Matematica Escolar

Prévia do material em texto

ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
i 
 
Direitos de autor (copyright) 
Este manual é propriedade do Instituto Superior de Ciências e Educação à Distância (ISCED), e 
contém reservado todos os direitos. É proibida a duplicação ou reprodução parcial ou total 
deste manual, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrónicos, mecânico, 
gravação, fotocópia ou outros), sem permissão expressa de entidade editora (Instituto 
Superior de Ciências e Educação à Distância (ISCED). 
A não observância do acima estipulado o infractor é passível a aplicação de processos judiciais 
em vigor no País. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instituto Superior de Ciências e Educação à Distância (ISCED) 
Rua Dr. Almeida Lacerda No 211, Ponta-Gêa 
Beira - Moçambique 
Telefone: +258 23323501 
Fax: 258 23324215 
E-mail: info@isced.ac.mz 
Website: www.isced.ac.mz 
http://www.isced.ac.mz/
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
ii 
 
Agradecimentos 
O Instituto Superior de Ciências e Educação a Distância (ISCED), agradece a colaboração dos seguintes 
indivíduos e instituições na elaboração deste manual: 
Autor Dulcídia Carlos Guezimane Ernesto 
Coordenação 
Design 
Financiamento e Logística 
Ano de Publicação 
Local de Publicação 
Direcção Académica 
Instituto Superior de Ciências e Educação a Distância (ISCED) 
Instituto Africano de Promoção da Educação a Distancia (IAPED) 
2019 
ISCED – BEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
iii 
 
Índice 
Visão geral 5 
Bem-vindo ao Manual da Disciplina de Matemática Escolar ......................................... 5 
Objectivos do Manual .................................................................................................... 5 
Quem deveria estudar este manual ............................................................................... 5 
Como está estruturado este manual.............................................................................. 6 
Habilidades de estudo .................................................................................................... 8 
Precisa de apoio? ......................................................................................................... 10 
Tarefas (avaliação e auto-avaliação) ............................................................................ 15 
Avaliação ...................................................................................................................... 11 
TEMA I: GENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES 12 
Unidade 1.1. Produto Cartesiano. ................................................................................ 12 
Unidade 1.2. Relações ................................................................................................. 20 
Unidade 1.3. Representação de Funções por meio de Diagrama de Venn ................. 30 
Unidade 3.3. EXERCÍCIOS INTEGRADOS das unidades deste tema .............................. 36 
 
TEMA II: PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES......................................................38 
Unidade 2.1. Função Polnomial do 1º grau ................................................................. 38 
Unidade 2.2. Função Polinomial do 2º grau ................................................................. 50 
Unidade 2.3. Determinação de Pontos Máximos e Mínimos ...................................... 57 
Unidade 2.4. Estudo do sinal da função quadrática .................................................... 66 
Unidade 2.5. Outras funções Polinomiais....................................................................73 
Unidade 3.3. EXERCÍCIOS INTEGRADOS das unidades deste tema .............................. 79 
 
TEMA III: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 80 
Unidade 3.1. Principais Relações Trigonométricas. Conversão de graus em radianos e 
vice-versa ..................................................................................................................... 80 
Unidade 3.2. Principais Funções Trigonométricas de um ângulo agudo ..................... 86 
Unidade 3.3. EXERCÍCIOS INTEGRADOS das unidades deste tema .............................. 94 
TEMA IV: DOMÍNIO DE FUNÇÕES NUMÉRICAS Erro! Indicador não definido. 
Unidade 4.1. Domínio de Funções Numéricas ..................Erro! Indicador não definido. 
Unidade 4.2. EXERCÍCIOS INTEGRADOS das unidades deste tema ..... 98Erro! Indicador 
não definido. 
TEMA V: EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES Erro! Indicador não definido.9 
Unidade 5.1. Equações do 1º e 2º grau ......................... Erro! Indicador não definido.9 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
iv 
 
Unidade 5.2. Inequações do 1º e 2º grau .........................Erro! Indicador não definido. 
Unidade 5.3. Equações Exponenciais e Logarítmicas................................................. 116 
Unidade 5.4. Unidade 5.3. Equações Logarítmicas .................................................... 121 
Unidade 5.4 . Inequações Exponenciais e Logarítmicas.......................................... 125 
Unidade 5.4. EXERCÍCIOS INTEGRADOS das unidades deste tema ...........................135 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
1 
 
Visão geral 
Bem-vindo ao Manual da Disciplina de Matemática 
Escolar 
Objectivos do Manual 
 Ao terminar o estudo deste manual de Matemática Escolar, o 
estudante deverá ser capaz de:Construir o gráfico de uma função 
afim do 1o e 2o graus, achar os zeros dessas funções e 
coordenada do vértice de uma função do 2o grau,Identificar os 
diferentes tipos de funções, e dos respectivos gráficos dessas 
funções, determinar Domínios, imagagens e contradomínios, 
diferenciar as funções trigonomêtricas, e os respectivos 
gráficos,Resolver equações e inequações, e diferenciar os tipos 
de equações e os tipos de inequações. 
 
Quem deveria estudar este manual 
Este Manual foi concebido para estudantes do 1º ano do curso de 
Licenciatura em Ensino de Matemática do ISCED. 
Como está estruturado este manual 
O presente manual está estruturado da seguinte maneira: 
 Conteúdos deste manual. 
 Abordagem geral dos conteúdos do manual, resumindo os 
aspectos-chave que você precisa para conhecer a história da 
comunicação. Recomendamos vivamente que leia esta secção com 
atenção antes de começar o seu estudo, como componente de 
habilidades de estudos. 
 
Objectivos 
Específicos 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
2 
 
Conteúdo deste manual 
Este manual está estruturado em temas. Cada tema, comporta 
certo número de unidades temáticas ou simplesmente unidades, 
cada unidade temática caracteriza-se por conter um título 
específico, seguido dos seus respectivos subtítulos. 
No final de cada unidade temática, são propostos 10 exercícios de 
fechados e 5 exercicios abertos. No fim de cada tema, são 
incorporados 10 exercícios fechados para avaliação e 5 exercicios 
abertos para auto-avaliacao. No final do manual estão 
incorporados 100 exercicios fechados para preparação aos exames. 
Os exercícios de avaliação são Teóricos e Práticos. 
Outros recursos 
O ISCED pode, adicionalmente, disponibilizar material de estudo na 
Biblioteca do Centro de recursos, na Biblioteca Virtual, em formato 
físico ou digital. 
 
Auto-avaliação e Tarefas de avaliação 
As tarefas de auto-avaliação para este manual encontram-se no 
final de cada unidade temática e de cada tema. As tarefas dos 
exercícios de auto-avaliação apresentam duas características: 
primeiro apresentam exercícios resolvidos com detalhes. Segundo, 
exercícios que mostram apenas respostas. 
As tarefas de avaliação neste manual também se encontram no 
final de cada unidade temática, assim como no fim do manual em 
si, e, devem ser semelhantes às de auto-avaliação, mas sem 
mostrar os passos e devem obedecer o grau crescente de 
dificuldades do processo de aprendizagem, umas a seguir a outras. 
Parte das tarefas de avaliação será objecto dos trabalhos de campo 
a serem entregues aos tutores/docentes para efeitos de correcção 
e subsequentemente atribuição de umanota. Também constará do 
exame do fim do manual. Pelo que, caro estudante, fazer todos os 
exercícios de avaliação é uma grande vantagem. 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
3 
 
Habilidades de estudo 
O principal objectivo desta secção, é ensinar a aprender 
aprendendo. 
Durante a formação e desenvolvimento de competências, para 
facilitar a aprendizagem e alcançar melhores resultados, implicará 
empenho, dedicação e disciplina no estudo. Isto é, os bons 
resultados apenas se conseguem com estratégias eficientes e 
eficazes. Por isso, é importante saber como, onde e quando 
estudar. Apresentamos algumas sugestões com as quais 
esperamos que caro estudante possa rentabilizar o tempo 
dedicado aos estudos, procedendo como se segue: 
 
1º - Praticar a leitura. Aprender à distância exige alto domínio de 
leitura. 
2º - Fazer leitura diagonal aos conteúdos (leitura corrida). 
3º - Voltar a fazer a leitura, desta vez para a compreensão e 
assimilação crítica dos conteúdos (ESTUDAR). 
4º - Fazer seminário (debate em grupos), para comprovar se a sua 
aprendizagem confere ou não com a dos colegas e com o padrão. 
5º - Fazer TC (Trabalho de Campo), algumas actividades práticas ou 
as de estudo de caso, se existir. 
IMPORTANTE: Em observância ao triângulo modo-espaço-tempo, 
respectivamente como, onde e quando estudar, como foi referido 
no início deste item, antes de organizar os seus momentos de 
estudo reflicta sobre o ambiente de estudo que seria ideal para si: 
Estudo melhor em casa/biblioteca/café/outro lugar? Estudo 
melhor à noite/de manhã/de tarde/fins-de-semana/ao longo da 
semana? Estudo melhor com música/num sítio sossegado/num 
sítio barulhento!? Preciso de intervalo a cada 30 minutos ou a cada 
60 minutos? etc. 
É impossível estudar numa noite tudo o que devia ter sido 
estudado durante um determinado período de tempo; deve 
estudar cada ponto da matéria em profundidade e passar só a 
seguinte quando achar que já domina bem o anterior. 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
4 
 
