Questões Lab 2

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Departamento de Automação e Sistemas – CTC – UFSC 
Engenharia de Controle e Automação Industrial 
DAS 5141 – Sistemas Não-Lineares 
Prof. Daniel J. Pagano e Prof. Edson Roberto de Pieri 
 
 
Alunos: Annelise Guedes Lemes 0513002-6 
 Bruno Leonardo Schneider 0513003-4 
 
 
LAB 2: Análise de Bifurcações (Respostas) 
 
 
Definição de Bifurcação: Uma mudança qualitativa na topologia das trajetórias de um 
sistema como, por exemplo, surgimento/ desaparição de novos equilíbrios ou de ciclos 
limites com suas respectivas regiões de atração, causada pela variação do valor de um 
(ou mais) parâmetro(s) do mesmo é denominada bifurcação. No valor crítico do 
parâmetro, o sistema equivalente linearizado, em torno de um ponto de equilíbrio que 
sofre uma bifurcação, possui pelo menos 1 autovalor com parte real nula. 
 
 
Objetivos: Analisar a estabilidade de pontos de equilíbrio em função da variação de 
parâmetros do modelo. Analisar também a existência de bifurcações. 
 
 
Considere os sistemas: 
 
 
1) 2) 
x1
A  @ x1
2
x2
A @ x2
X
\
Z
x1
A   A x1@ x1
2
x2
A @ x2
X
\
Z
 
 
3) 
x1
A   A x1@ x1
3
x2
A @ x2
X
\
Z
 
 
a) Determine analiticamente os equilíbrios e estude a sua estabilidade em função da 
variação do parâmetro  . Considere @ 1 <  < 1. 
 
b) Construir os diagramas de variação dos equilíbrios do sistema em função do 
parâmetro (Diagrama de bifurcações). 
 
c) Simular os sistemas utilizando pplane6 / Matlab 6.5 validando os resultados 
encontrados nos itens a) e b). 
 
 
 
 
 
a) e b) 
 
Procedimentos: 
 
Para encontrar os pontos de equilíbrio igualam-se as derivadas a zero e resolve o 
sistema de equações restante, em função de x1 e x2 . A seguir, para cada um dos casos, 
encontra-se o jacobiano nos pontos de equilíbrio. De posse do jacobiano, obtêm-se o seu 
traço e o seu determinante de onde se tiram informações sobre a estabilidade e o tipo 
dos pontos de equilíbrio, com o auxílio, também, do gráfico abaixo. 
 
 
 
Nos casos abaixo deve-se avaliar o parâmetro  para o intervalo entre -1 e 1. 
Estes sistemas apresentam todos uma bifurcação, onde a estabilidade muda em função 
de diferentes valores de  . Os gráficos  x x1 que compõem a análise possuem tanto 
linhas tracejadas, quanto linhas cheias. Isto significa que estamos tratando de 
instabilidade e estabilidade respectivamente. 
 
1) 
x1
A  @ x1
2
x2
A @ x2
X
\
Z
 
Os pontos de equilíbrio são F pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww, 0
b c
. 
 
Jacobiano J x 1
@ ,x2
@
b c
 @ 2 A x1
@ 0
0 @ 1
f g
 
Para o ponto de equilíbrio  pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww, 0
b c
 
 Tr
J  pwwwwwwwwwwwwwwww, 0
b c@ 2 A pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww@ 1 
 Det
J  pwwwwwwwwwwwwwwww, 0
b c  2 A pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 
 
Com  > 0
Neste caso, o sistema é estável por possuir traço menor que zero e determinante maior 
que zero, deixando-o dentro da região de estabilidade. 
 
Com  < 0
Não há equilíbrio, ou seja, o sistema é instável. 
 
Para o ponto de equilíbrio @ pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww, 0
b c
Tr
J @ pwwwwwwwwwwwwwwww, 0
b c 2 A pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww@ 1 
Det
J @ pwwwwwwwwwwwwwwww, 0
b c @ 2 A pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 
 
Com  > 0
O sistema é instável por possuir determinante menor que zero, deixando-o dentro da 
região de instabilidade. No ponto de equilíbrio caracteriza-se por um ponto de sela. 
 
