TESTE DE VIDA E CONFIABILIDADE - RESUMO

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TESTE DE VIDA E CONFIABILIDADE – RESUMO 
 
Aula 1: Índice de Confiabilidade e Diferenças entre MTBF e MTTF 
Em uma análise de confiabilidade, é comum que seja medido o desempenho de produtos, 
equipamentos ou sistemas, para que, a partir dessas medidas, sejam elaborados índices que servem 
como indicadores de manutenção e de confiabilidade. Com esses indicadores, é possível ter 
embasamento para a tomada de decisões relativas à busca de melhores resultados e à melhoria 
contínua. 
A confiabilidade é a probabilidade de um item falhar em um determinado espaço de tempo. Alguns 
indicadores estão diretamente relacionados à confiabilidade e à disponibilidade dos equipamentos, 
sendo eles o tempo médio entre falhas (MTBF), o tempo médio até falhar (MTTF) e o tempo médio para 
reparo (MTTR). 
 
 
 
 
 
O uso de indicadores para acompanhar a manutenção e a confiabilidade de produtos, equipamentos e 
sistemas é bastante comum, principalmente quando se busca a melhoria contínua e a satisfação dos 
clientes. Para que se atinjam os melhores resultados, é importante que as medidas de desempenho 
sejam estabelecidas, de forma que os índices de confiabilidade e os indicadores de manutenção sejam 
calculados e analisados. 
A partir do que se espera como desempenho para determinado item, sistema ou serviço, é possível 
estabelecer medidas de desempenho. Com isso, ações podem ser realizadas para que os índices de 
confiabilidade sejam melhorados, buscando qualidade, redução de custos e a satisfação do usuário 
final. 
 
A) Importância das Medidas de Desempenho: A definição de qual deve ser o padrão de 
desempenho de um item permite identificar quando esse item falha, deixando de desempenhar suas 
funções corretamente. Por meio das medidas de desempenho, como função confiabilidade, taxa de 
falhas, tempo médio até falhar, tempo médio entre falhas, vida média residual, entre outras, é 
possível estimar a confiabilidade de um produto, processo ou serviço. 
 
A partir dessa análise, sistemas em série podem ser transformados em sistemas paralelos, fazendo 
com que a redundância evite paradas indesejadas e permitindo que a manutenção seja realizada 
sem a necessidade de interromper o processo produtivo. 
 
As falhas podem ser classificadas em função do tempo de vida do processo, conforme descritas a 
seguir: 
 Falhas prematuras ou de partida: ocorrem no período inicial de operação do processo, estando 
relacionadas com a adaptação dos equipamentos e dos operadores e a falta de maturidade na 
gestão ou operação do processo. Nesse período, a taxa de falhas é decrescente. 
 Falhas aleatórias ou causais: ocorrem no período de operação plena do processo e estão 
relacionadas com causas aleatórias (natureza técnica, operacional ou humana). Nesse período, para 
que o processo seja eficaz, a taxa de falhas deve apresentar constância em um valor mínimo. 
 Falhas por desgaste: ocorrem pelo desgaste do processo em virtude do tempo de utilização e de 
sua vida útil. Em virtude de uma manutenção não adequada, esse período pode ser antecipado. 
 
 
 
 
Algumas medidas para prevenção de falhas são: 
 Investigar e manter histórico das ocorrências, com origens e consequências; 
 Criar método para análise crítica imediata; 
 Criar o rastreamento periódico do processo produtivo do fornecedor; 
 Fazer análise crítica com equipe multidisciplinar dos comentários e reclamações dos clientes. 
 
A confiabilidade pode ser considerada a probabilidade de um item falhar durante um determinado 
espaço de tempo. A probabilidade pode ser atribuída de três diferentes formas — empírica, clássica 
ou subjetiva —, conforme mostra o Quadro abaixo. 
 
 
Para definir a confiabilidade de determinado item, é utilizada a forma empírica, a partir de dados 
coletados anteriormente, como históricos de manutenção, reclamações de garantia, testes de 
campo, ensaios laboratoriais, etc. Quanto maior o tamanho da amostra, ou seja, o número de 
observações, testes, ensaios, entre outros, mais precisa será a estimativa, e, dessa forma, há uma 
maior chance de se observar a ocorrência de eventos, mesmo aqueles com baixa probabilidade. 
 
Todos os processos e, consequentemente, seus produtos apresentam algum grau de variação, por 
fatores como habilidade humana, treinamento, motivação, tecnologias, organização, entre outros. As 
variações por causas comuns são normais e esperadas em qualquer processo, mesmo estável. 
Já as variações por causas especiais são causadas por fatores externos e imprevisíveis. 
 
Os resultados de medição, ou seja, a coleta de dados, também podem sofrer variações, pelos 
mais diversos fatores, sendo alguns deles: 
 Limitações do avaliador; 
 Diferenças nos procedimentos; 
 Limitações dos instrumentos de medição; 
 Variáveis como temperatura, umidade, desgaste dos equipamentos, etc. 
 
Durante as medições, alguns erros podem ocorrer, sendo os mais frequentes: 
 Erro de exatidão, relacionado com a variação entre a média valor ideal e a média valor medido; 
 Erro de linearidade, relacionado com a variabilidade das medidas quanto à sua exatidão ao longo 
da faixa de medição do instrumento; 
 Erro de repetitividade, relacionado com a variabilidade das medidas de um processo, realizadas 
pelo mesmo avaliador, utilizando a mesma metodologia e os mesmos equipamentos; 
 Erro de reprodutibilidade, relacionado com a variabilidade das medidas de um processo, 
realizadas por vários avaliadores, utilizando a mesma metodologia e os mesmos equipamentos. 
 
B) Utilização dos Índices de Confiabilidade: Os índices de confiabilidade podem ser utilizados nas 
mais diversas aplicações de engenharia, como em subestações de energia elétrica. Corssen 
(1979) avaliou numericamente a confiabilidade de arranjos de subestações por meio de índices que 
permitiam calcular a frequência e a duração das interrupções. O autor cita que as falhas que 
ocorrem nos sistemas de transmissão, quando são de curta duração, normalmente são por causas 
elétricas, enquanto as de longa duração geralmente são por causas mecânicas. 
 
O índice de confiabilidade também pode ser utilizado em estações de tratamento de água, como 
observado por Silva et al. (2018). Os autores avaliaram a turbidez da água, o índice de qualidade da 
água bruta e o índice de confiabilidade. 
 
O setor automobilístico é um exemplo da importância da utilização de índices de confiabilidade. 
Quando esses índices não são analisados e interpretados de forma correta durante o 
desenvolvimento de algum componente ou produto, é necessária a realização de recall 
posteriormente, o que causa grandes perdas monetárias e prejudica a imagem da empresa. 
 
C) Tempo Médio entre Falhas (MTBF) e Tempo Médio até Falhar (MTTF): Na análise de 
confiabilidade, o tempo é uma métrica muito importante, pois é ele que permite quantificar a 
confiabilidade. Os parâmetros mais utilizados são o tempo de operação e o número de falhas. 
 
Dois parâmetros que determinam o desempenho da confiabilidade são o tempo médio entre falhas 
(MTBF, do inglês mean time between failure), aplicado a itens reparáveis, e o tempo médio até 
falhar (MTTF, do inglês mean time to failure), aplicado a itens não reparáveis. 
 
Os itens reparáveis são aqueles em que é possível realizar reparo após a falha, fazendo com que 
voltem a funcionar, e os itens não reparáveis são aqueles que necessitam ser substituídos após a 
falha. 
 
O tempo até falhar (TTF) é o tempo transcorrido desde que uma unidade é colocada em operação 
até o momento da sua primeira falha, quando é feita a substituição do item. Já o tempo entre falhas 
(TBF) é o tempo transcorrido desde que uma unidade é colocada em operação até o momento após 
o reparo do item, ou seja, quando a unidade volta à operação. 
 
O TTF e o TBF podem ser discretos ou contínuos, sendo que as variáveis discretas podem ser 
aproximadas por variáveis contínuas. 
 Discreto:número de rotações até o momento da falha, número de aterrisagens, número de 
partidas, entre outros. 
 Contínuo: tempo de calendário, como horas, dias, anos, etc., até o momento da falha. 
 
No gráfico da Figura abaixo é possível observar a diferença entre TTF e TBF, pois é apresentada a 
relação entre os índices MTTF, MTBF e MTTR. 
 
Quando o MTTR for igual a zero, o MTBF e o MTTF serão iguais, enquanto, para os demais casos, 
o MTBF será a soma de MTTF e MTTR. 
 
 
 
 
O MTBF pode ser calculado por: 
 
 
Onde N é a quantidade de equipamentos e TBF é o tempo entre falhas registrado para cada 
equipamento. 
 
Além da média, é preciso estar atento ao grau de dispersão dos resultados (variância ou desvio 
padrão), pois os dados podem ter a mesma média, mas com uma grande diferença na variância, 
como os gráficos das Figuras abaixo. O projeto da Figura b pode ser considerado menos confiável, 
visto que mais falhas ocorrem no início da vida do componente. 
 
 
Já o MTTF é obtido por: 
 
 
Onde N é a quantidade de equipamentos e TTF é o tempo para falhar registrado para cada 
equipamento. 
 
- MTBF: Considerado um dos indicadores mais importantes para a manutenção, ele é fundamental 
para medir o tempo total de bom funcionamento médio entre as falhas de um ativo reparável, assim é 
possível medir a confiabilidade de uma máquina. 
A forma mais correta de aplicação é individual em cada máquina, já que devemos considerar 
diferentes ciclos de vida do ativo - curva da banheira. 
 
https://tractian.com/blog/tipos-de-manutencao-o-guia-definitivo
https://tractian.com/blog/o-que-e-confiabilidade-guia-definitivo-2021?utm_term=confiabilidade%20de%20manuten%C3%A7%C3%A3o&utm_campaign=%5BSEARCH%5D+%5BTRAFEGO%5D+%5BARTIGOS%5D&utm_source=adwords&utm_medium=ppc&hsa_acc=1812744788&hsa_cam=15933443404&hsa_grp=127581489250&hsa_ad=575908105847&hsa_src=g&hsa_tgt=kwd-1426923895613&hsa_kw=confiabilidade%20de%20manuten%C3%A7%C3%A3o&hsa_mt=b&hsa_net=adwords&hsa_ver=3&gclid=CjwKCAiAsNKQBhAPEiwAB-I5zcnLfknXbHwoxNxJUYFiVkvmO2CS2ncnl-2vXRqyyyhLx9BzhneHzBoCPQwQAvD_BwE
https://tractian.com/blog/curva-da-banheira-entenda-o-comportamento-tipico-de-uma-maquina
 
Exemplo de cálculo do MTBF: Imagine que o seu motor elétrico operou 200 horas até falhas, depois 
190 horas e por fim, 150 horas. 
MTBF = ∑ TBF / N MTBF = (200 + 190 + 150) / 3 MTBF = 180 horas 
 
As vantagens do cálculo do indicador permitem otimizar a programação da preventiva, entender 
com que frequência as falhas podem ocorrer durante a operação, ajustar o inventário e a 
disponibilidade de componentes. 
 
- MTTR: Representa quanto tempo leva para que o ativo volte à condição de trabalho depois de uma 
falha. 
O MTTR é calculado dividindo o tempo para reparo ou número total de reparos em um determinado 
tempo. Lembre-se: quanto menor for o valor do MTTR melhor, pois assim a máquina volta mais 
rapidamente para a produção. 
 
 
 
Voltemos ao mesmo exemplo do motor elétrico. Imaginamos que naquele período a equipe de 
manutenção levou, na primeira falha 5 horas de reparo, na segunda 15 horas e na terceira, última 
falha, 8 horas. 
MTTR = ∑ TTR / N MTTR = (5 + 15 + 8) / 3 MTTR = 9 horas 
O MTTR é essencial para entender a eficiência com o que pode reparar os ativos, ou seja, quanto 
mais baixo melhor é. Por isso, é fundamental que haja incentivo para o uso de técnicas preventivas 
e preditivas, que avaliam em tempo real a condição do ativo. 
- MTTF: Esse indicador é uma medida básica de confiabilidade utilizado para itens não reparáveis. O 
MTTF representa o tempo que se espera que um item dure na operação até que uma falha ocorra. 
Ele é calculado pela observação de itens por um longo período e entender qual é o seu tempo médio 
de falha. 
https://tractian.com/blog/manutencao-preventiva
https://tractian.com/blog/5-ferramenta-fundamentais-para-a-analise-de-falhas
 
 
Seguindo o mesmo exemplo, suponhamos que três motores elétricos foram testados até falharem. O 
primeiro sistema falhou após 300 horas, o segundo falhou em 600 horas e o terceiro, em 1.200 horas. 
MTTF = ∑ TTF / N MTTF = (300 + 600 + 1200) / 3 MTTF = 700 horas 
A conclusão que se chega é que esse tipo de modelo específico de motor precisará ser substituído, 
em média, a cada 700 horas 
O cálculo do MTTF é importante para estimar a vida útil dos produtos que não podem ser 
reparados, ou seja, por estimar a confiabilidade do maquinário, peça ou item se o resultado for 
pequeno, significa que o tempo de inatividade e interrupções serão mais frequentes. 
Aula 2: Tempo Médio para Reparo (MTTR) e Taxa de Falhas: 
Indicadores de desempenho são capazes de medir a confiabilidade dos produtos e a efetividade das 
ações de manutenção. A partir de seus resultados, uma análise crítica deve ser realizada, levando em 
conta todos os fatores envolvidos, para que as ações sejam tomadas em busca da melhoria contínua. 
É desejável que a mantenabilidade de um equipamento ou sistema seja a máxima possível, dentro das 
possibilidades da empresa, indicando facilidade de manutenção e também eficiência da equipe. 
 
