AULA09_C4

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Cálculo Diferencial e Integral IV
Anderson Cruz
Curso: Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
2023.1
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 1 / 37
1 Superfícies Parametrizadas e suas Áreas
2 Integral de Superfície de Campos Escalares
3 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 2 / 37
Superfícies Parametrizadas e suas Áreas
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 3 / 37
Definição
Até agora temos considerado tipos especiais de superfícies: cilindros, superfícies
quádricas, gráficos de funções de duas variáveis e superfícies de nível de funções de três
variáveis.
Aqui, usaremos funções vetoriais para descrever superfícies mais gerais, chamadas
superfícies parametrizadas e calcularemos suas áreas.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 4 / 37
Definição
Definição 1 (Superfícies Parametrizadas)
Suponhamos que
r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k
seja uma função a valores vetoriais definida sobre uma região D do plano uv. Então x, y
e z, os componentes de funções de r, serão funções das duas variáveis u e v com
domínio D.
O conjunto de todos os pontos (x, y, z) ∈ R3 tal que
x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)
e (u, v) varia ao longo de D, é chamado de superfície parametrizada S e as equações
acima são chamadas equações parametrizadas de S.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 5 / 37
Superfícies Parametrizadas
Superfícies Parametrizadas
Cada escolha de u e v resulta um ponto em S; fazendo todas as escolhas, temos todos
os pontos de S. Em outras palavras, a superfície é traçada pela ponta do vetor posição
r(u, v) enquanto (u, v) se move ao longo da região D.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 6 / 37
Parametrização
Definição 2 (Superfícies Parametrizadas)
Seja S ⊂ R3 uma superfície. Definimos uma Parametrização de S como uma função
r : D ⊂ R2 → R3 tal que r(D) = S e dada por
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
onde x, y, z : D ⊂ R2 → R são chamadas funções coordenadas de r. Cada escolha de u
e v resulta um ponto em S; fazendo todas as escolhas, temos todos os pontos de S.
Dito de outro modo, S é traçada pela ponta do vetor posição r(u, v) à medida que
(u, v) se move ao longo da região D.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 7 / 37
Parametrização
Definição 2 (Superfícies Parametrizadas)
Seja S ⊂ R3 uma superfície. Definimos uma Parametrização de S como uma função
r : D ⊂ R2 → R3 tal que r(D) = S e dada por
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
onde x, y, z : D ⊂ R2 → R são chamadas funções coordenadas de r. Cada escolha de u
e v resulta um ponto em S; fazendo todas as escolhas, temos todos os pontos de S.
Dito de outro modo, S é traçada pela ponta do vetor posição r(u, v) à medida que
(u, v) se move ao longo da região D.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 7 / 37
Exemplos
Exemplo 1 (Superfícies dadas pelo gráfico de uma função)
Recordemos que o gráfico, Gr(f), de uma função f : D ⊂ R2 → R é dado por
Gr(f) = {(x, y) ∈ D; (x, y, f(x, y)) ∈ R3}. Uma parametrização r para este tipo de superfície é dada por
r(x, y) = (x, y, f(x, y)),
∀ (x, y) ∈ Dom(f), de modo que r(D) = Gr(f).
1 (Paraboloide Circular: z = f(x, y) = a2(x2 + y2), a uma constante) Uma parametrização para esta
superfície é dada por
r(x, y) = (x, y, a2(x2 + y2)), (x, y) ∈ R2.
2 (Paraboloide Hiperbólico: z = g(x, y) = b2(x2 − y2), b uma constante) Uma parametrização para esta
quádrica é dada por
r(x, y) = (x, y, b2(x2 − y2)), (x, y) ∈ R2.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 8 / 37
Exemplos
Exemplo 1 (Superfícies dadas pelo gráfico de uma função)
Recordemos que o gráfico, Gr(f), de uma função f : D ⊂ R2 → R é dado por
Gr(f) = {(x, y) ∈ D; (x, y, f(x, y)) ∈ R3}. Uma parametrização r para este tipo de superfície é dada por
r(x, y) = (x, y, f(x, y)),
∀ (x, y) ∈ Dom(f), de modo que r(D) = Gr(f).
1 (Paraboloide Circular: z = f(x, y) = a2(x2 + y2), a uma constante) Uma parametrização para esta
superfície é dada por
r(x, y) = (x, y, a2(x2 + y2)), (x, y) ∈ R2.
