484290-Matrizes

Prévia do material em texto

CAPÍTULO IV
MATRIZES
I. NOÇÃO DE MATRIZ
Dados dois números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz m por n
(indica-se m x n) toda tabela M formada por números reais distribuídos em m
linhas e n colunas.
30. Exemplos
1) [3 5 -1] é matriz 2 X 3
O ~ V2
4 -3
2) 3
2 é matriz 3 X 2
7
4
3) [O .9 -1 }J é matriz 1 X 4
4) U] é matriz 3 X 1
5) G ~J é matriz 2 X 2
35-0
31: Em uma matriz qualquer M, cada elemento é indicado por a··.O índice i indica I~nh e 'd" I ' IJ a. a o.1n Ice J a co una as quais o elemento pertence. Com a convenção de que
as hnha~ s~Jam numer~das de cima para baixo (de 1 até m) eas colunas, da esquerda
para adlrelta (de 1 ate n), uma matriz m x n é representada por:
33.
clT matriz-quadrada de ordem n é toda matriz do tipo n x n, isto é, é uma
matriz que tem igual número de linhas e colunas:
amn
..........................
Chama-se diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto
dos elementos que têm soma dos índices igual a n + 1, isto é:
Chama-se diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto
dos elementos que têm os dois indices iguais, isto é:
ou
........... . ....... .
aml am2 amn
all a12 aln
M a21 a22 a2n
M
11. MATRIZES ESPECIAIS
Há matrizes que, por apresentarem uma utilidade maior nesta teoria, recebem
um nome especial:
é quadrada de ordem 4. Sua
é quadrada de ordem 3. Sua diagonal
Exemplos
29) A matriz M =
principal é {a, 4, 3} e sua diagonal secundária é {-7, 4, -1}
diagonal principal é {O, 5, -1, -6} e sua diagonal secundária é {3, 6, 9, -3}.
19) A matriz M =
34. e) matriz-diagonal é toda matriz quadr?da em que os elementos que não per­
tencem à diagonal principal são iguais a zero.
a) matri~ ~ lin?a é toda matriz do tipo 1 x n, isto é, é uma matriz que tem
. uma unlca linha (exemplo 3 da página 35).
b) matriz - coluna é toda matriz do tipo m x 1 isto e' e' um t ., . ' , a ma nz que tem
uma unlca coluna (exemplo 4 da página 35).
c) matriz - nula é toda matriz que tem todos os elementos iguais a zero.
Exemplos
[00 00 00]19) é a matriz nula do tipo 2 X 3
[000o]2<:') é a matriz-nula do tipo 2 X 2.
Uma matriz M do tipo m X n também pode ser indicada por: M = (a");
E {1'
IJ, 2, 3, "', m} e J E {1, 2, 3, ... , n} ou simplesmente M = (a")IJ m Xn
32.
37-036-0
0.137 Indicar explicitamente os elementos da matriz A = (aij)3 X3 tal que aij = i - j.
-EXERCIi::IOS
{
2X = x + 1
3y = 2y e. então. x = 1 e y = O
4 = y + 4
a13 = 1 - 3 = -2
a23 = 2 - 3 = -1
a33 = 3 - 3 = O
a12 = 1 - 2 = -1.
a22 = 2 - 2 = O.
a32=3-2=1.
Solução
Temos por definição:
Assim, a matriz é
a 1l = 1 - 1 = O.
a2l = 2 - 1 = 1.
a31 = 3 - 1 = 2.
0.138 Construir as seguintes matrizes:
{
1.sei=j
A = (aij)3X3 tal que aij = . ..J- •
O. se J -r- J
{
I. se i + j = 4
B = (bij)3X3 tal que bij = .' ..J-
O. se I + J -r- 4
0.139 Determinar x e y de modo que se tenha [2
3
X 3:] [ x : 1 y~ 4]
Solução
Temos, por definição, que satisfazer o sistema:
Exemplos
[~ -~ ] uO
-:l 31[:
O
n1) 2) -2 O
O O
4) [ ] [: O
~ ]
O O
5) 3
O O
O
35. f) matriz-unidade de ordem n (indica-se In) é toda matriz-diagonal em que os
elementos da diagonal principal são iguais a 1.