Privilegia-se saber bem (com profundidade) o pouco que puder ler 
e estudar, que saber tudo superficialmente! Mas a melhor opção é 
juntar o útil ao agradável: saber com profundidade todos 
conteúdos de cada tema, no manual. 
Dica importante: não recomendamos estudar seguidamente por 
tempo superior a uma hora. Estudar por tempo de uma hora 
intercalado por 10 (dez) a 15 (quinze) minutos de descanso (chama-
se descanso à mudança de actividades). Ou seja, que durante o 
intervalo não se continuar a tratar dos mesmos assuntos das 
actividades obrigatórias. 
Uma longa exposição aos estudos ou ao trabalho intelectual 
obrigatório, pode conduzir ao efeito contrário: baixar o rendimento 
da aprendizagem. Por que o estudante acumula um elevado 
volume de trabalho, em termos de estudos, em pouco tempo, 
criando interferência entre os conhecimentos, perde sequência 
lógica, por fim ao perceber que estuda tanto, mas não aprende, cai 
em insegurança, depressão e desespero, por se achar injustamente 
incapaz! 
Não estude na última da hora; quando se trate de fazer alguma 
avaliação. Aprenda a ser estudante de facto (aquele que estuda 
sistematicamente), não estudar apenas para responder a questões 
de alguma avaliação, mas sim estude para a vida, sobretudo, 
estude pensando na sua utilidade como futuro profissional, na área 
em que está a se formar. 
Organize na sua agenda um horário onde define a que horas e que 
matérias deve estudar durante a semana; face ao tempo livre que 
resta, deve decidir como o utilizar produtivamente, decidindo 
quanto tempo será dedicado ao estudo e a outras actividades. 
É importante identificar as ideias principais de um texto, pois será 
uma necessidade para o estudo das diversas matérias que 
compõem o curso: A colocação de notas nas margens pode ajudar 
a estruturar a matéria de modo que seja mais fácil identificar as 
partes que está a estudar e pode escrever conclusões, exemplos, 
vantagens, definições, datas, nomes, pode também utilizar a 
margem para colocar comentários seus relacionados com o que 
está a ler; a melhor altura para sublinhar é imediatamente a seguir 
à compreensão do texto e não depois de uma primeira leitura; 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
5 
 
utilizar o dicionário sempre que surja um conceito cujo significado 
não conhece ou não lhe é familiar. 
Precisa de apoio? 
Caro estudante, temos a certeza que por uma ou por outra razão, 
o material de estudos impresso, pode suscitar-lhe algumas dúvidas 
como falta de clareza, alguns erros de concordância, prováveis 
erros ortográficos, falta de clareza, fraca visibilidade, página 
trocada ou invertidas, etc.). Nestes casos, contacte os serviços de 
atendimento e apoio ao estudante do seu Centro de Recursos (CR), 
via telefone, SMS, E-mail, Casos Bilhetes, se tiver tempo, escreva 
mesmo uma carta participando a preocupação. 
Uma das atribuições dos Gestores dos CR e seus assistentes 
(Pedagógico e Administrativo), é a de monitorar e garantir a sua 
aprendizagem com qualidade e sucesso. Dai a relevância da 
comunicação no Ensino à Distância (EAD), onde o recurso às TIC se 
tornam incontornável: entre estudante, estudante – tutor, 
estudante – CR, etc. 
As sessões presenciais são um momento em que caro estudante, 
tem a oportunidade de interagir fisicamente com staff do seu CR, 
com tutores ou com parte da equipa central do ISCED indigitada 
para acompanhar as suas sessões presenciais. Neste período, pode 
apresentar dúvidas, tratar assuntos de natureza pedagógica e/ou 
administrativa. 
O estudo em grupo, que está estimado para ocupar cerca de 30% 
do tempo de estudos a distância, é de muita importância na 
medida em que permite-lhe situar, em termos do grau de 
aprendizagem com relação aos outros colegas. Desta maneira fica 
a saber se precisa de apoio ou precisa de apoiar aos colegas. 
Desenvolver hábito de debater assuntos relacionados com os 
conteúdos programáticos, constantes nos diferentes temas e 
unidade temática, no manual. 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
6 
 
Tarefas (avaliação e auto-avaliação) 
O estudante deve realizar todas as tarefas (actividades avaliação e 
autoavaliação), pois, influenciam directamente no seu 
aproveitamento pedagógico. 
Para cada tarefa serão estabelecidos prazos de entrega, e o não 
cumprimento dos prazos de entrega, implica a não classificação do 
estudante. Esteja sempre ciente de que a nota das avaliações conta 
e é decisiva para a admissão ao exame final da disciplina. 
As avaliações são realizadas e submetidas na Plataforma MOODLE. 
Podem ser utilizadas diferentes fontes e materiais de pesquisa, 
contudo os mesmos devem ser devidamente referenciados, 
respeitando os direitos do autor. 
O plágio1 é uma violação do direito intelectual do (s) autor (es). 
Uma transcrição à letra de mais de 8 (oito) palavras do texto de um 
autor, sem o citar é considerada plágio. A honestidade, humildade 
científica e o respeito pelos direitos autorais devem caracterizar a 
realização dos trabalhos e seu autor (estudante do ISCED). 
 
 
Avaliação 
Muitos perguntam: como é possível avaliar estudantes à distância, 
estando eles fisicamente separados e muito distantes do 
docente/tutor!? Nós dissemos: sim é muito possível, talvez seja 
uma avaliação mais fiável e consistente. 
Você será avaliado durante os estudos à distância que contam com 
um mínimo de 90% do total de tempo que precisa de estudar os 
conteúdos do seu manual. Quanto ao tempo de contacto 
presencial, conta com um máximo de 10% do total de tempo do 
manual. A avaliação do estudante consta de forma detalhada do 
regulamento de avaliação. 
 
1 Plágio - copiar ou assinar parcial ou totalmente uma obra literária, 
propriedade intelectual de outras pessoas, sem prévia autorização. 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
7 
 
As avaliações de frequência pesam 25%e servem de nota de 
frequência para ir aos exames. Os exames são realizados no final 
da disciplina e decorrem durante as sessões presenciais. Os exames 
pesam 75%, o que adicionado aos 25% da média de frequência, 
determinam a nota final com a qual o estudante conclui a 
disciplina. 
É definida a nota de 10 (dez) valores como nota mínima de 
aprovação na disciplina. 
Nesta disciplina, o estudante deverá realizar pelo menos 5 
avaliações escritas sendo 2 fóruns e 3 testes (teóricos e práticos), e 
1 (um) exame final. 
Algumas actividades práticas, relatórios e reflexões serão utilizados 
como ferramentas de avaliação formativa. 
Durante a realização das avaliações, os estudantes devem ter em 
consideração a apresentação, a coerência textual, o grau de 
cientificidade, a forma de conclusão dos assuntos, as 
recomendações, a identificação das referências bibliográficas 
utilizadas, o respeito pelos direitos do autor, entre outros. 
Os objectivos e critérios de avaliação constam do Regulamento ds 
Cursos e Sistemas de Avaliação do ISCED. 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
8 
 
TEMA – I: GENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES . 
UNIDADE Temática 1.1. Produto Cartesiano. 
UNIDADE Temática1.2. Relações 
UNIDADE Temática1.3. Representação de Funções 
por meio de diagrama de Venn. 
UNIDADE TEMÁTICA 1.1. Producto Cartesiano 
Introdução 
Caro estudante, nesta unidade temática voçê poderá ter a oportunidade de fazer 
uma revisão dos conteúdos vistos ao longo do ensino secundário geral, mas de um 
maneira mais avançada, e com o grau de exigência maior. Ademais, as bases que 
terá neste conteúdo, dar-lhe-ão mais suporte, e uma garantia de nível inicial ao 
encarar os próximos tópicos da disciplina. 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 Conhecer, e reconhecer as correspondências existentes entre 
conjuntos, relação e função; 
 Determiner ou indicar o domínio, contradomínio, imagem e 
objecto de funções e; 
 Representar Funções. 
 
PRODUTO CARTESIANO 
 
 
Fonte: https//st2.depositphtos.com/2338593/i/950, acessado no dia 29/07/2019 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
9 
 
Dados dois conjuntos A e B, SegundoVIEIRA (2010) pode-se considerar produto cartesiano 
de A por B, e designa-se por A x B, o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), com Ax
e By . 
Por exemplo, o produto cartesiano de  3,2,1A por  8,6,4,2B é dado por 
                        8,3;6,3;4,3;2,3;8,2;6,2;4,2;2,2;8,1;6,1;4,1;,2,1BA 
E está representado graficamente na figura 1 (12 segmentos orientados de A para B, tantos 
quantos os pares ordenados). 
 
Figura 1: Produto Cartesiano De A Por B 
Tome nota 
Se temos dois conjuntos A e B, de tal forma que A tem h elementos e B tem y 
elementos, o produto cartesiano de AxB, ou BxA é formado por hxy pares ordenados. 
Portanto, no exemplo anterior tem-se que AxB= 3 x 4 = 12. Onde, 12 é o número de pares 
ordenados do produto cartesiano de AxB. 
1. Se 𝐴 = Ø𝑜𝑢𝐵 = Ø, então o produto cartesiano 𝐴 × 𝐵 = Ø × 𝐵 = Ø, ou 
𝐵 × 𝐴 = 𝐴 × 𝐵 = Ø 
2. Se 𝐴 = 𝐵, o produto cartesiano de 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 × 𝐴 = 𝐴2 
3. O produto cartesiano de conjunto de números reais nos sugerem que:
  IRyIRxyxIR  ;|,2 
De um modo geral, SVIERCOSKI (2014) afirma que os números reais podem ser 
representados com recurso a uma recta numérica graduada por inteiros (ou simplesmente 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
10 
 
recta graduada). Ademais, podem ter a sua representação por meio de um sistema 
cartesiano ortogonal (SCO), ou plano cartesiano ortogonal. 
Para PEMBERTON & RAU (2014) SCO é composto por duas linhas ou rectas 
orientadas perpendiculares, em que a recta horizontal corresponde ao eixo das 
abcissas (plano ox), e a recta vertical corresponde ao eixo das ordenadas (plano oy). 
E o plano que contém as duas rectas, plano xy. 
 
Figura 2: Representação Do Plano Cartesiano 
Exemplo 
Considere os pontos G e Q, tal que 𝐺(−2; −1)𝑒𝑄(𝑥; 𝑦). Represente-os num sistema 
cartesiano ortogonal. 
 
Figura 3; Representação dos pontos G e Q no plano cartesiano. 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
11 
 
 
Sabias que: 
O sistema de coordenadas cartesianas, mais conhecido por Plano Cartesiano Ortogonal, foi 
inventado por René Descartes com o objectivo de localizar pontos. 
As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados (x; y). Por causa 
desta ordem ao localizarmos os pontos no SCO, devemos observar ou localizer 
primeiramente o eixo ox, e posteriormente o eixo oy. Qualquer ponto que não se encontre 
assente aos eixos, estará localizado nos quadrantes 
 
Figura 4: Representação dos Quadrantes 
A actualmente, a invenção do SCO é tida como a ferramenta mais importante na 
matemática, pois facilitou a observação do comportamento das funções em alguns pontos 
considerados críticos. Pode-se associar o plano cartesiano com a latitude e a longitude, 
temas relacionados á estudos geográficos, o GPS, pois o sistema de posicionamento global 
permite que saibamos a nossa localização exacta na terra, desde que tenhamos em mão 
um receptor de sinais GPS. 
 