2 (Paraboloide Hiperbólico: z = g(x, y) = b2(x2 − y2), b uma constante) Uma parametrização para esta
quádrica é dada por
r(x, y) = (x, y, b2(x2 − y2)), (x, y) ∈ R2.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 8 / 37
Exemplos
Exemplo 1 (Superfícies dadas pelo gráfico de uma função)
Recordemos que o gráfico, Gr(f), de uma função f : D ⊂ R2 → R é dado por
Gr(f) = {(x, y) ∈ D; (x, y, f(x, y)) ∈ R3}. Uma parametrização r para este tipo de superfície é dada por
r(x, y) = (x, y, f(x, y)),
∀ (x, y) ∈ Dom(f), de modo que r(D) = Gr(f).
1 (Paraboloide Circular: z = f(x, y) = a2(x2 + y2), a uma constante) Uma parametrização para esta
superfície é dada por
r(x, y) = (x, y, a2(x2 + y2)), (x, y) ∈ R2.
2 (Paraboloide Hiperbólico: z = g(x, y) = b2(x2 − y2), b uma constante) Uma parametrização para esta
quádrica é dada por
r(x, y) = (x, y, b2(x2 − y2)), (x, y) ∈ R2.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 8 / 37
Exemplos
Exemplo 2 (Superfícies de Revolução)
Seja S a superfície gerada pela rotação da curva γ(x) = (x, f(x)), x ∈ [a, b] e f(x) ≥ 0,
em torno do eixo-x. Uma parametrização r para este tipo de superfície é dada por
r(x, θ) = (x, f(x) cos θ, f(x) sen θ),
onde x, f : [a, b]→ R são funções contínuas, f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b] e θ ∈ [0, 2π].
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 9 / 37
Exemplos
Exemplo 3 (Esferas)
Considere a esfera S = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 + z2 = a2, a > 0}.
Uma parametrização
para a esfera pode ser obtida usando coordenadas esféricas, ∀ (φ, θ) ∈ [0, π]× [0, 2π],
r(φ, θ) = (a senφ cos θ, a senφ sen θ, a cosφ).
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 10 / 37
Exemplos
Exemplo 3 (Esferas)
Considere a esfera S = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 + z2 = a2, a > 0}. Uma parametrização
para a esfera pode ser obtida usando coordenadas esféricas, ∀ (φ, θ) ∈ [0, π]× [0, 2π],
r(φ, θ) = (a senφ cos θ, a senφ sen θ, a cosφ).
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 10 / 37
Exemplos
Exemplo 4 (Cilindros)
Se a curva C, diretriz do cilindro, é parametrizada por γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ I ⊂ R,
então uma parametrização para o cilindro, ao longo do eixo-z, é dada por:
r(t, z) = (x(t), y(t), z), (t, z) ∈ I × R.
1 Se C é uma elipse dada por γ(t) = (a cos t, b sen t), t ∈ [0, 2π] e a, b 6= 0,
então
uma parametrização para o cilindro elíptico ao longo do eixo-z é dada por
r(t, z) = (a cos t, b sen t, z), (t, z) ∈ [0, 2π]× R.
2 Se C é uma parábola dada por γ(t) = (t, ct2), t ∈ I ⊂ R e c 6= 0, então uma
parametrização para o cilindro parabólico ao longo do eixo-z é dada por
r(t, z) = (t, ct2, z), (t, z) ∈ I × R.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 11 / 37
Exemplos
Exemplo 4 (Cilindros)
Se a curva C, diretriz do cilindro, é parametrizada por γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ I ⊂ R,
então uma parametrização para o cilindro, ao longo do eixo-z, é dada por:
r(t, z) = (x(t), y(t), z), (t, z) ∈ I × R.
1 Se C é uma elipse dada por γ(t) = (a cos t, b sen t), t ∈ [0, 2π] e a, b 6= 0, então
uma parametrização para o cilindro elíptico ao longo do eixo-z é dada por
r(t, z) = (a cos t, b sen t, z), (t, z) ∈ [0, 2π]× R.
2 Se C é uma parábola dada por γ(t) = (t, ct2), t ∈ I ⊂ R e c 6= 0,
então uma
parametrização para o cilindro parabólico ao longo do eixo-z é dada por
r(t, z) = (t, ct2, z), (t, z) ∈ I × R.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 11 / 37
Exemplos
Exemplo 4 (Cilindros)
Se a curva C, diretriz do cilindro, é parametrizada por γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ I ⊂ R,
então uma parametrização para o cilindro, ao longo do eixo-z, é dada por:
r(t, z) = (x(t), y(t), z), (t, z) ∈ I × R.
