Mecânica Quântica - Oscilador Harmônico

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LOM3226 - Mecânica Quântica
Prof. Dr. Luiz T. F. Eleno
Escola de Engenharia de Lorena da Universidade de São Paulo
Lista 1, Ex. 24: Calcule 〈x〉, 〈p〉, 〈x2〉, 〈p2〉 e 〈T〉 para o n-ésimo estado estacionário do oscilador harmônico.
Confira se o princı́pio da incerteza é satisfeito
Solução:
O exercı́cio é relativamente simples (apesar de longo) se você tiver os conceitos bem claros na cabeça., ainda que
a solução dependa de um truque que vou descrever mais adiante. Usando esse truque, você não precisará resolver
nenhuma integral no braço! Vou começar calculando 〈x〉n, que é o valor esperado de x no estado estacionário ψn(x):
〈x〉n =
∫ +∞
−∞
ψ∗n(x)x̂ψn(x)dx =
∫ +∞
−∞
xψ2
n(x)dx (1)
A última parte da igualdade é verdade porque ψn(x), para o oscilador harmônico, é uma função real (para outros
potenciais isso nem sempre acontece!). Agora repare que, como as funções ψn(x) são sempre simétricas (são
funções alternadamente pares ou ı́mpares), segue que ψ2
n(x) é sempre par, e, portanto, xψ2
n(x) é uma função ı́mpar.
Consequentemente, como a integral de uma função ı́mpar num intervalo de integração simétrico em relação à
origem é sempre zero,
〈x〉n = 0 (2)
Agora vou calcular 〈p〉n, o valor esperado do momento no estado ψn(x). Para uma demonstração bem simples,
perceba que
p = m
dx
dt
=⇒ 〈p〉n = m
d
dt
〈x〉n (3)
Mas, como 〈x〉n = 0, segue que
〈p〉n = 0 (4)
Para continuar, vou descrever o truque mencionado logo no primeiro parágrafo. Começo relembrando as
definições dos operadores levantamento e abaixamento:
â+ =
1√
2mh̄ω
(−i p̂ + mωx̂) , â− =
1√
2mh̄ω
(+i p̂ + mωx̂) (5)
Somando as duas equações, você obtém
â+ + â− =
1√
2mh̄ω
(2mωx̂) (6)
de onde posso escrever uma expressão para x̂:
x̂ =
√
h̄
2mω
(â+ + â−) (7)
(Você poderia agora subtrair â− de â+ para obter uma expressão para p̂:
p̂ = i
√
mh̄ω
2
(â+ − â−) , (8)
mas não vou usar essa expressão aqui). Vou agora escrever o operador x̂2 usando a Eq. (7):
x̂2 =
h̄
2mω
(â+ + â−)
2 =
h̄
2mω
(
â2
+ + â2
− + â+ â− + â− â+
)
(9)
Lembre agora (ver apresentação usada em aula) que
Ĥ = h̄ω
(
â− â+ −
1
2
)
ou Ĥ = h̄ω
(
â+ â− +
1
2
)
(10)
1
Somando essas expressões:
2Ĥ = h̄ω (â+ â− + â− â+) (11)
Jogando esse resultado na Eq. (9):
x̂2 =
h̄
2mω
(
â2
+ + â2
−
)
+
1
mω2 Ĥ (12)
Vou usar esse último resultado para calcular
〈
x2〉
n:〈
x2
〉
n
=
∫ +∞
−∞
ψ∗n(x)x̂2ψn(x)dx =
∫ +∞
−∞
ψ∗n(x)
[
h̄
2mω
(
â2
+ + â2
−
)
+
1
mω2 Ĥ
]
ψn(x)dx (13)
ou ainda 〈
x2
〉
n
=
h̄
2mω
[∫ +∞
−∞
ψ∗n(x)â2
+ψn(x)dx +
∫ +∞
−∞
ψ∗n(x)â2
−ψn(x)dx
]
+
1
mω2
∫ +∞
−∞
ψ∗n(x)Ĥψn(x)dx (14)
Agora repare que â2
+ψn(x) é fundamentalmente ψn+2(x) (a menos da normalização) e, como ψn e ψn+2 são ortonor-
mais, segue que a primeira integral se anula. Por um motivo similar, o mesmo é verdade para a segunda integral.
Resta, portanto, apenas a última integral, que é a definição do valor esperado do hamiltoniano no estado ψn(x):
〈H〉n =
∫ +∞
−∞
ψ∗n(x)Ĥψn(x)dx (15)
Lembre agora que o valor esperado do hamiltoniano em algum estado estacionário é a energia desse estado:
〈H〉n = En (16)
o que me permite escrever 〈
x2
〉
n
=
1
mω2 En (17)
Além disso, sei que
En = h̄ω
(
n +
1
2
)
(18)
e posso, finalmente, escrever 〈
x2
〉
n
=
h̄
mω
(
n +
1
2
)
(19)
Agora vou calcular 〈V〉n, o valor esperado da energia potencial no estado ψn(x) — o motivo ficará claro em
breve. Para o oscilador harmônico:
V̂ = V(x) =
1
2
mω2x2 =⇒ 〈V〉n =
1
2
mω2
〈
x2
〉
n
(20)
Usando a Eq. (19):
〈V〉n =
1
2
h̄ω
(
n +
1
2
)
(21)
Repare agora no seguinte. Como Ĥ = T̂ + V̂, segue que
〈H〉n = 〈T〉n + 〈V〉n (22)
Portanto, consigo calcular o valor esperado da energia cinética no estado ψn(x):
〈T〉n = 〈H〉n − 〈V〉n (23)
ou seja,
〈T〉n =
1
2
h̄ω
(
n +
1
2
)
(24)
Percebo assim que 〈T〉n = 〈V〉n para os estados estacionários do oscilador harmônico. Finalmente, lembre que
T̂ =
p2
2m
=⇒ 〈T〉n =
1
2m
〈
p2
〉
n
(25)
De onde obtenho o valor esperado de p2 no estado ψn(x):
〈
p2
〉
n
= mh̄ω
(
n +
1
2
)
(26)
2
Vou agora determinar os desvios padrão σx e σp no estado ψn(x). As variâncias são dadas por
σ2
x =
〈
x2
〉
n
− 〈x〉2n , σ2
p =
〈
p2
〉
n
− 〈p〉2n (27)
Usando tudo o que obtive até agora, terei
σx =
√
h̄
mω
√
n +
1
2
, σp =
√
mh̄ω
√
n +
1
2
(28)
e posso assim escrever
σxσp = h̄
(
n +
1
2
)
(29)
que consigo ainda colocar numa forma mais sugestiva:
σxσp =
h̄
2
+ h̄n (30)
Como o número quântico n é sempre tal que n ≥ 0, segue que
σxσp ≥
h̄
2
(31)
como diz o Princı́pio da Incerteza. Repare que, no estado fundamental (n = 0), a desigualdade torna-se uma
identidade.
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