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1) Calcule os limites em cada caso: 
a) 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟑(𝒙𝟒 − 𝟑𝟑𝒙) 
Substituímos diretamente x por 3: 
𝑥 − 33𝑥 = 3 − 33 ⋅ 3 = 81 − 99 = −18 
Então, lim
→
(𝑥 − 33𝑥) = −18 
b) 𝒍𝒊𝒎𝒙→ 𝟐(𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏) 
Substituímos diretamente x por -2: 
2𝑥 + 3𝑥 − 1 = 2(−2) + 3(−2) − 1 = 2 ⋅ 4 − 6 − 1 = 8 − 6 − 1 = 1 
Então, lim
→
(2𝑥 + 3𝑥 − 1) = 1 
c) 𝐥𝐢𝐦𝒙→ 𝟔(
𝟐𝒙
𝟓
−
𝒙
𝟒
) 
Para simplificar a expressão, podemos combinar os termos semelhantes: 
2𝑥
5
−
𝑥
4
=
8𝑥 − 5𝑥
20
=
3𝑥
20
 
Substituímos x por -6: 
3(−6)
20
=
−18
20
= −
9
10
 
Então: lim → ( − ) = − 
d) 𝒍𝒊𝒎𝒙→ 𝟑
𝟕𝒙𝟒
𝟓
− 𝟑𝒙 + 𝟕 
Substituímos diretamente x por -3: 
7𝑥
5
− 3𝑥 + 7 =
7(−3)
5
− 3(−3) + 7 =
7 ⋅ 81
5
+ 9 + 7 =
567
5
+ 9 + 7
= 113.4 + 9 + 7 = 129.457 
Então, 𝑙𝑖𝑚 → − 3𝑥 + 7 = 129.4 
e) 𝒍𝒊𝒎𝒙→ 𝟕
𝒙𝟐 𝟒𝟗
𝒙 𝟕
 
Note que 𝑥 − 49 = (𝑥 + 7)(𝑥 − 7), então podemos simplificar: 
𝑥 − 49
𝑥 + 7
=
(𝑥 + 7)(𝑥 − 7)
𝑥 + 7
= 𝑥 − 7 
Substituímos diretamente x por -7: 
x - 7 = -7 - 7 = -14 
Então, 𝑙𝑖𝑚 → = −14 
f) 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐
𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝟐
𝒙𝟐 𝟓𝒙 𝟔
 
Primeiro, fatoramos os polinômios no numerador e denominador: 
𝑥 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) 
𝑥 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) 
Cancelamos o fator comum (x - 2): 
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
=
𝑥 − 1
𝑥 − 3
 
Substituímos diretamente x por 2: 
𝑥 − 1
𝑥 − 3
=
2 − 1
2 − 3
=
1
−1
= −1 
Então, 𝑙𝑖𝑚 → = −1 
g) 𝒍𝒊𝒎𝒙→
𝟏 𝟖𝒙
(𝒙 𝟓)𝟐
 
Dividimos o numerador e o denominador por 𝑥 : 
1 − 8𝑥
(𝑥 + 5)
=
1
𝑥
−
8
𝑥
1 +
5
𝑥
 
Quando 𝑥 → ∞, → 0 𝑒 → 0: 
0 − 0
(1 + 0)
=
0
1
= 0 
Então, 𝑙𝑖𝑚 → ( )
= 0 
h) 𝒍𝒊𝒎_{𝒙 → ∞} (√𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟗 − √𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟗) 
Racionalizamos multiplicando pelo conjugado: 
𝑠𝑞𝑟𝑡𝑥 + 𝑥 + 9 − 𝑥 − 𝑥 + 9
=
√𝑥 + 𝑥 + 9 − √𝑥 − 𝑥 + 9 √𝑥 + 𝑥 + 9 + √𝑥 − 𝑥 + 9
√𝑥 + 𝑥 + 9 + √𝑥 − 𝑥 + 9
=
(𝑥 + 𝑥 + 9) − (𝑥 − 𝑥 + 9)
√𝑥 + 𝑥 + 9 + √𝑥 − 𝑥 + 9
=
𝑥 + 𝑥 + 9 − 𝑥 + 𝑥 − 9
√𝑥 + 𝑥 + 9 + √𝑥 − 𝑥 + 9
=
2𝑥
√𝑥 + 𝑥 + 9 + √𝑥 − 𝑥 + 9
 