Sumário 
 
Nesta unidade temática estudamos e discutimos fundamentalmente sobre o Produto Cartesiano 
entre dois conjuntos destintos. 
 Os números reais admitem representatividade de varias forma, isto é, podem ser 
representados por meio de uma recta graduada ou por meio de um sistema cartesiano 
ortogonal(plano cartesiano). O plano cartesiano ortogonal é composto dor dois eixos ou 
rectas perpendiculares, nomeadamente a recta horizontal (designada recta das abcissas) que 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
12 
 
compreende os elementos do eixo ox, e a recta vertical que compreende os elementos da 
recta das ordenadas, eixo oy. 
 Dados dois conjuntos A e B, pode-se considerar produto cartesiano de A por B (A x 
B) ao conjunto de todos os pares ordenados ( x, y), com 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑦 ∈ 𝐵. 
 No plano cartesiano ortogonal ou sistema cartesiano ortogonal (SCO), as 
coordenadas são representadas pelos pares ordenados ( x, y). E por consequência, 
sempres que quisermos localizar pontos no SCO, deve-se primeiramente localizar o 
eixo ox e de seguida o eixo oy. 
 TAREFAS DE AUTO-AVALIAÇÃO 
Perguntas 
Localize os pontos no SCO. 
a) A(4, 3) 
b) B(1; 2) 
c) C( 3; -3) 
d) D(-3; -4) 
e) E(3; -3) 
Resposta comentada 
1º Traçamos duas rectas perpendiculares, e nomeâmo-las de x e y conforme a figura 
anterior. De seguida iremos gradua a nossa recta com números inteiros. Partindo 
do numero 4 no eixo dos x traçamos uma perpendicular, e partindo do euxo dos y 
traça os uma paralela ao eixo dos x, até se cruzar com a recta que foi levantada 
perpendicularmente saindo do eixo dos x. o mesmo é aplicável aos outros casos. 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
13 
 
 
2. Analise o gráfico abaixo e responda as perguntas: 
 
a) Qual a ordenada do ponto E?_____________ 
b) E a abscissa do ponto H?________________ 
c) Que ponto que tem como abscissa o número 3?____________ 
d) Que ponto ou pontos pertencem ao terceiro quadrante?__________ 
e) que pontos possuem somente coordenadas positivas?____________ 
 
TAREFAS PARA AVALIAÇÃO 
1. Represente no Plano Cartesiano os produtos cartesianos abaixo: 
a) A = {1, 2, 3} e B = {0,4} 
b) A = ]1,4] e B = [2,5] 
2. Sejam  4;2;0A e  3;1B . Represente A x B e B x A. 
a) Por um diagrama de venn; 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
14 
 
b) Num Plano cartesiano Ortogonal. 
3. Considere os conjuntos  3,2,1A e  4,3,2,0B . 
a) represente no diagrama de venn e de seguida no plano cartesiano as seguintes relações binárias de A para B. 
I.   2|,  yxAxByxf 
II.   xyAxByxg  |; 
III.   1|;  xyAxByxh 
 
UNIDADE TEMÁTICA 1.2. RELAÇÕES 
 
 
 
 Fonte: 
https://www.google.com/imgres?imgurl=%3A%2F%2Fimagefreepik.com. 
Crianças no parque 
 
Introdução 
Na perspective de CAETANO & PATERLINI(2013), uma árvore genialógicaé uma 
representação dos ancestrais de uma pessoa. Por meio desta representação gráfica, 
pode-se mostrar as relações entre familiares, trazendo seus nomes e algumas vezes, 
fotos, datas de nascimento, de casamento e falecimento. 
Identificar relações é uma das tarefas mais importantes para quem estuda 
matemática(CAETANO & PATERLINI, 2013). Ademais, a Matemática como ciência 
https://www.google.com/imgres?imgurl=%3A%2F%2Fimagefreepik.com
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
15 
 
investiga as relações entre os objectos abstractos, e cria alguns modelos através delas, 
capazes de descrever fenómenos naturais e sociais. Algumas dessas relações 
costumeiramente, chamamo-las de funções. 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 Conhecer, E Reconhecer As Correspondências Existentes Entre 
Conjuntos, Relação E Função; 
 Determinar Ou Indicar O Domínio, Contradomínio, Imagem E 
Objecto De Funções E; 
 Representar Funções. 
 
Partindo de princípio que vocês já estudaram na unidade anterior o que é produto cartesiano, 
como é feito o produto cartesiano entre dois conjuntos distintos e não vazios, como podemos 
representar um número real ou um par de números reais no sistema cartesiano ortogonal, 
chegou a vez de avançarmos e estudarmos como é que os conjuntos se relacionam, e de que 
forma podem ser representados. 
 
FUNÇÕES 
Sejam A e B, dois conjuntos quaisquer. 
DEFINIÇÃO 
Segundo SVIERCOSKI (2014), uma quantidade é uma função de outra quando, para 
cada quantidade da variável independente x, corresponde a um único valor 
denominado f(x), o conjunto no qual os valores de x podem ser tomados é chamado 
de domínio da função, e o conjunto dos valores que f assume para cada x é 
denominado imagem da função. Ou por outra,uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 (leia “f de A em 
B”) é uma regra (ou conjunto de instruções) que diz como associar a cada elemento 
de A, um único elemento de B. 
 
Exemplo 
a) A regra que associa a cada número natural n o seu successor 𝑛 + 1 é uma 
função; 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
16 
 
b) A regra que associa cada número real 𝑥 ≥ 0, o número √𝑥 é uma função; 
c) A regra que associa  
12
23
1
2
3



xx
xx
IRx é uma função. 
Pergunta: qual é o significado preciso de “regra que associa”? 
Pode-se considerar que relação seja um conjunto qualquer de pares ordenados 
SVIERCOSKI (2014). 
 
FIGURA 5: Representação de uma relação por diagrama de Venn 
Fonte: a autora 
 
Domínio e Imagem de Uma Relação 
 
De acordo com MAGGIO & NEHRING (2012),uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵Consta de três 
partes: um conjunto A, chamado de domínio da função(ao conjunto onde a função é 
definida), um conjunto B, chamado de contradomínio da função, ou o conjunto onde 
a função toma valores, e uma regra que permite associar, de modo bem determinado, 
a cada elemento 𝑥 ∈ 𝐴,um único elemento 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵. Ou por outra, qualquer 
subconjunto de A x B diz-se uma correspondência de A para B. relativamente a cada 
par ordenado (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 diz-se que 𝑥 é objecto de y, e y é imagem dex. 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
17 
 
 
Figura 6: Ilustração do dominio e imagem de uma relação 
Fonte: http://www.matematicadidatica.com.br/RelacaoBinaria.aspx acessado em 
abril de 2019. 
 
 
 Exemplo 
Sejam 𝐴 = {0, 1, 2} 𝑒 𝐵 = {−2, −1, 0, 1} 
a) Consideremos R1 a relação que associa A x B da seguinte forma : 
𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 ∶ 𝑦
2 = 𝑥2} = {(0, 0); (1, −1); (1, 1); (2, −2)} 
 
 Dominio de R1 = A 
 Imagem de R1 = B 
Uma relação f recebe o nome de função se para 𝑐𝑎𝑑𝑎𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓, existe um único 
𝑦𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓. 
Exemplo 
http://www.matematicadidatica.com.br/RelacaoBinaria.aspx
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
18 
 
O comprimento C de uma circunferência é função(isto é, depende) do seu raio r, exprime-se 
esta função pela fórmula 𝐶 = 2𝜋𝑟 
Deste modo, a cada vez que é atribuído um valor a r, a letra C passa a ter um único valor, que 
é o produto de r pela constante 2π. Por isso, a cada valor de r corresponde um e um só valor 
de C. Diz-se então que a variável C é função da variável r e também que C é a variável 
dependente e r é a variável independente. 
 
Propriedades 
Uma relação R do conjunto A no conjunto B é uma função se: 
1. O domínio da relação R, D(R)= A; 
2. Para cada elemento 𝑥 ∈ 𝐷(𝑅), exisste um único 𝑦 ∈ 𝐵 tal que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 
A imagem da relação R, 𝐼𝑚(𝑅) ⊂ 𝐵. 
Exemplo2 
Sejam dados os conjuntos 𝐴 = {0, 1, 2 }𝑒𝐵 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; consideremos a função 𝑓: 𝐴 →
𝐵 definida por 𝑦 = 𝑥 + 1, ou seja, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1. 
Para encontrar as imagens dos objectos que são elementos do conjunto A, faz-se a 
substituição dos elementos do conjunto A na função 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, sendo assim: 
𝑃𝑎𝑟𝑎𝑥 = 0 ⇒ 𝑓(0)
= 0 + 1
= 1 
𝑃𝑎𝑟𝑎𝑥 = 1 ⇒ 𝑓(1)
= 1 + 1
= 2 
𝑃𝑎𝑟𝑎𝑥 = 2 ⇒ 𝑓(2)
= 2 + 1
= 3 
 
Figura 7: Representação da função 𝑓(𝑥) =
 𝑥 + 1 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
19 
 
 
Deste modo acabamos por concluir que: 
 Conjunto A é o domínio da função; 
 O conjunto {1, 2, 3 }, que é um subconjunto de B, é denominado conjunto 
imagem da função, que indicamos dor Im. No exemplo acima, 𝐼𝑚 = {1, 2, 3} 
Sumário 
 
Nesta Unidade temática 1.2 estudamos e discutimos fundamentalmente sobre relações. 
 A um conjunto qualquer de pares ordenados, chama-se relação. 
 As relações podem ser representadas por diagramas de venn, ou por uma 
função no SCO. 
 Diz-se que uma quantidade é uma função quando cada elemento de x, 
corresponde a um único elemento de f(x). 
 O domínio de uma função é composto por todos os valores do eixo das 
abcissas (eixo ox). 
 A imagem da função é composta pelo conjunto de valores que f assume para 
cada x. 
 A representação 𝑓: 𝐴 → 𝐵 que se lê “f de A em B” é a regra que diz como 
associar cada elemento de A, a um único elemento de B. 
TAREFAS DE AUTO AVALIAÇÃO 
Questão 1 
Dada a função f(x) = 2x – 3, o domínio {2; 3; 4} e o contradomínio composto pelos 
naturais entre 1 e 10, qual das opções abaixo representa o conjunto imagem dessas 
funções? 
a) {1; 3; 5} 
b) {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
20 
 
c) {4; 6; 8} 
d) {1, 2, 3; 4; 5} 
Resposta comentada 
Para determinar os valores da imagem será necessário aplicar cada valor do domínio 
na função. 
1)2( f ; 3)3( f ; 5)4( f portanto a imagem é: {1. 3; 5}. Alternativa A 
Questão 2 
Dada a função f (x) = 2x, com domínio igual ao conjunto dos números naturais, assinale 
a alternativa correcta relativa a seu domínio, contradomínio e imagem. 
a) O domínio dessa função possui todos os números inteiros; 
b) Não é possível usar essa função para qualquer fim, pois o seu contradomínio 
não está bem definido; 
c) A imagem dessa função é igual ao conjunto dos números pares não negativos; 
d) O contradomínio dessa função não pode ser o conjunto dos números naturais; 
 Resposta alternativa C. 
Questão 3 
Assinale a alternativa abaixo que apresenta o conjunto que não pertence ao domínio da 
função. 164)(  xxf 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
Resposta comentada 
Qualquer valor abaixo de 4 torna essa questão inválida. Logo, o domínio dessa função 
não pode conter o número 2, que é menor que 4. Alternativa A 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
21 
 
