Teorema do Confronto

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Teorema do Confronto Primeiro Limite Fundamental
MAT146 - Cálculo I - Teorema do Confronto e
Primeiro Limite Fundamental
Alexandre Miranda Alves
Anderson Tiago da Silva
Edson José Teixeira
MAT146 - Cálculo I - Teorema do Confronto e Primeiro Limite Fundamental UFV
Teorema do Confronto Primeiro Limite Fundamental
Apresentaremos agora um teorema que nos permite calcular o limite de
determinada função, desde que esta se encontre limitada inferiormente e
superiormente por outras duas funções que tem o mesmo limite no ponto
pretendido.
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Teorema do Confronto Primeiro Limite Fundamental
Teorema (Teorema do Confronto ou Sandúıche)
Seja I um intervalo aberto contendo um ponto a. Sejam f , g e h três
funções definidas em I ou em I \ {a} e satisfazendo
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo x ∈ I \ {a}.
Suponha que
lim
x→a
f (x) = lim
x→a
h(x) = L,
então
lim
x→a
g(x) = L.
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Exemplo
Mostre que
lim
x→0
x2 sen
1
x
= 0.
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Exemplo
Prove que
lim
x→0
[
x sen
(
1
x
)]
= 0.
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Teorema do Confronto Primeiro Limite Fundamental
Corolário
Seja I um intervalo contendo um ponto a. Sejam f e g funções definidas
em I ou em I \ {a}. Se limx→a f (x) = 0 e |g(x)| ≤ M, então
lim
x→a
f (x).g(x) = 0.
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Teorema do Confronto Primeiro Limite Fundamental
Teorema (Primeiro Limite Fundamental)
lim
x→0
sen x
x
= 1.
x
y
1
A−1
−1
O
x
P
T
Se 0 < x <
π
2
, então
Área (∆OPA) < Área (OPA) < Área (∆OTA)
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Assim,
sen x
2
<
x
2
<
tg x
2
1 <
x
sen x
<
1
cos x
Tomando o limite quando x → 0, obtemos pelo Teorema do Confronto
lim
x→0+
sen x
x
= 1.
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Se x < 0, então −x > 0 e pelo mesmo procedimento anterior, obtemos
sen(−x)
2
<
−x
2
<
tg(−x)
2
1 <
−x
sen(−x)
<
1
cos(−x)
Como a função seno é ı́mpar e a função cosseno é par, obtemos que
1 <
x
sen x
<
1
cos x
,
que nos fornece
lim
x→0−
sen x
x
= 1.
Portanto,
lim
x→0
sen x
x
= 1.
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Exemplo
Como consequência do Primeiro Limite Fundamental, temos que
lim
x→0
1− cos x
x
= 0.
De fato,
lim
x→0
1− cos x
x
= lim
x→0
1− cos x
x
· 1 + cos x
1 + cos x
= lim
x→0
1− cos2 x
x(1 + cos x)
= lim
x→0
sen x
x
· lim
x→0
sen x
1 + cos x
= 1.0 = 0.
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Exemplo
Calcule cada um dos seguintes limites
(a) lim
x→0
2x
sen 3x
(b) lim
x→0
sen 5x
x
(c) lim
x→0
sen2 x
x
(d) lim
x→0
tg 2x
x
(e) lim
x→0
tg 2x
sen 3x
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