Exemplos
I, - [ : ~] + :J
1 O O OO
O 1 O O
13 14
OO O 1
O
O O O 1
36. Definição
111. IGUALDADE
0.140 Determinar x. y. z e t de modo que se tenha
Duas matrizes A=(aij)m x n e B=(bij)m x n são iguais quando aij =bjj para
todo i {i E {1. 2, 3..... m}) e todo j (j E {1. 2, 3, .... n}). Isto significa que para serem
iguais duas matrizes devem ser do mesmo tipo e apresentar todos os elementos
correspondentes (elementos com índices iguais) iguais.
2x
5
x
5t :]
Exemplos
1)[1 -3]=[1 -3]
7 -4 7-4
2)[; ~:]*[-3
IV. ADiÇÃO
37. Definição
Dadas duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)mx n. chama-se soma A + 8 a
matriz C = (Cij)mxn tal que Cij ~ aij + bjj. para todo i e todo j. Isto sig~ifica que a
soma de duas matrizes A e B do tipo m x n é uma matriz C do mesmo tipO em que
cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em A e B.
38-D 39-0
38. Exemplos
A adição de matrizes do tipo m x n goza das seguintes propriedades:
(1) é associativa: (A + B) + C = A + ( B + C) quaisquer que sejam A, B e C
do tipo m X n.
(2) é comutativa: A + B = B + A quaisquer que sejam A e B, do tipo m X n.
(3) tem elemento neutro: 3 MIA + M = A qualquer que seja A do tipo m X n.
(4) todo elemento tem simétrico: para todo A do tipo m X n: 3 A' IA + A'= M.
Demonstração
1?l [ :
2 :] [-: -1 -:] [ 1+4 2 - 1 3+1]+
5 O 4 - 4 5+0 6-6
[~
1 :]5
[: :] [~ :]= [7+0 8+1]
[1: 1:]
2?) +
9+2 9+3
[,;j [:J [ 5+'1 [J1
3?) + 11 - 2
~+3
4
39. Teorema
-8 .-7]
O -1
1
-~]8
O -1 -~] [ 11 9 7
~]-7 -8 -5 -3 -1
r ;2=-A = v <
L
:]8
O
~] [~~
~] + [-~8
7
8
7
9
4
4
9
Exemplo
1?) A =
2?) A = [ 9
-Y'2
Exemplos
Dadas duas matrizes A = (aij)mX n e B = (bij)m x n, chama·se diferença A - B
a matriz soma de A com a oposta de B.
41. Definição
Dada a matriz A = (aij)m x n, chama-se oposta de A (indica-se -Al a matriz A'
tal que A + A' = O.
40. Definição
(4) impondo A + A' = M = O, resulta:
aij + aij = O == aij = - aij \f i, \f j
isto é, a simétrica da matriz A para a adição é a matriz A' de mesmo tipo que
A, na qual cada elemento é simétrico do correspondente em A.
Fazendo A + B = X e B + A = Y, temos:
Xij = aij + bij = bij + aij = Vij
Fazendo (A + B) + C = X e A + (B + C) = Y, temos:
Xij = (ajj + bjj) + cij = ajj + (bij + Cij) = Vij
para todo i e todo i.
(2)
(1)
(3) Impondo A + M = A, resulta:
aij + mij = aij == mij = O == M = O
isto é, o elemento neutro é a matriz nula do tipo m x n.
EXERCICIOS
U141 Dadas A = [: :]eB=[: -:],caIcUlarA+BeA-B
40-0
41-0
calcular A + B + C, A - B + C, A - B - C e -A + B _ C.