Com  < 0
Não há equilíbrio, ou seja, o sistema é instável. 
 
A bifurcação encontrada é chamada de BSN (Bifurcação Sela-Nó de Equilíbrio). 
 
 
2) 
x1
A   A x1@ x1
2
x2
A @ x2
X
\
Z
Os pontos de equilíbrio são e .   ,0
b c
0 ,0
b c
 
Jacobiano J x 1
@ ,x2
@
b c
 @ 2 A x1
@ 0
0 @ 1
f g
 
Para o ponto de equilíbrio . 0 ,0
b c
 Tr
J 0 , 0
b c @ 1 
 De t
J 0 , 0
b c @
 
Com  > 0
O sistema é instável por possuir determinante menor que zero, deixando-o dentro da 
região de instabilidade. No ponto de equilíbrio caracteriza-se por um ponto de sela. 
 
Com  < 0
O sistema é estável por possuir traço menor que zero e determinante maior que zero, 
deixando-o dentro da região de estabilidade. 
 
Para o ponto de equilíbrio  , 0
b c
Tr
J  , 0
b c @@ 1 
Det
J  , 0
b c   
 
Com  > 0
O sistema é estável por possuir traço menor que zero e determinante maior que zero, 
deixando-o dentro da região de estabilidade. 
 
Com  < 0
O sistema é instável por possuir determinante menor que zero, deixando-o dentro da 
região de instabilidade. No ponto de equilíbrio caracteriza-se por um ponto de sela. 
 
A bifurcação encontrada é chamada de BTr (Bifurcação Transcrítica). 
 
 
 
 
3) 
x1
A   A x1@ x1
3
x2
A @ x2
X
\
Z
Jacobiano J x . 1
@ ,x2
@
b c
 @ 3 A x1
@ 2 0
0 @ 1
h
j
i
k
 
Os pontos de equilíbrio são e . F pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww, 0
b c
0 ,0
b c
 
Para o ponto de equilíbrio . 0 ,0
b c
 Tr
J 0 , 0
b c @ 1 
 De t
J 0 , 0
b c @
 
Com  > 0
O sistema é instável por possuir determinante menor que zero, deixando-o dentro da 
região de instabilidade. No ponto de equilíbrio caracteriza-se por um ponto de sela. 
 
Com  < 0
O sistema é estável por possuir traço menor que zero e determinante maior que zero, 
deixando-o dentro da região de estabilidade. 
 
Para o ponto de equilíbrio . F pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww, 0
b c
 Tr
J F pwwwwwwwwwwwwwwww, 0
b c@ 2 A@ 1 
 Det
J F pwwwwwwwwwwwwwwww, 0
b c  2 A 
 
Com  > 0
O sistema é estável por possuir traço menor que zero e determinante maior que zero, 
deixando-o dentro da região de estabilidade. 
 
Com  < 0
Não há equilíbrio, ou seja, o sistema é instável. 
 
A bifurcação encontrada é chamada de BT (Bifurcação Tridente ou Supercrítica). 
 
 
 
c) 
 
Os gráficos abaixo relativos a cada um dos sistemas estão de acordo com o que 
se avaliou a partir dos gráficos das bifurcações. 
 
1) 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x2
 
 
Ilustração 1 : Diagrama de Espaço de Estados do sistema 1 com  > 0 A
 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x2
 
Ilustração 2 : Diagrama de Espaço de Estados do sistema 1 com  < 0 A
 
2) 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x2
 
Ilustração 3 : Diagrama de Espaço de Estados do sistema 2 com  < 0 A
 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x2
 
Ilustração 4 : Diagrama de Espaço de Estados do sistema 2 com  > 0 A
 
3) 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x2
 
Ilustração 5 : Diagrama de Espaço de Estados do sistema 3 com  < 0 A
 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x2
 
Ilustração 6 : Diagrama de Espaço de Estados do sistema 3 com  > 0 A