: Como em 30 dias em uma EAM são necessários
13.500 pães para o café da manhã dos alunos, em um dia são consumidos
(13.500 : 30) pães = 450 pães. Assim nos 28 dias de fevereiro serão consumidos
(450 × 28) pães = 12.600 pães.
39. Trataremos o problema em duas partes. Na primeira parte manteremos as horas
diárias �xas, isto é, o problema será o seguinte: se 9 tratores, trabalhando 8 horas
diárias, gastam 5 dias para terraplanar. Quantos dias 15 tratores gastarão para
terraplanar trabalhando as mesmas 8 horas diárias? Como as grandezas número
de tratores e dias de trabalho são inversamente proporcionais, temos que
9
15
=
x
5
.
Assim, 15x = 9 × 5 e x = 3 dias, isto é, os 15 tratores gastarão 3 dias se
trabalharem durante 8 horas diárias na terraplanagem.
Agora, manteremos o número de tratores �xos, isto é, o problema será: 15
tratores, trabalhando 8 horas diárias, gastam 3 dias para terraplanar um terreno.
Quantos dias os mesmos 15 tratores gastarão para terraplanar se trabalharem 6
OSTENSIVO -7-101- REV.2
OSTENSIVO EB-003
horas diárias? Como as grandezas tempo total e tempo diário são inversamente
proporcionais, temos que
x
3
=
8
6
.
Assim, x = 3× 8
6
= 4, isto é, 15 tratores gastarão 4 dias para terraplanarem um
terreno se trabalharem 6 horas diárias.
7.2 Capítulo 2 - Função Polinomial de 1º Grau
1. a) v = −2t+ 3;
� coe�ciente angular = a = −2;
� intercepto eixo-y = coe�ciente linear = b = 3;
� intercepto eixo-x = − b
a
= − 3
−2
=
3
2
= 1,5;
� esboço do grá�co:
t
v
1.5
3
Figura 7.1: Grá�co da função v = −2t+ 3.
b) r = −5− 6s;
� coe�ciente angular = a = −6;
� intercepto eixo-y = coe�ciente linear = b = −5;
� intercepto eixo-x = − b
a
= −−5
−6
= −5
6
≈ −0,83333;
� esboço do grá�co:
s
r
−0.83333
−5.0
Figura 7.2: Grá�co da função r = −5− 6s.
OSTENSIVO -7-102- REV.2
OSTENSIVO EB-003
c) P = 40 + 2x;
� coe�ciente angular = a = 2;
� intercepto eixo-y = coe�ciente linear = b = 40;
� intercepto eixo-x = − b
a
= −40
2
= −20;
� esboço do grá�co:
x
P
−20.0
40
Figura 7.3: Grá�co da função P = 40 + 2x.
d) y = x/3;
� coe�ciente angular = a =
1
3
≈ 0,3333;
� intercepto eixo-y = coe�ciente linear = b = 0;
� intercepto eixo-x = − b
a
= − 0
1/3
= 0;
� esboço do grá�co:
x
P
0.0
0
Figura 7.4: Grá�co da função y = x/3.
e) y = −πx−
√
5;
� coe�ciente angular = a = −π ≈ −3,14159;
� intercepto eixo-y = coe�ciente linear = b = −
√
5 ≈ −2,23605;
� intercepto eixo-x = − b
a
= −−
√
5
−π
≈ −0,71173;
� esboço do grá�co:
OSTENSIVO -7-103- REV.2
OSTENSIVO EB-003
x
y
−0.71173
−2.23605
Figura 7.5: Grá�co da função y = −πx−
√
5.
f) Precisamos colocar 2y + 3x − 4 = 0 na forma y = ax + b. Logo, temos
y = 2− 3/2x.
� coe�ciente angular = a = −3
2
= −1,5 ;
� intercepto eixo-y = coe�ciente linear = b = 2;
� intercepto eixo-x = − b
a
= − 2
−3/2
=
4
3
≈ 1,3333;
� esboço do grá�co:
x
y
1.3333
2
Figura 7.6: Grá�co da função 2y + 3x− 4 = 0.
g) Também precisamos colocar y =
−3x+ 2
2
na forma y = ax + b. Logo temos
y = −3/2x+ 1;
� coe�ciente angular = a = −3
2
= −1,5;
� intercepto eixo-y = coe�ciente linear = b = 1;
� intercepto eixo-x = − b
a
= − 1
−3/2
≈ 0,6667;
� esboço do grá�co:
OSTENSIVO -7-104- REV.2
OSTENSIVO EB-003
x
y
0.6667
1
Figura 7.7: Grá�co da função y =
−3x+ 2
2
.
h) y = −3x.
� coe�ciente angular = a = −3
� intercepto eixo-y = coe�ciente linear = b = 0
� intercepto eixo-x = − b
a
= − 0
−3
= 0
� esboço do grá�co:
x
y
0.0
0
Figura 7.8: Grá�co da função y = −3x.
2.
x
y
−2.0 −1 0 1 2
−6.0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
y = 2x
y = 2x+ 2
y = 2x− 2
Figura 7.9: Grá�co das funções y = 2x, y = 2x+ 2 e y = 2x− 2.
OSTENSIVO -7-105- REV.2
OSTENSIVO EB-003
A reta y = 2x+ 2 está deslocada duas unidades �acima� da reta y = 2x e a reta
y = 2x− 2, duas unidades �abaixo�.
3.
x
y
−2.0 −1 0 1 2
−9.0
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y = −3x
y = −3x+ 3
y = −3x− 3
Figura 7.10: Grá�co das funções y = −3x, y = −3x+ 3 e y = −3x− 3.
A reta y = −3x + 3 está deslocada três unidades �acima� da reta y = −3x e a
reta y = −3x− 3, três unidades �abaixo�.
4. O coe�ciente angular está relacionada com a inclinação do grá�co da função e o
coe�ciente linear, com o intercepto no eixo-y.
5.
2(3x+2) = 2(4−x)⇔ 6x+4 = 8−2x⇔ 8x−4 = 0⇔ 8x = 4⇔ x = 2 > 1.
6. Para que
√
2x− 3 represente um número real é necessário que 2x− 3 ≥ 0. Logo,
temos que x ≥ 3
2
.
7. Como f(x) = 6 − 5x, então f(2) − 3f(−2) = (6 − 5 × 2) − 3 (6− 5× (−2)) =
(6− 10)− 3(6 + 10) = −4− 3× 16 = −52.
OSTENSIVO -7-106- REV.2
OSTENSIVO EB-003
8.
3x + 5 > −7x + 3 ⇔ 10x > −2 ⇔ x > −1
5
.
Logo, o conjunto solução será
S =
{
x ∈ R;x > −1
5
}
.
9. Como o coe�ciente angular de f(x) = −3x+6 é−3 < 0, então ela será decrescente
para todos os reais.
Letra (E).
10. Como f(3) = 2 e f(5) = 4, temos que f(3) =
3 + k
p
= 2 e f(5) =
5 + k
p
= 4.
Assim temos o seguinte sistema de equações:
k − 2p = −3 (7.3)
k − 5p = −5. (7.4)
Fazendo (7.3) − (7.4), temos que 3p = 2 e
p =
2
3
. (7.5)
Substituindo (7.5) em (7.3), temos que k − 2× 2
3
= −3 e k = −3 + 4
3
= −5
3
.
Assim k + p =
2
3
− 5
3
= −1.
7.3 Capítulo 3 - Função polinomial de 2º grau
1. Seja y = ax2 + bx + c, a ̸= 0 uma função do segundo grau com duas raízes reais
distintas. Assim, as duas raízes serão:
x1 =
−b+
√
b2 − 4ac
2a
e x2 =
−b−
√
b2 − 4ac
2a
.
A média aritimética entre as raízes é
OSTENSIVO -7-107- REV.2
OSTENSIVO EB-003
x1 + x2
2
=
−b+
√
b2 − 4ac
2a
+
−b−
√
b2 − 4ac
2a
2
=
− b
a
2
= − b
2a
= xv.
2. Considere um retângulo de dimensões 5x cm por 2x cm.
a) A fórmula:
� do seu perímetro P é P = 5x+ 2x+ 5x+ 2x = 14x;
� da sua área A é A = 5x× 2x = 10x2.
b) A fórmulas da área.
c) A fórmulas do perímetro.
3.
f(54.321)− f(54.320) = (3× 54.3212 − 12)− (3× 54.3202 − 12) =
= 3× 54.3212 − 3× 54.3202 = 3× (54.3212 − 54.3202) =
= 3× (54.321− 54.320)(54.321 + 54.320) = 3× 108.641 = 325.923.
4. A equação (x + 1)3(x + 3)2(x + 2) = 0 possui três raízes iguais:
x1 = x2 = x3 = −1; duas raízes iguais: x4 = x5 = −3 e a raiz
x6 = −2. Logo, a soma das duas menores raízes reais é (−3) + (−3) = −6.
5. Determine o eixo de simetria, o vértice, o intercepto com o eixo y e as raízes de
cada função a seguir. Em seguida, trace o grá�co em cada caso. Depois classi�que
o vértice como um ponto de máximo ou de mínimo da função.
a) y = x2 − 6x+ 5.
� vértice:(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
−−6
2
,−(−6)2 − 4× 1× 5
4
)
= (3,−4)
� eixo de simetria: x = xv = 3
� intercepto com o eixo-y = c = 5
� raízes: como ∆ = 16 > 0, teremos duas raízes reais e distintas:
x1 =
−(−6) +
√
16
2
= 5 e x2 =
−(−6)−
√
16
2
= 1.
OSTENSIVO -7-108- REV.2
OSTENSIVO EB-003
� classi�que o vértice: como a = 1 > 0, o vértice é o ponto de mínimo da
função.
� esboço do grá�co:
x
y
5.01.0
5
yv = −4.0
xv = 3.0
Figura 7.11: Grá�co da função y = x2 − 6x+ 5.
b) y = 5x2 − 20.
� vértice:
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 0
2× 5
,− 400
4× 5
)
= (0,− 20);
� eixo de simetria: x = xv = 0;
� intercepto com o eixo-y = c = −20;
� raízes: como ∆ = 400 > 0 teremos duas raízes reais e distintas: x1 = 2 e
x2 = −2
� classi�que o vértice: como a = 5 > 0, o vértice é um ponto de mínimo da
função.
� esboço do grá�co:
OSTENSIVO -7-109- REV.2
OSTENSIVO EB-003
x
y
2.0−2.0
−20.0yv = −20.0
xv = 0.0
Figura 7.12: Grá�co da função y = 5x2 − 20.
c) y = −2x2 − 4x− 2.
� vértice:
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− −4
2× (−2)
,− 0
4× (−2)
)
= (−1,0);
� eixo de simetria: x = xv = −1;
� intercepto com o eixo-y = c = −2;
� raízes: como ∆ = 0, teremos duas raízes reais e iguais x1 = x2 = −1;
� classi�que o vértice: como a = −2 < 0 o vértice será o ponto de máximo
da função;
� esboço do grá�co:
x
y
−1.0−1.0
−2.0
yv = 0.0
xv = −1.0
Figura 7.13: Grá�co da função y = −2x2 − 4x− 2.
d) y = 3x2 − 12x.
� vértice:
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− −
−12
2× 3,− 144
4× 3
)
= (2,− 12)
� eixo de simetria: x = xv = 2;
OSTENSIVO -7-110- REV.2
OSTENSIVO EB-003
� intercepto com o eixo-y = c = 0;
� raízes: Como ∆ = 144 > 0, teremos duas raízes reais e distintas x1 = 4 e
x2 = 0;
� classi�que o vértice: como a = 3 > 0 o vértice será o ponto de mínimo da
função;
� esboço do grá�co:
x
y
4.00.0
0
yv = −12.0
xv = 2.0
Figura 7.14: Grá�co da função y = −2x2 − 4x− 2.
