Teorema de Fubini

Prévia do material em texto

Na análise matemática, o Teorema de Fubini, em homenagem a Guido Fubini, é um resultado que fornece condições sob as quais é possível calcular uma integral dupla por meio de integrais iteradas. Como consequência, ele permite a inversão da ordem de integração em integrais iteradas. 
 
Utilizando-o, calcule a integral dupla a seguir sabendo que R é uma região que consiste em todos os pontos (x,y) para os quais -1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3:
A ) 23.
B ) 24.
C ) 21.
D ) 22.
Calcule a integral dupla na região D, sendo D = [0,1] x [1,2].
A ) 0,17 u.a
B ) 1,17 u.a
C ) 1,33 u.a
D ) 0,55 u.a
Encontre o volume do tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano que passa pelos pontos (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 3).
A ) 3/4
B ) -1
C ) 1
D ) -3/4
Encontre o valor médio de f(x,y,z) = xyz sobre o cubo no primeirto octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=2, y=2 e z=2.
A ) 1
B ) -8
C ) -1
D ) 8
Mostre que a função F(x,y)=lnX²+Y² satisfaz uma equação de Laplace ∂²∂X²F(X,Y) + ∂²∂Y²F(X,Y) = 0.
A ) Nenhuma das alternativas
B ) A função satisfaz à equação de Laplace, onde: ∂²∂x²f(x,y) = x²-y²(x²+y²)²
C ) A função satisfaz à equação de Laplace, onde: ∂²∂x²f(x,y) = - x²-y²(x²+y²)²
D ) A função não satisfaz à equação de Laplace
Determinar os momentos de inércia para região limitada por y = x3 e y = 4x.
 
A ) Ix = 1564 e Iy = 21256
B ) Ix = 21256 e Iy = 1564
C ) Ix = 25621 e Iy = 6415
D ) Ix = 6415 e Iy = 25621
Uma partícula qualquer se move no espaço através de uma função posição pelo tempo. Através desta, calcule:
V (t)
A (t)
Função posição:
X (t) = (4 sen 2t; 1/2 cos 2 t; e)
A ) V (t) = ( 2 sen 2 t; 3 sen 2t; e) A (t) = ( 8 cos 2 t; cos 2 t; e)
B ) V (t) = ( 8 cos 2 t; 4 sen 2t; 2e) A (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; 4e)
C ) A (t) = ( 8 cos 2 t; 1 sen 2t; e) V (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; e)
D ) V (t) = ( 8 cos 2 t; 1 sen 2t; e) A (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; e)
Uma partícula qualquer se move no espaço através de uma função posição pelo tempo. Através desta, calcule:
V (t)
A (t)
Função posição:
X (t) = (4 sen 2t; 1/2 cos 2 t; e)
A ) V (t) = ( 2 sen 2 t; 3 sen 2t; e) A (t) = ( 8 cos 2 t; cos 2 t; e)
B ) V (t) = ( 8 cos 2 t; 4 sen 2t; 2e) A (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; 4e)
C ) A (t) = ( 8 cos 2 t; 1 sen 2t; e) V (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; e)
D ) V (t) = ( 8 cos 2 t; 1 sen 2t; e) A (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; e)
Chamado de Teorema da Divergência, estabelece uma relação entre uma integral tripla sobre um sólido W com uma integral de superfície em sua fronteira. Esse teorema é um dispositivo de cálculo para modelos físicos tais como o fluxo de fluidos, fluxos de campos elétricos ou magnéticos e calor.
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta esse teorema:
A ) Teorema da Conexão.
B ) Teorema da Iteração.
C ) Teorema de Newton.
D ) Teorema de Gauss.
Assinale a opção que delimita o volume do tetraedro, dado pela intersecção do plano x + y + z = 1 e o primeiro octante.
A ) 1/6.
B ) 1/2.
C ) 1/4.
D ) 1/3.
Dada a função
F (x,y)=1n ( x2 + y2 )
 