Dividimos o numerador e o denominador por x: 
=
2
1 +
1
𝑥
+
9
𝑥
+ 1 −
1
𝑥
+
9
𝑥
 
Quando 𝑥 → ∞, → 0 𝑒 → 0: 
=
2
√1 + 0 + 0 + √1 − 0 + 0
=
2
√1 + √1
=
2
1 + 1
=
2
2
= 1 
Então, 𝑙𝑖𝑚 → √𝑥 + 𝑥 + 9 − √𝑥 − 𝑥 + 9 = 1 
i) 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝒙 𝟏𝟏
 
Quando 𝑥 → 11, o denominador se aproxima de 0, o que causa uma 
indeterminação do tipo . Portanto, temos que considerar o comportamento do 
limite: 
 Se x se aproxima de 11 pela esquerda (𝑥 → 11 ): 
11
𝑥 − 11
→ −∞ 
 Se x se aproxima de 11 pela direita (𝑥 → 11 ): 
 → +∞ 
Como o comportamento diverge dependendo da direção de aproximação, 
dizemos que o limite não existe. 
Então, 𝑙𝑖𝑚 → não existe. 
2) Vamos analisar a função f(x) com base no gráfico fornecido para 
determinar os limites e valores solicitados. 
a) 𝒍𝒊𝒎𝒙→ 𝟐 𝒇(𝒙) 
Para x se aproximando de -2 pela esquerda, observamos que a função f(x) se 
aproxima do valor 2. Então, lim
→
𝑓 (𝑥) = 2 
b) 𝒍𝒊𝒎𝒙→ 𝟐 𝒇(𝒙) 
Para x se aproximando de -2 pela direita, observamos que a função f(x) se 
aproxima do valor 0. Então, lim
→
𝑓 (𝑥) = 0 
c) 𝒍𝒊𝒎𝒙→ 𝟐𝒇(𝒙) 
O limite lim
→
𝑓 (𝑥) só existe se os limites laterais forem iguais. Como: 
lim
→
𝑓 (𝑥) = 2 
lim
→
𝑓 (𝑥) = 0 
Os limites laterais não são iguais, então 𝑙𝑖𝑚 → 𝑓(𝑥) não existe. 
d) f(2) 
Pelo gráfico, o valor da função f(x) em x = 2 é f(2) = 2. 
e) 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐𝒇(𝒙) 
Para x se aproximando de 2, tanto pela esquerda quanto pela direita, a função 
f(x) se aproxima do valor 3. Então, 𝑙𝑖𝑚 → 𝑓(𝑥) = 3 
Para resumir: 
 a) 𝑙𝑖𝑚 → 𝑓(𝑥) = 2 
 b) 𝑙𝑖𝑚 → 𝑓(𝑥) = 0 
 c) 𝑙𝑖𝑚 → 𝑓(𝑥) 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 d) 𝑓(−2) = 3 
 e) 𝑙𝑖𝑚 → -𝑓(𝑥) = 2 
3) Para calcular a derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟓 usando a 
definição da derivada, que é o limite da razão incremental, seguimos os 
passos abaixo: 
Passo 1: Escrever a expressão da razão incremental 
A razão incremental é dada por: 
( ) ( )
 
Passo 2: Calcular 𝒇(𝒙 + 𝒉) 
Substituímos x por x + h na função f(x): 
𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ) − 11(𝑥 + ℎ) + 5 
= 𝑥 + 2𝑥ℎ + ℎ − 11𝑥 − 11ℎ + 5 
Passo 3: Subtrair f(x) 
A função f(x) é: 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 11𝑥 + 5 
Agora, subtraímos f(x) de 𝑓(𝑥 + ℎ): 
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2𝑥ℎ + ℎ − 11𝑥 − 11ℎ + 5) − (𝑥 − 11𝑥 + 5) 
Simplificando: 
= 𝑥 + 2𝑥ℎ + ℎ − 11𝑥 − 11ℎ + 5 − 𝑥 + 11𝑥– 5 
= 2𝑥ℎ + ℎ − 11ℎ 
Passo 4: Dividir por h 
Dividimos a expressão acima por h: 
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
2𝑥ℎ + ℎ − 11ℎ
ℎ
 
