Cálculo Bi e Tri dimensionais para projeto de Engenharia (Parte 1)

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ANOTAÇÃO DO 3° SEMESTRE DA FACULDADE DE ENGENHARIA 
CÁLCULO DE VOLUME DE UM DETERMINADO RESERVATÓRIO, ATRAVÉS DO 
PROCESSO DE INTEGRAÇÃO.   
➢ Aplicações da integral definida: 
No semestre anterior, foi apresentado sobre o que é uma integral definida e foi 
analisada uma importante aplicação que é o cálculo de Área de regiões planas. Agora, 
outras aplicações da integral definida serão discutidas. 
● Comprimento de arco em coordenadas cartesianas: 
Sabendo que f uma função suave (f e sua derivada f ’ 
são contínuas) em [a,b]. O comprimento de arco do 
gráfico de f de A (a, f (a)) à B(b,f (b)) é dado por: 
 
Podem ocorrer situações em que a curva é dada por x = 
g(y) em vez de y = f(x). Neste caso, o comprimento do 
arco da curva de A(g (c), c) até B(g (d) ,d) é dado por: 
 
➢ Equações paramétricas: 
As equações paramétricas são duas equações que representam a mesma reta 
utilizando uma incógnita t. Essa incógnita recebe o nome de parâmetro e faz a ligação 
entre as duas equações que representam a mesma reta. 
As equações x = 5 + 2t e y = 7 + t são as equações paramétricas de uma reta s. 
● Comprimento de arco uma curva plana dada por suas Equações 
Paramétricas: 
Vamos calcular o comprimento de arco de uma curva C, dada na forma 
paramétrica pelas equações. 
onde x = x(t) e y = y(t) são contínuas com derivadas 
contínuas e x³(t) ≠ 0 para todo t ∈ [t0 = t1]. 
Neste caso, conforme vimos, estas equações definem uma função y = f(x), cuja 
derivada é dada por Segue então, através de uma substituição, 
que: 
 onde t0 = a e t1 = b. Portanto, 
● Área de uma região plana: 
Vamos calcular a área de uma região plana, sendo 
que as curvas que delimitam a região são dadas na 
forma paramétrica. Conforme vimos anteriormente, a 
área é dada por: 
 
Fazendo a substituição x = x(t) e dx = x’ (t) dt, obtemos: 
 
Os cálculos relacionados a áreas de figuras planas regulares são de certa forma 
realizados facilmente, devido às fórmulas matemáticas existentes. No caso de 
figuras como o triângulo, quadrado, retângulo, trapézios, losangos, 
paralelogramo entre outras, basta relacionarmos as fórmulas à figura e realizar 
os cálculos necessários. Algumas situações exigem ferramentas auxiliares na 
obtenção de áreas, como exemplo as regiões existentes sob uma curva. Para 
tais situações utilizamos os cálculos envolvendo as noções de integrações 
desenvolvidas por Isaac Newton e Leibniz. 
Podemos representar algebricamente uma curva no plano através de uma lei de 
formação chamada função. A integral de uma função foi criada no intuito de 
determinar áreas sob uma curva no plano cartesiano. Os cálculos envolvendo 
integrais possuem diversas aplicações na Matemática e na Física. Observe a 
ilustração a seguir: 
Para calcular a área da região demarcada (S) 
utilizamos a integrada função f na variável x, 
entre o intervalo a e b: 
 
 
A ideia principal dessa expressão é dividir a área demarcada em infinitos 
retângulos, pois intuitivamente a integral de f(x) corresponde à soma dos 
retângulos de altura f(x) e base dx, onde o produto de f(x) por dx corresponde à 
área de cada retângulo. A soma das áreas infinitesimais fornecerá a área total 
da superfície sob a curva. 
Ao resolvermos a integral entre os limites a e 
b, teremos como resultado a seguinte 
expressão: 
 
 
● Exemplo: Determine a área da região a seguir delimitada pela parábola definida 
pela expressão f(x) = – x² + 4, no intervalo [-2,2]. 
 
 
 
Determinando a área através da integração da função f(x) = 
–x² + 4. Para isso precisamos relembrar a seguinte técnica 
de integração: 
● ATIVIDADE DE FIXAÇÃO: 
Determine a área da região compreendida entre a curva paramétrica x = t³, y = 
2t² + 1, - 1 ≤ t ≤ 1 e o eixo x 
a. 22/5 
b. 2/5. 
c. 11/5 
d. 3/5 
e. 7/5 
 GABARITO: a) 22/5 
DESENVOLVER INOVAÇÕES E SOLUÇÕES INOVADORAS FUNDAMENTADAS 
NAS REALIDADES DE UM AMBIENTE OU SITUAÇÃO PARTICULAR. 
➢ Explorando Sólidos de Revolução: Análise do Eixo de Rotação e Suas 
Implicações na Geometria do Sólido: 
Havendo cerca de uma centena de elementos químicos diferentes na Natureza, por que 
encontramos uma variedade tão grande de materiais? 
Fazendo-se uma região plana girar em torno de uma reta do plano, o sólido resultante é 
chamado sólido de revolução. A reta em torno da qual se processa a revolução é 
chamada de eixo de revolução. 
Por exemplo, fazendo a região limitada pelas 
retas y = 0, y = x e y = 4 girar em torno do eixo 
dos x, o sólido de revolução obtido é um cone. 
 
Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 
1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo dos y, 
obtemos um cilindro. 
 
Consideremos agora, o problema de definir o 
volume do sólido T, gerado pela rotação em 
torno do eixo dos x, da região plana R. 
 
Seja f contínua em [a,b]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da 
região delimitada pelos gráficos de f, de x = a, x = b e do eixo x é dado por: 
A fórmula (*) pode ser generalizada para outras situações: 
I – A região R está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b. 
Supondo f(x) ≥ g(x), ∀ x ∈ [a, b], o volume do 
sólido T, gerado pela rotação de R em torno do 
eixo dos x, é dado por: 
 
 
II – Ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região R gira em torno do eixo 
dos y. 
Neste caso, temos: 
 
 
III – A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos 
coordenados. 
Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos: 
 
 
 
Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos: 
 
 
 
 
 
Agora, vamos ver que da geometria, você pode estar familiarizado com a área da superfície de 
algumas formas específicas. Por exemplo, a área da superfície de uma esfera de raio ré 4πr2. 
Mas e se alguém te dá uma superfície arbitrária, definida usando alguma função paramétrica 
que mapeia uma região de parâmetro bidimensional no espaço tridimensional? Como você 
encontra a área dessa superfície? 
A resposta é usar uma certa integral, ou melhor, uma certa integral dupla, que você está 
prestes a aprender. Isso é análogo a como você pode encontrar o comprimento do arco de uma 
curva arbitrária usando uma certa integral simples, ou o volume de um sólido de forma estranha 
usando a integral tripla apropriada. 
➢ Área de uma Superfície de Revolução: 
Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma superfície 
de revolução. Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de 
revolução S, obtida quando uma curva C, de equação y = f (x), x Î [a, b], gira em torno 
do eixo dos x (ver Figura a seguir). 
Quando uma curva plana gira em torno de 
uma reta no plano, obtemos uma superfície 
de revolução. Vamos considerar o problema 
de determinar a área da superfície de 
revolução S, obtida quando uma curva C, de 
equação y = f (x), x Î [a, b], gira em torno do 
eixo dos x. 
Definição: Seja C uma curva de equação y = f (x), onde f e f ’ são funções contínuas em 
[a,b] e f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b]. A área da superfície de revolução S, gerada pela rotação 
da curva C ao redor do eixo dos x, é definida por 
 
OBS: Se a curva girar em torno do eixo dos y, a área será dada por: 
 
 
CALCULAR DERIVADA PARCIAL, DERIVADA DIRECIONAL, REGRA DA CADEIA E 
DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS. 
 
➢ Coordenadas Polares: 
No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem em uma distância e da 
medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta fixa. 
A Figura a seguir ilustra um ponto P num sistema de coordenadas polares. 
O ponto fixo, denotado por O, é chamado 
pólo ou origem. 
O ponto P fica bem determinado através 
do par ordenado (r,q), onde ½r½ 
representa a distância entre a origem e o 
ponto P, e q representa a medida, em 
radianos do ângulo orientado AÔP. 
OBS: (i) q > 0 Þ o ângulo AÔP está descrito no sentido anti-horário. 
 (ii) qno sentido horário. 
 (iii) (0, q), "q, representa o polo ou origem. 
As coordenadas polares (r,q) estabelecem a posição do ponto P 
em relação a uma grade formada por círculos concêntricos com 
centro em O e semirretas partindo de O: 
 
 
 
● Conversão de coordenadas polares 
Às vezes pode ser necessário converter a representação cartesiana para a 
polar; ou vice-versa. Para visualizar isto, fazemos a origem do primeiro sistema 
coincidir com o polo do segundo sistema, o eixo polar com o eixo positivo dos x 
e o raio para o qual com o eixo positivo y.
 
Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e 
coordenadas polares (r, q), vamos analisar o caso em que o ponto P está no 
primeiro quadrante. 
 
 
 
 
 
 
Observemos que: 
 
 
 
Elevando (*) ao quadrado e somando ambos temos: 
 
 
 
 
 
➢ Gráficos de Equações com Coordenadas Polares: 
Agora podemos observar que o gráfico de F (r, q) = 0 é formada por todos os pontos 
cujas coordenadas polares satisfazem a equação. É comum apresentarmos a equação 
numa forma explícita; isto é: r = f (Θ) 
Os seguintes procedimentos poderão nos auxiliares no esboço do gráfico: 
I. Construir uma tabela a partir de valores de 
selecionados; 
II. Encontrar os valores de q para os quais a curva passa pelo polo; 
III. Verificar simetria. A simetria do gráfico de uma equação polar pode ser 
frequentemente constatada fazendo-se substituições convenientes na equação e 
testando para ver se a nova equação é equivalente à original. A tabela seguinte mostra 
algumas substituições que acarretam a simetria indicada 
 Substituições Simetria 
(r, θ) por (r, - 
θ) 
Eixo - x 
(r, θ) por (- r, θ) Origem 
(r, θ)por (r, π - 
θ) 
Eixo - y 
● Comprimento de arco em coordenadas polares: 
O comprimento de arco da curva por r = f (θ) entere θ = α e θ = ß é dado por 
desde que f’ exista e seja contínua no 
intervalo [α, ß] 
● Áreas em Coordenadas Polares: 
Queremos encontrar a área A, da Figura delimitada pelas retas θ = α e θ = ß e 
ela curva r = f (θ), que é dada por: 
 
 
Função de Duas Variáveis: seja D um subconjunto (região) 
do espaço R² (plano). Chama-se função f de D toda relação 
que associa, a cada par (x, y) ∈ D, um único número real, 
representado por f (x, y). O conjunto D é o domínio da 
função. Assim, D é o domínio da função em R², f é a 
função e f (x, y) é o valor da função calculado em (x, y). 
 
● Domínio de funções de duas variáveis: 
O domínio de funções de duas variáveis independentes segue as mesmas 
regras do domínio de funções de uma variável independente, ou seja, é o 
domínio de todos os pares (x, y) para os quais a expressão f (x, y) é definida. 
Exemplos: 1) Achar o domínio da função f(x, y) = (y − x)1/2 , em seguida 
encontre f(2,6), f(-4,5) e f(4, 2). 
Solução: Observe que 
logo, a condição de existência dessa 
função é y - x ≥ 0 (real), portanto o seu 
domínio é D = {(x, y) ∈ R² / y ≥ x} 
 
● Função de três variáveis: 
Definição: uma função real f de três variáveis é uma relação que a cada tripla 
ordenada de números reais (x, y, z) associa um único número real f (x, y, z), 
onde x, y, z são as variáveis Independentes (de saída), w variável dependente 
(de chegada). É importante salientar que função real de três variáveis não pode 
ser representada geometricamente. 
Exemplos: 
1- Identificar o Domínio das Funções: 
 
 
 
 
 
2) Encontre o domínio da função e os pontos (x, y) para os 
quais f(x, y) = 1. 
 
 
 
R) A expressão só faz sentido nos pontos (x, y) tais que x – y² >0 , ou seja, x > y². 
 
 
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	DESENVOLVER INOVAÇÕES E SOLUÇÕES INOVADORAS FUNDAMENTADAS NAS REALIDADES DE UM AMBIENTE OU SITUAÇÃO PARTICULAR. 
	 
	●​Conversão de coordenadas polares 
	●​Comprimento de arco em coordenadas polares: 
	●​Áreas em Coordenadas Polares: 
	 
	●​Domínio de funções de duas variáveis: