Análise de Sinais e Sistemas

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Indaial – 2021
SiStemaS
Prof.ª Julia Grasiela Busarello Wolff
1a Edição
análiSe de SinaiS e
Indaial – 2021
1a Edição
Impresso por:
W855a
Wolff, Julia Grasiela Busarello
Análise de sinais e sistemas. / Julia Grasiela Busarello Wolff. – 
Indaial: UNIASSELVI, 2021.
179 p.; il.
ISBN 978-65-5663-446-3
ISBN Digital 978-65-5663-447-0
1. Sinais e sistemas. - Brasil. II. Centro Universitário Leonardo 
da Vinci.
 
CDD 620
Elaboração:
Prof.ª Julia Grasiela Busarello Wolff
Copyright © UNIASSELVI 2021
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Caro acadêmico, bem-vindo à disciplina de Análise de Sinais e Sistemas!
Nesta disciplina, estudaremos os aspectos relacionados aos sinais e 
aos sistemas elétricos, que são o ramo da engenharia elétrica responsável pelo 
desenvolvimento das telecomunicações e do processamento digital de sinais (PDS). 
Por esse motivo, estudaremos os seguintes assuntos: conceitos básicos de sinais; 
tipos de sinais; seu tratamento matemático, através das transformadas de Laplace 
e de Fourier; unidades de medição; sistemas; tipos de sistemas; convolução; filtros; 
aplicações de sinais; sistemas etc. Como leitura complementar, incluímos aplicações 
práticas dos sinais nas mais variadas áreas da ciência e da tecnologia.
Para realmente dominar um assunto, você precisa de dedicação. Leia os 
conteúdos do livro didático e da trilha de aprendizagem; ainda, procure ler materiais 
adicionais em sites confiáveis e nas bibliotecas virtuais; por fim, assistir a vídeos, que 
o ajudarão a concluir esta etapa. Ao longo das unidades, são sugeridos vídeos para 
complementação dos assuntos. Resolva uma quantidade razoável de exercícios 
matemáticos relacionados aos sinais e aos sistemas, pois isso também auxilia no pleno 
desenvolvimento do domínio dos temas.
Este livro foi escrito especialmente para você, aluno da EaD. É destinado 
a um curso universitário de engenharia elétrica, entretanto, pode ser utilizado, 
também, como um referencial inicial para profissionais industriais interessados na 
compreensão de sinais e na elaboração de projetos de telecomunicações. Para o 
perfeito entendimento dos assuntos abordados neste curso, é importante que você já 
tenha algum entendimento acerca dos circuitos elétricos, cálculos diferencial e integral, 
eletromagnetismo e eletrônica.
Prof.ª Julia Grasiela Busarello Wolff
APRESENTAÇÃO
Olá, acadêmico! Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você – e 
dinamizar, ainda mais, os seus estudos –, nós disponibilizamos uma diversidade de QR Codes 
completamente gratuitos e que nunca expiram. O QR Code é um código que permite que você 
acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando. Para utilizar 
essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só 
aproveitar essa facilidade para aprimorar os seus estudos.
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QR CODE
Olá, eu sou a Gio!
No livro didático, você encontrará blocos com informações 
adicionais – muitas vezes essenciais para o seu entendimento 
acadêmico como um todo. Eu ajudarei você a entender 
melhor o que são essas informações adicionais e por que você 
poderá se beneficiar ao fazer a leitura dessas informações 
durante o estudo do livro. Ela trará informações adicionais 
e outras fontes de conhecimento que complementam o 
assunto estudado em questão.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos 
os acadêmicos desde 2005, é o material-base da disciplina. 
A partir de 2021, além de nossos livros estarem com um 
novo visual – com um formato mais prático, que cabe na 
bolsa e facilita a leitura –, prepare-se para uma jornada 
também digital, em que você pode acompanhar os recursos 
adicionais disponibilizados através dos QR Codes ao longo 
deste livro. O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura 
interna foi aperfeiçoada com uma nova diagramação no 
texto, aproveitando ao máximo o espaço da página – o que 
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produção de folhas de papel, por exemplo.
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apresentamos também este livro no formato digital. Portanto, 
acadêmico, agora você tem a possibilidade de estudar com 
versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador.
Preparamos também um novo layout. Diante disso, você 
verá frequentemente o novo visual adquirido. Todos esses 
ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos 
nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, 
para que você, nossa maior prioridade, possa continuar os 
seus estudos com um material atualizado e de qualidade.
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LEMBRETE
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disciplina e com ela um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conheci-
mento, construímos, além do livro que está em 
suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, 
por meio dela você terá contato com o vídeo 
da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementa-
res, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de 
auxiliar seu crescimento.
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preparamos para seu estudo.
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dos meios avaliativos dos cursos superiores no sistema federal de 
educação superior. Todos os estudantes estão habilitados a participar 
do ENADE (ingressantes e concluintes das áreas e cursos a serem 
avaliados). Diante disso, preparamos um conteúdo simples e objetivo 
para complementar a sua compreensão acerca do ENADE. Confira, 
acessando o QR Code a seguir. Boa leitura!
SUMÁRIO
UNIDADE 1 - SINAIS E SISTEMAS ...........................................................................1
TÓPICO 1 - SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO VERSUS SINAIS DISCRETOS
NO TEMPO E APLICAÇÕES DOS SINAIS ................................................................ 3
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 3
2 ABORDAGEM ........................................................................................................ 3
3 SINAIS .................................................................................................................. 6
3.1 CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS .............................................................................................9
4 OPERAÇÕES COM SINAIS ................................................................................. 12
5 ANALISADOR DE ESPECTRO ............................................................................ 15
6 REPRESENTAÇÃO NO SCILAB OU NO OCTAVE ................................................ 16
RESUMO DO TÓPICO 1 .......................................................................................... 18
AUTOATIVIDADE ................................................................................................... 19
TÓPICO 2 - CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO
E DOS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO .................................................................23
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................23
2 SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO ...........................................................................24
2.1 SINAIS REAIS E COMPLEXOS .......................................................................................... 24
2.2 SINAIS DETERMINÍSTICOS .............................................................................................. 24
2.3 SINAIS ALEATÓRIOS ......................................................................................................... 25
2.4 SINAIS PARES .................................................................................................................... 26
2.5 SINAIS ÍMPARES ................................................................................................................26
2.6 SINAIS PERIÓDICOS ..........................................................................................................27
2.7 SINAIS NÃO PERIÓDICOS ................................................................................................28
2.8 SINAIS DE ENERGIA .........................................................................................................28
2.9 SINAIS DE POTÊNCIA ....................................................................................................... 29
2.10 SINAIS LIMITADOS NO TEMPO ......................................................................................31
2.11 SINAIS CAUSAIS ................................................................................................................31
2.12 SINAIS NÃO CAUSAIS ......................................................................................................31
2.13 SINAIS ANTICAUSAIS ......................................................................................................31
2.14 SINAIS FISICAMENTE REALIZÁVEIS ............................................................................31
2.15 SINAIS ESPECIAIS DE TEMPO CONTÍNUO ................................................................. 32
3 FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO .............................................................................32
4 FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO OU DELTA DE DIRAC .........................................33
5 FUNÇÃO RAMPA .................................................................................................33
6 EXPONENCIAL COMPLEXA ...............................................................................33
7 SINAIS DE TEMPO DISCRETO ............................................................................34
7.1 SEQUÊNCIA DEGRAU UNITÁRIO DISCRETA ................................................................. 35
7.2 SEQUÊNCIA IMPULSO UNITÁRIO OU DELTA DE DIRAC DISCRETA ........................ 36
7.3 FUNÇÃO RAMPA DISCRETA ............................................................................................ 36
8 SEQUÊNCIAS EXPONENCIAIS COMPLEXAS .................................................... 37
8.1 SEQUÊNCIAS EXPONENCIAIS COMPLEXAS GERAIS ................................................38
9 SEQUÊNCIAS EXPONENCIAIS REAIS ...............................................................38
10 SEQUÊNCIAS SENOIDAIS ................................................................................38
11 REPRESENTAÇÃO NO SCILAB OU NO OCTAVE ...............................................39
RESUMO DO TÓPICO 2 ..........................................................................................42
AUTOATIVIDADE ...................................................................................................43
TÓPICO 3 - ANÁLISE DE SISTEMAS E SUAS CLASSIFICAÇÕES ........................45
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................45
2 SISTEMAS...........................................................................................................45
2.1 SISTEMAS LINEARES ........................................................................................................46
2.2 SISTEMAS NÃO LINEARES ..............................................................................................46
2.3 SISTEMAS INVARIANTES NO TEMPO ...........................................................................46
2.4 SISTEMAS VARIANTES NO TEMPO ...............................................................................46
2.5 SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO (SLIT’s) ..................................... 47
2.6 SISTEMAS COM MEMÓRIA .............................................................................................. 47
2.7 SISTEMAS SEM MEMÓRIA ............................................................................................... 47
2.8 SISTEMAS INVERTÍVEIS .................................................................................................. 47
2.9 SISTEMAS NÃO INVERTÍVEIS .........................................................................................48
2.10 SISTEMAS CAUSAIS........................................................................................................48
2.11 SISTEMAS ESTÁVEIS .......................................................................................................48
2.12 SISTEMAS INSTÁVEIS .....................................................................................................48
LEITURA COMPLEMENTAR ..................................................................................49
RESUMO DO TÓPICO 3 ..........................................................................................58
AUTOATIVIDADE ...................................................................................................59
REFERÊNCIAS .......................................................................................................60
UNIDADE 2 — TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA SINAIS DE TEMPO 
CONTÍNUO (SINAIS PERIÓDICOS) .......................................................................63
TÓPICO 1 — TRANSFORMADA DE LAPLACE E PROPRIEDADES
DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE .................................................................65
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................65
2 ABORDAGEM ......................................................................................................65
3 TRANSFORMADA DE LAPLACE.........................................................................68
4 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ......................................70
5 REGIÃO DE CONVERGÊNCIA (RDC) .................................................................. 73
6 POLOS E ZEROS DE X(s) .................................................................................... 74
7 PROPRIEDADES DA RDC ................................................................................... 76
RESUMO DO TÓPICO 1 ..........................................................................................78
AUTOATIVIDADE ................................................................................................... 79
TÓPICO 2 - TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ........................................ 81
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 81
2 EXPLICAÇÃO ...................................................................................................... 81
3 TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA ........................................................83
4 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS ................................................................83
5 COMPLETAR QUADRADO ..................................................................................90
6 INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO ............................................................................92
7 REPRESENTAÇÃO NO SCILAB OU NO OCTAVE ................................................94
RESUMO DO TÓPICO 2 ..........................................................................................96
AUTOATIVIDADE ...................................................................................................98
TÓPICO 3 - PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS
E O TEOREMA DE NYQUIST ...................................................................................99
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................99
2 DISCUSSÃO ......................................................................................................100
3 AMOSTRAGEM E TEOREMA DE NYQUIST .......................................................102
4 AMOSTRAGEM COM TREM DE IMPULSOS..........................................................106
5 AMOSTRAGEM COM RETENTOR DE ORDEM ZERO (ZERO ORDER HOLD) ...... 107
6 AMOSTRAGEM COM RETENTOR DE PRIMEIRAORDEM
(INTERPOLAÇÃO LINEAR) ..................................................................................109
7 QUANTIZAÇÃO ................................................................................................. 110
8 PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS
DE TEMPO CONTÍNUO .......................................................................................... 111
9 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS NO OCTAVE ..........................................................115
LEITURA COMPLEMENTAR .................................................................................117
RESUMO DO TÓPICO 3 .........................................................................................119
AUTOATIVIDADE .................................................................................................120
REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 121
UNIDADE 3 — TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SINAIS DE TEMPO 
CONTÍNUO E SINAIS DISCRETOS NO TEMPO .................................................... 123
TÓPICO 1 — TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SINAIS
DE TEMPO CONTÍNUO (SINAIS PERIÓDICOS) ................................................... 125
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 125
2 SÉRIE DE FOURIER .......................................................................................... 127
2.1 SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER ........................................................................127
3 SIMETRIAS .......................................................................................................134
4 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES PARES E ÍMPARES .....................................140
5 CONTEÚDO DE POTÊNCIA DE UM SINAL PERIÓDICO ....................................142
6 SÉRIE EXPONENCIAL (COMPLEXA) DE FOURIER ..........................................144
7 REPRESENTAÇÃO EM SCILAB OU NO OCTAVE .............................................. 147
RESUMO DO TÓPICO 1 ........................................................................................149
AUTOATIVIDADE .................................................................................................150
TÓPICO 2 - TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SINAIS DISCRETOS
NO TEMPO (SINAIS APERIÓDICOS) ....................................................................151
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................151
2 TRANSFORMADA DE FOURIER ....................................................................... 152
2.1 DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER ....................................................... 153
2.2 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER ...............................................157
RESUMO DO TÓPICO 2 ........................................................................................ 159
AUTOATIVIDADE .................................................................................................160
TÓPICO 3 - FILTROS PARA SINAIS .....................................................................161
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................161
2 FILTROS ATIVOS .............................................................................................. 162
3 FILTROS PASSIVOS .........................................................................................164
LEITURA COMPLEMENTAR ................................................................................168
RESUMO DO TÓPICO 3 ........................................................................................ 172
AUTOATIVIDADE ................................................................................................. 174
REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 175
1
UNIDADE 1 - 
SINAIS E 
SISTEMAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender os conceitos de sinais e de sistemas e as suas diversas aplicações na 
engenharia;
• utilizar ferramentas matemáticas para a análise de sinais e sistemas;
• analisar e diferenciar sinais e sistemas no domínio do tempo e no domínio da 
frequência (contínuo e discreto);
• aplicar técnicas de análises de sinais e sistemas para problemas de engenharia 
elétrica (sistemas de potência, controle, instrumentação, processamento de sinais, 
automação, eletrônica etc.);
• classificar sinais e efetuar as análises temporal e espectral;
• usar o Scilab para compreensão e simulação de sinais e sistemas;
• obter a resposta no domínio do tempo e no domínio da frequência, de sinais, 
analiticamente e através de simulações.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer dela, você encontrará 
autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO VERSUS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO E 
APLICAÇÕES DOS SINAIS
TÓPICO 2 – CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO E DOS SINAIS 
DISCRETOS NO TEMPO
TÓPICO 3 – ANÁLISE DE SISTEMAS E SUAS CLASSIFICAÇÕES
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure 
um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações.
CHAMADA
2
CONFIRA 
A TRILHA DA 
UNIDADE 1!
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3
SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO VERSUS 
SINAIS DISCRETOS NO TEMPO E 
APLICAÇÕES DOS SINAIS
1 INTRODUÇÃO
Prezado acadêmico, você já percebeu que a maioria dos estímulos ao seu redor 
é representado por sinais elétricos? 
Os sinais elétricos e os sistemas estão presentes na nossa vida cotidiana. Não 
obstante, deparamo-nos com sinais de criptografia em aplicativos de celulares, sinais 
de radares e sonares, sinais de eletrocardiograma (ECG) em atividades físicas ou em 
exames de rotina etc.
Os conceitos e a teoria de sinais e sistemas são necessários em quase todos 
os campos da engenharia elétrica e, também, em muitas disciplinas científicas de 
outras engenharias. Eles formam a base para estudos mais avançados em áreas, como 
comunicação, processamento de sinais, telecomunicações e sistemas de controle.
TÓPICO 1 - UNIDADE 1
2 ABORDAGEM
As telecomunicações representam um ramo da engenharia elétrica que atua 
com os satélites, as redes telefônicas, as emissoras de rádio, internet, televisão, radares, 
sonares etc. 
A palavra telecomunicação inclui o prefixo grego tele, que significa “distância”, 
ou “longe”. O objetivo das telecomunicações é realizar o projeto, o controle, a 
implementação e a gestão dos diversos sistemas de comunicações. Outro objetivo das 
telecomunicações é realizar a comunicação a distância entre as pessoas.
A Figura 1 mostrará um conjunto de antenas e demais equipamentos utilizados 
nas telecomunicações.
4
FIGURA 1 – ANTENAS
FONTE: Wikipedia (2020b, s.p.)
Telecomunicação é uma designação genérica das comunicações a longa 
distância que abrange a transmissão, a emissão ou a recepção de sinais, sons 
ou mensagens por fio, rádio, eletricidade, meios ópticos ou qualquer outro 
processo eletromagnético.
NOTA
Os satélites artificiais de comunicação monitoram o nosso dia a dia. São 
conceituados como corpos construídos pelos homens e colocados em órbita ao redor 
da Terra ou de qualquer outro corpo celeste. Ao longo da história, já foram efetuados 
milhares de lançamentos desses corpos ao espaço, mas a maioria já está desativada. A 
Figura 2 mostrará um satélite de defesa da NASA.
FIGURA 2 – SATÉLITES NO ESPAÇO
FONTE: Defesa Net (2019, s.p.)
5
Para que as informações sejam transmitidas em um sistema de comunicação, 
é necessário transformá-las em sinais elétricos. Esses sinais são variações de tensões 
elétricas no decorrer do tempo e podem ser de dois tipos: analógicos ou digitais.
Os sinais analógicos são contínuos em tempo e em amplitude. Assim, dado 
qualquer valor real de tempo t, o valorde amplitude x(t) pode tomar qualquer valor 
numérico contido em um intervalo contínuo de números reais (FARIA, 2010). Contudo, 
lembre-se: todo sinal analógico é contínuo, porém, nem todo sinal contínuo é analógico. 
O Gráfico 1 mostrará a representação de um sinal analógico no tempo.
GRÁFICO 1 – REPRESENTAÇÃO DE UM SINAL ANALÓGICO AO LONGO DO TEMPO
FONTE: Embarcados (2017, s.p.)
Os sinais digitais possuem uma quantidade limitada de valores e são 
representados por dois níveis. Assim, o sinal digital é definido para instantes de tempo 
e o conjunto de valores que pode assumir é finito. São representados por dois níveis 
lógicos, zero ou um. A digitalização converte o sinal analógico, por exemplo, a voz de 
um locutor em uma série de uns e zeros (EMBARCADOS, 2017). O Gráfico 2 mostrará um 
sinal digital.
GRÁFICO 2 – REPRESENTAÇÃO EM NÍVEIS LÓGICOS DE UM SINAL DIGITAL
FONTE: Embarcados (2017, s.p.)
De forma geral, os sinais traduzem a evolução de uma grandeza ao longo do 
tempo ou do espaço. 
Nosso objetivo, nesta unidade, é apresentar os conceitos básicos dos sinais 
de tempo contínuo e de tempo discreto, nos domínios do tempo e de frequência. 
Vamos iniciar?!
6
3 SINAIS
O universo que abrange os sinais elétricos é fascinante. A irradiância estelar 
de um conjunto de estrelas pode ser representada por um conjunto finito de sinais de 
tempo contínuo. O campo magnético de estrelas e quasares, o campo elétrico no caso 
das anãs brancas, a temperatura espectral e a taxa de decréscimo de massa também 
são exemplos de sinais e sistemas. O Gráfico 3 mostrará a temperatura da superfície de 
algumas estrelas versus a taxa de luminosidade delas em relação ao Sol.
O Sol, por exemplo, tem o campo magnético continuamente monitorado por 
uma sonda chamada de Copérnico (GALILEU, 2019). Essa sonda monitora a atividade 
eletromagnética do som para prever manchas solares, que podem interferir nas 
comunicações da Terra.
GRÁFICO 3 – CARACTERÍSTICAS DAS PRINCIPAIS ESTRELAS
FONTE: UFRGS (2020a, s.p.)
Os sinais elétricos podem ser conceituados de várias formas, dentre elas, é 
possível citar as mais conhecidas na literatura: “Um sinal é uma função que representa 
uma quantidade ou uma variável física e contém informações sobre o comportamento 
ou a natureza do fenômeno” (HSU, 2004, p. 15). Com isso, podemos dizer que os 
sinais podem representar diversas particularidades dos sistemas biológicos, ou seja, 
7
o monitoramento da temperatura de um paciente, a medição das pressões sistólica e 
diastólica, um espectrograma de canto ou fala, sistemas auditivos, o funcionamento do 
sistema nervoso etc. A Figura 3 mostrará o processo de sinapse de um neurônio e os 
seus dendritos.
FIGURA 3 – ATIVIDADE NEURONAL
FONTE: Toda Matéria (2020, s.p.)
A importância do estudo dos sinais se justifica através dos avanços tecnológi-
cos que dispomos atualmente: GPS; lançamento do ônibus espacial da NASA; senso-
riamento remoto; imagens geofísicas; acompanhamento, em tempo real, das atividades 
de um vulcão etc.
O sensoriamento remoto é um processo no qual uma estação remota capta 
informações de um objeto sem estar em contato físico com ele. Através das medições 
dos campos eletromagnéticos vizinhos ao objeto, são adquiridas as informações na 
estação remota. Essas aquisições de medições podem ser ativas ou passivas. São 
chamadas de medições ativas quando se ilumina o objeto com um campo (sinal) bem 
definido e se processa o p eco (sinal retornado) do objeto. As medições passivas são 
obtidas ouvindo o campo (sinal) que é emitido naturalmente pelo objeto e processado 
(HAYKIN; VAN VEEN, 2001).
8
Acompanhe as atividades vulcânicas do Monte Santa Helena em https://
www.apolo11.com/vulcameras.php.
DICAS
Outro conceito menciona que os sinais e os sistemas abrangem os 
processamentos analógico e digital de sinais, ideias no centro da comunicação e 
medições modernas.
Um sinal é um conjunto de dados ou informações. São exemplos de sinais:
• sinal de telefone;
• sinal de voz;
• sinal de televisão;
• sinal de internet;
• correio eletrônico;
• registros do índice Bovespa ao longo de um dia etc.
Matematicamente, um sinal é representado por uma função de uma ou mais 
variáveis. A função de uma variável, como x(t), chamamos de sinal unidimensional; a 
função de duas variáveis, como x(t,s), chama-se sinal bidimensional; a função de três 
variáveis, x(t,s,z), denomina-se sinal tridimensional, e assim por diante. Sinais multi-
dimensionais são extensões dos sinais unidimensionais, isto é, uma sequência mul-
tidimensional de valores numéricos ordenados em todas as dimensões (FARIA, 2010).
Um sinal de voz é representado por uma amplitude de tensão em função do 
tempo, e é um exemplo de sinal unidimensional. Um trecho de vídeo é representado pela 
variação de parâmetros de cor em função do tempo e da posição na tela, um exemplo 
de um sinal bidimensional.
Na área médica, por exemplo, a análise de um sinal resultante de um exame 
de eletrocardiograma (ECG) ou eletroencefalograma (EEG) pode indicar se o paciente 
possui alguma anomalia cardíaca ou na atividade elétrica cerebral. A Figura 4 mostrará 
um sinal de eletroencefalograma (EEG).
9
FIGURA 4 – SINAIS DE ELETROENCEFALOGRAMA
FONTE: Mundim, Cardeal e Campos (2020, s.p.)
Os sinais apresentam importante função na natureza. Abelhas africanizadas (ou 
"assassinas") e domésticas são quase idênticas em tamanho e aparência, e uma das 
maneiras de diferenciá-las é com a ajuda de um microscópio. No entanto, descobriu-se 
que elas batem as asas em frequências diferentes, e, consequentemente, geram sinais 
diferentes. Esses sinais detectados podem ser utilizados para identificar as abelhas 
assassinas e controlar a disseminação (HAYKIN; VAN VEEN, 2001).
Um submarino emite um sinal acústico próprio, dependendo da rotação dos 
propulsores e vibração dos motores. Esse sinal pode ser utilizado na detecção submarina 
(OPPENHEIM; WILLSKY, 2010).
A seguir, apresentaremos os tipos de sinais mais importantes na engenharia 
elétrica. Vamos conhecê-los?!
3.1 CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS
Os sinais são classificados em sinais de tempo contínuo e sinais de tempo 
discreto.
Um sinal de tempo contínuo é representado por x(t). Um sinal é de tempo 
contínuo se a sua variável t for contínua, ou seja, t ∈ ℝ. A maioria dos sinais físicos 
é contínua, como a posição e a velocidade de um corpo, a fala ou a música captada 
por um microfone, tensão ou corrente em um circuito elétrico etc. (MARQUES, 2010). A 
seguir, visualizaremos a representação de um sinal de tempo contínuo.
10
GRÁFICO 4 – SINAL DE TEMPO CONTÍNUO
FONTE: Marques (2010, p. 9)
Um sinal contínuo pode apresentar descontinuidades, portanto, não se 
confunda com o conceito de continuidade de uma função.
NOTA
Um sinal de tempo discreto está definido apenas em instantes isolados de 
tempo. Consequentemente, um sinal de tempo discreto pode ser descrito por uma 
sequência de números. Os sinais de tempo discreto são representados pela notação 
n[x], em que “n” só está definido para números inteiros. Cada um dos elementos do 
sinal x é chamado de amostra. A seguir, mostraremos a representação de um sinal de 
tempo discreto.
GRÁFICO 5 – SINAL DE TEMPO DISCRETO
FONTE: Marques (2010, p. 9)
11
Só os sinais discretos podem ser armazenados e processados em 
computadores digitais.
NOTA
Nos sinais discretos, o eixo da amplitude é contínuo, mas o eixo referente ao 
tempo é discreto. Ao contrário dos sinais de tempo contínuo, as medições da quantidade 
estão disponíveis apenas em tempos específicos (FARIA, 2010).
Um sinal de tempo discreto pode ser uma sequência de comprimento 
finito ou infinito. Um sinal de comprimento finito definido no intervalo N1 ≤ 
n ≤ N2 tem comprimento ou duração: N = N2 – N1 + 1. Ou seja, dado o sinal 
discreto x [n], no intervalo 1 ≤ n ≤ 10, seu comprimento ou duração será: 
N = 10 – 1 + 1 ∴ N = 10.
Dentre as sequências de comprimento infinito, destacamos as sequências 
chamadas causais, definidas somentepara n ≥ 0, e as sequências anticausais, definidas 
para n < 0 (EISENCRAFT, 2006).
Da mesma forma, os sinais podem ser divididos em sinais analógicos ou sinais 
digitais, conforme mencionamos na introdução deste tópico. Entretanto, há outras 
classificações de sinais:
• sinais reais complexos;
• sinais determinísticos;
• sinais aleatórios;
• sinais pares;
• sinais ímpares;
• sinais periódicos;
• sinais não periódicos;
• sinais de energia;
• sinais de potência;
• sinais causais;
• sinais não causais;
• sinais anticausais.
12
Há, também, os sinais especiais, determinados por funções:
• função degrau unitário;
• função impulso unitário;
• sinais exponenciais complexos gerais;
• sinais exponenciais complexos;
• sinais exponenciais reais;
• sinais senoidais.
No Tópico 2, estudaremos cada um desses sinais, suas definições, características 
e representações.
4 OPERAÇÕES COM SINAIS
Estudaremos algumas operações matemáticas com sinais:
 
