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Logarítimos
Prof. Edvaldo Reis
1 Definição de Logaritmo
O logaritmo de um número real positivo a, na base b (onde b > 0 e b ̸= 1), é o expoente ao qual devemos
elevar b para obter a. Matematicamente, escrevemos:
logb(a) = c ⇐⇒ bc = a
Exemplos:
• log2(8) = 3, pois 23 = 8.
• log10(1000) = 3, pois 103 = 1000.
• log3(81) = 4, pois 34 = 81.
2 Propriedades dos Logaritmos
Os logaritmos possuem várias propriedades importantes que facilitam o cálculo e a simplificação de
expressões. Algumas das principais propriedades são:
2.1 Logaritmo do Produto
logb(xy) = logb(x) + logb(y)
Exemplo:
log2(32) = log2(8 · 4) = log2(8) + log2(4) = 3 + 2 = 5
2.2 Logaritmo do Quociente
logb
(
x
y
)
= logb(x)− logb(y)
Exemplo:
log5
(
125
25
)
= log5(125)− log5(25) = 3− 2 = 1
2.3 Logaritmo da Potência
logb(x
y) = y logb(x)
Exemplo:
log3(81) = log3(3
4) = 4 log3(3) = 4 · 1 = 4
1
2.4 Mudança de Base
logb(a) =
logk(a)
logk(b)
Exemplo:
log2(10) =
log10(10)
log10(2)
=
1
log10(2)
≈ 3.3219
3 Logaritmo Neperiano
O logaritmo neperiano (ou natural) é o logaritmo na base e, onde e ≈ 2.71828. Ele é denotado por ln.
ln(x) = loge(x)
Exemplos:
• ln(1) = 0, pois e0 = 1.
• ln(e) = 1, pois e1 = e.
• ln(e2) = 2, pois e2 = e2.
4 Exemplos Práticos
4.1 Exemplo 1
Calcule log2(64).
log2(64) = log2(2
6) = 6 log2(2) = 6 · 1 = 6
4.2 Exemplo 2
Calcule log10(10000).
log10(10000) = log10(10
4) = 4 log10(10) = 4 · 1 = 4
4.3 Exemplo 3
Calcule ln(e5).
ln(e5) = 5 ln(e) = 5 · 1 = 5
2
1. (ENEM 2020) A Lei de Zipf, batizada com o
nome do linguista americano George Zipf, é
uma lei empírica que relaciona a frequência (f)
de uma palavra em um dado texto com o seu
ranking (r). Ela é dada por
f =
A
rB
O ranking da palavra é a sua posição ao orde-
nar as palavras por ordem de frequência. Ou
seja, r = 1 para a palavra mais frequente, r = 2
para a segunda palavra mais frequente e assim
sucessivamente. A e B são constantes positi-
vas.
Disponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020
(adaptado).
Com base nos valores de X = log (r) e Y = log
(f), é possível estimar valores para A e B. No
caso hipotético em que a lei é verificada exata-
mente, a relação entre Y e X é
A) Y = log (A)−B ·X
B) Y =
log (A)
B
−X
C) Y =
log (A)
XB
D) Y =
log(A)
X + log(B)
E) Y =
log(A)
B ·X
2. Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa
precisava fazer um empréstimo no valor de R$
5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de,
no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse va-
lor de empréstimo, o valor da prestação (P) é
calculado em função do número de prestações
(n) segundo a fórmula
P =
5000× 1, 013n × 0, 013
(1, 013n − 1)
Se necessário, utilize 0, 005 como aproximação
para log 1, 013; 2, 602 como aproximação para
log 400; 2, 525 como aproximação para log 335.
De acordo com a fórmula dada, o menor nú-
mero de parcelas cujos valores não comprome-
tem o limite definido pela pessoa é
A) 12.
B) 14.
C) 15.
D) 16.
E) 17.
