Cálculo de Volumes em Terraplenagem

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Junho/2022
Terraplenagem – corte e aterro; 
cálculo de volumes
TOPOGRAFIA
TERRAPLENAGEM
TOPOGRAFIA
➢ Em muitos trabalhos de engenharia é necessário calcular volumes, como por 
exemplo, em uma estrada, calcular os volumes de corte e aterro para a 
construção da mesma, calcular o volume de água armazenado em um 
reservatório, e assim por diante. Normalmente estes volumes são 
determinados a partir de dados de levantamentos topográficos, como as curvas 
de nível, seções transversais ou malha de pontos com cotas conhecidas..
TE
R
R
A
P
LE
N
A
G
EM
: D
EF
IN
IÇ
Ã
O
TE
R
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A
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A
G
EM
: D
EF
IN
IÇ
Ã
O
• Terraplenagem: consiste na planificação de um terreno, ou seja, aplainar as 
suas irregularidades, através de corte (escavar o terreno) e/ou aterro 
(deposição e compactação de terra), de forma que todos os seus pontos 
mantenham a mesma cota/altitude.
• Para efetuar a terraplenagem de uma área é necessário conhecer a sua forma 
planialtimétrica (realizar um levantamento topográfico planialtimétrico).
TE
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O
Fonte: Veiga (2007)
TE
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: D
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O
➢ Questões relevante sobre a movimentação de terra:
• Custo significativo em relação ao custo total da estrada 
• Equilíbrio entre os volumes de corte e aterro
• Procura-se compensar cortes e aterros
• Minimizar empréstimos e/ou bota-fora
▪ Em terraplenagem, quatro situações podem ocorrer:
a) Estabelecimento de um plano horizontal sem a imposição de uma 
cota/altitude pré-estabelecida;
b) Estabelecimento de um plano horizontal com a imposição de uma 
cota/altitude pré-estabelecida;
c) Estabelecimento de um plano inclinado sem a imposição da cota que esse 
plano deverá apresentar; ou
d) Estabelecimento de um plano inclinado com a imposição da cota que um 
determinado ponto deverá apresentar.
TE
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TE
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: D
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O
➢ Conforme Silva e Segantine (2015) os quatro de métodos mais utilizados 
para determinação de volume em terraplenagem são:
• Cálculo de volume por seções transversais
• Calculos de volume a partir troncos de prisma de pontos cotados
• Calculo de volume a partir de superfícies geradas por curvas de nível.
• Cálculo volume a partir de modelos numéricos de terreno.
SE
Ç
Ã
O
 T
R
A
N
SV
ER
SA
L ➢ O Método das Seções Transversais é o mais utilizado em projetos geométrico 
de estrada, em que a partir do eixo longitudinal de uma estrada são traçadas 
seções perpendiculares a cada 20 m de distância.
SE
Ç
Ã
O
 T
R
A
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SV
ER
SA
L
➢ No desenho das seções transversais é introduzida a plataforma de projeto, a qual 
conterá o ponto correspondente ao greide de terraplenagem (geralmente o seu 
eixo de simetria), obtido no perfil longitudinal.
➢ Greide é a linha gráfica que acompanha o perfil do terreno, sendo dotada de 
certa inclinação, e que indica o quanto de solo deve ser cortado e/ou aterrado. 
SE
Ç
Õ
ES
 T
R
A
N
SV
ER
SA
IS ➢ O cálculo das áreas das seções transversais do projeto é o primeiro passo para a 
obtenção dos volumes. 
➢ Quando a seção é totalmente em corte ou em aterro, calcula-se simplesmente a 
área do polígono e com este valor calcula-se o volume ou de corte ou de aterro. 
➢ Se a seção é mista, deve-se obter as áreas de corte e aterro de forma 
independente. 
SE
Ç
Õ
ES
 T
R
A
N
SV
ER
SA
IS
➢ Dois processos são práticos e eficientes, e são facilmente programados:
𝐴 =
σ(𝑌𝑖 ∗ 𝑋𝑖+1) − σ(𝑋𝑖 ∗ 𝑌𝑖+1)
2
• Fórmula de Gauss: 
• Divisão em trapézio: 
V
O
LU
M
E 
D
A
S 
SE
Ç
Õ
ES
 T
R
A
N
SV
ER
SA
IS
➢ O volume de terra entre duas 
seções consecutivas será 
calculado como:
V=
A1+A2 ∗L
2
➢ Para o caso de mais de duas 
seções consecutivas:
V=
𝐿
2
∗ ( A1 + An + 2 A2 + A3 + ⋯ + A𝑛−1 )
V
O
LU
M
E 
D
E 
TR
O
N
C
O
S 
D
E 
P
R
IS
M
A
➢ Nos projetos baseados em superfícies extensas, em que o movimentação da terra 
ocorrerá em função de cortes e aterro no terreno.