Encontre o domínio da função:
A ) ( ) Como 0) A função não satisfaz à equação de Laplace
C ) A função satisfaz à equação de Laplace, onde: ∂²∂x²f(x,y) = x²-y²(x²+y²)²
D ) Nenhuma das alternativas
Uma partícula qualquer se move no espaço através de uma função posição pelo tempo. Através desta, calcule:
V (t)
A (t)
Função posição:
X (t) = (4 sen 2t; 1/2 cos 2 t; e)
A ) A (t) = ( 8 cos 2 t; 1 sen 2t; e) V (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; e)
B ) V (t) = ( 2 sen 2 t; 3 sen 2t; e) A (t) = ( 8 cos 2 t; cos 2 t; e)
C ) V (t) = ( 8 cos 2 t; 1 sen 2t; e) A (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; e)
D ) V (t) = ( 8 cos 2 t; 4 sen 2t; 2e) A (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; 4e)
Há uma relação para escrever uma integral dupla em coordenadas polares. 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta essa relação (transformação) para cada x e y, utilizando-se novas vaiáveis de coordenadas polares:
A ) x = r sen (θ); y = t cos (θ)
B ) x = r sen (θ); y = r cos (θ)
C ) x = r cos (θ); y = r sen (θ)
D ) x = t sen (θ); y = t cos (θ)
As integras nos auxiliam para resolver uma série de problemas. Uma das suas aplicações mais comum é o calculo de área sob uma determinada curva. Entretanto, a integral dupla pode ser utilizara para resolução de uma série de outros problemas.
Assinale a alternativa que melhor descreve a fórmula que devemos utilizar para o cálculo de momento de inércia, de um determinado objeto
A ) Nesta situação, é necessário calcular a média da massa em relação a x e também em relação a y My / m = ( ∫∫d xδ ( x, y ) dxdy ) / ( ∫∫d δ ( x, y ) dxdy ) Mx / m = ( ∫∫d yδ ( x, y ) dxdy ) / ( ∫∫d δ ( x, y ) dxdy )
B ) O momento de inércia em torno do eixo x será determinado por: ∫∫d y2 δ ( x, y ) dxdy O momento de inércia em torno do eixo y será determinado por: ∫∫d x2 δ ( x, y ) dxdy
C ) Nesta situação, é necessário calcular a média da massa em relação a y: My / m = ( ∫∫d xδ ( x, y ) dxdy ) / ( ∫∫d δ ( x, y ) dxdy )
D ) ∫∫d δ ( x, y ) dxdy
Dada uma função de tres variáveis f(x, y, z), você pode encontrar o volume entre esse gráfico e uma região retangular do plano xyz calculando a "integral tripla" dessa região. A integral tripla deve ser usada sempre que você tiver a sensação de que precisa cortar uma região tridimensional em um número infinito de pequenos pedaços, associar cada pedaço a um valor, e então somar tudo. Isso é surpreendentemente útil quando queremos encontrar o volume de regiões tridimensionais somando diversos pequenos volumes dV.
Assinale a alternativa que melhor descreve a solução da seguinte integral tripla:
∫∫∫e z dx dy dz
Onde:
E = {(x, y, z) ∈ R3:z2 >= 0,2 y >= z2 , z2 >= 4x2 + y2}
A ) pi / 8
B ) - pi / 4
C ) pi / 4
D ) - pi / 8
A integral dupla é a função em duas dimensões. 
 
Assinale a alternativa correta:
Calcule:
A ) ( ) π­ 8 
B ) ( ) π­ 10
C ) ( ) ) π­ 2
D ) ( ) π­ 4 
O Teorema de Stokes, na geometria diferencial, é uma afirmação sobre a integração de formas diferenciais que generaliza diversos teoremas do cálculo vetorial.
Use o Teorema de Stokes para calcular ¿SrotF⋅dS.
 
A ) ( ) 8π.
B ) ( ) 4 π.
C ) ( ) 2π.
D ) ( ) 5 π.
O Teorema de Green conecta as integrais duplas com integrais de linha de um campo vetorial, esse campo vetorial é um campo vetorial no plano.
 