QUESTÃO 4 
1) Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, determinar cada um dos 
conjuntos abaixo, representando-os em diagramas de flechas e no plano cartesiano. 
a) A relação R1, de A em B, dada por R = { (x,y)  AxB/ y = 2x}. 
Resposta comentada 
R1 = {(0,0), (1,2), (2,4) 
 
Representação por diagrama 
 
 
No SCO 
 
b) A relação R2, de A em B, dada por R = { (x,y)  AxB/ y = x - 2}. 
Resposta comentada 
R2 = {(2,0), (3,1)) 
 
 
 
 
Representação por diagrama 
 
Representação no SCO 
 
c) A relação R, de A em B, dada porR = { (x,y)  AxB/ y = x²}. 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
22 
 
resposta comentada 
R3 = {(-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4)) 
 
 
Representação por diagrama de venn 
 
Representação no SCO 
Exercícios para AVALIAÇÃO 
1. Dada a função , definida pela fórmula f(x)=2x²+1. Determine a sua 
imagem: 
2. Dado o esquema abaixo, representando uma função de "A" em "B", determine: 
 a) O Domínio: 
b) A imagem 
c) f(5) 
d) f(12) 
 
Respostas 
1. Im={19, 9, 1, 11} 
2. A) D={5, 12, 23} 
b) Im={7, 14, 25} 
c) f(5)=7 
d) f(12)=14 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
23 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE TEMÁTICA 1.3. REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES POR MEIO DE 
DIAGRAMA DE VENN. 
Introdução 
Foi Leibniz(1646 - 1716) quem primeiro usou o termo “função” em 1673 no manuscrito 
Latino “Methodus tangentium inversa, seu de fuctionbus”. Leibniz usou o termo 
apenas para designar, em termos muito gerais, a dependência de uma curva de 
quantidades geométricas como as sub tangentes e sub normais. Introduziu igualmente 
a terminologia de “constante”, “variável” e “parâmetro”. 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 Identificar uma função 
 Representar uma função por meio de um diagrama de venn 
 Classificar uma função quanto ao tipo. 
 
Representação de Funções Por Meio de Diagrama de Venn 
 
Na perspectiva de TIVANE 2011, um diagrama de setas representando uma relação de um 
conjunto A em um conjunto B é uma função se: 
 Cada elemento de A parte uma e exactamente uma única seta. E, nenhuma seta 
termina em mais de um elemento de B. 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
24 
 
 
Não é função 
 
É função 
 
Não é função 
 
É função 
Figura 8: Identificação de funções 
Fonte: http://cursos.unipampa.edu.br/cursos/engenhariaagricola/files/2010/06/Funcoes-
dominio-e-imagem 
 
Classificação das Funções 
Função Injectiva 
Na perspectiva de TIVANE (2010), uma função é injectiva quando, objectos diferentes 
correspondem à imagens diferentes. De outro modo, diz-se que BAf : é injectiva se, para 
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2). 
 
Figura9: Representação De Uma Função Injectiva 
http://cursos.unipampa.edu.br/cursos/engenhariaagricola/files/2010/06/Funcoes-dominio-e-imagem
http://cursos.unipampa.edu.br/cursos/engenhariaagricola/files/2010/06/Funcoes-dominio-e-imagem
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
25 
 
Fonte: a autora 
Observação: f é injectiva se e somente se 
212121 )()(,, xxxfxfAxx  
Função Sobrejectiva 
Ainda na perspectiva de TIVANE (2010)uma correspondência é sobrejectiva se o 
conjunto das imagens de f coincide com o conjunto de chegada. Ou seja, BAf : é 
sobrejectiva se im f = B. 
 
 
Figura 10: representação de uma função sobrejectiva 
Fonte: a autora 
 
Exemplo 
a) |)|,()(,: xxxfIRIRIRf  nãoé 
sobrejectiva 
b) 𝑔: 𝐼𝑁 → 𝐼𝑁, 𝑔(𝑛) =
 {
𝑛
2
 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟
3𝑛 + 1 𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟
 , é 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 
 
Função Bijectiva 
Diz-se que BAf : é bijectiva se for injectiva e sobrejectiva ao mesmo tempo. 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
26 
 
Figura 11: representação de uma função bijectiva 
Fonte: a autora 
Exemplo 
a) 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0 é 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 
b)𝑔: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅, 
𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑚 𝑎 0 𝑛ã𝑜 é 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 
 
 
Sumário 
 
Nesta Unidade temática 1.3 estudamos e discutimos fundamentalmente sobre a 
classificação das funções. 
 A função é considerada injectiva quando para quaisquer elementos x1 e x2 de A, 
)()( 21 xfxf  implicar 21 xx  . Ou seja, quando 21 xx  , em A, implica 
)()( 21 xfxf  . 
 Ademais, ela é sobrejectiva nos casos em que o conjunto imagem é igual ao 
contradomínio; 
 Chama-se de bijectiva quando é injectiva e sobrejectiva ao mesmo tempo. 
 
TAREFAS DE AVALIAÇÃO 
Perguntas 
Das funções que se seguem, classifique-as quanto á: Injectividade, Bijectividade e 
Sobrejectividade 
a) BAf : 
 
b) BAf : 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
27 
 
 
c) 
 RRf : definida por 
2)( xxf  
d) RRf : definida por 2)(  xxf 
e)   Nf 4;3;2;1;0: definida por xxf 2)(  
f)    8;26;1: f 
 
g)    10;06;1: f 
 
 
h)    10;28;1: f 
 
Respostas 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
28 
 
a) Bijectiva 
b) Injectiva 
c) Sobrejectiva 
d) Bijectiva 
e) Injectiva 
f) Bijectiva 
g) Injectiva 
h) Sobrejactiva 
 EXERCICIOS do TEMA 
 
1. Escreva o par ordenado que representa cada ponto assinalado no sistema cartesiano: 
 
 
2. Desenhe no caderno um sistema cartesiano e represente geometricamente os pares 
ordenados: 
a) (- 4,5) 
b) (3,2) 
c) (5,-3) 
d) (0,-6) 
 
3. Resolva as questões a seguir 
a) Qual a abscissa do par (-10,5)? 
b) qual a ordenada do par (5,-7) 
4. Observe o quadrilátero MNPQ desenhado no plano cartesiano, escreva as coordenadas que 
representam os pontos M, N, P e Q. 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
29 
 
 
 
5. Os pares ordenados A(-2,2), B(4,2), D(-2,-2) e C(4,-2) são vértices do quadrilátero ABCD. 
Desenhe-o no plano cartesiano e responda: (dica: use o papel quadriculado para facilitar) 
a) Que tipo de quadrilátero é ABCD? 
b) Quantas unidades tem o seu perímetro? 
c) Supondo que cada unidade de comprimento seja 1 cm, qual é a área do quadrilátero 
ABCD? 
 
6. Os pares ordenados A(-4,-3), B(-4,6) e C(5,-3) são três dos vértices de um quadrado ABCD. 
a) Represente em papel quadriculado um plano cartesiano e os pontos A, B e C. 
b) Uma com segmentos de reta os pontos A, B e C, nessa ordem, e complete o desenho do 
quadrado ABCD. 
c) Descubra e escreva as coordenadas do ponto D. 
d) Calcule a área do quadrado ABCD, considerando cada quadradinho de 1 unidade de lado 
como unidade de área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
30 
 
 
TEMA – II: PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES. 
Unidade Temática 2.1 Função Polinomial do 1º Grau 
UnidadeTematica 2.2 Função polinomial do 2º Grau 
(Quadráticas) 
Unidade temática 2.3 Determinação de pontos máximos e 
mínimos 
Unidade Temática 2.4 outras funções Polinomiais 
UNIDADE TEMÁTICA 2.1. Funções Polinomiais do 1º Grau 
Introdução 
Uma função afim, também conhecida como função polinomial de grau 1 ou função polinomial 
de primeiro grau é uma função do tipo baxxf )( , cujo gráfico é uma recta não 
perpendicular ao eixo das abcissas (eixo ox). É possivel determinar a direção da recta do 
gráfico de uma função afim a partir do coeficiente angular (a), que também é chamado 
usualmente de taxa de crescimento. Quando o valor de “a” é maior do que zero, temos uma 
função a fim crescente, e quando é menor do que zero, temos uma função a fim decrescente. 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 Identificar a fórmula geral de uma função afim; 
 Esboçar uma função a fim; 
 Identificar e distinguir uma função afim das demais funções; 
 Identificar cada elemento de uma função afim. 
 
 
 
 
 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
31 
 
Função Linear de grau 1 ( Função Afim) 
A função linear caracteriza-se por representar um crescimento ou decrescimento constantes. 
Uma função é linear se qualquer mudança na variável independente causa uma mudança 
proporcional na variável dependente, SVIERCOSKI (2014). Isto é, uma função 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 
chama-se função linear quando existem constantes reais a e b tais que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, para 
todo 𝑥 𝜖 𝐼𝑅. O conjunto IR é o “maior” conjunto de valores para os quais é possível encontrar 
f(x). Sempre que o domínio não for especificado, estaremos a considerá-lo como conjunto IR. 
O valor de a é o coeficiente angular, e o de b, o coeficiente linear. 
Exemplo 1 
Uma situação real que pode ser descrita por uma função afim é o preço a pagar por uma 
“boleia de taxi mota”: o valor da corrida depende da distância percorrida (em km) e dos 
valores constantes do km rodado e do período (sefor de dia, ou de noite). A distância 
percorrida em km é multiplicada por uma constante a(o valor do km rodado) e a esse produto 
adiciona-se o valor da constante inicial b (a taxa dependendoo do período). Resultando no 
preço a pagar. Assim, a distância percorrida é a variável independente x, e a função 𝑓(𝑥) =
 𝑎𝑥 + 𝑏 ou 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 é o preço a pagar. 
Exemplo 2 
𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅, 𝐹(𝑥) = −3 
 
Figura 12 : Representação gráfica da função 𝐹(𝑥) = 3 
Fonte: a autora 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
32 
 
Observações: 
 Pelo gráfico, pode-se observar que a = 0 e b = -3 
 O gráfico de função constante, já revela o seu comportamento independente 
do valor da variável x, o f(x) é sempre o mesmo. 
De um modo geral, se tomarmos uma função tal que: 𝑦 → 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Então 
𝑥 = 0 → 𝑦 = 𝑏 
𝑥 = −
𝑏
𝑎
 → 𝑦 = 0 
Portanto, partindo do pressuposto de que por dois pontos passa uma e apenas uma 
única recta, observa-se que os pontos (0, 𝑏) 𝑒 (−
𝑏
𝑎
; 0)definem uma recta no plano. 
Esta recta é o gráfico da função f. Tomando como exemplo a representação gráfica que 
se segue, consideremos 𝑎 > 0 𝑒 𝑏 > 0. 
 