Indicadores de manutenção e confiabilidade podem dizer muito sobre o processo produtivo e de 
manutenção, mostrando sua eficiência e evolução. Seus resultados, quando bem interpretados, 
possibilitam que ações sejam tomadas em busca de melhorias. 
Indicadores de manutenção e confiabilidade, como tempo médio de reparo, mantenabilidade, 
disponibilidade e taxa de falhas, são exemplos de alguns indicadores de performance que servem 
como referência para a tomada de decisão em uma empresa, fazendo com que esforços sejam 
aplicados de forma adequada, buscando os melhores resultados. 
A) Tempo Médio de Reparo e Mantenabilidade: O tempo médio de reparo (MTTR, do inglês 
mean time to repair), que também pode ser chamado de tempo médio para reparo, é um 
indicador de desempenho utilizado na manutenção para contabilizar o tempo médio de reparo 
de determinado equipamento ou sistema. O MTTR inclui o tempo necessário para detectar o 
problema, mobilizar a equipe de manutenção, diagnosticar o problema, obter os recursos para a 
substituição, consertar e testar, até voltar à operação normal. 
O desejado é que o valor do MTTR seja o menor possível, dentro das necessidades e 
possibilidades da empresa, indicando que os tempos de máquina parada são baixos. Mas é 
preciso ter cuidado ao exigir baixos valores de MTTR das equipes de manutenção, pois podem 
ser realizadas manutenções corretivas de forma mais rápida, sem eliminar a causa raiz do 
problema, ocasionando novas necessidades de manutenção no futuro. 
Alguns benefícios obtidos ao calcular e interpretar o MTTR são: 
 Identificar possíveis problemas de tempo inativo e manutenção; 
 Auxiliar na análise do reparo ou substituição; 
 Auxiliar no planejamento de recursos necessários. 
O cálculo do MTTR pode ser categorizado, o que facilita a sua análise: 
 MTTR para eventos de manutenção originados por máquinas e equipamentos em geral — é 
o mais comum; 
 MTTR para eventos originados em determinados tipos de itens, peças ou componentes, 
ou então para um conjunto de máquinas; 
 MTTR relacionado com interrupções externas que não podem ser controladas e que 
originam problemas de manutenção, como falta de energia ou água; 
 MTTR relacionado com problemas originados por defeitos de matéria- -prima ou insumos. 
O MTTR é um indicador utilizado somente para itens reparáveis e consiste na divisão da soma 
de horas de indisponibilidade pelo número de intervenções corretivas realizadas. Ou seja: 
 
Onde N é a quantidade de manutenções corretivas realizadas para determinado equipamento 
e TTR é o tempo de cada manutenção. Em itens não reparáveis, que, após a falha, são 
descartados, o MTTR é igual a zero. 
No momento de análise de indicadores, é preciso estar atento, pois, de um mês para outro, o 
resultado do MTTR pode variar em funçãode outro indicador. Por exemplo, é possível que a 
melhora no MTTR seja causada pelo aumento do número de falhas, mas com o mesmo tempo 
de manutenção corretiva. 
Além disso, as manutenções corretivas que reparam apenas com medidas paliativas não devem 
ser contabilizadas no MTTR, pois, apesar de devolver o funcionamento da máquina, não 
eliminam a fonte do problema. 
Algumas medidas que podem melhorar o MTTR são: 
 Estabelecer um conselho consultivo de mudanças; 
 Manter o controle de todas as mudanças de processo; 
 Acompanhar a evolução de todos os indicadores; 
 Realizar manutenção preventiva e planos de lubrificação adequadamente; 
 Ter mão de obra suficiente e habilitada; 
 Ter estoques que atendam às necessidades. 
O MTTR também é utilizado para calcular a mantenabilidade de um equipamento. 
A mantenabilidade, ou manutenibilidade, é a capacidade que um item tem de receber 
manutenção dentro de um período determinado, ou seja, é a rapidez com que os procedimentos 
de reparo são executados para recolocar o equipamento em funcionamento após uma falha. 
Segundo a NBR 5462:1994 da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT, 1994), o 
termo mantenabilidade também é utilizado como medida de desempenho, sendo interpretado 
como a probabilidade de uma manutenção ocorrer em um determinado período de tempo, sob 
condições estabelecidas e usando procedimentos e recursos prescritos. 
A mantenabilidade M(t) pode ser calculada por: 
 
Onde t é o período e μ é a taxa de reparos: 
 
O ideal é que a mantenabilidade seja a máxima possível, indicando que o MTTR é baixo. 
Para isso é necessário: 
 Procedimento — documentar todos os passos das ações de manutenção que são repetitivas, 
com a maior riqueza de detalhes possível; 
 Desenvolvimento — identificar todas as habilidades necessárias para realizar as atividades do 
item anterior e desenvolvê-las dentro da equipe de manutenção; 
 Informação — disseminar as informações dos procedimentos de manutenção para toda a 
equipe; 
 Antecipação — antecipar alguns cenários e agir para facilitar a manutenção; 
 Treinamento — treinar constantemente as habilidades desenvolvidas para que se tornem 
hábito; 
 Repetição — repetir todo o ciclo, aplicando programas de melhorias. 
A segurança é um ponto importante para bons resultados de mantenabilidade. Equipamentos 
de proteção individual e coletiva (EPIs e EPCs) devem ser disponibilizados para toda a equipe 
de manutenção. Além disso, as normas de segurança da ABNT (NR–10 para atividades na área 
elétrica, NR–13 para gestão de caldeiras e vasos de pressão, NR–35 para trabalhos em altura, 
entre outras) devem ser seguidas. 
O registro de lições aprendidas pela equipe de manutenção em relação ao equipamento e às 
situações presenciadas permite a melhoria contínua. Com isso, procedimentos podem ser 
criados ou revisados, algumas questões podem ser consideradas no desenvolvimento ou na 
aquisição de novos produtos, a equipe de manutenção se aproxima dos demais setores da 
empresa, entre outros benefícios. 
A gestão à vista é um fator que pode motivar os trabalhadores a buscarem melhores 
resultados, não só de mantenabilidade, mas também dos demais indicadores de manutenção e 
confiabilidade. Todo o time de manutenção é comunicado de forma clara sobre os resultados da 
empresa e do setor, com dados ligados ao dia a dia da equipe e indicadores que mostrem seu 
desempenho. 
A mantenabilidade está diretamente relacionada à confiabilidade, e, para isso, deve ser definido 
um plano de manutenção bem estruturado, com manutenção preventiva, para reduzir falhas 
potenciais, e com manutenção preditiva, detectando problemas com antecedência. 
No desenvolvimento de um produto, equipamento ou sistema é importante que se tenha um 
projeto de mantenabilidade, levando em conta algumas ações: 
 Selecionar peças que sejam facilmente acessadas e reparadas; 
 Especificação de ferramentas especiais; 
 Classificação de áreas perigosas; 
 Redundância para que os sistemas continuem em operação enquanto a manutenção é 
realizada; 
 Especificação de procedimentos de manutenção preventiva e preditiva; 
 Indicação do número de peças sobressalentes em estoque. 
A mantenabilidade também deve ser considerada na aquisição do produto, envolvendo, pelo 
menos, um integrante da manutenção desde o início do processo, pois a equipe de manutenção 
trabalhará com esse equipamento durante todo o seu ciclo de vida. 
Conforme a ABNT NBR 5462:1994 (ABNT, 1994), os valores numéricos da medida de 
mantenabilidade de um equipamento ou sistema podem ser previstos a partir de medidas de 
confiabilidade e de mantenabilidade de seus subitens, utilizando modelos matemáticos. Esse 
procedimento é chamado de modelo de mantenabilidade. 
Alguns parâmetros de mantenabilidade podem ser utilizados para o cálculo da disponibilidade, 
sendo eles: 
 MTTR — tempo médio de manutenção corretiva (o mesmo que tempo médio de reparo); 
 MTPM — tempo médio de manutenção preventiva; 
 MA — tempo médio de manutenção ativa, incluindo MTTR e MTPM; 
 MTBM — tempo médio entre manutenções; 
 MDT — tempo inativo de manutenção. 
B) Disponibilidade: A disponibilidade, segundo a ABNT NBR 5462:1994 (ABNT, 1994), é a 
capacidade de um item estar em condições de executar uma determinada função em um dado 
instante ou durante um intervalo de tempo determinado. Para a disponibilidade, são levados em 
conta os aspectos combinados de confiabilidade, mantenabilidade e suporte de manutenção. 
A eficiência das ações de manutenção corretiva é medida a partir da disponibilidade do 
equipamento, enquanto a eficiência das ações de manutenção preventiva é avaliada pelo 
incremento resultante na confiabilidade. 
Em um cenário perfeito, a disponibilidade é de 100%, indicando que o equipamento está 
sempre disponível, com manutenções ocorrendo somente nos momentos programados e sem 
ociosidade. 
Para elevar a disponibilidade de um equipamento, é necessário aumentar seu MTBF e reduzir 
seu MTTR, o que é possível por meio da sequência de ações a seguir: 
1. ter um plano de manutenção preventiva e executá-lo corretamente; 
2. acompanhar a redução do número de manutenções corretivas; 
3. implementar um plano de manutenção preditiva. 
O termo disponibilidade também pode ser utilizado como medida de desempenho da 
disponibilidade e pode ter três diferentes classificações: 
- Disponibilidade Inerente: é a probabilidade de que um sistema estará disponível quando 
acionado de forma aleatória, em um ponto do tempo, em um ambiente de suporte logístico ideal 
(inclui disponibilidade imediata de pessoal de manutenção treinado, peças de reposição, 
equipamentos de suporte e facilidades necessárias), sendo que, de maneira geral, isso não 
ocorre na prática. 
A disponibilidade inerente (Ai) pode ser calculada por: 
 
Onde MTBF é o tempo médio entre falhas para esse equipamento. Nesse caso, considera-se 
apenas o tempo de inatividade do equipamento por paradas para manutenção corretiva, 
excluindo tempos de inatividade por manutenção preventiva, atrasos logísticos, entre outros. 
- Disponibilidade Obtida: é a probabilidade de que um sistema operará satisfatoriamente, em 
qualquer momento que for acionado, em um ambiente de suporte logístico ideal. A 
disponibilidade obtida (Aa) é: 
 
Nesse caso, considera-se o tempo médio de manutenção ativa (preventiva e corretiva), além do 
tempo médio entre manutenções, em vez de considerar o tempo médio entre falhas. 
- Disponibilidade Operacional: é a probabilidade de que um sistema estará disponível quando 
acionado de forma aleatória, em um ponto do tempo, em um ambiente de suporte logístico real. 
A disponibilidade operacional (Aa) é calculada por meio da equação: 
 
Nessa situação, são considerados todos os atrasos logísticos. Esta é a realidade no início da 
fase operacional, que vai sendo melhorada ao longo da operação, com reduções nos tempos de 
manutenção ativa e temposlogísticos. 
C) Taxa de Falhas: A confiabilidade de um processo é a probabilidade de que não ocorram falhas 
em condições previamente definidas. Para aumentar a confiabilidade, é preciso identificar, 
analisar e minimizar as falhas. 
O diagnóstico das falhas pode ser dividido em quatro etapas: 
 Detecção — quando se percebe que um comportamento anormal ocorreu; 
 Isolamento — quando se delimita a falha; 
 Identificação — quando se identifica a falha; 
 Análise da falha — quando se passa a conhecer sua amplitude e o que a causou. 
A taxa de falhas (λ) é o índice de falhas em um determinado intervalo de tempo, que possui 
uma relação inversa com a confiabilidade. A taxa de falhas é calculada por: 
 
Os dados para o cálculo da taxa de falhas podem ser obtidos por meio de ensaios laboratoriais, 
testes de campo, históricos de manutenção, reclamações de garantia, entre outras formas. 
 
A função de taxa de falha é a taxa instantânea de falha em um determinado tempo, que 
caracteriza a vida útil de um equipamento e pode ser: 
- Função de Taxa de Falha Decrescente: indica falhas com maior probabilidade de ocorrência 
no início da vida de um produto, por exemplo, produtos compostos por metais que se tornam 
mais resistentes com o tempo, falhas no lançamento de um produto, etc. Esse período de 
redução do risco de falha caracteriza a porção inicial da curva da banheira da Figura abaixo; 
- Função de Taxa de Falha Constante: indica falhas com a mesma probabilidade de ocorrência 
durante toda a vida útil do produto. Esse período relativamente constante de baixo risco de falha 
caracteriza a porção central da curva da banheira da Figura abaixo; 
- Função de Taxa de Falha Crescente: indica que os itens têm mais probabilidade de falhar com 
o tempo, por exemplo, por desgaste ou fadiga. Esse período de aumento do risco de falha 
caracteriza a porção final da curva da banheira da Figura abaixo; 
- Função de Taxa de Falha em Forma de Banheira: diversos produtos têm diferentes taxas de 
falha ao longo de sua vida, seguindo as três funções descritas anteriormente. Esse 
comportamento recebe o nome de curva da banheira, Figura abaixo, onde a taxa de falha é alta 
inicialmente, com um comportamento decrescente, baixa no centro, com um comportamento 
constante, e alta novamente no final da vida, com um comportamento crescente. 
 
As falhas que ocorrem no início da vida do produto são chamadas de falhas precoces ou 
prematuras, as que ocorrem no final da vida são chamadas de falhas por desgaste, e as 
demais são falhas aleatórias. Ações como manutenção preventiva e preditiva podem adiar o 
desgaste, alterando o padrão de taxa de falhas da curva da banheira. 
Os resultados de disponibilidade de um equipamento demonstram como o processo de 
manutenção está sendo conduzido, se faltas de peças ou ferramentas estão afetando o 
processo produtivo. 
Aula 3: Funções Estatísticas de Confiabilidade I 
Uma forma de estimar a confiabilidade de equipamentos e sistemas é por meio de distribuições 
estatísticas, que, com o uso de dados amostrais e modelos confiabilísticos adequados, são capazes de 
determinar a probabilidade de ocorrência de um evento. Para que os resultados obtidos sejam os mais 
confiáveis possíveis, é necessário que sejam aplicados os modelos adequados em função dos dados que 
estão sendo analisados. 
 
Os modelos probabilísticos podem ser utilizados nas mais diversas áreas com o objetivo de simplificar a 
análise de dados, apresentando suas principais características. As distribuições estatísticas são funções 
que definem o comportamento de determinado evento utilizando como representação uma curva. 
 
Para a análise correta de confiabilidade, utilizando modelos probabilísticos, é primordial saber qual é a 
natureza dos dados que estão sendo estudados. Os dados obtidos por uma amostragem, que também 
podem ser chamados de variáveis aleatórias, são divididos em duas categorias: discretos e contínuos. 
 