Calcule usando o Teorema de Green: ∫CF⋅dr∫CF⋅dronde F(x,y)=(x−−√+y3,x2+y√)F(x,y)=(x+y3,x2+y), CC consiste no arco da curva y=sinxy=sin¿x de (0,0)(0,0) a (π,0)(π,0) e no segmento de reta (π,0)(π,0) a (0,0)(0,0). (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
A ) ( ) 4 -2π 3.
B ) ( ) 3 -2π 3.
C ) ( ) 3 -2π 4.
D ) ( ) 3 -2π 3.
De acordo com o Teorema de Gauss, analise as alternativas abaixo e assinale a que se encontra
INCORRETA:
A ) O Teorema da Divergência diz que o fluxo externo de um campo vetorial que passa através de uma superfície fechada é igual a integral do volume da divergência sobre a região dentro da superfície.
B ) Este Teorema conecta as integrais de linha de um campo vetorial.
C ) Este Teorema também é conhecido como Teorema da Divergência.
D ) Ele é o resultado que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície com o comportamento do campo vetorial dentro da superfície.
Um sólido está acima do quadrado R =[0, 2] x [0, 2] e abaixo do paraboloide elíptico z = 16-x²-2y².
Marque a alternativa que determina o volume desse sólido.
A ) O volume é igual a 34.
B ) O volume é igual a 48.
C ) O volume é igual a 72.
D ) O volume é igual a 24.
Verifique que ∂²∂Y∂XW=∂²∂X∂YW, onde w é a função W=XsinY+YsinX+XY.
A ) As derivadas são iguais
B ) A derivada: ∂²∂y∂xw=siny+sinx+1
C ) A derivada:∂²∂y∂xw=siny+ycosx+y
D ) As derivadas são diferentes
Mostre que a função F(x,y)=lnX²+Y² satisfaz uma equação de Laplace ∂²∂X²F(X,Y) + ∂²∂Y²F(X,Y) = 0.
A ) A função satisfaz à equação de Laplace, onde: ∂²∂x²f(x,y) = x²-y²(x²+y²)²
B ) Nenhuma das alternativas
C ) A função não satisfaz à equação de Laplace
D ) A função satisfaz à equação de Laplace, onde: ∂²∂x²f(x,y) = - x²-y²(x²+y²)²
O Teorema de Green transforma a integral de linha do campo vetorial em uma integral dupla da diferença das derivadas parciais das parcelas Q e P do campo vetorial dado. Qual a condição necessária para ser aplicado o Teorema de Green?
A ) A curva deve ser um parabolóide.
B ) A linha deve ser reta.
C ) A linha deve formar uma região fechada D.
D ) Deve existir um campo vetorial na direção z.
Em matemática existe um teorema o qual relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada por essa curva, foi demonstrado pelo matemático britânico George em 1828 e é um caso particular do teorema de Stokes. Qual é esse teorema?
A ) Teorema Britânico
B ) Teorema de Fubini
C ) Teorema de Stokes
D ) Teorema de Green
Uma partícula qualquer se move no espaço através de uma função posição pelo tempo. Através desta, calcule:
V (t)
A (t)
Função posição:
X (t) = (4 sen 2t; 1/2 cos 2 t; e)
A ) V (t) = ( 8 cos 2 t; 1 sen 2t; e) A (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; e)
B ) A (t) = ( 8 cos 2 t; 1 sen 2t; e) V (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; e)
C ) V (t) = ( 8 cos 2 t; 4 sen 2t; 2e) A (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; 4e)
D ) V (t) = ( 2 sen 2 t; 3 sen 2t; e) A (t) = ( 8 cos 2 t; cos 2 t; e)
No estudo de integrais, há uma conexão entre as integrais duplas com integrais de linha de um campo vetorial. 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o teorema que faz essa conexão e torna a resolução do exercício mais simples:
A ) Teorema de Green.
B ) Teorema de Fubini.
C ) Teorema de Conexão.
D ) Teorema de Newton.
Considere a função f(x, y), e a região D no plano, delimitada pelas retas x = 0, x = 6 – y e a parábola y = x2, com x > 0. 
Assinale a opção que calcula o volume abaixo da superfície de f(x, y) e acima da região D.
A ) 
B ) 
C ) 
D ) 
As integras nos auxiliam para resolver uma série de problemas. Uma das suas aplicações mais comum é o calculo de área sob uma determinada curva. Entretanto, a integral dupla pode ser utilizara para resolução de uma série de outros problemas.
Assinale a alternativa que melhor descreve a fórmula que devemos utilizar para o cálculo da massa de um corpo:
A ) ∫∫d δ ( x, y ) dxdy
B ) Nesta situação, é necessário calcular a média da massa em relação a y: My / m = ( ∫∫d xδ ( x, y ) dxdy ) / ( ∫∫d δ ( x, y ) dxdy )
C ) Nesta situação, é necessário calcular a média da massa em relação a x: My / m = ( ∫∫d xδ ( x, y ) dxdy ) / ( ∫∫d δ ( x, y ) dxdy )
D ) Nesta situação, é necessário calcular a média da massa em relação a x e também em relação a y My / m = ( ∫∫d xδ ( x, y ) dxdy ) / ( ∫∫d δ ( x, y ) dxdy ) Mx / m = ( ∫∫d yδ ( x, y ) dxdy ) / ( ∫∫d δ ( x, y ) dxdy )
As integras nos auxiliam para resolver uma série de problemas. Uma das suas aplicações mais comum é o calculo de área sob uma determinada curva. Entretanto, a integral dupla pode ser utilizara para resolução de uma série de outros problemas.
Assinale a alternativaque melhor descreve a fórmula que devemos utilizar para o cálculo do centro de massa de um corpo
A ) Nesta situação, é necessário calcular a média da massa em relação a x e também em relação a y My / m = ( ∫∫d xδ ( x, y ) dxdy ) / ( ∫∫d δ ( x, y ) dxdy ) Mx / m = ( ∫∫d yδ ( x, y ) dxdy ) / ( ∫∫d δ ( x, y ) dxdy )
B ) Nesta situação, é necessário calcular a média da massa em relação a y: My / m = ( ∫∫d xδ ( x, y ) dxdy ) / ( ∫∫d δ ( x, y ) dxdy )
C ) Nesta situação, é necessário calcular a média da massa em relação a x: My / m = ( ∫∫d xδ ( x, y ) dxdy ) / ( ∫∫d δ ( x, y ) dxdy )
D ) ∫∫d δ ( x, y ) dxdy
Um sólido está acima do quadrado R =[0, 2] x [0, 2] e abaixo do paraboloide elíptico z = 16-x²-2y².
Marque a alternativa que determina o volume desse sólido.
A ) O volume é igual a 48.
B ) O volume é igual a 24.
C ) O volume é igual a 72.
D ) O volume é igual a 34.
Mostre que a função F(x,y)=lnX²+Y² satisfaz uma equação de Laplace ∂²∂X²F(X,Y) + ∂²∂Y²F(X,Y) = 0.
A ) A função não satisfaz à equação de Laplace
B ) A função satisfaz à equação de Laplace, onde: ∂²∂x²f(x,y) = x²-y²(x²+y²)²
C ) Nenhuma das alternativas
D ) A função satisfaz à equação de Laplace, onde: ∂²∂x²f(x,y) = - x²-y²(x²+y²)²
Uma partícula qualquer se move no espaço através de uma função posição pelo tempo. Através desta, calcule:
V (t)
A (t)
Função posição:
X (t) = (4 sen 2t; 1/2 cos 2 t; e)
A ) V (t) = ( 8 cos 2 t; 1 sen 2t; e) A (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; e)
B ) V (t) = ( 8 cos 2 t; 4 sen 2t; 2e) A (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; 4e)
C ) V (t) = ( 2 sen 2 t; 3 sen 2t; e) A (t) = ( 8 cos 2 t; cos 2 t; e)
D ) A (t) = ( 8 cos 2 t; 1 sen 2t; e) V (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; e)
Chamado de Teorema da Divergência, estabelece uma relação entre uma integral tripla sobre um sólido W com uma integral de superfície em sua fronteira. Esse teorema é um dispositivo de cálculo para modelos físicos tais como o fluxo de fluidos, fluxos de campos elétricos ou magnéticos e calor.
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta esse teorema:
A ) Teorema de Newton.
B ) Teorema de Gauss.
C ) Teorema da Iteração.
D ) Teorema da Conexão.
Dada a função
F (x,y)=1n ( x2 + y2 )
 