• Adição e subtração.
• Multiplicação por um escalar.
• Deslocamento temporal.
• Escalamento temporal.
• Reversão temporal.
• Operações combinadas.
O Quadro 1 mostrará as diversas operações matemáticas com sinais.
QUADRO 1 – OPERAÇÕES COM SINAIS
FONTE: Adaptado de Vasconcelos (2011)
13
• Multiplicação por um escalar (c): Dado um sinal x(t), modifica-se a sua amplitude, 
obtendo-se um novo sinal x(t) = c.x(t). Se o escalar c > 1, o sinal é amplificado, e, se 
o escalar c estiver entre zero e um, ou seja, 0 < c < 1, o sinal é atenuado. A seguir, 
mostraremos alguns exemplos de sinais de tempo contínuo multiplicados por 
escalares. Note que a amplitude dos sinais muda. 
GRÁFICO 6 – OPERAÇÃO COM SINAIS - MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR
FONTE: Faria (2010, p. 22)
• Deslocamento temporal: No deslocamento temporal, o sinal sofre um atraso ou avanço. 
A seguir, observaremos um sinal (a), seu atraso (b) e seu avanço (c).
GRÁFICO 7 – OPERAÇÕES COM SINAIS - DESLOCAMENTO TEMPORAL
FONTE: Arndt (2020, p. 32)
14
No item (b), observa-se que o atraso corresponde a um deslocamento de 
T segundos para a direita do sinal x(t). Já no item (c), o avanço corresponde a um 
deslocamento de T segundos para a esquerda do sinal x(t).
• Escalonamento temporal: A compressão ou expansão do sinal x(t) no tempo é 
chamada de escalonamento temporal. Um sinal comprimido por um fator a = 3, 
por exemplo, é representado por x(t) = x(at) = x(3t). Já um sinal expandido por um 
fator a = 3 , por exemplo, é dado por: x(t) = x(t/3). Mostraremos um exemplo do sinal 
comprimido e expandido por um fator a = 2.
GRÁFICO 8 – OPERAÇÕES COM SINAIS - ESCALONAMENTO TEMPORAL
FONTE: Arndt (2020, p. 33)
• Reversão temporal: A reversão temporal consiste em uma rotação de 180°, do sinal 
x(t), em torno do eixo vertical. A reversão temporal é dada por: x(t) = x(−t). A seguir, 
será possível perceber um sinal e a sua reversão temporal.
15
GRÁFICO 9 – OPERAÇÕES COM SINAIS - REVERSÃO TEMPORAL
FONTE: Arndt (2020, p. 35)
• Operações combinadas: Pode-se utilizar operações mais complexas através da combina-
ção das operações até aqui estudadas. Uma operação combinada é representada por x(t) 
= x(at − b). Essa operação pode ser realizada de duas formas:
 ◦ Desloca-se x(t) de “b”, resultando em x(t − b). Desloca-se x(t − b) pelo fator “a”, o 
que gera x(at − b).
 ◦ Escalona-se x(t) pelo fator “a”, gerando x(at). Desloca-se temporalmente de “b/a”, 
ou seja, substitui-se “t” por “t − (b/a)” para se obter x[a(t − b/a)], o que gera x(at − b).
Na prática, o analisador de espectro é o equipamento que mostra os sinais na 
tela e os trata no domínio da frequência.
5 ANALISADOR DE ESPECTRO
O analisador de espectros é um instrumento utilizado para a análise de sinais 
alternados no domínio da frequência. Possui certa semelhança com um osciloscópio, 
uma vez que o resultado da medida é apresentado em uma tela, tendo a amplitude na 
vertical e a frequência na horizontal. 
16
Um analisador de espectros é, essencialmente, um receptor de rádio passivo, 
com uma interface gráfica (display) para a análise e a medida do sinal no domínio da 
frequência. Os analisadores de espectros indicam, geralmente, a informação contida 
no sinal de forma direta, como a tensão, a potência, o período e a frequência. A Figura 5 
mostrará um analisador de espectro de frequências.
FIGURA 5 – ANALISADOR DE ESPECTRO
FONTE: Keysight (2020, s.p.)
A análise espectral de um sinal fornece informação adicional difícil de ser obtida 
em uma análise temporal (osciloscópio). As escalas vertical (amplitude) e horizontal 
(frequência) de um analisador de espectros são, em geral, logarítmicas, o que facilita 
a leitura de sinais de baixa amplitude. Ao analisarmos um sinal senoidal levemente 
distorcido em função do tempo, dificilmente, percebemos essa imperfeição. Na análise 
no domínio da frequência, pequenas distorções e imperfeições (que geram componentes 
de frequência diferentes) são facilmente identificadas, pois cada componente de 
frequência é visualizado separadamente. A amplitude pode ser diretamente lida em dB 
(unidade mais usual em sistemas de comunicação) e, na escala horizontal, um amplo 
espectro de frequências pode ser visualizado simultaneamente.
6 REPRESENTAÇÃO NO SCILAB OU NO OCTAVE
O Scilab é um software científico livre para computação numérica semelhante 
ao Matlab (software comercial), que fornece um poderoso ambiente computacional 
aberto para aplicações científicas. 
17
Foi desenvolvido desde 1990 pelos pesquisadores do INRIA (Institut National 
de Recherche en Informatique et en Automatique) e do ENPC (École Nationale des 
Ponts et Chaussées) e, então, pelo Consórcio Scilab, desde maio de 2003. Esse 
software é distribuído gratuitamente na internet desde 1994 (UFRGS, 2020b). Ele é 
amplamente utilizado em indústrias e em ambientes acadêmicos para simulação nas 
áreas de ciências e engenharias. Por ser um software livre, iremos utilizá-lo nesta 
disciplina para simular as sequências discretas. Você pode baixá-lo no site: https://
www.scilab.org/download/6.1.0.
No Scilab, podemos representar uma sequência discreta de duração finita por 
um vetor linha (coluna). Contudo, esse vetor não tem nenhuma informação de referência 
acerca da posição n de casa amostra. Por esse motivo, a correta representação de uma 
sequência discreta x[n] necessita de dois vetores, ou seja, um vetor para representar as 
amostras e um outro vetor para representar a posição delas.
1° Exercício de Simulação (Adaptado de PELLEZ, 2020): Considere a seguinte 
sequência ou sinal discreto: x[n] = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. A seta indica que a amostra está 
na posição n = 0. Os vetores x e n podem ser definidos no Scilab da seguinte forma:
>> n = [-3, -2, -1, 0, 1 ,2, 3];
>> x = [-3, -2, -1, 0, 1 ,2, 3].
O vetor n deve ter sete posições, assim como tem o vetor x.
O gráfico da sequência discreta é traçado através do seguinte comando:
>> stem (n,x).
https://www.scilab.org/download/6.1.0
https://www.scilab.org/download/6.1.0
18
Neste tópico, você adquiriu certos aprendizados, como:
RESUMO DO TÓPICO 1
• Os sinais são funções que representam uma quantidade ou variável física e contêm 
informações do comportamento do fenômeno físico.
• Um exemplo de sinal é a tensão no capacitor ou a corrente no resistor em um circuito 
resistivo capacitivo (RC).
 
• Outros exemplos de sinais são: nível de glicose, nível de colesterol, batimentos 
cardíacos, pressão sanguínea, temperatura, índice da bolsa de valores, índice de 
rentabilidade de uma conta bancária etc.
• Os tipos de sinais são de tempo contínuo, de tempo discreto, analógicos, digitais, 
sinais reais complexos, sinais determinísticos e aleatórios, sinais pares e ímpares, 
sinais periódicos e não periódicos, sinais de energia e de potência.
• Um sinal contínuo no tempo é aquele especificado em todos os valores de tempo.
• Um sinal discreto no tempo é aquele especificado apenas em alguns instantes de tempo.
• Um sinal analógico é aquele cujos valores de amplitude podem assumir infinitosvalores dentro de uma faixa contínua.
• Um sinal digital é aquele cujo valores de amplitude podem assumir apenas alguns 
valores.
• Os sistemas são entidades que manipulam um ou mais sinais para realizar uma 
função, gerando outros sinais.
• Os sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT’s) são  sistemas que 
possuem as propriedades de linearidade e de  invariância no tempo. Eles são 
totalmente caracterizados pela resposta do  sistema  a um impulso unitário: 
δ(n) → h(n) δ(t) → h(t). Ou seja, a resposta ao impulso caracteriza completamente o SLIT.
• Os tipos de sistemas são de tempo contínuo e de tempo discreto, causais e não 
causais, com memória e sem memória, lineares e não lineares, variantes e invariantes 
no tempo, estáveis e com realimentação.
• As operações com sinais são: multiplicação por um escalar, deslocamento temporal, 
escalamento temporal, reversão temporal e operações combinadas. Elas designam um 
papel importante na manipulação dos sinais na engenharia e nas telecomunicações.
19
1 Um sinal é formalmente definido como uma função de uma ou mais variáveis, a qual 
veicula informações da natureza de um fenômeno físico. Quando a função depende de 
uma única variável, diz-se que o sinal é _________________________. Um 
sinal de fala é um sinal _______________________, cuja amplitude varia com 
o tempo, dependendo da palavra falada e de quem a fala. Quando a função depende de duas 
ou mais variáveis, diz-se que o sinal é ____________________________. 
Uma imagem é um exemplo de um sinal ________________________, 
com as coordenadas horizontal e vertical da imagem representando as 
_______ dimensões. Com base nesse contexto, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) unidimensional, unidimensional, multidimensional, multidimensional, duas.
b) ( ) bidimensional, bidimensional, multidimensional, multidimensional, duas.
c) ( ) tridimensional, tridimensional, multidimensional, multidimensional, duas.
d) ( ) multidimensional, multidimensional, bidimensional, tridimensional, duas.
2 Um sinal pode ser entendido como uma função de uma ou mais variáveis 
independentes, cuja variação representa o comportamento de algum fenômeno 
físico. Se nos restringirmos, mais especificamente, à Engenharia Elétrica, pode-se, 
em geral, entender um sinal como uma grandeza, cuja variação em função do tempo é 
usada para representar o comportamento de um fenômeno de interesse para alguma 
das suas áreas de especialização. Exemplos de sinais podem ser encontrados nas 
mais diversas áreas, como telefonia, automação e controle, geração e transmissão 
de energia, processamento de áudio, voz e imagens etc.
FONTE: Adaptado de CARVALHO, J.; GURJÃO, E.; VELOSO, L. Introdução à análise de sinais e 
sistemas. São Paulo: Elsevier, 2017. 280p.
Com base no exposto e considerando os sinais e sistemas, marque V para as sentenças 
verdadeiras e F para as sentenças falsas:
I- Um sinal par é invariante a um rebatimento em torno do eixo vertical. Contrariamente, 
um sinal é dito ímpar quando sofre uma inversão de sinal como resultado do 
rebatimento em torno do eixo vertical.
II- Um sinal é classificado como sinal de potência quando possui potência média 
infinita e energia total finita.
III- O sinal degrau unitário, no tempo contínuo, é um sinal designado por u(t) e vale 
zero quando o tempo é superior a um e vale um negativo quando o tempo é inferior 
a zero.
AUTOATIVIDADE
20
IV- Os sinais seno e cosseno, muito utilizados na análise de sinais, constituem exemplos 
bem conhecidos de sinal par e sinal ímpar, respectivamente.
V- Um sistema é dito sem memória se a saída no tempo n = n0 depender apenas da 
entrada nesse mesmo tempo n =n0. Ainda, um sistema é linear se, e apenas se, for 
considerado simultaneamente aditivo e homogêneo.
Agora, assinale a alternativa que contém a sequência CORRETA:
a) ( ) V – F – F – V – V.
b) ( ) V – V – F – V – F.
c) ( ) F – F – F – V – F.
d) ( ) F – V – F – F – V.
3 Os sinais, de uma forma ou de outra, constituem ingrediente básico da nossa vida 
diária. Por exemplo, uma forma comum de comunicação humana se desenvolve com 
o uso de sinais da fala, seja na conversação pessoal ou por um canal telefônico. Outra 
forma comum de comunicação é visual por natureza, com os sinais assumindo a forma 
de imagens de pessoas ou objetos que nos cercam. Há, também, o correio eletrônico 
pela internet. A internet constitui um poderoso meio para pesquisar informações de 
interesse geral, publicidade, educação e jogos. Em um sistema de comunicação, o 
sinal de entrada poderia ser um sinal de fala ou dados de computador. O sistema 
em si é composto pela combinação de um transmissor, canal e receptor, e o sinal de 
saída é uma estimativa do sinal da mensagem original. Um sistema é um dispositivo 
que produz transformações nos sinais.
FONTE: Adaptado de HAYKIN, S.; VEEN, B. V. Sinais e sistemas. São Paulo: Bookman, 2001. p. 21-22.
Com base nessa contextualização, analise as assertivas a seguir:
I- Os batimentos cardíacos de um paciente permitem, ao médico, monitorar a sua 
pressão sanguínea e a temperatura, diagnosticar a presença ou não de doenças. 
Essas quantidades representam sinais que transmitem informações ao médico 
acerca do estado de saúde do paciente.
II- Ao ouvirmos a previsão do tempo no rádio, ouvimos referências às variações diárias 
de temperatura e umidade, velocidade e direção dos ventos prevalecentes. Os sinais 
representados por essas quantidades nos ajudam a formar uma opinião acerca da 
conveniência de permanecermos em casa ou não.
III- As flutuações diárias dos preços e commodities nos mercados internacionais 
representam sinais que transmitem informações de como as ações de uma 
companhia ou corporação, em particular, estão se comportando. Baseando-se 
nessas informações, decisões são tomadas a respeito da conveniência de fazer 
novos investimentos ou vender as ações antigas.
IV- Uma sonda que explora o espaço exterior envia valiosas informações de um planeta 
distante a uma estação na Terra. A informação pode assumir a forma de imagens de 
radar, estas que representam perfis da superfície do planeta; imagens em infravermelho, 
que transmitem informações de quão quente é o planeta; ou imagens ópticas, que 
mostram a presença de nuvens.
21
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) I, II, III e IV.
b) ( ) II, III e IV.
c) ( ) III e IV.
d) ( ) Somente a assertiva II está correta.
4 Segundo Haykin e Van Veen (2001, p. 30):
A meta do processamento de sinais biomédicos é extrair informações 
de um sinal biológico que nos ajude a melhorar ainda mais nossa 
compreensão dos mecanismos básicos da função biológica e nos 
auxilie no diagnóstico ou tratamento de uma condição médica. A 
geração de muitos sinais biológicos encontrados no corpo humano 
vem da atividade elétrica de grandes grupos de células nervosas ou 
células musculares. As células nervosas do cérebro são chamadas 
neurônios. A Figura 1.7 mostra os tipos morfológicos de neurônios 
identificáveis do córtex cerebral de um macaco, baseados em 
estudo do córtex sensorial e do motor somático primário. Essa figura 
ilustra as muitas formas e tamanhos diferentes de neurônios que 
existem. Independentemente da origem do sinal, o processamento 
de sinais biomédicos se inicia com um registro temporal do evento 
biológico de interesse. Por exemplo, a atividade elétrica do coração é 
representada por um registro denominado eletrocardiograma (ECG). 
O ECG representa as mudanças no potencial (tensão) devido aos 
processos eletroquímicos envolvidos na formação e na dispersão 
espacial das excitações elétricas nas células do coração. 
Consequentemente, inferências detalhadas a respeito do coração 
podem ser feitas a partir do ECG. Outro exemplo importante de sinal 
biológico é o eletroencefalograma (EEG). O EEG é um registro das 
flutuações na atividade elétrica de grandes grupos de neurônios no 
cérebro. Especificamente, o EEG mede o campo elétrico associado 
com a corrente que flui através de umgrupo de neurônios. 
Para registrar o EEG (ou o ECG), no mínimo, dois eletrodos são 
necessários. Um eletrodo ativo é colocado sobre o local particular 
da atividade neuronial no que se tem interesse, e um eletrodo de 
referência é colocado a alguma distância remota desse local. O EEG 
é medido como a tensão ou diferença de potencial entre os eletrodos 
ativo e de referência. A Figura 1.8 mostra três exemplos de sinais de 
EEG registrados do hipocampo de um rato.
22
Com base no exposto, analise as sentenças a seguir:
I- Um artefato se refere à parte do sinal biomédico produzida por eventos que são 
estranhos ao evento biológico de interesse. Assim, a detecção e a supressão de 
artefatos são quesitos importantes no processamento de sinais biomédicos.
II- Os artefatos surgem em um sinal biológico em diferentes etapas do processamento, 
e podem ser classificados como: artefatos instrumentais, biológicos ou de análise.
III- Um método comum e eficaz de reduzir os artefatos instrumentais e biológicos no 
processamento digital de sinais é a filtragem.
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) As sentenças I, II e III estão corretas.
b) ( ) Apenas as sentenças I e II estão corretas.
c) ( ) Apenas as sentenças II e III estão corretas.
d) ( ) Apenas a sentença I está correta.
5 Sobre os analisadores de espectro, assinale a alternativa INCORRETA:
a) ( ) A análise espectral de um sinal fornece informação adicional difícil de ser obtida 
em uma análise temporal (osciloscópio).
b) ( ) As escalas vertical (amplitude) e horizontal (frequência) de um analisador de espec-
tros são, em geral, logarítmicas, o que facilita a leitura de sinais de baixa amplitude.
c) ( ) Ao analisarmos um sinal senoidal levemente distorcido em função do tempo, 
dificilmente, percebemos essa imperfeição. Na análise no domínio da frequência, 
pequenas distorções e imperfeições (que geram componentes de frequência 
diferentes) são facilmente identificadas, pois cada componente de frequência é 
visualizado separadamente.
d) ( ) A análise espectral de um sinal não fornece informações adicionais ao 
engenheiro eletricista.
23
CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS DE TEMPO 
CONTÍNUO E DOS SINAIS DISCRETOS 
NO TEMPO
1 INTRODUÇÃO
Sinais, geralmente, transportam informações a respeito do estado ou do 
comportamento de um sistema físico e, geralmente, são sintetizados para a comunicação 
entre humanos ou entre humanos e máquinas. Uma imagem fotográfica pode ser 
representada, matematicamente, como a variação do brilho e da cor em função de duas 
variáveis no espaço (RAMOS, 2020). A Figura 6 mostrará vários sinais de fala e timbres 
de instrumentos.
UNIDADE 1 TÓPICO 2 - 
FIGURA 6 – TIMBRES DE INSTRUMENTOS E FALA HUMANA REPRESENTADOS POR SINAIS
FONTE: Costa e Silva (2020, p. 9)
Agora, aprofundaremos o estudo dos sinais de tempo contínuo, de tempo 
discreto e os sinais especiais, que são aqueles representados por funções matemáticas 
e que possuem interesse prático em análise de sinais e sistemas. Vamos lá?!
24
2 SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO
Sinais de tempo contínuo são representados em função de uma variável 
independente (tempo) contínua.
2.1 SINAIS REAIS E COMPLEXOS
Um sinal x(t) é um sinal real se o seu valor for um número real, ou seja, x(t) = A, 
com A ∈ ℝ. Como exemplo, temos: x(t) = 2 ou x(t) = 2,75.
Um sinal x(t) é um sinal complexo se o seu valor for um número complexo. Um 
sinal complexo x(t) tem a seguinte forma: x(t) = x1(t) + jx2(t) : x1 (t) é um sinal real e 
jx2(t) é um sinal imaginário e, j = . Essa equação pode representar tanto um sinal de 
tempo contínuo quanto um sinal de tempo discreto. A seguir, acompanharemos um 
sinal complexo com as partes real e imaginária distintas.
GRÁFICO 10 – SINAL COMPLEXO
FONTE: Higuti e Kitano (2003, p. 10)
2.2 SINAIS DETERMINÍSTICOS
Um sinal determinístico é aquele cujos valores podem ser especificados a 
qualquer instante de tempo, ou seja, existe uma função que determina o sinal (HSU, 
2004). Um exemplo é x(t) = A,cos(ω0t), em que A e ω0 são constantes.
Acompanhe um sinal determinístico:
25
GRÁFICO 11 – EXEMPLO DE SINAL DETERMINÍSTICO
FONTE: Ramos (2020, p. 4)
2.3 SINAIS ALEATÓRIOS
Um sinal aleatório é aquele cujos valores não podem ser determinados. Esses 
sinais admitem apenas uma descrição probabilística (HSU, 2004). Veja um sinal aleatório:
GRÁFICO 12 – EXEMPLO DE SINAL ALEATÓRIO
FONTE: Ramos (2020, p. 5)
26
2.4 SINAIS PARES
Um sinal xe(t) é dito ser par se xe(t) = xe(-t). Um sinal par possui os mesmos 
valores para os instantes t e -t (simétrico). Acompanhe dois exemplos de sinais pares:
GRÁFICO 13 – EXEMPLOS DE UM SINAL PAR
FONTE: Oppenheim e Willsky (2010, p. 36)
A simetria nos sinais permite, em muitos casos, a simplificação em sinais e 
sistemas, facilitando os cálculos.
2.5 SINAIS ÍMPARES
Um sinal x(t) é dito ser ímpar se x(t) = - x(- t). O valor do sinal ímpar no instante 
t é o negativo do seu valor em - t (antissimétrico). Veja dois exemplos de sinais ímpares:
GRÁFICO 14 – SINAIS ÍMPARES
FONTE: Oppenheim e Willsky (2010, p. 38)
27
Agora, apresentaremos algumas propriedades das funções pares e ímpares:
• Função par x função ímpar = função ímpar.
• Função ímpar x função ímpar = função ímpar.
• Função par x função par = função par.
Todo o sinal x(t) pode ser decomposto como a soma dos seus componentes pares 
e ímpares:
O primeiro termo após o sinal da igualdade corresponde à parte par, e, o segundo 
termo, corresponde à parte ímpar.
Mesmo quando o sinal não é par nem ímpar, ele pode ser decomposto em 
uma componente par e uma componente ímpar.
NOTA
2.6 SINAIS PERIÓDICOS
Um sinal x(t) é dito periódico com período T se para qualquer valor positivo de 
T x(t + T) = x(t) para todo t. Visualizaremos um sinal periódico de tempo contínuo e um 
sinal periódico de tempo discreto (sequência):
GRÁFICO 15 – SINAIS PERIÓDICOS
FONTE: Arndt (2020, p. 17)
28
Acompanhe um sinal periódico, com amplitude A e período T:
GRÁFICO 16 – SINAL QUADRADO PERIÓDICO NO TEMPO
FONTE: Lathi (2006, p. 45)
T é o período fundamental do sinal, em segundos [s]; é a 
frequência fundamental do sinal, em hertz [Hz]; e ou é a 
frequência angular fundamental do sinal, em radianos por segundo [rad/s].
2.7 SINAIS NÃO PERIÓDICOS
Se o sinal x(t) não for periódico, ele é dito aperiódico. Mostraremos dois gráficos 
que contêm exemplos de sinais aperiódicos.
GRÁFICO 17 – SINAIS APERIÓDICOS
FONTE: Lathi (2006, p. 46)
2.8 SINAIS DE ENERGIA
A energia e a potência de um sinal podem ser definidas considerando uma 
resistência normalizada de 1 Ω.
A energia total E por ohm é dada por:
29
Para um sinal qualquer x(t), de tempo contínuo, o conteúdo da energia 
normalizada E de x(t) é dado por:
Veja, a seguir, um sinal com energia finita:
GRÁFICO 18 – SINAL COM ENERGIA FINITA
FONTE: Oppenheim e Willsky (2010, p. 42)v
Um sinal é caracterizado como sinal de energia se satisfizer a condição 
0 < E < ∞.
2.9 SINAIS DE POTÊNCIA
Em sistemas elétricos, um sinal, normalmente, é representado pela tensão 
ou corrente elétrica. Considera-se, então, a potência instantânea dissipada em um 
resistor, dada por:
 
