Para resolver a equação diferencial \( y' - 2y = 0 \) com a condição inicial \( y(0) = -2 \), primeiro precisamos encontrar a solução geral da EDO. A equação é uma EDO de separação de variáveis. Podemos reescrevê-la como: \[ \frac{dy}{y} = 2 dt \] Integrando ambos os lados, obtemos: \[ \ln |y| = 2t + C \] Exponentiando, temos: \[ y = e^{2t + C} = e^C e^{2t} \] Seja \( K = e^C \), então: \[ y(t) = K e^{2t} \] Agora, usando a condição inicial \( y(0) = -2 \): \[ y(0) = K e^{0} = K = -2 \] Portanto, a solução particular é: \[ y(t) = -2 e^{2t} \] Agora, precisamos calcular \( y(t) \) para \( t = 0, 1, 2 \): 1. \( y(0) = -2 e^{0} = -2 \) 2. \( y(1) = -2 e^{2} \) 3. \( y(2) = -2 e^{4} \) Substituindo esses valores na equação dada: \[ y(2) - 6y(1) + 8y(0) = 8u \] Substituindo os valores: \[ -2 e^{4} - 6(-2 e^{2}) + 8(-2) = 8u \] Simplificando: \[ -2 e^{4} + 12 e^{2} - 16 = 8u \] Agora, isolando \( u \): \[ 8u = -2 e^{4} + 12 e^{2} - 16 \] Dividindo por 8: \[ u = \frac{-2 e^{4} + 12 e^{2} - 16}{8} \] Simplificando ainda mais: \[ u = \frac{-e^{4} + 6 e^{2} - 8}{4} \] Portanto, a resposta final para \( u \) é: \[ u = \frac{-e^{4} + 6 e^{2} - 8}{4} \]