Aula sobre Função Quadrática

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FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU. 
 
Chama-se função polinomial do 2º grau, ou função quadrática, qualquer função f: ℝ → ℝ 
dada por uma lei da forma: 
 
 
 
onde a, b e c são números reais fixos, com a ≠ 0. 
 
 
Vejamos a seguir alguns exemplos: 
 
1) f(x) = x2 – x + 1 nessa função, temos que a = 1 , b = -1 e c = 1. 
 
 
2) g(x) = -3x2 + 4 nessa função, temos que a = -3 , b = 0 e c = 4. 
 
3) r(x) = + 𝑥 nessa função, temos que a = 
𝟏
𝟐
 , b = 
𝟒
𝟓
 e c = 0. 
 
4) s(x) = −
3𝑥2
3
 + √
𝑥 - 3 nessa função, temos que a = −
√𝟑
𝟑
 , b = 
√𝟐
𝟓
 e c = -3. 
 
RAIZ E VALOR DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU. 
 
A raiz da função quadrática é(são) o(s) ponto(s) em que o valor da função f(x) = 0. 
Graficamente, é o ponto em que a parábola representada pela lei de formação da função 
intercepta o eixo x, isto é, o ponto em que f(x) = 0, ou seja, como y = f(x), temos que y = 0. 
 
Assim, para determinarmos a raiz de uma função quadrática, basta igualarmos a lei de 
formação da função a zero e assim, determinar o(s) valor(es) de x. 
 
 
Exemplo1: Determine a raiz da função f(x) = x2 – 2x + 1. 
 
 
Resolução: Para determinarmos a raiz da função f(x) = x2 – 2x + 1, basta descobrirmos o(s) 
valor(es) de x que satisfaz: 
f(x) = 0 
 
Assim, vamos seguir os passos conforme abaixo: 
 
 
1º passo) Identificar os coeficientes a, b e c: 
 
Na função f(x) = x2 – 2x + 1, temos que a = 1 , b = -2 e c = 1. 
Matemática – Professor Matheus Gama 
Função Quadrática ou Função Polinomial do 2º Grau. 
Data: ___/___/ 2024 
f(x) = ax2 + bx + c 
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2º passo) Determinar o valor do discriminante ou delta (∆) 
 
∆ = b2 – 4.a.c ⇒ ∆ = (-2)2 – 4.(1).(1) ⇒ ∆ = 4 - 4 ⇒ ∆ = 0 
 
 
3º passo) Determinar o(s) valor(es) de x usando Bháskara: 
 
𝐛 ± √∆
𝟐 . 𝐚
 ⇒ 𝒙 = 
( 𝟐) ± √
𝟐 . 𝟏
 ⇒ 𝒙 = 
𝟐 ± 𝟎
𝟐
 ⇒ 𝒙 = 𝟏 
 
 
Portanto, temos que x = 1 é a raiz da função quadrática f(x) = x2 – 2x + 1. 
 
Isso significa que quando x = 1, o valor da função f(x) = x2 – 2x + 1 é igual a zero. Assim, 
temos que: 
 
f(1) = 0 
 
 
 
Para tirarmos a prova real, basta pegarmos o valor de x encontrado e verificar se y = f(1) = 
0, da seguinte forma: 
 
 
f(1) = (1)2 – 2.(1) + 1 ⇒ f(2) = 1 – 2 + 1 ⇒ f(2) = 0 
 
 
Assim, como y = f(1) = 0, realmente quando x = 1, o valor da função é igual a zero. Assim, x = 2 
é realmente a raiz da função f(x) = x2 – 2x + 1. 
 
Se quisermos, por exemplo, determinar o valor da função g(x) = x2 – 1, quando x = 4, basta 
substituirmos o valor de x dado na lei de formação da função: 
 
f(4) = 42 – 1 ⇒ f(4) = 15 
 
isto é, quando x = 4, temos que y = f(4) = 15. 
 
 
Exemplo2: Determine a raiz da função g(x) = x2 + x – 2. 
 
 
Resolução: Para determinarmos a raiz da função g(x) = x2 + x – 2, basta descobrirmos o(s) 
valor(es) de x que satisfaz: 
 
f(x) = 0 
 
 
Assim, vamos seguir os passos conforme abaixo: 
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1º passo) Identificar os coeficientes a, b e c: 
 
Na função g(x) = x2 + x – 2, temos que a = 1 , b = 1 e c = -2. 
 