Figura 1: Representação gráfica da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 > 0 𝑒 𝑏 > 0 
Fonte: TIVANE 2010 (Pag. 61) 
Tome nota 
Na figura anterio, podemos observar os ângulos AOB e bPQ, os dois são ângulos agudos 
designados por 𝜃. Nas classes anteriores do ensino secundário geral, certamente que 
já abordaram sobre as razões trigonométricas, deste modo podemos encontrar a 
tangente do ângulo 𝜃 (𝑡𝑎𝑛𝜃). 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
33 
 
𝑡𝑎𝑛𝜃 = 
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 (𝑂𝑏)
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑂𝐴)
 𝑒 𝑡𝑎𝑛𝜃
= 
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 (𝑄𝑃)
𝑚𝑎𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒(𝑏𝑃)
 
 
𝑡𝑎𝑛𝜃 = 
𝑂𝑏
𝑏
𝑎
= 𝑎 𝑒 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 
𝑦 − 𝑏
𝑥
 
Igualando as duas equações temos que 𝑎 = 
𝑦−𝑏
𝑥
. 
Observações: 
 Uma função linear afim é crescente se o ângulo 𝜃 estiver compreendido entre 
0 a 90 graus ( 0 < 𝜃 < 90°, ⇒ 𝑡𝑎𝑛𝜃 > 0 𝑒 𝑎 > 0) 
 Uma função linear afim é decrescente se o ângulo 𝜃 estiver no compreendido 
entre 90 a 180 graus(90° < 𝜃 < 180°, ⇒ 𝑡𝑎𝑛𝜃 < 0 𝑒 𝑎 < 0) 
 
Esboço do Gráfico de uma função linear afim 
Para esboçarmos o gráfico cartesiano de uma função f, primeiramente atribuímos 
valores convenientes a x no domínio da função e, em um segundo momento, 
determinamos os correspondentes valores de y = f(x). e por fim, o gráfico é constituído 
pelos pontos representativos dos pares (x, y). 
Exemplo: 
Dada a função y = 2x, vamos esboçar o gráfico da função. 
1º escolhemos alguns valores para o x 
2º calculamos o valor correspondente para o y 
𝑠𝑒 𝑥 = 0, ⇒ 𝑦 = 2 × 0 = 0 
𝑠𝑒 𝑥 = 1, ⇒ 𝑦 = 2 × 1 = 2 
𝑠𝑒 𝑥 = 2, ⇒ 𝑦 = 2 × 2 = 4 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
34 
 
𝑠𝑒 𝑥 = 3, ⇒ 𝑦 = 2 × 3 = 6 
 
X 0 1 2 3 
Y 0 2 4 6 
 
Nesta situação, representamos ponto a ponto a função 
 
Figura 14 : Representação dos pontos da função f(x) = 2x 
Fonte: a autora 
Exemplo2 
Esboce ográfico da função 
5
)(
x
xf 
 
 
 
 
X 0 10 
F(x) 0 -2 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
35 
 
Figura 15 : Gráfico da função 
5
)(
x
xf 
 
Fonte: a autora 
 
 Reflexão 
Considerando todos os conteúdos que já estudamos até então, sabe-se que uma das 
exigências das quais uma relação deve satisfazer para ser uma função, é de que a cada 
x deve corresponder um e somente um y, 𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥). Esta propriedade pode ser 
interpretada da seguinte forma: “ao levantarmos uma linha paralela ao eixo oy, e outra 
paralela ao eixo ox, elas irão se interceptar no gráfico, em um só ponto. 
Estudo do Sinal de uma função afim 
Na perspectiva de TIVANE (2010), estudar o sinal de uma função consiste em 
determinar os intervalos nos quais a função tem imagem negativa e os intervalos nos 
quais a função tem imagem positiva. 
Para tal, analisaremos dois casos: 𝑎 > 0; 𝑒 𝑎 < 0. 
 
Dada a função 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, se tomarmos 𝑦 = 0, teremos 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⇔ 𝑎𝑥 =
 −𝑏 ⟺ 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 analogamente, se 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 > −
𝑏
𝑎
, de igual modo, 
se 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 < −
𝑏
𝑎
, 
 
 
1º Caso: 𝑎 > 0; 𝑥 > −
𝑏
𝑎
, 
Figura: gráfico da função 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, considerando 𝑎 > 0 
Fonte: TIVANE 2010 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
36 
 
 
2º Caso: 𝑎 < 0; 𝑥 < −
𝑏
𝑎
, 
FIGURA: Gráfico da função 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, considerando 𝑎 < 0 
 
Sumário 
 
Nesta Unidade temática 1.1 estudamos e discutimos fundamentalmente a função polinomial 
de grau 1. 
 A função polinomial do 1º grau é uma função do tipo baxy  . 
 É o tipo de função em que qualquer mudança na variável independent causa uma 
mudança proporcional na variável dependente. 
 A obtenção dos pontos que perfazem o percurso da recta de uma função afim, é feito 
pela atribuição de alguns valores aleatórios para o x. E o y é obtido pelo cálculo por 
substituição dos valores de x na fórmula. 
 Lembrem-se: por dois pontos quaisquer passa uma, e apenas uma única recta. 
 O estudo do sinal de uma função consiste em determinar os intervalos para os quais 
a função tenha uma imagem negativa e os intervalos para os quais a função tem 
imagem positiva. 
 
 
 
 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
37 
 
TAREFAS DE AUTO AVALIAÇÃO 
Perguntas 
1. Um automóvel desloca-se em uma estrada com velocidade constante. Sabendo 
que ele sai do km 15 e duas horas depois passa pelo km 175, faça o que se pede: 
a. Determine a velocidade desse automóvel; 
b. Escreva a função que representa esse movimento; 
c. Faça uma tabela relacionando o tempo transcorrido e o km em que ele se 
encontra; 
 
Respostas 
a. A velocidade: 80 km/h 
 
b. Função: y = 15 + 80x 
 
c. Tabela: 
 
 
 
 
 
 
2. Sobre funções injectivas, sobrejectivs e 
bijectivas, julgue os itens abaixo em verdadeiro ou falso. 
I.Toda função injectiv é bijectiva; 
II.Quando elementos diferentes geraam imagens diferentes, temos uma função 
sobrejectiva; 
III.Toda função bijectiva admite inversa; 
IV.Quando a imagem é igual ao contradomínio temos uma função sobrejectiva. 
Tempo/h Km 
0 15 
1 95 
2 175 
3 255 
4 335 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
38 
 
a) VVVV 
b) FFVV 
c) VVFF 
d) FFFF 
 
RESPOSTA COMENTADA 
I. Falso – uma função pode ser injectiva, porém existir um elemento no 
contradominio que não esteja associado a um elemento do domínio, facto este que 
torna a função não sobrejectiva e consequentemente não bijectiva. 
II. Falso – o facto do elemento do domínio estar associado a um elemento igual 
ou diferente no contradomínio não é determinante na classificação das funções. 
III. Verdadeiro – uma função é bijectiva se e somente se possui uma função 
inversa. 
IV. Verdadeiro – se o contradomínio e a imagem são iguais, então todo elemento 
do contradomínio está associado a pelo menos um elemento do domínio e essa função 
é sobrejectiva. 
Solução: resposta B 
 
3. Dada a função f(x) = –2x + 3, determine f(1). 
 
Resposta comentada 
Substituindo o valor de “x”, temos:   1323)1(21 f . 
 
4. Dada a função f(x) = 4x + 5, determine x tal que f(x) = 7. 
Resposta comentada 
Solução. O valor procurado o elemento “x” do domínio que possui imagem y = 7. 
 
Temos:






2
1
4
2
24574754
7)(
54)(
xxxx
xf
xxf
 
Escreva a função afim baxxf )( , sabendo que: 
a) f(1) = 5 e f(-3) = -7 b) f(-1) = 7 e f(2) = 1 c) f(1) = 5 e f(-2) = -4 
Resposta Comentada 
Solução. Cada par de valores pertence à lei da função afim (equação de uma reta). Temos: 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
39 
 
a)

























335
2
4
8
84
73
1533
73
)3(7
)3()3(
)1()1(
a
bb
ba
ba
ba
ba
baf
baf
 
Logo, a função é: 23)(  xxf 
b) 
275
5
3
15
153
12
1422
12
)2(7)2()2(
)1()1(




















a
bb
ba
ba
ba
ba
baf
baf
 
Logo, a função é: 52)(  xxf 
c)
325
2
3
6
63
42
1022
42
)2(5
)2()2(
)1()1(



















a
bb
ba
ba
ba
ba
baf
baf
 
 
Logo, a função é: 23)(  xxf . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
40 
 
UNIDADE TEMÁTICA 2.2. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 
 
 
Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br. Acessado no dia 26 de junho de 2019 
 
Introdução 
Vimos no capítulo anterior que um conjunto de dados constitui uma função linear quando a 
variação dos valores na imagem for proporcional á variação no domínio, sendo esta 
denominada taxa de variação. Porém, se isso não acontecer com seus dados, pode-se analisar 
uma segunda, uma terceira ou mais variações SVIERCOSKI (2014). 
 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 Identificar uma função Quadrática; 
 Calcular os zeros de uma função quadrática; 
 Encontrar as coordenadas do vértice de uma 
função quadrática; 
 
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
41 
 
Função Quadrática 
Na visão de SVIERCOSKI (2014), Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 
2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, 
onde a, b e c são números reais e a 0. 
 
Gráfico 
Para PEMBERTON & RAU (2014), o gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx 
+ c, com a 0, é uma curva chamada parábola. Em que D(f) = IR e CD(f) = IR 
Exemplo 1 
Vamos ilustrar o esboço da parábola da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 
 
Figura 16: Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 +1 
Exemplo 2f(x) = x² - 4x + 3 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
42 
 
 
x Y = f(x) = x² -4x + 3 (x, y) 
0 3 (0, 3) 
1 0 (1, 0) 
2 -1 (2, -1) 
3 0 (3, 0) 
4 3 (4, 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17: Gráfico da função f(x) = x² - 4x + 3 
Tome Nota 
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que: 
 a) se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; 
 b)se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; 
Sendo assim, o valor de a vai definir a concavidade da parábola. 
 