 
A busca por qualidade e confiabilidade dos produtos e serviços faz com que diferentes métodos 
sejam utilizados para estimar essas características. Uma das formas de estimar a confiabilidade 
é por meio de distribuições de probabilidade, que, a partir do uso do modelo adequado, podem 
trazer respostas sobre o que esperar de determinando item. Para a aplicação correta dos 
modelos, é importante saber a diferença entre variáveis aleatórias discretas e contínuas, além 
das características individuais de cada modelo. 
Os modelos de probabilidade são muito úteis na modelagem e solução de problemas a partir de 
uma amostra coletada. A partir dos dados coletados, é importante escolher a distribuição de 
probabilidade adequada, sendo que, na maioria dos casos, o próprio fenômeno define sua 
distribuição, em função da natureza da variável que está sendo analisada. 
A- Modelos Confiabilísticos: uma função que atribui um número real a cada resultado do 
espaço amostral é denominada variável aleatória, sendo que as variáveis aleatórias podem 
ser discretas ou contínuas. As variáveis aleatórias discretas são os valores possíveis que 
constituem um conjunto finito ou infinito enumerável, como o número de peças defeituosas, 
a quantidade de falhas em um equipamento, etc. Já as variáveis aleatórias contínuas são 
os valores que assumem um intervalo finito ou infinito de números reais, como o pH da 
água, uma distância percorrida, a altura de uma pessoa, entre outros. 
Para variáveis discretas e contínuas, o modelo probabilístico é a coleção de todos os 
valores possíveis com as probabilidades associadas a eles. Para uma variável aleatória 
discreta, todos os valores possíveis e suas probabilidades podem ser listadas em uma 
tabela, ou as probabilidades podem ser determinadas por meio de uma fórmula. 
A partir de um modelo probabilístico, não é possível prever exatamente determinado 
comportamento, mas é possível estimar o que se espera que aconteça. 
Os modelos probabilísticos podem ser utilizados nas mais diversas áreas, com o objetivo de 
simplificar a análise de dados, apresentando suas principais características. Existem 
diversos modelos probabilísticos para a análise de dados de confiabilidade, que podem 
ser chamados de modelos confiabilísticos, pois incluem, além de modelos matemáticos, 
também modelos computacionais, como a simulação numérica, e até modelos físicos, como 
protótipos. A partir da modelagem probabilística da forma como um sistema falha, é possível 
determinar a sua confiabilidade. 
B- Modelos para Variáveis Discretas: o modelo mais simples para variáveis discretas é o 
modelo uniforme, em que cada um dos resultados tem a mesma probabilidade. 
Algumas variáveis discretas podem ser modeladas a partir das tentativas de Bernoulli, que 
são situações em que: 
 Existem somente dois resultados possíveis em cada tentativa, denominados sucesso e 
fracasso; 
 A probabilidade de sucesso p é a mesma em cada tentativa; 
 As tentativas são independentes. 
No âmbito da confiabilidade, podemos considerar outros resultados, como em 
funcionamento ou em falha, produto com qualidade ou produto com defeito, entre outras 
opções. 
Sempre que se deseja saber quantas tentativas são necessárias para alcançar o primeiro 
sucesso, é utilizado o modelo probabilístico geométrico. Esse modelo é especificado por 
um único parâmetro, que é a probabilidade de sucesso p, e, para as tentativas de Bernoulli, 
pode ser expresso por: 
 
Onde P é a probabilidade de sucesso, X é o número de tentativas até que o sucesso ocorra 
e q é a probabilidade de fracasso. Para esse modelo, o valor esperado (média) μ e o desvio 
padrão σ são, respectivamente: 
 
Já quando desejamos saber o número de sucessos em uma determinada quantidade de 
tentativas, temos um modelo probabilístico binomial, em que são necessários dois 
parâmetros: o número de tentativas n e a probabilidade de sucesso p. Esse modelo para as 
tentativas de Bernoulli é expresso por: 
 
Onde n é o número de tentativas e X éo número de sucessos em n tentativas. A média e o 
desvio padrão para esse modelo são, respectivamente: 
 
Nem todos os eventos discretos podem ser modelados pelas tentativas de Bernoulli, 
principalmente quando se deseja saber o número de eventos em um determinado intervalo 
de tempo ou espaço. Esses casos podem ser modelados pela variável aleatória de Poisson 
— o modelo de Poisson —, em que a média da distribuição (valor esperado) é 
representada por λ e o desvio padrão para esse modelo é . 
 
C- Modelos para Variáveis Contínuas: Para aplicações industriais, em que os dados 
geralmente são mensurados por variáveis contínuas, como o tempo de uma parada de 
manutenção e o tempo até a falha em determinado equipamento são necessários modelos 
probabilísticos contínuos. 
Nesses casos, a distribuição de probabilidade pode ser exibida por meio de uma curva, que 
é chamada de função da densidade da probabilidade f(x). 
As funções de densidade devem atender dois requisitos: 
 Permanecer não negativas para cada valor possível; 
 A área total abaixo da curva deve ser exatamente 1,0. 
Para variáveis contínuas, também existe o modelo uniforme, em que os eventos devem 
ser igualmente prováveis. A função de densidade de uma variável aleatória uniforme 
contínua, entre o intervalo a e b, pode ser definida por: 
 
Os modelos normais são modelos contínuos que são bastante utilizados como 
aproximação para eventos discretos, quando o número de eventos possíveis é grande. 
Os modelos normais geralmente possuem alguma propriedade especial. Um exemplo dessa 
propriedade especial é que a soma ou a diferença de duas variáveis aleatórias normais 
independentes também é normal. 
A curva dos modelos normais apresenta a forma de um sino, conforme mostra a Figura 
abaixo, e as probabilidades podem ser encontradas por meio de tabelas ou programas 
computacionais. 
 
O modelo exponencial pode ser utilizado para modelar o tempo entre dois eventos. 
 
Se uma variável aleatória discreta pode ser modelada por um modelo Poisson com taxa λ, 
então os tempos entre os eventos podem ser modelados por um modelo exponencial com o 
mesmo parâmetro λ”. 
A função de densidade exponencial para diferentes taxas de falha é ilustrada no gráfico da 
Figura abaixo. 
 
A probabilidade, que é a área abaixo da densidade exponencial entre quaisquer dois valores 
s e t, é: 
 
D- Distribuições Estatísticas: A estatística lida com a coleta, a apresentação, a análise e o 
uso dos dados para tomar decisões e resolver problemas”. Os métodos estatísticos são 
utilizados para ajudar no entendimento da variabilidade dos dados. 
Os dados coletados durante uma amostragem podem ser agrupados de forma organizada 
em tabelas e gráficos para que sejam analisados e as estatísticas descritivas, como média, 
desvio padrão e variância, sejam definidas. Esses dados organizados podem ser chamados 
de distribuição de frequência. 
As estatísticas são funções de variáveis aleatórias e cada estatística tem uma distribuição 
que determina quão bem a estatística estima uma qualidade. 
O valor esperado de uma variável aleatória, que é obtido a partir de um modelo e também 
chamado de média, é representado por μ. Para uma variável aleatória discreta, ele pode ser 
calculado por: 
 
Ou seja, é a soma de todos os produtos resultantes da multiplicação de cada valor possível 
da variável pela probabilidade de que ela ocorra. 
Já o desvio padrão, σ, de uma variável aleatória discreta é o desvio de cada valor em 
relação ao valor esperado, elevando-se o resultado ao quadrado; ou seja: 
 
O desvio padrão equivale à raiz quadrada da variância Var(x), que é o valor esperado 
desses desvios elevados ao quadrado, sendo obtida pela soma da multiplicação do desvio 
padrão pela probabilidade. 
 
As distribuições estatísticas são funções que definem uma curva, ou seja, o 
comportamento de determinado evento, enquanto a área abaixo dessa curva representa a 
probabilidade de esse evento ocorrer. Dessa forma, as distribuições estatísticas também 
podem ser chamadas de distribuições de probabilidade ou distribuição amostral. 
As distribuições estatísticas podem ser divididas basicamente em duas grandes categorias, 
análise de variáveis aleatórias discretas e análise de variáveis aleatórias contínuas, sendo 
que, para a aplicação industrial e, consequentemente, da confiabilidade, as variáveis 
aleatórias contínuas são mais comuns. 
E- Principais Distribuições Estatísticas em Confiabilidade: Quando se trata da 
confiabilidade, cada distribuição de probabilidade pode gerar diferentes estimativas para as 
características de durabilidade do produto. Então, a utilização de um modelo inadequado 
pode levar a erros. 
Para as variáveis contínuas, as distribuições descrevem processos em que não é possível 
especificar probabilidades para pontos individuais, mas, sim, para intervalos, como 
distribuição exponencial, distribuição normal, distribuição log-normal e distribuição de 
Weibull. 
Já para as variáveis discretas, as distribuições são associadas aos resultados de ensaios 
em que é possível conseguir um número de sucessos ou fracassos esperados, como 
distribuição de Poisson e distribuição binomial. 
- Distribuição Exponencial: a distribuição exponencial possui uma função taxa de falha 
constante, sendo a única distribuição absolutamente contínua com essa propriedade. 
Taxa de falha é a relação entre o número de falhas e o tempo total de operação. 
Essa distribuição pode ser considerada uma das mais simples em termos matemáticos e 
tem sido utilizada para modelar o tempo de vida de produtos e materiais (óleos isolantes, 
dielétricos, entre outros), o tempo até a falha de um equipamento (componentes eletrônicos, 
peças mecânicas, etc.), entre outras aplicações diversas. 
Alguns exemplos de aplicações da distribuição exponencial são: 
 Tempo entre as avarias de um equipamento; 
 Tempo entre as chegadas de aeronaves a um aeroporto; 
 Distância entre duas falhas sucessivas em uma fita magnética; 
 Distância entre buracos em uma rodovia. 
- Distribuição Normal: também conhecida como distribuição gaussiana, foi desenvolvida por 
matemáticos e físicos para descrever erros experimentais obtidos em medidas físicas. Todo 
processo de mensuração está sujeito a um erro de medida, que pode ter diferentes fontes, 
como variação de temperatura, tempo e outras características não identificáveis. 
A distribuição normal pode ser considerada a distribuição contínua mais importante, pois, 
mesmo que os dados não sejam distribuídos segundo uma normal, a média dos dados 
converge para uma distribuição normal, conforme o número de dados aumenta. 
Como exemplos de aplicação de uma distribuição normal, temos: 
 Altura ou peso de uma população; 
 Pressão sanguínea de um grupo de pessoas; 
 Tempo que um grupo de estudantes gasta para realizar uma prova; 
 Pontuações em testes. 
- Distribuição Log-Normal: é bastante utilizada para caracterizar o tempo de vida de 
produtos e materiais, como fadiga de metal, semicondutores, diodos e isolação elétrica. A 
distribuição log-normal tem sido o modelo de distribuição de vida mais comumente usado 
para aplicações de alta tecnologia, pois é baseada no modelo de crescimento multiplicativo. 
Esse efeito multiplicativo é acumulado para provocar uma falha, o que justifica sua 
aplicação para modelar peças ou componentes que falham principalmente devido ao 
estresse ou à fadiga, como: 
 Falha em função de reações químicas ou degradação (corrosão, migração e difusão); 
 Tempo até a fratura em metais sujeitos ao crescimento de fissuras por fadiga; 
 Componentes eletrônicos que exibem diminuição do risco de falha após determinado 
período de tempo. 
Existe uma relação entre as distribuições log-normal e normal, pois o logaritmo de uma 
variável que segue a distribuição log-normal com parâmetros μ e σ tem distribuição normal 
com média μ e desvio padrão σ. Isso significa que dados provenientes deuma distribuição 
log-normal podem ser analisados segundo uma distribuição normal, se considerarmos o 
logaritmo dos dados, em vez dos valores originais. 
Na Figura abaixo, são apresentadas algumas formas da função densidade de probabilidade 
da distribuição log-normal. 
 
- Distribuição de Weibull: foi proposta em estudos relacionados ao tempo de falha devido à 
fadiga de metais e, atualmente, é utilizada para descrever o tempo de vida de produtos 
industriais. Essa distribuição descreve de forma adequada a vida de mancais, componentes 
eletrônicos, cerâmicas, capacitores e dielétricos. 
É usada para avaliar a confiabilidade de aplicações como tubos de vácuo, capacitores, 
rolamentos de esferas, relés e resistências de materiais. Ela também pode modelar se uma 
função de risco está diminuindo, aumentando ou se permanece constante. 
A distribuição de Weibull pode não funcionar muito bem para falhas de produtos causadas 
por reações químicas ou processos de degradação, sendo esses tipos de situações 
modeladas usando a distribuição log-normal. 
A distribuição de Weibull apresenta uma grande variedade de formas, mas todas com a sua 
função de taxa de falha monótona, ou seja, estritamente crescente, estritamente 
decrescente ou constante. Na Figura abaixo são apresentadas algumas das formas da 
função densidade de probabilidade dessa distribuição. 
 
- Distribuição de Poisson: é utilizada para calcular probabilidades de ocorrência de falhas 
raras em sistemas e componentes, quando o número de ensaios é grande e a probabilidade 
é pequena. 
Pode ser utilizada em aplicações como: 
 Acidentes com automóveis; 
 Erros de digitação; 
 Carros que chegam a um posto de gasolina; 
 Falhas em componentes por unidade de tempo. 
 
Custos relativos a pneus são o terceiro maior custo nos transportes de carga, ficando atrás apenas daqueles com 
combustível e com mão de obra. Além disso, mais da metade das paradas de caminhões na beira da estrada é 
por falhas relacionadas aos pneus. 
Uma das formas de modelar o tempo de vida para um pneu é por meio de distribuições estatísticas e de 
probabilidade, conforme exemplo abaixo: 
 
 
 
Aula 4: Funções Estatísticas de Confiabilidade II 
A confiabilidade remete à ideia de operação de um sistema com sucesso ao longo do tempo, ou 
seja, livre de falhas. No entanto, essa perpetuidade é conceitual, e a confiabilidade assume 
característica de probabilidade. Para você indicar a confiabilidade de um sistema, deve assumir 
a probabilidade com que ele falha ou pode falhar, sendo que o tempo em que isso pode ocorrer 
é uma variável aleatória, considerada como o intervalo compreendido entre o momento de 
partida (início de operação) e o instante da falha. Você pode obter efetividade na sua análise 
por meio das funções densidade e distribuição acumulada de falhas e a taxa de risco. 
Em engenharia, as funções estatísticas são importantes ferramentas quantitativas de análise de 
confiabilidade. A conceituação das principais funções de confiabilidade e a compreensão de seu 
significado prático facilitam a introdução às medidas de confiabilidade por métodos estatísticos. 
 