Ou
30
A potência média P por ohm é dada por:
A unidade da potência são os watts [W]. A potência média normalizada P do 
sinal x(t) é definida como:
Um sinal periódico é um sinal de potência se o seu conteúdo de energia por 
período for finito. Então, a potência média desse sinal pode ser calculada apenas para 
um período. A seguir, um sinal com potência finita.
GRÁFICO 19 – SINAL COM POTÊNCIA FINITA
FONTE: Oppenheim e Willsky (2010, p. 43)
Um sinal é caracterizado como sinal de potência se satisfizer a condição 0 < P < ∞.
O Quadro 2 mostrará as diferenças entre os sinais de energia e de potência.
QUADRO 2 – SINAIS DE ENERGIA VERSUS SINAIS DE POTÊNCIA
FONTE: Ramos (2020, p. 18)
Sinais de Energia Sinais de Potência
Duração finita Duração infinita
Energia normalizada finita e não zero Potência normalizadafinita e não zero
Potência média normalizada sobre um 
intervalo infinito igual a zero
Energia média normalizada sobre um 
intervalo infinito igual a zero
Fisicamente realizável Tratável matematicamente
31
2.10 SINAIS LIMITADOS NO TEMPO
Sinais limitados no tempo são sinais não periódicos e concentrados em 
intervalos de tempo com duração bem definida. Esses sinais podem ser subdivididos 
em sinais estritamente e assintoticamente limitados no tempo.
GRÁFICO 20 – EXEMPLOS DE SINAIS LIMITADOS NO TEMPO
FONTE: Higuti e Kitano (2003, p. 12)
2.11 SINAIS CAUSAIS
Um sinal é dito causal se ele começar a partir do instante t = 0.
2.12 SINAIS NÃO CAUSAIS
Se o sinal iniciar em t < 0 e se estender até t > 0, é chamado de não causal. Como 
a variável de um sinal não está restrita ao tempo, os sinais não causais podem existir no 
mundo físico.
2.13 SINAIS ANTICAUSAIS
Se o sinal existir apenas para t < 0, é chamado de anticausal. 
2.14 SINAIS FISICAMENTE REALIZÁVEIS
Os sinais denominados fisicamente realizáveis são sinais práticos que podem 
ser medidos em laboratório. Eles devem satisfazer as seguintes condições:
32
• são sinais limitados no tempo;
• são sinais limitados em amplitude;
• suas componentes espectrais significativas se concentram em um intervalo de 
frequências finito;
• sua forma de onda é uma função temporal contínua;
• sua forma de onda assume apenas valores reais (HIGUTI; KITANO, 2003).
Geralmente, esses sinais são medidos através do analisador de espectro.
2.15 SINAIS ESPECIAIS DE TEMPO CONTÍNUO
Algumas funções matemáticas são utilizadas em sinais e sistemas, como 
modelos ou padrões. Esses modelos ou padrões servem para a representação de outros 
sinais e, ainda, são utilizados para simplificação de sinais. Apresentaremos esses sinais 
ou funções a seguir.
3 FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO
A função degrau unitário permite transformar um sinal de duração infinita em 
um sinal causal. O degrau unitário é definido por:
Observe um degrau unitário no domínio do tempo:
GRÁFICO 21 – FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO NO DOMÍNIO DO TEMPO
FONTE: Hsu (2004, p. 18)
33
4 FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO OU DELTA DE DIRAC
A função impulso unitário ou função delta de Dirac δ(t) é definida por 
δ (t) = 0 para t ≠ 0. Ela é definida por .
GRÁFICO 22 – FUNÇÃO DELTA DE DIRAC
FONTE: Lathi (2006, p. 23)
5 FUNÇÃO RAMPA
A função rampa corresponde a uma ação que cresce linearmente no tempo a 
partir de uma função nula. A função rampa r(t) é definida por:
A função rampa também pode ser escrita como r(t) = tu(t).
GRÁFICO 23 – FUNÇÃO RAMPA
FONTE: Arndt (2020, p. 14)
6 EXPONENCIAL COMPLEXA
A exponencial complexa é definida por est, sendo s = σ + jω. A variável s é 
chamada de frequência complexa. Utilizando a fórmula de Euler, pode-se mostrar que:
34
Uma exponencial amortecida pode ser representada por uma combinação de 
exponenciais complexas.
GRÁFICO 24 – EXEMPLOS DE SINAIS EXPONENCIAIS
FONTE: Oppenheim e Willsky (2010, p. 50)
Por que as funções exponenciais reais e complexas são importantes na 
análise de sinais e sistemas? Elas são fundamentais na análise de auto-
funções, nas decomposições lineares, na resposta de sistemas SLIT’s e na 
análise em frequência.
NOTA
7 SINAIS DE TEMPO DISCRETO
Sinais de tempo discreto são definidos apenas em instantes distintos do tempo 
em um intervalo possível de valores. Portanto, podem ser representados por uma 
variável independente discreta.
35
São matematicamente representados como sequências de números x[n], em 
que n ∈ {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}. Normalmente, são derivados de sinais em tempo 
contínuo através do processo de amostragem.
O Gráfico 25 mostrará a representação e as diferenças entre os sinais contínuos 
em amplitude e no tempo, sinal contínuo em amplitude e discreto no tempo e de um 
sinal discreto em amplitude e no tempo.
GRÁFICO 25 – DIFERENÇAS ENTRE OS SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO E DE TEMPO DISCRETO
FONTE: Ramos (2020, p. 8)
A seguir, mostraremos a representação de alguns sinais discretos, os quais 
chamaremos de sequências.
7.1 SEQUÊNCIA DEGRAU UNITÁRIO DISCRETA
A sequência degrau unitário u[n] é definida como:
Note que o valor de u[n] em n = 0 é definido e é igual a 1.
GRÁFICO 26 – SEQUÊNCIA DEGRAU UNITÁRIO
FONTE: Hsu (2004, p. 23)
36
O degrau unitário é útil para representar sinais discretos causais, além de 
abreviar notações.
Por que estudar as funções impulso e degrau unitário são importantes na 
análise de sinais? Elas são utilizadas na soma e na integral de convolução, 
em funções de transferência, na análise da estabilidade e na dinâmica de 
sistemas diversos.
NOTA
7.2 SEQUÊNCIA IMPULSO UNITÁRIO OU DELTA DE DIRAC 
DISCRETA
A sequência impulso unitário ou amostra unitária é definida como:
GRÁFICO 27 – SEQUÊNCIA IMPULSO UNITÁRIO
FONTE: Hsu (2004, p. 24)
7.3 FUNÇÃO RAMPA DISCRETA
A função rampa discreta é definida como:
Geometricamente, surge uma função rampa de tempo discreto:
37
GRÁFICO 28 – RAMPA DISCRETA
FONTE: Hsu (2004, p. 23)
8 SEQUÊNCIAS EXPONENCIAIS COMPLEXAS
Uma exponencial complexa discreta é representada por ejΩn. Uma sequência 
exponencial complexa é da forma x(t) = ejΩ0n . Utilizando a fórmula de Euler, x[n] pode ser 
escrita como x[n] = ejΩ0n = cos(Ω0n) + j sen(Ω0n).
Com isso, podemos dizer que x[n] é uma sequência complexa, com parte real 
cos(Ω0n) e com parte imaginária sen(Ω0n). Acompanhe uma sequência exponencial 
complexa:
GRÁFICO 29 – SEQUÊNCIA EXPONENCIAL COMPLEXA
FONTE: Oppenheim e Willsky (2010, p. 15)
38
8.1 SEQUÊNCIAS EXPONENCIAIS COMPLEXAS GERAIS
A sequência exponencial complexa geral é definida como x[n] = C . an, em que C 
e α são números complexos.
9 SEQUÊNCIAS EXPONENCIAIS REAIS
Se C e α, na equação x[n] = C . an, forem números reais, então, 
x[n] é dita sequência exponencial real. Seguem quatro casos diferentes: 
a > 1,0 < a < 1, –1 < a < 0 e a < –1: 
GRÁFICO 30 – QUATRO CASOS DISTINTOS DE SEQUÊNCIAS EXPONENCIAIS REAIS
FONTE: Eisencraft (2006, p. 4)
Se 0 < a < 1, o sinal é decrescente. Se a > 1, o sinal é crescente. Notamos, 
também, que se a < 0, um sinal exponencial de tempo discreto assume valores 
positivos e negativos de C que se alternam.
10 SEQUÊNCIAS SENOIDAIS
Uma sequência senoidal pode ser escrita como x[n] = A.cos(Ω0.n + θ). Como n é 
adimensional, Ω0 e θ são dados em radianos.
39
GRÁFICO 31 – SEQUÊNCIA SENOIDAL
FONTE: Nascimento (2010, p. 9)
Surgem duas sequências senoidais, uma periódica e uma não periódica.
GRÁFICO 32 – SEQUÊNCIAS SENOIDAIS PERIÓDICAS E NÃO PERIÓDICAS
FONTE: Oppenheim e Willsky (2010, p. 16)
11 REPRESENTAÇÃO NO SCILAB OU NO OCTAVE
Caro aluno, vamos realizar mais algumas simulações em Scilab?
2° Exercício de Simulação (Adaptado de PELLENZ, 2020): Agora, vamos gerar 
sequências exponenciais reais, da forma x[n] = k. an, n, com a, k pertencentes aos reais. 
Para tanto, represente no Scilab e trace o gráfico, conforme feito no 1° Exercício de 
Simulação, para as seguintes sequências exponenciais reais:
40
(a) x1 [n] = (0.8)n; N1 = 80.
(b) x2 [n] = 2.(0.6)n; N2 = 100.
As sequências devem ter comprimento N, ou seja, 0 ≤ n ≤ N –1.
3° Exercício de Simulação (Adaptado de PELLENZ, 2020): Vamos traçar 
o gráfico das seguintes sequências discretas e determinar se os sinais a seguir são 
periódicos ou aperiódicos. Utilize 0 ≤ n ≤ 50.
(a) x [n] = cos (2n).
(b) x [n] = .
4° Exercício de Simulação (Adaptado de PELLENZ, 2020): Vamos calcular a 
energia e a potência dos seguintes sinais discretos:
>> Ex = sum (x.*conj(x))
>> Ex = sum(abs(x).^2)
5° Exercício de Simulação (Adaptado de PELLENZ, 2020): Neste último 
exercício, vamos aprender a decompor um sinal em suas componentes par (simétrica) 
e ímpar (assimétrica):
Qualquer sequência discreta real, x[n], pode ser decomposta nas suas 
componentes par e ímpar:
41
O algoritmo a seguir utiliza a função [xe, xo, m]=evenodd(x,n) para decompor a 
sequência discreta x[n]=u[n]-u[n-10] em suas componentes par e ímpar.Caro acadêmico, após gerar os gráficos com os comandos subplot, você poderá 
notar que, quando adicionamos as sequências xpar[n] + xímpar[n], obtemos a sequência 
original x[n].
Algoritmo:
n=[0;10];
x=stepseq(0, 0, 10)-stepseq(10, 0, 10);
[xe,xo,m]=evenodd(x, n);
subplot(1,1,1)
subplot(2,2,1); stem(n,x);title(‘Pulso retangular’)
xlabel(‘n’); ylabel(‘x(n)’);axis([-10,10,0,1.2])
subplot(2,2,2); stem(m,xe);title(‘Componente par’)
xlabel(‘n’); ylabel(‘xe(n)’);axis([-10,10,0,1.2])
subplot(2,2,4); stem(m,xo);title(‘Componente ímpar’)
xlabel(‘n’); ylabel(‘xo(n)’);axis([-10,10,-0.6,0.6])
42
RESUMO DO TÓPICO 2
 Neste tópico, você adquiriu certos aprendizados, como:
• Um sinal real é um sinal que tem, como amplitude, um valor pertencente ao conjunto 
dos números reais sem ter uma parte imaginária.
• Um sinal complexo é composto por duas partes, uma real e a outra imaginária.
• Um sinal par possui os mesmos valores para t e –t, ou seja, x(-t) = x(t).
• Todo sinal par é dito simétrico.
• Um sinal ímpar não possui os mesmos valores para t e –t, ou seja, para um sinal ser 
ímpar, ele deve satisfazer: x(-t) = - x(t).
• Todo sinal ímpar é dito assimétrico.
• Um sinal é caracterizado como sinal de energia se satisfizer a condição 0 < E < ∞.
• Um sinal é caracterizado como sinal de potência se satisfizer a condição 0 < P < ∞.
• Ambas as condições são mutuamente excludentes, ou seja, se o sinal for de energia, 
não pode ser de potência, e, se o sinal for de potência, não pode ser de energia. 
Porém, ainda, um sinal pode ser nem de energia e nem de potência.
• Um sinal é periódico se satisfizer a condição x(t) = x(t + T) para todo t, T pertencente 
ao conjunto dos números reais.
• Um sinal aperiódico não satisfaz a condição anterior.
• Um sinal determinístico é um sinal sobre o qual não existe nenhuma incerteza com 
respeito ao seu valor em qualquer instante de tempo.
• Um sinal aleatório é um sinal sobre o qual há incertezas associadas ao seu valor em 
qualquer instante de tempo. Por exemplo, o ruído branco.
43
RESUMO DO TÓPICO 2
1 Classifique os sinais a seguir:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
AUTOATIVIDADE
44
2 Determine se os sinais são periódicos ou não. Se forem periódicos, determinar o 
período fundamental:
a) 
b) 
3 Determine se os sinais a seguir são de energia, de potência ou nenhum deles:
a) x(t) = e–at, com a > 0.
b) x(t) = A.cos(ω0t + θ).
c) Verifique se x(t) = e–2t é um sinal de energia ou de potência.
4 Desenvolva a decomposição par/ímpar de um sinal x(t) = ejt, aplicando as definições 
estudadas neste tópico.
45
TÓPICO 3 - 
ANÁLISE DE SISTEMAS E SUAS 
CLASSIFICAÇÕES
1 INTRODUÇÃO
Os sistemas físicos, em sentido amplo, são uma interconexão de componentes, 
dispositivos ou subsistemas. Um sistema de tempo contínuo é um sistema em que os 
sinais de entrada de tempo contínuo são aplicados e geram sinais de saída de tempo 
contínuo. Um sistema de tempo discreto é um sistema que transforma entradas de 
tempo discreto em saídas de tempo discreto.
Os sistemas podem ser lineares ou não lineares, e podem, ainda, ter parâmetros 
constantes ou parâmetros variando no tempo.
Um sistema cuja saída seja proporcional à entrada é um sistema linear; se a 
saída não for proporcional à entrada do sistema, ele não é linear. Um sistema em que 
seu comportamento de entrada/saída é o mesmo, qualquer que seja o instante em que 
a entrada é aplicada no sistema, é considerado um sistema invariante no tempo.
Os sistemas podem ser classificados em estáveis e instáveis, segundo o cri-
tério de estabilidade externa. Um sistema é estável (BIBO estável) se uma entrada 
limitada gera uma saída limitada. Caso uma entrada limitada gere uma saída ilimitada, 
o sistema é instável.
UNIDADE 1
FIGURA 7 – REPRESENTAÇÃO EM BLOCOS DE UM SISTEMA
Sinal de entrada Sinal de saídaSistema
FONTE: Haikyn e Van Veen (2001, p. 22)
A seguir, entenderemos os conceitos de sistemas e os seus tipos. Vamos lá?!
2 SISTEMAS
Os sistemas dependem da aplicação de interesse do engenheiro eletricista ou 
do projetista elétrico.
46
Um sistema é definido como uma entidade que manipula um ou mais sinais para 
realizar uma função, produzindo novos sinais (HAYKIN; VAN VEEN, 2001).
Os sistemas são utilizados para processar sinais e para permitir modificação ou 
extração de informação adicional. Um sistema físico é constituído por componentes 
interconectados, os quais são caracterizados por sua relação terminal (entrada/saída). 
Os sistemas podem ser classificados, genericamente, em sistemas lineares e 
não lineares; sistemas com parâmetros constantes ou com parâmetros variando no 
tempo; sistemas instantâneos (sem memória) ou dinâmicos (com memória); sistemas 
causais ou não causais; sistemas contínuos ou discretos no tempo; sistemas analógicos 
ou digitais; sistemas inversíveis ou não inversíveis; e sistemas estáveis ou instáveis.
2.1 SISTEMAS LINEARES
Um sistema é linear se ele verifica o princípio da superposição, ou seja, se ele é 
simultaneamente aditivo e homogêneo. Para um sistema linear, tem-se que:
Se x1 → y1 e se x2 → y2 então, k1x1+k2x2 → k1y1+k2y2
Um sistema linear permite que cada entrada seja considerada separadamente.
2.2 SISTEMAS NÃO LINEARES
Caso o sistema não verifique o princípio da superposição, ele é dito ser não linear. 
A maioria dos sistemas é não linear quando são consideradas todas as possibilidades 
de entradas.
2.3 SISTEMAS INVARIANTES NO TEMPO
Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento na entrada provoca o 
mesmo deslocamento na saída, ou seja, se x(t) → y(t), então, x(t – T) → y(t – T).
2.4 SISTEMAS VARIANTES NO TEMPO
Caso o sistema não verifique a propriedade de invariância no tempo, ele é dito ser 
variante. Sistemas variantes no tempo possuem parâmetros que variam, mas, neste curso, 
interessam-nos apenas os sistemas lineares e invariantes no tempo.
47
2.5 SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO (SLIT’s)
Esses sistemas atendem aos princípios citados anteriormente.
2.6 SISTEMAS COM MEMÓRIA
Um sistema é dito sem memória se a sua saída, para todo valor da variável 
independente, em um dado instante, depende somente da entrada no mesmo instante.
Caso a saída no instante t dependa de valores passados ou futuros da entrada, 
o sistema é dito ser com memória (dinâmico). São exemplos de sistemas com memória 
os circuitos RC, RL e RLC (HSU, 2004). Outro exemplo de sistema de tempo discreto com 
memória é o sistema acumulador (somador):
 
Por fim, o sistema atrasador, que será mostrado a seguir, também é um exemplo 
de sistema com memória.
2.7 SISTEMAS SEM MEMÓRIA
Um sistema sem memória (instantâneo) é aquele cuja saída no instante t 
depende apenas da entrada no instante t. Um exemplo de um sistema sem memória é 
um circuito resistivo (NASCIMENTO, 2010).
2.8 SISTEMAS INVERTÍVEIS
Um sistema é dito invertível se entradas distintas levam a saídas distintas. Se um 
sistema é invertível, então existe um sistema inverso que, ao ser colocado em série com 
o sistema original, produz uma saída que é igual à entrada do primeiro sistema. Sistemas 
invertíveis são usados em sistemas de codificação em aplicações de comunicação.
48
2.9 SISTEMAS NÃO INVERTÍVEIS
São exemplos de sistemas não invertíveis (OPPENHEIM; WILLSKY, 2010): y[n] = 
0 e y(t) = x2(t).
2.10 SISTEMAS CAUSAIS
Um sistema é dito causal se a saída, em qualquer tempo, depender dos valores 
da entrada somente nos instantes presente e passado. Os sistemas causais também 
são conhecidos como sistemas não antecipativos. 
São exemplos de sistemas causais: o circuito RC, os veículos etc. Matematica-
mente, são exemplos de sistemas não causais: y[n] = x[n] – x[n + 1] e y(t) = x(t + 1).
Todos os sistemas sem memória são causais. A causalidade nem sempre é uma 
restrição essencial em aplicações em que a variável independente não é o tempo, como 
o processamento de imagens. 
Quando os dados forem gravados, não estamos limitados ao processamento 
causal, por exemplo, na análise histórica do mercado de ações (OPPENHEIM;WILLSKY, 2010).
2.11 SISTEMAS ESTÁVEIS
Um sistema será estável se, para toda entrada limitada (ou seja, seu módulo 
não cresce sem limites), a saída também for limitada. Esses sistemas são chamados de 
sistemas BIBO (Bound Input Bound Output).
2.12 SISTEMAS INSTÁVEIS
Caso uma entrada limitada gere uma saída ilimitada, o sistema é instável.
Os sistemas SLIT’s podem ser dos seguintes tipos:
• SISO  —  MISO  —  Multiple Input, Single Output: A equação equivalente do sistema 
depende de todas as entradas. Para um sistema MISO ser linear, os diferentes sinais 
só podem ser somados entre si. Não pode haver multiplicação entre eles ou derivação 
de um sinal em relação ao outro.
• SIMO — Single Input, Multiple Output: Logicamente, é possível decompor qualquer 
sistema SIMO em sistemas SISO individuais.
• MIMO  —  Multiple Input, Multiple Output: Da mesma forma, é possível decompor 
qualquer sistema MIMO em sistemas MISO individuais (WIKIPÉDIA, 2020a).
49
OS SINAIS ELÉTRICOS DO CORPO HUMANO
Newton C Braga
Cada vez mais, os dispositivos eletrônicos que interfaceiam com o corpo 
humano se tornam disponíveis, não apenas para as aplicações médicas, como 
também com aplicações comuns, que incluem vestíveis, monitoramento de atividade 
física, segurança, controle remoto e muito mais. Isso significa que, cada vez mais, a 
eletrônica interfaceia com o corpo humano, exigindo, do projetista, um conhecimento 
adicional que é saber com que tipo de sinais deve trabalhar. Neste artigo, tratamos 
justamente disso.
O corpo humano é um meio condutor de características específicas que devem 
ser conhecidas por todos que fazem projetos de dispositivos e pelas pessoas que 
apenas trabalham com eles, como médicos, fisioterapeutas etc. 
O corpo humano pode ser considerado uma solução iônica, cheia de dispositivos 
que geram potenciais elétricos fixos ou, ainda, que produzem sinais elétricos de 
características especiais. 
Como tratar esses sinais exige um conhecimento muito grande do modo como 
são gerados, como se comportam e como podemos medi-los, captá-los para uso em dis-
positivos externos ou como podemos interferir neles gerando sinais externos de controle.
É claro que um bom conhecimento de anatomia e de fisiologia humana seria 
muito importante para complementar o que vamos analisar. No entanto, vamos procurar 
ser didáticos nas nossas explicações, permitindo que mesmo os que não sejam 
profissionais do ramo entendam.
 
Íons positivos e negativos
Quando um composto iônico, por exemplo, o cloreto de sódio (NaCl), decompõe-
se ao ser dissolvido na água, o cloro se separa do sódio, formando íons positivos (Na+) e 
negativos (Cl-).
Os íons podem servir de portadores de cargas, ou seja, transportar correntes 
elétricas, e se estiverem separados por uma barreira isolante, por exemplo, podem manifestar 
uma tensão. É o princípio de funcionamento das baterias.
LEITURA
COMPLEMENTAR
50
No corpo humano, temos, principalmente, átomos, como sódio, cloro, potássio, 
que podem, facilmente, perder ou ganhar elétrons. Quando estão em um meio líquido, 
como o nosso corpo, podem servir de portadores de carga, transportando correntes 
elétricas ou manifestando tensões entre determinados pontos, funcionando como 
pequenos geradores. Assim, quando analisamos a presença de cargas e correntes no 
nosso corpo, deparamo-nos com dois tipos de cargas responsáveis por dois tipos de 
potenciais elétricos ou biopotenciais.
Podemos dizer que o corpo humano se comporta como uma verdadeira usina 
química, gerando sinais que podem ter diversas finalidades.
Os tipos de biopotenciais
Para entender os potenciais que encontramos no nosso corpo, começamos, jus-
tamente, pelo nosso sistema nervoso. Esse sistema é o responsável pela troca de infor-
mações entre as diversas partes do nosso corpo, operando com dois tipos de potenciais.
As células do nosso sistema nervoso ou neurônios usam pulsos elétricos para se 
comunicar e, assim, formar uma poderosa rede que opera com sinais cuja complexidade 
vai muito além de simples impulsos, conforme veremos mais adiante. A seguir, teremos 
a estrutura de uma célula nervosa comum.
Figura 1 – A célula nervosa
Proteínas em forma de bastão na membrana da célula formam um canal de íons. 
Algumas delas formam um canal de disparo, enquanto outras um canal de repouso. 
Abrir ou fechar os canais dependerá do íon que está ligado.
Íons positivos (sódio) e íons negativos (potássio) mantêm um equilíbrio de tal for-
ma que os íons de sódio são bombeados para fora, enquanto os de potássio para dentro.
51
Na condição de repouso, todas as portas ou gates estão fechadas, existindo uma 
concentração maior de potássio e menor de sódio dentro da célula e, ao contrário, fora. 
O sódio é bombeado para dentro da célula e o potássio para fora da membrana. Com 
isso, é mantido um equilíbrio, que gera uma diferença de potencial constante.
Figura 2 – Potencial de repouso
Em uma segunda etapa, uma troca constante de íons passa a ocorrer ao longo 
do axônio. Os íons de sódio entram na célula, criando uma polarização positiva interna e 
negativa externa. Nesse momento, a porta de sódio é fechada e a de potássio aberta. O 
lado externo fica negativo e, o de dentro, positivo.
Figura 3 – Potencial de ação
Este processo se propaga ao longo do axônio, transmitindo a informação.
Este, sem dúvida, é o principal sinal elétrico que se utiliza em diversos tipos de 
análise do corpo humano. A seguir, teremos um gráfico que mostrará a intensidade dos 
sinais gerados.
52
Figura 4 – O sinal do neurônio
Observe que a amplitude do sinal é de 100 mV tipicamente, variando entre -70 
mV e +30 mV. Um ponto interessante a ser notado é que se trata de uma propagação 
elétrica, devido a trocas químicas (íons). Isso torna o sinal lento, em relação ao que 
esperamos de uma comunicação elétrica.
Enquanto o sinal enviado por um interruptor acionado até uma lâmpada se 
propaga na velocidade da luz, os sinais elétricos nos neurônios são lentos. Isso explica 
o tempo de reação.
Entre o instante em que tocamos um corpo quente, a informação é transmitida 
ao cérebro e o tempo que o cérebro leva para reagir e enviar o comando de tirarmos a 
mão ocorre um tempo de 0,1 segundo, o que é muito se comparado com um circuito. 
Contudo, mesmo em um circuito, a velocidade de movimentação das cargas é muito 
menor em relação à onda de sinal transmitida. Há uma diferença que já analisamos em 
outros artigos detalhadamente.
Indo além, quando disparado ou excitado o neurônio, não emite um único pul-
so com essas características. O funcionamento de um neurônio é muito mais com-
plexo, podendo ser dito que ele opera com um elemento “PWM”, e não uma simples 
porta lógica.
53
O entrelaçamento dos neurônios no nosso cérebro, e em muitos outros pontos, 
faz com que os sinais sejam complexos, o que dificulta os tipos de interfaceamento que 
podemos elaborar.
Figura 5 – Sinais típicos de um neurônio
É interessante observar que os neurônios se adaptam ao tipo de estímulo que 
recebem e que os dispara, produzindo sinais que mudam de padrão. Por exemplo, 
um sinal muito forte os inibe e, muito fraco, não os dispara. A faixa em que ocorre 
o disparo muda com a frequência dos estímulos. Por exemplo, muitos estímulos 
que inibem fazem com que ele passe a responder cada vez menos aos sinais de 
maior intensidade, além da resposta mudar. Estudamos esse comportamento do 
neurônio quando fizemos pesquisa na Escola Paulista de Medicina (anos 70), quando 
procurávamos desenvolver um neurônio artificial eletrônico.
Interligando neurônios com propriedades adaptativas, seria possível construir 
uma estrutura capaz de aprender, como a Tartaruga de Grey Walter, de que já tratamos 
em outro artigo, e, também, na presença de misteriosas interações quânticas, como se 
descobriu recentemente.
Muito mais do que ligar eletrodos nas pessoas para captar os sinais ou pulsos 
externamente, a sua interpretação é extremamente complexa. Ainda não temos 
condições, por exemplo,de “ler o pensamento” baseados nos sinais captados a 
partir do cérebro, mas, mesmo assim, alguns tipos de sinais podem ser considerados 
consistentes para a análise de comportamentos de nossos órgãos internos e 
diagnósticos, principalmente, quando há dependência dos estímulos dos neurônios, 
caso do cérebro, do coração etc. Isso leva ao que denominamos biossinais permanentes 
em contrapartida aos biossinais induzidos.
Dois tipos de biossinais
Considerando o que vimos, podemos dizer que encontramos, no nosso 
corpo, diversos sinais que se enquadram em duas grandes categorias: os biossinais 
permanentes e os biossinais induzidos.
54
Os biossinais permanentes são aqueles que se manifestam sem nenhuma ação 
externa. São inerentes ao próprio funcionamento do organismo. Podemos citar os sinais 
gerados pelo coração, pelo cérebro, pelos músculos. Por outro lado, temos os sinais que 
são induzidos, gerados quando uma excitação externa ocorre. Esses sinais, normal-
mente, são de curta duração, mas são usados em diversas aplicações médicas. Pode-
mos usar estímulos de curta duração para verificar a reação de músculos, por exemplo.
Podemos, ainda, fazer uma classificação dos sinais de acordo com a sua 
natureza dinâmica, o que nos leva, também, a encontrar dois tipos de sinais.
Temos os sinais considerados estáticos, que são aqueles que não mudam ou 
mudam muito lentamente ao longo do tempo, como a pressão sanguínea, a temperatura 
do corpo e a resistência elétrica da pele. Os sinais dinâmicos são aqueles que apresentam 
variações rápidas de frequência, forma de onda ou intensidade.
Para a eletrônica, temos, ainda, uma classificação adicional, que nos dirá que tipo 
de sensor e circuito devemos usar para a análise. A classificação leva em consideração 
sua origem e natureza:
- Sinais elétricos, como os que permitem elaborar aparelhos que levantam o 
encefalograma (EEG), eletrocardiograma (ECG) etc.
- Sinais biomecânicos, como os movimentos gerados pela respiração, que permitem 
levantar o mecanorespirograma.
- Sinais biotérmicos, como a temperatura do corpo e de órgãos específicos
- Sinais biomagnéticos, como os usados para analisar a atividade muscular, 
denominados MMG ou mecanomiograma.
- Sinais biomagnéticos, que são usados na atividade de neurônios no cérebro, também 
conhecidos como MMG (magnetomiografia). Eles se baseiam no fato de que a atividade 
elétrica com a movimentação de cargas nos neurônios produz campos magnéticos 
que podem ser detectados e analisados.
- Biossinais ópticos, como os usados na fotopletismografia, que registram as variações 
de volume da parte analisada do corpo ou membro devido a fenômenos circulatórios. 
A técnica detecta problemas circulatórios.
- Biossinais acústicos, por exemplo, no fonocardiograma, em que se registra o 
funcionamento do coração a partir dos sons que ele emite.
- Biossinais químicos, como os que ocorrem na secreção de certas substâncias. 
Podemos citar o suor, que pode afetar a condutividade da pele nas condições de 
estresse. 
A figura a seguir dará uma ideia de alguns sinais que podem ser encontrados no 
corpo humano e o seu uso na medicina.
55
Figura 6 – Sinais usados na medicina
O fato que deve ser ressaltado é que esses sinais, se bem que até há pouco 
tempo eram usados apenas pela medicina em diagnóstico, hoje, com a evolução da 
tecnologia, e com o aparecimento de muitos equipamentos que interfaceiam com 
o organismo humano, eles encontram outras aplicações importantes. Além disso, 
temos de considerar que, da mesma forma que o organismo gera sinais, como ele é 
condutor, apresenta sensibilidade a sinais externos. Assim, podemos citar o próprio 
choque elétrico.
Sinais externos podem estimular os nervos, causando desde a simples sensa-
ção de formigamento ou, ainda, a excitação, até a dor, paralisia de órgãos ou a morte. No 
cérebro, podem induzir sons, imagens e comportamento dos mais diversos.
Um uso desses sinais gerados externamente ou por dispositivos que não 
pertence ao organismo é o marca-passo cardíaco. Outro seria o implante de chips, que 
corrigem o mal de Parkinson através de estímulos elétricos no cérebro. Temos, ainda, a 
inibição da dor, como no caso do TENS (Transcutaneous Electrical Nerve Stimulation).
Aplicações não médicas
Levando em conta que o organismo humano tanto pode gerar sinais como 
receber sinais, podemos pensar em uma infinidade de aplicações que vai além de 
simplesmente detectar o que há de errado dentro de nós ou corrigir eventuais problemas 
que tenhamos no funcionamento de nossos órgãos.
56
Com o desenvolvimento da tecnologia e a possibilidade de termos sensores 
extremamente eficientes para diversos tipos de grandezas físicas, ou, ainda, chips 
que podem ser implantados tanto recebendo sinais internos como gerando sinais de 
estímulos, uma infinidade de aplicações não médicas, mas que envolve o interfaceamento 
de nosso corpo com o mundo exterior, pode ser imaginada.
A biônica é apenas a ponta do iceberg.
Podemos aproveitar os sinais e a sensibilidade do corpo humano para criar 
projetos nas áreas de:
- Monitoramento de atividade física (fitness).
- Alimentação e saúde.
- Condicionamento e percepção (psicologia).
- Estresse.
- Segurança e biometria.
- Bem-estar e interação com o meio ambiente.
- Casa inteligente e IoT.
Apesar de já vermos uma enorme quantidade de novos produtos no mercado, 
ainda existe muito a ser explorado.
O que o projetista precisa saber, entretanto, é como trabalhar com esses sinais, 
tanto os levando ao corpo humano como os extraindo, e, para isso, algumas informações 
importantes devem ser consideradas. 
O corpo humano é um meio hostil para qualquer tipo de dispositivo externo e, 
além disso, se tentarmos colocar alguma coisa dentro dele, existe o problema da rejeição.
Interferências, ruídos, efeitos galvânicos e muito mais podem ocorrer, 
exigindo, do projetista, um cuidado muito grande, principalmente, com o modo como 
o interfaceamento é feito, e, também, com a eventual influência que seu equipamento 
pode ter no próprio funcionamento do organismo.
Sensores de resistência em contato com a pele, por exemplo, podem ter um 
efeito galvânico. O metal se forma com o meio condutor, que representa a pele, que 
forma um meio que gera um potencial galvânico, circulando uma corrente que tem um 
efeito de eletrólise. O resultado disso é a corrosão do eletrodo, a formação de substâncias 
nocivas ao organismo que acabam por matar as células no local. Esse é o efeito que 
ocorre quando um metal é atacado ao ser enterrado, uma barra de terra, por exemplo.
57
Lembramos, ainda, que os sensores, dependendo do tipo, apresentam carac-
terísticas que devem ser levadas em conta nas suas aplicações, como a inércia (um 
sensor de temperatura demora certo tempo para equilibrar sua temperatura com a do 
corpo que deve medir), capacidade térmica (um sensor de temperatura troca calor com 
o corpo que mede a temperatura).
Enfim, trabalhar com o corpo humano não é tão simples, e o que vimos, neste 
artigo, é apenas uma parte do que o leitor deve saber.
FONTE: BRAGA, N. C. Os sinais elétricos do corpo humano. 2020. Disponível em: https://www.
newtoncbraga.com.br/index.php/saude-e-meio-ambiente/16377-os-sinais-eletricos-do-corpo-humano-
parte-1-ma125. Acesso em: 28 maio 2020.
https://www.newtoncbraga.com.br/index.php/saude-e-meio-ambiente/16377-os-sinais-eletricos-do-corpo-humano-parte-1-ma125
https://www.newtoncbraga.com.br/index.php/saude-e-meio-ambiente/16377-os-sinais-eletricos-do-corpo-humano-parte-1-ma125
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58
RESUMO DO TÓPICO 3
 Neste tópico, você adquiriu certos aprendizados, como:
• Sistemas são entidades que manipulam um ou mais sinais elétricos, gerando outros 
sinais elétricos, realizando, assim, uma determinada função.
• Os sistemas recebem um ou mais sinais na entrada e os processam de forma a gerar 
uma ou mais saídas.
• Um sistemafísico pode ser caracterizado por sua relação saída/entrada, denominada 
como função de transferência (FT).
• Os sistemas são classificados em: lineares, não lineares, estáveis, instáveis, causais, 
não causais, com e sem memória, invertíveis, não invertíveis, invariantes e variantes 
no tempo.
• Um sistema é linear se sua saída é proporcional à entrada.
• Um sistema linear permite que cada entrada seja considerada separadamente.
• Um sistema é classificado como invariante no tempo se um deslocamento no tempo 
(atraso ou avanço) no sinal de entrada gera o mesmo deslocamento no sinal de saída.
• O nosso interesse de estudo são os sistemas lineares e invariantes no tempo, também 
conhecidos como SLIT’s.
• Um sistema se diz sem memória se, para cada instante, o valor da saída nesse 
instante apenas depender do valor da entrada no mesmo instante.
• Se a condição anterior não se verificar, o sistema se diz com memória.
• Um sistema se diz invertível se diferentes sinais de entrada conduzem a diferentes 
sinais de saída.
• Um sistema se diz não invertível se existirem, pelo menos, dois sinais de entrada 
diferentes que conduzam ao mesmo sinal de saída.
• Um sistema se diz estável se entradas limitadas derem origem a saídas limitadas.
• Quando a condição não se verifica, o sistema se diz instável.
59
1 O que é um sistema?
2 Quais são os tipos de sistemas?
3 Explique o que são os sistemas a seguir.
a) MIMO
b) BIBO
c) SISO
4 Qual a importância de se estudar os sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT’s) 
na engenharia?
5 Dê exemplos de aplicações práticas de sistemas na área da engenharia elétrica.
AUTOATIVIDADE
60
REFERÊNCIAS
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61
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http://www.univasf.edu.br/~edmar.nascimento/analise/Introducao_sinais.pdf
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http://astro.if.ufrgs.br/estrelas/node14.htm
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https://www.ufrgs.br/soft-livre-edu/software-educacional-livre-na-wikipedia/scilab/
https://www.ufrgs.br/soft-livre-edu/software-educacional-livre-na-wikipedia/scilab/
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Telecomunica%C3%A7%C3%B5es#/media/Ficheiro:Antenas_de_comunica%C3%A7%C3%A3o.jpg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Telecomunica%C3%A7%C3%B5es#/media/Ficheiro:Antenas_de_comunica%C3%A7%C3%A3o.jpg
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_digital
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_digital
62
63
TRANSFORMADA DE 
LAPLACE PARA SINAIS 
DE TEMPO CONTÍNUO 
(SINAIS PERIÓDICOS)
UNIDADE 2 — 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• analisar sinais de tempo contínuo utilizando a transformada de Laplace e a sua tabela;
• identificar a região de convergência de alguns sinais básicos utilizando a transformada 
de Laplace;
• compreender e aplicar as propriedades da transformada de Laplace;
• compreender e aplicar o conceito de convolução;
• realizar a convolução de dois sinais;
• conhecer e saber aplicar o teorema de Nyquist;
• representar um sinal de tempo contínuo por suas amostras: o teorema da amostragem;
• reconstruir um sinal a partir das suas amostras, usando interpolação;
• conhecer o efeito da subamostragem ou aliasing;
• compreender o processamento em tempo discreto de sinais de tempo contínuo.
Esta unidade está dividida em 3 tópicos. No decorrer dela, você encontrará 
autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – TRANSFORMADA DE LAPLACE E PROPRIEDADES DAS TRANSFORMADAS 
DE LAPLACE
TÓPICO 2 – TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
TÓPICO 3 – PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS E O TEOREMA DE NYQUIST
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure 
um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações.
CHAMADA
64
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A TRILHA DA 
UNIDADE 2!
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65
TÓPICO 1 — 
TRANSFORMADA DE LAPLACE 
E PROPRIEDADES DAS 
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
A transformada de  Laplace  é amplamente conhecida e utilizada nas áreas de 
ciências, exatas e engenharias. Ela foi desenvolvida pelo matemático francês Pierre 
Simon Laplace (1749-1827), em 1779 (ALEXSANDER; SADIKU, 2003). Ele desenvolveu as 
bases da teoria nascente e propiciou grandes contribuições em funções especiais, teoria 
das probabilidades, astronomia e mecânica celeste.
 