1 Se C é uma elipse dada por γ(t) = (a cos t, b sen t), t ∈ [0, 2π] e a, b 6= 0, então
uma parametrização para o cilindro elíptico ao longo do eixo-z é dada por
r(t, z) = (a cos t, b sen t, z), (t, z) ∈ [0, 2π]× R.
2 Se C é uma parábola dada por γ(t) = (t, ct2), t ∈ I ⊂ R e c 6= 0, então uma
parametrização para o cilindro parabólico ao longo do eixo-z é dada por
r(t, z) = (t, ct2, z), (t, z) ∈ I × R.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 11 / 37
Exemplos
Observação1 (Cilindros)
1 À medida que mudamos a curva diretriz do cilindro, teremos outros formatos para a
superfície.
1 Por exemplo, se a diretriz do cilindro é um círculo, obtemos o cilindro circular reto, que mais
usamos, em geral. Neste caso, inclusive, podemos usar as coordenadas cilíndricas para
parametrizá-lo.
2 No caso da função y(t) = a sen t, a 6= 0, se C é a curva dada por
γ(t) = (t, a sen t), t ∈ I ⊂ R teremos um cilindro senoidal.
2 A parametrização vista no exemplo anterior descreve um cilindro ao longo do eixo-z.
É claro que, com as devidas adaptações, teremos uma parametrização para cilindros
ao longo do eixo-x e do eixo-y.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 12 / 37
Exemplos
Observação 1 (Cilindros)
1 À medida que mudamos a curva diretriz do cilindro, teremos outros formatos para a
superfície.
1 Por exemplo, se a diretriz do cilindro é um círculo, obtemos o cilindro circular reto, que mais
usamos, em geral. Neste caso, inclusive, podemos usar as coordenadas cilíndricas para
parametrizá-lo.
2 No caso da função y(t) = a sen t, a 6= 0, se C é a curva dada por
γ(t) = (t, a sen t), t ∈ I ⊂ R teremos um cilindro senoidal.
2 A parametrização vista no exemplo anterior descreve um cilindro ao longo do eixo-z.
É claro que, com as devidas adaptações, teremos uma parametrização para cilindros
ao longo do eixo-x e do eixo-y.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 12 / 37
Exercícios
Exercício 1
1 Identifique a superfície cuja equação paramétrica é r(u, v) = (2 senu, 3 cosu, v),
onde 0 ≤ v ≤ 2.
2 Qual é a superfície que tem por parametrização r(u, v) = (v sen(2u), v2, v cos(2u))?
Exercício 2
Determine uma parametrização para:
1 a parte do elipsoide x2 + 2y2 + 3z2 = 1 que está situada à esquerda do plano x0z.
2 a parte da esfera x2+ y2+ z2 = 16 que se encontra entre os planos z = −2 e z = 2.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 13 / 37
Exercícios
Exercício 1
1 Identifique a superfície cuja equação paramétrica é r(u, v) = (2 senu, 3 cosu, v),
onde 0 ≤ v ≤ 2.
2 Qual é a superfície que tem por parametrização r(u, v) = (v sen(2u), v2, v cos(2u))?
Exercício 2
Determine uma parametrização para:
1 a parte do elipsoide x2 + 2y2 + 3z2 = 1 que está situada à esquerda do plano x0z.
2 a parte da esfera x2+ y2+ z2 = 16 que se encontra entre os planos z = −2 e z = 2.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 13 / 37
Exercícios
Exercício 1
1 Identifique a superfície cuja equação paramétrica é r(u, v) = (2 senu, 3 cosu, v),
onde 0 ≤ v ≤ 2.
2 Qual é a superfície que tem por parametrização r(u, v) = (v sen(2u), v2, v cos(2u))?
Exercício 2
Determine uma parametrização para:
1 a parte do elipsoide x2 + 2y2 + 3z2 = 1 que está situada à esquerda do plano x0z.
2 a parte da esfera x2+ y2+ z2 = 16 que se encontra entre os planos z = −2 e z = 2.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 13 / 37
Exercícios
Exercício 1
1 Identifique a superfície cuja equação paramétrica é r(u, v) = (2 senu, 3 cosu, v),
onde 0 ≤ v ≤ 2.