3. A exposição a alguns níveis sonoros pode cau-
sar lesões auditivas. Por isso, em uma in-
dústria, são adotadas medidas preventivas de
acordo com a máquina que o funcionário opera
e o nível N de intensidade do som, medido em
decibel (dB), a que o operário é exposto, sendo
N = log10 I
10 − log10 I
10
o , I a intensidade do
som e Io = 10−12W/m2.
Quando o som é considerado baixo, ou seja, N
= 48 dB ou menos, deve ser utilizada a me-
dida preventiva I. No caso de o som ser mo-
derado, quando N está no intervalo (48 dB, 55
dB), deve ser utilizada a medida preventiva II.
Quando o som é moderado alto, que equivale a
N no intervalo (55 dB, 80 dB), a medida pre-
ventiva a ser usada é a III. Se N estiver no
intervalo (80 dB, 115 dB), quando o som é
considerado alto, deve ser utilizada a medida
preventiva IV. E se o som é considerado muito
alto, com N maior que 115 dB, deve-se utilizar
a medida preventiva V.
Uma nova máquina, com I = 8 × 10−8W/m2,
foi adquirida e será classificada de acordo com
o nível de ruído que produz.
Considere 0,3 como aproximação para log10 2.
O funcionário que operará a nova máquina de-
verá adotar a medida preventiva
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
4. Se 10x = 20y, atribuindo 0,3 para log 2, então
o valor de x/y é
A) 0,3.
B) 0,5.
C) 0,7.
D) 1.
E) 1,3.
5. Dados preliminares da pandemia do Covid-19
indicam que, no início da disseminação, em de-
terminada região, o número de pessoas conta-
minadas dobrava a cada 3 dias. Usando que
log10 2 = 0, 3 e log105 = 0, 7, após o primeiro
contágio, o número de infectados atingirá a
marca de 4 mil entre
A) o 18º dia e o 24º dia.
B) o 25º dia e o 31º dia.
3
C) o 32º dia e o 38º dia.
D) o 39º dia e o 45º dia.
6. Em março de 2011, um terremoto de 9,0 graus
de magnitude na escala Richter atingiu o Ja-
pão matando milhares de pessoas e causando
grande destruição. Em janeiro daquele ano, um
terremoto de 7,0 graus na escala Richter atin-
giu a cidade de Santiago Del Estero, na Argen-
tina. A magnitude de um terremoto, medida A
pela escala Richter, é R = log(
A
Ao
), em que A
é a amplitude do movimento vertical do solo,
informado em um sismógrafo, Ao é uma ampli-
tude de referência e log representa o logaritmo
na base 10.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 28 fev. 2012
(adaptado).
A razão entre as amplitudes dos movimentos
verticais dos terremotos do Japão e da Argen-
tina é
A) 1,28
B) 2,0
C) 10
9
7
D) 100
E) 109 − 107
7. A água comercializada em garrafões pode ser
classificada como muito ácida, ácida, neutra,
alcalina ou muito alcalina, dependendo de seu
pH, dado pela expressão
pH = log10
1
H
em que H é a concentração de íons de hidrogê-
nio, em mol por decímetro cúbico. A classifica-
ção da água de acordo com seu pH é mostrada
no quadro.
Para o cálculo da concentração H, uma distri-
buidora mede dois parâmetros A e B, em cada
fonte, e adota H como sendo o quociente de
A por B. Em análise realizada em uma fonte,
obteve A = 10−7 e a água dessa fonte foi clas-
sificada como neutra. O parâmetro B, então,
encontrava-se no intervalo
A) (−10145,−1013]
B) [10
−6
7
,10−1
)
C) [10−1, 10
1
2 )
D) [1013, 10145)
E) [106×107 , 107,5×107)
8. Com o avanço em ciência da computação, esta-
mos próximos do momento em que o número de
transistores no processador de um computador
pessoal será da mesma ordem de grandeza que
o número de neurônios em um cérebro humano,
que é da ordem de 100 bilhões.
Uma das grandezas determinantes para o de-
sempenho de um processador é a densidade de
transistores, que é o número de transistores
por centímetro quadrado. Em 1986, uma em-
presa fabricava um processador contendo 100
000 transistores distribuídos em 0, 25cm2 de
área. Desde então, o número de transistores
por centímetro quadrado que se pode colocar
em um processador dobra a cada dois anos (Lei
de Moore).
Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adap-
tado).
Considere 0,30 como aproximação para log10 2.
Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a
densidade de 100 bilhões de transistores?
A) 1999
B) 2002
C) 2022
D) 2026
E) 2146
9. Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na
escala Richter causou um devastador tsunami
no Japão, provocando um alerta na usina nu-
clear de Fukushima. Em 2013, outro terre-
moto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sa-
cudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando
centenas de mortos e milhares de feridos. A
magnitude de um terremoto na escala Richter
pode ser calculada por
M =
2
3
log
( E
Eo
)
sendo E a energia, em kWh, liberada pelo ter-
remoto e E0 uma constante real positiva. Con-
4
sidere que E1 e E2 representam as energias li-
beradas nos terremotos ocorridos no Japão e
na China, respectivamente.
Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adap-
tado).
Qual a relação entre E1 e E2?
A) E1 = E2 + 2
B) E1 = 102 · E2
C) E1 = 103 · E2
D) E1 = 10
9
7 · E2
E) E1 =
9
7
· E2
10. Uma liga metálica sai do forno a uma tempe-
ratura de 3 000 °C e diminui 1% de sua tempe-
ratura a cada 30 min.
Use 0,477 como aproximação para log10(3) e
1,041 como aproximação para log10(11).O tempo decorrido, em hora, até que a liga
atinja 30 °C é mais próximo de
A) 22.
B) 50.
C) 100.
D) 200.
E) 400.
11. Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do
maior acidente radioativo ocorrido no Brasil,
quando uma amostra de césio-137, removida
de um aparelho de radioterapia abandonado,
foi manipulada inadvertidamente por parte da
população. A meia-vida de um material radi-
oativo é o tempo necessário para que a massa
desse material se reduza à metade. A meia-
vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade res-
tante de massa de um material radioativo, após
t anos, é calculada peta expressão
M(t) = A.(2, 7)kt
onde A é a massa inicial e k é uma constante
negativa.
Considere 0,3 como aproximação para log10 2.
Qual o tempo necessário, em anos, para que
uma quantidade de massa do césio-137 se re-
duza a 10% da quantidade inicial?
A) 27
B) 36
C) 50
D) 54
E) 100
12. Um cientista analisou a reprodução de ratos
em laboratório. A população inicial de 84 ra-
tos passou a 96 após um certo período. Uma
modelagem matemática determinou que o cres-
cimento populacional desses ratos segue o mo-
delo
P (t) = Po · 1, 2t
em que Po é a população inicial, e t, o tempo,
em anos.
Considere 0,3, 0,48 e 0,85 como aproximação
para log 2, log 3 e log 7, respectivamente.
Considerando o caso anterior, o tempo aproxi-
mado do crescimento da população de ratos foi
de
A) 1,6 meses.
B) 7,5 meses.
C) 1,6 anos.
D) 7,5 anos.
E) 21,6 anos.
13. Em certo modelo de financiamento, o valor
mensal de cada parcela aumenta a uma taxa
fixa de 8% ao mês, ou seja, o valor da segunda
parcela é 8% maior que o da primeira; o va-
lor da terceira parcela é 8% maior que o valor
da segunda, e assim por diante, até a última
parcela. Para evitar inadimplências, decidiu-se
que um financiamento nesse modelo deve ser
realizado de modo que o valor da última par-
cela a ser paga não ultrapasse o dobro do valor
da parcela inicial.
Utilize 0,30 como aproximação para log 2 e 0,03
como aproximação para log 1, 08.
Nessas condições, o número máximo de parce-
las em um financiamento nesse modelo é
A) 10.
B) 11.
C) 12.
D) 13.
E) 14.
14. Um determinado laboratório farmacêutico rea-
liza pesquisas sobre um medicamento para en-
xaqueca há algum tempo. Após algumas análi-
ses laboratoriais, percebeu-se que a medicação
age reduzindo a dor de acordo com a idade do
paciente segundo a função t(i) = 6 + log(
i
4
)
5
em que t representa o tempo necessário para o
alívio dos sintomas em minuto e i representa a
idade do paciente em ano.
