AVA2 - CALCULO ELEMENTAR

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<p>UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA – UVA</p><p>ENGENHARIA DE PRODUÇÃO</p><p>ARIANA ELIAS GENUÁRIO</p><p>Modelo Trigonométrico no Controle de Satélites</p><p>RIO DE JANEIRO</p><p>2023</p><p>ENUNCIADO:</p><p>Satélites de comunicação são usados para fornecer serviços de telecomunicações, como televisão, telefonia e internet. Os movimentos desses satélites em torno da Terra podem ser descritos por funções trigonométricas, devido à sua natureza periódica.</p><p>Uma órbita é a trajetória de um objeto em torno de outro objeto sob a influência da força gravitacional. Esses movimentos, em geral, exibem uma repetição regular ao longo do tempo, como a Terra orbitando o Sol, ou um satélite artificial de comunicação em órbita ao redor da Terra. Nesse movimento, o perigeu é o ponto em que o satélite, em órbita, está mais próximo da Terra e o apogeu é o ponto em que está mais distante.</p><p>Esses satélites precisam ser monitorados e os modelos envolvendo funções trigonométricas podem auxiliar nesse controle.</p><p>Considere que a distância do satélite Telekom até a Terra é descrita pelo modelo:</p><p>d(x)= 9804 .</p><p>1+0,14.cos(0,05x)</p><p>Em que d é a distância do satélite à Terra, em quilômetros; e x  é o tempo de movimento em sua órbita, dado em minutos.</p><p>Para monitorar o movimento desse satélite, é necessário controlar sua distância do centro da Terra. Uma medida de controle importante é a soma do apogeu com o perigeu, representada por D.</p><p>Desenvolvimento:</p><p>Sendo d(x)=9804/1+0,14.cos(0,05x), onde "x" é o tempo de movimento em volta da órbita da Terra, dado em minutos e "d" é a distância do satélite à Terra, dado em quilômetros.</p><p>Considerando o modelo d(x) e os conceitos de perigeu (próximo) e apogeu (distante) a questão pede para definir:</p><p>1. A distância correspondente ao apogeu.</p><p>Para o apogeu o cosseno sendo 1 (negativo), temos:</p><p>d(x)=9804/1-0,14=9804/0,86=11.400KM.</p><p>2. A distância correspondente ao perigeu.</p><p>Para o perigeu o cosseno sendo 1 (positivo), temos:</p><p>d(x)=9804/1+0,14=9804/1,14=8.600KM.</p><p>3. A medida de controle D.</p><p>Para obter o valor de "D" basta somar os valores do apogeu e perigeu, sendo assim, logo temos:</p><p>D=11.400KM+8.600KM=20.000KM.</p><p>4. O tempo em órbita para alcançar o perigeu.</p><p>Para o perigeu, sendo o cos(0,05x)=1, lembrando que só ocorre quando os valores dentro do cosseno são múltiplos de 2π, somente os ângulos múltiplos de 2π possuem o cosseno valendo 1. Então, temos:</p><p>0,05x=2πn → x=2πn/0,05=40πn.</p><p>Assim o tempo para se atingir o perigeu será sempre múltiplo de 40π=125,6637 minutos, que equivale a 7.539,82 segundos (no SI).</p><p>5. O tempo em órbita para alcançar o apogeu.</p><p>Para o apogeu, sendo o cos(0,05x)=-1, lembrando que só ocorre quando os valores dentro do cosseno são múltiplos de π, sendo que somente os múltiplos de π possuem o cosseno valendo -1, ou seja, múltiplos ímpares de π. Então, podemos afirmar que: 0,05x=(2n+1)π.</p><p>Sendo assim, resulta em: x=π(40n+20)=20π(2n+1).</p><p>Baseando-se nessa mesma análise, o tempo para se atingir o apogeu será sempre múltiplo de 20π=62,8318 minutos, que equivale a 3.769,91 segundos no (SI).</p>