teste e prova -E

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**Explicação:** Utilizando a substituição \(u = \ln(x)\), então \(du = \frac{1}{x} dx\), o que 
simplifica a integral para \(\int \frac{1}{u} \, du\), resultando em \(\ln|u| + C\). 
 
**Questão 6:** Encontre a derivada de \(e^{x^2}\). 
a) \(2x e^{x^2}\) 
b) \(e^{x^2}\) 
c) \(2x e^{x}\) 
d) \(x e^{x^2}\) 
**Resposta:** a) \(2x e^{x^2}\) 
**Explicação:** Aplicando a regra da cadeia, a derivada de \(e^{x^2}\) é \(e^{x^2} \cdot 2x\). 
 
**Questão 7:** Qual é a integral de \(\int \cos^3(x) \, dx\)? 
a) \(\frac{1}{3} \cos^3(x) + C\) 
b) \(\frac{\sin(x) \cos^2(x)}{2} + C\) 
c) \(\frac{1}{2} \cos^2(x) \sin(x) + C\) 
d) \(\frac{1}{4} \cos^4(x) + C\) 
**Resposta:** b) \(\frac{\sin(x) \cos^2(x)}{2} + C\) 
**Explicação:** Usando a identidade \(\cos^3(x) = \cos(x) (1 - \sin^2(x))\), e integrando por 
partes. 
 
**Questão 8:** Qual é a derivada de \( \frac{1}{x^2 + 1} \)? 
a) \(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
b) \(\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
c) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
d) \(-\frac{x}{x^2 + 1}\) 
**Resposta:** a) \(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
**Explicação:** Aplicando a regra do quociente ou a regra da cadeia. 
 
**Questão 9:** Encontre a integral de \(\int \frac{x}{(x^2 + 1)^2} \, dx\). 
a) \(-\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C\) 
b) \(\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C\) 
c) \(\frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C\) 
d) \(-\frac{\ln|x^2 + 1|}{2} + C\) 
**Resposta:** a) \(-\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C\) 
**Explicação:** Utilizando a substituição \(u = x^2 + 1\), então \(du = 2x dx\), e a integral 
simplifica para \(-\frac{1}{2u} + C\). 
 
**Questão 10:** Qual é a integral de \(\int \sin(x) \cos(x) \, dx\)? 
a) \(\frac{1}{2} \sin^2(x) + C\) 
b) \(-\frac{1}{2} \sin^2(x) + C\) 
c) \(\frac{1}{2} \cos^2(x) + C\) 
d) \(-\frac{1}{2} \cos^2(x) + C\) 
**Resposta:** a) \(\frac{1}{2} \sin^2(x) + C\) 
**Explicação:** Usando a identidade \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\) e simplificando a integral. 
 
**Questão 11:** Qual é a derivada de \( \tan(x) \)? 
a) \( \sec^2(x) \) 
b) \( \sec(x) \) 
c) \( \csc^2(x) \) 
d) \( \cot(x) \) 
**Resposta:** a) \( \sec^2(x) \) 
**Explicação:** A derivada de \(\tan(x)\) é \(\sec^2(x)\), conforme a definição da derivada da 
tangente. 
 
**Questão 12:** Encontre a integral de \(\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\). 
a) \(\arcsin(x) + C\) 
b) \(\arccos(x) + C\) 
c) \(\arctan(x) + C\) 
d) \(\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) + C\) 
**Resposta:** a) \(\arcsin(x) + C\) 
**Explicação:** A integral de \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) é \(\arcsin(x) + C\), 
 
 baseada na fórmula da integral da função arco seno. 
 
**Questão 13:** Qual é a integral de \(\int e^{-x} \sin(x) \, dx\)? 
a) \(\frac{1}{2} e^{-x} (\sin(x) - \cos(x)) + C\) 
b) \(\frac{1}{2} e^{-x} (\sin(x) + \cos(x)) + C\) 
c) \(e^{-x} \sin(x) + C\) 
d) \(-e^{-x} (\sin(x) + \cos(x)) + C\) 
**Resposta:** a) \(\frac{1}{2} e^{-x} (\sin(x) - \cos(x)) + C\) 
**Explicação:** Usando integração por partes duas vezes. 
 
**Questão 14:** Qual é a derivada de \( \sqrt{x^2 + 4} \)? 
a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
b) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
c) \(\frac{x}{2 \sqrt{x^2 + 4}}\) 
d) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
**Resposta:** a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
**Explicação:** Aplicando a regra da cadeia, a derivada de \(\sqrt{u}\) é \(\frac{u'}{2 
\sqrt{u}}\), onde \(u = x^2 + 4\). 
 
**Questão 15:** Qual é a integral de \(\int x e^{x^2} \, dx\)? 
a) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) 
b) \(e^{x^2} + C\) 
c) \(\frac{1}{2} e^{x^2} x + C\) 
d) \(\frac{e^{x^2}}{2} + C\) 
**Resposta:** a) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) 
**Explicação:** Usando a substituição \(u = x^2\), \(du = 2x \, dx\), a integral simplifica para 
\(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\). 
 
**Questão 16:** Encontre a integral de \(\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}} \, dx\). 
a) \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\) 
b) \(-\frac{1}{x \sqrt{x^2 + 1}} + C\) 
c) \(-\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} + C\) 
d) \(\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} + C\) 
**Resposta:** b) \(-\frac{1}{x \sqrt{x^2 + 1}} + C\)