Encontre o domínio da função:
A ) ( ) O domínio de F (x,y) não inclui, por exemplo, o semi-eixo.
B ) ( ) Qualquer vizinhança da origem não poderá conter pontos do domínio.
C ) ( ) Como 0integral tripla, qual o significado físico da integral quando f(x,y,z) = 1?
A ) Área
B ) Momento de inércia
C ) Volume
D ) Comprimento
Calcule ∫c(2+x2y)ds, onde C é uma curva parametrizada por σ→(t) = (cos t, sen t), onde ((0⩽t⩽π)
A ) 2π+13
B ) 2π+23
C ) π+23
D ) 2π
O centro de massa de um corpo é um ponto (x,y) que centraliza teoricamente a massa de um corpo nele.
 
Quatro discos, 1, 2, 3 e 4, todos de mesmo raio R = 20 cm, e de massas m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg, e m4 = 4 kg estão arrumados no plano horizontal, xy, conforme mostra a figura abaixo. A distribuição de massa em cada disco é homogênea. As coordenadas (X, Y) do centro de massa desse conjunto de discos são dadas, em cm, pelo par ordenado.
A ) ( ) 40, 20
B ) ( ) 20, 32 
C ) ( ) 40, 32
D ) ( ) 40, 40
A temperatura externa como função da latitude, da longitude e do tempo.
Trata-se de uma função:
A ) ( ) Negativa.
B ) ( ) Descontínua.
C ) ( ) Contínua.
D ) ( ) Variável.
Calcule a integ
O seu resultado é:
A ) 
B ) 
C ) 
D ) 
Calcule a integral
sobre a curva do ponto (0, 0) ao ponto :
A ) 
B ) 
C ) 
D ) 
De acordo com Teorema de Green é
INCORRETA a alternativa:
A ) O Teorema da Divergência é uma extensão do Teorema de Green e trata-se de uma forma que pode ser vista como "a forma vetorial" do Teorema de Green.
B ) Este Teorema é utilizado em casos em que a integral de linha original é difícil de ser resolvida e a saída mais fácil é através de uma integração dupla.
C ) O Teorema de Green também pode ser chamado de Teorema da Divergência.
D ) Este Teorema conecta as integrais duplas com as integrais de linha de um campo vetorial.
De acordo com o Teorema de Stokes, analise as alternativas abaixo e assinale aquela que se encontra
INCORRETA:
A ) Para a compreensão deste Teorema precisamos primeiramente compreender o conceito de fronteira de uma superfície, que é chamado de bordo e o que seria uma orientação positiva.
B ) Este Teorema é uma generalização do Teorema de Green.
C ) Na Geometria Diferencial, esse Teorema é uma afirmação sobre a integração de formas diferenciais que generaliza diversos Teoremas do Cálculo Vetorial. Além disso, possui aplicações importantes no estudo dos campos vetoriais, especialmente na análise do movimento de rotação dos fluídos.
D ) O Teorema de Stokes também pode ser chamado de Teorema da Divergência.
Dada a função
F (x,y)=1n ( x2 + y2 )
 