 
Para as engenharias, é importante compreender que condições ambientais, operacionais, 
robustez de projeto, entre outras variáveis, afetam a confiabilidade. No estudo de como a 
frequência dos fenômenos se comporta, as análises estatísticas de confiabilidade 
compreendem funções importantes como a função de distribuição acumulada de falha, a função 
densidade de falha, a taxa de risco e a função confiabilidade. 
Definida como a probabilidade de um item ou equipamento operar corretamente por 
determinado tempo e sob determinadas condições (ABNT NBR 5462:1994), a confiabilidade é 
mensurável e pode apresentar-se variavelmente devido às condições do ambiente, de 
operação, entre outras. Tal fato pode ser interpretado como uma possibilidade de ocorrência de 
falhas aleatoriamente, a qualquer momento. São vários os fatores que podem impactar a 
probabilidade de um sistema falhar e a frequência de fenômenos, e a escala de tempo pode ter 
estimativa em ciclos, e não em calendário. Nesse sentido, as análises de confiabilidade 
compreendem funções estatísticas apropriadas. 
Para indicar a confiabilidade de um sistema, deve-se assumir a probabilidade de falha, sendo 
que o tempo em que a falha pode ocorrer é uma variável aleatória, considerada como o 
intervalo compreendido entre o momento de partida (início de operação) e o instante da falha. 
Pode-se obter efetividade na análise por meio das funções densidade e distribuição acumulada 
de falhas e da taxa de risco. 
A- A Função Densidade de Probabilidade de Falhas e a Distribuição Acumulada de 
Falhas: Na estatística, uma função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é 
uma função que a cada número real x associa o valor: 
 
Isso remete à imagem inversa do intervalo (−∞, x) pela variável aleatória X, de modo que o 
domínio da função de distribuição acumulada F(x) são os números reais R e a sua imagem 
é o intervalo (0,1). Conhecendo a função, é possível entender o comportamento da variável 
aleatória dada em toda a reta, mesmo que esteja em apenas um intervalo dos reais. 
A função de distribuição acumulada é assim denominada porque acumula as probabilidades 
dos valores inferiores ou iguais a x. O tempo transcorrido entre o instante em que se inicia a 
operação do sistema até a ocorrência da sua primeira falha é denominado tempo até a 
falha, assumindo, por convenção, t = 0 como início da operação do sistema, e é sempre 
uma variável aleatória não negativa distribuída continuamente. 
O tempo T é uma variável aleatória contínua, que denota o tempo até a falha. Portanto, a 
probabilidade de falha no intervalo de tempo (0, t) é dada por: 
 
Assim, a função de distribuição acumulada de falhas fornece a probabilidade de a falha 
ocorrer em um intervalo de tempo pretendido. Em uma distribuição hipotética, tomamos a 
curva de Gauss para representar graficamente a curva de distribuição de probabilidades, 
como ilustra a Figura abaixo. 
 
Observe na curva tomada hipoteticamente que a área delimitada por toda a curva 
representa a totalidade das probabilidades de ocorrência de falha ao longo do tempo, de 0 a 
X, ou seja, 100%, e a função tem valor 1. 
B- A Função Densidade de Falha: A função densidade de probabilidade representa, para 
uma variável aleatória contínua, a distribuição de probabilidade, descrevendo a curva da 
probabilidade de ocorrência de cada valor da variável. A probabilidade, no entanto, é obtida 
pela integral da função em um intervalo delimitado, em que, sob toda a curva, a área tem 
valor 1. 
A densidade de falha, definida como a variação da probabilidade de falhas por unidade de 
tempo, é dada por: 
 
Na Figura anterior, você pode observar que a faixa de tempo em que se assume a 
probabilidade de falha é representada por uma linha, indicando um momento exato; assim é 
obtida a densidade de probabilidade de falha para o instante. Se você delimitar o intervalo 
de tempo em uma faixa específica, como μ−σ, μ+σ (faixa mais escura), terá a densidade de 
probabilidade para aquele intervalo. 
A probabilidade de um sistema sobreviver no decorrer de um determinado tempo, como 
análise de confiabilidade, requer uma modelagem apropriada dos tempos observados. As 
funções de confiabilidade dependem da parametrização correta das distribuições de 
probabilidade. 
C- A Função Confiabilidade e a Taxa de Falha: A função confiabilidade R(t) é também 
denominada função de sobrevida, pois representa a probabilidade de o sistema operar sem 
falhas no intervalo de tempo (0, t) e, ainda, operar em t. Você pode deduzir a função 
confiabilidade a partir da suposição de ensaio de um item qualquer. 
Em uma condição de testes controlados, submete-se uma quantidade n de unidades 
idênticas do item ao ensaio. Ao transcorrer um intervalo de tempo, teremos um número de 
unidades que não apresentaram falha,ns (t), e de unidades que falharam, nf (t). 
Relacionando-se a razão entre a quantidade de elementos sobreviventes (que não 
falharam) e a sua totalidade, teremos: 
 
Considerando a variável aleatória T, 
 
Teremos: 
 
D- Taxa de Falha: a taxa de falha λ ou taxa de risco de uma unidade qualquer é a razão entre 
o número de falhas observado e o tempo total de funcionamento do item, conforme a 
fórmula: 
 
A quantidade de falhas que varia em função do tempo se comporta de três maneiras 
diferentes — decrescente no início do tempo, constante e crescente ao final — para a 
mesma unidade, seja ela um produto ou um sistema. 
A taxa de falha h(t), também conhecida como função de risco, com relação à função 
confiabilidade, é a probabilidade de o sistema falhar em um intervalo de tempo t e t + ∆t. Ou 
seja, trata-se da associação da quantidade de risco de falha por unidade de tempo, que 
deve ser escrita da seguinte forma: 
 
Com relação à função confiabilidade, associamos a taxa de falha da seguinte forma: 
 
Se, em t, o sistema opera com sucesso, 
 
A taxa média de falha em um intervalo (t, t + ∆t) resulta da razão entre a equação acima e 
∆t. Se o intervalo ∆t tender a zero, obtém-se a taxa instantânea de falha, agora indicada por 
h(t): 
 
Considerando a função de risco 
 
E R(0) = 1, por definição: 
 
De modo que: 
 
A relação entre função densidade e função de risco se dá por: 
 
Um importante conceito associado à confiabilidade é o tempo médio até a falha (MTTF), que 
representa o valor esperado para a variável aleatória T. O MTTF, obtido em condições de 
testes ou em mensurações de tempo operacional em campo, pode ser interpretado como a 
vida útil média de um item. Quando os tempos exatos para a falha são desconhecidos 
(dados censurados), a média aritmética dos dados pode não refletir uma medida confiável 
do centro, devido à omissão de alguns dos tempos de falha. O MTTF é uma estimativa do 
centro teórico da distribuição, que considera observações censuradas e pode ser obtido 
pela expressão: 
 
E- Cálculo da Taxa de falhas Baseado na Distribuição de Confiabilidade: Tome como base 
que a função distribuição de probabilidade de falha, em uma medida de itens falhados por 
unidade de tempo em razão do número total de itens, é dada por: 
 
Essa função se associa com a função confiabilidade da seguinte forma: 
 
Podendo-se obter a função densidade de falha a partir da derivada dessa equação: A 
função densidade de falha é, então, descrita como o número de elementos falhados em 
função do tempo sobre o número inicial de itens, a mesma definição de taxa de falha 
descrita anteriormente. Agora, pode-se constatar que f(t) e λ(t) são equivalentes quando o 
número de itens expostos é igual ao número inicial, ou seja, no início do tempo. Em uma 
análise matemática mais aprofundada: 
 
Sendo: 
 
Conforme demonstrado matematicamente, a função confiabilidade se associa com a 
distribuição de probabilidade que se tem para os tempos de ocorrência de falha. Desse modo, 
as distribuições estatísticas permitem que tenhamos funções de confiabilidade afetadas por 
diferentes parâmetros. Algumas formas assumidas pelas funções de confiabilidade são as 
distribuições normais, log-normais, exponenciais, Weibull, Poisson, entre outras 
O Quadro 1 apresenta uma relação entre as medidas de confiabilidade. Além das funções de 
confiabilidade R(t), densidade f(t)e taxa de risco h(t), constam a função acumulada de risco H(t) 
e a função de vida residual média L(t). 
 
Exemplo 1 
A função de risco pode ser descrita por λ e obtida a partir da distribuição de confiabilidade. Por 
exemplo, em uma situação de testes de confiabilidade, em que os tempos de falha apresentem 
uma distribuição exponencial, conforme a função densidade dada por 
 
E com função confiabilidade igual a 
R(t) = e–λt 
A função de risco será dada por: 
 
Sendo que λ é a taxa de falha para a distribuição exponencial, que pode ser obtida por meio da 
função confiabilidade. Nesse caso de distribuição exponencial, λ é constante, ou seja, 
independe do tempo. 
Exemplo 2 
Veja uma aplicação do cálculo da taxa de falhas. 
A engenharia de produção de uma empresa, após mensurar, coletar e tratar dados da operação 
de um sistema em testes, descreveu a sua função confiabilidade como: 
 
Pois bem, pela definição da taxa de falha, temos: 
 
A taxa de risco obtida é: 
 
Exemplo 3 
Um ensaio acelerado realizado em uma amostragem de 500 acionadores manuais foi 
distribuído em intervalos de 10.000 ciclos e conduzido até a falência de todas as peças, a fi m 
de determinar as funções de confiabilidade, sendo que, a cada intervalo, foram removidas as 
peças com falha. Foram obtidos os seguintes dados. 
 
Solução: 
Primeiramente, deve-se considerar as quantidades de itens com falha e sobreviventes para 
cada intervalo; então, aplicando as fórmulas, deve-se calcular as funções desejadas, nesta 
ordem: 
 
Pode ser considerado o número de itens sobreviventes do intervalo anterior, do intervalo 
correspondente ou a média de ambos. No caso, optou-se pelos anteriores. 
Para melhor visualização, os resultados foram agrupados no quadro abaixo, fazendo 
correspondência com as respectivas séries de teste. 
 
Na gestão da confiabilidade, são requeridos procedimentos e técnicas desde a fase de projeto 
até o momento de pós vida da unidade, seja produto ou sistema, para assegurar seu sucesso. A 
eficiência dessa gestão requer que seus atores estejam habituados, muitas vezes, com 
ferramentas matemáticas e estatísticas. 
 
Aula 5: Análise dos Modos de Falhas, Efeitos e Criticidade (FMECA): 
Em análises de confiabilidade, uma das ferramentas empregadas para considerar os modos e os 
efeitos das falhas é o FMECA. Esta é uma metodologia de análise baseada em FMEA, mas que 
considera, ainda, a criticidade dos modos e efeitos das falhas. Com isso, é possível, determinar 
ações de prevenção e correção direcionadas aos fatores críticos do sistema. 
As políticas de confiabilidade das empresas são compostas por filosofias, métodos e procedimentos. 
Além disso, há diversos instrumentos que auxiliam as pessoas nas suas ações. 
Veja, no Infográfico, como é a metodologia FMECA. 
 
 
Um instrumento muito importante nos processos de gestão da confiabilidade é a metodologia de 
análise de modos e efeitos de falha (FMEA, do inglês failure modes and effects analysis). 
Abrangendo o aspecto da criticidade, a FMEA origina a análise dos modos de falhas, efeitos e 
criticidade (FMECA, do inglês failure modes, effects and criticality analysis). 
 
A FMECA é uma metodologia empregada para realizar estudos tanto da probabilidade como da 
potencialidade das falhas em um sistema, mesmo que ainda em fase de projeto. Para possibilitar 
sua compreensão, é necessário abordar tanto os conceitos como os aspectos práticos dos 
elementos que compões sua principal função: a de definir a criticidade dos modos e efeitos das 
potenciais falhas. 
 
A- Qual é a Diferença entre FMEA e FMECA: A FMEA é um método qualitativo que avalia os 
possíveis modos de falha dos itens. Modo de falha é a expressão que caracteriza o processo e 
o mecanismo de falha que ocorre. Qualquer unidade pode apresentar diferentes modos de falha, 
podendo estes se tornarem mais ou menos evidentes, em conformidade com a função que a 
unidade exerça naquele caso específico. 
 
Um aspecto importante a ser tratado na análise da FMEA é a causa geradora do modo de falha. 
Com base nas análises realizadas sobre os modos de falha e seus efeitos, a FMEA tem como 
função servir como uma ferramenta para prognóstico de falhas e para auxiliar no 
desenvolvimento e na análise de projeto de produtos, processos ou serviços. O conhecimento 
dos modos de falha dos itens, em qualquer fase do ciclo de vida do produto, possibilita adotar 
medidas técnicas para resguardar a manifestação daquele modo de falha. Sendo assim, essa 
análise auxilia nos aspectos de mantenabilidadee confiabilidade. A FMEA, por ser um 
documento, pode evitar que problemas apresentados venham a ocorrer novamente, visando à 
melhoria contínua. 
 
A FMECA, por sua vez, significa análise dos modos de falhas, efeitos e criticidade. A principal 
diferença entre FMEA e FMECA se dá pelo fato de que a FMEA é uma técnica mais qualitativa, 
sendo muito utilizada na avaliação de projetos, enquanto a FMECA inclui o que se denomina 
análise crítica. A análise crítica é um método quantitativo utilizado para classificar os modos e 
efeitos de falhas críticas, considerando as probabilidades de ocorrência. A FMECA identifica a 
função de cada componente, seus potenciais modos de falha, os efeitos e suas causas e faz a 
classificação em relação aos graus de criticidade. 
 
A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), na norma NBR 5462:1994, adota a sigla 
originária do inglês FMEA e a traduz como sendo análise dos modos de falha e seu efeito, e 
define a FMECA como sendo a análise dos modos de pane e os seus efeitos, em conjunto com 
uma avaliação da probabilidade de ocorrência e do grau de criticidade das panes (ABNT, 1994). 
 
A FMECA determina os aspectos críticos para os modos de falha, a fim de reduzi-los; ou seja, 
identifica os níveis de importância ou criticidade dos problemas potenciais para que sejam 
mitigados ou evitados, como sugere sua aplicação na fase de projeto, considerando prevenir as 
falhas. A criticidade, que, conceitualmente, é o elemento que difere a FMEA da FMECA, é um 
índice calculável, e, por isso, permite a classificação das falhas de modo a se priorizar as ações 
de prevenção. 
 
Há uma volumosa gama de publicações que tratam de FMECA como sendo FMEA e a 
apresenta da seguinte forma: 
 
FMECA = FMEA + C 
 
Onde: 
 
C = criticidade = (ocorrência) × (severidade) 
 
Na FMECA, como definido por Oakland (1994), o índice calculado é o número de prioridade de 
risco (NPR ou RPN, do inglês risk priority number), e alguns autores atribuem o valor ao modo 
de falha e outros a cada causa do modo de falha: 
 
NPR = probabilidade de ocorrência × grau de severidade × capacidade de detecção 
 
Independentemente da definição conceitual, é imprescindível ao usuário dessas ferramentas que 
se tenha domínio do que é modo de falha e efeitos. 
 