Utilize 0,48 como aproximação para log 3.
Para um paciente de 36 anos, o tempo necessá-
rio para o alívio dos sintomas é de, aproxima-
damente,
A) 6 min.
B) 7 min.
C) 8 min.
D) 11 min.
E) 15 min.
15. Uma espécie de ave ameaçada de ser extinta
foi colocada em cativeiro para a reprodução e
a reintrodução em seu hábitat natural. No iní-
cio do mês de janeiro deste ano, 50 aves dessa
espécie chegaram em uma área de proteção am-
biental para essa finalidade. Sabe-se que a es-
timativa é de que a população dessa espécie de
ave cresça 40% de um ano para o seguinte. As
aves serão reintroduzidas na natureza quando
a população ultrapassar 10 000 indivíduos, e,
considerando as situações climáticas favoráveis,
a reintrodução ocorrerá no mês de janeiro.
Utilize as aproximações log(2) = 0, 30 e
log(7) = 0, 85.
Dessa forma, o tempo mínimo, em ano, para as
aves serem reintroduzidas em seu hábitat na-
tural é
A) 16.
B) 24.
C) 70.
D) 143.
E) 200.
16. Como decorrência da Lei de Boyle,
comprova-se que a pressão atmosférica a uma
altitude h, em km, pode ser descrita pela fun-
ção exponencial p(h) = po ·e−αh, em que po é a
pressão atmosférica ao nível do mar, em atm;
α é uma constante; e e, o número de Euler.
Considere que a pressão atmosférica, ao nível
do mar, é de 1 atm e que, para cada quilômetro
acima desse nível, a pressão diminui 10%.
Disponível em: https://uenf.br. Acesso em: 10 mar. 2022. (adap-
tado)
Caso necessário, utilize ln 0, 9 = −0, 11 e
ln 0, 1 = −2, 30.
Dessa forma, qual é o valor aproximado da
constante α?
A) 0,04
B) 0,11
C) 0,90
D) 2,30
E) 2,72
17. O pH de uma solução indica o teor de íons hi-
drônio (H3O
+) presentes no meio. Esse teor
determina se a solução analisada apresenta ca-
ráter ácido, básico ou neutro. Para realizar
os cálculos envolvendo o pH de uma solução,
pode-se utilizar a seguinte equação logarítmica,
em que [H3O
+] representa a concentração de
hidrônio em mol/L.
pH = − log[H3O
+]
Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br. Acesso em: 25 abr.
2022. (adaptado)
Considere uma solução cuja concentração de
hidrônio seja equivalente a 9 · 10−4 mol/L e
utilize 0,48 como aproximação para log 3.
Nessas condições, o pH aproximado dessa solu-
ção é
A) 1.
B) 3.
C) 4.
D) 5.
E) 9.
18. O som que ouvimos são ondas sonoras produ-
zidas por vibrações de partículas do meio. A
classificação do som como forte ou fraco está
relacionada à intensidade sonora, medida em
W/m2. A menor intensidade sonora audível é
de Io = 10−12W/m2. O nível sonoro de um
ambiente, dado em decibel (dB), pode ser cal-
culado por meio da seguinte fórmula, em que
NS representa o nível sonoro e I representa a
intensidade do som no ambiente considerado.
NS = 10 · log( I
Io
)
A tabela a seguir apresenta o nível sonoro de
alguns sons encontrados em nosso cotidiano.
6
Considere que a intensidade sonora de um am-
biente seja de 10−8W/m2.
Com base nessas informações, o nível sonoro
desse ambiente corresponde ao de um(a)
A) conversa a meia voz.
B) avenida de tráfego intenso.
C) britadeira.
D) danceteria.
E) avião a jato aterrissando.