6. Como V é o vértice da parábola e está sobre o eixo de rotação, a altura do líquido
contido na taça é determinado pelo yv = −∆
4a
= −(−6)2 − 4× 3/2× C
4× 3/2
=
6C − 36
6
= C − 6.
7. Para que x2 + 2.018x + 2.018k = 0 tenha soluções reais é necessário que
∆ = 2.0182− 4× 1× 2.018k > 0. Assim k <
1.009
2
= 504,5. Assim o maior valor
inteiro de k será k = 504.
8. Como as raízes de x2 − 3x + 2 = 0 são x1 = 1 e x2 = 2, o maior número que é
solução da equação é 2.
9. As raízes de 2x2 − 22x + 56 = 0 são x1 = 4 e x2 = 7. Logo, a média aritmética
das raízes é
4 + 7
2
=
11
2
= 5,5.
10. Como, na função f(p) = 12p− p2, a = −1 < 0, seu vértice V (6,36) será o ponto
de máximo da função. Assim a porcentagem de biodiesel na mistura que gera o
melhor desempenho é para p = 6.
11. Chamando de x e y os lados do terreno retangular, seu perímetro P será
P = 2(x + y). Como o senhor possui 60 m de arame, temos que o perímetro
OSTENSIVO -7-111- REV.2
OSTENSIVO EB-003
será de 60 m e, assim, x + y = 30. Como a área A do terreno retangular é
A = xy e o terreno possui 200 m2, então xy = 200. Assim temos o seguinte
sistema de equações:
x+ y = 30 (7.6)
xy = 200. (7.7)
Da equação (7.6) temos que
x = 30− y. (7.8)
Substituindo (7.8) em (7.7), temos (30− y)y = 200 e a equação do segundo grau
−y2 + 30y − 200 = 0, cujas raízes são y1 = 10 e y2 = 20 e, consequentemente,
x1 = 30 − 10 = 20 e x2 = 30 − 20 = 10. Logo, os comprimentos dos lados do
terrenos são 10 m e 20 m.
7.4 Capítulo 4 - Gráficos estatísticos
1. O aluno deve atingir, na média, 70 pontos para ser aprovado. Então temos que
sua nota �nal (NF ) satisfará
NF =
1×N1 + 2×N2 + 2×N3
1 + 2 + 2
≥ 70.
Logo,
1× 50 + 2× 60 + 2×N3
5
≥ 70⇔ 170 + 2N3 ≥ 350⇔ 2N3 ≥ 180⇔ N3 ≥ 90.
Todas as alternativas estão corretas.
2. Calculando as médias anuais temos:
OSTENSIVO -7-112- REV.2
OSTENSIVO EB-003
ME 2009 2010 2011 Média
Al�netes V 200 220 240 220
Balas W 200 230 200 210
Chocolates X 250 210 215 225
Pizzaria Y 230 230 230 230
Tecelagem Z 160 210 245 205
Tabela 7.1: Tabela da receita bruta anual, com a média anual, das microempresas.
As duas empresas de maior media anual são �Pizzaria Y� e �Chocolates X�.
3. Calculando a média ponderada das notas, temos que a nota bimestral (NB) será:
NB =
6,00× 4 + 7,00× 4 + 8,00× 2 + 9,00× 2
4 + 4 + 2 + 2
=
86,00
12
≈ 7,17.
4. a)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
8
=
36
8
=
9
2
= 4,5;
b)
4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 6 + 7 + 7 + 7
9
=
51
9
=
17
3
= 5,[6];
c)
4/6 + 14/5 + 2/3
3
=
62
15
3
=
62
45
.
5. a) Os dados 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 não possuem moda. Como temos um número par
de elementos, a mediana será a média aritimética dos elementos centrais, isto
é, a mediana será
4 + 5
2
=
9
2
= 4,5.
b) A moda dos dados 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7 e 7 é o termo que mais se repetiu, isto é,
a moda é 5 que teve quatro repetições; e a mediana é o elemento central dos
dados ordenados: 5.
6. Em primeiro lugar devemos calcular os salários médios de cada classe, por
exemplo, na classe 1 os salários variam de R$ 1.000,00 a R$ 2.000,00, assim,
a média salarial dessa classe será R$
(
1.000,00 + 2.000,00
2
)
= R$ 1.500,00.
Fazendo isto para cada classe temos
OSTENSIVO -7-113- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Classe Média Salárial (R$) Número de empregados
1 1.500,00 20
2 2.500,50 18
3 3.500,50 9
4 4.500,50 3
Tabela 7.2: Tabela das médias saláriais.
Assim, a média salarial da empresa será a seguinte média ponderada:
R$
(
1.500,00× 20 + 2.500,50× 18 + 3.500,50× 9 + 4.500,50× 3
20 + 18 + 9 + 3
)
=
= R$
(
120.015
50
)
= R$ 2.400,30.
7. Como a média do número de horas extras trabalhadas por um funcionário foi 4,
temos
x+ (x+ 2) + 1 + 4 + 3
5
= 4.
Assim, 2x + 10 = 20 e x = 5. Logo, os dois funcionários que �zeram o maior
número de horas extras nessa semana são o funcioário A com 5 horas extras e o
funcionário B com 7 horas extras.
8. Como a média das alturas dos três amigos é 1,60 m, temos que a soma (S) das
alturas será S = (3×1,6) m = 4,8 m. Se mais um amigo que mede 1,80 m entrar
nesse grupo, a nova média das alturas será
(
S + 1,8
3 + 1
)
m =
(
4,8 + 1,8
4
)
m =
(
6,6
4
)
m = 1,65 m.
9. Como o preço médio de uma garrafa foi R$ 3,80, temos
R$
(
5,70 + 3,50 + 2,30 + 3,20 + x
5
)
= R$ 3,80.
OSTENSIVO -7-114- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Assim, R$ (14,70 + x) = R$ 19,00 e o preço da garrafa de suco de uva é
x = R$ 4,30.
10. A média das temperaturas do ambiente é
[(15,5 + 14 + 13,5 + 18 + 19,5 + 20 + 13,5 + 13,5 + 18 + 20 + 18,5 + 13,5+
+21,5 + 20 + 16)/15]� = [255/15]� = 17�.
Ordenando os dados temos:
13,5; 13,5; 13,5; 13,5; 14; 15,5; 16; 18; 18; 18,5; 19,5; 20; 20; 20; 21,5.
A mediana será 18 e a moda, 13,5.
11. Os valores ordenados são:
181.796, 181.419, 204.804, 209.425, 212.592, 246.875, 266.415, 298.041, 299.415,
305.068.
Como a a parte interna do período de janeiro de 2010 a outubro de 2010 é um
número par de dados, a mediana (M) será
M =
209.425 + 212.592
2
= 211.008,5.
12. A mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período corresponde
à cotação central (Jan/2008). Assim ela vale R$ 82,00.
13. A taxa média de variação (T∆) é, por de�nição,
T∆ =
∆Emissão
∆Produção
=
Emissão�nal − Emissãoinicial
Produção�nal − Produçãoinicial
=
4,00− 2,14
2,0− 1,1
=
1,6
0,9
≈ 1,78.
Letra (D).
OSTENSIVO -7-115- REV.2
OSTENSIVO EB-003
14. Como temos um total de 112 jogadores, o percentual aproximado de jogadores
dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é 54/112 = 27/56 ≈ 0,4821 =
48,21%.
15. (E) Controle de despejo industrial (34%), Manejamento de lixo (40%),
Esgotamento sanitário (36%).
16. Temos que o consumo total de energia, em kWh é
[(1,5× 8 + 3,3/3 + 0,2× 10 + 0,35× 10 + 0,1× 6)× 30] kWh =
= [(12 + 1,1 + 2 + 3,5 + 0,6)× 30] kWh = [19,2× 30] kWh = 546 kWh.
Assim, o valor gasto com o consumo de energia será R$ (546×0,40) = R$ 218,40.
17. O percentual médio de medalhistas de ouro da região Nordeste é
18 + 19 + 21 + 15 + 19
5
=
92
5
= 18,4.
18. Um maior aquecimento global ocorrerá quando houver um maior derretimento
do gelo Ártico, isto é, quandoocorrer uma menor extensão de gelo marítimo que
ocorreu em 2007.
19. A média de acidentes é (410 + 254 + 182 + 115 + 107 + 64 + 19)/7 = 1.151/7 =
164,428571 . . . ≈ 164,43. Logo, encalhe, choque e guerra estão acima da média.
Letra (C).
20. Os adultos entre 20 e 29 anos estão mais suscetíveis à doença porque é o menor
grupo imunizado (40% no total).
21. De acordo com o grá�co, houve queda na participação percentual do agronegócio
no PIB brasileiro de 2003 a 2006. Ele foi de 28,28% a 23,92%.
Letra (C).
22. Calculando a média: (4,87 + 2,44 + 4,09 + 6,01 + 5,4)/5 = 22,81/5 = 4,562.
23. O grá�co apresenta as taxas em percentuais. A taxa de desemprego oculto em
dezembro de 2012 é metade da de junho de 2012: 2,2/2 = 1,1. A taxa de
OSTENSIVO -7-116- REV.2
OSTENSIVO EB-003
desemprego total em dezembro de 2012 é igual à de dezembro de 2011: 9,0.
Logo, a taxa de desemprego aberto em dezembro de 2012 é 9− 1,1 = 7,9.
Letra (E).
24. O eixo-y (ordenadas) representa a venda em reais e, o eixo-x (abscissas), os meses
em que as vendas foram efetuadas. O mês de agosto apresenta menor valor de y
(vendas em reais).
25. 100 kg de milho: 100.000 L; 100 kg de trigo: 150.000 L; 100 kg de arroz:
250.000 L; 100 kg de carne de porco: 500.000 L; 600 kg de carne de boi:
10.200.000 L. A média será: (100.000 + 150.000 + 250.000 + 500.000 +
10.200.000) L/(100 + 100 + 100 + 100 + 600) kg = 11.200.000 L/1.000 kg =
11.200 L/kg.
26. Observando o grá�co, percebe-se que alimentação e bebidas é o item de maior
in�uência nas regiões pesquisadas.
27. Conforme o grá�co, no início da guerra no Iraque o gasto militar dos Estados
Unidos (próximo ao �m de 2002 e início de 2003) foi U$ 417,4 bilhões. Isso
representa o valor de U$ 417.400.000 000,00.
Letra (E).
28. A partir dos dados, o biênio que com maior produção acumulada foi 2008-2009:
(107+113)milhões = 220milhões de ovos de páscoa; De 2005-2006 foi de (90+94)
milhões = 184 milhões; De 2006-2007 foi (94 + 99) milhões = 193 milhões; A do
biênio 2007-2008 foi (107 + 99) milhões = 206 milhões de ovos.
Letra (E).
29. Como a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, temos que a soma
das notas dos meninos (SMO) será SMO = 6 × 5 = 30. Assim a soma das notas
das meninas (SMA) será SMA = 7 × (25 + 5) − SMO = 7 × 30 − 30 = 180 e a
média aritmética das notas das meninas será 180/25 = 7,2.
OSTENSIVO -7-117- REV.2
OSTENSIVO EB-003
7.5 Capítulo 5 - Interpolação linear
1. Observe que 3 h 42 min (3,7 h) é uma abscissa entre 3 e 4 horas. Neste caso,
faremos: ya = y e xa = 3,7. Fica, então, (132−y)/(y−92) = (4−3,7)/(3,7−3)⇒
(132− y)/(y− 92) = 0,3/0,7⇒ 3(y− 92) = 7(132− y)⇒ 3y− 276 = 924− 7y ⇒
10y = 1200 ⇒ y = 120 bactérias. (Existem pelo menos mais duas formas de
resolver.)