Veja, a seguir, as definições: 
 Modo: é a “forma ou maneira de ser ou manifestar-se uma coisa”; “maneira ou forma particular 
de fazer as coisas, ou de falar”; “maneira de conseguir as coisas; meio, via”. 
 Falha: “defeito”, “desarranjo, enguiço” ou “ato ou efeito de falhar”, referindo-se a FALHAR 
como “não dar o resultado desejado, não ser como se esperava”. 
 Efeito: “resultado produzido por uma ação ou um agente, denominados causa em relação a 
esse resultado”, “consequência, resultado”, “fim, destino”. 
 Causa: “aquilo que determina a existência de uma coisa”; “o que determina um 
acontecimento”; “agente, motivo, razão”; “origem, princípio”. 
 
Assim, o modo de falha é uma anomalia que acontece em determinado componente, e um efeito 
ocorre em nível de sistema. Essa anomalia deve ser descrita em termos de função ou 
especificações de projeto, processo ou uso. Um debate pode ocorrer entre modo de falha e 
causa do modo de falha, devendo-se levar em conta que o importante é que a falha seja 
considerada na análise, para que, no futuro, sejam tomadas as medidas necessárias para sua 
eliminação. 
 
B- Fatores e Valores nos Cálculos de Criticidade: a análise de criticidade fornece um grau de 
importância a cada modo de falha apontado na FMEA. 
 
Esse grau de importância, que é classificado de acordo com a gravidade de cada modo de falha 
e a sua probabilidade de ocorrência, possui critérios para classificação. Por meio de tais 
critérios, é possível designar a cada modo de falha uma ação, que necessitará ser realizada 
conforme o impacto da mesma no funcionamento do sistema e na segurança. 
 
Antes de calcular a criticidade, você deve considerar as seguintes variáveis: 
 P = probabilidade de cada modo de falha ocorrer (1= baixa e 10 = alta); 
 S = severidade ou gravidade da falha (1 = baixa e 10 = alta); 
 D = dificuldade de detectar a falha antes que o produto seja usado pelo consumidor. 
 
Para calcular a criticidade, então, utilize a fórmula C = P × S × D, denominada como índice de 
criticidade, ou RPN, sendo aplicada para cada modo de falha. Ela indica a prioridade relativa 
para cada modo das tarefas de prevenção de falhas. 
 
- Componentes da Criticidade: é possível assumir os valores de escala para determinar os 
índices de modo/efeito de falha segundo cada fator. Acompanhe: 
 
 Probabilidade — é definida como a probabilidade de ocorrência de uma causa ou potencial 
mecanismo de falha. A sua avaliação na escala de 1 a 10 requer critérios consistentes para 
assegurar êxito nas análises posteriores. 
 
A proposta é que se assuma, para a probabilidade de ocorrência, a relação de resultados de 
análises de engenharia numérica/experimental, das quais se obtêm dados numéricos, 
calculando uma estimativa em função das taxas de falha por meio desta equação: 
 
Ocorrência = (Taxa de Falha/0,000001)0,2 
 
Dessa forma, na escala de 1 a 10, pode-se determinar uma probabilidade extremamente 
elevada conforme apresentado no Quadro abaixo. 
 
 
 Severidade — atribuída em uma escala de 1 a 10, onde 1 representa efeito pouco severo e 10 
representa efeito muito severo; é uma avaliação qualitativa da gravidade dos efeitos listados 
anteriormente. Para determinar o índice da escala para severidade, podem ser considerados os 
critérios apresentados no Quadro abaixo. 
 
 
 
 
 Detecção — a detecção está diretamente associada com a capacidade dos meios existentes 
ou empregados em detectar causas ou modos potenciais de falha antes de o sistema estar 
pronto para operar. Na escala de 1 a 10, 1 representa uma condição em que o modo de falha 
será certamente detectado e 10 representa uma situação contrária, em que o modo de falha não 
poderá ser detectado. Também requer critérios consistentes na atribuição das medidas, 
conforme mostra o Quadro abaixo. 
 
 
 
 
 
Aplicando a fórmula, você pode obter o valor máximo da criticidade, 1.000, pois: 
 
C = 10 × 10 × 10 = 1.000 
 
Assim, os índices de criticidade de cada modo/efeito vão distribuir-se em uma escala entre 1 e 
esse patamar máximo. Observe que esses valores não serão lineares, pois dependem das 
associações entre os fatores. Por exemplo, o valor médio do índice da criticidade, compreendida 
como uma condição moderada de severidade, ocorrência e detecção, não é 500 (C = 1.000/2), 
mas 5 × 5 × 5 = 125. Por isso, os critérios específicos para cada caso devem ser muito bem 
definidos e documentados. 
 
Outras considerações a respeito da classificação da criticidade são obtidas na literatura, como a 
matriz representada no Quadro abaixo. 
 
 
 
Nos sistemas de gestão de ativos, costuma-se proceder classificando os ativos quanto à sua 
criticidade em relação às funções de confiabilidade, quando, então, aplica-se a metodologia 
FMECA. 
 
C- Aplicação de FMECA em Análise de Confiabilidade: A aplicação da metodologia FMECA 
possibilita aos gestores da confiabilidade um conhecimento mais profundo a respeito de 
problemas potenciais e produtos ou processos, priorizando por grau de criticidade os pontos em 
que incidirão ações de correção ou prevenção. Na fase de projeto, sua aplicação assegura 
robustez, com a eliminação ou redução das falhas durante o período inicial de operação. Na 
gestão de ativos, sustenta os índices de confiabilidade dos sistemas produtivos. Em qualquer 
situação, permite a alocação eficiente de recursos na implementação das ações. 
 
A metodologia FMECA tem sua forma de aplicação similar à da FMEA, ou é iniciada a partir 
desta. Emprega-se um formulário apropriado, que é preenchido por uma equipe multidisciplinar, 
cujos integrantespossuem conhecimento técnico suficiente em diversos aspectos do sistema em 
análise. 
 
Você pode elaborar essa análise de confiabilidade ao conhecer intimamente a função do 
sistema analisado, entendendo como funciona, quais são seus componentes e quais fatores 
externos atuam sobre ele. Dessa forma, poderá determinar o nível de detalhamento que será 
abordado para obter êxito. Os dados que subsidiam essa análise preliminar provêm de registros 
históricos de unidades já existentes ou estimativas estatísticas e simulações. 
 
A partir daí, você deve identificar todos os possíveis modos de falhas para cada componente do 
sistema, determinar o efeito da falha de cada item para cada modo de falha apontado, colocando 
em evidência o efeito das falhas com os modos de falha de elementos associados ao item. Sua 
análise deve demonstrar as causas possíveis para os modos de falhas, relacionar os métodos, 
procedimentos e ferramentas para a detecção dessas falhas e estimar a gravidade de cada 
modo de falha e a probabilidade de ocorrência do modo de falha, obtendo, assim, o índice de 
criticidade “C”, equivalente ao RPN proposto por Oakland (1994). 
 
Na próxima etapa de aplicação da FMECA, você precisa se valer da classificação de criticidade 
para definir como, quando e com que empenho financeiro serão adotadas as práticas de 
intervenção necessárias. Tendo em mãos essas informações, parte-se para a elaboração do 
planejamento e, na sequência, a execução das ações. 
 
Os modelos de formulários seguem a orientação de padronização internacional; no entanto, o 
leiaute é desenhado pela própria empresa. O Quadro abaixo mostra um modelo de tabela ou 
formulário FMEA utilizado na metodologia FMECA. 
 
 
 
A metodologia FMECA é aplicada em diversas áreas, desde operações militares a desenvolvimento de bens de 
consumo, de sistemas de atendimento em saúde a projetos de barragens. 
Veja, Na Prática, um exemplo de aplicação de FMECA em barragem de resíduos de mineração. 
 
 
 
Aula 6: Análise da Árvore de Falha (FTA) 
A análise da árvore de falhas (FTA) é uma metodologia aplicada em confiabilidade, que 
sistematiza informações do sistema de modo a determinar as causas de um evento esperado e 
sua probabilidade de ocorrência. A árvore de eventos é uma ferramenta que esquematiza 
graficamente a idealização de um sistema em funcionamento e permite avaliar consequências 
de um determinado evento inicial, descrito na escala de tempo, encontrando, inicialmente, uma 
condição de falha, seguido de causas associadas no sistema, e, como consequência, você tem 
uma série de eventos que se ramificam sequencialmente como resultado dos anteriores. 
 
A condução da metodologia de análise da árvore de falhas segue algumas etapas importantes, 
que vão desde a composição da equipe até a determinação do grau de criticidade dos mecanismos 
de falha, e aplica uma sistematização gráfica e necessita de dados básicos sobre a ocorrência de 
eventos para conduzir aos resultados confiáveis. 
 
Veja, neste Infográfico, as definições de causa raiz e árvore de eventos, além de entender para 
que serve e como se dá a análise da árvore de falhas. 
 
 
 
A- Causa Raiz, Árvore de Eventos e Árvore de Falhas: 
- O que é causa raiz: É um termo muito utilizado popularmente, sendo associado a grandes 
problemas de qualquer área, e remete a uma única grande causa para eventos catastróficos, 
indicando uma resposta lógica e direta. É sabido que os eventos de falha nem sempre são 
explicados com essa simplicidade; porém, existem metodologias de análise capazes de 
afunilar, filtrar e apontar aquelas causas em que uma solução aplicada é eficaz. 
 
Em confiabilidade, a causa raiz é uma razão implícita e/ou fundamental para qualquer falha 
ocorrida ou potencial. Mesmo existindo mais de uma causa responsável pela falha ou risco 
em potencial, considera- -se que existe uma causa principal que leva ao resultado, enquanto 
as outras condições percebidas corroboram para agravar a situação. 
 
A análise da causa raiz pode ser um exercício de investigação de falhas bastante rigoroso, 
mas simples, baseando-se em ferramentas de qualidade populares, como a técnica dos 
cinco porquês. 
 
- Árvore de eventos: Os diagramas de árvore são empregados na identificação de 
possibilidades de solução para problemas. Os diagramas de árvore se constituem de 
ramificações ou desdobramentos da área a ser melhorada e de nós, que são os pontos de 
interpretação lógica. 
 
Assim, a árvore de eventos é uma ferramenta que esquematiza graficamente a idealização 
de um sistema em funcionamento e permite avaliar consequências de um determinado 
evento inicial, descrito na escala de tempo. Na configuração da árvore de eventos, você 
encontra inicialmente uma condição de falha, seguida de causas associadas no sistema; 
como consequência, você tem uma série de eventos que se ramificam sequencialmente, 
como resultados dos anteriores. 
 
Desse modo, uma análise da árvore de eventos consiste em analisar os riscos, avaliando as 
consequências do potencial efeito de uma falha no sistema, sendo o evento inicial 
correspondente a essa falha, enquanto os eventos subsequentes são determinados pelas 
características desse sistema. 
 
- Árvore de Falhas: A árvore de falhas é uma ferramenta de investigação e solução de 
problemas utilizada em projetos, produtos e processos e é descrita como um diagrama que 
representa combinações lógicas de falhas entre componentes de um sistema, o que 
conduzirá a um determinado tipo de falha desse sistema. 
 
Nessa técnica você emprega uma estrutura lógica e operadores lógicos, como E e OU, para 
relacionar causas de falha dos eventos subsequentes, de modo a associar essa falha à 
causa raiz. Diagramas lógicos são representações gráficas que apresentam proposições 
relacionadas a uma questão de raciocínio lógico. Essas proposições envolvem termos como 
todo, algum e nenhum e são denominadas proposições categóricas. Considere que esse 
diagrama descreve uma sequência de eventos, de modo a permitir, a partir de uma lógica 
dedutiva, que se obtenha a causa raiz de uma determinada falha apontada originalmente, 
observando aquela sequência de eventos em ordem inversa (de trás para a frente). 
 
B- Caracterização da Árvore de Falhas: A árvore de falhas é uma representação gráfica no 
formato de diagrama lógico. Sua estrutura é composta por símbolos geométricos que 
representam os eventos ou os operadores lógicos; linhas representam as ramificações, 
associando os eventos e os nós, que são os próprios operadores lógicos. 
 
Empregada para descrever combinações entre os eventos básicos, a estrutura da árvore 
direciona à percepção das probabilidades de ocorrência de resultado negativo, valendo-se 
da particularidade de cada evento que contribui para esse resultado. Assim, a associação 
dos elementos gráficos por meio de análises lógicas indica a probabilidade do evento 
principal. 
 
A Figura 2 apresenta as simbologias utilizadas na elaboração de árvores de falhas. 
 
 
 
A construção da árvore de falhas é baseada em um evento topo, o principal elemento da 
análise, que representa a falha do sistema. Uma vez definido claramente esse evento, você 
vai determinar os eventos secundários que contribuíram para a falha principal e, assim, 
sucessivamente, fazendo a ligação entre os elementos por linhas e operadores lógicos. À 
medida que o processo evolui, seu diagrama vai tomando forma com a reprodução de 
ramificações, sendo que os eventos secundários são as causas do evento topo e a 
consequência dos eventos básicos. O diagrama deve representar essa dependência entre 
componentes diretamente interligados do sistema que está sendo analisado. 
 
No extremo inferior da sua árvore (construída verticalmente), você terá eventos básicos onde 
acaba naturalmente a análise, ou algum evento intermediário, que também não pode ou não 
precisa ser desenvolvido.C- Aplicação da Análise de Árvore de Falhas: a análise de árvore de falhas se dá em cinco 
etapas: construção do diagrama lógico; levantamento de dados da falha; cálculo das 
probabilidades; determinação da criticidade; e proposição de ações corretivas. 
 
- Construção do diagrama lógico: é recomendado que a elaboração do diagrama seja 
conduzida por uma equipe multidisciplinar, com conhecimento técnico das áreas associadas 
aos eventos. Esse corpo técnico deve empenhar-se para agrupar dados pertinentes à 
análise, como documentações de projeto, normas técnicas, relatórios de inspeções, registros 
de intervenções e todo tipo de informação relevante ao sistema. 
 
É importante que o evento topo seja precisamente definido, para facilitar a identificação das 
suas causas. Deve-se relacionar todas as causas dos eventos, que vão sendo organizados 
no diagrama com ramificações e inter-relacionados pelos operadores lógicos. Cada evento 
que é causa do evento topo constitui um ramo com suas causas correspondentes, 
desenvolvendo uma nova ramificação e, assim, sucessivamente. 
 