0.142 Dadas A = [ 1 5 7] B [ 2
3 9 11 ' = 8
4
10 1:] eC= [~. -~ -:]
0.14s"Resolver a equação matricial X - A - B = C, sendo dadas:
o. 143 Calcular a soma C = (Cij)3 X3 das matrizes A = (aij) 3X3 e B = (bij) 3X3 tais que
aij = i2 + j2 e bij = 2ij.
0.149 Obter X tal que
7
10
Calcular a soma C21 + C22 + c23'
o. 144 Seja C = (Cij)2 X 3 a soma das matrizes A =
0.145 Determinar, Ci, (1, 'Y e li de modo que se tenha:
[~:]+[~ -~]=[~~]
V. PRODUTO DE NÚMERO POR MATRIZ
42. Definição
0.146 Determinar x e y de modo que se tenha:
[Y
3
3X] [-V X2] [-1 1] [5 1]
Y2 4x + 2y x2 + 2 2 = 10 -1
Dado um número k e uma matriz A = (aij)m X n chama-se produto kA a ma­
triz B = (bij)m X n tal que bíj = k aij para todo i e todo j. Isto significa que multipli­
car uma matriz A por um número k é construir uma matriz B formada pelos ele­
mentos de A todos multiplicados por k.
0.147 Dadas as matrizes:
A= [1 :], B= [O 5] eC= [-1 7]
2" 7 6 5-2
determinar a matriz X tal que X + A = B - C
Solução 1
Fazendo X =
=[X +1
z + 2
43. Exemplos
[~
7
-~] = [1:
21 -:]19) 3 .
- 1 -3
[,:
2
-:] [:
1
-:]
29) I
6 32
12 6
44. Teorema
= (x + 1 = 1, y + 2 = -2, z + 2 = 2 e t + 3 = 81 =
[00 -54]= (x = O, y = -4, z = O e t = 5), então X =
Solução 2
Utilizando as propriedades da adição, temos:
X+A=B-C=X+A-A=B-C-A=X=B-C-A
então: X = [O 5] _ [ -1 7] _ [ 1 2] = [O -4]
7 6 5 -2 2 3 O 5
o produto de um número por uma matriz goza das seguintes propriedades:
(1) a (b· A) = (ab) • A
(2) a (A + B) = a • A + a B
(3) (a + b) • A = a • A + b A
(4) 1 • A = A
onde A e B são matrizes quaisquer do tipo m x n e a e b são números reais quaisquer.
Deixamos a demonstração deste teorema como exercício para o leitor.
42-0 43-0
EXERCICIOS
VI. PRODUTO DE MATRIZES
1 1
0.150 Calcular as matrizes 2A. '38. e 2" (A + 8). sendo dadas
determinar X em cada uma das equações abaixo:
45. Definição
Dadas duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bjk)n x p. chama-se produto AB a
matriz C = (Cik}m x p tal que
n
Cik = ail • blk + ai2 • b2k + aj3 • b3k + ... + ain bnk = L
j = 1
a) 2X + A = 38 + C
b) X + A = .!- (8 - C)
2
o. 152 Resolver o sistema:
c) 3X + A = 8 - X
d) .!. IX - A - 8) = .!. (X - C)
2 3
para todo i E {l. 2..... m} e todo k E {l, 2•...• p}
46. Observações
{
X + Y = 3A
X - Y = 28
l~) A definiçãodada garante a ex istência do produto AB somente se o número
de colunas de A for igual ao número de linhas de B, pois A é do tipo m x n e B é do
tipo n x p.
Solução
Somando membro a membro as duas equações, resulta:
2~) A definição dada afirma que o produto AB é uma matriz que tem o núme­
ro de linhas de A e o número de colunas de B. pois C = AB é do tipo m x p.
Subtraindo membro a membro as duas equações, resulta:
X + Y + X - Y = 3A + 28 = 2X = 3A + 28 = X = .!. (3A + 28)
2
(n elementos)
(11) toma-se a coluna k da matriz B:
3~) Ainda pela definição. um elemento cik da matriz AB deve ser obtido pelo
procedimento seguinte:
(I) toma-se a linha da matriz A.