2 Qual é a superfície que tem por parametrização r(u, v) = (v sen(2u), v2, v cos(2u))?
Exercício 2
Determine uma parametrização para:
1 a parte do elipsoide x2 + 2y2 + 3z2 = 1 que está situada à esquerda do plano x0z.
2 a parte da esfera x2+ y2+ z2 = 16 que se encontra entre os planos z = −2 e z = 2.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 13 / 37
Planos Tangentes
Superfícies Parametrizadas - Planos Tangentes
Agora, nosso objetivo é determinar o plano tangente a uma superfície parametrizada S,
determinada pela função vetorial
r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k,
em um ponto P0 com vetor posição r(u0, v0).
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 14 / 37
Planos tangentes
Superfícies Parametrizadas - Planos Tangentes
Se mantivermos u constante usando u = u0, então r(u0, v) torna-se uma função vetorial
do parâmetro único v e define uma curva da grade C1 em S. (Veja a Figura a seguir.) O
vetor tangente a C1 em P0 é obtido tomando-se a derivada parcial de r em relação a v:
rv =
∂x
∂v
(u0, v0)i +
∂y
∂v
(u0, v0)j +
∂z
∂v
(u0, v0)k.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 15 / 37
Planos tangentes
Superfícies Parametrizadas - Planos Tangentes
Analogamente, se mantivermos v constante tomando v = v0, obteremos a curva da
grade C2 dada por r(u, v0) que está em S, e cujo vetor tangente em P0 é
ru =
∂x
∂u
(u0, v0)i +
∂y
∂u
(u0, v0)j +
∂z
∂u
(u0, v0)k.
Se ru × rv 6= 0, então a superfície S é dita suave (sem “bicos”).
Definição 3
Para uma superfície suave, definimos o plano tangente como aquele que contém os
vetores tangentes ru e rv e tem como vetor normal ru × rv.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 16 / 37
Planos tangentes
Superfícies Parametrizadas - Planos Tangentes
Analogamente, se mantivermos v constante tomando v = v0, obteremos a curva da
grade C2 dada por r(u, v0) que está em S, e cujo vetor tangente em P0 é
ru =
∂x
∂u
(u0, v0)i +
∂y
∂u
(u0, v0)j +
∂z
∂u
(u0, v0)k.
Se ru × rv 6= 0, então a superfície S é dita suave (sem “bicos”).
Definição 3
Para uma superfície suave, definimos o plano tangente como aquele que contém os
vetores tangentes ru e rv e tem como vetor normal ru × rv.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 16 / 37
Exercícios
Exercício 3
Determine a equação do plano tangente T à superfície S no ponto dado:
1 S1 : r(u, v) = (u2 + 1, v3 + 1, u+ v), (5, 2, 3).
2 S2 : r(u, v) = (senu, cosu sen v, sen v), u = v =
π
6
.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 17 / 37
Exercícios
Exercício 3
Determine a equação do plano tangente T à superfície S no ponto dado:
1 S1 : r(u, v) = (u2 + 1, v3 + 1, u+ v), (5, 2, 3).
2 S2 : r(u, v) = (senu, cosu sen v, sen v), u = v =
π
6
.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 17 / 37
Área da superfície
Definição 4 (Área)
Se uma superfície parametrizada suave S é dada pela equação
r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D,
e S é coberta uma única vez quando (u, v) abrange todo o domínio D dos parâmetros,
então a área da superfície S é
A(S) =
∫∫
D
|ru × rv| dA,
onde
ru =
∂x
∂u
i +
∂y
∂u
j +
∂z
∂u
k e rv =
∂x
∂v
i +
∂y
∂v
j +
∂z
∂v
k.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 18 / 37
Área de Gráficos
Observação 2
Se a superfície S é dada pelo gráfico de uma função então
r(x, y) = (x, y, f(x, y)).
Daí,
rx = i +
(
∂f
∂x
)
k, ry = j +
(
∂f
∂y
)
k e rx × ry =
(
−∂f
∂x
)
i−
(
∂f
∂y
)
j + k.
Portanto,
A(S) =
∫∫
D
√
1 +
(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂y
)2
dA.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 19 / 37
Área de superfícies de revolução
Observação 3
Se a superfície S é de revolução e é dada por:
r(x, θ) = (x, f(x) cos θ, f(x) sen θ), f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b] e θ ∈ [0, 2π],
então rx = i + f ′(x) cos θj + f ′(x) sen θk, rθ = −f(x) sen θj + f(x) cos θk e
rx × rθ = f(x)f ′(x)i− f(x) cos θj− f(x) sen θk.