- Reunião dos dados da falha: Todas as informações que possibilitem indicar a 
probabilidade de ocorrência das causas básicas são coletadas e reunidas. Devem ser 
considerados tanto os dados quantitativos, que corroboram para o cálculo do valor de 
probabilidade da falha, como os dados qualitativos, que auxiliam na formação de estimativas 
da ocorrência do evento pelas lógicas E e OU. Essa etapa pode ocorrer eventualmente em 
paralelo com a elaboração do diagrama, pois uma condução tipo brainstorming permitirá o 
levantamento de dados dos eventos enquanto são relacionados na estrutura gráfica. 
 
- Cálculo das probabilidades: O cálculo matemático da probabilidade dos eventos 
resultantes parte dos dados levantados a respeito das causas básicas. São mais frequentes 
os casos simples de associação dos eventos nas configurações E (sistema em série, com 
entradas em linha) e OU (sistema em paralelo, com entradas em colunas). No entanto, 
casos mais complexos também surgem em análises de árvore de falha e podem ser tratados 
com fórmulas de cálculo apropriadas a cada caso. 
 
Nas seções do sistema com relações em série, o operador lógico E determina que a 
probabilidade de ocorrência do evento resultante é o produto das probabilidades de 
ocorrência das causas. Por exemplo, se um evento depende de duas causas para ocorrer, e 
as probabilidades de esses eventos básicos ocorrerem forem, respectivamente, 0,02 e 0,03, 
teremos: 
 
 
 
Onde P(O) é a probabilidade de ocorrer o evento de saída e P(Ei ) é a probabilidade de 
ocorrência dos eventos de entrada. Nas seções do sistema com relações em paralelo, o 
operador lógico OU determina que a probabilidade de ocorrência do evento resulta da não 
confiabilidade dos componentes de causa, pois ocorre se qualquer um desses eventos 
ocorrer. Por exemplo, se um evento depende de duas causas para ocorrer, e as 
probabilidades de esses eventos básicos ocorrerem forem, respectivamente, 0,02 e 0,005, 
teremos: 
 
 
 
Onde P(O) é a probabilidade de ocorrer o evento de saída e P(Ei ) é a probabilidade de 
ocorrência dos eventos de entrada. 
 
- Determinação da criticidade: Como ferramenta de confiabilidade, a análise da árvore de 
falhas permite, ainda, que sejam determinados os graus de criticidade de cada evento 
básico, uma vez que já se tenha calculado as probabilidades de todas as ocorrências, 
inclusive do evento topo. Pode-se obter o índice de criticidade de uma causa básica 
multiplicando a probabilidade desse evento pela probabilidade condicional de ocorrência do 
evento topo: 
 
Criticidade(Ei ) = P(Ei ) × P(H/Ei ) 
 
Onde P(Ei ) é a probabilidade de ocorrência do evento base e P(H/Ei ) é a probabilidade 
condicional de que o evento topo ocorra, dado que o evento base tenha ocorrido. Por 
exemplo, se um evento base ocorre, sua probabilidade é considerada 100%, ou seja, 1. 
Calculando todas as probabilidades, você tem um certo valor para o evento topo diferente 
daquele, sem considerar certa a ocorrência do evento base. A criticidade será o produto 
desses 100% (1) pelo valor da probabilidade calculada com essa condição. 
Exemplo Prático: Seja um compressor de ar provido de um motor elétrico, um cilindro 
de compressão, dois filtros de ar e um reservatório. Considere a possibilidade de a 
pressão de serviço cair inesperadamente. 
Primeiramente, foi elaborado o diagrama lógico conforme a Figura abaixo. 
 
 
 
- Formulação de ações corretivas e recomendações: O grupo de análise de árvore de 
falha tem capacidade técnica para propor ações sobre os elementos, de modo a eliminar o 
potencial de falhas. As ações corretivas e de melhoria são concentradas prioritariamente nos 
eventos base críticos, ou seja, nos elementos com potencial de falha cujas criticidades foram 
determinadas com maior índice. 
 
A execução das ações propostas pode implicar em alterações importantes em projetos e em 
processos, muitas vezes redesenhando o modelo. Cabe à equipe multidisciplinar reavaliar 
essa eventual nova configuração, bem como documentar adequadamente e zelar pelos 
registros das proposições e acompanhar o desenvolvimento das tarefas, para assegurar o 
sucesso na aplicação da metodologia. 
 
A metodologia de análise da árvore de falhas (FTA) consiste na realização de algumas etapas 
básicas para ser uma ferramenta de confiabilidade eficaz. 
Veja, neste Na prática, como pode ser conduzida a metodologia na resolução de um problema 
de produção. 
 
 
 
Aula 7: Testes de Vida Acelerados I 
Os testes de vida acelerados são métodos de avaliação empregados para abreviar o tempo em que se pode 
observar as falhas de um sistema ou conjunto de componentes, de modo a se coletar dados para análises de 
confiabilidade. 
 
Os ensaios podem ser definidos de diferentes formas de acordo com cada caso, tendo, para isso, projetos 
apropriados de testes de vida. Os dados coletados também podem ser apresentados de formas diferentes: 
completos ou censurados. 
 
Os projetos de testes acelerados de vida determinam as condições de aplicação das cargas às unidades da 
amostra e a intensidade dessas cargas, bem como definem esse número de unidades (o tamanho da amostra) e 
a alocação a cada nível de estresse. 
 
Veja, neste Infográfico, alguns exemplos de projeto de testes acelerados que constituem análises de 
confiabilidade de produtos ou sistemas. 
 
 
 
 
A- Conceitos Fundamentais: Muitas vezes, os objetos das análises de confiabilidade 
apresentam características funcionais que dificultam ou impossibilitam a obtenção de 
dados de durabilidade (ou confiabilidade), por corresponderem a sistemas de vida útil 
relativamente extensa ou de elevada obsolescência, por exemplo. Nesses dois casos, a 
coleta de dados em condições normais de operação dos sistemas não é viável para 
estudos de confiabilidade. 
 
Física e estatisticamente, é possível trabalhar com técnicas que permitem estimar, de 
modo confiável, o tempo médio para ocorrência de falha em condições de ensaio. Esses 
ensaios são denominados de testes acelerados de vida. Por meio deles, você 
consegue encurtar o tempo de observação para detectar as falhas em um grupo de 
amostras, de modo a empregar os dados desses ensaios em análises que descrevam 
com bastante proximidade o comportamento real daquilo que se está testando. 
 
Os testes acelerados fornecem informações confiáveis sobre falhas em componentes e 
sistemas. Normalmente, os testes acelerados consistem em aplicar condições de 
estresse bem mais elevadas do que as condições normais de operação do sistema. O 
comportamento das unidades em teste, nessas condições de sobrecarga, permite a 
obtenção de dados que precisam ser tratados adequadamente, de acordo com as 
propriedades do objeto, os mecanismos causadores das falhas e as condições de 
condução do ensaio, para que correspondam ao comportamento nascondições normais. 
 
O estresse a que se referem esses testes está associado ao mecanismo de falha 
normal do sistema, como tensão elétrica, cargas mecânicas, variações térmicas, etc. 
Assim, você tem basicamente duas formas de elevar esse nível de estresse sobre sua 
amostra ou unidade de teste, conforme descrito abaixo. 
 
 Aumentar a exposição do sistema aos mecanismos de falha. Nesse caso, um 
determinado fator ou a combinação de fatores que, ao longo do tempo, podem levar à 
falha devem incidir com frequência muitas vezes maior, controlando fatores ambientais 
normais de uso que possam interferir nos mecanismos de falha. 
 
 Elevar a intensidade das cargas associadas aos mecanismos de falha. Nesse tipo de 
ensaio, você considera que um determinado nível de tensão normalmente não conduz a 
uma falha eminente ou em um período extremamente curto, mas, gradativamente, o 
aumento da intensidade dessa carga (mecânica, elétrica, térmica) abrevia o tempo 
médio em que a falha possa ocorrer. 
 
Apesar da simplicidade dos casos exemplificados acima, a condução de testes 
acelerados de vida é, obviamente, composta por técnicas e métodos apropriados, que 
são determinados previamente em projetos experimentais específicos para o sistema em 
análise, de acordo com as condições ambientais de operação normal. 
 
Outro aspecto relevante a se observar em testes acelerados de vida diz respeito à 
caracterização dos tempos observados até a ocorrência de falha, obtidos nos testes. De 
modo geral, os dados de tempo para ocorrência da falha vão se apresentar como 
completos ou censurados. Quando você conduz o ensaio até que todas as amostras 
falhem, você obtém dados completos do tempo para a falha, de modo a determinar 
diretamente o valor de tempo médio. 
 
Nos testes em que a obtenção do conjunto de dados completo é impossibilitada por 
condições de ordem técnica ou financeira, e você obtém apenas parte dos dados, esses 
dados parciais são denominados dados censurados. Neles, não se conhece o valor de 
tempo exato até a falha, somente o seu limite inferior, determinado pelo tempo em que o 
teste foi interrompido. O tipo mais comum de dados censurados em ensaios de vida 
acelerados é com censura à direita, quando apenas o limite inferior para o tempo até a 
falha é conhecido. A censura de dados, de um modo geral, ocorre quando apenas uma 
parcela dos elementos ensaiados fornece dados de tempo até a falha. 
 
B- Projetos Experimentais para Testes Acelerados: A maneira como são aplicadas as 
cargas determinantes de falha sobre os itens ensaiados nos testes acelerados de vida 
deve ser definida de acordo com as características do item, a relação entre fatores de 
falha a que este se submete e o seu comportamento em função da variação dos níveis 
de estresse. Os projetos de testes acelerados permitem que você descreva a aplicação 
de estresse sobre o objeto de análise, de modo que possa assegurar uma forma 
adequada para associar tamanho e distribuição de amostra em diferentes níveis de 
estresse. 
 
Os projetos de testes acelerados mais comuns são os de estresse constante, de 
estresse tipo escada, de estresse progressivo e de estresse cíclico. 
 
- Projeto de teste acelerado com estresse constante: Um projeto de testes 
acelerados com estresse constante envolve a distribuição da amostra em níveis 
diferentes de estresse. Cada conjunto de unidades do item é alocado em um certo nível 
de estresse e será submetido a apenas essa aplicação de carga invariável, sendo que os 
demais grupos, cada qual em um nível diferente, podem ser testados ao mesmo tempo, 
por não haver interferência entre os grupos. No entanto, o tamanho da amostra precisa 
ser grande o sufi ciente para assegurar a obtenção de resultados em quantidade viável 
para análise. 
 
Esse tipo de projeto permite analisar simultaneamente toda a amostra, mesmo com 
vários níveis de solicitação; assim, torna-se evidentemente prática a sua aplicabilidade. 
 
- Projeto de Teste Acelerado com Estresse do Tipo Escada ou por Patamares: 
Nesse tipo de projeto, a amostra é submetida em sua totalidade a um certo nível de 
estresse constante, por um período predeterminado, sendo que, a cada intervalo de 
tempo, eleva-se o nível de carga. Desse modo, as unidades sobreviventes em um 
patamar são expostas ao próximo nível de estresse e, assim, sucessivamente, até que 
todas as unidades falhem. 
 
Devido ao fato de se ter toda a amostra sujeita à mesma solicitação, que de tempos em 
tempos é intensificada, é esperado que os testes com estresse do tipo escada sejam 
mais breves do que os de nível constante; porém, esses últimos têm capacidade de 
replicar mais fielmente as condições normais de ciclo de vida do que os primeiros. Isso 
demanda uma análise que permita considerar o efeito acumulativo das solicitações 
crescentes. 
 
- Projeto de Teste Acelerado com Estresse Progressivo: Os projetos de teste com 
estresse progressivo consistem em elevar a intensidade de estresse ao longo do tempo; 
no entanto, esse acréscimo é contínuo. A complexidade para modelar matematicamente 
o comportamento acumulativo das cargas também corresponde à dos testes por 
patamares. Outro fator desfavorável pode ser a dificuldade em aplicar controladamente 
as solicitações continuamente variáveis. 
 
Nos testes com estresse progressivo, deve-se considerar as taxas de solicitação, ou 
seja, a evolução da sua magnitude, que também pode ser linear ou não linear. Por 
exemplo, quando o nível de solicitação aumenta em uma intensidade maior, há 
tendência de que o tempo até a falha seja menor. 
 
- Projeto de Teste Acelerado com Estresse Cíclico: A amostra se submete a um 
padrão de carga que se repete muitas vezes entre dois máximos. Para tanto, é 
necessário definir a frequência, a amplitude e um valor de referência a partir do qual os 
níveis de estresse vão oscilar. 
 
Normalmente se aplica esse tipo de ensaio a componentes eletrônicos que operam em 
corrente alternada. Uma desvantagem desse tipo de teste está na necessidade de 
validação empírica dos dados. 
 
- Projeto de Teste Acelerado com Estresse Tipo Aleatório: Determina condições 
similares às do meio ambiente, onde o estresse se caracteriza pelo comportamento 
aleatório, variando seus parâmetros. Testes acelerados para solicitações aleatórias 
podem seguir as definições de projeto de teste para estresse constante, com o nível de 
carga assumindo um valor médio da solicitação aleatória. 
 
C- Análises de dados Censurados/Dados Perdidos: Os dados censurados fornecem 
informações imprecisas. No entanto, é comum a impossibilidade ou inviabilidade da 
condução dos testes acelerados de modo a se obter dados completos. Portanto, é 
necessária a utilização de métodos apropriados para o tratamento e a análise de dados 
censurados. 
 
- Tipos de Censura à Direita: São três os tipos de censura à direita mais comuns em 
ensaios de confiabilidade, definidos a seguir. Considere n para o tamanho da amostra e r 
para o número de falhas observadas. 
 
O primeiro tipo é a censura por tempo — censura tipo I. Ocorre quando o teste tem 
uma duração predeterminada e é interrompido em um tempo t r, sendo que o ensaio se 
inicia em um momento t = 0; são observados os tempos de falha quando ocorrem dentro 
desse intervalo. Assim, r pode ser (e normalmente é) menor do que n, permitindo a 
existência de um número de tempos desconhecidos (n – r), que chamamos de tempos 
censurados em t r. Também pode-se perceber que a ocorrência da última falha 
observada, pela condição de aleatoriedade, deve ocorrer em um tempo menor do que t r. 
Ainda, existe a possibilidade de não ocorrência de falhas no período de tempo 
predeterminado. 
 