Figura 18: Representação Gráfica Das Funcoes 12)( 2  xxxf e xxxg  2)(
respectivamente. 
O chamado zero da função ou raiz da função, faz referência aos valores de x tais que f(x) = 0. 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
43 
 
As raízes da função são determinadas pela resolução da equação de segundo grau igualada a 
zero: 
ax2 +bx + c = 0 
Portanto, determinar a raiz de uma função é calcular os valores de x que satisfazem a equação 
do 2º grau ax² + bx + c = 0, que podem ser encontradas através do Teorema de Bháskara, 
PEMBERTON & RAU (2014): 
a
acbb
x
2
42
1


a
acbb
x
2
4
,
2
2

 Observe que a 
quantidade de raízes de uma função quadrática vai depender do valor obtido pela expressão: 
Δ = b2 – 4. ac, o qual é chamado de discriminante.
 
Assim, 
Δ > 0 → a função tem duas raízes reais, logo intercepta o eixo x em dois pontos; 
 
Δ < 0 → a função não possui raízes reais, logo não intercepta o eixo x; 
 
 
Δ = 0 → a função possui apenas uma raiz real, logo intercepta o eixo x em apenas um ponto; 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formula-bhaskara.htm
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
44 
 
 
Exemplo: 
Determine o valor de m para que a função quadrática mxxxf  4)( 2 possua apenas uma 
raiz. 
Devemos ter como condição 0 , pois esta é que garante que tenhamos apenas uma raiz. 
10440*1*44
04
2
2


mmm
ab
 
 
Sumário 
Nesta Unidade temática 2.2 estudamos e discutimos fundamentalmente a função polinomial 
de grau 2. 
 Qualquer função f de IR em IR dada pela fórmula cbxaxxf  2)( , em que a, b e c 
são números reais e 0a , é chamada de função quadrática. 
 O gráfico de uma função quadrática apresenta concavidade voltada para cima se 
0a , e para baixo se 0a . 
 Os zeros da função ou raízes de uma função quadrática são os valores que x assume 
tais que 0)( xf . 
 Ao aplicar-se o Teorema de Bháscara, á priori quando temos 0 sabe-se que a 
função em estudo apresenta duas raízes reais portanto, intercepta o eixo x em dois 
pontos. 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
45 
 
 Se 0 a função não possui raízes, logo, não intercepta o eixo x, e por fim se 0
a função possui apenas uma raiz real, logo, intercepta o eixo x em apenas um ponto. 
TAREFAS DE AUTO-AVALIAÇÃO 
1. As seguintes funções são definidas em IR. Verifique quais delas são funções 
quadráticas e identifique em cada uma os valores de a, b e c: 
 
a) f(x) = 2x (3x - 1) 
 
b) f(x) = (x + 2) (x - 2) – 4 
 
c) f(x) = 2(x + 1)² 
 
 
2. Dada a função quadrática f(x) = 3x² - 4x + 1, determine: 
a) f (1) c) f( 2 ) e) f (h + 1) 
 
b) f (0) d) f(-2) f) x de modo que f(x) = -1 
3. Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas abaixo: 
 
a) f(x) = x² - 3x c) f(x) = -x² +2x + 8 
b) f(x) = x² +4x + 5 d) –x² +3x – 5 
 
4.Para que valores reais de k a função f(x) = (k - 1)x² - 2x + 4 não admite zeros reais? 
 
 
 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
46 
 
5. Os 180 alunos de uma escola estão dispostos de forma retangular, em filas, 
de tal modo que o número de alunos de cada fila supera em 8 o número de filas. 
Quantos alunos há em cada fila? 
6. Esboce o gráfico da função f cuja parábola passa pelos pontos (3, -
2) e (0, 4) e tem vértice no ponto (2, -4); em seguida, verifique qual das seguintes 
sentenças corresponde a essa função: 
 
a) f(x) = -2x² - 8x + 4 b) f(x) = 2x² - 8x + 4 c) f(x) = 2x² + 8x +4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
47 
 
 
UNIDADE TEMÁTICA 2.3.Pontos Máximos e Minimos 
Introdução 
O ponto de máximo e ponto de mínimo de uma função do 2º grausão definidos pela 
concavidade da parábola, se está voltada para baixo ou para cima. O ponto máximo e o ponto 
mínimo podem ser atribuídos a várias situações presentes em outras ciências, como Fisica, 
Biologia, Administração, contabilidade e outras. Por exemplo, Fisica: movimento 
uniformemente variado, lançamento de projéteis; Biologia: na análise do processo de 
fotossíntese. Administração: estabelecimento de pontos de nivelamento, lucros e prejuízos. 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
 
Objectivos 
específicos 
 
 Determinar pontos máximos e mínimos 
 Encontrar o vértice de uma função quadrática. 
Determinação de pontos máximos e mínimos 
As raízes determinam quais os pontos onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas 
(eixo x); o vértice pode ser o ponto de máximo absoluto ou de mínimo absoluto da 
função, ou seja, o maior ou o menor valor que a função pode assumir em todo o seu 
domínio o que determina um caso ou outro é a concavidade da parábola. Se a 
concavidade for voltada para baixo, a função apresenta ponto de máximo absoluto. 
 
Se a concavidade for voltada para cima, a função apresenta ponto de mínimo absoluto. 
A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite 
determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo. 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
48 
 
 
As coordenadas do vértice da parábola são dadas por: 





 
aa
b
v
4
,
2
 
Em que: a
b
X v
2


e a
Yv
4


 
As coordenadas do vértice V(x v , y v ) da função quadrática f(x) = ax² + bx + c 
podem ser calculadas de duas maneiras: 
1ª Maneira: Utilizando as seguintes fórmulas: 
x v = 
a
b
2

 e y v = 
a4
 
2ª Maneira: 
* Para calcular o x v , obtemos as raízes x 1 e x 2 da equação do 2º grau e calculamos o 
ponto médio das mesmas. Assim: 
x v = 
2
21 xx  
* Substituímos o valor do x v na função quadrática para que possamos obter a 
coordenada y v . 
 
Figura 19: Representação do vértice da parábola 
Exemplo 1: 
Considere a função f(x) = 2x² - 8x 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
49 
 
Obtendo as raízes, teremos x
1
= 0 e x
2
= 4. Portanto, x v = 
2
21 xx  = 
2
40 
 = 2 
Substituindo x v = 2 na função, obtemos a ordenada do vértice: 
y v = f(x v ) = 2 (x v )² -8 (x v ) 
y v = f(2) = 2 . 2² - 8 . 2 = -8 
 
 
 
 
 
 
 
* O vértice é o ponto (2, 8). 
* A função assume valor mínimo -8 
quando x = 2 
* Im(f) = {y  │y 0} 
* Essa função não tem valor máximo. 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
50 
 
 
De modo geral, dada a função f: IR  IR, tal que, com V (x v , y v ) é o vértice da 
parábola correspondente, temos então: 
a > 0  y v é o valor mínimo de f  Im(f) = {y IR│y  y v } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 2 
 
 
f(x) = -4x² + 4x + 5 
 
Sabemos que o vértice V de uma parábola dada 
por f(x) = ax² + bx + c, a  0, também pode ser 
calculado assim: V = (x v , y v ) = 

 
a
b
2
, 



a4
. 
Neste caso, temos: 
 
f(x) = -4x + 4x + 5 
 
x v = 
a
b
2

 = 
8
4


= 
2
1
 
 
y v = 
a4

 = 
16
96
16
)8016(





 = 6 
 
V = (1/2, 6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* O vértice é o ponto (1/2, 6). 
* A função assume valor 
máximo 6 quando x = 1/2 
* Im(f) = {y  │y  6} 
* Essa função não tem valor mínimo.
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
51 
 
a < 0  y v é o valor máximo de f  Im(f) = {y IR │y  y v } 
 
 
 
 
 
 
Como esboçar o gráfico de uma função quadrática 
Exemplo1: 
Encontre as raízes da função y = x2 – 2x – 8, e esboce o seu gráfico. 
Resolução 
36324)8.(1.4)2(4082 222  acbxx
 
2
2
62
1.2
362
4
2
62
1.2
362
2
222
1111












xxx
xxx
a
b
x
 
Construção do gráfico : Ao construirmos o gráfico de uma função quadrática existem alguns 
aspectos a serem considerados, como por exemplo a concavidade da parábola (se é voltada 
para cima ou para baixo), como vimos anteriormente. Ademais, temos que a= 1 > 0 implica 
que a concavidade é voltada para cima. ∆ > 36, implica que a parábola intercepta o eixo em 
dois pontos e c = -8, é o valor o gráfico corta o eixo dos y . 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
52 
 
 
Figura: Gráfico da função y = x2 – 2x – 8 
 
2) Determine as raízes da função definida pela equacao y = x2 + x – 4 e esboce o 
gráfico. 
Solucao: 
0154.1.4)1(0404 222  xxxx
 
0
( não tem raízes reais em IR) 
 
Gráfico da parábola 
a = -1, implica que a concavidade é voltada para baixo 
∆ = -15 < 0, significa que não intercepta o eixo dos x 
 
Figura 20: Gráfico da funcao y = -x2 + x – 4 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
53 
 
Exemplo 3 
Considere a equação y = x2 – x – 6, determine o vértice da parábola e construa o 
respectivo gráfico. 
Solução: 
2
2
51
1.2
251
3
2
51
1.2
251
252416
2
1
2











x
x
xxy
 
Portanto, as coordenadas do vértice da parábola serão dadas por: 











 

4
25
;
2
1
.4
;
.2 aa
b
V
, então esbocemos o gráfico da parábola: 
 01a
concavidade para cima 
025 
intercepta o eixo x em dois pontos. 
 
Figura 21: gráfico da função y = x2 – x – 6 
 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
54 
 
Sumário 
Nesta Unidade temática 2.3 estudamos e discutimos fundamentalmente sobre os pontos 
máximos e mínimos de uma função quadrática. 
 As raízes de uma função quadrática determinam quais os pontos em que o gráfico 
intercepta o eixo das abcissas. 
 No entanto, o vértice da parábola pode assumir o ponto máximo ou o ponto mínimo 
bsoluto da função. 
 
Dada a função IRIRf : , tal que o vértice da parábola é ),( vv YXV , temos que 
vYa  0 é o valor mínimo de f pois  vYyIRyf  |)Im( e quando vYa  0 é 
o valor máximo de f pois  vYyIRyf  |)Im( . 
 
