Exercício 36.1. 1. Seja A = ( 1 1 −1 3 ) e defina T : R2 → R 2 por T (v) = Av. Mostre que v1 = (1,1) é autovetor de T e que o ope- rador linear T...

Para mostrar que v1 = (1,1) é autovetor de T, precisamos calcular T(v1) e verificar se é um múltiplo escalar de v1. Temos: T(v1) = A * v1 = ( 1 1 −1 3 ) * ( 1 1 ) = ( 2 2 ) = 2 * (1,1) = 2v1 Portanto, v1 é autovetor de T com autovalor λ = 2. Para mostrar que T não é diagonalizável, podemos observar que T tem apenas um autovalor, λ = 2, mas não tem um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. Como v1 é um autovetor, podemos tentar encontrar outro autovetor linearmente independente de v1. No entanto, não há outro vetor em R2 que seja um autovetor de T. Portanto, T não é diagonalizável. Para a questão 2, podemos encontrar os autovalores e autovetores de T. Temos: T(x,y,z) = (z,y,x) Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica det(T - λI) = 0: det( ( −λ 0 1 0 −λ 1 1 0 −λ ) ) = λ^3 - λ^2 - λ = λ(λ - 1)(λ + 1) = 0 Portanto, os autovalores de T são λ1 = -1, λ2 = 0 e λ3 = 1. Agora, para encontrar os autovetores correspondentes, precisamos resolver o sistema de equações (T - λI)v = 0 para cada autovalor. Temos: Para λ1 = -1: ( 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ) * ( x y z ) = ( 0 0 0 ) A solução desse sistema é x = -z e y = 0. Portanto, o autovetor correspondente a λ1 é v1 = (-1,0,1). Para λ2 = 0: ( 0 0 1 0 0 1 1 1 0 ) * ( x y z ) = ( 0 0 0 ) A solução desse sistema é x = -y e z = 0. Portanto, o autovetor correspondente a λ2 é v2 = (-1,1,0). Para λ3 = 1: ( −1 0 1 0 −1 0 1 0 −1 ) * ( x y z ) = ( 0 0 0 ) A solução desse sistema é x = z e y = 0. Portanto, o autovetor correspondente a λ3 é v3 = (1,0,1). Agora, para determinar uma matriz diagonal D que representa T e uma base de autovetores correspondente, podemos colocar os autovetores em uma matriz V e os autovalores em uma matriz diagonal D. Temos: V = ( −1 −1 1 0 1 0 1 0 1 ) D = ( −1 0 0 0 0 0 0 0 1 ) Então, podemos escrever T como T = VDV^-1, onde V^-1 é a inversa de V. Portanto, T é diagonalizável e sua representação diagonal é D. Para a questão 3, podemos seguir o mesmo procedimento para encontrar os autovalores e autovetores de T. Temos: T(x,y,z,t) = (3x−4z,3y+5z,−z,−t) Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica det(T - λI) = 0: det( ( 3−λ 0 −4 0 0 3−λ 5 0 0 0 −λ −1 0 0 0 −λ ) ) = λ^4 - 6λ^3 + 7λ^2 + 24λ = λ(λ - 4)(λ + 2)^2 = 0 Portanto, os autovalores de T são λ1 = 0, λ2 = 4 e λ3 = -2 (com multiplicidade 2). Agora, para encontrar os autovetores correspondentes, precisamos resolver o sistema de equações (T - λI)v = 0 para cada autovalor. Temos: Para λ1 = 0: ( 3 0 −4 0 0 3 5 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 ) * ( x y z t ) = ( 0 0 0 0 ) A solução desse sistema é x = (4/3)z e y = (-5/3)z. Portanto, o autovetor correspondente a λ1 é v1 = (4,-5,3,0). Para λ2 = 4: ( −1 0 −4 0 0 −1 5 0 0 0 −4 −1 0 0 0 −4 ) * ( x y z t ) = ( 0 0 0 0 ) A solução desse sistema é x = (4/3)z e y = (-5/3)z e t = 0. Portanto, o autovetor correspondente a λ2 é v2 = (4,-5,3,0). Para λ3 = -2: ( 5 0 −4 0 0 5 5 0 0 0 2 −1 0 0 0 2 ) * ( x y z t ) = ( 0 0 0 0 ) A solução desse sistema é x = (4/5)z e y = (-1/5)z e t = 0. Portanto, o autovetor correspondente a λ3 é v3 = (4,-1,5,0). Para o segundo autovetor correspondente a λ3, podemos escolher qualquer vetor linearmente independente de v3. Por exemplo, podemos escolher v4 = (0,0,0,1). Agora, para determinar uma matriz diagonal D que representa T e uma base de autovetores correspondente, podemos colocar os autovetores em uma matriz V e os autovalores em uma matriz diagonal D. Temos: V = ( 4 4 4 0 −5 −5 −1 0 3 3 5 0 0 0 0 1 ) D = ( 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 −2 ) Então, podemos escrever T como T = VDV^-1, onde V^-1 é a inversa de V. Portanto, T é diagonalizável e sua representação diagonal é D. Para a questão 4, podemos usar o fato de que o determinante de T é igual ao produto dos autovalores de T. Temos: det(T) = 0 se e somente se T é não-inversível. Além disso, sabemos que 0 é um autovalor de T se e somente se T é não-inversível. Portanto, se 0 é um autovalor de T, então T é não-inversível.