Simplificando: 
=
2𝑥ℎ
ℎ
+
ℎ
ℎ
−
11ℎ
ℎ
 
= 2𝑥 + ℎ − 11 
Passo 5: Calcular o limite quando 𝒉 → 𝟎 
Finalmente, calculamos o limite da razão incremental quando ℎ → 0: 
lim
→
(2𝑥 + ℎ − 11) = 2𝑥 − 11 
Portanto, a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 11𝑥 + 5 é: 
𝑓 (𝑥) = 2𝑥 − 11 
4) Vamos calcular as derivadas das funções fornecidas. Usaremos as regras de 
derivação padrão, como a regra do produto, a regra da cadeia e as regras 
básicas de derivadas. 
a) 𝒇(𝒙) =
𝟐
𝒙𝟕
 
Escrevemos f(x) como 𝑓(𝑥) = 2𝑥 : 
𝑓 (𝑥) = 2 ⋅ (−7)𝑥 = −14𝑥 = −
14
𝑥
 
b) 𝒈(𝒙) = (𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙) ⋅ (𝒙𝟒 + 𝟐) 
Usamos a regra do produto: (𝑢 ⋅ 𝑣) = 𝑢 𝑣 + 𝑢𝑣 
𝑢 = 3𝑥 − 2𝑥 
𝑣 = 𝑥 + 2 
𝑢 = 9𝑥 – 2 
𝑣 = 4𝑥 
𝑔 (𝑥) = (9𝑥 − 2)(𝑥 + 2) + (3𝑥 − 2𝑥)(4𝑥 ) 
= (9𝑥 − 2)(𝑥 + 2) + (3𝑥 − 2𝑥)(4𝑥 ) 
= 9𝑥 + 18𝑥 − 2𝑥 − 4 + 12𝑥 − 8𝑥 
= 21𝑥 − 10𝑥 + 18𝑥 − 4 
c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟖 ⋅ 𝐬𝐢 𝐧 𝒙 
Usamos a regra do produto: 
𝑢 = 𝑥 
𝑣 = sin 𝑥 
𝑢 = 8𝑥 
𝑣 = cos 𝑥 
𝑓 (𝑥) = (8𝑥 )(sin 𝑥) + (𝑥 )(cos 𝑥) 
= 8𝑥 sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 
d) 𝒇(𝒙) = 𝟕𝟓𝒙 𝟐 
Usamos a regra da cadeia e a propriedade da derivada de uma função 
exponencial: 
𝑓(𝑥) = 7 
𝑓 (𝑥) = 7 ln 7 ⋅ (5) 
= 5 ⋅ 7 ln 7 
e) 𝒇(𝒙) =
𝟗𝒙 𝟏𝟏
𝟏𝟑𝒙
 
Simplificamos primeiro a função: 
𝑓(𝑥) =
9𝑥 + 11
13𝑥
=
9𝑥
13𝑥
+
11
13𝑥
=
9
13
+
11
13𝑥
 
𝑓(𝑥) =
9
13
+
11
13
𝑥 
Derivando cada termo: 
𝑓 (𝑥) =
11
13
⋅ (−1)𝑥 
= −
11
13
𝑥 = −
11
13𝑥
 
f) 𝒇(𝒙) = 𝐥 𝐧(𝒙𝟖 − 𝟐) 
Usamos a regra da cadeia: 
𝑢 = 𝑥 – 2 
𝑑
𝑑𝑥
[ln 𝑢] =
1
𝑢
⋅ 𝑢 
𝑢 = 8𝑥 
𝑓 (𝑥) =
1
𝑥 − 2
⋅ 8𝑥 
=
8𝑥
𝑥 − 2
 