Logo,
A(S) =
∫∫
D
f(x)
√
1 + [f ′(x)]2 dA = 2π
∫ b
a
f(x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 20 / 37
Exercícios
Exercício 4
Considere a superfície S como sendo a parte de C : z =
√
x2 + y2 que se encontra
entre P1 : y = x e C2 : y = x2. Determine a área de S.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 21 / 37
Exercícios
Exercício 5
1 Calcule a área do catenoide S gerado pela rotação da catenária
γ(t) =
(
t, a cosh
(
t
a
))
, t ∈ [−b, b], a, b > 0
no semiplano superior, em torno do eixo-x.
Resp.: aπ(2b+ a senh(2b/a))
2 Ache a área do Helicoide, cuja parametrização é
r(u, v) = (u cos v, u sen v, v), (u, v) ∈ [−1, 1]× [0, 2π].
Resp.: 2π(
√
2− ln(
√
2− 1))
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 22 / 37
Exercícios
Exercício 5
1 Calcule a área do catenoide S gerado pela rotação da catenária
γ(t) =
(
t, a cosh
(
t
a
))
, t ∈ [−b, b], a, b > 0
no semiplano superior, em torno do eixo-x.
Resp.: aπ(2b+ a senh(2b/a))
2 Ache a área do Helicoide, cuja parametrização é
r(u, v) = (u cos v, u sen v, v), (u, v) ∈ [−1, 1]× [0, 2π].
Resp.: 2π(
√
2− ln(
√
2− 1))
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 22 / 37
Integral de Superfície de Campos Escalares
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 23 / 37
Integral de superfície
Definição 5 (Integral de Superfície de Campos Escalares)
Suponhamosque a superfície parametrizada suave S tenha equação vetorial
r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k
sobre uma região D do plano uv.
Dado um campo escalar f : R3 −→ R, cujo domínio contém S, a integral de superfície
de f na superfície S é∫∫
S
f(x, y, z) dS =
∫∫
D
f(r(u, v))|ru × rv| dA, (1)
onde f(r(u, v)) = f
(
x(u, v), y(u, v), z(u, v)
)
.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 24 / 37
Observações
Observação 4
A definição 1 permite calcular uma integral de superfície, convertendo-a em uma
integral dupla sobre uma região D do plano uv.
Existe uma analogia entre a equação (1) e a definição de integral de linha sobre
uma curva.
A área da superfície é obtida tomando f(x, y, z) = 1 na equação (1), isto é,∫∫
S
1 dS =
∫∫
D
|ru × rv| dA = A(S). (2)
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 25 / 37
Exemplos
Exemplo 5
Seja S uma esfera de raio 1 no espaço xyz com centro na origem. Calcule a integral de
superfície
∫∫
S
(x2 + z) dS.
Resp:
4
3
π
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 26 / 37
Exemplos
Exemplo 5
Seja S uma esfera de raio 1 no espaço xyz com centro na origem. Calcule a integral de
superfície
∫∫
S
(x2 + z) dS. Resp:
4
3
π
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 26 / 37
Integral de superfície sobre Gráficos
Integral de Superfície dada como Gráfico
Uma superfície S dada por z = g(x, y) pode ser escrita como
r(x, y) = xi + yj + g(x, y)k
sobre uma região D do plano xy.
Assim,
rx = i + gxk e ry = j + gyk.
Portanto, a integral de f sobre S é∫∫
S
f(x, y, z) dS =
∫∫
D
f(x, y, g(x, y))
√
1 + g2x + g2y dA.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 27 / 37
Integral de superfície sobre Gráficos
Integral de Superfície dada como Gráfico
Analogamente, se as equações das superfícies S e K forem respectivamente dadas
por x = t(y, z) e y = h(x, z), então as integrais de f sobre S e K são∫∫
S
f(x, y, z) dS =
∫∫
D1
f(t(y, z), y, z)
√
1 + t2y + t2z dA
e ∫∫
K
f(x, y, z) dS =
∫∫
D2
f(x, h(x, z), z)
√
1 + h2x + h2z dA.