~n =[: ;]
-:n=[-~ -:]
1~] + [~ 1~]) = ~ [:
1~] [~ 1~]) =1[_:
X + Y - X + Y = 3A - 28 = 2Y = 3A - 28 = Y = } (3A _ 28)
Temos:
0.153 Determinar as matrizes X e Y que satisfazem o sistema
.{
X+Y=A
sendo dadas A = [1 4 7] e 8 = [2
X - Y = 8
0.154 Obter X e Y a partir do sistema:
{
2X + 3Y = A + 8
3X + 4Y = A - 8
5].
(n elementos)
44-0 45-0
(111) coloca-se a Iinha i de A na "vertical" ao lado da coluna k de S
(conforme esquema)
b1k
b2k
ai3 b3k
(
1X7)
2 X 8
3 X 9
(
4X7)
5 X 8
6 X 9
[
(7 + 16 + 27) ]
(28 + 40 + 54)
(I V) calculam-se os n produtos dos elementos que ficaram lado a lado
(conforme esquema)
X b1k
X b2k
8;3 X b3k
(V) somam-se esses n produtos, obtendo Cik.
2~) Dadas A = [: :] e S = [~ :], calcular AS.
Sendo A do tipo 2 X 2 e S do tipo 2 X 2, decorre que existe AS e é do tipo
2 X 2. Fazendo AS = C, temos:
[Cll C12 ] = [(1~ L. de A X 1~ C. de S) (1~ L. de A X 2~ C. de S) ] =
C =
Cu Cn (2~ L. de A X 1~ C. de S) (2~ L. de A X 2a C. de S)
CX 5) CX 6)
2 X 7 2 X 8 [ 5' 14 6' 16] [19 22]eX 5) CX 6) 15 + 28 18 + 32 43 50
4 X 7 4 X 8
Sendo A do tipo 2 X 3 e S do tipo 3 Xl, decorre.que existe AS e é do tipo
2 X 1. Fazendo AS = C, devemos calcular Cu e C21:
47. Exemplos \
l?l Dadas
•• -< ..
~l .
B c [ ;l. "'00'" ABA = [
2 3
e
4 5 6 9;
46-0
[
Cll]C = =
C21
[
(1~ L. de A X 1~ C. de S)]
(2~ L. de A X 1~ C. de S)
EXERCICIOS
0.155 Calcular os seguintes produtos:
a) [~ ~] [: : ]
c) [1 5 2] [: -: ]
-1 4 7 -3 O
., [::] [: -: :J
47-0
0.156 Sendo A = [~ ;], calcular A2, A3, A4 e A n In E I>J e n;;;>1)
Solução
A2 = AA = [~ ; ] [ ~ ;] = [~ ~]
A3 A2A = [~ ~] [~ ;] = [~ ~]
A4 = A3A = [~ ~] [~ ; ] [~ ~]
0.159 Calcular os seguintes produtos:
0.160 Resolver a equação matricial:
Observamos que em cada multiplicação por A os elementos a 11. a21, e 822 não se alteram
e o elemento 812 sofre acréscimo de 1. Provaríamos por indução finita sobre n que:
Solução
A equação dada equivale a:
0.157 Calcular AB, BA, A2 e B2, sabendo que
então
0.158 Calcular o produto ABC, sendo dadas:
e a resposta é [~ ~ ]
d = 4
b = 2
e
e
c + 2d = 9
3c - 2d = -5
3a - 2b = 57} = a = 3
a + 2b =
} =c=
a) I· 1
-2 ~] [: :] [-: :]
+:,:] [: ,:] [; ,:]
0.161 Resolver as seguintes equações:
x 1x 1x 1
2X3 2X2 2X1,------ .. -'._. -------~------_._-
I '5Xl , 5Xl : 5Xl
, I, ,
lX3,lx25x1
;] e C =
2
2
1~]
5
7[:
AB = [~ ~J [:
Solução
7 X 3 7 X 48. Teorema
,:1[: ~]
5 X 1 5 X O
J Se A = (aij)mxn, então Al n
[:
5
["
3 X 2 3 X -1
IABIC =
_________ L ________
8 X 3 8 X Demonstração7 51,
7 X 1 , 7 x O I) Sendo In = (o ij) nx n e B,
10 x 2 :10 x -1
A e ImA A.
