lista-sem-10-c3-02-2015

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Lista de Exercícios de Cálculo 3
Décima Semana
Parte A
1. Use o teorema de Green para calcular a circulação anti-horária Γ e o fluxo exterior Φ para o campo de velocidades
F e a curva C.
(a) F = (x+ y)i− (x2 + y2)j e C : o triângulo limitado por y = 0, x = 1 e y = x.
(b) F(x, y) = (x+ y3)i+ (x2 + y)j e C: consiste em um arco da curva y = sinx de (0, 0) a (π, 0) e o segmento
de reta de (π, 0) a (0, 0).
(c) F(x, y) = (y− ln(x2 + y2))i+ (2 arctan(y/x))j e C: é o círculo (x− 2)2 + (y− 3)2 = 1 orientado no sentido
anti-horário.
(d) F = xyi + y2j e C: é a curva que limita a região dada pelas curvas y = x e y = x2 no primeiro quadrante.
(e) F = − sin yi + x cos yj e C: consiste no quadrado limitado pelas retas x = π/2 e y = π/2 no primeiro
quadrante.
2. Use a integral de linha para calcular a área das regiões dadas.
(a) R é a região limitada pela elipse x
2
a2
+
y2
b2
= 1.
(b) R é a região acima do eixo x entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 2.
(c) R é a região limitada pela reta y = x e o círculo x2 + y2 = 1, considerando y ≤ x.
(d) R é a região limitada pela hipérbole y2 − x2 = 1 e as retas x = ±1.
3. Encontre uma parametrização da superfície.
(a) O plano que passa pelo ponto (1, 2,−3) e contém os vetores i + j− k e i− j + k.
(b) A porção do cone z = 2
√
x2 + y2 entre os planos z = 2 e z = 4.
(c) A porção do cilindro x2 + z2 = 4 acima do plano xy entre os planos y = −2 e y = 2.
(d) A superfície cortada do cilindro parabólico z = 4− y2 pelos planos x = 0, x = 2 e z = 0.
(e) A parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que está dentro do cone z =
√
x2 + y2.
4. Cálcule as seguintes integrais de superfície.
(a)
˜
S
zdS, em que S é a parte do parabolóide z = x2 + y2 que está no interior do plano z = 4.
(b) Integre g(x, y, z) = x
√
y2 + 4 sobre a superfície obtida cortando-se o cilindro parabólico y2 +4z = 16 pelos
planos x = 0, x = 1 e z = 0.
(c)
˜
S
(x2z + y2z)dS, em que S é a parte do plano z = 4 + x+ y que está no interior do cilindro x2 + y2 = 4.
(d)
˜
S
F · dS, em que F(x, y, z) = xzi− 2yj + 3xk e S é a parte do parabolóide z = x2 + y2 abaixo do plano
z = 1 com vetor normal na orientação para cima.
5. Calcule a área das superfícies dadas abaixo.
(a) Da calota da esfera x2 + y2 + z2 = 2 cortada pelo cone z =
√
x2 + y2.
(b) Encontre a área da superfície 2x3/2 + 2y3/2 − 3z = 0 acima do quadrado R : 0 ≤ x, y ≤ 1, no plano xy.
(c) O helicóide (ou rampa espiral) que tem equação paramétrica r(u, v) = u cos vi + u sin vj + vk, 0 ≤ u ≤ 1 e
0 ≤ v ≤ π.
1
(d) Da superfície paramétrica S dada por r(u, v) = 2−3/4v2i − 2−1/4uvj + 2−3/4u2k, com 0 ≤ u ≤ 3 e
−3 ≤ v ≤ 3.
Parte B
1. Seja D uma região limitada pela curva C fechada no plano x− y. Use o teorema de Green para provar que as
coordenadas do centróide (x̄, ȳ) da região D é dada por
x̄ =
1
2A
˛
C
x2dy e ȳ = − 1
2A
˛
C
y2dx,
em que A é a área da região D.
2. (a) Um toro de revolução (donut) é obtido ao girar um círculo C no plano xz em torno do eixo z no espaço. Se
C tem raio r > 0 e centro (R, 0, 0), mostre que a parametrização do torus é
r(u, v) = [(R+ r cosu) cos v]i + [(R+ r cosu) sin v]j + (r sinu)k,
em que 0 ≤ u ≤ 2π e 0 ≤ v ≤ 2π são os ângulos da parametrização do círculo no plano xz e da rotação no plano
xy, respectivamente.
(b) Mostre que a área da superfície do toro é A = 4π2Rr.