2º passo) Determinar o valor do discriminante ou delta (∆) 
 
∆ = b2 – 4.a.c ⇒ ∆ = (1)2 – 4.(1).(-2) ⇒ ∆ = 1 + 8 ⇒ ∆ = 9 
 
 
3º passo) Determinar o(s) valor(es) de x usando Bháskara: 
 
𝐛 ± √∆
𝟐 . 𝐚
 ⇒ 𝒙 = 
(𝟏) ± √
𝟐 . 𝟏
 ⇒ 𝒙 = 
𝟏 ± 𝟑
𝟐
 
 
Assim, abriremos em dois casos: 
 
x1 = 
𝟏 𝟑
𝟐
 e x2 = 
𝟏 𝟑
𝟐
 
 
x1 = 
𝟐
𝟐
 e x2 = 
 𝟒
𝟐
 
 
x1 = 1 x2 = - 2 
 
Portanto, temos que x1 = 1 e x2 = - 2 são as raízes da função quadrática g(x) = x2 + x – 2. 
 
Isso significa que quando x1 = 1 ou x2 = -2, o valor da função f(x) = x2 – 2x + 1 é igual a zero. 
 
Assim, temos que: 
 
f(1) = 0 ou f(-2) = 0 
 
A partir das ideias vistas até esse momento, podemos então relacionar a quantidade de 
raízes de uma função quadrática a partir do sinal do discriminante (∆): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∆ = b2 – 4.a.c 
Se ∆ < 0 
(negativo) 
A função quadrática não 
terá raíz real, ou seja, 
nunca interceptará o eixo x. 
Se ∆ > 0 
(positivo) 
Se ∆ = 0 
(nulo) 
A função quadrática terá duas 
raízes reais e distintas, ou seja, 
interceptará o eixo x em dois 
pontos distintos. 
A função quadrática terá duas 
raízes reais e iguais (uma 
única raiz real), ou seja, 
interceptará o eixo x em um 
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EXERCÍCIOS. 
 
1aQuestão) Identifique os coeficientes a, b e c de cada uma das funções abaixo e os valores 
do discriminante (∆): 
 
Função Coeficiente a Coeficiente b Coeficiente c ∆ 
a) f(x) = x2 – 2x + 3 
 
 
 
 
 
b) g(x) = x2 - 4 
 
 
 
 
 
c) r(x) = - x2 - x + 1 
 
 
 
 
 
d) s(x) = −
3𝑥2 + 10𝑥
7
 
 
 
 
 
 
 
 
2aQuestão) Determine abaixo, se possível, a(s) raiz(es) das funções dadas: 
 
a) f(x) = x2 – 2x + 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) g(x) = x2 - 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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c) r(x) = - x2 - x + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3aQuestão) Determine abaixo os valores de cada uma das funções (y) para os valores de x 
dados: 
 
a) f(x) = x2 – 2x - 3 
 
 
 
Quando x = -1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando x = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) g(x) = x2 - 4 
 
 
 
Quando x = -2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando x = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) r(x) = - x2 - x + 1 
 
Quando x = - 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando x = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU. 
 
O gráfico de uma função quadrática da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a e b e c são 
números reais fixos, com a ≠ 0, será uma curva chamada parábola que pode passar pela 
origem do plano cartesiano ou não e pode ter sua concavidade (abertura) voltada para cima ou 
para baixo e possuir um ponto máximo ou um ponto mínimo. 
 
CONCAVIDADE DA PARÁBOLA. 
 
Inicialmente, vamos verificar como será a concavidade (abertura) da parábola: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS. 
 
1aQuestão) Identifique se as parábolas abaixo tem a concavidade voltada para cima ou para 
baixo. Justifique. 
 
Função Concavidade Justificativa 
a) f(x) = x2 – 2x + 3 
 
 
 
b) g(x) = x2 - 4 
 
 
 
 
c) r(x) = - x2 - x + 1 
 
 
 
 
d) s(x) = −
3𝑥2 + 10𝑥
7
 
 
 
 
 
 
f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0 
Se a > 0 
(positivo) 
 
A parábola terá sua 
concavidade (abertura) 
voltada para cima, ou seja, 
ela estará “sorrindo”. 
Se a < 0 
(negativo) 
 
A parábola terá sua 
concavidade (abertura) 
voltada para baixo, ou seja, 
ela estará “triste”. 
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INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS RAÍZES DE UMA PARÁBOLA. 
 
Vejamos novamente, que as raízes de uma função quadrática estão ligadas ao valor do 
discriminante (∆), conforme a lei de formação da função. Agora, daremos um significado 
(interpretação) geométrica das raízes, em relação ao gráfico da função quadrática. 
 
Observe abaixo, mais uma vez, a relação entre as raízes e o discriminante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, as raízes de uma função quadrática são as abscissas dos pontos em que parábola 
intercepta o eixo x, isto é, são os pontos da forma (x1,0) e (x2,0), onde os valores x1 e x2 são as 
raízes da função. 
 
Contudo, atentando-se ao estudo do discriminante, podemos saber em quantos pontos 
qualquer parábola pode ou não, interceptar o eixo x e se a sua concavidade está voltada para 
cima ou para baixo. 
 