Solução alternativa: Utilizando o intervalo de 3 a 4 horas temos que uma
variação de 1 hora provoca um aumento de 132− 92 = 40 bactérias. Logo, numa
variação de 0,1 horas teremos uma variação de 4 bactérias e, por conseguinte, 0,7
horas, 28 bactérias. Logo, em 3,7, horas o volume de bactérias será de 92+ 28 =
120 bactérias.
2. a) Justi�que. Sim. Está dito no enunciado que o objeto se move a 2,5 m/s.
b) Como o objeto que se move 5 m a cada 2 s, teremos (0 + 2) s = 2 s para o
valor de A, (5 + 5) m = 10 m para o valor de B, (10 + 5) m = 15 m para o
valor de C e (60 − C)/(D − 6) = (C − B)/(6 − 4) ⇒ (60 − 15)/(D − 6) =
(15− 10)/(6− 4)⇒ 45/(D − 6) = 5/2⇒ D − 6 = 6⇒ D = 12 m. (Existem
pelo menos mais duas formas de resolver.)
3. Utilizar um polinômio de grau 1 signi�ca realizar uma extrapolação (ou
interpolação) linear. Como 0,15 é um valor intermediário entre 0,10 e 0,20,
sen(0,15) também será intermediário entre sen(0,1) e sen(0,20). Chamando
sen(0,15) = y, podemos escrever
[(sen(0,2)− sen(0,15)] / (sen(0,15)− sen(0,1)) = (0,20− 0,15)/(0,15− 0,10)⇒
⇒ (0,199− y)/(y− 0,1) = 0,05/0,05 = 1⇒ 0,199− y = y− 0,1⇒ 2y = 0,299⇒
⇒ y = 0,1495.
Logo, sen(0,15) ≈ 0,1495. (Compare com o valor calculado: sen(0,15) ≈
0,1494381324736).
OSTENSIVO -7-118- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Existem pelo menos mais duas formas de resolver.
4. Usando um polinômio de grau 1 signi�ca realizar uma extrapolação (ou
interpolação) linear. No caso pedido, a abscissa (0,47) é um valor entre 0,40 e
0,52. Logo, teremos a ordenada entre 0,27 e 0,29. A partir da fórmula, escrevendo
y no lugar de ya e 0,47 no de xa:
(0,29−y)/(y−0,27) = (0,52−0,47)/(0,47−0,40)⇒ (0,29−y)/(y−0,27) = 5/7⇒
⇒ 5y − 1,35 = 2,03− 7y ⇒ 12y = 3,38⇒ 0,281[6].
Existem pelo menos mais duas formas de resolver.
5. Podemos escrever
(30− 0)/[0− (−10)] = (5− x)/(x− 0)⇒ 3/1 = (5− x)/x⇒ 3x = 5− x⇒
⇒ 4x = 5⇒ x = 0,25�.
Existem pelo menos mais duas formas de resolver.
7.6 Capítulo 6 - Exercícios complementares
Capítulo 1 - Razões e proporções
1. As vazões da primeira e segunda torneiras e do ralo serão, respectivamente:
V1 = V/2 volume/h, V2 = V/3 volume/h e Vr = V/4 volume/h,
onde V é a medida do volume do tanque.
Como as torneiras e o ralo são independentes, temos que a vazão das duas
torneiras juntas será
OSTENSIVO -7-119- REV.2
OSTENSIVO EB-003
V1+2 = V1 + V2 = (V/2 + V/3) volume/h = 5V/6 volume/h.
Mas temos também que a vazão das duas torneiras juntas será
V1+2 = V/T,
onde T é o tempo gasto para as duas torneiras encherem o tanque.
Assim, temos que
5V/6 = V/T e T = 6/5 h = 1,2 h = 1h12min.
Caso esqueçamos o ralo, teremos que a vazão total será
V1+2+r = V1 + V2 − Vr = (V/2 + V/3− V/4) volume/h = 7V/12 volume/h.
Assim, temos que
7V/12 = V/T e T = 12/7 h = 1,[714285] h ≈ 1h42min 51s.
Solução alternativa: Em 1 h, as duas torneiras juntas terão enchido 5/6 do
tanque. Falta encher apenas 1/6. Para encher 1/6 elas gastarão 1/5 h = 0,2 h =
12 min. Logo, encherão o tanque em 1h12min.
5/6
1/6
1 h
1/5 h
Figura 7.15: Tanque com duas torneiras depois de uma hora
Em 1 h, as duas torneiras e o ralo juntos terão enchido 7/12 do tanque. Para
OSTENSIVO -7-120- REV.2
OSTENSIVO EB-003
encher 5/12 elas gastarão 5/7 h = 0,[714285] h ≈ 42min 51s. Logo, encherão o
tanque em 1h42min 51s.
7/12
5/12
1 h
5/7 h
Figura 7.16: Tanque com duas torneiras e um ralo depois de uma hora
2. Observe que 40 de 100 partes do total representa 40%.
(a) A liga é um latão.
(b) Temos que 40% de 270 g = (40/100 × 270) g = (4 × 27) g = 108 g de Zn.
Logo, serão (270− 108) g = 162 g de Cu.
3. Sejam p e f , respectivamente, a idade do pai e do �lho. Como a soma da idade
do pai com a do �lho é 90 anos, p+ f = 90 e, consequentemente,
f = 90− p. (7.9)
Se a idade do pai está para a do �lho na razão de 7 para 2, então
p/f = 7/2. (7.10)
Substituindo (7.9) em (7.10), temos que
p
90− p
=
7
2
⇒ 2p = 630 − 7p ⇒ 9p = 630 ⇒ p = 70 ⇒ f = 20.
Existem outras formas de resolver. Busque outra.
OSTENSIVO -7-121- REV.2
OSTENSIVO EB-003
4. A razão entre a área construída e o total de terreno é 600/2.100 = 6/21 = 2/7.
Comparando 2/7 com 1/30, temos que 2/7 = 60/210 e 1/30 = 7/210. a razão
entre as áreas é maior que a permitida: construção irregular.
5. A massa de 0,86 g de óleo ocupa 1 cm3 e 1 L equivale a 1.000 cm3. Logo, 1.000 cm3
do óleo terão (0,86× 1.000) g = 860,00 g de massa.
Solução alternativa: A densidade do óleo de cozinha é de, aproximadamente,
0,86
g
cm3
= 0,86
g
1
1.000
L
= (0,86× 1.000)
g
L
= 860,0
g
L
.
6. Chamando de x a medida do lado de cada quadrado, as alturas reais das árvores
I, II, III, IV e V, são respectivamente: 100 × 9x = 900x, 100/2 × 9x = 450x,
300/2 × 6x = 900x, 300 × 5,5x = 1.650x e 300/2 × 5,5 = 825x. Dessa forma,
quem tem a maior altura real é a árvore IV.
7. Se a escala é 1 : 150, l o tamanho da largura no desenho e c o comprimento da
altura no desenho, teremos:
1
150
=
l
36 m
e
1
150
=
c
28,5 m
.
Assim, temos que
l =
36
150
m = 0,24 m = 24 cm e c =
28,5
150
m = 0,19 m = 19 cm.
Adicionando as medidas das margens, temos: l = (24 + 2) cm = 26 cm e c =
(19 + 2) cm = 21 cm.
A menos de rotações do papel, as soluções de desenho serão as seguintes:
(a) Desenho em modo retrato(�gura 7.17). Aqui teremos um papel de 26 cm
de largura por 21 cm de altura.
OSTENSIVO -7-122- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Figura 7.17: Desenho da aeronave numa folha em posição retrato
(b) Desenho em modo paisagem (�gura 7.18). Aqui teremos um papel de 21 cm
de largura por 26 cm de altura.
Figura 7.18: Desenho da aeronave numa folha em posição paisagem
8. Existem várias maneiras de interpolar dados a partir de outros. Aqui usaremos
a interpolação linear , que segue um método proporcional de interpolação. Como
35 g é o ponto médio entre 20 g e 50 g, é aceitável que o preço seja o ponto médio
entre R$ 1,50 e R$ 3,00, isto é, o preço será R$ (1,50 + 3,00)/2 = R$ 2,25. Este
caso mostra que a proporcionalidade não se encontra nos dados apresentados, e
sim na variação das grandezas. Assim, temos a razão de proporcionalidade de
∆R$
∆g
=
3,00− 1,50
50− 20
R$/g =
1,50
30
R$/g =
0,05
1
R$/g,
OSTENSIVO -7-123- REV.2
OSTENSIVO EB-003
isto é, a cada variação de 1 g na massa teremos uma variação de R$ 0,05 no
preço.
Como existe uma variação de 15 g entre 20 g e 35 g, teremos uma variação de
R$ (15×0,05) = R$ 0,75 entre o preço do pote de 35 g e o preço do pote de 20 g.
Assim o preço do pote de 35 g será R$ (1,50 + 0,75) = R$ 2,25.
O pote de 30 g deverá, então, custar R$(1,50 + 0,05× (30− 20)) = R$ 2,00, e o
de 60 g, R$(2,00 + 0,05× (60− 30)) = R$ 3,50.
9. Como 8 cm/2.000 km = 1 cm/250 km = 1 cm/25.000.000 cm = 1/25.000.000, a
escala do mapa será 1:25.000.000.
10. Se a escala é 1:250 e d o tamanho no desenho, teremos:
(a) Para a medida maior:
1
250
=
d
28 m
⇒ 250d = 28 m⇒ d = (28 : 250) m = 0,112 m = 11,2 cm.
(b) Para a medida menor:
1
250
=
d
15 m
⇒ 250d = 15 m ⇒ d = (15 : 250) m = 0,06 m = 6 cm.
11. Chamando as partes proporcionais às idades de 30x, 35x e 37x, temos que 30x+
35x + 37x = R$ 193.800. Logo, 102x = R$ 193.800 e x = R$ (193.800 : 102) =
R$ 1.900. Assim, o herdeiro mais velho receberá R$ (1.900×37) = R$ 70.300,00.
Solução alternativa: Chamando de x a quantidade de dinheir que o mais velho
irá receber, temos que
193.800
30 + 35 + 37
=
x
37
.
Assim, x = R$
(
37× 193.800
102
)
= R$ 70.300.
12. O diâmetro do espelho primário do telescópio mede 42 m = 4.200 cm. Sendo
2,1 cm o diâmetro do olho humano, a razão entre o diâmetro aproximado do olho
OSTENSIVO -7-124- REV.2
OSTENSIVO EB-003
humano e o diâmetro primário do telescópio é: 2,1 cm/4.200 cm = 21/42.000 =
1/2.000 = 1:2.000 = 0,0005.
13. A quantidade de cadeiras no setor 3 é 10 × 7 = 70 cadeiras e a quantidade de
cadeiras reservadas é 17. Assim, a razão entre quantidade de cadeiras reservadas
no setor 3 em relação ao total é: 17/70 ≈ 0,2429.
14. Sendo C o capital aplicado, o capital triplicado será 3C. A taxa simples de 5%
ao mês será 0,05 a.m. A taxa aplicada sobre o capital em um tempo t será
3C = C × 0,05× t. Assim, 3 = 0,05t e t = 3/0,05 = 60 meses.
15. De segunda para a sexta foram 4 dias de atraso. A multa por pagar fora do
vencimento é de 4% e os juros simples de 1% ao dia representam 4%. Calculando
4% sobre R$ 420,00, temos R$ (420×0,04) = R$ 16,80. Logo gastou R$ (16,80+
16,80) = 33,60 reais a mais de juros.
16. Sendo c, a e b, as quantidade de cimento, areia e brita, respectivamente, temos
c
1
=
a
4
=
b
2
= λ,
onde λ é chamado de constante de proporcionalidade.
Assim, temos que c = λ, a = 4λ e b = 2λ e que c+ a+ b = 14 m3. Logo, 7λ = 14
e λ = 2.
O volume de cimento será c = 2 m3.
Solução alternativa: Temos que
14
1 + 4 + 2
=
c
1
.
Assim c = 1× 14
7
= 2 m3.
17. A divisão do lucro será proporcional às aplicações. Podemos escrever que as
partes são 10.000x e 3.000x. Assim, 10.000x + 3.000x = 6.500. Logo, x =
6.500/13.000 e x = 0,5.
Assim, um sócio recebeu R$ (0,5× 10.000) = R$ 5.000,00 e o outro R$ 1.500,00.
OSTENSIVO -7-125- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Solução alternativa: Sendo x a quantidade que o menor investidor irá receber,
temos
6.500
10.000 + 3.000
=
x
3.000
.
Assim, x = R$
(
3.000× 6.500
13.000
)
= R$ 1.500,00.
18. A soma dos totais de partes é 1 + 4 + 2 = 7 partes. Fazendo 168/7 temos 24 kg
por parte. O total correspondente ao trigo é (4× 24) kg = 96 kg.
19. A escala do mapa é: 8 cm/2.000 km = 8 cm/200.000.000 cm = 1/25.000.000 =
1:25.000.000.
20. No mesmo instante as sombras e as alturas são proporcionais entre si. Dessa
forma, H/1,8 = 30/2,0. Assim, 2H = 54 e H = (54/2) m = 27 m.
21. A densidade demográ�ca da região de caatinga (em habitantes por km2), é
20.000.000/800.000 = 20× 106/800× 103 = 0,025× 103 = 25 hab/km2.
22. Como a vazão é de 50 L/min, em 2 h = 120 min, a caixa enche 120 min ×
50 L/min = 6.000 L. O recipiente está com 80% do total, logo 20% valem
6.000 L e 100% valem 30.000 L. A caixa d'água, que possui altura h = k e aresta
da base quadrada igual a 2k, terá volume V = Área da base × altura. Logo,
V = (2k)2 × k = 4k3 = 30.000. Assim k3 = 7.500 L = 7.500 dm3.
23. Em 1 h a primeira torneira é capaz de encher 1/6 do tanque, a segunda 1/4
e a terceira esvazia 1/t. As 3 trabalhando juntas em 1 h resultarão em 1/12.
Equacionando temos 1/6 + 1/4 − 1/t = 1/12. Assim, 1/6 + 1/4 − 1/12 = 1/t.
Como (2 + 3− 1)/12 = 4/12 = 1/3, temos que 1/3 = 1/t e t = 3 h.
24. Lembrando que uma das formas de escrever a velocidade é a razão v = d/t,
teremos 340 = d/4,5. Assim, d = (340× 4,5) m = 1.530 m = 1,53 km.
25. Como a velocidade é a razão v = d/t, temos que 9 km/h = d/4 h. Logo d =
36 km. Dobrando a velocidade, 18 km/h = 36 km/t e t = 2 h.
OSTENSIVO -7-126- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Solução alternativa: Como a velocidade é constante e a distância não se altera,
as grandezas velocidade e distância são inversamente proporcionais. Logo, se
dobro a velocidade, o tempo gasto cai pela metade, �cando, então, com t = 2 h.
26. Lendo 15 páginas/dia durante 15 dias, concluímos que o livro tem 15 × 15 =
225 páginas. Para ler o livro em 9 dias, temos que ler (225/9) páginas/dia =
25 páginas/dia.
Solução alternativa: Como a quantidade de páginas é constante, as grandezas
número de dias para leitura e velocidade de leitura (páginas/dia) são inversamente
proporcionais. Chamando de x a quantidade de páginas lidas por dia necessárias,
temos a seguinte proporção:
x
15 páginas/dia
=
15 dias
9 dias
.
Logo, x = 15 páginas/dia× 15 dias
9 dias
= 25 páginas/dia.
27. A relação entre os diâmetros de A e B é 8/2 = 4/1, signi�cando que enquanto
a maior dá uma volta a menor dá quatro para que elas rodem juntas, ambas no
sentido horário.
Solução alternativa: Como as grandezas medida do diâmetro e quantidade de
voltas são inversamente proporcionais. Chamando de x a quantidade de voltas
do disco B quando o disco A dá uma volta completa, temos a seguinte proporção:
8 cm
2 cm
=
x
1
.
Assim, x =
8 cm
2 cm
= 4 voltas. Como os discos estão ligados por uma polia, eles
giram no mesmo sentido.
28. O acréscimo de 8 mil internações de mulheres em 32 mil corresponde a 8/32 =
0,25 = 25%. Se o acréscimo de internações de homens por AVC ocorrer na
mesma proporção, teremos que o número de internações de homens por AVC
igual a 25% de 28 mil = 28.000× 0,25 = 7.000 indivíduos. O número de homens
OSTENSIVO -7-127- REV.2
OSTENSIVO EB-003
internados por AVC nos próximos cinco anos seria então (28 + 7) mil = 35 mil
indivíduos.
29. Primeiramente, (7 + 15 + 10 + 3)% = 35%. Os provenientes do NE são 140 ×
(100%− 35%) = 140× 65% = 140× 0,65 = 91 soldados.
30. Estão empregados 80% dos homens, logo 80% de 60% = (80× 60)/(100× 100) =
0,48 = 48%. Estão empregados 30% das mulheres, logo 30% de 40% = (30 ×
40)/(100× 100) = 0,12 = 12%. Assim, a porcentagem dos candidatos que já tem
emprego é de (48 + 12)% = 60%.
31. Ao aplicarmos a película II sobre a I, ela reterá 75% da luminosidade que a
película I deixa passar, isto é, ela reterá 75% da retenção de 70%, numa retenção
�nal de 75% de 70% = 75%× 70% = 52,5%. Desta maneira, temos as seguintes
retenções �nais de luminosidade ao combinarmos a aplicação de películas fumês,
não importandoa ordem em que são aplicadas:
(a) I e I: 70% de 70% = 70%× 70% = 49%;
(b) I e II: 75% de 70% = 75%× 70% = 52,5%;
(c) I e III: 60% de 70% = 60%× 70% = 42%;
(d) I e IV: 50% de 70% = 50%× 70% = 35%;
(e) I e V: 30% de 70% = 30%× 70% = 21%;
(f) II e II: 75% de 75% = 75%× 75% = 56,25%;
(g) II e III: 60% de 75% = 60%× 75% = 45%;
(h) II e IV: 50% de 75% = 50%× 75% = 37,5%;
(i) II e V: 30% de 75% = 30%× 75% = 22,5%;
(j) III e III: 60% de 60% = 60%× 60% = 36%;
(k) III e IV: 50% de 60% = 50%× 60% = 30%;
(l) III e V: 30% de 60% = 30%× 60% = 18%;
(m) IV e IV: 50% de 50% = 50%× 50% = 25%;
(n) IV e V: 30% de 50% = 30%× 50% = 15%;
OSTENSIVO -7-128- REV.2
OSTENSIVO EB-003
(o) V e V: 30% de 30% = 30%× 30% = 9%;
Logo, para que a luminosidade no ambiente seja de 21%, devemos instalar as
películas I e V. Alternativa (D).
32. O acréscimo é de (560 − 500) reais = 60 reais, que em relação a R$ 500,00
representa 60/500 = 0,12, ou seja, 12%.
Solução alternativa: A razão 560/500 = 1,12 = 112% nos mostra que 560 é
112% de 500, que é 100%. Assim temos um acréscimo de 12%.
33. As grandezas velocidade e tempo são inversas. Uma forma de resolver seria:
Velocidade Tempo
v t
v + 0,6v = 1,6v T
Teremos a proporção v/1,6v = T/t. Logo, 1,6T = t e T = t/1,6 = 0,625t ou
62,5%t, ou seja, o tempo diminui em (100− 62,5)% = 37,5%.
Solução alternativa: Suponha que o automóvel percorra uma distância de
100 km a uma velocidade de 100 km/h. O tempo gasto para percorrer essa
distância é de 1 h. Aumentando sua velocidade em 60%, ele percorre a mesma
distância a uma velocidade de 160 km/h, num tempo t de t = (100/160) h =
0,625 h. O tempo diminuiu em (1− 0,625) h = 0,375 h, ou seja, 37,5%.
34. Se a proporção é de 19 brasileiros para 3 naturalizados, temos:
b
19
=
n
3
= x,
onde b é a quantidade de brasileiros, n, de naturalizados e x a constante de
proporcionalidade.
Podemos escrever: b+ n = 19x+ 3x = 550. Assim, 22x = 550 e x = 25. O total
de naturalizados é (3× 25) indivíduos = 75 indivíduos.
Solução alternativa: Temos as seguintes proporções:
OSTENSIVO -7-129- REV.2
OSTENSIVO EB-003
550
19 + 3
=
b
19
=
n
3
.
Assim, o total de naturalizados n será de n = 3× 550
22
= 75 indivíduos.
35. Com depreciação de 5%, temos 95% do valor anterior. De forma semelhante, 15%
de depreciação resultam em 75% do valor anterior. Duas depreciações seguidas
será 75% de 95% de 60.000 = 60.000 × 75
100
× 95
100
. O valor atual do carro é
R$ 42.750,00.
36. Como uma das formas de escrever a velocidade é a razão v = d/t. Assim
108 km/h = 108.000 m/3.600 s = d m/0,75 s. Assim, 1.080/36 = d/0,75. Logo,
36d = (0,75× 1.080) m e d = (810/36) m = 22,5 m.
37. Se ele tem 20 anos de serviço, restam (20− 5− 4) anos = 11 anos, que é o tempo
no Ceará (3º DN: Ceará, Rio Grande do Norte, Paraíba, Pernambuco e Alagoas).
O percentual do tempo de serviço é 11/20 = 0,55 = 55%.
38. Como 45 nós representam 45 mn por hora, em 1 h e 30 min teremos (45 ×
1,5) mn = 67,5 mn. Se chegar 45 min = 0,75 h após o tempo previsto, levará
(1,5+0,75) h = 2,25 h. Assim, a velocidade seria (67,5/2,25) mn/h = 30 mn/h =
30 nós.
Solução alternativa: Como a corveta chegará 45 min após o previsto, gastará
(1,5 + 45/60) h = 2,25 h. Assim, temos que:
Velocidade (nós) Tempo (h)
45 1,5
x 2,25
Como as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais, temos a
seguinte proporção:
x
45
=
1,5
2,25
.
Assim x = 45× 1,5
2,25
= 30 nós.
OSTENSIVO -7-130- REV.2
OSTENSIVO EB-003
39. Observe a tabela: para simpli�car calculamos a quantidade de �bras em 10 g de
pão.
Fibras por 10 g % de �bras
Pão A 2 g de �bras por 50 g 0,40 4,00
Pão B 5 g de �bras por 40 g 1,25 12,50
Pão C 5 g de �bras por 100 g 0,50 5,00
Pão D 6 g de �bras por 90g 0,67 6,67
Pão E 7 g de �bras por 70 g 0,70 10,00
O pão com maior quantidade de �bras é o B.
40. Os rendimentos dos sistemas são, na ordem: 15/45 = 1/3 = 33%; 10/40 = 25%;
5/40 = 12,5%; 10/20 = 50%; 5/20 = 25%. O mais e�ciente é o sistema IV (50%
de e�ciência).
41. Lembrando que E = d/R, temos que 1/20 = largura/13,5. Logo, 20× largura =
13,5 m e largura = 0,675 m = 67,5 cm; e 1/20 = comprimento/129,2. Logo,
20× comprimento = 129,2 e comprimento = 6,46 m = 646 cm.