19. Em um estudo estatístico sobre a propagação
de uma doença viral, verificou-se que a quanti-
dade de pessoas infectadas em uma cidade au-
mentava a cada mês de acordo com a expressão
I(x) = (
log (P )− log (Q)
100
)x
Na fórmula, P é a população da cidade, Q é a
população com os sintomas da doença e x é a
quantidade de meses desde a primeira infecção
detectada na cidade.
Sabendo que nessa cidade há 100 000 habitan-
tes ee 10 000 deles apresentaram sintomas da
doença pesquisada, a expressão que indica a
quantidade de pessoas infectadas por mês é:
A) I(x) = x
B) I(x) =
( 1
10
)
x
C) I(x) =
( 1
100
)
)
x
D) I(x) =
( log (9)
100
)
x
E) I(x) =
( log (9)4
100
)
x
20. Uma prática comum nos Estados Unidos é a
abertura de uma poupança para os filhos, as-
sim que eles nascem, para custear sua facul-
dade. Um brasileiro, copiando a ideia, fez um
plano de capitalização em nome de seu primeiro
filho, programando um depósito mensal no va-
lor de R$ 500,00. Com a informação da taxa
de juros paga pela aplicação, o pai montou a
equação a seguir, com a qual é possível calcular
o saldo da aplicação (S) em função do tempo
(t), em meses.
S = 500 · (1, 01)
t − 1
0, 01
Se necessário, utilize os valores aproximados:
log 1, 01 = 0, 004; log 3 = 0, 48 e log 5 = 0, 70.
A ideia do pai é que o filho só possa retirar o di-
nheiro quando seu saldo atingir R$ 25 000,00.
Em quanto tempo, aproximadamente, o filho
poderá sacar o dinheiro?
A) Três anos e sete meses.
B) Três anos e nove meses.
C) Quatro anos e dois meses.
D) Quatro anos e seis meses.
E) Seis anos.
21. A escala mais conhecida para determinar qual a
intensidade de um terremoto é a escala Richter,
que foi desenvolvida por Charles F. Richter, em
1935, no Instituto de Tecnologia da Califórnia,
com base no estudo de cerca de 200 terremotos
ao ano. Veja, na tabela, quais os efeitos gera-
dos por um terremoto, de acordo com seu valor
na escala Richter:
Também é conhecida uma fórmula para o cál-
culo da magnitude de um terremoto na escala
Richter: M =
2
3
log10
E
Eo
, em que E = energia
liberada no terremoto em Kwh e Eo = cons-
tante e vale 7 · 10−3Kwh.
Disponível em: http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/. Acesso em: 9 abr.
2020.
Os cientistas detectaram que poderá haver um
terremoto em uma determinada região, porém
o governador disse em entrevista que, se o
terremoto se confirmasse, ele iria determinar
medidas: Se a magnitude for menor que 3,5,
ele disponibilizará 10%dos recursos do estado
para ajudar nos consertos; se a magnitude for
entre 3,5 e 6,0, disponibilizará 20% dos recur-
sos do estado para ajudar a reparar os danos; se
for entre 6,1 e 6,9, ele disponibilizará 30% dos
recursos; sendo entre 7,0 e 7,9, disponibilizará
7
40% dos recursos e, se maior que 8,0, disponi-
bilizará 50% dos recursos.
Qual foi a atitude tomada pelo governador sa-
bendo que ocorreu o terremoto e que a energia
liberada foi de 7 · 108Kwh
A) 10%
B) 20%
C) 30%
D) 40%
E) 50%
22. Uma marca de refrigerantes recém-criada pro-
cura divulgar seu produto por meio de anún-
cios na televisão. Antes do início da campanha,
a empresa estima que 30 mil pessoas conhe-
çam a bebida, e estudos indicam que, a cada
dia de transmissão dos comerciais, uma quanti-
dade q (em milhares) de novas pessoas somam-
se ao total de conhecedores do produto, sendo
q = log 5.
Considere: log 25 = 1, 4.
Após 4 dias de transmissão dos comerciais, qual
é o número esperado de pessoas que conhece-
rão a marca?
A) 30 200
B) 30 700
C) 31 400
D) 32 800
E) 35 600
8