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 28 / 37
Exemplos
Exemplo 6
Calcule a integral de superfície
∫∫
S
(x2z2) dS, em que S é a parte do cone x2 + y2 = z2
entre os planos z = 1 e z = 2. (Dica: Use coordenadas polares para resolver
a integral dupla) Resp:
21√
2
π
Anderson (UFRB) Cálculo IV 2023.1 29 / 37
Integrais de Superfície de Campos Vetoriais
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Orientação
Superfícies Orientadas
Considere uma superfície S que tenha um plano tangente em qualquer ponto (x, y, z) no interior
de S.
Se for possível escolher um vetor normal unitário n em cada ponto (x, y, z) de modo que n varie
continuamente sobre S, então S é chamada superfície orientada e a escolha dada de n indica uma
orientação para S.
Existem dois vetores normais unitários n e −n em cada ponto (x, y, z) de S. Como uma
consequência, existem duas possíveis orientações para uma superfície orientada.
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Superfície não-orientada
Faixa de Möbius
A faixa de Möbius é um exemplo de superfície não-orientada!
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Superfície dada como gráfico
Vetor normal de Superfície dada como Gráfico
Para uma superfície z = g(x, y) dada como o gráfico de g, temos a orientação
induzida que é dada pelo vetor normal unitário
n =
−gxi− gyj + k√
1 + g2x + g2y
.
A componente na direção k é positiva. Desta forma, dizemos que a orientação é
positiva ascendente da superfície.
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Vetor normal
Vetor normal de Superfície Orientada Suave
Se S for uma superfície orientada suave dada na forma parametrizada pela equação
vetorial r(u, v), então ela está associada à orientação do vetor normal unitário
n =
ru × rv
|ru × rv|
e a orientação oposta é dada por −n.
Para uma superfície fechada (como esfera),
1 a convenção é que a orientação positiva é aquela para a qual os vetores normais apontam
para fora;
2 os vetores normais que apontam para dentro correspondem à orientação negativa.
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Integral de superfície
Definição 6 (Integral de Superfície de Campos Vetoriais)
Seja F um campo vetorial contínuo definido sobre uma superfície orientada S com vetor
normal unitário n. A integral de superfície (ou integral de fluxo) de F em S é∫∫
S
F · dS =
∫∫
S
F · n dS. (3)
Observação 5
Em palavras, a integral de superfície de um campo vetorial sobre S é igual à integral de
superfície de sua componente normal sobre S.
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Observação
Observação 6
1 Se S é uma função vetorial dada por r(u, v), então n =
ru × rv
|ru × rv|
. Segue que a integral de superfície de F
em S pode ser escrita como ∫∫
S
F · dS =
∫∫
D
F(r(u, v)) · (ru × rv) dA. (4)
2 No caso de uma superfície S dada por um gráfico z = g(x, y) e F=Pi + Qj + Rk, a integral fluxo de F em
S pode ser definida por ∫∫
S
F · dS =
∫∫
D
(−Pgx −Qgy +R) dA. (5)
Esta fórmula pressupõe uma orientação ascendente S, para uma orientação descendente, multiplique por
−1. Além disso, fórmulas semelhantes podem ser estabelecidas se S é dada por y = h(x, z) ou x = t(y, z).
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Exemplos
Exemplo 7
Encontre o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zk através da esfera x2 + y2 + z2 = a2
orientada para fora.
Resp:
4
3
πa3
Exemplo 8
O campo de velocidades de um fluido é dado por F(x, y, z) = yi− xj+ 8k e a superfície
S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 9 que está acima da região D no plano xy,
encerrada pela circunferência x2 + y2 = 4. Ache o fluxo de F através de S. Resp: 32π
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Exemplos
Exemplo 7
Encontre o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zk através da esfera x2 + y2 + z2 = a2
orientada para fora. Resp:
4
3
πa3
Exemplo 8
O campo de velocidades de um fluido é dado por F(x, y, z) = yi− xj+ 8k e a superfície
S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 9 que está acima da região D no plano xy,
encerrada pela circunferência x2 + y2 = 4. Ache o fluxo de F através de S.
Resp: 32π
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Exemplos
Exemplo 7
Encontre o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zk através da esfera x2 + y2 + z2 = a2
orientada para fora. Resp:
4
3
πa3
Exemplo 8
O campo de velocidades de um fluido é dado por F(x, y, z) = yi− xj+ 8k e a superfície
S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 9 que está acima da região D no plano xy,
encerrada pela circunferência x2 + y2 = 4. Ache o fluxo de F através de S. Resp: 32π
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	Superfícies Parametrizadas e suas Áreas
	Integral de Superfície de Campos Escalares
	Integrais de Superfície de Campos Vetoriais