Encontre o domínio da função:
A ) ( ) Qualquer vizinhança da origem não poderá conter pontos do domínio.
B ) ( ) Como 0dupla sobre a região limitada por essa curva, foi demonstrado pelo matemático britânico George em 1828 e é um caso particular do teorema de Stokes. Qual é esse teorema?
A ) Teorema de Fubini
B ) Teorema de Stokes
C ) Teorema de Green
D ) Teorema Britânico
Calcule ∫c(2+x2y)ds, onde C é uma curva parametrizada por σ→(t) = (cos t, sen t), onde ((0⩽t⩽π)
A ) 2π+23
B ) π+23
C ) 2π+13
D ) 2π
No estudo de integrais, há uma conexão entre as integrais duplas com integrais de linha de um campo vetorial. 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o teorema que faz essa conexão e torna a resolução do exercício mais simples:
A ) Teorema de Conexão.
B ) Teorema de Fubini.
C ) Teorema de Green.
D ) Teorema de Newton.
Calcule ∫∫ y2x dA na retângulo R= { (x, y): -3 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤1}.
O seu resultado é:
A ) 
B ) 
C ) 
D ) 
Encontre, por integração dupla, a área da região no plano xy, limitada pelas curvas y = x2 e y= 4x -x2.
A ) 5/3
B ) 7/3
C ) 8/3
D ) 4/5
Determine o centro de massa, da região D, limitada por x = y2 e x - y = 2, sendo δ (x,y) = 3.
Sabe-se que a massa M= 272 e que o centro de massa ( x , y ) respectivamente é dado por:
 
A ) 274,272
B ) 85,12
C ) 1085,85
D ) 85,14
Calcular o valor da integral dupla teste, onde teste:
A ) 10
B ) -8
C ) 12
D ) -12
Chamado de Teorema da Divergência, estabelece uma relação entre uma integral tripla sobre um sólido W com uma integral de superfície em sua fronteira. Esse teorema é um dispositivo de cálculo para modelos físicos tais como o fluxo de fluidos, fluxos de campos elétricos ou magnéticos e calor.
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta esse teorema:
A ) Teorema de Gauss.
B ) Teorema de Newton.
C ) Teorema da Conexão.
D ) Teorema da Iteração.
Uma curva é o lugar geométrico de uma função vetorial, em que essa função vetorial representa o vetor posição. Suponha que dois carros estão se movendo segundo os vetores posição:
Sabendo o vetor posição em relação ao tempo dos dois carros, determine se é possível os dois carros se chocarem.
A ) Sim, quando t = 127.
B ) Sim, quando t = 1000.
C ) Sim, quando t = 10.
D ) Não.
A função vetor tangente a uma curva trata-se de um conjunto de vetores que indicam os sentidos que a curva toma ao longo de seu percurso. A imagem a seguir lida com esta definição, fazendo uma associação com o vetor velocidade.
É de conhecimento também que a norma do vetor tangente “mede” a intensidade (comprimento) do vetor tangente. Desta forma, dada a parametrização (sen(t), cos(t), t), assinale a opção que apresenta corretamente o comprimento de seu vetor tangente.
A ) 1/2.
B ) 1.
C ) √2.
D ) 2.
No cálculo vetorial, o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Em particular, pode-se descrever um campo de temperaturas, conforme o GRADIENTE DE TEMPERATURAS.
Assim, dado o campo escalar T(x,y,z) = x2 y + y3 z, analise as sentenças e assinale a opção CORRETA:
I- O gradiente de temperatura, aponta para a direção de maior taxa de variação da temperatura.
II- O gradiente de temperatura é a função 
III-O gradiente aplicado no ponto P(1,2,1) é o vetor (4,3,2).
IV- O gradiente aplicado no ponto P(1,2,1) é o vetor (4,13,8).
A ) Apenas I, II e IV estão corretas
B ) Apenas III e IV estão corretas.
C ) Apenas I e II estão corretas.
D ) Apenas II e III estão corretas.
Dada a função
F (x,y)=1n ( x2 + y2 )
 
Encontre o domínio da função:
A ) ( ) Como 0Teorema é utilizado em casos em que a integral de linha original é difícil de ser resolvida e a saída mais fácil é através de uma integração dupla.
De acordo com o Teorema de Stokes, analise as alternativas abaixo e assinale aquela que se encontra
INCORRETA:
A ) Na Geometria Diferencial, esse Teorema é uma afirmação sobre a integração de formas diferenciais que generaliza diversos Teoremas do Cálculo Vetorial. Além disso, possui aplicações importantes no estudo dos campos vetoriais, especialmente na análise do movimento de rotação dos fluídos.
B ) Para a compreensão deste Teorema precisamos primeiramente compreender o conceito de fronteira de uma superfície, que é chamado de bordo e o que seria uma orientação positiva.
C ) Este Teorema é uma generalização do Teorema de Green.
D ) O Teorema de Stokes também pode ser chamado de Teorema da Divergência.
Encontre o volume da região cortada do cilíndro x²+y²=4 pelos planos z=0 e x+z=3.
A ) -12π
B ) 12π
C ) -6π
D ) 6π
Mostre que a função F(x,y)=lnX²+Y² satisfaz uma equação de Laplace ∂²∂X²F(X,Y) + ∂²∂Y²F(X,Y) = 0.
A ) A função satisfaz à equação de Laplace, onde: ∂²∂x²f(x,y) = x²-y²(x²+y²)²
B ) Nenhuma das alternativas
C ) A função satisfaz à equação de Laplace, onde: ∂²∂x²f(x,y) = - x²-y²(x²+y²)²
D ) A função não satisfaz à equação de Laplace
Qual o volume sob a curva f(x,y) = x+y delimitada pelo retângulo [0,1] x [0,2]?
A ) 7
B ) 1
C ) 5
D ) 3
Em uma integral tripla, qual o significado físico da integral quando f(x,y,z) = 1?
A ) Área
B ) Volume
C ) Momento de inércia
D ) Comprimento
Uma partícula qualquer se move no espaço através de uma função posição pelo tempo. Através desta, calcule:
V (t)
A (t)
Função posição:
X (t) = (4 sen 2t; 1/2 cos 2 t; e)
A ) A (t) = ( 8 cos 2 t; 1 sen 2t; e) V (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; e)
B ) V (t) = ( 8 cos 2 t; 1 sen 2t; e) A (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; e)
C ) V (t) = ( 2 sen 2 t; 3 sen 2t; e) A (t) = ( 8 cos 2 t; cos 2 t; e)
D ) V (t) = ( 8 cos 2 t; 4 sen 2t; 2e) A (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; 4e)
O centro de massa de um corpo é um ponto (x,y) que centraliza teoricamente a massa de um corpo nele.
 
Quatro discos, 1, 2, 3 e 4, todos de mesmo raio R = 20 cm, e de massas m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg, e m4 = 4 kg estão arrumados no plano horizontal, xy, conforme mostra a figura abaixo. A distribuição de massa em cada disco é homogênea. As coordenadas (X, Y) do centro de massa desse conjunto de discos são dadas, em cm, pelo par ordenado.
A ) ( ) 40, 32
B ) ( ) 40, 40
C ) ( ) 40, 20
D ) ( ) 20, 32 
A temperatura externa como função da latitude, da longitude e do tempo.
Trata-se de uma função:
A ) ( ) Contínua.
B ) ( ) Descontínua.
C ) ( ) Variável.
D ) ( ) Negativa.
De acordo com Teorema de Green é
INCORRETA a alternativa:
A ) O Teorema da Divergência é uma extensão do Teorema de Green e trata-se de uma forma que pode ser vista como "a forma vetorial" do Teorema de Green.
B ) O Teorema de Green também pode ser chamado de Teorema da Divergência.
C ) Este Teorema é utilizado em casos em que a integral de linha original é difícil de ser resolvida e a saída mais fácil é através de uma integração dupla.
D ) Este Teorema conecta as integrais duplas com as integrais de linha de um campo vetorial.
De acordo com o Teorema de Stokes, analise as alternativas abaixo e assinale aquela que se encontra
INCORRETA:
A ) O Teorema de Stokes também pode ser chamado de Teorema da Divergência.
B ) Na Geometria Diferencial, esse Teorema é uma afirmação sobre a integração de formas diferenciais que generaliza diversos Teoremas do Cálculo Vetorial. Além disso, possui aplicações importantes no estudo dos campos vetoriais, especialmente na análise do movimento de rotação dos fluídos.
C ) Este Teorema é uma generalização do Teorema de Green.
D ) Para a compreensão deste Teorema precisamos primeiramente compreender o conceito de fronteira de uma superfície, que é chamado de bordo e o que seria uma orientação positiva.
Um sólido está acima do quadrado R =[0, 2] x [0, 2] e abaixo do paraboloide elíptico z = 16-x²-2y².
Marque a alternativa que determina o volume desse sólido.
A ) O volume é igual a 34.
B ) O volume é igual a 24.
C ) O volume é igual a 48.
D ) O volume é igual a 72.
Encontre uma parametrização para a reta dada pela interseção dos planos 5x-2y=11 e 4y-5z=-17 .
A ) P(T) = 115T , T , 175T
B ) A reta não existe.
C ) Os planos não se interceptam 
D ) 
Mostre que a função F(x,y)=lnX²+Y² satisfaz uma equação de Laplace ∂²∂X²F(X,Y) + ∂²∂Y²F(X,Y) = 0.
A ) A função satisfaz à equação de Laplace, onde: ∂²∂x²f(x,y) = x²-y²(x²+y²)²
B ) Nenhuma das alternativas
C ) A função não satisfaz à equação de Laplace
D ) A função satisfaz à equação de Laplace, onde: ∂²∂x²f(x,y) = - x²-y²(x²+y²)²
Uma partícula qualquer se move no espaço através de uma função posição pelo tempo. Através desta, calcule:
V (t)
A (t)
Função posição:
X (t) = (4 sen 2t; 1/2 cos 2 t; e)
A ) A (t) = ( 8 cos 2 t; 1 sen 2t; e) V (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; e)
B ) V (t) = ( 8 cos 2 t; 1 sen 2t; e) A (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; e)
C ) V (t) = ( 8 cos 2 t; 4 sen 2t; 2e) A (t) = ( 16 sen 2 t; cos 2 t; 4e)
D ) V (t) = ( 2 sen 2 t; 3 sen 2t; e) A (t) = ( 8 cos 2 t; cos 2 t; e)
Para calcular a área da região R do plano xy tal que teste e teste, usando o Teorema de Fubini, teremos a forma de reolução correta em:
 