3. O plano tangente em um ponto P0(f(u0, v0), g(u0, v0), h(u0, v0)) de uma superfície parametrizada r(u, v) =
f(u, v)i + g(u, v)j + h(u, v)k é o plano que passa por P0 e é normal ao vetor ru(u0, v0)× rv(u0, v0). Determine
o plano tangente as superfícies dadas abaixo.
(a) Cilindro parabólico: r(u, v) = vi+uj−u2k, (u, v) ∈ R2, no ponto P0(2, 1,−1) correspondendo ao ponto
(u, v) = (1, 2).
(b) Cone: r(u, v) = u cos vi + u sin vj + uk, com u ≥ 0 e v ∈ [0, 2π] no ponto P0(
√
2,
√
2, 2) correspondendo
ao ponto (u, v) = (2, π/4).
4. Para uma superfície parametrizada diferenciável e regular
r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k
é possível também definir uma noção de curvatura, como fizemos para curvas no plano e espaço. Para tal,
considere o vetor unitário normal a superfície
n =
ru × rv
|ru × rv|
,
assim definimos as chamadas primeiras formas quadráticas como sendo os números
E = ru · ru, F = ru · rv e G = rv · rv;
e as segundas formas quadráticas como sendo
L = n · ruu, M = n · ruv e N = n · rvv.
Finalmente, definimos a partir das formas quadráticas duas noções distintas de curvatura, a curvatura Gaussiana
K e a curvatura média H através das seguintes fórmulas:
K =
LN −M2
EG− F 2
e H =
1
2
EN − 2FM +GL
EG− F 2
.
As noções de curvatura em superfícies são de particular interesse para a mecânica dos fluidos. As superfícies
capilares são aquelas que representa a interface entre dois fluidos diferentes. Esse tipo de superfície não tem
espessura, em contraste com a maioria das interfaces entre fluidos reais. As superfícies capilares são de inte-
resse também da matemática, pois os problemas envolvidos costumam ser não-lineares e possuem propriedades
interessantes. Em particular, superfícies capilares estáticas, na ausência de gravidade, tem curvatura média
constante.
Determine paras as superfícies abaixo as curvaturas média e Gaussiana.
(a) r(u, v) = a cosu sin vi + a sinu sin vj + a cos vk.
2
(b) r(u, v) = u cos vi + u sin vj + avk, com a ∈ R− {0}.
5. Um fluido viscoso está se movendo dentro de um tubo cilíndrico de raio R com campo
de velocidades dado por
v = v0
e−r − e−R
1− e−R
k (m · s−1),
em que k é o vetor normal unitário ao longo do centro do tubo, que indica a direção do
escoamento, r é a distância do centro do tubo até parede, 0 ≤ r ≤ R, e v0 é uma constante
que fornece a velocidade máxima do escoamento (conforme podemos ver na figura ao
lado). Considerando o campo de velocidades dado, use uma integral de superfície para
calcular a vazão do fluido através de uma seção transversal do tubo.
Parte C
1. Seja L a reta de intersecção dos planos cx+ y + z = c e x− cy + cz = −1, em que c é um número real.
(a) Determine as equações simétricas para a reta L.
(b) Quando o número c varia, a reta L varre uma superfície S. Encontre uma equação para a curva de
intersecção da superfície S com o plano horizontal z = t (isto é, o traço de S no plano z = t).
(c) Determine o volume do sólido limitado pela superfície S e pelos planos z = 0 e z = 1.
2. Use o teorema de Green para provar a fórmula da mudança de variáveis para uma integral dupla no caso em
que f(x, y) = 1 : ¨
R
dxdy =
¨
S
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ dudv.
Aqui R é a região no plano x− y que corresponde a região S no plano u− v sobre a transformação x = g(u, v)
e y = h(u, v).
3. As linhas de corrente de um escoamento plano são curvas suaves traçadas pelas partículas individuais do fluido.
Os vetores u = v(x, y)i + w(x, y)j do campo de velocidade do escoamento são vetores tangentes às linhas de
corrente. Mostre que se o escoamento acontece em uma região simplesmente conexa R (sem furos ou pontos
faltando) e se vx + wy não é nula em em todo R e nem muda de sinal, então nenhuma das linhas de corrente
é fechada. Em outras palavras, nenhuma partícula de fluido tem uma trajetória fechada em R. O critério
vx + wy 6= 0 é chamado de critério de Bendixson para a não existência de trajetórias fechadas.
3
Resumo do Conteúdo
1. Circulação: considere um campo vetorial u : R2 → R2, u(x, y) = v(x, y)i + w(x, y)j, e C uma curva plana
fechada, então a integral de linha
Γ =
˛
C
u · ds =
˛
C
vdx+ wdy
é chamada de circulação de u em torno de C.
2. Fluxo: a integral de linha sobre uma curva C da componente normal u · n do campo vetorial u : R2 → R2,
u(x, y) = v(x, y)i + w(x, y)j, é chamada de fluxo de u através da curva C e é dada por
Φ =
ˆ
C
u · nds =
ˆ
C
−wdx+ vdy.
3. Teorema de Green: considere ∂D uma curva simples fechada derivável e D a região do plano delimitada por
∂D. Além disso, sejam v(x, y) e w(x, y) funções reais com derivadas parciais contínuas numa região contendo
D, então ˛
∂D
vdx+ wdy =
¨
D
(
∂w
∂x
− ∂v
∂y
)
dxdy.
4. Integral de Superfície:considere uma função diferenciável g : S ⊂ R3 → R e uma superfície parametrizada
diferenciável s(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, s : D ⊂ R2 → S, definimos a integral de superfície como
sendo ¨
S
gdS =
¨
D
g(s(u, v))
∣∣∣∣ ∂s∂u × ∂s∂v
∣∣∣∣ dudv.
Particularmente, se a superfície é definida pelo gráfico de uma função diferenciável z = f(x, y), então a integral
de superfície é simplificada na forma
¨
S
gdS =
¨
D
g(x, y, f(x, y))
√
1 +
(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂y
)2
dxdy,
em que D é uma região contida no domínio da função f .
4
Gabarito
Parte A
1. Respostas
(a) Γ = − 76 e Φ =
1
6
(b) Γ = 2π − 43 e Φ = 4
(c) Γ = −π e Φ = 0
(d) Γ = − 112 e Φ =
1
5
(e) Γ = π e Φ = −π
2
8
2. Respostas
(a) πab
(b) 3π2
(c) π2
(d) 2(
√
2 + arcsinh(1))
3. Respostas
(a) r(u, v) = ui + vj− (1 + v)k, (u, v) ∈ R2
(b) r(u, v) = u cos vi + u sin vj + 2uk, 1 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 2π
(c) r(u, v) = 2 cos vi + uj + 2 sin vk, −2 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 2π
(d) r(u, v) = ui + vj + (1− v2)k, 0 ≤ u ≤ 2 e −2 ≤ v ≤ 2
(e) r(u, v) = 2 sin v cosui + 2 sin v sinuj + 2 cos vk, 0 ≤ u ≤ 2π e 0 ≤ v ≤ π/4
4. Respostas
(a) π60 (1 + 391
√
17)
(b) 21443
(c) 32
√
3π
(d) 2π3
5. Respostas
(a) S = 2π(2−
√
2)
(b) S = 415 (1− 8
√
2 + 9
√
3)
(c) S = π2
(√
2 + arcsinh(1)
)
(d) S = 108
Parte B
1. Basta converter as integrais duplas do centróide
x̄ =
1
A
¨
R
xdA e ȳ =
1
A
¨
R
ydA,
em integrais de linha.
2. (b) Basta calcular a integral ¨
[0,2π]×[0,2π]
|ru × rv| dudv.
3. Respostas
(a) 2(y − 1) + (z + 1) = 0
5
(b)
√
2(x−
√
2) +
√
2(y −
√
2)− 2(z − 2) = 0
4. Respostas
(a) K = 1/a2 e H = −1/a.
(b) K = −a2/(a2 + u2)2 e H = 0.
5. Φ = 2πv0
(
1 +
1
2
R2 + 2R
eR − 1
)
(m3 · s−1)
Parte C
1. Respostas
(a) x+ 1
2c
=
y − c
1− c2
= − z − c
1 + c2
(b) x(c) = c
2−2ct−1
c2+1 e y(c) =
c2t+2c−t
c2+1 , t ∈ R
(c) Tem-se que x2(c) + y2(c) = 1 + t2, isto é, o volume a ser calculado é de um tronco de cone cujas bases tem
raio 1 e
√
2. Portanto, o volume é V = π3
(
2 +
√
2 + 1
)
.
2. Note que o lado esquerdo consiste na área da região R. Sabendo que a área pode ser escrita usando a integral
de linha
A(R) =
1
2
˛
∂R
xdy − ydx,
então converta a integral de linha sobre ∂R para uma integral de linha sobre ∂S e aplique o teorema de Green
no plano u− v.
6