A transformada de Laplace possui aplicações em análise de sistemas lineares 
invariantes no tempo, como circuitos elétricos, osciladores harmônicos, dispositivos 
ópticos e sistemas mecânicos. Ela transforma equações no domínio do tempo (t) para o 
domínio da frequência (s).
2 ABORDAGEM
As transformadas de Laplace sempre aparecem aos pares, ou seja, para cada 
sinal no domínio do tempo, há uma respectiva representação do sinal no domínio da 
frequência. Elas apresentam uma representação de sinais no domínio da frequência em 
função de uma variável “s”, que representa um número complexo, na forma: s = σ + jω.
O uso das transformadas de Laplace apresenta várias vantagens em sinais e 
sistemas:
• as integrações e derivações se tornam multiplicações e divisões;
• podem ser aplicadas a várias funções de entrada;
• a resolução de equações diferenciais é realizada na forma de equações polinomiais, 
que são muito mais simples de resolver.
Observe, a seguir, uma ilustração de Laplace.
66
FIGURA 1 – PIERRE SIMON LAPLACE
FONTE: Wikipedia (2019b, s.p.)
A transformada de Laplace é representada por: ℒ {f(t)}.  Essa representação 
indica que a transformada de Laplace de uma função f(t) é uma função da variável “s”. A 
notação usual, nesse contexto, é letra minúscula para a função, e letra maiúscula para 
a transformada: ℒ {f(t)}=F(s) ou ℒ {g(t)}=G(s). Ainda, ℒ {h(t)}=H(s).
A Transformada de Laplace transforma uma equação diferencial, ou um 
problema de valor inicial, em uma equação algébrica. Quando resolvemos a equação 
algébrica, podemos determinar a solução da equação diferencial, ou do problema de 
valor inicial, usando a transformada de Laplace inversa. Na prática, determinamos a 
transformada inversa utilizando as propriedades da transformada de Laplace e seus 
pares de transformada, que estão sintetizados. A seguir, veja os pares da transformada 
de Laplace.
67
TABELA 1 – PARES DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
FONTE: Adaptado de Oppenheim (2010)
A principal aplicação da transformada de Laplace no âmbito da engenharia 
é a análise de resposta temporal e da estabilidade de sistemas.
68
3 TRANSFORMADA DE LAPLACE
A definição da transformada de Laplace é a seguinte: “a transformada de Laplace 
é uma transformação integral de uma função f(t) no domínio do tempo para o domínio 
complexo “s”, também chamado de domínio da frequência, gerando F(s)” (ALEXSANDER; 
SADIKU, 2003, p. 584).
Em termos matemáticos, temos que . “s” 
 é uma variável complexa dada por s = σ + jω. A seguir, aplicaremos a definição para 
calcular a transformada de Laplace de algumas funções.
Exemplos: 
(a)
(b)
(c)
69
Substituindo sen(ωt) por e u(t) = 1, podemos escrever:
Passando a constante para a frente da integral e aplicando a propriedade 
distributiva nas exponenciais do numerador, tem-se que:
Fazendo-se a integração de ∞ até 0:
Calculando o m.m.c.:
Efetuando a álgebra:
E, simplificando:
70
Por fim:
Note que a transformada inversa de Laplace de sen(ωt).u(t) é .
Sinais oscilatórios amortecidos do tipo seno ou cosseno, multiplicados por expo-
nenciais decrescentes, são comuns em sistemas estáveis, por esse motivo, são estudados 
nesta disciplina.
4 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
As propriedades da transformada de Laplace nos ajudam a obter os pares 
de transformada sem utilizar a equação da transformada de Laplace por definição, 
 . Com isso, considere que x(t), x1(t) e x2(t) são sinais 
contínuos. Portanto, as propriedades das transformadas de Laplace são:
• Aditividade.
• Homogeneidade.
• Linearidade.
• Escalonamento.
• Deslocamento no tempo.
• Deslocamento na frequência.
• Diferenciação no tempo.
• Integração no tempo.
• Diferenciação na frequência.
• Sinal multiplicado por t.
• Sinal dividido por t.
• Convolução.
Agora, vamos estudar cada uma delas separadamente:
• Aditividade: Se x1(t) e x2(t) são sinais de tempo contínuo, a propriedade 
da aditividade diz que L{x1(t) + x2(t)} = L{x1(t)} + L{x2(t)}. Exemplo: 
L{u(t) + e–2t} ∴ L{u(t)} + L{e–2t}. 
• Homogeneidade: Se x(t) é um sinal de tempo contínuo, a propriedade da 
homogeneidade diz que L{k.x(t)} = k.L{x(t)}.
71
• Linearidade: Como já vimos anteriormente, a linearidade é a propriedade da 
aditividade e da homogeneidadejuntas. Se X1(s) e X2(s) são, respectivamente, as 
transformadas de Laplace de x1(t) e x2(t), então, L[a1.x1(t) + a2.x(t)] = a1.X1(s) + a2.X2(s). 
a1 e a2 são constantes. Exemplo: L{3.x1(t) + 2.x2(t)} = 3.X1(s) + 2.X2(s). Agora, vamos 
exemplificar utilizando duas funções, a degrau unitário e a função exponencial:
ℒ{3.u(t) + 2.e–4t}
Aplicando a transformada de Laplace, temos que:
• Escalonamento: A propriedade do escalonamento é dada por , 
em que “a” é um escalar. Exemplo: . 
• Deslocamento no tempo: Se uma função é atrasada no tempo por “a”, o 
resultado no domínio “s” é a multiplicação da transformada de Laplace da 
função (sem o atraso) pela exponencial e–as. Isso é chamado de propriedade 
de atraso no tempo ou propriedade de deslocamento no tempo. A propriedade 
do deslocamento no tempo diz que L{x(t – a) . u(t – a)} = e–as.X(s).Exemplo: 
 . Usando a propriedade de deslocamento no tempo, temos:
• Deslocamento na frequência: A transformada de Laplace de e–at.x(t) pode 
ser obtida pela transformada de Laplace de x(t), substituindo cada s por 
(s + a). Essa propriedade é denominada deslocamento na frequência ou 
translação de frequência. A propriedade do deslocamento na frequência diz 
que L{e–at.x(t)} = X(s+a). Exemplo: . Aplicando a 
propriedade de deslocamento na frequência, temos que:
• Diferenciação no tempo: A propriedade de diferenciação no tempo diz que L{x'(t)} 
= sX(s) – f(0–). Ainda, generalizando, temos a transformada de Laplace da n-ésima 
derivada do sinal x(t):
Exemplo: Se fizermos o sinal x(t) = cos(ωt), então, x(0) = 1 e x'(t) = –ω.sen(ωt). 
Utilizando a propriedade do escalonamento, L{x'(t)} = sX(s) – f(0–), temos:
72
• Integração no tempo: A propriedade de integração no tempo diz que 
 . Exemplo: Se o sinal x(t) = u(t), sabe-se que a transformada 
de Lapalce do degrau unitário é . Aplicando a propriedade de 
integração no tempo, temos que . Então: 
. Com isso, encontramos a transformada de Laplace 
da função rampa, utilizando a propriedade de integração no tempo.
• Diferenciação na frequência: A propriedade de diferenciação na frequência diz 
que . Exemplo: .
Segue um resumo dos pares das propriedades da transformada de Laplace.
QUADRO 1 – PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
FONTE: O autor
73
Saiba mais da transformada de Laplace, acessando https://pt.khanacademy.
org/math/differential-equations/laplace-transform.
Assista ao vídeo do professor Luís César Emanuelli a respeito das funções degrau, 
rampa, senoide, impulso unitário e parábola: https://www.youtube.com/watch? 
v=sTXlDr3lglU.
DICAS
5 REGIÃO DE CONVERGÊNCIA (RDC)
O intervalo de valores da variável complexa “s”, dentro do qual a transformada de 
Laplace converge, é dito região de convergência (RDC). Seguem exemplos:
• Considere o sinal x(t) = e–at.u(t), com “a” sendo um número real.
Aplicando a definição da transformada de Laplace: , 
temos:
Seguem a representação gráfica do sinal x(t) = e–at.u(t) e a RDC do exemplo.
GRÁFICO 1 – SINAL x(t) = e–at.u(t) E SUA REGIÃO DE CONVERGÊNCIA
FONTE: Hsu (2004, p. 112)
https://pt.khanacademy.org/math/differential-equations/laplace-transform
https://pt.khanacademy.org/math/differential-equations/laplace-transform
https://www.youtube.com/watch?v=sTXlDr3lglU
https://www.youtube.com/watch?v=sTXlDr3lglU
74
Nas aplicações da transformada de Laplace, o plano complexo é chamado de 
plano “s”, e é representado por s = σ + jω. Assim, a RDC do exemplo (i) foi plotada no 
plano complexo “s”, em que o eixo real (σ) corresponde ao eixo das abcissas, e o eixo 
imaginário (jω) corresponde ao eixo das ordenadas.
Note que, como Re(s) > – a, a RDC corresponde à área sombreada à direita da 
linha Re(s) = – a.
• Considere o sinal x(t) = – e–at.u(–t), com “a” sendo um número real.
De maneira análoga ao exemplo (i), a transformada de Laplace é dada por 
 e Re(s) < – a. A seguir, mostraremos o sinal x(t) = – e–at.u(–t) e a sua 
respectiva RDC.
GRÁFICO 2 – SINAL x(t) = – e–at.u(–t) E SUA RDC
FONTE: Araújo (s.d., p. 7)
Agora, a RDC do exemplo (ii) é especificada como Re(s) < – a. Então, ela foi 
plotada no plano complexo “s”, e corresponde à área sombreada à esquerda da linha 
Re(s) = – a. 
Note que, se compararmos as duas respostas desses dois sinais apresentados nos 
exemplos (i) e (ii), vemos que as expressões matemáticas da transformada de Laplace 
do sinal X(s) são idênticas, porém, os sinais são distintos. O que os diferencia são as 
RDC’s. Com isso, conclui-se que, “para que a transformada de Laplace de cada sinal 
x(t) seja única, a RDC deve ser especificada como parte da resposta” (HSU, 2004, p. 111).
6 POLOS E ZEROS DE X(s)
Para exemplificar os polos e zeros de X(s), é preciso usar uma função racional 
do tipo:
75
Os coeficientes ak e bk são constantes reais, ou seja, são números reais, e m e n 
são números inteiros positivos.
A função X(s) é dita função racional própria quando n ≥ m. É chamada de 
função racional imprópria quando n ≤ m. As raízes do polinômio do numerador são 
chamadas de zeros de X(s), porque X(s) = 0 para esses valores de s. Já as raízes do 
polinômio do denominador são chamadas de polos de X(s), porque X(s) é infinita para 
esses valores de s.
É importante ressaltar que os polos de X(s) ficam fora da RDC. A RDC pode ser 
especificada completamente pelos zeros e polos. Assim, uma representação compacta 
de X(s) no plano s consiste em mostrar, também, as localizações dos polos e zeros, além 
da RDC.
O símbolo “x” é utilizado para indicar a localização de um polo, e o símbolo “o” é 
utilizado para indicar um zero de X(s).
GRÁFICO 3 – POLOS E ZEROS DE X(S) NO PLANO COMPLEXO “S”
FONTE: O autor
Concluímos que o polo da função de transferência G(s) é –5, e o zero de G(s) é –2.
Outro conceito importante em X(s) é o fator de escala. Chama-se fator de escala 
a relação . O exemplo a seguir ilustrará esse conceito.
Exemplo: Dado o sinal X(s) no domínio da frequência, , 
encontre os polos, os zeros, a RDC e o fator de escala, se existirem.
Solução: . Com isso, temos que a RDC é 
Re(s) > –1.
 
76
X(s) tem um zero em s = –2 e dois polos em s = –1 e s = –3. Já o fator de escala 
é .
7 PROPRIEDADES DA RDC
A RDC de X(s) depende da natureza do sinal x(t). Para estudarmos as propriedades 
da RDC, é preciso assumir que X(s) é uma função racional de “s”. Vamos lá?!
• A RDC não contém nenhum polo.
• Se x(t) for um sinal de duração finita, ou seja, x(t) = 0, exceto em um intervalo 
t1 ≤ t ≤ t2, então, a RDC é o plano s inteiro, exceto s = 0 ou s = ∞.
• Se x(t) for um sinal unilateral direito, ou seja, x(t) = 0 para t < t1 < ∞, então, 
a RDC é da forma Re(s) > σmáx , em que σmáx é igual à parte real máxima de 
todos os polos de X(s). Assim, a RDC é um semipleno à direita da linha vertical 
Re(s) = σmáx no plano “s”. Portanto, está à direita de todos os polos de X(s).
• Se x(t) for um sinal unilateral esquerdo, ou seja, x(t) = 0 para t > t2 > –∞, então, a RDC é 
da forma Re(s) < σmin, em que σmin é igual à parte real mínima de todos os polos de X(s). 
Com isso, a RDC é um semipleno à esquerda da linha vertical Re(s) = σmin no plano “s”. 
Portanto, está à esquerda de todos os polos de X(s).
• Se x(t) for um sinal bilateral, x(t) é um sinal de duração infinita que não 
é unilateral direito nem unilateral esquerdo. Então, a RDC é da forma 
σ1 < Re(s) < σ2, em que σ1 e σ2 são as partes reais dos dois polos de X(s). 
Desse modo, a RDC é uma faixa vertical no plano “s” entre as linhas verticais 
Re(s) = σ1 e Re(s) = σ2.
Exemplo: Dado o sinal x(t) = e–2tu(t) + e–3tu(t), encontre a transformada de 
Laplace X(s) e faça o gráfico dos polos, zeros e esboce a RDC.
Solução: com Re(s) > –2.
 .
Vemos que as RDC’s se sobrepõem, portanto, faremos:
 , calculando o m.m.c.:
 , então: Re(s) > –2
Com isso, concluímos que X(s) tem um zero em e dois polos em 
s = –2 e s = –3. Observe, a seguir, a RDC para essesinal, os polos e o zero.
77
GRÁFICO 4 – RDC PARA O SINAL x(t) = e–2tu(t) + e–3tu(t)
FONTE: Hsu (2004, p. 128)
Com isso, terminamos os conteúdos do Tópico 1 acerca das transformadas 
de Laplace. Esperamos que as explanações tenham sido úteis para a formação do seu 
conhecimento. Lembre-se de fazer as autoatividades e de solicitar auxílio aos tutores, 
caso necessite.
78
RESUMO DO TÓPICO 1
 Neste tópico, você adquiriu certos aprendizados, como:
• A transformada de Laplace é uma importante ferramenta para a resolução de 
equações diferenciais. É muito útil na representação e análise de sinais de tempo 
contínuo e de sistemas.
• A transformada de Laplace faz um mapeamento das funções no domínio do tempo 
para o domínio da frequência “s”, sendo s = σ + jω.
• Algumas transformadas de Laplace mais importantes são: função degrau, função 
exponencial, função rampa e função rampa exponencial.
• As propriedades da transformada de Laplace são importantes para simplificar 
cálculos, e estão resumidas e tabeladas.
• As propriedades da transformada de Laplace são linearidade, escalonamento, 
deslocamento no tempo, deslocamento na frequência, diferenciação no tempo, 
integração no tempo e diferenciação na frequência.
• A região de convergência (RDC) é o intervalo de valores da variável “s”, nos quais a 
transformada de Laplace converge.
• Os polos são as raízes do polinômio do denominador da função racional.
• Os zeros são as raízes do polinômio do numerador da função racional.
• Polos reais geram funções exponenciais.
• Polos complexos geram senoides amortecidas.
79
RESUMO DO TÓPICO 1
1 O que é e para que serve a transformada de Laplace?
2 O que é a região de convergência?
3 O que são os polos e zeros de X(s)?
4 Quais são as propriedades da transformada de Laplace e para que servem?
5 Encontre a transformada de Laplace X(s), faça o gráfico dos polos e zeros e esboce o 
RDC para os seguintes sinais:
a) x(t) = e–3tu(t) + e+2tu(–t)
b) x(t) = e+2tu(t) + e–3tu(–t)
6 Encontre X(s) dos sinais a seguir:
a) x(t) = t.e–5t
b) x(t) = 9.e–5t
c) x(t) = sen(ωt)
d) x(t) = sen(8t)
e) x(t) = cos(ωt)
f) x(t) = cos(6t)
g) x(t) = e–4t.sen(2t)
h) x(t) = e1t.cos(7t)
AUTOATIVIDADE
80
81
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
1 INTRODUÇÃO
Assim como a transformada de Laplace é muito importante na análise de sinais 
e sistemas e na engenharia elétrica, a transformada inversa de Laplace também possui 
vantagens na sua utilização. 
Como vimos no Tópico 1, as transformadas de Laplace sempre surgem aos pares, 
ou seja, x(t) ↔ X(s). Embora a noção de frequência “complexa” seja, simplesmente, uma 
convenção matemática, a frequência complexa permite a manipulação de grandezas 
variantes no tempo, periódicas ou não periódicas paralelamente, o que simplifica muito 
a análise.
As aplicações da transformada inversa de Laplace ocorrem nas mais diversas 
situações:
• Aplicações em circuitos elétricos envolvendo análise transitória.
• Em análise de funções de transferência em sistema de controle e servomecanismos.
• Na análise de sistemas elétricos de potência em regime transitório.
• Nos diagramas de Bode, nos quais são analisadas grandezas elétricas em várias 
frequências.
• Na convolução de dois sinais elétricos.
• Na análise de sistemas lineares invariantes no tempo.
• Em estabilidade de sistemas.
• Para solução e simplificação de equações diferenciais etc.
A transformada inversa de Laplace, para uma dada função racional, pode 
ser determinada utilizando a expansão em frações parciais e a tabela dos pares de 
transformadas de Laplace.
UNIDADE 2 TÓPICO 2 - 
2 EXPLICAÇÃO
A transformada de Laplace é utilizada na análise de circuitos elétricos, 
convertendo cada elemento, resistor (R), indutor (L) e capacitor (C) do domínio do tempo 
para o domínio da frequência (s). O circuito é resolvido utilizando um dos teoremas 
de circuitos, Thevenin, Norton, análise de malhas, análise nodal etc. no domínio da 
82
frequência. Ao fim da solução, convertemos o resultado do domínio da frequência 
para o domínio do tempo, utilizando a transformada inversa de Laplace. No domínio 
da frequência, os elementos do circuito (R, L e C) são substituídos com as condições 
iniciais em t = 0.
A utilização da transformada de Laplace para analisar um circuito gera uma 
resposta completa, ou seja, resposta natural e resposta forçada, pois as condições 
iniciais são incorporadas no processo de transformação (HAYT JR.; KEMMERLY; 
DURBIN, 2016).
 
A convolução de dois sinais consiste em inverter um deles no domínio do 
tempo, com o subsequente deslocamento e posterior multiplicação ponto a ponto com 
o segundo sinal, integrando o produto. A integral de convolução relaciona a convolução 
de dois sinais no domínio do tempo com o produto de duas transformadas de Laplace. 
Veremos como aplicar a convolução na prática, no Tópico 3 desta unidade, ok?!
 
No domínio do tempo, a saída de um circuito y(t) é a convolução da resposta ao 
impulso com a entrada x(t) (OPPENHEIM, 2010).
A transformada de Laplace também pode ser aplicada na solução de uma 
equação linear integro-diferencial, como os sistemas elétricos, ou sistemas lineares 
invariantes no tempo, tão aplicados em controle e em sinais.
Um circuito elétrico é dito estável quando todos os polos da sua função de 
transferência estão localizados no semipleno esquerdo do plano “s”.
 
Uma última aplicação pode ser mencionada, que é a aplicação da transformada 
de Laplace na síntese de circuitos elétricos. Lembre-se: não podemos falar de trans-
formada inversa de Laplace sem abordar a transformada de Laplace propriamente dita. 
Ainda, os circuitos elétricos podem ser aplicados em diversas áreas da 
engenharia, por isso, estamos dando tanta ênfase para a solução através da transformada 
de Laplace e da inversa.
A síntese de circuitos é o processo de se obter um circuito apropriado 
para representar um determinada função de transferência , uma vez 
que a análise no domínio da frequência é menos complexa do que a análise no domínio 
do tempo.
Essas são apenas explicações de algumas das aplicações da transformada 
de Laplace e sua inversa na engenharia elétrica. Agora, estudaremos e aplicaremos a 
transformada inversa de Laplace.
83
3 TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
Dada uma função F(s) do tipo , em que N(s) é um polinômio 
de ordem (n) e D(s) é outro polinômio, porém, de ordem maior, ou seja, (n+1). 
Note que F(s) é a transformada de Laplace de uma função, a qual, não 
necessariamente, é uma função de transferência. Dessa forma, podemos escrever 
F(s) = L{f(t)} ↔ f(t) = L–1{F(s)}, em que denota a transformada de Laplace inversa L–1{F(s)} .
Com o auxílio da expansão em frações parciais, podemos separar F(s) em termos 
simples. Portanto, a determinação da transformada inversa de Laplace é realizada, 
fazendo-se:
• A decomposição de F(s) em termos mais simples, utilizando a expansão em frações 
parciais.
• A determinação da transformada de Laplace inversa de cada termo, utilizando a 
Tabela n.
• Às vezes, dependendo do termo, deve-se fazer a complementação do quadrado 
no denominador, a fim de encontrar uma transformada da Laplace inversa que 
corresponda ao termo.
Acadêmico, fique tranquilo, pois demonstraremos todos esses passos para 
resolução com exemplos numéricos. Vamos lá?!
O objetivo do uso da expansão em frações parciais é facilitar o cálculo 
da transformada inversa de Laplace. Uma  fração  racional complexa F(s) pode ser 
representada como uma soma de  frações  simplificadas, usando a  expansão  parcial 
da fração. Vamos considerar três formas possíveis de F(s) :
• Polos reais e distintos.
• Polos reais e iguais.
• Polos complexos conjugados.
4 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
Pacotes de software, como MatLab, MathCad, Maple, Scilab e Octave, são 
capazes de determinar rapidamente as expansões em frações parciais.
NOTA
84
A expansão em frações parciais pode ser aplicada em três casos:
• Polos reais e distintos ou polos simples: Um polo simples é um polode primeira 
ordem. Se a função racional (ou sinal) F(s) possui apenas polos simples, então, o 
denominador D(s) se torna um produto de fatores da forma:
p1, p2, ..., pn são os polos simples ou de primeira ordem do denominador D(s). 
Considerando que o grau de N(s) é menor do que o grau de D(s), utilizamos a expansão 
em frações parciais para decompor F(s)Então, temos que:
k1, k2, ..., kn são chamados de resíduos de F(s).
Exemplo: Dada a função , expanda em funções parciais e 
encontre a transformada inversa de Laplace:
Solução: Do denominador de F(s), podemos ver que temos três polos: 
s = 0, s = –2 e s = –1. Então, a expansão em frações parciais é:
 ; fazendo o m.m.c., temos que:
 ; simplificando os denominadores:
s2 + 12 = A.(s + 2) . (s + 1) + B.s.(s + 1) + C.s.(s + 2)
s2 + 12 = A.(s2 + 3s + 2) + B.(s2 + s) + C.(s2 + 2s), agrupando os termos semelhantes:
s2 + 12 = (As2 + Bs2 + Cs2) + (3As + Bs + 2Cs) + 2A, colocando em evidência:
s2 + 12 = (A + B + C)s2 + (3A + B + 2C)s + 2A, montando um sistema linear de equações:
(A + B + C)s2 = 1s2
(3A + B + 2C)s = 0s
2A = 12
85
Da linha 3 do sistema linear, encontramos: .
Da linha 2: 
Da linha 1, obtemos: (A + B + C) = 1 ∴ B = 1 –A – C ∴ B = 1 –6 –(–12) ∴ B = 1 –6 + 
12 ∴ B = 13 –6 ∴ B = 7.
Com os valores dos coeficientes, fazemos: ; 
 substituindo: .
A transformada inversa de Laplace é dada por:
f(t) = 6.u(t) + 7.e–2t – 12.e–1t
• Polos reais e iguais ou polos repetidos: Suponha que F(s) possua n polos repetidos 
em s = –p. Então, F(s) é representada por:
 
Exemplo: Dada a função , expanda em funções parciais e 
encontre a transformada inversa de Laplace:
Solução: ; tirando o m.m.c.:
 ; eliminados os denominadores:
10s2 + 4 = A.(s + 2)2 + Bs + Cs.(s + 2), desenvolvendo o quadrado e multiplicando 
os termos:
10s2 + 4 = A.(s2 + 4s + 4) + Bs + Cs2 + 2Cs
10s2 + 4 = A.s2 + 4As + 4A + Bs + Cs2 + 2Cs, agrupando os termos semelhantes:
10s2 + 4 = (A.s2 + Cs2) + (4AS + Bs + 2Cs) + 4A, montamos o sistema de equações 
lineares a seguir:
86
A + C = 10
4A + B + 2C = 0
4A = 4 
Da linha 3, temos que: .
Da linha 1, tem-se: C = 10 – A ∴ C = 10 – 1 ∴ C = 9.
Da linha 2: B = –4A –2C ∴ B = –4 –18 ∴ B = –22.
Com isso, substituímos em e, com o auxílio da 
tabela de transformadas de Laplace, obtemos a expressão a seguir:
f(t) = u(t) –22t.e–2t + 9e–2t
Lembrando sempre que as condições iniciais são nulas para t = 0. Por 
conveniência, omitimos esse dado da expressão matemática no domínio do tempo, 
entretanto, ele existe.
• Polos complexos conjugados: um par de polos complexos é chamado de simples 
quando não é repetido, pois os polos complexos sempre aparecem aos pares (são 
conjugados). Quando os polos complexos conjugados forem duplos, ou seja, quando 
ocorrerem quatro raízes (polos), são chamados de polos duplos. Quando surgirem 
mais raízes (polos complexos conjugados), são chamados de polos repetidos. A 
forma para expansão em frações parciais, nesse caso, é dada por:
Nessa expressão matemática, estamos considerando uma raiz real distinta 
“a” e um par de polos complexos simples, cujas raízes complexas são x’ e x’’, obtidas 
resolvendo a equação as2 + bs + c = 0. A seguir, será apresentado um exemplo numérico 
do caso de polos complexos conjugados, além da expansão em frações parciais.
Exemplo: Dada a função , expanda em funções 
parciais e encontre a transformada inversa de Laplace.
Solução: Como você sabe se os polos são complexos?
Para isso, vamos resolver a equação de 2° grau do denominado 
s2 + 8s + 25 = 0 ∴ ∆ = b2 –4.a.c ∴ ∆ = (8)2 –4.(1).(25) ∴ ∆ = 64 – 100 ∴ ∆ = –36. O fato do 
valor de delta (∆) ser negativo gera dois polos complexos. Lembre-se, ainda, de que os 
polos complexos sempre são conjugados.
87
Continuando a resolver a equação de 2° grau para provar que as raízes ou polos 
são negativos, faremos: .
Como sabemos, o número complexo é dado por z = a + jb e , então: 
. Com isso, temos que: x' = –4 + j3 e x" = –4 + j3.
Podemos observar várias conclusões importantes:
• x’ e x’’ são os polos complexos de F(s);
• os polos complexos sempre aparecem aos pares e, portanto, são denominados de 
polos complexos conjugados. Ou seja, eles têm os mesmos valores, porém, o sinal da 
parte imaginária é sempre contrário.
Assim, daremos sequência à solução de F(s), através da expansão da função 
que representa um sinal no domínio de “s”:
Note que o termo corresponde à expansão em frações parciais para 
os dois polos complexos conjugados que calculamos com a expressão de Báskhara.
Agora, vamos tirar o mínimo múltiplo comum do lado direito de F(s) e seguir com 
o cálculo para encontrar os coeficientes A, B e C, ok?!
, simplificando os denominadores e 
fazendo a propriedade distributiva nos termos do lado direito da igualdade:
20 = As2 + 8As + 25A + Bs2 + 3Bs + Cs + 3C, juntando os termos semelhantes:
20 = (As2 + Bs2) + (8As + 3Bs + Cs) + (25A + 3C), colocando s2 e s em evidência:
20 = (A + B)s2 + (8A + 3B + C)s + (25A + 3C), montando o sistema de equações 
lineares:
A + B = 0
8A + 3B + C = 0
25A + 3C = 20
Da linha 3, isolando a constante A, temos: .
88
Substituindo a expressão de A na linha 2: 
, tirando o m.m.c.:
 
.
Juntando os termos semelhantes:
Substituindo as expressões de A e B na linha 1: . 
 Tirando o m.m.c.:
Com isso, vamos substituir C = –10 em , obtendo 
 
.
Agora, vamos substituir C = –10 em
 .
De posse dos valores de A, B e C, fazemos: 
 .
Nesse ponto, temos um aspecto muito importante a ser verificado. O primeiro 
termo de F(s) tem, como resultado, f(t) = 2.e–3t, porém, o segundo termo de F(s) não 
tem transformada inversa de Laplace na tabela. Esse tipo de situação pode acontecer 
quando estamos trabalhando com funções ou sinais que possuem polos complexos 
conjugados. Portanto, nesses casos, temos que aplicar uma técnica chamada 
completar quadrado. Agora, mostraremos como ela se aplica no rearranjo do segundo 
termo de F(s):
89
Note que, no numerador primeiro, colocamos o número 2 em evidência, 
gerando: –2 . (s +4) = –2s + 8, mas como tínhamos, inicialmente, 2s + 10, devemos 
adicionar 2 no numerador: –2 . (s +4) = –2s + 8 + 2 ∴ –2s + 10. Com esse artifício 
matemático, não alteramos o numerador desse termo, apenas o reescrevemos de outra 
forma. Relembrando que o objetivo desses artifícios matemáticos é colocar o termo 
em uma forma idêntica às formas que aparecem na tabela de pares de transformadas 
de Laplace.
Já no denominador, fizemos a redução da expressão de segundo 
grau s2 + 8s + 25 para (s + 4)2. Contudo, se calcularmos o quadrado, temos: 
(s + 4)2 = s2 + 2.s.4 + (4)2 = s2 + 8s + 16. Porém, precisamos que essa fatoração seja igual 
a s2 + 8s + 25. Para que isso ocorra, fazemos 25 -16 = 9, ou seja, devemos adicionar 9 no 
binômio (s + 4)2, gerando (s + 4)2 + 9. Para finalizar, fatoramos o número 9 e obtemos a 
expressão final para o denominador (s + 4)2 + (3)2. Então:
Agora, é preciso dividir a expressão do lado direito em duas: 
. O primeiro termo do lado direito 
da igualdade corresponde a f(t) = e–at.cos(ωt), quando você o compara com a 
tabela de pares de transformadas de Laplace e aplica a transformada inversa. 
A expressão é a mesma do número 13 da tabela:
Sendo: a = 3, ω = 4.
O segundo termo do lado direito da igualdade deverá corresponder a 
f(t) = e–at.sen(ωt), mas ainda devemos fazer mais um ajuste no termo, 
. Note que, ao multiplicarmos o número 1 do numerador por 3, 
surge 3 no numerador. 
Paranão alterar a expressão, dividimos por 3 o número –2, gerando 
. Agora sim, essa expressão é a mesma do número 14 da tabela:
90
Sendo: a = 3, ω = 4. Então, a transformada inversa de Laplace é dada por 
 .
No próximo item, faremos mais exemplos do tema.
5 COMPLETAR QUADRADO
A técnica utilizada no exemplo anterior é chamada de completar quadrado. 
Ela é utilizada para colocar uma expressão na forma encontrada na tabela dos pares 
de transformada de Laplace. Sem essa técnica, não seria possível resolver F(s) por 
expansão de frações parciais no caso de F(s) ter polos complexos conjugados. Neste 
tópico, explanaremos, com mais detalhes, a técnica, e mostraremos mais exemplos 
numéricos, com o intuito de fixar melhor os conhecimentos. Vamos lá?!
Exemplos: (a) .
Solução: Expandindo em frações parciais:
, fazendo-se o m.m.c.:
Desenvolvendo o numerador no lado direito da equação e simplificando os 
denominadores, temos:
10 = As2 + 4As + 13A + Bs2 + Bs + Cs + C
10 = (A + B)s2 + (4A + B + C)s + (13A + C)
Montando o sistema, tem-se:
A + B = 0
4A + B + C = 0
13A + C = 10
91
Da linha 3, temos que: C = 10 –13A.
Substituindo na linha 2: 4A + B + C = 0 ∴ 4A + B + 10 –13A = 0 ∴ B = 9A – 10.
Na linha 1: A + 9A – 10 = 0 ∴ 10A = 10 ∴ A = 1. Então, B = 9A – 10 ∴ B = 9.(1) – 10 
∴ B = 9 –10 ∴ B = –1..
C = 10 – 13A ∴ C = 10 – 13.(1) ∴ C = 10 – 13 ∴ C = –3.
Substituindo os valores de .
O primeiro termo se refere à transformada inversa de Laplace: 
 . No segundo termo, devem ser utilizados artifícios matemáticos a 
fim de separar o termo em dois. Os dois novos termos que serão obtidos correspondem à:
Portanto, completando o quadrado do denominador: (s2 + 4s + 13) = 
 (s + 2)2 + 9 ∴ (s + 2)2 + (3)2. Com isso, obtemos: 
 
Agora, comparando com os pares das transformadas de Laplace 13 e 14, 
vemos que o termo corresponde à transformada 13. Já no termo 
, utilizaremos um artifício matemático para que a expressão fique 
idêntica à transformada 14. Vamos lá?!
É preciso multiplicar o número 1 pelo número 3 no numerador, dessa forma, 
obtemos , o que não altera esse termo.
Finalmente, , em que a = 2, ω = 3. 
Com isso, a transformada inversa de Laplace é:
92
6 INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO
A convolução é uma operação que permite relacionar algumas fun-
ções com a transformada inversa do produto das suas transformações 
(PACHECO, 2011).
O termo convolução, segundo Alexsander e Sadiku (2003), significa “dobrar”. A 
operação de convolução é definida em sistemas lineares e invariantes no tempo. Ela 
possibilita, ao engenheiro, o estudo e a caracterização dos sistemas físicos.
Convolução é o nome dado a uma operação matemática entre dois sinais, cuja 
saída é um terceiro sinal. Apesar da simplicidade das operações envolvidas, 
apenas multiplicações e somas, o conceito de convolução é um dos mais 
importantes da engenharia elétrica, servindo de base para todo estudo 
envolvendo sistemas lineares invariantes no tempo (SLITs).
NOTA
A convolução tem, como objetivo, determinar a resposta y(t) de um sistema a 
uma dada excitação x(t), quando se conhece a resposta h(t) desse sistema ao impulso. 
A resposta é obtida através da integral de convolução dada pela expressão matemática:
Ainda, y(t) = x(t) * h(t), em que λ é uma variável auxiliar e o asterisco (*) representa 
a operação de convolução entre os dois sinais. Isso quer dizer que a saída é igual à 
entrada convoluída com a resposta ao impulso unitário.
O processo de convolução é cumulativo: y(t) = x(t) * h(t) = h(t) * x(t), ou
A ordem a partir da qual dois sinais são convoluídos não influencia no resultado.
A convolução de dois sinais consiste em inverter, no tempo, um dos sinais, 
deslocá-lo e multiplicá-lo, ponto a ponto, como o segundo sinal, integrando o produto 
(OPPENHEIM, 2010).
93
Todas as vezes em que desejamos calcular a saída de um SLIT a um sinal de 
entrada qualquer, devemos realizar uma operação de convolução entre o sinal 
de entrada e a resposta ao impulso do SLIT.
A convolução se aplica a qualquer sistema linear.
NOTA
NOTA
A integral de convolução pode ser simplificada se considerarmos que:
• x(t) = 0 para t < 0 , então, teremos:
• Se a resposta do sistema ao impulso é causal, ou seja, h(t) = 0 para t < 0, então, h(t – λ) 
= 0 para t – λ < 0 ou λ > t. Assim, a equação da convolução é reduzida para:
Listaremos algumas propriedades da integral de convolução (LATHI, 2007):
(1) Propriedade comutativa: x(t) * h(t) = h(t) * x(t).
(2) Propriedade distributiva: f(t) * [x(t) + y(t)] = f(t) * x(t) + f(t) * y(t).
(3) Propriedade associativa: f(t) * [x(t) * y(t)] = [f(t) * x(t)] * y(t).
(4) 
(5) f(t) * δ(t – t0) = f (t – t0).
(6) 
(7) 
δ(t) é a função impulso unitário no domínio do tempo.
94
A convolução no tempo é equivalente à multiplicação no domínio “s”, ou seja:
F1(s) F2(s) = ℒ [f1(t) * f2(t)]
Mostraremos essa característica através de um exemplo numérico.
Exemplo: Aplique a propriedade anterior, dados os sinais: x(t) = 4e–t, 
h(t) = 5e–2t.
Solução:
Esse exemplo é numérico, porém, é mais simples fazer a convolução de dois 
sinais se eles estiverem representados por gráficos. Segundo Oppenheim (2010), 
o processo de convolução de dois sinais no domínio do tempo é mais facilmente 
compreendido quando utilizamos um gráfico. Portanto, o processo gráfico, para calcular 
a integral de convolução, é realizado em quatro passos:
• Dobrar: faça a imagem refletida de h(λ) em relação ao eixo da variável dependente 
para obter h(–λ).
• Deslocamento: desloque ou atrase h(–λ) por t para obter h(t – λ).
• Multiplicação: determine o produto de h(t – λ) e x(λ).
• Integração: para um dado tempo t, calcule a área sob o produto h(t – λ)x(λ) para o 0 < 
λ < t para obter a resposta y(t) em t.
Em http://www.fit.vutbr.cz/study/courses/ISS/public/demos/conv/, há um 
programa que realiza a simulação da convolução. Vamos testá-lo?
DICAS
7 REPRESENTAÇÃO NO SCILAB OU NO OCTAVE
O algoritmo a seguir possibilita a simulação da convolução de dois sinais no 
Octave:
http://www.fit.vutbr.cz/study/courses/ISS/public/demos/conv/
95
96
RESUMO DO TÓPICO 2
 Neste tópico, você adquiriu certos aprendizados, como:
• A transformada inversa de Laplace é útil em casos nos quais se tem o sinal no domínio 
da frequência complexa “s”, além de se quer determiná-lo no domínio do tempo.
• Para fazer a transformação do domínio da frequência para o domínio do tempo, é 
preciso utilizar a tabela dos pares de transformadas de Laplace.
• Outra técnica matemática utilizada no cálculo da transformada inversa de Laplace é 
a expansão em frações parciais.
• A expansão em frações parciais é utilizada em três casos: (i) polos reais e distintos 
(polos simples); (ii) polos reais e repetidos (polos duplos ou múltiplos); e (iii) polos 
complexos conjugados.
• Quando há polos reais e distintos (polos simples), a expansão em frações parciais é 
feita da seguinte forma: 
• Quando há polos reais e iguais ou repetidos (polos duplos ou múltiplos), a expansão 
em frações parciais gera
• Uma equação do 2° grau genérica é dada por: a.x2 + b.x + c = 0, em que os coeficientes 
a, b, c são escalares reais.
• Uma equação de 2° grau, como o próprio nome indica, tem, sempre, duas raízes. 
Denominamos essas raízes de x' e x". Para encontrá-las, utilizamos uma expressão 
matemática, que é a fórmula de Báskhara.
• A expressão matemática conhecida como fórmula de Báskhara é dada por 
∆ = b2 – 4.a.c e
• O símbolo ∆ é a letra grega delta. Representa o discriminante da fórmula de Báskhara 
e tem um papel importante na expressão matemática, pois:
 ◦ Quando ∆ > 0, há duas raízes reais distintas:x' e x";
 ◦ Quando ∆ = 0, há duas raízes reais e iguais, ou seja, x'= x";
 ◦ Quando ∆ < 0, há duas raízes complexas conjugadas.
97
• As raízes complexas sempre aparecem aos pares e são conjugadas, ou seja, 
x' = 3 + j1 , então, x" = 3 – j1. j representa a parte imaginária do número complexo 
e é . Nesse caso, o número 3 é a parte real do número complexo x’ e 
1 é a parte imaginária. No caso do complexo conjugado, o número 3 é a parte real do 
número complexo x’’ e –1 é a parte imaginária.
• Quando há polos complexos conjugados, a expansão em frações parciais é dada por 
. 
• Quando há polos complexos conjugados, é comum que a transformada inversa de 
Laplace gere o seguinte:
• Nos casos descritos, geralmente, devemos utilizar a técnica de completar quadrados 
descrita neste tópico.
98
1 Qual a aplicação da transformada inversa de Laplace em sinais?
2 O que é expansão em frações parciais?
3 Encontre a transformada inversa de Laplace das seguintes funções no domínio da 
frequência complexa “s”:
a)
b)
c)
d)
e)
f) 
4 Encontre a f(t) das seguintes transformadas de Laplace:
a)
b)
c)
d)
5 O que é convolução de sinais?
AUTOATIVIDADE
99
TÓPICO 3 - 
PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS E O 
TEOREMA DE NYQUIST
1 INTRODUÇÃO
A evolução da tecnologia ocorre de forma muito rápida no mundo, principal-
mente, nos países desenvolvidos. Isso permite a aplicação dessa tecnologia nas mais 
variadas áreas, gerando equipamentos sofisticados, úteis e que, no passado, jamais 
imaginaríamos utilizar. 
A comunicação sem fio, hoje, é possível, mas nem sempre foi assim. Por esse 
motivo, acadêmico, observe como eram os equipamentos no passado, em 1904 até 
1980, e compare com os equipamentos atuais.
UNIDADE 2
FIGURA 2 – EQUIPAMENTOS ANALÓGICOS VERSUS EQUIPAMENTOS DIGITAIS
FONTE: IBMR LAUREATE INTERNATIONAL UNIVERSITIES (2013, s.p.)
Com isso, podemos concluir que os equipamentos analógicos foram, aos 
poucos, sendo substituídos por equipamentos de tecnologia digital. Na área de sinais 
e sistemas, esse avanço também ocorreu, dando início às telecomunicações, como as 
conhecemos hoje, com celulares, radares, sonares, GPS etc.
https://pt.slideshare.net/sergiosx?utm_campaign=profiletracking&utm_medium=sssite&utm_source=ssslideview
100
2 DISCUSSÃO
Atualmente, uma grande parte dos sistemas baseados em circuitos analógi-
cos de tempo contínuo passou a ser implementada através de sistemas digitais de 
tempo discreto. Isso ocorreu, porque, desde 1970, houve um grande aumento do de-
senvolvimento de placas dedicadas, como DSP’s (processadores digitais de sinais), 
microcontroladores, FPGA’s (matriz de portas programáveis em campo), Raspberry 
Pi etc.
FIGURA 3 – PLACAS DEDICADAS QUE PERMITEM O PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS
FONTE: O autor
Em http://repositorio.roca.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/5805, há um trabalho 
de conclusão de curso que utiliza o Raspberry Pi e o Beaglebone Black para 
processamento de sinais de áudio. Muito interessante, não?! Vamos lê-lo?
DICAS
As áreas que utilizavam sinais analógicos e, agora, utilizam sinais digitais, são: 
sistemas de telecomunicações, processamento de áudio e imagens, processamento de 
sinais de voz, sistemas de controle, indústria automotiva, equipamentos de consumo, 
indústria médica, aplicações militares e aplicações de som e voz.
http://repositorio.roca.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/5805
101
A tendência de digitalização de sistemas tem se tornado cada vez mais intensa. 
Um sinal de tempo contínuo pode ser completamente representado por seus valores ou 
amostras. Um sinal digital varia discretamente no tempo.
GRÁFICO 5 – SINAL ANALÓGICO AMOSTRADO EM SINAL DIGITAL
FONTE: Koerich (s.d., s.p.)
O processamento digital de sinais consiste em uma manipulação feita em um 
sinal para melhorar a qualidade em algum aspecto ou, ainda, criar efeitos especiais, 
melhorar a relação sinal ruído etc. A tecnologia de processamento digital é muito mais 
utilizada atualmente, mas há, também, a tecnologia de processamento analógica. 
A dimensão do processamento depende do número de sinais a ser processado, por 
exemplo:
• um sinal: intensidade, espectro, tempo ou múltiplo;
• um ou mais sinais: mistura (mixagem), síntese etc.
O processamento digital de sinais consiste na análise e na modificação de sinais 
(sequências discretas de números) de forma a extrair informações e torná-los mais 
apropriados para alguma aplicação específica. Mostraremos, de forma resumida, os três 
passos para o processamento digital de um sinal.
FIGURA 4 – ETAPAS PARA O PROCESSAMENTO DIGITAL DE UM SINAL
FONTE: Araújo (2012, p. 7)
102
O processamento digital de sinais pode ser usado para melhorar imagens, 
comprimir dados para transmissão e armazenamento, ajuda deficientes, reconhecimento 
e geração de voz, redução de ruído e melhoria de áudio. As aplicações do processamento 
digital de sinais são as mais variadas.
FIGURA 5 – APLICAÇÕES PRÁTICAS DE PDS
FONTE: Mello (2020, p. 312)
Na sequência deste tópico, abordaremos, de forma mais clara, os assuntos 
acerca da amostragem de sinais, o teorema de Nyquist, a conversão analógico/digital 
(A/D), a conversão digital/analógico (D/A) e a quantização de sinais.
3 AMOSTRAGEM E TEOREMA DE NYQUIST
Sob certas condições, um sinal de tempo contínuo pode ser completamente 
representado por seus valores ou amostras uniformemente espaçados no tempo. O 
processo pelo qual um sinal é convertido em uma representação digital é conhecido 
como conversão analógico digital (A/D).
O processo inverso de recuperação de um sinal contínuo, a partir das suas 
amostras, é chamado de conversão digital analógico (D/A). Na conversão analógico 
digital, é necessário haver um número discreto de amostras de um sinal contínuo, a 
chamada amostragem.
GRÁFICO 6 – SINAL DE TEMPO CONTÍNUO AMOSTRADO E TRANSFORMADO EM SINAL DISCRETO
FONTE: Mello (2020, p. 63)
103
Um conversor A/D transforma um sinal contínuo e analógico em uma sequência 
digital. O conversor A/D é formado por um amostrador, ou conversor contínuo discreto 
(C/D), um quantizador e um codificador.
FIGURA 6 – COMPONENTES DO CONVERSOR ANALÓGICO DIGITAL (A/D)
FONTE: Lathi (2007, p. 204)
O desafio a ser rompido na amostragem está com o número de amostras por 
segundo que devem ser pegas. Um número muito pequeno de amostras pode gerar 
uma representação demasiadamente pobre do sinal, ou, ainda, o sinal amostrado não 
ser coerente com o sinal original. A análise desse problema é resolvida utilizando o 
teorema de Shannon-Nyquist ou, apenas, o teorema de Nyquist. 
O teorema de Nyquist menciona que um sinal contínuo pode ser 
adequadamente amostrado se, e somente se, ele não contiver componentes 
de frequência acima da metade da frequência de amostragem (fs): , ou 
ainda, fs >> 2.fsinal .
A taxa de amostragem deve ser definida corretamente no momento da 
discretização do sinal. Filho (2011, p. 1) afirma que:
O critério de Nyquist especifica que um sinal precisa ser amostrado 
pelo menos duas vezes em cada ciclo de variação, isto é, a frequência 
de amostragem (frequência de Nyquist) precisa ser, no mínimo, o 
dobro da maior frequência presente no sinal. Se não for observado 
o critério, os sinais de mais alta frequência serão erroneamente 
registrados como de baixa frequência, e o fenômeno chamado alias 
aparece.
Agora, segue um exemplo numérico de como funciona o teorema de Nyquist.
Exemplo: Um sinal de 1000 MHz deve ser amostrado em que frequência?
Solução: O teorema de Nyquist cita que fs >> 2.fsinal ∴ fs >> 2.(1000x106) ∴ fs 
>> 2000 MHz, ou, ainda, fs >> 2 GHz. Então, o sinal deve ser amostrado a uma taxa de 
amostragem maior de 2 GHz.
http://astro.if.ufrgs.br/med/imagens/fourier.htm#Shannon
104
O teorema de Nyquist (também conhecido como teorema da amostragem) 
menciona que se amostrarmos um sinal contínuo com largura de banda Fmax 
a uma frequência maior ou igual a duas vezes Fmax, então, o sinalamostrado 
contém toda a informação do sinal contínuo, e é possível recuperar exatamente 
o sinal original a partir das amostras. Por exemplo, se for utilizada uma 
frequência de amostragem de 8000 Hz, consegue-se ter toda a informação de 
um sinal que tenha largura de banda 4000 Hz.
NOTA
Se um sinal for amostrado em uma taxa de amostragem menor do que duas 
vezes a frequência de Nyquist, uma ou mais componentes de frequência mais baixa 
são vistas nos dados amostrados. Esse fenômeno é conhecido como aliasing (NI 
INSTRUMENTS, 2018).
GRÁFICO 7 – ALIASING
FONTE: NI Instruments (2018, s.p.)
A  taxa de amostragem  é a frequência na qual o conversor analógico digital 
converte a forma de onda da entrada analógica em dados digitais.
NOTA
A taxa de amostragem deve ser, pelo menos, duas vezes a maior frequência que 
você quer analisar no sinal, mas, na maior parte das vezes, deveria ser, aproximadamente, 
cinco vezes maior. O  aliasing  ocorre quando falsos componentes de frequência 
aparecem nos dados amostrados. Quando o sinal analógico tem somente componentes 
no intervalo (0, fs/2), não ocorre aliasing.
105
Para evitar o fenômeno de aliasing, é preciso utilizar um pré-filtro passa-baixas 
para eliminar ou atenuar as componentes de alta frequência não essenciais para a 
informação do sinal. Segue uma representação do uso de um filtro passa-baixas para 
atenuar ou eliminar as componentes de alta frequência de um sinal limitado em banda.
GRÁFICO 8 – USO DE FILTRO PASSA-BAIXAS PARA EVITAR ALIASING EM SINAIS
FONTE: Oppenheim (2010, p. 320)
Vídeos de amostragem: https://www.youtube.com/watch?v=5VYN91rAres e 
https://www.youtube.com/watch?v=ruBWZBgC7BQ.
DICAS
Outro conceito importante em sinais é a largura de banda. Representa a medida 
da capacidade de transmissão de um determinado sinal ou rede, determinando a 
velocidade com que os dados trafegam através dessa rede ou meio. A largura de banda 
é medida em bits. Os bits determinam a medida de capacidade de um determinado meio 
de transmissão por uma dada unidade de tempo. Lembre-se: 8 bits correspondem a 1 
byte. Um problema da amostragem de sinais contínuos advém do fato de que muitos 
sinais não são limitados em banda.
https://www.youtube.com/watch?v=5VYN91rAres
https://www.youtube.com/watch?v=ruBWZBgC7BQ
106
GRÁFICO 9 – SINAL LIMITADO EM BANDA
FONTE: Oppenheim (2010, p. 321)
Para a reconstrução exata de um sinal, o teorema da amostragem requer que 
o sinal a ser amostrado tenha banda limitada e que a frequência de amostragem seja 
maior do que o dobro da frequência mais alta do sinal a ser amostrado. Em alguns 
casos, a reconstrução exata do sinal original é executada por meio da filtragem passa-
baixas ideal. 
A interpolação ideal de banda limitada é a interpretação, no domínio do tempo, 
do procedimento ideal de reconstrução do sinal. Porém, nas implementações práticas, o 
filtro passa-baixas é aproximado e a interpolação no domínio do tempo não é exata. Em 
alguns casos, o uso do retentor de ordem zero ou retentor de primeira ordem (interpolação 
linear) resolve esse problema (OPPENHEIM, 2010). Por esse motivo, estudaremos três 
processos de amostragem: amostragem com trem de impulsos, amostragem com 
retentor de ordem zero e amostragem com retentor de primeira ordem. Vamos lá?!
4 AMOSTRAGEM COM TREM DE IMPULSOS
A amostragem de um sinal de tempo contínuo, utilizando o trem de impulsos, 
é muito útil para relacionar o sinal descrito em tempo contínuo com o sinal descrito em 
tempo discreto. 
O amostrador por trem de impulsos é um amostrador fictício, ou seja, é 
um amostrador ideal de interesse puramente didático e matemático. Sobretudo, é 
interessante, ao futuro engenheiro, conhecê-lo.
107
FIGURA 7 – AMOSTRADOR COM TREM DE IMPULSOS
FONTE: Lathi (2007, p. 308)
x(t) é o sinal a ser amostrado, o trem de impulsos é conhecido como função 
de amostragem, Ts é o período de amostragem e xa(t) é o sinal amostrado. O sinal 
amostrado xa(t) é dado por:
A expressão matemática indica que a aplicação do trem de impulsos ao sinal x(t), 
ou seja, a multiplicação dos dois sinais impulso δ(t) e x(t), gera o sinal xa(t) amostrado 
por impulso.
O teorema da amostragem, que é explicado pela amostragem por trem de 
impulsos, menciona que um sinal de banda limitada é representado unicamente por suas 
amostras. Amostras tomadas suficientemente próximas em relação à frequência mais 
alta presente no sinal. Contudo, na prática, pulsos estreitos de grande amplitude, que 
aproximam os impulsos, são difíceis de gerar e transmitir. Por esse motivo, utilizamos, 
na prática, o retentor de ordem zero (HAYKIN; VEEN, 2002). Esse sistema amostra x(t) 
em determinado instante e mantém esse valor até o próximo instante no qual a amostra 
é tomada.
5 AMOSTRAGEM COM RETENTOR DE ORDEM ZERO 
(ZERO ORDER HOLD)
108
FIGURA 8 – RETENTOR DE ORDEM ZERO
Retentor de
ordem zero
FONTE: Oppenheim (2010, p. 308)
A reconstrução de x(t) a partir da saída de um retentor de ordem zero pode ser 
realizada por um filtro passa-baixas, o qual não possui ganho constante na banda de 
passagem.
Para determinar a característica de filtro exigida, observamos que a saída xo(t) 
do retentor de ordem zero pode ser gerada pela amostragem do trem de impulsos 
seguida por um sistema (SLIT) com uma resposta ao impulso retangular.
GRÁFICO 10 – RETENTOR DE ORDEM ZERO COMO AMOSTRAGEM POR TREM DE IMPULSOS SEGUIDO POR 
UM SLIT DE IMPULSO RETANGULAR E RESPOSTA IMPULSIVA
x(t)
t
xp(t)
t
x0(t)
t
FONTE: Oppenheim (2010, p. 309)
109
Para reconstruir x(t) a partir de xo(t), consideramos o processamento de xo(t) 
com um SLIT com resposta ao impulso e resposta em frequência.
Para finalizar o tema da amostragem, conversaremos acerca do retentor de pri-
meira ordem, também conhecido como interpolação linear entre os pontos das amostras.
6 AMOSTRAGEM COM RETENTOR DE PRIMEIRA ORDEM 
(INTERPOLAÇÃO LINEAR)
O ajuste de um sinal contínuo com um conjunto de amostras é usado para 
reconstruir uma função, aproximada ou não, a partir das amostras. Nesse caso, os 
pontos da amostra são ligados por uma linha reta. Segue um exemplo de interpolação 
linear entre os pontos das amostras. Observe que a curva tracejada é o sinal original e a 
curva de linha contínua representa a interpolação linear.
GRÁFICO 11 – INTERPOLAÇÃO LINEAR PARA AMOSTRAGEM DE SINAIS
FONTE: Oppenheim (2010, p. 310)
Conforme já comentamos, para um sinal de banda limitada se os instantes de 
amostragem forem próximos, o sinal pode ser reconstruído exatamente como o original. 
Utilizando um filtro passa-baixas, a interpolação pode ser realizada utilizando os pontos 
da amostra. Entretanto, no Tópico 3 da Unidade 3, estudaremos os tipos de filtros 
utilizados no processamento digital de sinais e suas aplicações mais comuns.
Note, ainda, que não aprofundamos muito o texto deste tópico, pois o objetivo 
desta disciplina é estudar os sinais e sistemas. O processamento digital de sinais será 
abordado com maior profundidade nos cursos da pós-graduação. Neste momento, 
estamos interessados em mostrar uma visão geral de como funciona o PDS, além da 
aplicação dele nos sistemas conhecidos.
Para finalizar, ressaltamos que há outras formas de interpolação mais complexas, 
entretanto, não iremos estudá-las em um curso de graduação. Outro conceito importante 
no processamento de sinais é a quantização, vamos vê-la?
110
7 QUANTIZAÇÃO
Além da amostragem, os sinais devem passar por outro processo, a fim de serem 
digitalizados. Esse processo é chamado de quantização. É conveniente separar os 
processos de amostragem e quantização, porém, na prática, é impossível distingui-
los. Observe a sequência dos passos que um sinal analógico segue para se tornar um 
sinal digital.
FIGURA 9 – AMOSTRAGEM E QUANTIZAÇÃO DE UM SINAL ANALÓGICO
FONTE: Vieira (2020, p. 2)
Na etapa de quantização, são atribuídos valores discretos para um sinal cuja 
amplitude varia entre valores de –∞ a +∞. O quantizador é o equipamento que realiza 
a discretizaçãodo sinal em amplitude. Segue um sinal de entrada contínuo, sendo 
inserido em um amostrador que trata da discretização do sinal no tempo. 
FIGURA 10 – REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO SINAL E DO QUANTIZADOR
FONTE: Vieira (2020, p. 6)
A quantização de um sinal significa converter cada ponto do sinal amostrado 
em um número binário. Observe um exemplo de quantização de um sinal a 8 bits, 7 bits, 
3 bits e 2 bits, respectivamente.
111
GRÁFICO 12 – QUANTIZAÇÃO DE SINAL
FONTE: Barreto (s.d., s.p.)
Os processos de amostragem e quantização restringem a quantidade 
de informação presente no sinal digital. Há uma perda de informação devido 
ao intervalo entre os instantes de amostragem e a precisão na quantização 
(número de bits).
O erro de quantização pode ser tratado como um ruído aleatório que 
aparece somado ao sinal. Quanto maior o número de níveis e menor a distância 
entre eles, menor será o erro de quantização. O erro máximo de quantização é 
dado por , sendo LSB o bit menos significativo. Pode ser tratado como 
um ruído uniformemente distribuído entre . 
Em imagens, a digitalização dos valores de coordenadas é chamada de amos-
tragem, e a digitalização dos valores de amplitude é chamada de quantização.
NOTA
8 PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE 
TEMPO CONTÍNUO
Em muitas aplicações, há vantagens de se realizar o PDS de um sinal de tempo 
contínuo. Primeiramente, converte-se o sinal de tempo contínuo em tempo discreto; 
após isso, o sinal de tempo discreto é novamente convertido para tempo contínuo.
112
O processo de transformar um sinal de tempo contínuo em tempo discreto é 
chamado de amostragem. O processo inverso é dito interpolação ou reconstrução. 
FIGURA 11 – ETAPAS DO PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS
FONTE: O autor
Segundo Mello (2020), são diversas as vantagens ao utilizar o PDS com sistemas 
digitais:
• entrada e saída de computadores;
• sinais de controle digital;
• disponibilidade, no mercado, de componentes pequenos, confiáveis e de baixo custo, 
que são conhecidos como circuitos integrados;
• simplicidade no projeto de circuitos e facilidade no uso de circuitos integrados;
• popularização do uso de computadores digitais no processamento de todo tipo de 
dados e sinais;
• armazenamento de sinais realizado de modo simples e econômico, utilizando-se 
memórias digitais;
• aumento do uso e disponibilidade de algoritmos de processamento digital de sinais 
(DSP);
• flexibilidade do formato digital, que permite a combinação, em um mesmo canal, de 
uma variedade de diferentes tráfegos (telégrafo, dados, voz, imagem, vídeo etc.). 
Multiplexação feita de forma simples e econômica. Transmissão com velocidade 
ajustável em função do tráfego e qualidade;
113
• uso de parte do sinal digital para controlar o progresso do sinal através do sistema;
• possibilidade da codificação da fonte, reduzindo redundância, isto é, compactando 
os dados. Codificação do canal, combatendo os efeitos do ruído, interferências etc.
• aplicações de técnicas de criptografia, garantindo a privacidade e autenticidade da 
comunicação.
O processamento do sinal de tempo discreto pode ser implementado em um 
computador, com microprocessadores ou com outros dispositivos próprios para PDS. 
A base teórica para a conversão de um sinal de tempo contínuo em um sinal de tempo 
discreto e a reconstrução de um sinal de tempo contínuo a partir da sua representação 
de tempo discreto se dão pelo teorema da amostragem. Através do processo de amos-
tragem periódica, com frequência de amostragem consistente, com as condições do 
teorema da amostragem, o sinal de tempo contínuo x(t) é exatamente representado por 
uma sequência de valores de amostra instantânea x(nT). Isso significa que a sequência 
de tempo discreto x[n] está relacionada a x(t) pela expressão x[n] = x(nT). Essa conver-
são é chamada de conversão de tempo contínuo para discreto, e é abreviada por C/D.
FIGURA 12 – PROCESSAMENTO DE TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO
FONTE: Oppenheim (2010, p. 317)
A operação contrária corresponde ao terceiro sistema e é chamada de conversão 
de tempo discreto para tempo contínuo, abreviada por D/C. Utiliza interpolação entre os 
valores da amostra tidos como entrada, e produz um sinal de tempo contínuo y(t) que 
está relacionado com o sinal de tempo discreto y[n], pela expressão y[n] = y(nT).
Em sistemas, como computadores digitais e sistemas digitais, nos quais o sinal 
de tempo discreto é representado em forma digital, o dispositivo usado é o conversor 
analógico digital (A/D).
114
FIGURA 13 – CONVERSOR ANALÓGICO DIGITAL (A/D)
FONTE: Autocorerobótica (2020, s.p.
Já o dispositivo que realiza a conversão D/C é o conversor digital analógico 
(D/A).
FIGURA 14 – CONVERSOR DIGITAL ANALÓGICO (D/A)
FONTE: Wikipedia (2019b, s.p.)
Segue um conversor digital para áudio. Note a diferença de tamanho quando 
comparado ao componente da figura anterior.
115
FIGURA 15 – CONVERSOR PARA ÁUDIO
FONTE: Magazine Luiza (2020, s.p.)
Para compreender a relação entre o sinal de tempo contínuo x(t) e sua 
representação de tempo discreto x[n], é adequado representar C/D como um processo 
de amostragem periódica seguido por um mapeamento do trem de impulsos para uma 
sequência (OPPENHEIM, 2010).
Na primeira etapa, no processo de amostragem, o trem de impulsos xp(t) 
corresponde a uma sequência de impulsos cm amplitude, correspondendo às amostras 
de xc(t) e com um espaçamento de tempo igual ao período de amostragem T.
Na conversão do trem de impulsos para a sequência de tempo discreto, 
obtemos xd[n], correspondendo à uma mesma sequência de amostras de xc(t), mas 
com espaçamento unitário em termos da nova variável independente “n”. A conversão 
da sequência do trem de impulsos das amostras para a sequência de amostras de 
tempo discreto pode ser considerada como uma normalização no tempo.
A taxa de amostragem deve ser definida corretamente no momento da 
discretização do sinal.
NOTA
9 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS NO OCTAVE
Neste ponto da disciplina, estamos sugerindo dois exercícios de simulação em 
Octave para ilustração dos conceitos abordados neste tópico. Vamos lá?!
Exercício 1 (YNOGUTI, 2019) – Gere um sinal digital de 1000 amostras que 
simule um sinal analógico, consistindo em uma única senoide de frequência 30 Hz, 
amostrada a 2 kHz por 1 segundo.  Plote esse sinal digital com o eixo x, sendo, o tempo, 
de 0 a 1 s.
116
 % Gerando sinal de 30 Hz amostrado a 1kHz:
>> fs = 2000; % Frequência de amostragem em Hertz.
>> f = 30; % Frequência do sinal a ser gerado em Hertz.
>> t=0:1/fs:1; % Geração do eixo de tempo (1 segundo).
>> y=sin(2*pi*f*t); % Geração do sinal.
% Mostrando o sinal gerado
>> plot(t,y)
>> title("Sinal amostrado a 1kHz");
>> xlabel("tempo (s)");
>> ylabel("amplitude (V)");
>> grid
Exercício 2 (YNOGUTI, 2019) – Simule a amostragem desse sinal analógico 
a 300 Hz, descartando 4 amostras a cada 5 do sinal digital que você criou no passo 1.
% Reamostrando o sinal a 300 Hz:
>> tamanho = length(y);
>> t1 = 1;
>> t2 = 1;
>> while (t1 < tamanho)
>> y300(t2) = y(t1);
>> t1 = t1 + 5;
>> t2 = t2 + 1;
>> end
117
PIERRE SIMON LAPLACE
28 de março de 1749, Beaumont-en-Auge (França) 
5 de março de 1827, Paris (França)
Pierre Simon, marquês de Laplace, era filho de camponeses. De sua infância 
e juventude pouco se sabe, ao que parece, porque o próprio Laplace, envergonhado 
da origem humilde, muito fez por obscurecê-la e ocultá-la. Crescendo na aldeia natal 
devido à fama do seu talento, aos 18 anos, graças ao auxílio de vizinhos poderosos, 
pôde se transferir para Paris. Tendo Jean le Rond D'Alembert se recusado a recebê-
lo, não obstante cartas de recomendação trazidas da província, Laplace soube se 
insinuar em sua intimidade, enviando-lhe missiva que teve, por tema, os princípios 
gerais da mecânica. 
Mais tarde, graças à mediação de D'Alembert, Laplace se tornou professor de 
matemática da Escola Militar de Paris. Aos 24 anos, graças, principalmente, aos seus 
trabalhosa propósito do sistema solar, Laplace se viu elevado à posição de membro 
associado da Academia de Ciências, da qual se tornou membro ordinário 12 anos 
depois. Laplace viveu a  Revolução Francesa  em relativa segurança, embora talvez 
isso tenha ocorrido tão somente porque ele se revelara capaz de calcular a trajetória 
dos projéteis de artilharia e de orientar a fabricação da pólvora. Após a revolução, 
no conturbado período político que se seguiu, Laplace se revelou capaz de notável 
mimetismo político, acomodando-se às sucessivas facções dominantes e, de todos, 
obtendo cargos e honrarias.
É estável ou instável o sistema solar?
Tornando-se professor da Escola Militar de Paris, Laplace encontrou meio de 
se dedicar à obra que, por toda a vida, o empolgou: a aplicação pormenorizada das leis 
de Newton a todo o sistema solar. Partindo dessas leis, propôs-se a estudar os efeitos 
combinados das perturbações de todos os elementos do sistema solar sobre cada qual 
deles e sobre o Sol, buscando responder a perguntas, como: "As acelerações suportadas 
por Júpiter e pela Lua virão, afinal, a fazer com que o primeiro se precipite contra o Sol 
e a segunda contra a Terra? Os efeitos dessas perturbações são cumulativos ou apenas 
periódicos e iguais?"
LEITURA
COMPLEMENTAR
http://educacao.uol.com.br/historia/ult1704u85.jhtm
http://educacao.uol.com.br/biografias/ult1789u549.jhtm
118
Essas e outras indagações semelhantes tinham o propósito de permitir 
a elucidação do grande problema: é estável ou instável o sistema solar? Aos 24 
anos, Laplace procurou demonstrar que as distâncias médias dos planetas ao 
Sol permanecem invariáveis, salvo ligeiras alterações periódicas. Não obstante, 
o significativo alcance do trabalho realizado para demonstração da estabilidade 
do sistema solar, importa referir que Laplace não levou em conta, ao oferecê-la, 
numerosos fatos só posteriormente conhecidos.
A demonstração de Laplace vigora apenas para o modelo idealizado que ele 
concebeu, e o problema, no conjunto da sua complexidade, continua aberto. A obra-
prima de Laplace, Mecânica Celeste, onde ele reúne o conjunto de seus trabalhos 
matemáticos em articulada síntese, foi publicada ao longo de um período de 26 anos, 
entre 1799 e 1825. Omitindo cálculos e passagens intermediárias, para só se interessar 
pelas conclusões, Laplace tornou a obra extremamente concisa e de leitura dificílima.
 
Resumo acessível dos principais resultados foi publicado em 1796, sob o título 
Exposição do Sistema do Mundo. Nessa obra e na sua longa introdução não matemática, 
Laplace se revelou escritor excelente.
 
A introdução dessa obra, não obstante, os muitos avanços posteriores, continha 
leitura recomendável para os que desejam se informar do objeto e importância do 
cálculo das probabilidades, independentemente de argumentos técnicos.
 
Um diálogo entre Laplace e  Napoleão Bonaparte  mostra, além das posições 
filosóficas do cientista, o valor moral de que ele era capaz quando estavam em jogo 
suas verdadeiras convicções. Disse-lhe Napoleão, à vista da Mecânica Celeste e 
pensando embaraçá-lo: "Escrevestes este enorme livro sobre o sistema do mundo sem 
mencionar uma só vez o autor do universo". E ouviu a réplica de Laplace: "Senhor, não 
senti necessidade dessa hipótese" (ENCICLOPÉDIA MIRADOR INTERNACIONAL).
FONTE: UOL. Pierre Simon Laplace. 2020. Disponível em: https://educacao.uol.com.br/biografias/
laplace.jhtm. Acesso em: 30 maio 2020.
http://educacao.uol.com.br/biografias/ult1789u153.jhtm
https://educacao.uol.com.br/biografias/laplace.jhtm
https://educacao.uol.com.br/biografias/laplace.jhtm
119
RESUMO DO TÓPICO 3
 Neste tópico, você adquiriu certos aprendizados, como:
• O processamento digital de sinais (PDS) fornece um método alternativo para 
processar o sinal analógico.
 
• O PDS é baseado no processamento de sequências de amostras. Para isso, o sinal de 
tempo contínuo é convertido nessa sequência de amostras, ou seja, convertido em 
um sinal de tempo discreto. Após o processamento digital, a sequência de saída pode 
ser convertida novamente em um sinal de tempo contínuo.
• As aplicações do PDS são as mais variadas: processamento digital de imagens; 
equipamentos nas áreas militar, médica; telecomunicações; sonares; radares; GPS; 
áudio; vídeo; celulares etc.
• A amostragem de um sinal é um processo para a obtenção de amostras de um sinal 
contínuo, em instantes de tempo igualmente espaçados.
• Amostrar  é o processo no qual se converte um sinal (por exemplo, uma função 
contínua no tempo ou espaço) em uma sequência numérica (uma função discreta no 
tempo ou espaço).
 
• Um certo cuidado deve ser tomado na escolha da frequência com a qual as amostras 
são obtidas, pois, se tal frequência for muito lenta, a posterior reconstrução do sinal 
pode não ser mais possível.
• O limite para que o processo seja bem-sucedido é definido pelo teorema da 
amostragem ou teorema de Nyquist. Esse teorema é muito útil em PDS.
• O teorema de Nyquist cita que um sinal contínuo pode ser adequadamente amostrado 
se, e somente se, ele não contiver componentes de frequência acima da metade da 
frequência de amostragem (fs): , ou ainda, fs >> 2.fsinal.
• A quantização de um sinal significa converter cada ponto do sinal amostrado em 
um número binário.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Amostragem_de_sinal
120
1 O que é processamento digital de sinais (PDS)?
2 O que é convolução de dois sinais?
3 Quais as aplicações do PDS?
4 O que é amostragem e quantização?
5 O que é e para que serve o teorema de Nyquist?
AUTOATIVIDADE
121
REFERÊNCIAS
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Bookman, 2003.
ARAÚJO, A. F. R. Sinais e sistemas. Recife: UFPE, [s.d.]. Disponível em: https://www.
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CicloDeSeminarios2012.1_Joseana.pdf. Acesso em: 30 maio 2020.
AUTOCOREROBÓTICA. ADC0804 - Conversor Analógico Digital A/D. 2020. 
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HAYKIN, S.; VEEN, B. V. Sinais e sistemas. São Paulo: Bookman, 2002.
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https://www.cin.ufpe.br/~es413/aulas/SS-ufpe-aula-05-analise-sistemas-continuos-por-Laplace.pdf
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http://www.dsc.ufcg.edu.br/~pet/ciclo_seminarios/tecnicos/2012/CicloDeSeminarios2012.1_Joseana.pdf
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https://www.amazon.com.br/s/ref=dp_byline_sr_ebooks_2?ie=UTF8&field-author=Jack+E.+Kemmerly&text=Jack+E.+Kemmerly&sort=relevancerank&search-alias=digital-text
https://www.amazon.com.br/s/ref=dp_byline_sr_ebooks_3?ie=UTF8&field-author=Steven+M.+Durbin&text=Steven+M.+Durbin&sort=relevancerank&search-alias=digital-text
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122
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https://www.magazineluiza.com.br/conversor-digital-analogico-wave-sound-wda-unidade/p/dg2hg06014/et/cndg/
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https://www.cin.ufpe.br/~cabm/pds/PDS.pdf
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https://www.ni.com/pt-br/innovations/white-papers/06/acquiring-an-analog-signal--bandwidth--nyquist-sampling-theorem-.htm.
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https://educacao.uol.com.br/biografias/laplace.jhtm
https://educacao.uol.com.br/biografias/laplace.jhtm
http://iris.sel.eesc.usp.br/sel414m/Aula 20 - Teoria da Amostragem.pdf
http://iris.sel.eesc.usp.br/sel414m/Aula 20 - Teoria da Amostragem.pdf
https://pt.wikipedia.org/wiki/Conversor_digital-anal%C3%B3gico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Conversor_digital-anal%C3%B3gico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace
https://www.inatel.br/docentes/ynoguti/graduacao-sp-2113502489/50-amostragem-e-quantizacao
https://www.inatel.br/docentes/ynoguti/graduacao-sp-2113502489/50-amostragem-e-quantizacao
123
TRANSFORMADA DE FOURIER 
PARA SINAIS DE TEMPO 
CONTÍNUO E SINAIS
DISCRETOS NO TEMPO
UNIDADE 3 — 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• apresentar os aspectos relacionados à Série de Fourier e à Transformada de Fourier;
• compreender as propriedades das transformadas de Fourier;
• saber representar os sinais em série de Fourier e em transformada de Fourier;
• introduzir aspectos práticos de análise de sinais em ambiente Octave, indicando suas 
aplicações em sinais e sistemas;
• saber utilizar a Série de Fourier para representar funções periódicas;
• introduzir a definição clássica de Transformada de Fourier e mostrar exemplos;
• introduzir o conceito de Transformada de Fourier Discreta e de Transformada Rápida 
de Fourier;
• apresentar noções de filtros para sinais e sistemas.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer dela, você encontrará 
autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO (SINAIS 
PERIÓDICOS)
TÓPICO 2 – TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SINAIS DISCRETOS NO TEMPO (SINAIS 
APERIÓDICOS)
TÓPICO 3 – FILTROS PARA SINAIS
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure 
um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações.
CHAMADA
124
CONFIRA 
A TRILHA DA 
UNIDADE 3!
Acesse o 
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125
TÓPICO 1 — 
TRANSFORMADA DE FOURIER PARA 
SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO (SINAIS 
PERIÓDICOS)
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Os sistemas de comunicação aplicam os princípios de cálculo, de análise de 
circuitos elétricos e de sinais e sistemas. Um sistema de comunicação é projetado 
para transportar informação de uma fonte transmissora para um receptor através de 
um canal ou meio de propagação. Os engenheiros eletricistas e de telecomunicações 
projetam sistemas para a transmissão e recepção de informações. Essas informações 
podem ser dados, vozes ou vídeos. Vivemos na era da informação, na qual todas as 
transações de compras e vendas, pagamentos e transferências bancárias, e até o lazer, 
são propiciados pela internet, como: esportes, notícias, previsão do tempo, lives de 
músicos etc. Alguns sistemas típicos de comunicação são: telefonia fixa e celular, rádio, 
fax, radares, sonares, TVs a cabo e via satélite, redes de internet e computadores, 5G 
etc. A figura a seguir mostrará alguns meios de comunicação.
FIGURA 1 – MEIOS DE COMUNICAÇÃO ATUAIS
FONTE: Toda Matéria (2020, s.p.)
126
O rádio móvel utilizado pela polícia, pelo corpo de bombeiros, pelos aviões é 
outro exemplo de sistemas de comunicações. Dentro da engenharia elétrica e de 
telecomunicação, a área de comunicações é a que cresce com mais intensidade.
 