42. Chamemos de x a quantidade de dias ao beber 200 mL/dia. Temos 200x =
150(x + 5) dias. Logo, 20x = 15(x + 5) dias. Assim, 20x = 15x + 75. Portanto,
5x = 75 e x = 15 dias. Assim, a quantidade de litros comprada foi V = (200 ×
15) mL = 3.000 mL = 3 L.
Solução alternativa: Temos a seguinte �regra de tês� para resolver:
Capacidade diaria (mL/dia) Tempo (dias)
200 x
150 x+ 5
Como as grandezas capacidade diário e tempo são inversamente proporcionais,
temos a seguinte proporção:
150
200
=
x
x+ 5
.
OSTENSIVO -7-131- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Assim, 3(x + 5) = 4x e x = 15 dias. A quantidade de suco consumido foi de
(200× 15) mL = 3.000 mL = 3 L.
43. Observe que 15 partes de cobre com 6 partes de zinco totalizam 21 partes. Para
136,5 kg resultarem em 21 partes, uma parte vale 6,5 kg. As 15 partes de cobre
totalizam (15 × 6,5) kg = 97,5 kg. O total de zinco seriam (136,5 − 97,5) kg =
39 kg.
Resolução alternativa: As partes de Zn e Cu seguem as seguintes proporções:
136,5
15 + 6
=
Cu
15
=
Zn
6
.
Assim, Cu = 15× 136,5
21
= 97,5 kg e Zn = 6× 136,5
21
= 39 kg.
44. Se dos 300 parlamentares 51% votarem sim, teremos 300× 51
100
= 3× 51 = 153
votos favoráveis e 300 − 153 = 147 votos contrários. São 3 votos a menos que o
necessário para aprovar.
Resolução alternativa: Como 150 é (150/300× 100)% = 50% de 300, faltou
1% dos votos para aprovação, isto é, faltaram 300 × 0,01 = 3 votos para a
aprovação.
45. Uma das formas de resolver é usando uma tabela. Sabemos que são 33 dos
cadernos pequenos e vermelhos.
Cadernos Cadernos
Totais
verdes vermelhos
Cadernos
33 85
pequenos
Cadernos
grandes
Totais 82 155
Como dos 85 cadernos pequenos temos 33 vermelhos, restam 85 − 33 = 52
cadernos pequenos verdes. Temos ainda que dos 82 cadernos vermelhos 33 são
OSTENSIVO -7-132- REV.2
OSTENSIVO EB-003
pequenos, restando 82− 33 = 49 grandes vermelhos. A tabela assume a seguinte
con�guração:
Cadernos Cadernos
Totais
verdes vermelhos
Cadernos
52 33 85
pequenos
Cadernos
49
grandes
Totais 82 155
Resta saber quantos são ao cadernos verdes e grandes. Fazemos então 155 −
(52 + 33 + 49) = 21 cadernos verdes e grandes. Além disso, são 73 cadernos
verdes no total. A porcentagem dos cadernos grandes (73) que são verdes (21) é:
21/73 ≈ 0,2877 ou 28,77%.
Capítulo 2 - Função Polinomial de 1º Grau
1. As idades são dois números cuja soma é 50 e cuja diferença é 10 anos. Como
ambos são múltiplos de 10, temos as possibilidades: 10 e 40, 20 e 30. Os números
que satisfazem essas duas condições são 30 (João, o mais velho) e 20 anos (Maria,
a mais nova).
Resolução alternativa: Chamando de x e y os números em questão, temos o
seguinte sistema de equações: x+ y = 50
x− y = 10.
Logo, 2x = 60 e, consequentemente, x = 30. Assim, y = 50− 30 = 20.
2. A soma de um número x com o dobro de um número y é −7. Logo,
x+ 2y = −7; (7.11)
OSTENSIVO -7-133- REV.2
OSTENSIVO EB-003
A diferença entre o triplo desse número x e o número y é igual a 7. Assim,
3x− y = 7. (7.12)
Substituindo a equação (7.12: 3x−7 = y) na equação (7.11), temos x+2(3x−7) =
−7. Logo, x + 6x − 21 = −7. Fazendo com que 7x = 14 e, consequentemente,
x = 2.
Voltando a equação (7.12), temos que y = 3× 2− 7 = 6− 7 = −1.
Assim, o produto xy = −2.
3. Dois números reais positivos. Sejam x e y esses números.
Um é 3 unidades maior do que o dobro do outro: x− 2y = 3. Assim,
x = 3 + 2y; (7.13)
O produto entre esses dois números é 10:
xy = 10. (7.14)
Substituindo (7.13) em (7.14): (3 + 2y).y = 10.
Logo, 2y2 + 3y − 10 = 0.
O discriminante ∆ = b2 − 4ac = 9− 4× 2× (−10) = 9 + 80 = 89.
As soluções da equação são:
y1 =
−3 +
√
89
2× 2
=
−3 +
√
89
4
e y2 =
−3−
√
89
2× 2
=
−3−
√
89
4
[não serve, pois
deveria ser positivo]. Voltando a (7.13):
x =3 + 2×
[
−3 +
√
89
4
]
= 3 +
[
−3 +
√
89
2
]
=
6− 3 +
√
89
2
=
3 +
√
89
2
.
Como 9 <
√
89 < 10, 6 < x < 6,5 e 1,5 < y < 1,75.
0 1 2 3 4 5 6 7
xy
Os números inteiros são 2, 3, 4, 5 e 6. São cinco números.
OSTENSIVO -7-134- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Existe pelo menos mais uma forma de resolver?
4. N de balas; total de crianças: c;
Se cada ganhasse oito balas e ainda sobrariam quatro: N = 8c+ 4;
Duas crianças foram embora, cabendo nove balas a cada uma das demais. Não
sobrou bala: N = 9(c− 2) + 0. Logo, 9(c− 2) = 8c+ 4 e c = 22 crianças.
5. Observe que: 1 quadrado equivale a 4 palitos; 2 quadrados: 4 + 3 palitos; 3
quadrados: (4 + 3 + 3) palitos = (4 + 2× 3) palitos = [4 + (3− 1)× 3] palitos; 4
quadrados: (4+3+3+3) palitos = (4+3× 3) palitos = [4+ (4− 1)× 3] palitos;
5 quadrados: (4 + 3 + 3 + 3 + 3) palitos = (4 + 4× 3) palitos = [4 + (5− 1)× 3]
palitos;
Para n quadrados: [4 + (n − 1) × 3] palitos = [4 + 3n − 3] palitos = [3n + 1]
palitos.
6. Chamando o salário de Carlos de C e o de Emanuel de E: C = 1.200 + ax e
E = 1.800 + bx, onde x é o número de unidades vendidas.
Se cada um vender 60 unidades no mês, seus salários serão iguais. Logo, 1.200+
a× 60 = 1.800 + b× 60. Assim, 60(a− b) = 600 e
a = 10 + b. (7.15)
Se cada um vender 120 unidades, o salário de Carlos será 11/10 do salário de
Emanuel: 1.200 + a × 120 = 11(1.800 + b × 120)/10, 12.000 + 1.200a = 11 ×
1.800 + 11× 120b. Dividindo tudo por 120, 100 + 10a = 11× 15 + 11b e
10a− 11b = 65. (7.16)
Substituindo (7.15) em (7.16): 10(10 + b) − 11b = 65, 100 + 10b − 11b = 65,
100− 65 = 35 = b e a = 10 + 35 = 45.
O salário de Carlos se ele vender 20 unidades no mês: C = 1.200 + 45 × 20 =
1.200 + 900 = 2.100 reais.
OSTENSIVO -7-135- REV.2
OSTENSIVO EB-003
7. ax + by + c = 0 quando a = 0, b ̸= 0 e c ̸= 0, implica que 0x + by + c = 0 e
y = −c/b, que é uma função constante.
Letra (C).
8. Usando B para a idade de Beatriz e A para a de Amanda, estabelecendo as idades
futuras:
Nome Idade presente Idade daqui a 2 anos
Beatriz 2B = A/2 ou A = 4B (I) B + 2
Ana A A + 2
A idade de Amanda daqui a 2 anos, será o dobro da idade de Beatriz (daqui a 2
anos!):
A+2 = 2(B+2) e A = 2B+2. Como A = 4B, temos que 4B = 2B+2 e B = 1
ano.
9. Note quem e n são dois valores desconhecidos. Logo, necessitamos de dois dados.
Sabe-se que ao substituir x por 3 o resultado é 4. Ao substituir x por 2 o resultado
é −2.
Temos que 4 = f(3) = m × 3 − 2(m − n) = 3m − 2m + 2n = m + 2n e
−2 = f(2) = m × 2 − 2(m − n) = 2m − 2m + 2n. Isso resulta em um sistema
com duas equações com duas incógnitas:
m+ 2n = 4
2n = −2,
com solução n = −1 e m = 6.
10. O problema fornece os dados de maneira indireta. Como a área do quadrado
ABCD é igual a 9 m2, os lados AD e AB valem 3 m e, com isso, D(0,3) e
B(3,0). Necessitamos ainda da ordenada de G, já que sua abscissa é a mesma de
B : 3. Sabemos que a área do quadrado BEFG é 25 m2. Assim, o lado BG vale
5 m. O ponto G(3,5). A equação da reta pode ser escrita na forma y = ax + b,
onde a e b são reais e b, o termo independente, vale 3 (ordenada de D). Para
OSTENSIVO -7-136- REV.2
OSTENSIVO EB-003
determinar o valor de a, usamos as coordenadas de G: 5 = a× 3 + 3 e a = 2/3.
Uma das formas da equação da reta DB é y = (2/3)a+ 3.
11. Se f(x) = 27(x+2)/x e f(x) = 243, temos que 35 = 243 = 27(x+2)/x = (33)
(x+2)/x
=
3(3x+6)/x. logo, (3x+ 6)/x = 5 e x = 3.
12. A abscissa do vértice de uma parábola é xV = −b/(2a). logo, −8/(2 × 2) = −2
é a abscissa de P (cuidado com as notações utilizadas!). A ordenada do vértice
dessa parábola é yV = 2(−2)2 + 8(−2) − 5 = 2 × 4 − 16 − 5 = 8 − 21 = −13,
ordenada de P . Logo, |a+ b| = |−2 + (−13)| = |−2− 13| = |−15| = 15.
13. A equação reduzida da reta que passa por A e B pode ser escrita na forma y =
ax+b. Assim, necessitamos determinar os valores reais de a e b, que inicialmente
são incógnitas. Necessitamos de dois dados. Como A(0,1), ao substituir x por
0, o resultado é 1 e, como B(6,8), ao substituir x por 6, o resultado é 8. Isso
resulta em um sistema com duas equações com duas incógnitas: 1 = a× 0 + b e
8 = a× 6 + b, com b = 1 e a = 7/6. A equação pedida é y = (7/6)x+ 1.
Resolução alternativa: Podemos encontrar a equação da reta pelos seguintes
métodos:
(a) Pela fórmula:
y =
y1 − y0
x1 − x0
(x− x0) + y0.
Assim, temos y =
8− 1
6− 0
(x− 0) + 1 =
7
6
x+ 1.
(b) Com o determinante (produto misto) igualado zerado, isto é,∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
x x1 x2
y y1 y2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
Temos, então,
0 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
x 6 0
y 8 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 6 + 8x− 6y − x = 6 + 7x− 6y.
OSTENSIVO -7-137- REV.2
OSTENSIVO EB-003
Assim, a equação geral da reta é 6y−7x−6 = 0 e a reduzida, y = 7/6x+1.
14. Utilizando o dado f(n) = 5n+1 = m, g(m) [= g(f(n)) = g ◦ f(n)] = 3(5n+1)−
2 = 15n+ 3− 2 = 15n+ 1.