O segundo tipo de censura é a censura por unidade — censura tipo II. A duração do 
teste não é predeterminada em função de tempo, e sim do número r de falhas 
observadas, sendo o instante de interrupçãodo teste um valor aleatório T. Sendo assim, 
a definição desse valor de r permite que o teste forneça uma quantidade de dados 
suficientemente satisfatória para uma análise. Com r conhecido e o teste interrompido no 
momento da ocorrência do último evento desejado, o tempo deste também será 
conhecido. No entanto, é imprevisível a princípio, o que quer dizer que não se pode 
determinar qual será a duração do ensaio até que ele acabe. 
 
O terceiro tipo é a censura aleatória. Ocorre quando as unidades são colocadas em 
teste em momentos distintos ou, com n unidades iniciando em teste no tempo t = 0, as 
interrupções se dão em momentos distintos e aleatórios. Um exemplo é o caso de 
produtos fabricados em momentos diferentes durante o período de observação; quando 
o teste é interrompido, obtém-se tempos diferentes de falha. Outro exemplo é a 
interrupção pela falha de um componente do sistema que não o testado. 
 
- Censura à Esquerda e por intervalo: Esse tipo de censura pode ser evidenciado em 
condições em que o instante em questão não está associado a uma ocorrência de falha, 
mas, sim, a um evento de interesse que tenha ocorrido, como em estudos sociais e em 
ciências naturais. Investigações de exposição ambiental apresentam com frequência 
dados aquém do limite de detecção, que são denominados censurados à esquerda. 
 
Nos casos quando é impossível ou inviável obter dados de tempos exatos de falha, as 
observações podem ser agrupadas em intervalos. Como os tempos exatos não serão 
conhecidos, temos a censura por intervalo. Esse tipo de censura ocorre em ensaios 
com monitoramento intermitente, em que as observações são feitas em inspeções com 
intervalos de tempo definidos entre elas. 
 
Veja no Quadro abaixo uma classificação simplificada dos principais tipos de censura. 
 
 
 
- Tratamento de Dados Censurados: O tratamento dos dados censurados para que o 
conjunto da observação possa ser analisado pode se dar de diversas formas, sendo três 
possibilidades: 
 
1. Descartar os dados censurados e analisar apenas os tempos observados — 
nesse caso, você tem um resultado subestimado, pois ignora justamente os 
dados que representariam os maiores tempos para falha, em uma censura à 
direita; 
 
2. Conduzir o teste até que todas as unidades falhem — obviamente isso nos 
remete à inviabilidade, pois o ensaio seria demorado ou oneroso, apesar de ser 
desejável realizar a análise com dados completos; 
3. Tratar probabilisticamente os dados aplicando a função de verossimilhança — é 
possível estimar parâmetros de distribuição, de modo a descrever o comportamento 
dos tempos de falha, mesmo que existam valores desconhecidos. 
 
Três métodos são propostos para o tratamento de dados gerando estimadores: 
método dos momentos, método dos mínimos quadrados e método da máxima 
verossimilhança. 
 
Independentemente do método empregado, os estimadores devem permitir a 
correspondência com os tempos observados, assegurando sua condição de 
independência ou não tendenciosidade (sem que as estimativas sejam afetadas por 
informações dos dados coletados), bem como sua eficiência (de modo a minimizar a 
variância), sua suficiência e sua consistência (considerando todas as informações 
necessárias para a estimação e correspondendo ao parâmetro populacional). 
 
No entanto, devido à sua importância, enfatizamos esse último. 
 
O método de máxima verossimilhança é amplamente empregado no tratamento 
de dados censurados, possibilitando determinar o parâmetro que melhor descreve a 
amostra; assim, maximiza a verossimilhança dessa amostra observada. 
 
A função de verossimilhança pode ser entendida como a possibilidade de que as 
variáveis aleatórias (correspondentes aos possíveis tempos de falha) em uma 
distribuição de probabilidade assumam os valores dos tempos observados para as 
respectivas falhas. Escreve-se da seguinte maneira: 
 
Se T1 , ..., Tn são variáveis aleatórias em f(t,θ), com θ sendo um parâmetro 
desconhecido, a função de verossimilhança é dada por: 
 
 
 
O estimador de máxima verossimilhança de θ equivale ao valor de θ que maximiza 
L(θ); tal valor é obtido quando igualamos a equação a zero e isolamos θ. Ao 
demonstrar que L(θ) e l(θ) = ln[L(θ)], percebe-se que apresentam seus máximos no 
mesmo valor de θ; porém, em alguns casos, é mais fácil resolver a derivada l(θ). 
Caso se busque amostrar dados censurados, a função da verossimilhança é dada 
por: 
 
 
 
Onde R(t i + ,θ) é a função de confiabilidade com parâmetros θ, avaliada no tempo 
censurado t i + . Podemos observar que a função de confiabilidade é utilizada na 
expressão da função de verossimilhança, em que os dados censurados à direita 
equivalem à probabilidade de o item i sobreviver a um tempo t i +. O logaritmo da 
função de verossimilhança é dado por: 
 
 
 
No Quadro 2, são relacionadas equações válidas para estimadores aplicados em 
algumas distribuições de frequência distintas. 
 
 
Exemplo: Um teste conduzido por 1.000 horas em uma amostra de 10 unidades 
apresentou uma proporção de itens falhados de 80%. Os demais itens 
sobreviveram além das 1.000 horas, sendo que seus tempos de falha são 
censurados à direita com a interrupção do ensaio. Dessa forma, é considerado 
que o limite inferior para o tempo de falha desses itens é de 1.000 horas, por 
não se conhecer o tempo exato. Se as falhas observadas mostraram um 
comportamento de distribuição exponencial, com os respectivos tempos 40, 
80, 140, 180, 280, 320, 420 e 580 horas, vamos determinar a função de tempo 
médio para falha (MTTF). 
 
Para determinar as funções de confiabilidade, é preciso tratar os dados 
aplicando modelagem paramétrica, com os estimadores apropriados ao tipo de 
distribuição observado no ensaio. Como temos censura tipo I, aplicamos a 
equação: 
 
 
 
Aula 8: Testes de Vida Acelerados II: 
Os testes acelerados, conforme modelos físicos ou paramétricos, descrevem o efeito dos fatores acelerados de 
estresse sobre os itens testados, de forma a determinar o seu comportamento em condições normais de 
operação. A definição dos termos de garantia dos produtos leva em conta os dados de confiabilidade 
determinados em testes de vida e em dados de campo. 
Os modelos físicos descrevem a relação não linear entre tempos de falha e os fatores de aceleração de acordo 
com comportamentos observados em processos físicos e químicos. Os modelos paramétricos descrevem 
comportamentos lineares da relação entre os fatores de aceleração e os tempos para falha, assumindo as 
distribuições apropriadas. Modelos de garantia são aplicados para determinar os termos de garantia segundo as 
políticas de garantia adotadas para cada caso e com base em dados de confiabilidade observados nos testes 
acelerados e coletados a campo, de modo a estimar o período ótimo de cobertura, minimizando os custos e 
mantendo uma boa relação de mercado. 
 
Os modelos de aceleração são classificados em físicos e paramétricos. Os modelos físicos baseiam-se em 
comportamentos físicos e químicos, diferentemente dos modelos paramétricos. 
 
Veja, no Infográfico, como se diferenciam os modelos de aceleração de cada um desses tipos. 
 
 
 
 
 
Os modelos de Arrhenius, de Eyring, da lei da potência inversa e de aceleração combinados são modelos 
físicos. Os modelos paramétricos são: da distribuição exponencial, da distribuição de Weibull, da distribuição 
gama e da distribuição lognormal. Os modelos de garantia baseiam-se nas condições de produto reparável ou 
não reparável, e classificam-se em modelo mediante reparo integral e mediante reparo mínimo. 
 
Para avaliar o efeito da aceleração das solicitações sobre os produtos, empregam-se os modelos de 
aceleração, que podem ser físicos ou paramétricos. Os modelos físicos permitem modelar a confiabilidade dos 
itens quando as relações entre tempo de falha e os fatores de aceleração têm comportamentos não lineares, 
como em processosfísicos e químicos. Já os modelos paramétricos descrevem comportamentos lineares da 
relação entre os fatores de aceleração e os tempos para falha. De acordo com as informações de confiabilidade 
resultantes de testes acelerados e dados de campo, pode-se determinar a melhor forma de garantia de um 
produto, de acordo com os modelos apropriados, de modo a definir um bom posicionamento no mercado. 
 
A- Modelos de Dados acelerados: São admitidos como de extrema importância para as análises de 
confiabilidade. Eles relacionam os dados coletados em testes de vida com o comportamento estimado 
para as condições normais de uso de componentes, produtos ou sistemas. Esses modelos são 
abordados neste capítulo em duas categorias principais: os modelos físicos e os modelos paramétricos. 
 
- Modelos físicos: Se baseiam nos efeitos das solicitações em testes acelerados sobre a taxa de falha 
dos itens testados, determinando o valor da aceleração dos tempos para falha e permitindo descrever 
as funções de confiabilidade. As relações entre os tempos observados para falhas em testes acelerados 
e em condições de vida útil normal são não lineares, sendo descritas nos modelos físicos. 
 
- Modelo físico de aceleração de Arrhenius: A equação de Arrhenius descreve o comportamento da 
velocidade com que uma reação química aumenta com o aumento da temperatura. Essa velocidade é 
dada por: 
 
 
 
Onde r é a velocidade da reação, A é um fator constante característico da reação e não térmico, Ea é a 
energia de ativação da reação, k é a constante de Boltzmann (8,623 × 10-5 eV/K) e T é a temperatura 
em Kelvin. 
 
Neste capítulo, a constante de Boltzmann k é dada em função da medida de energia eletrovolt (eV). 
Você também pode encontrar a constante de Boltzmann expressa em outras unidades; veja alguns 
exemplos no Quadro abaixo. 
 
 
 
Assumindo que os tempos até a falha de um componente sejam inversamente proporcionais à taxa de 
reação do mecanismo de falha, o modelo de Arrhenius descreverá: 
 
 
 
A variável L denota o tempo de vida do item, e a constante A se refere a uma estimativa baseada em 
dados do componente, como geometria, tamanho, condições ambientais de teste, etc. Considere Lo e 
Ls como conotações para a expectativa de vida útil em condições normais e em condições de testes 
acelerados, respectivamente. Então, temos: 
 
 
 
De modo que: 
 
 
Com To e Ts sendo as respectivas temperaturas de operação normal e de teste. Assim, o fator de 
aceleração térmica do teste será dado por: 
 
 
 
A linearização da equação pela transformação logarítmica serve como base para a verificação gráfica 
da validação do uso do modelo de Arrhenius em testes acelerados. Sendo a equação linearizada, lnA e 
podem ser estimados por regressão linear simples, com dados de tempo de falha com dois ou mais 
níveis de estresse testados. 
 
- Modelo físico de aceleração de Eyring: Esse modelo foi desenvolvido com base na teoria da 
mecânica quântica para descrever o comportamento de reações de degradação química. Para a 
aceleração por temperatura, o tempo para a falha é dado, no modelo de Eyring, por: 
 
 
 
Onde α e β são constantes estimadas a partir dos dados acelerados. Essas estimativas podem ser 
obtidas por regressão linear simples após a linearização da equação ou por estimadores de 
verossimilhança. 
 
Quando se utiliza a temperatura como variável de aceleração segundo uma distribuição exponencial, o 
parâmetro de localização γ assume o valor zero, inferindo-se a possibilidade de a falha ocorrer logo no 
início do teste. Caso o parâmetro de localização assumisse um valor maior do que zero, significaria que 
só depois desse momento é que se poderia verificar a falha do componente. No modelo de aceleração 
de Eyring, o fator de aceleração é dado por: 
 
 
 
- Modelo da lei da potência inversa: Tem seu número de aplicações em confiabilidade equiparável 
com o modelo de Arrhenius. Esse modelo descreve o tempo para falha com base em um único fator de 
estresse. Esse modelo pode ser aplicado em testes em que o fator de estresse não seja a temperatura, 
como tensão elétrica, solicitações mecânicas, etc. A relação entre o tempo para falha e o fator de 
estresse no teste é dada por: 
 
 
 
Onde Vs é o fator de estresse positivo aplicado às unidades testadas, Ls é um percentil na distribuição 
dos tempos obtidos no ensaio, e C e n são constantes características do item e da modalidade de teste. 
C e n podem ser obtidos por regressão linear simples, com a linearização da equação. 
 
- Modelo físico de aceleração combinado: Também chamado de modelo de Bazovsky, ou modelo 
térmico/não térmico. Denomina-se modelo combinado por associar os modelos de Arrhenius e da 
potência inversa, sendo aplicado exclusivamente a componentes eletroeletrônicos. O modelo 
combinado de aceleração é dado por: 
 
 
 
 
Assim, a relação entre Lo e Ls será expressa por: 
 
 
 
O fator de aceleração para a relação do modelo combinado é dado a partir da relação entre Lo e Ls : 
 
 
 
Também, nesse modelo acelerado, a linearização da equação permite a estimação dos coeficientes n, 
Ea e k por regressão múltipla, já que existem duas variáveis independentes. 
 
- Modelos Paramétricos: Quando a relação entre os fatores de estresse, aos quais a amostra é 
submetida, e o tempo até a falha não pode ser descrita conforme princípios físico-químicos, são 
empregados modelos paramétricos, com a suposição de um comportamento linear dessas relações. 
Para caracterizar os modelos paramétricos, são descritas no Quadro abaixo as relações entre as 
condições normais e as condições de teste. 
 
 
 
- Modelo de Aceleração da Distribuição Exponencial: Sendo considerado matematicamente simples, 
com um único parâmetro λ, o modelo exponencial é apontado como um dos modelos paramétricos de 
maior importância em estudos confiabilísticos, conforme leciona Santos (2016). Considere que a 
distribuição de tempos de falha em testes acelerados é descrita exponencialmente; com o parâmetro λs 
, a função distribuição é dada por: 
 
 
Como: 
 
 
 
É possível estimar as taxas de falha para conjuntos de dados tanto completos como censurados, 
utilizando os estimadores de verossimilhança do parâmetro λ pelas respectivas equações: 
 
 
 
Sendo que n denota o tamanho da amostra, enquanto r expressa o número de unidades falhadas. A 
notação t i indica o i-ésimo tempo para a falha conhecido, enquanto t i + indica o i-ésimo tempo para a 
falha censurado. 
 