g) 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨 𝐬(𝒙𝟖) 
Usamos a regra da cadeia: 
𝑢 = 𝑥 
𝑣 = cos 𝑢 
𝑢 = 8𝑥 
𝑣 = − sin 𝑢 
𝑓 (𝑥) = − sin(𝑥 ) ⋅ 8𝑥 
= −8𝑥 sin(𝑥 ) 
h) 𝒇(𝒙) = (𝟑𝒙𝟕 − 𝟏𝟐𝒙𝟔 + 𝟏𝟎𝒙𝟒 + 𝟖𝒙 − 𝟏𝟕)𝟕 
Usamos a regra da cadeia: 
𝑢 = 3𝑥 − 12𝑥 + 10𝑥 + 8𝑥– 17 
𝑓(𝑥) = 𝑢 
𝑓 (𝑥) = 7𝑢 ⋅ 𝑢 
𝑢 = 21𝑥 − 72𝑥 + 40𝑥 + 8 
𝑓 (𝑥) = 7(3𝑥 − 12𝑥 + 10𝑥 + 8𝑥 − 17) ⋅ (21𝑥 − 72𝑥 + 40𝑥 + 8) 
i) 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟔
𝒙𝟏𝟒 −
𝟏
𝟐
𝒙𝟏𝟐 +
𝟏
𝟓
𝒙𝟓 + 𝒙 
Derivamos cada termo: 
𝑓 (𝑥) =
1
6
⋅ 14𝑥 −
1
2
⋅ 12𝑥 +
1
5
⋅ 5𝑥 + 1 
=
14
6
𝑥 − 6𝑥 + 𝑥 + 1 
=
7
3
𝑥 − 6𝑥 + 𝑥 + 1 
j) 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟖
𝟐𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙
𝟒
 
Usamos a regra da cadeia: 
𝑢 = 2𝑥 − 3𝑥 + 4𝑥 + 5𝑥 
𝑓(𝑥) =
1
8
𝑢 
𝑓 (𝑥) =
1
8
⋅ 4𝑢 ⋅ 𝑢 
𝑢 = 10𝑥 − 9𝑥 + 8𝑥 + 5 
𝑓 (𝑥) =
1
2
(2𝑥 − 3𝑥 + 4𝑥 + 5𝑥) ⋅ (10𝑥 − 9𝑥 + 8𝑥 + 5) 
𝑓 (𝑥) = 21(2𝑥5 − 3𝑥3 + 4𝑥2 + 5𝑥)3 ⋅ (10𝑥4 − 9𝑥2 + 8𝑥 + 5) 
k) 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟐𝒆𝟑𝒙 
Derivamos usando a regra da exponencial: 
𝑓 (𝑥) = 12 ⋅ 𝑒 ⋅ 3 
= 36𝑒 
l) 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟑𝟑
−
𝟑
𝒙𝟓
− 𝟏𝟔𝒙𝟏𝟎 + 𝟏𝟖 
Simplificamos primeiro a função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥 − 16𝑥 + 18 
Derivamos cada termo: 
𝑓 (𝑥) = 1 + 15𝑥 − 160𝑥 
= 1 +
15
𝑥
− 160𝑥 
5) Vamos resolver cada item passo a passo para a função: 
𝑓(𝑥) = 8𝑥 − 5𝑥 − 9𝑥 + 28𝑥 − 45 
Primeiro, simplificamos a função f(x): 
𝑓(𝑥) = 8𝑥 − 14𝑥 + 28𝑥 − 45 
a) Resolver a equação 𝒇 (𝒙) = 𝟎 
Primeiro, precisamos encontrar a terceira derivada da função f(x). 
1. Primeira derivada: 
𝑓 (𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
[8𝑥 − 14𝑥 + 28𝑥 − 45] = 32𝑥 − 28𝑥 + 28 
2. Segunda derivada: 
𝑓 (𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
[32𝑥 − 28𝑥 + 28] = 96𝑥 − 28 
3. Terceira derivada: 
𝑓 (𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
[96𝑥 − 28] = 192𝑥 
Para resolver a equação f'''(x) = 0:192𝑥 = 0 
𝑥 = 0 
b) Determinar 𝒇 (−𝟐) 
Usamos a primeira derivada 𝑓 (𝑥) = 32𝑥 − 28𝑥 + 28 e substituímos x por −2: 
𝑓 (−2) = 32(−2) − 28(−2) + 28 
= 32(−8) + 56 + 28 
= −256 + 56 + 28 
= −256 + 84 
= −172 
c) Determinar 𝒇 (−𝟏) 
Usamos a segunda derivada 𝑓 (𝑥) = 96𝑥 – 28 e substituímos x por −1: 
𝑓 (−1) = 96(−1) – 28 
= 96(1)– 28 
= 96 – 28 
= 68 
d) Determinar 𝒇 (−𝟑) 
Usamos a terceira derivada 𝑓 (𝑥) = 192𝑥 e substituímos x por −3: 
𝑓 (−3) = 192(−3) 
= −576