15. Chamemos sócios de s e não-sócios de n. Compareceram 200 pessoas: s+n = 200
e n = 200−s. O valor arrecadado foi R$ 1.400,00; todos pagaram ingresso, o preço
do ingresso foi R$ 10,00 e cada sócio pagou metade desse valor. Logo, a equação
que corresponde à arrecadação é: s×5+n×10 = 1.400 e 5s+10(200−s) = 1.400.
Assim, 5s− 10s = 1.400− 2.000 e s = 120 sócios.
16. Se f(x) =
1
2x+ 2
=
1
2(x+ 1)
e f(−2 + a) + f(1/5) = f(−a), então
1
2 (−2 + a+ 1)
+
1
2
(
1
5
+ 1
) =
1
2 (−a+ 1)
.
Logo,
1
a− 1
+
5
6
=
1
1− a
.
Assim,
2
a− 1
= −5
6
.
Logo, a = −7/5, 4 + a = 13/10 e a/2− 1 = −17/10.
Então, f(a/2−1)+f(4+a) = f(−17/10)+f(13/10) = −5/7+5/23 = −80/161.
17. Efetuando a divisão de x3−6x2+9x−3 por x2−5x+6, temos que Q(x) = x−1
e R(x) = 8x− 9. Logo, P (x) = Q(x)+R(x) = (x− 1)+ (8x− 9) = 9x− 10, uma
função polinomial de primeiro grau cujo termo independente vale −10 (intercepta
o eixo das ordenadas em um ponto de coordenada negativa) e coe�ciente angular
positivo (a reta forma ângulo agudo em relação ao eixo das abscissas).
Letra (D).
OSTENSIVO -7-138- REV.2
OSTENSIVO EB-003
18. Observe: dia 1: 800 m; dia 2: 850 m = (800 + 1 × 50) m; dia 3: 900 m =
(800 + 2× 50) m. Logo, no dia 4 teremos: 950 m = (800 + 3× 150) m, variando
de 50 em 50 m e deve chegar a 2.200 m.
A quantidade de vezes em que 50 aparece multiplicado é sempre o número do
dia de treino menos 1. Ao �m de n dias: 800 + (n − 1) × 50 = 2.200. Logo,
50n− 50 = 1.400 e n = 1.450/50 = 29.
Resolução alternativa: Para cada dia sucessivo, ele aumenta 50 m em seu
percurso. Para atingir 2.200 m, ele aumentou (2.200− 800) m = 1.400 m em seu
percurso, precisando, então, de (1.400/50) = 28 dias para isto. Logo, ele atingirá
a meta no 29º dia.
19. Vamos usar R para o número de rapazes e de G o de garotas.
Quando Paulo (que é mais um rapaz) chegou, o número de rapazes �cou o triplo
do número de garotas, isto é, R + 1 = 3G e R = 3G− 1. Se entrasse Alice (que
é mais uma garota), o número de garotas �caria metade do número de rapazes,
isto é, G+ 1 = R/2 e 2G+ 2 = R.
Assim, 2G+ 2 = 3G− 1, G = 3 e R = 8, num total de R +G = 11 pessoas.
20. Como 60% de (3n+ 1) é menor que a soma do número 1 com 75% de (2n+ 1):
60(3n+1)/100 < 1+75(2n+1)/100. Assim, 180n+60 < 100+150n+75. Logo,
30n < 115 e n < 23/6 = 3,8333 . . ..
Então, o maior número natural nesta condição é 3 e seu dobro é 6.
21. Tinha inicialmente 70 kg, tem que chegar a 56 kg. Logo, perderá 14 kg. Perdendo
0,2 kg (200 g) por semana, necessitará de (14/0,2) semanas = 70 semanas.
22. Primeiramente, cada �lho (ou �lha) não conta como irmão (ou irmã). Chamando
o total de �lhas de M e o de �lhos de H, (H − 1) = M e H = 2(M − 1). Assim,
2(M − 1)− 1 = M , M = 3 �lhas e H = 4 �lhos. Total de sete pessoas.
23. Plano A: valor �xo de R$ 50,00 mais R$ 1,60 por quilômetro rodado. Podemos
escrever A = 50 + 1,60k, onde k é o total de quilômetros rodados; Plano B:
valor �xo de R$ 64,00 mais R$ 1,20 por quilômetro rodado. Podemos escrever
OSTENSIVO -7-139- REV.2
OSTENSIVO EB-003
B = 64+1,20k. Se é indiferente optar pelo plano A ou pelo plano B, pois o valor
�nal é o mesmo, A = B. Assim, 50 + 1,6k = 64 + 1,2k, 0,4k = 14 e k = 35 kmrodados.
Letra (D).
24. f(4) = 4a + b e f(3) + f(5) = 3a + b + 5a + b = 8a + 2b = 2(4a + b) = 2f(4) =
2× 2 = 4.
25. Capacidade de 2.000 litros e cheio; escoava a uma vazão constante; com (14 −
8) h = 6 h de vazamento estava com apenas 1.760 litros. Logo, perdia (2.000 −
1.760) L/6 h = 240 L/6 h = 40 L/h. Podemos escrever uma expressão para a
situação: Q = 1.760−40t, onde Q é a quantidade de água em litros e t é o tempo
de vazamento em horas. Quando o tanque atingiu a metade da sua capacidade
total: 1.000 = 1.760− 40t, 40t = 760 e t = 19 h após perder 760 L.
26. Se o comerciante vender cada camisa a 8 reais, o total unidades vendidas for
x e o investimento 320 reais, o lucro y será o faturamento (receita: 8x) menos
a despesa (investimento: 320). Logo, y = 8x − 320. A interseção da reta que
reperesenta a função com o eixo das ordenadas é −320 e a raiz (interseção com
o eixo das abscissas) é 40.
Letra (B).
27. Deve-se encher este reservatório com 2.500 litros e o reservatório recebe 1.000 L
a cada 3 h. Com 6 h teremos 2.000 L e faltam 500 L, que entram em 1,5 h. o
tempo total é de 7,5 h ou 7 h e 30 min.
Capítulo 3 - Função polinomial de 2º grau
1. Uma função polinomial de segundo grau tem ponto de máximo (e valor máximo)
quando a concavidade de seu grá�co acompanha o sentido negativo do eixo das
ordenadas. Para isso acontecer, o coe�ciente de segundo grau deve ser negativo.
Letra (A).
2. Sejam x1 e x2 as raízes dessa equação. A soma de seus quadrados é x2
1 + x2
2,
diferente de (x1 + x2)
2. Entretanto, (x1 + x2)
2 = x2
1 + 2x1x2 + x2
2 e x2
1 + x2
2 =
OSTENSIVO -7-140- REV.2
OSTENSIVO EB-003
(x1+x2)
2−2x1x2. Note que (x1+x2)
2 é o quadrado da soma das raízes e 2x1x2 o
dobro do produto. Como a soma das raízes é −p/1 = −p e o produto é 10/1 = 10,
temos x2
1 + x2
2 = (−p)2 − 2.10. Se a soma dos quadrados das raízes da equação é
29, 29 = p2 − 20, 49 = p2.
Letra (D).
Resolução alternativa: Uma vez que o problema trata de múltiplo, podemos
supor que as raízes são interas. Como a soma dos quadrados das raízes é 29, a
única soma de quadrados possível é 25 + 4 = 29 e p = −(5 + 2) = −7. Assim
p2 = 49.
3. Primeiro vamos ordenar de acordo com o padrão de leitura usual. Perceba que a
escrita está diferente do que se costuma a escrever, o que não invalida a questão:
cx2 + bx+ a = 0. Resolvendo:
x =
−b±
√
b2 − 4ac
2c
.
Letra (E).
4. Ao efetuar a multiplicação de polinômios o grau do produto é a soma dos graus
dos fatores. Assim, o grau de (4x− 1)(x2 − x− 3)(x+ 1) é 1 + 2 + 1 = 4.
5. Coloquemos a parábola no plano cartesiano. Dessa forma, suas raízes são 0 e 4
(a distância entre A e B vale 4), a altura do arco é 5 m, o ponto médio entre
as raízes é x = 2 e a ordenada do vértice é 5. A parábola qe intercepta o eixo
y na origem tem a forma y = ax2 + bx + 0 = ax2 + bx, a e b reais, com a não
nulo. Substituindo as coordenadas de V (2,5) e de B(4,0): a × 22 + b × 2 = 5
e a × 42 + b × 4 = 0. Assim, 4a + 2b = 5 e 16a + 4b = 0. A solução do
sistema é a = −5/4 e b = 5. A função é y = (−5/4)x2 + 5x. A reta CD
corresponde à função constante y = 3,2 = 32/10 = 16/5. Substituindo y = 16/5
na função quadrática: y = 16/5 = (−5/4)x2+5x. Assim, 5(−5/4)x2+5.5x = 16,
−25x2 + 4 × 25x − 4 × 16 = 0, 25x2 − 100x + 64 = 0. As raízes são 0,8 e 3,2.
Assim, a medida de CD é 2,4 m.
OSTENSIVO -7-141- REV.2
OSTENSIVO EB-003
6. Se x4 = 7x2 +18, então x4− 7x2− 18 = 0. Trata-se de uma equação biquadrada
[x4 = (x2)2], pois tem dois termos quadrados. Lançando mão de uma incógnita
auxiliar [x2 = y], a equação é reescrita como y2−7y−18 = 0, que tem∆ = (−7)2−
4×1×(−18) = 49+72 = 121. Assim, as raízes são y =
−(−7)±
√
121
2× 1
=
7± 11
2
.
Isso resulta em (7 + 11)/2 = 18/2 = 9 e (7 − 11)/2 = −4/2 = −2. Voltando à
incógnita auxiliar, temos: x2 = 9 e x2 = −2. Assim, x = 3 ou x = −3 ou x =
√
−2 ou x = −
√
−2. A soma de todas as raízes é 3+(−3)+
√
−2+(−
√
−2) = 0.
Caso pedissem a soma das raízes reais: −3+3 = 0. No caso das raízes não reais:
−
√
−2 +
√
−2 = 0. [Existe outra forma de resolver.]
Letra (C).
7. Para determinar o valor máximo (ou mínimo) podemos formular uma função
para análise. Dos dados do problema temos o perímetro. Chamando a base de x
e altura de a, (x+ x+ a+ a) m = 100 m. Assim x+ a = 50 m. O caminho para
formular a função será usando um dado que não está no problema: a fórmula da
área do retângulo. Chamando a área de y, y = x.a. Sabendo que x + a = 50,
a = 50 − x. Assim, a fórmula da área �ca: y = x.(50 − x) = −x2 + 50x, uma
função de segundo grau em que o coe�ciente do termo quadrado é −1 < 0. Logo,
o vértice do grá�co será ponto de máximo, o eixo de simetria e as raízes são,
respectivamente, xV = 25 e 0 e 50. Como a base deve ser 25 m, a = (50− 25) =
25 m.
8. Pelo fato de termos uma parede aproveitada, o arame será distribuído por apenas
3 lados da �gura: (x + a + x) m = 100 m. Logo, a = (100 − 2x) m. A área
y será y = x × a = x(100 − 2x) = −2x2 + 100x, que tem valor máximo, pois
o coe�ciente do termo quadrado é negativo e cujas raízes são 0 e 50. O eixo de
simetria é xV = 25 e yV = (100−2×25)×25 = (100−50)×25 = 50×25 = 1.250.
O comprimento do lado x vale 25 m e a área máxima será 1.250 m2.
9. Se h(x) = f(x)/g(x) < 0, os intervalos em que h(x) assume valores negativos
ocorrem onde os sinais de f(x) e g(x) são opostos. Isso ocorre nos intervalos A,
C e E que são, respectivamente, ]−∞,− 3[, ]− 1, 6[ e ]8,+∞[.
Notação alternativa: (−∞,− 3), (−1, 6) e (8,+∞).
OSTENSIVO -7-142- REV.2
OSTENSIVO EB-003
10. Observe na parábola: a < 0 e c > 0. Temos que xV > 0. Logo,
−b
2a
> 0 e −b < 0,
indicando que b > 0. Observando que a reta representa uma função crescente,
d > 0. Como a interseção da reta com o eixo das ordenadas é abaixo da origem,
e < 0. Com isso, −b+ a < 0 e (−b+ a)e > 0. Por outro lado, ac < 0.
Letra (D).
11. As raízes da equação são:
x =
−(−11)±
√
(−11)2 − 4× 4× 6
2× 4
=
11± 5
8
⇒ x = 2 ou x =
3
4
.
Logo, a soma das raízes são:
2 +
3
4
= 11/4.
Resolução alternativa: A soma das raízes da equação é −(−11)/4 = 11/4.
12. Primeiramente, m ̸= −2 para não zerar o termo quadrado. Os três itens são a
respeito da possibilidade de encontrar as soluções de uma equação de segundo
grau: discussão de ∆ = b2 − 4ac = (−2m)2 − 4(m+ 2)(m− 1) = 4m2 − 4(m2 +
m − 2) = 4m2 − 4m2 − 4m + 8 = −4m + 8. Se ∆ < 0, então −4m + 8 < 0 e
m > 2; Se ∆ = 0, −4m+ 8 = 0 e m = 2; Se ∆ > 0, m < 2.
Assim, a solução é V-F-F.
13. O faturamento inicial do posto com a venda de álcool é o produto entre o valor
do litro e a quantidade de litros vendida, resultando em v = 10.000 × 1,50 =
15.000. A cada centavo de desconto, a quantidade vendida aumenta em 100
litros. A nova quantidade vendida é 10.000 + 100x e o novo valor do litro é
1,50− 0,01x. Isso permite escrever que o valor do novo faturamento com álcool
é v = (10.000 + 100x)(1,50− 0,01x) e v = 15.000 + 50x− x2.
14. Aqui temos condições de escrever o lucro como produto do número de peças
vendidas (600− x) multiplicado pelo lucro obtido em de cada uma. Se vender a
x reais algo produzido por 300 reais, o lucro por peça é (x − 300) reais. Assim,
OSTENSIVO -7-143- REV.2
OSTENSIVO EB-003
o lucro total y será y = (x − 300)(600 − x). A função terá coe�ciente do termo
de segundo grau negativo, ponto de máximo e valor máximo, que representará o
lucro pedido. As raízes são x1 = 300 e x2 = 600. A abscissa do vértice pode ser
calculada pela média aritmética entre as raízes: xV = (300 + 600)/2 = 450. O
valor máximo de yV será (450−300)(600−450) reais = 150×150 = 22.500 reais.
Resolução alternativa: A fórmula que rege o lucro é a função quadrática
y = −x2 + 900x − 180.000. O número de unidades vendidas mensalmente que
corresponde ao lucro máximo corresponde ao xV = − b
2a
= − 900
2(−1)
= 450
unidades.
15. A pessoa que trabalhava x horas por semana e ganhava R$ 60,00 pela semana
recebia 60/x reais por hora. Em seu novo emprego ganha os mesmos R$ 60,00 por
semana, mas trabalha 4 horas amais por semana, recebendo R$ 60/(x+ 4) por
hora e recebe R$ 4,00 a menos por hora trabalhada, ou seja
60
x+ 4
=
60
x
− 4.
Logo, 60(x+4)−4x(x+4)−60x = 0 e x2+4x−60 = 0, que tem raízes x1 = −10
(não serve: quantidade de horas) e x2 = 6.
16. Situação parecida com o exercício 13. O faturamento da empresa é o produto do
preço unitário pela quantidade vendida. Chamando de x o valor do desconto em
reais, a cada desconto x sobre o preço unitário (40 − x), a quantidade vendida
aumenta em 10x unidades (200+10x). Temos a função f(x) = (40−x)(200+10x)
que representa o novo faturamento a partir do desconto. Suas raízes são 440 e
−20 e o ponto médio entre elas (xV ) é (40− 20)/2 = 10, que representa o valor
do desconto que leva ao faturamento máximo. (Existe pelo menos outra forma
de resolver.)
17. A situação é parecida com a da parábola do exercício 10. a > 0, de�nindo a
concavidade da parábola; b < 0: xV > 0; c < 0: a própria interseção com o eixo
das ordenadas.
18. Cada CD custava inicialmente y reais.
a) Se pagou 60 reais por x CDs, cada CD custou 60/x reais, isto é, y = 60/x.
OSTENSIVO -7-144- REV.2
OSTENSIVO EB-003
b) O jovem ganhou CDs a mais e o preço passa a ser 60/(x+2). Cada CD �cou
R$ 5,00 mais barato em relação ao valor anterior:
60
x+ 2
− 5 =
60
x
. Assim,
temos que 60x − 5x(x − 2) = 60(x + 2) e x2 − 2x − 24 = 0. Suas raízes são:
x1 = −4 (não serve) e x2 = 6. Logo, temos que y = 60/6 = 10. Assim, o
jovem saiu da loja com 8 CDs e pagou 5 reais por unidade.
19. Primeiramente: a função tem valor mínimo, pois o coe�ciente do termo
quadrado é positivo. Se o valor mínimo for −3, podemos ser calcular yV =
−(2k − 1)2 − 4× 1× 1
4× 1
= −3. Assim, (2k − 1)2 − 4 = 12, fazendo com que
(2k−1)2 = 16, 2k−1 = ±4, 2k = ±4+1. Logo, k = (4+1)/2 ou k = (−4+1)/2
e, consequentemente, k = 5/2 ou k = 3/2.
20. O grá�co da função tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Isso
signi�ca que ela possui apenas uma raiz real, levando a a�rmar ∆ = b2−4ac = 0.
Temos então que (−m)2 − 4× 1× (m− 1) = 0 e m2 − 4m + 4 = 0, que é outra
equação de segundo grau. Ela pode ser escrita como (m − 2)2 = 0, implicando
que m = 2. A função �ca y = x2 −mx + (m − 1) = x2 − 2x + 1. Para x = 2:
y = 22 − 2× 2 + 1 = 1.
Resolução alternativa: Como o grá�co da função tem um único ponto em
comum (duas raízes reais e iguais) com o eixo das abscissas e o coe�ciente do
termo quadrático é positivo (a > 0), este ponto, a raiz, é o xV = −−m
2
=
m
2
.
Logo, 0 = m2/4−m×m/2 +m− 1 = m2/4−m2/2 +m− 1 = −m2/4 +m− 1.
Assim temos a seguinte equação do segundo grau: 0 = m2 − 4m+ 4 = (m− 2)2.
Logo, m = 2 e, para x = 2, y = 1.
21. O coe�ciente quadrático a é negativo e o intercepto com o eixo-y c é negativo.
Como temos duas raízes reais distintas, 0 < ∆ = b2 − 4ac e b2 > 4ac. Como
xV > 0, temos que −b/2a > 0, −b < 0 e b > 0.
Letra (B).
22. Temos que a > 0 e c < 0. Como xv = 0, b = 0.
Letra (D).
OSTENSIVO -7-145- REV.2
OSTENSIVO EB-003
23. a) Como a piscina leva 20 horas para ser esvaziada, V (20) = a(b − 20)2 = 0.
Como obrigatoriamente a ̸= 0, (b − 20)2 = 0 e b = 20. No instante inicial a
piscina está completamente cheia (ela precisa estar cheia para ser esvaziada),
logo V (0) = a(20− 0)2 = 120 e a202 = 120 e a = 3/10.
A função é V (t) = (3/10)(20− t)2.
b) O grá�co de V (t) para t > 20 é o grá�co de V = 0 (�gura 7.19), pois temos
a piscina vazia a partir de t = 20 h.
t
V
0 20
Figura 7.19: Figura do exercício 23b.
24. Primeiramente calculemos as raízes da função (interseções com o eixo das
abscissas): ∆ = b2 − 4ac = 52 − 4 × 4 × 1 = 25 − 16 = 9. Logo,
x = (−5 ±
√
9)/(2 × 4) = (−5 ± 3)/8. Assim, x = −1/4 ou x = −1. A
ordenada do vértice é yV = −∆/4a = −9/16. A diferença entre as abscissas
resulta na medida da base do triângulo AV B. O módulo de yV será o valor
da altura. A base valerá (−1/4) − (−1) = 3/4 e, a altura, 9/16. A área será
(3/4)(9/16)/2 = (3/4)(9/16)(1/2) = 27/128 unidades.
25. Uma amostra (quantidade inicial) de 720 frangos vivos: v(0) = a×02+b = 720⇒
b = 720. Como o último frango morreu quando t = 12 meses (nenhum frango
vivo), v(12) = a×122+720 = 0 e a = −720/144 = −5. Temos v(t) = −5t2+720.
A quantidade viva no 10º mês era V (10) = −5× 102 + 720 = 220 frangos vivos.
26. Quando o valor de h é o maior possível, o de t também o é. Necessitamos
determinar a ordenada do vértice (tV ) da parábola que representa a função.
Como hV = −b/2a, hv = −22/2(−1) = 11. Assim, tV = −(11)2+22× 11− 85 =
11(−11 + 22)− 85 = 121− 85 = 36.
Letra (D).
27. Se f(x) = ax+ b, contém o ponto (0; 0), f(0) = a× 0 + b = 0 e b = 0. O vértice
V da parábola y = x2 − 6x + 7 é tal que xV = −b/2a = −(−6)/(2 × 1) = 3.
OSTENSIVO -7-146- REV.2
OSTENSIVO EB-003
A ordenada de V é yV = 32 − 6 × 3 + 7 = −9 + 7 = −2 ⇒ V (3,−2). Como
f(x) = ax+b contém o vértice V da parábola: f(3) = a×3+0 = −2 e a = −2/3.
Letra (E).
28. O ponto A é o intercepto com o eixo-y, logo, A(0, − 6). C(x,0), onde x é a
raiz positiva da parábola. Assim, x = 3. B(0,0). A base BC = 3 e a altura
AB = |−6| = 6. Então, a área do triângulo ABC é (3× 6)/2 = 9.
Capítulo 4 - Gráficos estatísticos
1. A quantidade de papel encontrado em relação à quantidade de lixo recolhido é
60 kg
(250 + 80 + 30 + 60) kg
= 60/420 = 1/7.
2. A média do grupo original é (10 + 13 + 15 + 17)/4 = 55/4 = 13,75 anos.
A nova média será (10 + 13 + 15 + 17 + 12)/5 = 67/5 = 13,4 anos. A média
diminuirá de 0,35 anos ou 4 meses e 6 dias. Note que a mediana cai de 14 para
13 anos.
3. Adicionando os valores em ordem, a média aritmética é: (35+30+30+30+25+
25+23+22+20+20)/10 = 260/10 = 26. A moda é o valor de maior frequência:
30 (repete 3 vezes). A mediana é a média entre os elementos mais ao centro da
�la: (25 + 25)/2 = 25.
4. Para determinar a mediana, primeiro colocamos os elementos em ordem
55, 58, x, 72, 85, 90(58 < x < 72). Como a quantidade de elementos é par,
a mediana será a média aritmética entre os elementos mais ao centro da �la:
(x+ 72)/2 = 66⇒ x+ 72 = 132⇒ x = 60.
5. A quantidade que prefere o curso de Técnico em Mecânica é representada por
um setor que vale por 72◦/360◦ = 1/5 dos entrevistados, ou seja, 480× 1/5 = 96
pessoas.