Exercícios de AutoAvaliação 
1. Construa um esboço dos gráficos das funções quadráticas a seguir e indique o 
domínio e a imagem: 
 
a) f(x) = x2 – 4x + 3 b) f(x) = x2 – 6x + 8 
c) f(x) = x2 – 2x d) f(x) = – x2 + 8x e) f) f(x) = – 2x2 
 
Resposta comentada 
 Para o esboço identifica-se: f(x) = 0 (zeros da função), f(0) (intersecção com o eixo Y) e as 
coordenadas do vértice. 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
55 
 
a) 
 
 















 





 


















1;2
4
4
;
2
)4(
4
;
2
;1)Im(
33)0(4)0()0(
3
1
2
24
2
)3)(1(4164
0)(
:34)( 2
2
1
2
aa
b
V
f
IRDf
f
x
x
xxf
xxxf 
 
 
 
b) 
 




























 













[,1[)(
)(
1;3
)1(4
4
;
)1(2
)6(
4
;
2
88)0(6)0()0(
4
2
2
26
2
)8)(1(4366
0)(
:86)( 2
2
1
2
fIM
IRfD
aa
b
V
f
x
x
xxf
xxxf 
 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
56 
 
 
 
 
c) 
) 
 




























 









[,1[)(
)(
1;1
)1(4
4
;
)1(2
)2(
4
;
2
0)0(2)0()0(
2
0
0)2(0)(
:2)( 2
2
1
2
fIM
IRfD
aa
b
V
f
x
x
xxxf
xxxf 
 
 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
57 
 
d)
 





























 









]16,])(
)(
16;4
)1(4
64
;
)1(2
)8(
4
;
2
0)0(8)0()0(
8
0
0)8(0)(
:8)( 2
2
1
2
fIM
IRfD
aa
b
V
f
x
x
xxxf
xxxf
 
 
e)
 





























 




]0,])(
)(
0;0
)2(4
0
;
)2(2
)0(
4
;
2
0)0(2)0(
000)(
:2)( 2
2
2
fIM
IRfD
aa
b
V
f
xxxf
xxf 
 
 
 
 
 
2. A função f(x) = ax2 + bx + c passa pela origem. Sabendo que f(–2) = 0, calcule o valor 
de 
ab
babca 22  ? 
Resposta Comentada 
Se o gráfico de f(x) passa pela origem, f(0) = 0. Utilizando a informação que f(– 2) = 0 vem: 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
58 
 
)0(
2
5
2
5
2
4
)2(
)2()0)(2(
)
2420240)2.()2.(0)2()
00)0.()0.(0)0()
2
2
2
222222
2
2








a
a
a
a
aa
aa
aaaa
ab
babca
iii
ababbabafii
ccbafi
 
3. O vértice da parábola y = 2x2 – 4x + 5 é o ponto: 
a) (2,5) b)  1 11, c) (-1,11) d)  1 3, e) (1,3) 
Resposta comentada 
Utilizando as fórmulas das coordenadas do vértice, temos: 
 3;1
8
]24[
;1
8
]4016[
;1
)2(4
)]5)(2(4)4[(
;
)2(2
)4(
4
;
2
542)(
2
2 




 





 





 







 

aa
b
Vxxxf 
4. A função f(x) = x2- 4x + k tem o valor mínimo igual a 8. O valor de k é: 
a) 8 b) 10 c)12 d) 14 e) 16 
Resposta comentada 
O valor mínimo da função é a ordenada do vértice. Igualando o valor à fórmula, temos: 
12
4
48
32164324168
)1(4
)])(1(4)4[(
8
4
4)( 2
2















kkk
k
a
kxxxf
 
 
 
 
 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
59 
 
UNIDADE TEMÁTICA 2.4. Estudo do Sinal da função Quadrática. 
Introdução 
Estudar o sinal de uma função é determinar para quais valores reais de x as funções são 
positivas, negativas ou nulas. A melhor maneira de analisar o sinal de uma função é pelo 
gráfico. 
Como toda função polinomial tem como domínio todo conjunto IR e é sempre 
continua, suas imagens só podem mudar de sinal em suas raízes reais. Inicialmente 
determinamos as raízes reais (se existirem) do polinómio quadrático
 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de 
 
Objectivos 
específicos 
 
 Determinar o sinal deuma função quadrática, em períodos 
destintos. 
 Analisar e implementar cada caso no estudo do snal da função. 
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 Agora podemos estudar o sinal da função quadrática analisando qual e o comportamento das 
parábolas quando 
0
 e quando 
0
, considerando também a variação do sinal do 
coeficiente linear. No estudo do sinal da função 
cbxaxy  2
, temos 6 casos a considerar. 
Os exemplos a seguir ilustram tais possibilidades. 
Caso 1: ∆< 0 e a > 0 
Caso 2: ∆< 0 e a < 0 
Os graficos das parabolas nestes casos nao interceptam o eixo Ox. 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
60 
 
 
 
 
Figura 12: Gráficos das parábolas onde: ∆< 0 , a > 0 (esquerda) e a < 0 (direita) 
Caso 3: ∆> 0 e a > 0 
Caso 4: ∆> 0 e a < 0 
Os gráficos das parábolas nestes casos interceptam o eixo →Ox em dois pontos (as raízes x1 e 
x2). Entãoy > 0 no caso 1 e y < 0 no caso 2. 
 
Figura 13: Gráficos das parábolas onde Δ > 0, a > 0 (esquerda) e a < 0 (direita) 
 
Caso 5: Δ = 0, a > 0 
Caso 6: Δ = 0, a < 0 
 
Figura 14: Gráficos das parábolas onde Δ = 0, a > 0 (esquerda) e a<0 (direita) 
Então y é positivo para todo x ≠ x1no caso 5 e y e negativo para todo x ≠ x1 no caso 6. 
4.1. Regra síntese para questão do sinal 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
61 
 
(i) Se Δ < 0 o sinal de y é o mesmo de a 
(ii) Se Δ = 0 o sinal de y é o mesmo de a (excepto para x = x1= x2quando 
y = 0) 
(iii) Se Δ > 0 
 
O sinal de y nos intervalos (∞, 𝑥1) ; (𝑥1,𝑥2) e (𝑥2, ∞) obedecem ao esquema anterior. 
 
Exemplo 1 
1º) Vamos estudar os sinais das seguintes funções: 
 
a) f(x) = x² - 7x + 6 b) f(x) = 9x² + 6x + 1 
c) f(x) = -2x² +3x – 4 
 
a) f(x) = x² - 7x + 6 
 
a = 1 > 0 
 = (-7)² - 4 (1) (6) = 25 > 0 
Zeros da função: x
1
= 6 e x
2
 
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
Então: 
 
* f(x) = 0 para x = 1 ou x = 6 
* f(x) < 0 para x < 1 ou x > 6 
* f(x) < 0 para 1 < x < 6 
 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
62 
 
Portanto, f(x) é positiva para x fora do intervalo [1, 6], é nula para x = 1 ou x = 6 e negativa 
para x entre 1 e 6. 
b) f(x) = 9x² + 6x + 1 
 
a = 9 > 0 
 = (6)² - 4 (9) (1) = 0 
Zeros da função: x = -1/3 
Então: 
* f(x) = 0 para x = -1/3 
* f(x) > 0 para todo x  -
1/3 
 
 
c) f(x) = -2x² +3x – 
4
 
 
a = -2 < 0 
 = (3)² - 4 (-2) (-4) = -23 < 0 
 
Portanto,  < 0 e a função não tem zeros 
reais. 
Logo, f(x) < 0 para todo x real, ou seja, f(x) é 
sempre negativa. 
 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
63 
 
 
 
Sumário 
Nesta Unidade temática 2.4 estudamos e discutimos fundamentalmente o estudo 
do sinal de uma função polinomial do 2º grau. 
 Estudar osinal da função é determinar para quais valores reais de x as funções são 
positivas, negativas e nulas; 
 No estudo do sinal da função do 2º grau temos 6 casos a considerar., no estudo do 
sinal da função é necessário considerar que: se 0 , o sinal de y é o mesmo que 
de a; se 0 , o sinal de y é o mesmo que de a excepto para x = x1 = x2 quando y = 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
64 
 
UNIDADE TEMÁTICA 2.5 Outras Funções Polinomiais 
Introdução 
Além das funções do 1º e 2º grus existem outras funções polinomiais que merecem 
ser feitas menção. Para SVIERCOSKI (2014), quando se têm fenómenos que possam 
atingir valores mínimos e máximos no mesmo intervalo, deve-se pensar em outro 
modelo e então analisar os dados até uma terceira variação. 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 Distinguir uma função racional de uma função irracional; 
 Identificar uma função cúbica; 
 Identificar uma função racional; 
 Identificar uma função fraccionária. 
Função Cúbica 
A função cúbica tem a equação geral dada por𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 com 𝑎 ≠
0 (polinómio de grau 3) SVIERCOSKI (2014). Na figura que se segue, está represntada 
a função 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 𝑥2 + 2𝑥 + 1 em que D(f) = CD(f) = IR 
 
Figura 22: Representação gráfica da função cúbica 
Fonte: autora 
 
Função Racional Fraccionária 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
65 
 
De um modo geral na visão de SVIERCOSKI (2014), é uma função f em cuja equação a 
variável x está no denominador e é definida como função racional, ademais, as 
funções racionais fraccionárias são funções que se podem expressar como 
quocientes de dois polinómios, isto é, expressam-se na forma: 
01
1
1
01
1
1
2
...
...
)(
)(
)(
bxbxbxb
axaxaxa
xq
xp
xf
m
m
m
m
n
nn







 
 
Em que p(x) e q(x) são, respectivamente, polinómios de graus m e n e 0)( xq . Na 
figura que se segue, está representado graficamente a função racional 
1
)(
2
3


x
x
xf , 
cujo domínio é  1,1\  IRD f , e o contradomínio .IRCD f  
 
Figura 23: Representação gráfica da função racional 
1
)(
2
3


x
x
xf
 
Fonte: autora
 
 
Função Irracional 
Uma função algébrica diz-se irracional se não for racional. Entende-se por função 
racional uma função que pode ser representada por uma expressão algébrica que 
contém as operações de adição, subtracção, multiplicação e divisão mas não inclui 
extracções de raiz. Como por exemplo as funções : 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
66 
 
𝑓(𝑥) = √𝑥 , 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + √𝑥2 − 4𝑥 + 1
3
, ℎ(𝑥) = 
𝑥 + √𝑥
√1 + 5𝑥2
 
 
São exemplos de funções algébricas irracionais. Ademais, deve-se salientar que a 
expressão algébrica 12 24  xx inclui uma extração de raix mas define uma função 
racional uma vez que:   1112 22224  xxxx 
 
Função Potência de expoente racional 
Sendo n um número natural, a potência de expoente natural n de um número real a 
define-se por: 
 
 
A partir desta definição é possível demonstrar pelo princípio de indução matemática 
as seguintes propriedades, supondo m e n números naturais: 
1. 𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒) 
2. 𝑎𝑛 ∗ 𝑏𝑛 = (𝑎𝑏)𝑛(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒) 
3. (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚𝑛(𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎) 
A generalização do conceito de potência aos casos em que o expoente não é natural 
assenta na conservação destas propriedades. Assim, designando o expoente por  , 
temos: 
 
Potência de expoente racional 
n
m
 Pela propriedade 3 tem-se 
    mnnn aaaa   
Da última igualdade, por definição de raiz de índice n de um número, define-se a 
potência de expoente racional por 
n maa  . 
 