Observe alguns exemplos: 
 
A parábola ao lado possui o 
coeficiente a > 0 (pois sua 
concavidade está voltada para 
cima) e o discriminante (∆) > 
0, pois a parábola intercepta o 
eixo x em dois pontos 
distintos, sendo A = (-2,0) e B 
= (2,0), sendo as suas raízes 
x1 = - 2 e x2 = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∆ = b2 – 4.a.c 
Se ∆ < 0 
(negativo) 
A função quadrática não 
terá raíz real, ou seja, 
nunca interceptará o eixo x. 
Se ∆ > 0 
(positivo) 
Se ∆ = 0 
(nulo)A função quadrática terá duas 
raízes reais e distintas, ou seja, 
interceptará o eixo x em dois 
pontos distintos. 
A função quadrática terá duas 
raízes reais e iguais (uma 
única raiz real), ou seja, 
interceptará o eixo x em um 
126 
 
 
 
 
A parábola ao lado possui o 
coeficiente a < 0 (pois sua 
concavidade está voltada para 
baixo) e o discriminante (∆) > 0, 
pois a parábola intercepta o eixo 
x em dois pontos distintos, 
sendo A = (-2,0) e B = (2,0), 
sendo as suas raízes x1 = - 2 e 
x2 = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A parábola ao lado possui o 
coeficiente a < 0 (pois sua 
concavidade está voltada para baixo) 
e o discriminante (∆) < 0, pois a 
parábola não intercepta o eixo x. 
Portanto, afirmamos que ela não 
apresenta raízes reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A parábola ao lado possui o 
coeficiente a > 0 (pois sua 
concavidade está voltada para 
cima) e o discriminante (∆) < 0, 
pois a parábola não intercepta o 
eixo x. Portanto, afirmamos que 
ela não apresenta raízes reais. 
 
 
 
 
 
 
 
127 
 
 
 
 
COORDENADAS DO VÉRTICE DA PARÁBOLA E EIXO DE SIMETRIA. 
 
O vértice da parábola corresponde ao ponto em que o gráfico de uma função do quadrática 
muda de sentido. 
 
Assim, temos de observar o sinal do coeficiente a, da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com isso, podemos determinar as coordenadas do vértice V = (xv,yv) de qualquer parábola, 
tal que: 
xv = 
𝐛
.𝐚
 e yv = 
∆
.𝐚
 assim, temos que: 𝑉 = –
𝐛
.𝐚
 , –
∆
.𝐚
 
 
Onde: 
xv = 
𝐛
.𝐚
 e yv = 
∆
.𝐚
 
 
Observação1: Na função quadrática da forma f(x) 
= ax2 + bx + c, com a ≠ 0, o coeficiente c é o 
ponto em que a parábola intercepta o eixo OY, ou 
seja, basta substituir x = 0 para obter o coeficiente 
c. 
 
Observação2: O eixo de simetria da parábola será 
sempre uma reta que passa pelo vértice e é 
paralela ao eixo OY. No caso da parábola ao lado, 
o eixo OY é o próprio eixo de simetria e o ponto V 
= (0,0) é o vértice dessa parábola. 
 
Observação3: Para esboçar o gráfico da 
parábola, basta determinar as coordenadas dos 
pontos das raízes e as coordenadas do vértice. 
f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0 
Se a > 0 
(positivo) 
 
A parábola terá um ponto 
mais alto, chamado de 
ponto de máximo, onde a 
função obtém o seu maior 
valor (maior imagem) que 
ela pode alcançar. 
Se a < 0 
(negativo) 
 
A parábola terá um ponto 
mais baixo, chamado de 
ponto de mínimo, onde a 
função obtém o seu menor 
valor (menor imagem) que 
ela pode alcançar. 
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 EXERCÍCIOS. 
 
1aQuestão) Determine os zeros ou raízes das funções: 
 
a) f(x) = x2 – 4x – 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = x2 – 4x + 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) f(x) = x2 – 2x + 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2aQuestão) Determine as coordenadas do vértice de cada uma das parábolas abaixo e faça 
um esboço do gráfico de cada uma delas. 
 
Função Coordenadas do Vértice Esboço do gráfico 
a) f(x) = x2 – 4x – 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = x2 – 4x + 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) f(x) = x2 – 2x + 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3aQuestão) Diga se cada uma das parábolas abaixo terá um ponto de menor valor da função 
(ponto de mínimo) ou ponto de maior valor da função (ponto de máximo). Justifique. Além 
disso, determine também esses valores da função: 
 
Função 
Ponto de 
Máximo 
Ponto de 
Mínimo 
Justificativa Valor 
a) y = x2 – 5x + 6 
 
 
 
 
 
 
b) y = x2 - 5x + 4 
 
 
 
 
 
 
 
c) f(x) = - x2 + 5x - 4 
 
 
 
 
 
 
 
d) f(x) = x2 - 7x + 10 
 
 
 
 
 
 
 
e) f(x) = - x2 + 7x – 10 
 
 
 
 
 
 
 
f) y = x2 – 7x + 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
_______________________________________ _______________________________________ 
Assinatura do Professor Assinatura do(a) Responsável