6. Temos 50+(x/2)+(x+25) = 300 pessoas⇒ (x+2x+50)/2 = 250⇒ 3x+50 =
500 ⇒ x = 150. Quem gasta menos de 24 reais são as pessoas que gastam de
OSTENSIVO -7-147- REV.2
OSTENSIVO EB-003
8 a 24 reais. Nessa classe temos 50 + 150/2 = 125 indivíduos. A porcentagem
pedida é 125/300 = 0,6 ou 60%.
7. A porcentagem de atletas com altura maior ou igual a 1,80 m inclui quem tem
no mínimo 1,80 m. Temos 8 na faixa de 1,80 a 1,90 m e 6 na faixa de 1,90 a
2,00 m. Como são 1+5+6+8 = 20 atletas, a porcentagem pedida é 14/20 = 0,7
ou 70%.
8. A diferença entre o maior e o menor percentual é (60,52− 3,57)% = 56,95%.
9. Note que 1975 é o ponto médio entre 1970 e 1980, quando existiam 9 × 1.000
indivíduos. Esse valor corresponde a um ano intermediário entre 1960 e 1965.
Letra (B).
10. Dividir 4.000 reais por 8+6+4+2 = 20 pessoas resulta em 200, o menor salário
passará a ser R$ 930,00.
11. A partir dos dados do grá�co pode-se calcular que o maior total de bactérias foi
na terça-feira, 800 + 1.100 = 1.900.
12. A média aritmética de n números positivos é 7:
(a1 + a2 + ...+ an)/n = S/n = 7⇒ S = 7n.
Retirando-se do conjunto desses números o número 5, a soma passa a ser S− 5 e
o total de elementos será n− 1. Logo, (S− 5)/(n− 1) = 8⇒ S = 8(n− 1)+5⇒
8(n− 1) + 5 = 7n⇒ 8n− 7n = 8− 5⇒ n = 3.
13. A diferença entre os valores da cotação do dólar comercial de maio e de março
foi menor que um centavo de real (3,192− 3,187 = 0,005).
Letra (D).
14. Trata-se de média ponderada com os números de alunos ocupando o lugar dos
pesos: (9× 20 + 7,5× 40 + 8× 30)/(20 + 40 + 30) = 720/90 = 8,0.
15. As quantidades de tratores aumentam no valor constante de 70 unidades ao
ano. Teremos os seguintes totais de tratores de 2018 a 2025, respectivamente:
OSTENSIVO -7-148- REV.2
OSTENSIVO EB-003
1.280, 1.350, 1.420, 1.490, 1.560,1.630, 1.700 e 1.770. A soma dos totais de tratores
de 2000 a 2025 seria igual a 19.920 unidades, ou seja, faltariam 80 tratores.
Letra (E).
16. O total de pessoas que adquiriram o ingresso por menos de 125 reais está nas três
primeiras classes: 300 + 640 + 500 = 1.440. Isso representa 1.440/3.600 = 0,4 ou
40%.
17. De maneira semelhante ao exercício 14, trata-se de média ponderada: Os pesos
são as quantidades de candidatos. Sendo x a média dos candidatos a cabo,
4 = (500× 3,8+ 100× x)/600 = 1.900+ 100x = 2.400⇒ 100x = 500⇒ x = 5,0.
18. A moda é o valor que mais se repete, ou seja, 1.200 (frequência de 29). A mediana
é 1.700, porque 29 indivíduos recebem 1.200 e 23 deles recebem 1.700, que resulta
em 52 funcionários. A diferença entre a mediana e a moda é 500.
Letra (C).
19. Chamando as notas dos 5 alunos de a, b, c, d e e. A mediana é 5. Temos então que
c = 5 (o elemento central) e a moda vale 8. Foi ressalvado no enunciado que o
conjunto de dados tem apenas uma moda. Teremos duas notas 8. Considerando
as notas em ordem crescente, d = e = 8. Temos: a, b, 5, 8 e 8. Como a média é 5:
(a+ b+ 5 + 8 + 8)/5 = 5⇒ a+ b+ 21 = 25⇒ a+ b = 4. As notas são números
inteiros maiores que zero, pois ninguém errou a prova toda. Como o conjunto é
unimodal, a ̸= b. Os valores possíveis para a e b são 1 e 3. Assim, o conjunto de
dados é 1, 3, 5, 8 e 8.
A diferença entre a maior e menor nota é 8− 1 = 7, divisor de 14.
Letra (A).
20. A moda é 39 (frequência de 3.943).
21. O veículo permanece imóvel quando a velocidade vale zero. Isso ocorre nos
intervalos de 3 a 5 min (2 min) e de 7 a 8 min (1 min). O tempo imóvel
foi de (2 + 1) min = 3 min.
OSTENSIVO -7-149- REV.2
OSTENSIVO EB-003
22. As medianas de cada classe são, respectivamente: (900 + 1.500)/2 = 1.200,
(1.500+2.100)/2 = 1.800 e (2.100+2.700)/2 = 2.400. Utilizando as quantidades
de funcionários como pesos de uma média ponderada temos: (1.200 × 20 +
1.800x+2.400× 10)/(20+x+10) = 1.680⇒ 48.000+1.800x = 1.680(30+x)⇒
48.000 + 1.800x− 1680x = 1.680× 30− 48.000 = 1680x⇒ x = 20 funcionários.
23. A média aritmética bimestral de João é: (8,5+ 7,3+ 7,0+ 7,5+ 9,2+ 8,4+ 9,0+
7,2 + 8,0 + 9,5)/10 = 81,6/10 = 8,16.
24. Como a média aritmética dessas notas é 8,2, (6,5 + 10 + 8 + 9,4 + 8 + 6,4 + x+
7,4)/8 = 8,2 ⇒ 55,7 + x = 8 × 8,2 ⇒ x = 65,6 − 55,7 = 9,9. As notas são:
6,4; 6,5; 7,4; 8,0; 8,0; 9,4; 9,9; 10,0. O valor da moda e da mediana é 8,0.
Letra (C).
25. I. Verdadeira. Os crescimentos do IDHM, nos períodos considerados são:
0,2 < Uberlândia < 0,3, Barbacena < 0,3 e 0,3 < Monte Formoso <
0,3.
II. Verdadeira. Na última década, as evoluções do IDHM são: Uberlândia <
0,1, 0,1 < Barbacena .
III. Falsa. Pois, em 2000, o IDHM de Barbacena foi Médio.
Capítulo 5 - Interpolação linear
1. Temos (90−50)/(90−30) = (y−310)/(y−110)⇒ 60(y−310) = 40(y−110)⇒
3y − 910 = 2y − 220 ⇒ y = 690 reais de grati�cação. Tente pelo menos uma
resolução alternativa!
2. A partir da fórmula temos que (40 − 12)/(y − 40) = (65 − 25)/(85 − 65) ⇒
40(y − 40) = 20× 28⇒ 40y = 560 + 1.600⇒ y = 2.160/40 = 54 mL. Como são
seis doses, teremos (54/6) mL/dose = 9 mL/dose.
Letra (B).
Tente pelo menos uma resolução alternativa!
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OSTENSIVO EB-003
3. (150−y)/(y−50) = (20−5)/(30−20)⇒ 10(150−y) = 15(y−50)⇒ 15y−750 =
1.500 − 10y ⇒ 25y = 2.250 ⇒ y = 90 Reais por 20 unidades. São R$ 4,50 por
unidade.
4. O ano de 2010 �caria à direita na tabela. Chamando de I a idade em 2010,
podemos fazer (2.010 − 2.000)/(2.000 − 1.980) = (I − 75,4)/(75,4 − 71,0) ⇒
20(I − 75,4) = 10× 4,4⇒ 20I = 44 + 1.508⇒ I = 1.552/20⇒ I = 77,6 anos =
77 anos + (0,6 × 12) meses = 77 anos + 7 anos + (0,2 × 365) dias = 7 anos 2
meses e 13 dias.
5. Usando interpolação linear para aproximar o valor desejado, temos: (1,59 −
1,26)/(y − 1,26) = (4 − 2)/(3 − 2) ⇒ 0,33 = 2y − 2,52 ⇒ y = 1,425. Logo,
3
√
3 ≈ 1,425.
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OSTENSIVO EB-003
Referências
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contextos e aplicações. 2ª ed. São Paulo:
Ática, 2013.
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciências e aplicações. 6ª ed. São Paulo: Saraiva,
2010.
INFOESCOLA. InfoEscola. 2019. Disponível em: <http://infoescola.com/>.
Acesso em: 11 jul. 2019. Citado na p. 57.
MARINHA DO BRASIL. Marinha do Brasil Protegendo Nossas Riquesas,
Cuidando da Nossa Gente. 25 jun. 2019. Disponível em: <http : / / www .
marinha.mil.br/>. Citado na p. 9.
SÓ FÍSICA. Escalas Termométricas. 30 set. 2022. Disponível em: <https://www.
sofisica.com.br/conteudos/Termologia/Termometria/escalas.php>. Citado
na p. 51.
OSTENSIVO -CLIII- REV.2
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http://www.marinha.mil.br/
http://www.marinha.mil.br/
https://www.sofisica.com.br/conteudos/Termologia/Termometria/escalas.php
https://www.sofisica.com.br/conteudos/Termologia/Termometria/escalas.php
OSTENSIVO EB-003
Índice Remissivo
Alíquota, 3
Coe�ciente
Angular, 16
Linear, 16
Eixo de simetria, 29
Escala, 3
Celsius, 51
Fahrenheit, 51
Extrapolação linear, 53
Extremante, 29
Função, 15
Contradomínio, 16
Domínio, 16
Imagem, 16
Função de primeiro grau, 16
Função do segundo grau, 24
Grandeza
Diretamente proporcional, 4
Inversamente proporcional, 5
Interceptos, 20
Interpolação linear, 52, 123
Média aritimética ponderada, 33
Média aritimética simples, 33
Mediana, 35
Moda, 34
Porcentagem, 3
%, 3
Alíquota, 3
Aumento, 97
Desconto, 95
Razão Centesimal, 3
Proporção, 1
Extremos, 2
Meios, 2
Propriedade Fundamental, 2
Proporção:Constante de
proporcionalidade, 125
Raiz da função, 19
Razão, 1
Antecedente, 1
Consequente, 1
Regra de três, 6
Taxa média de variação, 115
Valor máximo, 29
Valor mínimo, 29
Variável dependente, 15
Variável independente, 15
Vazão, 101
Vértice, 28
OSTENSIVO -CLV- REV.2
	ATO DE APROVAÇÃO
	Capítulo - Razões e proporções
	Razões
	Proporções
	Porcentagem
	Escalas
	Grandezas Diretas e Inversas
	Problemas de Regras de Três
	Exercícios
	Capítulo - Função de 1ºGrau
	Introdução
	Definição
	Gráfico de uma Função do 1º Grau
	Raiz e Intercepto
	Exercícios
	Capítulo - Função do 2º grau
	Introdução
	Definição
	Gráfico
	Raiz e Intercepto
	Soma e Produto das Raízes
	Vértice
	Exercícios
	Capítulo - Gráficos estatísticos
	Média
	Moda e Mediana
	Gráficos
	Gráficos de Coluna
	Gráficos de Setores
	Gráficos de Linha
	Exercícios
	Capítulo - INTERPOLAÇÃO LINEAR
	Introdução
	Interpolação Linear
	Exercícios
	Capítulo - Exercícios complementares
	Capítulo 1 - Razões e proporções
	Capítulo 2 - Função do 1º Grau
	Capítulo 3 - Função do 2º grau
	Capítulo 4 - Gráficos estatísticos
	Capítulo 5 - Interpolação linear
	Capítulo - Resolução dos Exercícios
	Capítulo 1 - Razões e proporções
	Capítulo 2 - Função Polinomial de 1º Grau
	Capítulo 3 - Função polinomial de 2º grau
	Capítulo 4 - Gráficos estatísticos
	Capítulo 5 - Interpolação linear
	Capítulo 6 - Exercícios complementares