➢ o cálculo do volume pode ser realizado subdividindo a área total em pequeno 
elementos quadrangulares ou triangulares em formas de prisma.
V
O
LU
M
E 
D
E 
TR
O
N
C
O
S 
D
E 
P
R
IS
M
A
➢ O cálculo do volume para uma malha regular considerando o número de 
vezes que o vértice se repete no interior da malha é obtido:
𝑉𝑇 =
𝐴𝑇
𝑛
∗ (෍ ℎ1 + 2 ෍ ℎ2 + 3 ෍ ℎ3 + 4 ෍ ℎ4)
• 𝐴𝑇 = área total da base da superfície.
• ℎ𝑖 = altura entre cota natural do terreno e o cota 
projetada.
• n=somatório do numero de vezes que o vertíce se 
repete
• i=1, para vértices que pertencem a apenas um 
quadrado;
• i=2, para vértices que pertencem a dois quadrados, e 
assim sucessivamente.
V
O
LU
M
E 
D
E 
TR
O
N
C
O
S 
D
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P
R
IS
M
A
➢ O cálculo do volume para uma malha triangular pode ser obtido pela equação:
𝑉𝑇 =
𝐴𝑇
3
∗ (෍ ℎ1 + 2 ෍ ℎ2 + 3 ෍ ℎ3 + 4 ෍ ℎ4)
V
O
LU
M
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D
E 
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O
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C
O
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P
R
IS
M
A
➢ Alguns trabalhos podem requerer a determinação cota/altitude média (cota do 
greide) da malha regular para em seguida determinar o volume de corte e 
aterro.
• Peso 1: P1 = (H1 + H4 + H9 + H13 + H15) x 1
• Peso 2: P2 = (H2 + H3 + H5 + H8 + H12 + H14) x 2
• Peso 3: P3 = (H10) x 3
• Peso 4: P4 = (H6 + H7 + H11) x 4
• Neste exemplo o termo “Σ(n° vértices x peso)” é: 
Σ(n° vértices x peso) = [(5 x 1) + (6 x 2) + (1 x 3) + (3 x 4)] = 32
HM =
P1 + P2 + P3 + P4
σ n∘ vértices × peso
V
O
LU
M
E 
D
E 
TR
O
N
C
O
S 
D
E 
P
R
IS
M
A
Exemplo
P1 = 46,1+47,2+44,8+49,5 = 187,6 m
P2 = (47,4+48,4+46,1+47,3+50,1+47,8)*2 = 574,2 m
P4 =( 50,1+47,7)*4 = 391,2 m 
HM =
P1 + P2 + P3 + P4
σ n∘ vértices × peso
𝐻𝑚 =
187,6 + 574,2 + 391,2
24
= 48,04m
Calcular o valor da Hm do terreno?
෍ n∘ vértices × peso = 4 ∗ 1 + 6 ∗ 2 + 2 ∗ 4 = 𝟐𝟒
V
O
LU
M
E 
U
SS
A
N
D
O
 C
U
R
V
A
S 
D
E 
N
ÍV
EL
➢ Existem casos em volume pode ser 
calculado em função de sólidos 
formados pelas áreas compreendidas 
por curvas de nível sucessivas de uma 
determinada superfície
➢ Para o cálculo de volume deve-se 
considerar que a superfície 
compreendida entre duas curvas de 
níveis forma uma seções transversais 
horizontais. 
V
O
LU
M
E 
U
SS
A
N
D
O
 C
U
R
V
A
S 
D
E 
N
ÍV
EL
➢ A derminação do volume da seção transversal é 
mesma mostrada anteriormente, com a 
substituição da distância L pelo valor da 
equidistância (h) entre as curvas de nível.
V=
A1+A2 ∗h
2
➢ Acima ou abaixo da última curva de nível pode restar um sólido residual que não 
deve ser incluso nas seções transversais. Mas, deve ser calculado separadamente.