A ) ∫28∫15xydydx
B ) ∫28∫15xydxdy
C ) ∫15∫28yxdxdy
D ) ∫15∫28xydxdy
O Calcule a integral dupla das equação z = 6 -x será:
 
A
A, Alternativa Errada
( ) 12 e 143
B
( )2 e 16
C
C, Alternativa correta
( ) 16 e 128.
D
( ) 15 e 124
A integral dupla é a função em duas dimensões. 
 
Assinale a alternativa correta:
Calcule:
A
( ) π­
 10
B
( ) ) π­
 2
C
C, Alternativa correta
( ) π­ 
 8
 
D
D, Alternativa Errada
( ) π­
 4 
 O Teorema de Stokes, na geometria diferencial, é uma afirmação sobre a integração de formas diferenciais que generaliza diversos teoremas do cálculo vetorial.
Use o Teorema de Stokes para calcular ¿SrotF⋅dS.
 
A
A, Alternativa Errada
( ) 8π.
B
( ) 5 π.
C
C, Alternativa correta
( ) 2π.
D
( ) 4 π.
O Teorema de Green conecta as integrais duplas com integrais de linha de um campo vetorial, esse campo vetorial é um campo vetorial no plano.
 
Calcule usando o Teorema de Green: ∫CF⋅dr∫CF⋅dronde F(x,y)=(x−−√+y3,x2+y√)F(x,y)=(x+y3,x2+y), CC consiste no arco da curva y=sinxy=sin¿x de (0,0)(0,0) a (π,0)(π,0) e no segmento de reta (π,0)(π,0) a (0,0)(0,0). (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
A
A, Alternativa correta
( ) 4 -2π
 3.
B
( ) 3 -2π
 3.
C
( ) 3 -2π
 3.
D
( ) 3 -2π
 4.
De acordo com o Teorema de Gauss, analise as alternativas abaixo e assinale a que se encontra
INCORRETA:
A
O Teorema da Divergência diz que o fluxo externo de um campo vetorial que passa através de uma superfície fechada é igual a integral do volume da divergência sobre a região dentro da superfície.
B
Ele é o resultado que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície com o comportamento do campo vetorial dentro da superfície.
C
C, Alternativa correta
Este Teorema conecta as integrais de linha de um campo vetorial.
D
D, Alternativa Errada
Este Teorema também é conhecido como Teorema da Divergência.
Um sólido está acima do quadrado R =[0, 2] x [0, 2] e abaixo do paraboloide elíptico z = 16-x²-2y².
Marque a alternativa que determina o volume desse sólido.
A
O volume é igual a 34.
B
O volume é igual a 24.
C
O volume é igual a 72.
D
D, Alternativa correta
O volume é igual a 48.
Encontre o volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pelos planos x+z=1 e y+2z=2 .
A ) 2/3
B ) -1/3
C ) 1/3
D ) -2/3
Para o calculo das integrais duplas precisamos empregar certas regras. Sobre o valor da integral dupla apresentada, determine e assinale a opçãoCORRETA:
∫02∫0x2y dydx
A ) 325
B ) 165
C ) 1610
D ) 85
Qual o momento de inércia em torno do eixo Y do triângulo formado pelos pontos (0,0), (4,0) e (4,2), sabendo que a função densidade é igual a δ(x,y) = y?
A ) 1287
B ) 503
C ) 1285
D ) 307
Calcule a integral dupla, sobre o retângulo abaixo da superfície (0, 2) x (0,2) e f (x,y) = xy³
A ) 1/8
B ) 1/10
C ) 1/6
D ) 1/7
Calcule ∫c(2+x2y)ds, onde C é uma curva parametrizada por σ→(t) = (cos t, sen t), onde ((0⩽t⩽π)
A ) 2π
B ) π+23
C ) 2π+13
D ) 2π+23
Chamado de Teorema da Divergência, estabelece uma relação entre uma integral tripla sobre um sólido W com uma integral de superfície em sua fronteira. Esse teorema é um dispositivo de cálculo para modelos físicos tais como o fluxo de fluidos, fluxos de campos elétricos ou magnéticos e calor.
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta esse teorema:
A ) Teorema da Iteração.
B ) Teorema de Gauss.
C ) Teorema de Newton.
D ) Teorema da Conexão.
Dada a função
F (x,y)=1n ( x2 + y2 )
 