Potência de expoente nulo: Da propriedade 1 conclui-se: 





 aaa
aa
nn *1
1
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
67 
 
aaaaaa  ** 0110 
Pelo que se 0a , 10 a 
 
Potência de expoente negativo: Seja α um número racional positivo e 0a . De novo 
pela propriedade 1, 
1* 0)(   aaaa  
Donde sai que 


a
a
1
 
 
Estamos agora em condições de poder prosseguir com o estudo da função potencia 
de expoente racional, a qual se define por 
𝑓(𝑥) = 𝑥∝, com ∝ racional. 
Se ∝ é inteiro, estamos diante de uma função algebrica racional inteira ou 
fraccionária. Se ∝é uma fracção irredutível, a função potencia pode ser uma função 
algébrica racional ou irracional. Vejamos os exemplos a seguir: 
1. Observe as funções 𝑓(𝑥) = 𝑥4 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥5 representadas na figura a baixo 
 
 
 
Figura23: representação Gráfica das funções 𝑓(𝑥) = 𝑥4 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥5 
2. As funções 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 = 
1
𝑥
 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥−2 = 
1
𝑥2
 , representadas na figura a 
seguir 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
68 
 
 
Figura 14: gráfico de função potência algébrica racional fraccionária 
 
4. As funções 𝑓(𝑥) = 𝑥
1
3 = √𝑥
3
 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥
−
1
3 =
1
√𝑥
3 , representadas na figura a 
baixo 
 
Figura 15: Representação gráfica das funções 𝑓(𝑥) = 𝑥
1
3 = √𝑥
3
 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥
−
1
3 =
1
√𝑥
3 , 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
69 
 
TEMA– III: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
UNIDADE Temática 3.1.Principais relações trigonométricas. 
Conversão de Graus em Radianos e vice-versa 
UNIDADE Temática 3.2 Principais Funções trigonométricas de um 
ângulo agudo 
 
UNIDADE TEMÁTICA 3.1.Principais relações trigonométricas. 
Conversão de Graus em Radianos e vice-versa 
Introdução 
A trigonometria nasceu aproximadamente a 300 a.C entre os gregos, para resolver 
problemas de astronomia. Suas primeiras aplicações práticas ocorrem só com 
Ptolomeu 150d.C o qual, além de continuar aplicando – a os estudos de astronomia, a 
usou para determinar a latitude e longitude de cidades e de outros pontos geográficos 
em seus mapas. 
Do mundo grego, a trigonometria passou, aproximadamente 400 d.C, para a índia 
onde era usada nos cálculos astrológicos (ainda eram problemas de astronomia). Por 
cerca de 800 d.C ela chega ao mundo islâmico, onde foi muito desenvolvida e aplicada 
na astronomia e cartografia. 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 Descrever as relações trigonométricas; 
 Identificar medidas de ângulos e arcos em unidades distintas; 
 Converter ângulos em radianos e vice – versa; 
 Identificar as funções trigonométricas de um ângulo agudo. 
 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
70 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Quando se observam fenomenos que se repetem periodicamente, como temperatura média 
diária, parte do dia com luz, organização das folhas em uma planta, etc., esses podem ser 
modelados por funções trigonométricas SVIERCOSKI(2014). 
 
Em trigonometria, os lados dos triângulos retângulos 
assumem nomes particulares, apresentados na figura ao lado. O lado mais comprido, oposto 
ao ângulo de 90º (ângulo reto), chama-se hipotenusa e os demais se chamam catetos. O cateto 
que forma o 
ângulo θ, na figura, com a hipotenusa é o cateto adjacente ao ângulo e o outro o cateto 
oposto. 
 
Os gráficos provenientes das funções trigonométricas podem ser gerados a partir de um 
círculo de raio igual a 1. Das relações dessas funções com o círculo unitário surgem as relações 
trigonométricas. 
 
Curiosidade 
 Quando a trigonometria é usada para representar oscilações, os ângulos são 
medidos em radianos 
 
Definição 
Um radiano, é a medida de um ângulo centrado em um círculo unitário, cortando um 
arco de comprimento 1, medido no sentido anti-horário. 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
71 
 
 
Figura 24: Representação de 1 rd(um radiano) no círculo 
 
Um ângulo de 1 rd tem também comprimento de arco igual a 1. 
Como a circunferência tem 360º , as correspondências são dadas por: 
𝟑𝟔𝟎° = 𝟐𝝅 𝒓𝒅, 𝒊𝒔𝒕𝒐 é, 𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒅 
 
Daí tem-se que 1° = 
2𝜋
360°
= 0,01745 … 𝑟𝑑 𝑒 1 𝑟𝑑 = 
360°
2𝜋
= 57,295° 
 
A conversão de graus em radianos, ou vice-versa, pode ser feita na máquina de calcular, ou 
usando a regra de três simples com as igualdades apresentadas anteriormente. 
 
Exemplo 
1. Converta em radianos 150º.. 
Resolução: 
 Usemos a correspondência dada anteriormente: 𝟑𝟔𝟎° = 𝟐𝝅 𝒓𝒅 
rdrd
rd
x
rd
x
rdx
x
rd
617,2
6
5
360
300
360
2150
2150360
150
2360
0
0
0
0
00
0
0











Nota: use 14,3 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
72 
 
 
 
2. Converta de graus 
rd
2
3
. 
Resolução: 
 Como no exercício anterior, usaremos a correspondência: 𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒅 
 
0
0
0
0
270
270
2
3
180
2
3
180






x
rd
rd
x
rdxrd
rdx
rd





 
 
Sumário 
Os gráficos provenientes das funções trigonométricas podem ser construídos a partir 
de um círculo de raio igual a 1. 
 Um radiano é a medida de um angulo centrado em um circulo unitário; 
 Um angulo de 1rd tem também comprimento de arco igual a 1. 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
 
1. Converta para graus o arco de 
6
7 radianos 
Resposta comentada: basta substituir 𝜋 = 180º
7 𝑋 180º
6
 = 210. Por outro lado, pode-
se usar a regra de trê simples: 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
73 
 
2. Se um arco mede 75º, sua medida em radianos é: 
 
a)  /12 
b) 5 /12 
c) 12 /5 
d) 5 /6 
e)  /5 
Letra B  Mesmo raciocínio da questão anterior. 
 
3. Complete a tabela. 
GRAUS RADIANOS GRAUS RADIANOS 
0º 180º 
30º 210º 
45º 225º 
60º 240º 
90º 270º 
120º 300º 
135º 315º 
150º 360º 
 
4. Expresse em graus: 
a) rad
9
10
 b) rad
8
11
 c) rad
9

 d) rad
20

 e) rad
3
4
 
3. Determine em radianos a medida do ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 4 
horas. 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
74 
 
 
 
UNIDADE TEMÁTICA 3.2. PRINCIPAIS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM 
ÂNGULO AGUDO. 
Introdução 
Suponhamos, por exemplo, que queríamos medir a altura h de uma torre de farol 
que nos é inacessível, ou para a qual era incómodo e difícil efectuar directamente 
uma medição sobre a torre com fita métrica. Como fazer? 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 Diferenciar as funções trigonometrias umas das outra; 
 Identificar uma função seno; 
 Identificar uma função cosseno; 
 Identificar uma função tangente e; 
 Identificar uma função tangente. 
 
Funções Seno e Cosseno 
Na perspectiva de SVIERCOSKI(2014) estas duas funções são definidas, usando-se o círculo 
unitário. Primeiramente analisa-se um ponto P arbitrário no plano, diferentemente da origem 
O, sobre o círculo unitário. Então, a posição de P é determinada univocamente pelo ângulo 𝛼 
compreendido entre o eixo x positivo e a recta 

OP . 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
75 
 
 
A partir desta relação pode-se estabelecer as funções seno e cosseno. 
 Portanto, seno do ângulo 𝛼é o quociente do comprimento do cateto oposto ao 
ângulo 𝛼 pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja, 
 
 
A cada valor de 𝛼, o seno associa um único valor de y. Usando a notação temos que: 
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼SVIERCOSKI (2014), 
 
E cosseno do ângulo 𝛼é o quociente do comprimento do cateto adjacente ao ângulo 
𝛼 pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja, 
OP
x

hipotenusa
adjacente cateto
)cos(
 
Analogamente uma análise semelhante pode ser feita, porém com a projecção sobre 
o eixo x, definindo-se a função 𝑥 = cos 𝛼. 
 
 
OP
y
sen 
hipotenusa
oposto cateto
)(
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
76 
 
Figura 26: Gráfico de Função Seno 
 
Figura 27: Gráfico da função cosseno. 
O domínio dessas funções é o conjunto IR. Os valores de x e y, entretanto, atingem um máximo 
de +1 e mínimo de -1. Assim, os conjuntos imagem coincidem, sendo 
𝐼 = {𝑦 ∈ 𝐼𝑅/ −1 ≤ 𝑦 ≤ 1} 
As funções seno e cosseno são periódicas, com períodos de 360º ou 2π radianos. 
 
Características das funções Seno e Cosseno 
Resumidamente temos que: 
 O gráfico das funções Seno e cosseno apresentam os valores máximo e mínimo 
da sua função, respectivamente iguais a 1 e -1. 
 A função seno é positiva no 1º e 2º quadrantes e negativa no 3º e 4º 
quadrantes, enquanto que a função cosseno é positiva no 1º e 4º quadrantes, e 
negativa no 2º e 3º quadrantes. 
 As funções seno e cosseno são periódicas de período 2 . 
 
Função tangente 
Se x é um número real tal que cos 𝑥 ≠ 0, define-se a função tangente como: 



cosadjacente cateto
oposto cateto
)tan(
sen
 
O significado geométrico de )tan( é a inclinação da recta unindo a origem (0, 0) a um 
ponto 𝑃 = (cos 𝛼 , 𝑠𝑒𝑛 𝛼) sobre o círculo unitário SVIERCOSKI (2014). 
 
 
ISCED MATEMÁTICA ESCOLAR 
77 
 
 
Figura 28: Gráfico de uma função tangente 
 
Características da função tangente 
 A função tangente é positiva no 1º e 3º quadrantes, e negativa no 2º e 4º 
quadrantes; 
 O período da função tangente é π; 
 A imagem da função tangente é o conjunto do números reais IR. 
 
TERREMA DE PITÁGORAS 
O geómetra grego Pitágoras (570–501 
a.C.) formulou o seguinte