A seguir, mostraremos uma infraestrutura genérica para uma rede 5G.
FIGURA 2 – REDE 5G
FONTE: Share América (2020, s.p.)
A união da área das comunicações com as tecnologias computacionais nos 
anos recentes ocasionou as redes digitais de comunicação de dados, como asredes 
locais, metropolitanas e redes digitais de integração de serviços.
A internet nos possibilita as aulas a distância, vídeo conferências em tempo real 
para empresas, e que as pessoas enviem correspondências eletrônicas, que alcancem 
bases de dados remotas e transfiram seus arquivos ao redor do mundo com apenas 
um click. A internet mudou a forma como as pessoas fazem negócios, relacionam-
se, comunicam-se e obtêm informações. Os engenheiros projetam sistemas de 
comunicações de alta qualidade, nos quais o hardware serve para geração, transmissão 
e recebimento de sinais. Muitas agências governamentais, departamentos acadêmicos 
e empresas necessitam transmitir informações de forma rápida e mais precisa, 
interruptamente. 
Os engenheiros devem estar preparados para atender a essas demandas. Nesta 
unidade, abordaremos a série de Fourier, a transformada de Fourier e os filtros de sinais. 
Vamos lá?!
127
2 SÉRIE DE FOURIER
Na engenharia, a senoide é a função periódica mais simples e útil. Com isso, 
podemos afirmar que a série de Fourier é uma técnica para representar uma função 
periódica no tempo, em termos de somas de senoides. Uma função periódica é aquela 
que se repete a cada T segundos, em que T é o período da função. Ou seja, uma função 
periódica no tempo f(t) satisfaz a seguinte condição, expressada na Equação (1):
f(t) = f(t + nT);
sendo “n” um número inteiro.
As séries de Fourier são classificadas como:
• Trigonométrica.
• Exponencial.
Vamos conhecê-las?!
(1)
2.1 SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER
Enquanto Fourier estudava o fluxo térmico, ele descobriu que uma função 
periódica não senoidal pode ser expressa como uma soma finita de senoides. De 
acordo com o teorema de Fourier, qualquer função periódica de frequência ω0 pode ser 
expressa como uma soma infinita de funções seno ou cosseno com múltiplos inteiros 
de ω0. Então, a Equação (2) mostra essa soma infinita de funções:
Generalizando, temos a expressão matemática mostrada na Equação (3):
Note que o termo a0 corresponde à corrente contínua, enquanto o termo 
mostrado na Equação (4):
(2)
(4)
(3)
128
corresponde à corrente alternada, sendo a frequência fundamental 
da função, dada em [rad/s]. Ela será uma harmônica ímpar se “n” for ímpar e uma 
harmônica par se “n” for par. 
Harmônicas, no sistema elétrico, são as correntes harmônicas que se somam 
com a corrente fundamental. Elas prejudicam a qualidade da energia elétrica 
fornecida aos consumidores, causando distorções na forma de onda original do 
sistema elétrico. São causadas por equipamentos que têm cargas não lineares, 
como diodos, transistores e tiristores. Alguns exemplos de equipamentos 
que injetam harmônicas na rede elétrica são: máquinas de lavar roupas, 
computadores, notebooks, videogames e nobreaks.
As senoides possuem valor médio nulo, pois são funções simétricas e 
periódicas com período fundamental T0.
NOTA
NOTA
Com isso, a Equação (3) é chamada de série trigonométrica de Fourier 
da função f(t), e os escalares an e bn são ditos coeficientes da série de Fourier. O 
coeficiente a0 é o componente de corrente contínua da função f(t), ou, ainda, o 
valor médio da série trigonométrica de Fourier.
Contudo, as constantes an e bn, quando “n” é um valor diferente de zero, são 
as componentes de corrente alternada das senoides, também ditas amplitudes das 
senoides.
Ainda, podemos dizer que a frequência harmônica ωn é um múltiplo inteiro da 
frequência fundamental ω0, conforme mostra a Equação (5):
ωn = n.ω0.
Com isso, concluímos que a série trigonométrica de Fourier de uma função 
periódica f(t) é a representação que separa f(t) em um componente cc e um componente 
ca, contendo uma série infinita de senoides harmônicas (ALEKSANDER; SADIKU, 2003).
(5)
129
Foi Dirichlet que forneceu uma prova satisfatória para o teorema da série 
de Fourier, após sua publicação, em 1822. Por esse motivo, os critérios de 
convergência da série de Fourier são ditos condições de Dirichlet.
NOTA
Uma função que pode ser representada por uma série de Fourier deve atender a 
algumas regras, pois a série infinita mostrada na Equação (3) pode ser convergente ou 
divergente. Os critérios, também chamados de condições de Dirichlet, para que f(t) seja 
uma série de Fourier convergente, são:
• a função f(t) deve ter apenas um único valor;
• f(t) deve possuir um número finito de descontinuidades finitas em qualquer período;
• f(t) possui um número finito de pontos de máximos e mínimos em qualquer período;
• a integral para todo t0.
Essas condições não são necessárias, entretanto, são suficientes para que a 
série de Fourier exista.
Acadêmico, o maior desafio que você deve encontrar nesse assunto é definir os 
coeficientes a0, an e bn da série de Fourier. Esse processo é conhecido como “análise de 
Fourier”.
As seguintes integrais trigonométricas são muito úteis na análise de Fourier, 
vamos conhecê-las?!
Para quaisquer escalares inteiro “m” e “n”, temos que:
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
130
Na sequência, utilizaremos essas identidades trigonométricas para determinar 
os coeficientes a0, an e bn da série de Fourier. Vamos iniciar essa análise através da 
determinação de a0. Para tanto, vamos integrar os dois lados da Equação (3) em um 
período T:
(13)
(14)
Agora, utilizando as identidades (6) e (7), as duas identidades que contêm os 
termos ca desaparecem, restando:
Ou
(15)
(16)
(17)
(18)
A Equação (16) mostra que a0 é o valor médio da função f(t). O segundo passo é 
determinar an. Para tanto, multiplica-se os dois lados da Equação (3) por cos(mω0t) e se 
integra em um período T, conforme mostra a Equação (17):
Com isso, podemos notar que a integral contendo a0 é zero em função da 
Equação (7), enquanto a integral contendo bn desaparece, de acordo com a Equação 
(8). A integral contendo na será zero exceto quando m = n, ou seja, quando ele for igual 
a , de acordo com as Equações (10) e (12):
131
(13)
(14)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
Ou
De forma análoga, obtemos bn:
Como f(t) é periódica, pode ser mais vantajoso integrar an e bn de –T/2 
até +T/2. Ainda, outra abordagem de integração seria de t0 a (t0+T). Um aspecto 
interessante ao utilizar qualquer um desses limites de integração é que o resultado 
não muda. Uma forma alternativa da Equação (3) é a Equação (22), denominada de 
forma amplitude-fase:
Aplicando a identidade trigonométrica da Equação (23) na Equação (22):'
cos(α + β) = cos(α).cos(β) – sen(α).sen(β)
Obtemos:
Com isso, temos que:
an = An.cos(∅n) e bn = –An.sen(∅n)
132
Obtemos a expressão para a amplitude:
A expressão para a fase:
Então, o módulo e a fase são dados por:
An ∠ ϕn = an – jbn
O gráfico da amplitude An das harmônicas em função de n.ω0 é dito “espectro de 
amplitudes” da função f(t), e será exemplificado a seguir.
(26)
(27)
(28)
GRÁFICO 1 – ESPECTRO DE AMPLITUDES DE F(T)
FONTE: Deckmann e Pomilio (2020, p. 5)
O gráfico da fase ∅n, em função de n.ω0, é o espectro de fase de f(t). Os dois 
gráficos, ou seja, o espectro de amplitude de fase forma o espectro de frequência de f(t).
O espectro de frequência de um sinal é dado pelos gráficos de fase e de 
amplitude das harmônicas no eixo y em função da frequência no eixo x. Ele 
também pode ser denominado de espectro de linha, em engenharia elétrica, 
devido às componentes discretas de frequência.
NOTA
133
Contudo, podemos afirmar que a análise de Fourier é uma ferramenta matemática 
para a determinação do espectro de um sinal periódico (HSU, 2004).
Exemplo: Determine a série de Fourier da forma de onda mostrada a seguir:
GRÁFICO 2 – ONDA QUADRADA
FONTE: Aleksander e Sadiku (2003, p. 648)
Solução: A série de Fourier é dada pela equação:
 .
Nosso objetivo é obter os coeficientes de a0, an e bn, usando:
A forma de onda quadrada pode ser escrita na forma matemática, como:
f(t) = 1, 0 < t < 1 e,
f(t) = 0, 1 < t <2.
E f(t) = f(t + T). Como T = 2, . Portanto, para encontrar a0, 
faremos:
Para encontrar an, faremos:
134
Para encontrar bn, temos que:
aplicando os limites de 0 até 1, temos:
 , n = ímpar e 0, n = par.
Com isso, podemos substituir os valores de a0, an e bn na série de Fourier:
Como f(t) contém apenas o componente cc e os termos em seno no componente 
fundamental e nas harmônicas ímpares, pode ser escrita como:
3 SIMETRIAS
A observação da simetria das funções permite que saibamos, de antemão, 
quais os coeficientes da série de Fourier serão zeros, evitando, assim, o cálculo dos 
coeficientes. Há três tipos de simetria em funções: (a) par; (b) ímpar; e (c) meia onda.
(A) SIMETRIA PAR
Uma função f(t) é par se o seu gráfico for simétrico em relação ao eixo vertical, 
ou seja:
f(t) = f(–t)
Seguem três exemplos de funções periódicas de simetria par: (a) função 
triangular; (b) função trem de pulsos quadrado; e (c) função senoide retificada de 
onda completa.
(29)
135
GRÁFICO 3 – EXEMPLOS DE FUNÇÕES PERIÓDICAS COM SIMETRIA PAR
FONTE: Haykin e Veen (2002, p. 137)
Exemplo: Determine a série de Fourier da função cosseno retificada em meia 
onda, mostrada a seguir:
GRÁFICO 4 – FUNÇÃO COSSENO RETIFICADA EM MEIA ONDA - FUNÇÃO PAR
FONTE: Aleksander e Sadiku (2003, p. 659)
Solução: A função f(t) é uma função par, com isso, bn = 0. Além disso: 
T = 4; 
136
Em um período, temos que:
Para encontrar a0, faremos:
Como , logo:
Para n = 1, a1 = ½ e, para n > 1, 
Para n = ímpar (n = 1, 3, 5, ...)(n + 1) e (n – 1) pares:
Para n = par (n – 2, 4, 6, ...)(n + 1) são ambas ímpares. Além disso, temos que:
Então, an é dado por:
Portanto:
137
Para evitar utilizar n = 2, 4, 6, ... e para facilitar os cálculos, podemos substituir n 
por 2k, sendo k = 1, 2, 3, ..., obtendo-se:
Essa é uma série em cosseno de Fourier.
(B) SIMETRIA ÍMPAR
Uma função f(t) é ímpar se o seu gráfico for antissimétrico em relação ao eixo 
vertical (ou seja, há os mesmos valores, mas com sinal trocado), ou seja:
f(–t) = –f(t)
Observe três exemplos de funções periódicas de simetria ímpar: (a) função 
triangular; (b) função quadrada; e (c) função quadrada.
(30)
GRÁFICO 5 – EXEMPLOS DE FUNÇÕES PERIÓDICAS COM SIMETRIA ÍMPAR
FONTE: Haykin e Veen (2002, p. 140)
138
Exemplo: Determine a expansão em série de Fourier para a função dada a 
seguir:
GRÁFICO 6 – FUNÇÃO QUADRADA
FONTE: Aleksander e Sadiku (2003, p. 658)
Solução: Essa é uma função ímpar, portanto, a0 = an = 0. O período é T = 4; 
 portanto:
Logo, a série de Fourier é dada por:
(C) SIMETRIA DE MEIA ONDA
Uma função possui simetria ímpar de meia onda se:
 (31)
O que significa que cada meio ciclo é a imagem espelhada do próximo meio 
ciclo. As funções seno de (n.ω0.t) e cosseno de (n.ω0.t) possuem simetria ímpar de meia 
onda e, portanto, satisfazem a Equação (31). Portanto, quando n é ímpar, as funções 
seno e cosseno possuem simetria de meia onda.
139
Seguem exemplos de funções de simetria ímpar de meia onda.
GRÁFICO 7 – EXEMPLOS DE FUNÇÕES DE SIMETRIA ÍMPAR DE MEIA ONDA
FONTE: Haykin e Veen (2002, p. 145)
Exemplo: Calcule a série de Fourier para a função mostrada a seguir:
GRÁFICO 8 – ONDA TRIANGULAR DE SIMETRIA ÍMPAR E DE MEIA ONDA
FONTE: Aleksander e Sadiku (2003, p. 660)
Solução: A função da Figura n possui uma simetria ímpar e de meia onda, de tal forma 
que a0 = an = 0. É descrita em meio período por f(t) = t e –1 < t <1.
Então, o período é dado por T = 4, . Logo, temos que:
Vamos integrar de –1 até 1, então:
 
integrando de –1 até 1:
sen(–x) = –sen(x) como função ímpar, enquanto cos(–x) = cos(x) como 
função par. Usando as identidades para e da tabela de 
identidades trigonométricas, temos que:
140
FIGURA 3 – REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES PAR E ÍMPAR USANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FONTE: Aleksander e Sadiku (2003, p. 660)
Portanto, , sendo bn dada pela expressão anterior.
Assista ao vídeo de exercícios resolvidos das séries de Fourier pares e 
ímpares em: https://www.youtube.com/watch?v=HeGRw8M9p3k.
DICAS
DICAS
Assista ao vídeo sobre um exercício resolvido da série de Fourier com simetria 
ímpar em: https://www.youtube.com/watch?v=1vm6XWBucDs.
4 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
• A multiplicação de duas funções pares também é uma função par.
• A multiplicação de duas funções ímpares é uma função par.
• A multiplicação de uma função par por uma função ímpar é uma função par.
• A adição ou a subtração de duas funções pares é uma função par.
• A adição ou a subtração de duas funções ímpares é uma função ímpar.
• A adição ou a subtração de uma função par e uma função ímpar não é par nem ímpar.
Seguem os efeitos da simetria nos coeficientes de Fourier.
https://www.youtube.com/watch?v=HeGRw8M9p3k
https://www.youtube.com/watch?v=1vm6XWBucDs
141
TABELA 1 – SIMETRIA E COEFICIENTES DE FOURIER
Coeficientes de Fourier
Simetria a0 an bn
Observação para 
determinar os 
coeficientes
Par a0 ≠ 0 an ≠ 0 bn = 0
Integrar em T/2 e 
multiplicar por 2
Ímpar a0 = 0 an = 0 bn ≠ 0
Meia onda a0 = 0
 a2n = 0 e 
a2n+1 ≠ 0
b2n = 0 e 
b2n+1 ≠ 0
FONTE: Aleksander e Sadiku (2003, p. 657)
Visualize as séries de Fourier de algumas funções.
TABELA 2 – SÉRIE DE FOURIER PARA DETERMINADAS FUNÇÕES
142
FONTE: Aleksander e Sadiku (2003, p. 657)
Assista ao vídeo da resolução da série de Fourier em: https://www.youtube.
com/watch?v=8s1P2niMLk8.
DICAS
5 CONTEÚDO DE POTÊNCIA DE UM SINAL PERIÓDICO
A potência média de um sinal periódico x(t) em um período qualquer é dada por:
Se x(t) for representado pela série de Fourier exponencial complexa, então, 
podemos escrever:
Essa equação é conhecida como teorema de Parseval. Esse teorema demonstra 
uma aplicação prática da transformada de Fourier. Ele relaciona a energia transportada 
por um sinal pela sua transformada de Fourier.
https://www.youtube.com/watch?v=8s1P2niMLk8
https://www.youtube.com/watch?v=8s1P2niMLk8
143
Para podermos comparar a energia contida nos sinais de corrente e tensão, 
utilizamos um resistor de 1 [Ω], como referência, para o cálculo da energia. Ou seja, para 
um resistor de 1 [Ω], temos que:
p(t) = v2(t) = i2(t) = f 2(t)
f(t) pode significar tensão ou corrente elétrica. Já a energia entregue ao resistor 
de 1 [Ω], no domínio do tempo, é dada pela expressão matemática seguinte:
No domínio da frequência, essa mesma energia pode ser calculada como:
O teorema de Parseval afirma que a energia total entregue a um resistor de 
1 [Ω] é igual à área sob o quadrado de f(t) ou 1/2π vezes a área total sob o quadrado 
do módulo da transformada de Fourier de f(t). Esse teorema se aplica a funções não 
periódicas. Ele pode ser aplicado em funções periódicas, mas sob outra representação.
Mostra que a energia associada a um sinal não periódico é espalhada por todo 
o espectro de frequência, enquanto a energia de um sinal periódico é concentrada nas 
frequências das componentes harmônicas.
Agora, vamos ver um exemplo da aplicação do teorema de Parseval para sinais 
não periódicos?
Exemplo: A tensão em um resistor de 5 [Ω] é v(t) v = 5.e–t.u(t). Determine a energia total 
dissipada nesse resistor.
Solução: Podemos determinar a energia usando f(t) = v(t) ou F(ω) = V(ω). No domínio 
do tempo, temos que:
integrando essa expressão de 0 até o infinito, obtemos:
Note que o sinal negativo foi cancelado devido à integração da função 
exponencial, o que gerou [0 – 1] = –1.
144
6 SÉRIE EXPONENCIAL (COMPLEXA) DE FOURIER
A série de Fourier pode ser expressa, resumidamente, na forma complexa ou 
exponencial. Uma maneira resumida de expressara série trigonométrica é colocá-la na 
forma exponencial. Para tanto, utilizamos a identidade de Euler na representação das 
funções seno e cosseno, conforme mostram as equações (32) e (33):
 (32)
 (33)
Substituindo as Equações (32) e (33) na Equação (3) e agrupando os termos, 
temos a Equação (34):
 (34)
Com isso, vamos definir um novo coeficiente, o cn:
c0 = a0;
 
(36)
 
(37)
Então, f(t) se torna:
 (38)
Ainda, a série complexa ou exponencial de Fourier é dada por:
 
Os coeficientes cn dessa série podem ser obtidos:
Sendo 
(35)
145
Os gráficos de amplitude de cn em função de n.ω0 são chamados de espectro 
complexo de amplitude, e os gráficos de fase de cn em função de n.ω0 são ditos espectro 
complexo de fase da função f(t).
Os coeficientes das três formas da série de Fourier, que são as formas em seno-
cosseno, forma em amplitude-fase e forma exponencial, são relacionados por:
Se apenas an > 0, a fase θn de cn é igual a ∅n.
Exemplo: Determine a expansão em série exponencial de Fourier da função periódica 
f(t) = e', 0 < t < 2π, com f(t + 2π) = f(t).
Solução: Como , então, o coeficiente 
cn é expresso por:
Agora, vamos integrar a expressão anterior de 0 até 2π para obter:
Pela identidade de Euler, temos que:
e–j2πn = cos(2πn) – jsen(2πn) = 1 – j0 = 1
Portanto:
Com isso, a série complexa de Fourier é:
Podemos traçar o gráfico do espectro de frequência complexo da função. Se 
considerarmos cn = |cn| ∠θn, então, obtemos:
 e θn = arc tan(n)
146
Segue o espectro de frequência complexo da função f(t).
GRÁFICO 9 – ESPECTRO DE FREQUÊNCIA - AMPLITUDE DE F(T)
FONTE: Aleksander e Sadiku (2003, p. 672)
Segue o espectro de fase da função f(t).
GRÁFICO 10 – ESPECTRO DE FREQUÊNCIA - FASE DE F(T)
FONTE: Aleksander e Sadiku (2003, p. 672)
147
Assista ao vídeo da solução de um exercício da série complexa de Fourier em: 
https://www.youtube.com/watch?v=rk3mW7ctGsk.
DICAS
Uma apostila importante do Octave pode ser estudada em: http://www.uel.br/
projetos/matessencial/superior/pdfs/Octave-final.pdf.
DICAS
Analisando esse exemplo, podemos concluir que, inserindo valores positivos 
e negativos de n, obtemos os gráficos de amplitude e de fase de cn em função de 
n.ω0 = n.
7 REPRESENTAÇÃO EM SCILAB OU NO OCTAVE
A seguir, será informado um script em Scilab ou Octave que demonstrará algumas 
funções matemáticas importantes.
Toolbox Symbolic do Octave:
Comando Octave:
>> sqrt(2)
% retorna o número: ans = 1.4142. Se você converte a constante 2 em um objeto 
simbólico, usando o comando “sym” e, depois, extrai a raiz quadrada:
>> a = sqrt(sym(2))
% retorna a expressão: a = 2^(1/2)
% Você pode obter o valor numérico de um objeto simbólico usando o comando:
https://www.youtube.com/watch?v=rk3mW7ctGsk
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/Octave-final.pdf
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/Octave-final.pdf
148
>> double(a)
% retorna: ans = 1.4142
 