V=
ℎ
2
∗ ( A1 + An + 2 A2 + A3 + ⋯ + A𝑛−1 )
CÁLCULO DOS VOLUMES DE CORTE E ATERRO
▪ Esse problema apresenta duas possibilidades: 
o Ou se deseja “compensação de terra”, isto é, igualdade entre o volume de corte e o volume de aterro, onde 
nesse caso a cota/altitude do terreno planificado será função exclusiva da configuração do relevo;
o Ou se deseja a planificação numa cota/altitude prefixada, caso em que os volumes de corte e aterro serão 
diferentes (falta ou sobra de terra). Se o volume de corte for maior que o de aterro, sobrará terra. Se o 
volume de corte for menor que o de aterro, faltará terra.
▪ Dois métodos para calcular o volume de corte e/ou aterro:
Método da Área Média, Semi-Soma ou Equação do Prisma
Método do Tronco da Pirâmide
Método da Área Média, Semi-Soma ou Equação do Prisma
▪ São calculados as áreas de corte ou de aterro de cada seção transversal, somadas duas a 
duas e multiplicadas pela semi-distância.
▪ O resultado é chamado de volume inter-perfil.
▪ A somatória dos volumes inter-perfis é o volume total de corte ou de aterro. 
S1
S2
( )
d
2
SS
V 21
SS 21

+
=
d
A equação resulta num erro do 
cálculo do volume de 2% a 5%.
Essa equação é recomendável
quando S1/ S2 = 0,33 a 3
S1
S2
( )2121SS SSSS
3
d
V
21
++=
d
A equação resulta num erro
do cálculo do volume
menor que 2%.
+ utilizado!
Método do Tronco da PirâmideCÁLCULO DA COTA/ALTITUDE MÉDIA ONDE O VOLUME DE CORTE É IGUAL AO VOLUME DE 
ATERRO
▪ Utiliza-se do método das alturas ponderadas.
▪ Se o terreno é considerado uniforme entre dois pontos de altitudes conhecidas, pode-se
considerar a altitude média de cada quadrado como a média aritmética das altitudes
dos quatro vértices.
▪ Se todos os lados são iguais, considera-se como altitude média geral (HM) a média
aritmética das altitudes médias de cada quadrado.
▪ Realizando todas as operações de uma só vez, a altitude média geral (HM) será a média
ponderada das altitudes dos vértices com os pesos 1, 2, 3 ou 4, conforme cada altitude
pertença a 1, 2, 3 ou 4 quadrados, respectivamente.
Exemplo
Será determinada uma altura em que o volume de corte seja 
igual ao volume de aterro, compensando a movimentação de 
terra. A primeira coisa a fazer é determinar a cota de passagem 
para a malha dada, que pode ser determinada conforme visto 
anteriormente, através do cálculo da média ponderada das cotas 
da malha. 
Exemplo
O primeiro passo é construir o perfil da 
seção que iremos trabalhar. Neste perfil 
devem constar o perfil do terreno e a 
indicação do plano final em que o terreno 
ficará após a terraplenagem. Todas as 
medidas estarão representadas em 
metros.
( )
2
dba
s 11
1
+
=
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
( )
d
2
SS
V 21
SS 21

+
=
𝑉𝐴𝐵𝑎 =
89,924 + 72,769
2
 𝑥 20 = 1626,93𝑚3
𝑉𝐵𝐶𝑎 =
72,769 + 29,112
2
 𝑥 20 = 1018,81𝑚3
𝑉𝐶𝐷𝑎 =
29,112 + 1,334
2
 𝑥 20 = 304,46𝑚3
𝑉𝑇𝑎 = 2950,2𝑚3 
𝑉𝐴𝐵𝑐 =
26,992 + 29,769
2
 𝑥 20 = 556,915𝑚3
𝑉𝐵𝐶𝑐 =
29,769 + 48,111
2
 𝑥 20 = 778,8𝑚3
𝑉𝐶𝐷𝑐 =
48,111 + 112,332
2
 𝑥 20 = 1604,43𝑚3
𝑉𝑇𝑐 = 2950,14𝑚3 
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	Slide 18: Exemplo
	Slide 19: Existem casos em volume pode ser calculado em função de sólidos formados pelas áreas compreendidas por curvas de nível sucessivas de uma determinada superfície
	Slide 20: A derminação do volume da seção transversal é mesma mostrada anteriormente, com a substituição da distância L pelo valor da equidistância (h) entre as curvas de nível.
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	Slide 25: Exemplo
	Slide 26: Exemplo
	Slide 27: Exemplo
	Slide 28: Exemplo
	Slide 29: Exemplo
	Slide 30: Exemplo
	Slide 31: Exemplo
	Slide 32: Exemplo
	Slide 33: Exemplo