Al n (bij)mxn. Temos:
48-0
49-0
bjj = ailOlj + aí202j + ai303j + ... + ajiOjj + ... + ainOnj =
= ail • o + ai2 • o + aj3 • o + 0'0 + aji • 1 + ... + ain • O = aii
para todos i e j, então A .In = A.
11) Analogamente
49. Teorema
(2) Fazendo D = (A + B) C = (dik )mxp, temos
n n
dik =I (ali + bij) • Cjk =
I
(aij • Cik + bij • Cik)
i= 1 j= 1
n n
=I aij • Cjk +
I
bjj • Cjk então,
j= 1 i= 1
(A + B) C = AC + BC
A multiplicação de matrizes goza das propriedades seguintes:
(1) é associativa: (AB)C = A(BC)
quaisquer que sejam as matrizes A = (aij)mxn, B = (bjk)nxp e C = (CkQ)pxr
(2) é distributiva à direita em relação à adição: (A + B)C = AC + BC
quaisquer que sejam as matrizes A = (aij)mxn, B = (bij)mxn e C = (Cjk)nxp
(3) é distributiva à esquerda: C(A + B) = CA + CB
quaisquer que sejam as matrizes A = (aij)mxn, B = (bij)mx n e C = (Ckí)pxm
(4) (kA)B = A(kB) = k(AB)
quaisquer que sejam o número k e as matrizes A = (aij)m x n e B = (bjk)n x p
(3) Análoga a (2)
(4) Fazendo C= kA= (cij)mxn, D = kB = (djk)nxp e E = AB = (eik)mXp,
temos:
n n n
I
Cij • bik =I (k • aij) • bjk kI aij • bik
j= 1 i= 1 j= 1
n n n
I
aii • dik =I aij • (k • bjk ) = kI aii • bjk
i= 1 i= 1 j=l
então, (kA)B = A(kB) = k(AB)
Demonstração
50. Observações
1~) É muito importante notar que a multiplicação de matrizes não é
comutativa, isto é, para duas matrizes quaisquer A e B é falso que AB = BA
necessariamente.
Exemplos
1~) Há casos em que existe AB e não existe BA. Isto ocorre quando A é
m x n, B é n x p em*' p:
= 3 AB
= jBAB e A
~ ~
nXp mXn
~
A e B
~ ~
mXn nXp
~
então, (AB) C = A (BC)
n
= I ajj • fjQ
j= 1
(1) Fazendo D = AB (dik)m xp, E = (AB) C = (ejQ)m x r e F = BC =
= (fjQ)nxr,
temos:
50-0
51-0
2<;» Há casos em que existem AB e BA, porém são matrizes de tipos diferentes
e, portanto, AB i= BA. Isto ocorre quando A é m x n, B é n x me m i= n:
A e B = 3 AB
~ ~ ~
m X n n Xm mXm
~
B e A = 3 BA
~ ~ ~
n X m m X n. n X n
~
3~) É importante observar também que a implicação:
AB = O ==> A = O ou B = O
não é válida para matrizes, isto é, é possível encontrar duas matrizes não nulas
cujo produto é a matriz nula.
Exemplo
EXERCfclOS
Mesmo nos casos em que AB e BA são do mesmo tipo (o que ocorre
quando A e B são quadradas e de mesma ordem), temos quase sempre
AB i= BA. Assim, por exemplo:
com A?-lJ2 ' qual das matrizes abaixo comuta
~]. B = [: ~Jcomutem.