Assim, o tempo médio para falha (MTTF, do inglês mean time to failure) do item com solicitações 
normais é dado por: 
 
 
- Modelo de aceleração da distribuição de Weibull: Caracteriza-se pela versatilidade na análise de 
dados simétricos e assimétricos à direita ou à esquerda. A descrição da função distribuição para dados 
de tempo em ensaios acelerados é feita pela equação: 
 
 
 
Quanto aos parâmetros de forma e de escala, respectivamente γ e θ, na distribuição de dados de testes 
acelerados, devem assumir as seguintes condições para distribuições supostamente lineares. 
 γs = γo : o parâmetro de forma deve apresentar-se praticamente igual para qualquer nível de carga, 
podendo ser designado apenas como γ. 
 θo = θs × AF : o parâmetro de escala deve variar linearmente com o fator de aceleração. 
 
Sendo: 
 
 
 
A distribuição em condições normais de estresse é dada por: 
 
 
 
E a função densidade, por: 
 
 
 
Para o tempo médio para falha, emprega-se a equação: 
 
 
 
Sendo que Γ é dada por uma integral definida, designada função gama. 
 
A função gama, baseada em pesquisas da forma de interpolação do fatorial de um número, é 
considerada uma das funções mais importantes na matemática, tendo sido descrita inicialmente por 
Euler no século XVIII. Outros matemáticos estudaram a função, sendo que Legendre a denominou 
função gama. 
 
 
 
O emprego de ferramentas computacionais,como o Proacel®, é utilizada para análises de dados de 
testes acelerados, devido à complexidade da estimação matemática dos parâmetros para a distribuição 
de Weibull. 
 
- Modelo de aceleração da distribuição gama: Permite obter a função densidade para os tempos de 
falha, com aplicação de estresse acelerado, por meio da equação: 
 
 
 
Sendo que o parâmetro de escala é e o parâmetro de forma é γs, o qual deve ser constante em todos os 
níveis de solicitação (γs = γo), para validar a suposição de linearidade. 
 
O parâmetro θs se relaciona com as condições de operação normal pelo fator de aceleração: 
 
θo = θs AF 
 
O modelo de aceleração da distribuição gama apresenta grande similaridade com o modelo de Weibull, 
essencialmente pela função densidade; no entanto, a taxa de risco se diferencia consideravelmente. 
Contudo, a reciprocidade entre os modelos gera complexidade matemática para se determinar a maioria 
das funções de confiabilidade, o que requer tratamento computacional dos dados. 
 
- Modelo de Aceleração da Distribuição Lognormal: A função densidade de tempos para falha 
verificados sob condições de estresse acelerado conforme uma distribuição lognormal é descrita pela 
equação: 
 
 
 
Os parâmetros da distribuição lognormal sob condições de estresse acelerado se relacionam, na 
suposição de aceleração linear, da seguinte forma: 
 σs = σo = σ: equivalente ao parâmetro de forma da distribuição de Weibull (γ); deve demonstrar-se 
aproximadamente igual para todos os níveis de solicitação; 
 μo = μs + lnAF : designa o fator de aceleração. 
 
Pode-se obter o tempo médio para falha nas condições de operação normal pela equação: 
 
 
 
B- Aplicação doa Modelos de Aceleração: 
- Aplicação do modelo Físico de Aceleração de Arrhenius: É empregado quando a temperatura é 
fator de estresse. Por meio desse modelo, é possível estimar a vida útil média do item analisado, 
assumindo-se os dados obtidos de tempo de falha em teste de temperatura elevada. 
 
Exemplo: Um determinado componente eletrônico é destinado a constituir um circuito que opera 
a 40°C. O teste acelerado realizado em um lote desses componentes eletrônicos a 120°C 
apresentou tempo médio para falha de 4.000 horas, com fator de estresse Ea de 0,162 eV/K. 
Podemos, assim, determinar o tempo de vida útil esperado em condições normais. 
 
 
 
Dessa forma, concluiu-se que o tempo de vida útil estimado dos componentes é de aproximadamente 
13.573 horas. 
 
- Aplicação do modelo físico de Eyring: Alternativamente ao modelo de Arrhenius, o modelo de 
Eyring também é utilizado quando a variável de aceleração do teste é a temperatura. O modelo de 
Eyring pode ser empregado para outros fatores de estresse além da temperatura, como tensão elétrica. 
 
- Aplicação do modelo físico da lei da potência inversa: O modelo da lei da potência inversa é 
amplamente utilizado não só em testes acelerados, podendo descrever inclusive comportamentos 
antropológicos e eventos naturais, como a intensidade de terremotos. As distribuições associadas ao 
modelo da lei da potência inversa dependem frequentemente do tipo de fator de estresse, por exemplo, 
distribuição lognormal para tensão elétrica e Weibull para solicitações mecânicas. 
 
- Aplicação do modelo físico combinado: Esse modelo é aplicado quando os testes acelerados 
empregam dois fatores de estresse simultaneamente, em geral, um térmico e outro não térmico, que 
normalmente é a tensão elétrica. Tipicamente, pode-se aplicar esse modelo em componentes elétricos e 
eletrônicos, devido aos tipos de solicitações a que estes estão sujeitos. 
 
Exemplo: Um determinado componente eletrônico que opera à temperatura normal de 35ºC e em 
uma tensão de 28V é testado com energia de ativação de Ea de 0,3 eV/K em mais de um nível de 
estresse e temperatura. Obteve-se o comportamento apresentado no Quadro abaixo. 
 
 
Como é necessário, inicialmente, encontrar o valor do coeficiente n, aplicou-se a equação do 
modelo combinado com dados do teste — optou-se por valores das condições mais próximas 
das condições normais: temperatura de 50°C e tensão de 60V. 
 
 
 
Para o cálculo do tempo de vida em condições normais, aplicou-se novamente a equação, agora 
com os dados de operação normal. Obteve-se: 
 
 
 
- Aplicação dos modelos paramétricos: Os modelos paramétricos são aplicados em circunstâncias 
pressupostas de relação linear entre os tempos de falha com diferentes níveis de estresse; ou seja, o 
tempo até a falha decai linearmente à medida que se intensificam as solicitações. Para estimar os 
tempos de vida médios em condições normais de uso, é preciso determinar os estimadores de 
verossimilhança, conforme os parâmetros de cada distribuição, como o estimador Λ para o parâmetro λ 
da distribuição exponencial e os estimadores para modelo da distribuição lognormal, dados por: 
 
 
 
 
 
Exemplo: Se 10 unidades de um produto foram submetidas a um teste de umidade e temperatura cujos 
tempos de vida foram acelerados em 50 vezes, e somente cinco amostras forneceram dados, as demais 
foram censuradas em 1.200 minutos. Com os dados de tempo disponíveis em minutos — 112, 135, 204, 
244 e 339 —, pode-se estimar o tempo médio de vida em condições normais. 
 
É necessário estimar a taxa de falha Λ aplicando o estimador de verossimilhança: 
 
 
 
Sendo falhas por minuto. 
 
Sendo o MTTF para distribuição exponencial , o MTTF em condições normais será de 70.340 
minutos. 
 
 
C- Modelos de Garantia: Garantia é um termo que expressa um compromisso do fornecedor de um produto ou 
serviço para com seu consumidor ou usuário. Nessa abordagem mercadológica, garantia quer dizer 
“Responsabilidade assumida pelo vendedor de entregar a mercadoria isenta de defeitos e em condições de 
funcionamento”. 
 
A garantia de produtos é estudada sob várias perspectivas, das quais ressaltamos as seguintes: 
 
 Do ponto de vista do fornecedor, a garantia pode ser entendida como proteção e promoção, assegurando 
precaução contra uso indevido e estabelecendo uma relação de confiança para com o usuário — isso implica 
em custos que precisam ser considerados na composição de custo do produto; 
 Do ponto de vista do usuário, a garantia compreende a presunção de proteção contra erros e falhas 
eventuais quando o produto é usado cor�retamente e informações que implicam na percepção de 
confiabilidade 
 
Produtos industriais, especificamente, são oferecidos com condições de garantia diferentes, o que é tratado 
na literatura como políticas de garantia. 
 
Os elementos que determinam o modelo de garantia devem basear-se em dados confiáveis, suficientes e 
apropriados, podendo ser oriundos de coletas em campo ou testes acelerados. 
 
O emprego adequado de métodos estatísticos de análise de confiabilidade na determinação dos prazos de 
garantia possibilita descrever com melhor precisão o desempenho dos produtos no período de garantia. Isso 
resulta em equilíbrio de custos e construção de uma relação mais robusta com o mercado. 
 
As políticas de garantia podem ser determinadas com base em três tipos de garantia, conforme relaciona-se 
a seguir. 
 Garantia integral limitada: o usuário é ressarcido integralmente ou tem o produto substituído ou 
restaurado sem custo para si, caso a situação enquadre-se nos termos prefixados. Segue, então, a validade 
desses termos até o prazo inicialmente firmado. 
 Garantia integral ilimitada: assegura ao usuário a reposição do item nos termos predefinidos, passando a 
valer a partir daí até um novo período idêntico ao inicialmente firmado. 
 Garantia pro rata: termos que asseguram o reparo, se ocorrerem avarias no período de garantia, mas com 
um custo ao usuário proporcional ao tempo de uso, reestabelecendo, então, a validade original de cobertura 
para o item substituído 
 
- Produtos não Reparáveis: Nem sempre é viável realizar o conserto de um bem, implicandona reposição ao 
consumidor quando a avaria ocorre em período de garantia. Considere dois tipos de garantia; no primeiro 
caso, o tipo integral g0 descreve o valor em unidades de tempo em que o produto pode sofrer avaria, 
correspondente ao período de garantia, sendo reposto sem custo ao usuário. No segundo caso, tem-se um 
tipo de garantia mista de integral e pro rata, em que a falha que venha a ocorrer antes de um período, 
descrito por g1 como período de garantia integral, determina a reposição do produto sem custo. Caso ocorra 
em um período entre g1 e g2 , este representando o final do período de garantia, implica em uma 
compensação do tipo pro rata. 
 
Para o modelo de garantia integral, o custo para o fornecedor é dado por: 
 
 
 
Onde Tj é o tempo transcorrido entre a j-ésima falha e a falha imediatamente anterior, c0 é o custo unitário 
da reposição, e g0 é o período de garantia que deverá ser otimizado para minimizar os custos da política de 
garantia adotada. 
 
 
 
Para o modelo misto, descrito anteriormente, o custo da falha é dado por: 
 
 
 
 
Tendo como objetivo minimizar os impactos financeiros da política adotada, g1 e g2 devem ser otimizados, 
sendo que g1 descreve o período de garantia integral e (g2 – g1 ) é o período em que incide o tipo pro rata. 
 
As despesas totais acumuladas com garantia, independentemente da política adotada, são dadas em termos 
gerais por: 
 
 
 
Onde k é o número de falhas em período de garantia. 
 
O Quadro abaixo apresenta as equações que determinam os valores esperados de custo otimizado para cada 
política de garantia, mostrando as deduções dessas equações. 
 
 
 
Exemplo: As lâmpadas de LED domésticas têm uma elevada durabilidade, chegando a três anos, em 
contraste com o período dado como garantia, habitualmente de 90 dias para lâmpadas fluorescentes. 
Devido ao valor de mercado, maior do que o das lâmpadas fluorescentes, os fabricantes e fornecedores 
consideram conceder até um ano de garantia para que seu produto seja competitivo. Considerando que o 
custo unitário de reposição de uma lâmpada modelo X é de R$ 30,00, estime os custos para garantias de 
três meses e de doze meses, sendo que, nesses períodos, a taxa de falhas é constante, dadas as funções de 
confiabilidade: 
 
 
 
Para garantia de 3 meses: 
 
 
Para garantia de 12 meses: 
 
 
 
(Aproximadamente três reais e trinta e seis centavos) 
 
 
Note que o custo da garantia é significativamente maior para o prazo de um ano para o modelo X, 
recaindo sobre o seu valor de venda, o que pode ser interpretado como um efeito negativo na análise de 
competitividade. 
 
- Produtos Reparáveis: Para casos de produtos com valor financeiro relativamente elevado, justifica- -se o 
reparo desse produto quando da ocorrência de falha em condições de garantia, tendo o fornecedor o 
compromisso de arcar com os custos do conserto. Normalmente o prazo concedido é estipulado em medidas 
de tempo de calendário e de forma fixa. Sendo definido g como o tempo de duração da garantia, pode-se 
estimar o custo médio da garantia por produto reparado que volte a operar, se o tempo para reparo for 
suficientemente pequeno para ser desconsiderado. Utiliza-se a equação: 
 
 
 
Onde g é o período de garantia, N(g) é o número de falhas nesse período, P[N(g) = n é a probabilidade de que 
um número n de falhas ocorra durante o período da garantia, e Cn é o custo da garantia quando n falhas 
ocorrem no tempo (0,g). 
 
Dado: 
 
 
 
Sendo que F(k)(t) é a função de distribuição de Tk , uma variável aleatória relativa ao tempo da k-ésima falha. 
O custo total da garantia para o produto é dado por: PCg , quando P é o número de produtos vendidos. 
 
Pode-se estimar o número de falhas para o período de garantia por meio da seguinte equação: 
 
 
 
Definida como função de renovação. 
 
Dois modelos são sugeridos para garantia de produtos reparáveis: política de reparo mínimo e política de 
reparo integral. O custo de reparo é dado por: 
 
 
 
São apresentados a seguir os dois modelos citados para produtos reparáveis. 
 
- Modelo de garantia para tamanho de lote fixo com política de reparo mínimo: Em produtos complexos, 
com muitos componentes, o reparo pode ser feito de modo a manter sua condição operacional de acordo 
com sua idade ou tempo de uso. Assim, a taxa de falha após o reparo é igual à do instante em que a falha 
ocorreu, pois a condição geral do produto é mais afetada pelo estado de desgaste e envelhecimento dos 
demais itens, e não do item reparado. Esse modelo de garantia assume uma política de reparo mínimo. São 
aplicadas as equações: 
 
 
Exemplo: Considere um produto com tempo de falha descrito pela função F(t) = 1 – eλt(1 + λt), com 
parâmetro λ = 0,5 falha por ano e custo de reparo Cn = 2n (para cada falha, o custo é de duas unidades). 
Com uma garantia de um ano e política de reparo mínimo, tem-se: 
 
 
 
 
- Modelo de garantia para tamanho de lote fixo com política de reparo integral: Em condições em que a 
falha causa uma pane completa, requerendo ações de manutenção integral, de modo a reestabelecer 
condições similares à do produto novo, o modelo de garantia assume uma política de reparo integral. Esse 
modelo implica na obtenção de taxa de falha após o reparo menor do que a observada no instante da falha. 
Aplicam-se as seguintes equações: