AVA2 - CALCULO ELEMENTAR

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA – UVA 
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
ARIANA ELIAS GENUÁRIO 
 
 
 
 
 
 
 Modelo Trigonométrico no Controle de Satélites 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO 
 2023 
 
ENUNCIADO: 
Satélites de comunicação são usados para fornecer serviços de 
telecomunicações, como televisão, telefonia e internet. Os movimentos desses 
satélites em torno da Terra podem ser descritos por funções trigonométricas, 
devido à sua natureza periódica. 
Uma órbita é a trajetória de um objeto em torno de outro objeto sob a 
influência da força gravitacional. Esses movimentos, em geral, exibem uma 
repetição regular ao longo do tempo, como a Terra orbitando o Sol, ou um satélite 
artificial de comunicação em órbita ao redor da Terra. Nesse movimento, o 
perigeu é o ponto em que o satélite, em órbita, está mais próximo da Terra e o 
apogeu é o ponto em que está mais distante. 
Esses satélites precisam ser monitorados e os modelos envolvendo 
funções trigonométricas podem auxiliar nesse controle. 
 
Considere que a distância do satélite Telekom até a Terra é descrita pelo 
modelo: 
d(x)= 9804 . 
 1+0,14.cos(0,05x) 
 
Em que d é a distância do satélite à Terra, em quilômetros; e x é o tempo 
de movimento em sua órbita, dado em minutos. 
Para monitorar o movimento desse satélite, é necessário controlar sua 
distância do centro da Terra. Uma medida de controle importante é a soma do 
apogeu com o perigeu, representada por D. 
 
Desenvolvimento: 
Sendo d(x)=9804/1+0,14.cos(0,05x), onde "x" é o tempo de movimento 
em volta da órbita da Terra, dado em minutos e "d" é a distância do satélite à 
Terra, dado em quilômetros. 
Considerando o modelo d(x) e os conceitos de perigeu (próximo) e apogeu 
(distante) a questão pede para definir: 
 
1. A distância correspondente ao apogeu. 
Para o apogeu o cosseno sendo 1 (negativo), temos: 
d(x)=9804/1-0,14=9804/0,86=11.400KM. 
 
2. A distância correspondente ao perigeu. 
Para o perigeu o cosseno sendo 1 (positivo), temos: 
d(x)=9804/1+0,14=9804/1,14=8.600KM. 
 
3. A medida de controle D. 
Para obter o valor de "D" basta somar os valores do apogeu e perigeu, 
sendo assim, logo temos: 
D=11.400KM+8.600KM=20.000KM. 
 
4. O tempo em órbita para alcançar o perigeu. 
Para o perigeu, sendo o cos(0,05x)=1, lembrando que só ocorre quando 
os valores dentro do cosseno são múltiplos de 2π, somente os ângulos múltiplos 
de 2π possuem o cosseno valendo 1. Então, temos: 
0,05x=2πn → x=2πn/0,05=40πn. 
Assim o tempo para se atingir o perigeu será sempre múltiplo de 
40π=125,6637 minutos, que equivale a 7.539,82 segundos (no SI). 
 
5. O tempo em órbita para alcançar o apogeu. 
Para o apogeu, sendo o cos(0,05x)=-1, lembrando que só ocorre quando 
os valores dentro do cosseno são múltiplos de π, sendo que somente os 
múltiplos de π possuem o cosseno valendo -1, ou seja, múltiplos ímpares de π. 
Então, podemos afirmar que: 0,05x=(2n+1)π. 
Sendo assim, resulta em: x=π(40n+20)=20π(2n+1). 
Baseando-se nessa mesma análise, o tempo para se atingir o apogeu 
será sempre múltiplo de 20π=62,8318 minutos, que equivale a 3.769,91 
segundos no (SI).