0.162 Sendo A =
B = ~il C = [~AX ~J D = [~ ~J E = [: ~]
0.163 ~rminar x e y de modo que as matrizes
[3' -01 J.0.164 Obter todas as matrizes B que comutam Com A =
BA
39)
Notemos inicialmente Que uma condição necessária para que A e B sejam comutáveis
é que A e B sejam quadradas e de mesma ordem. Assim, fazendo
B=[: :].tenns: [: -~][: :]=[: :][: -~J isto é
53-0
-a J e então:
-c
a : bJ com a, b E IR:
b - dJ = [ a + 3b
3b c + 3d[
a - c
3a
De CD e 0 vem c = -3b
De @ e @ vem d = a + b
Solução
Resposta: B _ [ a
-3b
2~) Quando A e B são tais que AB = BA, dizemos que A e B comutam.
Notemos que uma condição necessária para A e B comutarem é que ,sejam
quadradas e de mesma ordem.
Exemplos
1<;» [: :] comuta com [: ~]
2<;» [: :] comuta com [: :]
3<;» [: :] comuta com [-: -:]
52-0
0.165 Calcular, em cada caso, as matrizes que oomutam com A. 2'! possibilidade: b *' O
0.166 Provar que se A e B são matrizes comutáveis, então vale a igualdade:
(A + B) IA - BI = A2 - B2
Solução
Lembrando que AB = BA ~ BA - AB = O, temos:
(A + B) (A - B) = A IA - B) + B (A - B) = A2 - AB + BA - B2
= A2 + IBA _ AB) _ B2 = A2 + O - B2 = A2 - B2
0.167 Provar que se A e B são matrizes comutáveis, então valem as seguintes igualdades:
a) (A + BI 2 = A2 + 2AB + B2
bl (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
cl (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
d) IA - BI 3 = A3 - 3A2 B + 3AB2 - B3
el (AB)n = AnB n
Resposta:
X = [: ~ ] com c E IR ou X = [_ :: _:] com a, b, c E IR
o "" a + d = O ==<> d = -a
CD e @ bc = _a 2 ==<> c =
0.171 Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que X
2
= X.
0.170 Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que X
2
= 12 .
51. Definição
VII. MATRIZ TRANSPOSTA
bl A = [ ~ ]a) A = [~ ~]
0.169 Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que X
2
= O.
0.168 Sendo A = [ : ~ ] e B = [ ~
ai (A + B)2
bl IA + B) IA - B)
-8 ] ' calcular:
-1
cl A2 - 212A + 12
2
d) A3 - I~
Dada uma matriz A = (ajj)mxn, chama·se transposta de A a matriz
A t
= (a'ji)nxm tal que ai; = aij' para todo i e todo j. Isto significa que, por
exemplo. ail, alI' aíl, "', a~l' são respectivamente iguqis a all, a12, a13, ... , al n;
vale dizer que a 1~ coluna de A t é igual à 1~ linha de A. Repetindo o raciocínio,
chegarramos à conclusão de que as colunas de A t são ordenada~ente iguais às
linhasde A.
54-D
Solução
Fazendo X = [ : : J, resulta:
[
a2 + bc = O CD
b la + d) = O 0
c la + di = O 0)
bc + d2 = O @
1~ possibilidade: b = O
CD "" a
2
= O ==<> a = O}
í.\ 2 == a + d = 0==<>0) é satisfeita 'V c E IR
~""d =O==<>d=O
[
a2 + bc
ca + dc
ab + bd] = [O
cb + d2 O
[: :] [: :]= [~ ~]
00] então
52. Exemplos
1?) A = [: :] == A
t [: :]
2?1 A = [:
b ;J== A
t
[: ne
1
3?1 A = [ 1 7] ==<> A t 3
3 5
5
7
55-D
53.
(1)
(2)
(3)
(4)
Teorema
A matriz transposta goza das seguintes propriedades:
(At)t = A para toda matriz A = (aij)mXn
Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, então (A + B)t = At + Bt
Se A = (aij)mxn e k E IR, então (kA)t = k At
Se A = (a .. ) e B = (b.k) , então (AB)t = BtAt
IJ mxn I nxp
(3) 2. A = [2a 2b J== (2A)t = [2a
2c 2d 2b
2 [ : : J= 2A
t
(4) AB = [ae + bg af + bh J== (AB)t
ce + dg cf + dh [
ae + bg
af + bh
ce + dg J=
cf +dh
Demonstração
(1) Fazenda (At)t = (aijlmxn. resulta:
ai; = ali = aij para todos i, i.
(2) Fazendo A + B = C = (Cij)mxn e (A + B)t = Ct = (cpnxm, temos:
cli = Cij = aij + bij = ali + bli para todos i, j.
(3) Fazendo (kA)t = (aIO nxm , resulta:
aíi = kaij = kali para todos i, j.
(4) Fazendo AB = C = (Cik)mxp e (AB)t = Ct (cÍ<.i)pxm, resulta:
55. Definição
Chama-se matriz simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que
At = A.
Decorre da definição que se A = (aij) é uma matriz simétrica, temos:
aij = aii; \;f i, \;f j E {1, 2, 3, "', n}
isto é, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal
são iguais.
n n n
Cki = cik =L aij bjk L bjk aij = L bÍ<j ajj
j~ 1 j~ 1 j~ 1
Exemplo
São simétricas as matrizes:
Aplicação
Verificar diretamente a validade do teorema anterior com
c d
f 9
hf
9
b
e
d
c
b
a
\;f i, \;f j E {1, 2, 3, .... n}
Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n. tal que
At = -A.
Decorre da definição que se A = (aij) é uma matriz anti-simétrica, temos:
Isto é, os elementos sirTÍétricamente dispostos em relação à diagonal principal
são opostos.
56. Definição
: ] = A
c + gJ =
d+h[
a+e== (A + B)t =
b+f
b+f J
d+h
A+B=[a+e
c+g
A=[: :].B=[: :Je k=2
(1) A~[: :]== A
t
=[: :] == (At)t=[:
(2)
54.
56-0 57-0
58. Teorema
Se A é inversível, então é única a matriz B tal que AB BA In'
Exemplo
São anti-simétricas as matrizes:
~Jt n-
O a b c
[-~
a
-a O d e
O
-b -d O f
-c
-c -e -f O
Demonstração
Admitamos que exista uma matriz C tal que AC = CA
C = InC = (BA) C = B (AC) = Bl n = B.
In. Temos:
0.175 Provar que se A e B são matrizes simétricas de ordem n, então A + B também é simétrica.
[
7 -3 ]inversíve I e A-I =
-2 1
pois:
AA-I=[~ ~J[-: -~J=[~ ~J=12
A-IA [_: -~J [~ ~J=[~ ~J=12
[
1 2 7]_ [1 31 -19]
29) A matriz A = O 3 1 e inversível e A-I = O 2 -1
O 5 2 O -5 3
AÁ' U: :] U:::;lU: n~"
': ~~;] [~ : J[~ : :l"
Exemplos
19) A matriz A = r~
pois:
59. Definição
Dada uma matriz inversível A, chama-se inversa de A a matriz A-I (que
é única) tal que AA- I = A-IA = In.
É evidente que A-I deve ser também quadrada de ordem n, pois A-I comuta
com A.
~J=[~ ~T
~J-[~ ~J
b) X + [ :
d) 3X
t
= [~
_:] seja simétrica.
-3
2
7
3
x
7
z
a) X = [ 1
-1
c) 2X = [~
EXERCICIOS
0.172 Determinar, em cada caso, a matriz X:
0.173 Determinar x, y, z para Que a matriz
0.174 Determinar x, y e z de modo Que a matriz
A { ,: ':,] .'''0''.'0,"'0
VIII. MATRIZES INVERSfVEIS
57. Definição
Seja A urna matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível
se existir uma matriz B tal que AB = BA = In- Se A não é inversível, dizemos que
A é uma matriz singular.
58-0
59-0