Encontre o domínio da função:
A ) ( ) Como 0a ordem de integração. Essa mudança na ordem de integração pode em certas integrais diminuir a quantidade de cálculos necessários para a resolução. Utilizando o Teorema de Fubini, concluímos que o valor da integral:
A
É igual a - 3,5.
B
É igual a - 4.
C É igual a 0.
D
É igual a cos(3).
Um sistema de coordenadas polares em matemática é um sistema em que cada ponto do plano cartesiano é associado a um ângulo e a uma distância. Utilizando a mudança de variável cartesiana para polar, calcule a integral dupla da função e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
A 16
B 128
C 32
D 64
As integrais duplas são usadas para calcular o volume abaixo de uma superfície, e podem ser calculadas pelo processo das somas de Riemann ou utilizando o Teorema de Fubini. Sabendo disso, determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3x + y + z = 12 e acima do retângulo R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, -2 ≤ y ≤ 3}:
A 50
B 89/5
C 92/2
D 95/2
	Assim como acontece com as integrais duplas, quando calculamos uma integral tripla, precisamos utilizar certas regras. Sobre o valor da integral tripla apresentada, analise as opções a seguir e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção II está correta.
B Somente a opção III está correta.
C Somente a opção IV está correta.
D Somente a opção I está correta.
Exercícios envolvendo integrais duplas podem ser resolvidos por meio de integrais iteradas. Nesse sentido, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o teorema que fornece condições de calcular uma integral dupla, de regiões não retangulares, através de integrais iteradas:
A Teorema de Fubini.
B Teorema de Compartilhamento.
C Teorema de Newton.
D Teorema de Iteração.
A principal aplicação do conceito de integral é o cálculo de área. Para tanto, é necessário que calculemos as integrais de forma correta utilizando as regras de integrações. Utilizando tais regras, podemos afirmar que a integral dupla da função
A Somente a opção I está correta.
B Somente a opção III está correta.
C Somente a opção IV está correta.
D Somente a opção II está correta.
O momento de inércia de um corpo é o grau de dificuldade que o corpo tem de alterar o seu estado de movimento. Podemos calcular o momento de inércia em torno do eixo x e do eixo y. Determine o momento de inércia de um disco homogêneo com centro (0, 0) e raio igual a 2 e com densidade f (x, y) = 3 em torno do eixo x:
A 6 pi.
B 4 pi.
C 8 pi.
D 12 pi.
Umas das primeiras aplicações de integrais duplas e tripas que é estudada é o cálculo de volume de um sólido. Utilizando as propriedades de integral dupla temos que o volume de um sólido é dado pela integral dupla:
A 94,5 unidades de volume.
B 45 unidades de volume.
C 40,5 unidades de volume.
D 103,5 unidades de volume.
A principal aplicação do conceito de integral é cálculo de área. Para tanto, é necessário que calculemos as integrais de forma correta utilizando as regras de integrações. Utilizando tais regras, qual será o resultado do cálculo da integral a seguir?
A 0
B 2
C e
D 1
image7.png
image8.png
image9.png
image10.png
image11.png
image12.png
image13.png
image14.png
image15.png
image16.png
image17.png
image18.png
image19.png
image20.png
image21.png
image22.png
image23.png
image24.png
image25.png
image26.png
image27.png
image28.png
image29.png
image30.png
image31.png
image32.png
image33.png
image34.png
image35.png
image36.png
image1.png
image37.png
image38.png
image39.png
image40.png
image41.jfif
image42.png
image43.png
image44.gif
image45.png
image46.png
image2.png
image47.jfif
image48.png
image49.png
image50.png
image51.png
image52.png
image53.png
image54.png
image55.png
image56.png
image3.png
image57.png
image58.png
image4.png
image5.jfif
image6.png