% Sugestão de comandos para entrada da expressão analítica de cn:
 
e = input('Expressão Octave dos coeficientes: cn = ','s'); c = evalin('base', e); % vetor 
dos coeficientes Expressão MatLab para cn: 4*[1-(-1).^n]./(j*pi.*n).
149
RESUMO DO TÓPICO 1
 Neste tópico, você adquiriu certos aprendizados, como:
• A análise de Fourier, sejam as séries ou as transformadas, é utilizada na análise de 
sinais.
• A transformada de Fourier é utilizada na análise de sinais aperiódicos ou periódicos, 
portanto, a série de Fourier é um caso particular da transformada de Fourier.
• A série de Fourier é utilizada para analisar sinais periódicos no tempo.
• O espectro de frequência de um sinal é a descrição do sinal; são os componentes 
senoidais em várias frequências.
• Existem dois tipos de séries de Fourier: a série trigonométrica e a série exponencial 
ou complexa. Há, ainda, a série compacta de Fourier.
• A série trigonométrica serve para representar funções infinitas e periódicas complexas, 
em forma de funções trigonométricas simples de senos e cossenos.
• A série exponencial ou complexa de Fourier serve para representar funções 
periódicas e descreve o espectro de f(t) em termos de amplitude e ângulo de fase 
das componentes de corrente alternada para frequências harmônicas positivas e 
negativas.
• A simetria serve para saber, antecipadamente, qual coeficiente é zero. Temos as 
simetrias par, ímpar e de meia onda.
150
1 O que é a transformada de Fourier e para que serve?
2 O que é a série de Fourier, quais são os seus tipos e para que serve?
3 Quais são as propriedades da transformada de Fourier?
4 Determine a representação em série de Fourier exponencial complexa dos seguintes 
sinais:
a) x(t) = cos(ω0.t)
b) x(t) = sen(ω0.t) 
c)
d) x(t) = cos(4t) + sen(6t)
e) x(t) = sen2(t)
5 Considere a onda quadrada periódica x(t) a seguir:
FUNÇÃO QUADRADA PERIÓDICA
a) Determine a série de Fourier exponencial complexa de x(t).
b) Determine a série de Fourier trigonométrica de x(t).
AUTOATIVIDADE
151
TRANSFORMADA DE FOURIER 
PARA SINAIS DISCRETOS NO 
TEMPO (SINAIS APERIÓDICOS)
1 INTRODUÇÃO
Jean Baptiste Joseph Fourier foi um matemático francês, nascido em Auxerre, 
que viveu de 1768 até 1830. Ele desenvolveu a transformada de Fourier e a série de 
Fourier, um caso particular da transformada, em 1822. Fourier ficou órfão aos 8 anos e 
ingressou em um colégio militar, no qual demonstrava grande facilidade em matemática. 
Ele participou dos movimentos políticos da Revolução Francesa. Em vida, seus trabalhos 
nunca foram publicados.
Hoje em dia, a análise de Fourier é uma das técnicas matemáticas com 
maior número de aplicações práticas. Além de ser utilizada extensivamente no cálculo 
numérico e nas áreas mais diversas das ciências aplicadas e engenharias, a análise de 
Fourier constitui, ainda, a base do processamento digital de sinais. Constitui um papel 
fundamental nas telecomunicações modernas e no processamento de imagens digitais.
UNIDADE 3 TÓPICO 2 - 
Você sabia que utilizando a análise de Fourier que se retira a voz das 
canções para fazer karaokê? Ainda, que se faz a compressão de imagens em 
formato JPEG?
ATENÇÃO
Qualquer conjunto de dados, como os sinais elétricos, pode ser analisado 
diretamente por um espectro de frequências, ou pela Transformada de Fourier, pois se 
trata de um conjunto completo e ortonormal de funções (FILHO, 2011). 
A transformada de Fourier permite estender o espectro e frequências a 
funções não periódicas. Ela considera que uma função não periódica é uma função 
periódica com período finito. É uma representação integral de uma função não 
periódica, análoga a uma representação de uma função periódica utilizando a série 
de Fourier. É uma transformada integral, como a transformada de Laplace, vista na 
Unidade 2, para a representação de sinais.
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_num%C3%A9rico
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_num%C3%A9rico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Processamento_de_sinais
https://pt.wikipedia.org/wiki/Karaoke
https://pt.wikipedia.org/wiki/JPEG
http://astro.if.ufrgs.br/med/imagens/completo/index.htm
152
A transformada de Laplace transforma uma função no domínio do tempo para 
uma função no domínio da frequência. É muito útil em sistemas de comunicação e no 
processamento digital de sinais, em casos nos quais não se pode aplicar a transformada 
de Laplace, como para a representação de sinais de tempo discreto. A transformada de 
Laplace só pode trabalhar com circuitos com entradas nas quais t seja maior do que 
zero. Já a transformada de Fourier pode trabalhar com circuitos com entradas nas quais 
t seja maior do que zero ou, ainda, quando t é menor do que zero.
As aplicações da Transformada de Fourier se dão em:
• Descrição.• Filtragem
• Segmentação.
• Compressão.
• Reconstrução.
• Reconhecimento de padrões.
Agora, acadêmico, vamos estudar as Transformadas de Fourier, suas 
propriedades, tabelas de pares de transformadas e a maneira de calcular os sinais 
elétricos utilizando as Transformadas de Fourier.
2 TRANSFORMADA DE FOURIER
Vimos, no Tópico 1, que uma função periódica não senoidal pode ser 
representada por uma série de Fourier, desde que satisfaça as condições de Dirichlet. 
Entretanto, você, acadêmico, deve estar se perguntando: O que acontece quando a 
função for não periódica ou aperiódica?
Existem diversas funções importantes não periódicas, como o degrau unitário 
e a função exponencial, que não podem ser representados pela série de Fourier. A 
transformada de Fourier permite a transformação no domínio do tempo para o domínio 
da frequência, mesmo que a função seja não periódica. É representada por F(ω) ou 
F(jω).
A transformada de Fourier é aplicada na modulação em amplitude e na 
amostragem de sinais elétricos.
153
2.1 DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER 
Queremos determinar a transformada de Fourier de uma função não periódica, 
conforme a função quadrada, mostrada a seguir.
GRÁFICO 11 – FUNÇÃO QUADRADA NÃO PERIÓDICA
FONTE: Aleksander e Sadiku (2003, p. 692)
Para compreender melhor a conexão entre uma função não periódica e o seu 
par periódico, considere a forma exponencial da série de Fourier, mostrada a seguir:
Sendo . A frequência fundamental é dada 
por .
O espaçamento entre harmônicas adjacentes é dado por:
A substituição da segunda equação na primeira gera:
154
Se fizermos T→ ∞, o somatório se transformará em uma integração, o 
espaçamento incremental ∆ω em separação diferencial dω e a frequência harmônica 
n.ω0 em uma frequência contínua ω. Portanto, para T→ ∞, temos que:
De tal forma, obtemos:
O termo entre colchetes é chamado de Transformada de Fourier de f(t), sendo 
representado por F(ω). Portanto:
ℱ representa o operador da transformada de Fourier. A transformada de Fourier 
F(ω) existe quando a integral de Fourier dessa última expressão matemática converge. 
Ainda, com base nessa expressão matemática, conclui-se que a transformada de 
Fourier é uma transformação integral de f(t) no domínio do tempo para o domínio da 
frequência (ω).
F(ω) é uma função complexa, portanto, o seu módulo é chamado de espectro 
de amplitude e a sua fase é dita espectro de fase.
Assim como a transformada de Laplace, a transformada de Fourier também tem 
a sua inversa, ou seja:
A função f(t) e sua transformada F(ω) formam o par transformada de Fourier, 
representado por f(t) ⇔ F(ω), pois uma pode ser obtida a partir da outra.
Seguem os pares das transformadas de Fourier. Não iremos, aqui, demostrar 
como foram obtidas essas transformadas, mas o aluno interessado pode integrar as 
funções utilizando a expressão matemática para a transformada de Fourier no domínio 
do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. Assim, é possível obter os pares de 
transformadas contidos a seguir.
155
TABELA 3 – TRANSFORMADAS DE FOURIER
FONTE: Oppenheim (2010, p. 121)
156
Uma condição suficiente, mas não necessária, para que f(t) possua a 
transformada de Fourier, é que seja completamente integrável, no sentido de:
Acadêmico, você sabia que a função rampa unitária f(t) = t.u(t) não existe? Essa 
função não satisfaz a condição anterior expressa.
Exemplo: Determine a transformada de Fourier das seguintes funções:
(a) Função impulso: f(t) = δ(t – t0)
(b) Função exponencial: f(t) = ejω0t
Solução: (a) Para a função impulso, temos que:
Para o caso especial, t0 = 0, temos que F[δ(t)] = 1. Essa equação mostra que a 
amplitude do espectro para a função impulso é constante, ou seja, todas as frequências 
estão igualmente presentes na função impulso.
(b) Para a função exponencial, temos que F(ω) = δ(ω – ω0). Com isso, podemos 
determinar f(t):
Usando a propriedade de peneiramento da função impulso, temos que:
Como F(ω) e f(t) constituem um par de transformadas de Fourier, também serão 
um par as funções 2πδ(ω – ω0) e ejω0t. Ou seja:
F[ejω0t] = 2πδ(ω – ω0)
157
2.2 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER
A seguir, mostraremos as propriedades da Transformada de Fourier. 
Não demonstraremos a obtenção das expressões matemáticas para cada operação, por 
falta de tempo e espaço, e porque o objetivo desta disciplina é aplicar as tabelas para 
cálculo dos sinais. Entretanto, o aluno interessado pode consultar essas demonstrações 
em http://webx.ubi.pt/~felippe/texts2/an_sinais_cap8.pdf, a partir da página 20.
TABELA 4 – PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER
Operação x(t) X(ω)
Multiplicação por escalar k.x(t) k.X(ω)
Adição x1(t) + x2(t) X1(ω) + X2(ω) 
Conjugado x*(t) X*(–ω)
Dualidade X(t) 2.π.x(–ω)
Escalonamento (“a” real) x(at)
Deslocamento no tempo x(t – t0) X(ω). e–jωt0
Deslocamento na frequência 
(ω0 real)
x(t). ejω0t X(ω – ω0)
Convolução no tempo x1(t) * x2(t) X1(ω) . X2(ω)
Convolução na frequência x1(t) . x2(t)
Diferenciação no tempo jωn.X(ω)
Integração no tempo
FONTE: Oppenheim (2010, p. 98)
Exemplo: Determine a transformada inversa de Fourier da seguinte expressão:
a)
http://webx.ubi.pt/~felippe/texts2/an_sinais_cap8.pdf
158
Solução: Vamos decompor o denominador da função em um binômio: 
. Agora, vamos expandir a expressão em 
 frações parciais:
 ; sendo:
10s + 4 = A.(s + 2) + B.(s + 4) ∴ As + 2A + Bs + 4B
10s + 4 = (A + B)s + (2A + 4B)
Igualando os termos semelhantes nos dois lados da equação, temos:
A + B = 10
2A + 4B= 4
Resolvendo o sistema linear, obtemos:
Da primeira equação, temos que
Substituindo o valor de B na segunda equação, encontramos o valor 
de A, então:
A função será
159
RESUMO DO TÓPICO 2
 Neste tópico, você adquiriu certos aprendizados, como:
• A transformada de Fourier converte uma função f(t) não periódica em uma 
transformada F(ω), na qual 
 
• As propriedades das Transformadas de Fourier são: linearidade, escalonamento no 
tempo, deslocamento no tempo, deslocamento na frequência (ou modulação em 
amplitude), diferenciação no tempo, integração no tempo, espelhamento, dualidade 
e convolução.
• A utilização do método da transformada de Fourier na análise de sinais e sistemas 
pode ser rapidamente realizada usando a tabela de pares de Transformadas de Fourier.
• Aplicações típicas da transformada de Fourier são encontradas na modulação em 
amplitude (AM) e na amostragem. Para aplicação de AM, uma maneira de determinar 
a largura de faixa de uma onda modulada em amplitude é utilizar a propriedade de 
modulação da transformada de Fourier. Para a aplicação da amostragem, determina-
se que nenhuma informação deva ser perdida na amostragem (necessária para a 
transmissão digital) se a frequência de amostragem for, pelo menos, igual à taxa de 
Nyquist.
160
1 O que é a Transformada de Fourier e para que ela serve?
2 Qual a diferença entre a série de Fourier e a transformada de Fourier?
3 Quais são as propriedades das Transformadas de Fourier?
4 Considere um sinal real x(t) e que seja X(ω) = F [x(t)] = A(ω) + jB(ω) com x(t) = xe(t) + 
x0(t), sendo xe(t) e x0(t) os componentes par e ímpar de x(t), respectivamente. Mostre 
que xe(t) ↔ A(ω) e x0(t) ↔ jB(ω), ou seja, a Transformada de Fourier de um sinal real 
par é uma função real de ω, e a de um sinal real ímpar é uma função imaginária de ω, 
respectivamente.
5 Encontre as transformadas de Fourier dos seguintes sinais, utilizando a tabela de 
propriedades das Transformadas de Fourier:
a) x(t) = 1
b) x(t) = ejω0t
c) x(t) = e–jω0t
d) x(t) = cos(w0t)
e) x(t) = sen(w0t)
6 Encontre a transformada de Fourier de x(t) = e–a|t| com (a > 0).
7 Determine a transformada inversa de Fourier:
a)
b)
8 Determine as transformadas de Fourier das seguintes funções:
a) g(t) = u(t) – u(t –1)
b) f(t) = t.e–2.t.u(t)
c) pulso de dente de serra: h(t) = 10.t[u(t) – u(t – 2)
AUTOATIVIDADE
161
TÓPICO 3 - 
FILTROS PARA SINAIS
1 INTRODUÇÃO
Filtros são circuitos elétricos lineares projetadospara permitir a passagem de 
determinadas faixas de frequência e atenuar outras. Há dois tipos de filtros: os ativos e 
os passivos. Eles são baseados em elementos reativos, como capacitores e indutores. 
Os filtros são denominados passivos quando são constituídos apenas de capacitores 
e indutores. São chamados de ativos quando são compostos por amplificadores 
operacionais com realimentação (BONFIM, 2018).
 
Em quase todos os sistemas eletrônicos, existe algum tipo de filtro, principal-
mente, no campo das telecomunicações e da instrumentação industrial. As redes de 
comunicação de dados têm utilizado os filtros ativos, pois os terminais de computado-
res são conectados à rede telefônica através de MODEM’s (MOdulator-DEModulator), 
nos quais os filtros ativos são usados como elementos constitutivos básicos. Filtros 
são componentes importantes em sistemas eletrônicos e de comunicações.
A série de Fourier é aplicada em filtros, pois o espectro de Fourier é um espectro 
discreto.
 
Os filtros podem ser classificados quanto à resposta em frequência em:
• Filtros Passa Baixas.
• Filtros Passa Altas.
• Filtros Passa Faixa.
• Filtros Rejeita Faixa.
A seguir, mostraremos esses tipos de filtros. Vamos estudá-los?!
UNIDADE 3
162
FIGURA 4 – TIPOS DE FILTROS
FONTE: Caderno de Laboratório (2020, s.p.)
Há alguns conceitos com os quais o engenheiro deve estar familiarizado. 
A faixa de passagem é a faixa de frequência na qual o sinal sofre mínima atenuação, já 
a faixa de rejeição é a faixa de frequência na qual os sinais sofrem grandes atenuações. 
Por fim, a faixa de transição é a faixa de frequência na qual os sinais apresentam 
atenuação variável.
2 FILTROS ATIVOS
Os filtros ativos são projetados utilizando resistores, capacitores, indutores e 
amplificadores operacionais. Eles não são o foco de estudo desta disciplina, porém, 
apenas explanaremos sucintamente a respeito deles.
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Os filtros ativos são classificados quanto ao formato da resposta:
• Bessel: faixas de passagem e de rejeição planas; região de transição suave.
• Butterworth: faixas de passagem e de rejeição planas; região de transição moderada.
• Chebyshev 1: faixa de passagem com oscilação; região de transição moderada; faixa 
de rejeição plana.
• Chebyshev 2: faixa de passagem plana; região de transição moderada; faixa de 
rejeição com oscilação. 
• Elíptico: faixas de passagem e de rejeição com oscilações; região de transição abrupta 
(BONFIM, 2018).
Também podem ser classificados quanto à topologia do circuito:
• Cauer: Indutores e capacitores (passivo).
• Sallen Key: Resistores e capacitores (ativo).
• Realimentação múltipla: resistores e capacitores (ativo).
• Variáveis de estado: Resistores e capacitores (ativo).
• Biquadrático: Resistores e capacitores (ativo) (BONFIM, 2018).
Os filtros ativos possuem uma série de vantagens em relação aos filtros 
passivos (PERTENCE JÚNIOR, 2014):
(a) eliminação de indutores, os quais, em baixas frequências, são volumosos, pesados e 
caros;
(b) facilidade de projeto de filtros complexos através da associação em cascata de 
estágios simples;
(c) possibilidade de obter grande amplificação do sinal de entrada (ganho), principal-
mente, quando este for um sinal de nível muito baixo;
(d) grande flexibilidade de projetos.
As desvantagens dos filtros ativos são:
(a) exigem uma fonte de alimentação;
(b) a resposta em frequência está limitada à capacidade de resposta dos amplificadores 
operacionais utilizados;
(c) não podem ser aplicados em sistemas de média e alta potências, como filtros para 
conversores e inversores tiristorizados, utilizados em acionamentos industriais 
(PERTENCE JÚNIOR, 2014).
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3 FILTROS PASSIVOS
Um filtro é um circuito-projeto para permitir a passagem de uma faixa de 
frequência e rejeitar ouras faixas de frequência. O conceito de filtro tem sido parte 
integrante da evolução da engenharia elétrica desde os primórdios. Diversos avanços 
tecnológicos não teriam sido possíveis sem o uso de filtros elétricos. Eles podem ser 
classificados em filtros ativos e filtros passivos. Existem outros tipos que não serão 
estudados aqui, como os filtros digitais, eletromecânicos e de micro-ondas.
Os filtros passivos são projetados utilizando resistores, indutores e capacitores, 
sem a presença de elementos ativos, como o amplificador operacional. Os tipos mais 
comuns de filtros passivos são:
• Filtros passa alta.
• Filtros passa baixa.
• Filtros passa banda ou passa faixa.
• Filtros rejeita banda ou rejeita faixa.
Os filtros passa alta permitem a passagem de altas frequências e rejeitam as 
baixas, como mostraremos a seguir:
FIGURA 5 – FILTRO PASSA ALTA
FONTE: <https://www.sabereletrica.com.br/resposta-em-frequencia-filtros-passivos/>. 
Acesso em: 19 set. 2020.
Os filtros passa baixa permitem a passagem de frequências baixas, bloqueando 
as altas:
FIGURA 6 – FILTRO PASSA BAIXA
FONTE: <https://www.sabereletrica.com.br/resposta-em-frequencia-filtros-passivos/>. 
Acesso em: 19 set. 2020.
https://www.sabereletrica.com.br/resposta-em-frequencia-filtros-passivos/
https://www.sabereletrica.com.br/resposta-em-frequencia-filtros-passivos/
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Exemplo: Projete um filtro para atenuar em 100 vezes um sinal de 20 kHz, mas que 
permita a passagem de um sinal de 30 Hz sem interferências.
Solução: Com base nos dados, vamos projetar um filtro passa baixa:
Devido ao valor encontrado para ATf*, lembrando que um filtro faz 
 , verifica-se que é necessário utilizar um circuito de filtragem para atender à 
especificação dada. Portanto, o valor de Atf = –20 dB/dec.
A frequência de corte do filtro é de:
Utilizando um capacitor de filtragem de C = 100 nF, o resistor necessário para o 
circuito de filtragem é:
O circuito de filtragem final será mostrado a seguir:
FIGURA 7 – FILTRO RC PASSA BAIXA
FONTE: O autor
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Os filtros passa banda ou rejeita banda permitem a passagem de frequências 
dentro de uma faixa de frequências e rejeitam ou atenuam as frequências fora da faixa, 
como será mostrado a seguir:
FIGURA 8 – FILTRO PASSA BANDA
FONTE: <https://www.sabereletrica.com.br/resposta-em-frequencia-filtros-passivos/>. 
Acesso em: 19 set. 2020.
Os filtros rejeita faixa ou rejeita banda permitem a passagem de frequências 
fora da faixa de frequências e bloqueiam ou atenuam as frequências dentro da faixa, 
conforme será mostrado:
FIGURA 9 – FILTRO REJEITA BANDA
FONTE: <https://www.sabereletrica.com.br/resposta-em-frequencia-filtros-passivos/>. 
Acesso em: 19 set. 2020.
Segue um resumo das características desses filtros.
https://www.sabereletrica.com.br/resposta-em-frequencia-filtros-passivos/
https://www.sabereletrica.com.br/resposta-em-frequencia-filtros-passivos/
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TABELA 5 – RESUMO DAS CARACTERÍSTICAS DOS FILTROS PASSIVOS
FONTE: Aleksander e Sadiku (2003, p. 550)
Tipo de filtro H(0) H(∞) H(ωc) ou H(ω0)
Passa baixa 1 0
Passa alta 0 1
Passa faixa 0 0 1
Rejeita faixa 1 1 0
As características são válidas apenas para filtros de primeira e de 
segunda ordens.
Acadêmico, você pode aprender mais a respeito da obtenção da resposta em 
frequência de uma função de transferência, utilizando os diagramas de Bode. Para 
tanto, sugerimos a leitura dessa ferramenta tão útil na engenharia elétrica em: 
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/avargas/courses-1/principios_de_controle/
principios_de_controle/principiosCap03.pdf.
DICAS
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/avargas/courses-1/principios_de_controle/principios_de_controle/principiosCap03.pdf
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/avargas/courses-1/principios_de_controle/principios_de_controle/principiosCap03.pdf
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PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO: MODULAÇÃO EM AMPLITUDE
José Carlos Sartori
Desde os tempos imemoriais, o homem tem procurado melhorar cada vez 
mais os meios de comunicação entre os seus semelhantes. Nos tempos das cavernas, 
segundo os historiadores, a única maneira que os homens possuíam de se comunicar 
uns com os outros era por meio do contato pessoal, ou seja, por meio de sinais 
mímicosou sons guturais. Com o passar do tempo, o homem aprendeu a fazer uso da 
linguagem falada e, mais tarde, da linguagem escrita. A linguagem falada foi, portanto, 
o primeiro meio de comunicação entre os homens, de maneira que a maior distância 
que uma mensagem podia ser transmitida era aquela em que a voz humana podia ser 
ouvida. Essa distância, como sabemos, não é muito grande. Por meio da linguagem 
escrita, as ideias e os pensamentos de uma pessoa podiam ser comunicados a outras 
pessoas em terras distantes, porém, o problema das distâncias era resolvido por meio 
do transporte muito lento. Primeiramente, a pé, mais tarde, a cavalo, elefante etc. Bem 
cedo, o homem compreendeu a grande necessidade de encurtar as distâncias de 
comunicação entre seus semelhantes. A transmissão de mensagens por meio de sons 
produzidos por tambores foi usada por muito tempo em regiões da África. Os índios 
norte-americanos utilizavam o sistema visual na transmissão de mensagens, ou seja, 
transmitiam sinais por meio de fumaça, os quais eram emitidos a intervalos regulares 
ou irregulares. Até o século XVIII, o melhor sistema de comunicações utilizado pelo 
homem havia sido o de pombos-correio. Sinais luminosos interrompidos, semelhantes 
aos usados entre as embarcações no mar, foram também usados durante muito 
tempo para a transmissão de mensagens a curtas e a longas distâncias, sendo que 
torres de observação eram colocadas a determinados intervalos e diante de uma 
favorável altura, de modo que os sinais pudessem ser transmitidos e retransmitidos 
até o destino. A telegrafia, por meio de fios (Telégrafo Morse), constituiu um grande 
passo na melhoria das comunicações entre as povoações e cidades, e, na época, foi 
considerado um grande passo no campo das telecomunicações. Naturalmente, tal 
sistema somente foi possível com o descobrimento da eletricidade, do magnetismo 
e dp eletromagnetismo, suas propriedades e aplicações, graças aos trabalhos de 
Maxwell, Faraday, Oersted, Volta, Ampère, Ohm, Coulomb etc. A telegrafia sem fios 
constituiu o maior passo na melhoria das comunicações a longas distâncias.
LEITURA
COMPLEMENTAR
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Hertz foi quem, no ano de 1888, realizou uma série de experiências que revelaram 
a existência e características das ondas eletromagnéticas, cuja existência havia sido 
provada matematicamente pelo físico inglês Maxwell. Nas experiências realizadas por 
Hertz, ele descobriu que essas ondas podiam se propagar em todas as direções, podendo 
ser refletidas por metais e também atravessar substâncias, como madeira, vidro, tecido 
etc. Essa classe de ondas passou a ser chamada de Ondas Hertzianas, expressão 
comumente usada para identificar as ondas de rádio. Após o descobrimento de Hertz, 
os cientistas da época se dedicaram ao aperfeiçoamento dos aparelhos idealizados por 
ele e compreenderam, assim, a grande aplicação prática que podia ser dada às ondas 
hertzianas, como um meio para manter comunicações sem fio. Utilizando as ideias de 
Hertz e de outros cientistas, Guilherme Marconi conseguiu realizar comunicações sem 
fio (radiotelegrafia) a grandes distâncias.
Modulação
Como sabemos, o problema fundamental em comunicação é a transmissão da 
informação de um ponto para outro. A informação é levada através de sinais, usando 
um meio de propagação, podendo ser a atmosfera (no caso de rádio e TV) ou linhas (no 
caso de telefone). A informação a ser transmitida é, normalmente, um sinal de baixa 
frequência, que, como sabemos, não consegue se propagar a longas distâncias. No 
caso do rádio, é necessário que, de algum modo, esse sinal de baixa frequência (áudio, 
por exemplo) seja transportado por uma onda eletromagnética de frequência bem mais 
elevada, tendo, portanto, condições de se propagar atingindo longas distâncias. Essas 
ondas de rádio, também chamadas de radiofrequências (RF), podem se estender até 
milhares de quilômetros, as portadoras. A informação a ser transmitida é chamada de 
sinal modulador. A modulação consiste na variação de uma característica qualquer 
(amplitude, fase, frequência) da onda portadora, sendo essa variação proporcional ao 
sinal modulante.
Modulação em Amplitude (AM)
Neste caso, tem sua amplitude alterada proporcionalmente ao sinal modulante.
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Um sinal modulado em amplitude é escrito habitualmente na forma:
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[...] Em AM, a separação de cada componente lateral é determinada pela 
frequência do sinal modulante, enquanto a amplitude de cada componente é 
determinada pelo índice de modulação “m”.
Exemplo: Se uma portadora com frequência igual a 1000 kHz é modulada 
por um tom de áudio de 3 kKz, a componente lateral superior tem frequência fc + f m, 
1000 kHz + 3 kHz = 1003 kHz e a componente lateral inferior fc – fm = 1000 kHz - 3 
kHz = 997 kHz.
A largura de faixa da AM é igual ao dobro da maior frequência do sinal modulante. 
Se 15 kHz é usada para modular uma portadora, a largura de faixa necessária é de 30 
kHz. As informações de áudio nas transmissões de rádio não consistem em um simples 
sinal senoidal puro, como vimos até agora, mas uma complexa forma de onda. Através 
da teoria de Fourier, sabemos que um sinal complexo pode ser considerado como uma 
soma de senoides puras, e, com isso, podemos determinar a amplitude e a frequência 
de cada componente senoidal. Dessa forma, cada componente senoidal do sinal de 
áudio no processo de modulação tem uma frequência lateral superior e uma inferior. 
Levando em conta todas as componentes, não teremos um par de frequências laterais 
somente, mas uma banda (faixa) lateral superior e uma banda lateral inferior.
Nas transmissões de rádio em AM, as informações de áudio possuem frequências 
entre 50 - 5000 Hz, necessitando de uma faixa lateral superior de 5 kHz e de uma faixa 
lateral inferior de 5 kHz, o que dá uma largura de faixa de 10 kHz.
FONTE: SARTORI, J. C. Princípios de comunicação: modulação em amplitude. São Carlos: USO, 2001. 
Disponível em: http://repositorio.eesc.usp.br/bitstream/handle/RIEESC/6181/Sartori_JoseCarlos_Princi-
pioscomunicacao.pdf?sequence=1. Acesso em: 21 nov. 2020.
http://repositorio.eesc.usp.br/bitstream/handle/RIEESC/6181/Sartori_JoseCarlos_Principioscomunicacao.pdf?sequence=1
http://repositorio.eesc.usp.br/bitstream/handle/RIEESC/6181/Sartori_JoseCarlos_Principioscomunicacao.pdf?sequence=1
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RESUMO DO TÓPICO 3
 Neste tópico, você adquiriu certos aprendizados, como:
• Um filtro passivo é um circuito projetado para passar sinais com frequências 
desejadas e rejeitar outras faixas de frequência.
• Geralmente, os circuitos passivos são circuitos elétricos RL ou RC.
• Filtros ativos são construídos utilizando resistores, capacitores e amplificadores 
operacionais.
• Os quatro tipos de filtros mais comuns são: o passa baixa, o passa alta, o passa faixas 
e o rejeita faixas.
• Um filtro passa baixa permite a passagem apenas de sinais cujas frequências estão 
abaixo da frequência de corte.
• Um filtro passa alta permite a passagem apenas de sinais cujas frequências estão 
acima da frequência de corte.
• Um filtro passa faixas permite a passagem de sinais cujas frequências estão dentro 
de uma faixa definida.
• Um filtro rejeita faixas permite a passagem apenas de sinais cujas frequências estão 
fora de uma faixa definida.
• Frequência de ressonância é a frequência na qual a parte imaginária de uma função 
de transferência desaparece.
 
• Para circuitos RLC série e paralelo, a frequência de ressonância é dada por:
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• A largura de faixa é a faixa de frequência entre as frequências de meia potência, ou 
seja:
B = ω2 – ω1
• As frequências de meia potência (ω2 e ω1) são as frequências nas quais a potência 
dissipada é metade da potência dissipada na frequência de ressonância. A média 
geométrica das frequências de meia potência é a frequência de ressonância, ou:
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1 O que são filtros e para que servem?
2 O que são filtros ativos? Cite exemplos.
3 O que são filtros passivos? Cite exemplos.
4 O que é um diagrama de Bode e para que serve?5 Em síntese, como se projetam filtros passivos para sinais elétricos?
AUTOATIVIDADE
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REFERÊNCIAS
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Disponível em: https://cadernodelaboratorio.com.br/projeto-de-filtros-ativos-conceitos-
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Disponível em: http://www.dsce.fee.unicamp.br/~antenor/pdffiles/qualidade/b3.pdf. 
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Disponível em: http://astro.if.ufrgs.br/med/imagens/fourier.htm. Acesso em: 11 
jun. 2020.
HAYKIN, S.; VEEN, B. V. Sinais e sistemas. São Paulo: Bookman, 2002.
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http://www.eletrica.ufpr.br/marlio/te054/capitulo5.pdf
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176
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https://www.todamateria.com.br/meios-de-comunicacao/#:~:text=Os Meios de Comunica%C3%A7%C3%A3o representam,%2C o cinema%2C dentre outros.
https://www.todamateria.com.br/meios-de-comunicacao/#:~:text=Os Meios de Comunica%C3%A7%C3%A3o representam,%2C o cinema%2C dentre outros.
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ANOTAÇÕES
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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