aula e exercicio BC

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Explicação: O cosseno do ângulo entre dois vetores \(\mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\) é dado por 
\(\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{||\mathbf{u}|| ||\mathbf{v}||}\). O produto interno é 
\(1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11\) e as magnitudes são \(\sqrt{5}\) e \(\sqrt{25}\), então o ângulo é 
\(\cos^{-1}\left(\frac{11}{\sqrt{25} \sqrt{41}}\right)\). 
 
24. Qual é o resultado de \( \frac{d}{dx} (\sin^2(x)) \)? 
A) \(2 \sin(x) \cos(x)\) 
B) \(2 \sin(x)\) 
C) \(2 \cos^2(x)\) 
D) \(2 \sin(x) \cdot \cos(x)\) 
 
Resposta: A) \(2 \sin(x) \cos(x)\) 
Explicação: Usando a regra da cadeia, \(\frac{d}{dx} (\sin^2(x)) = 2 \sin(x) \cdot \frac{d}{dx} 
(\sin(x)) = 2 \sin(x) \cos(x)\). 
 
25. Qual é a fórmula para o cálculo do volume de um cilindro? 
A) \(\pi r^2 h\) 
B) \(\frac{4}{3} \pi r^3\) 
C) \(\pi r^2\) 
D) \(\pi r h\) 
 
Resposta: A) \(\pi r^2 h\) 
Explicação: O volume \(V\) de um cilindro é dado por \(V = \pi r^2 h\), onde \(r\) é o raio da 
base e \(h\) é a altura. 
 
26. Qual é o valor de \(\int_{0}^{1} x e^{-x} \, dx\)? 
A) \(\frac{2 - 1}{e}\) 
B) \(\frac{1}{e}\ 
 
) 
C) \(\frac{1}{e} - \frac{2}{e}\) 
D) \(\frac{2}{e} - \frac{1}{e}\) 
 
Resposta: B) \(\frac{1}{e}\) 
Explicação: Usando integração por partes, temos \(\int_{0}^{1} x e^{-x} \, dx = \left[ -x e^{-x} 
\right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{-x} \, dx = \frac{1}{e}\). 
 
27. Qual é a equação da reta perpendicular à reta \(2x - 3y = 6\) que passa pelo ponto \((1, 
2)\)? 
A) \(3x + 2y = 7\) 
B) \(2x + 3y = 8\) 
C) \(2x - 3y = 5\) 
D) \(3x - 2y = 7\) 
 
Resposta: A) \(3x + 2y = 7\) 
Explicação: A inclinação da reta \(2x - 3y = 6\) é \(\frac{2}{3}\). A inclinação perpendicular é \(-
\frac{3}{2}\). Usando a forma ponto-inclinação da equação da reta, obtemos \(3x + 2y = 7\). 
 
28. Qual é a solução para a equação \(x^2 - 5x + 6 = 0\)? 
A) \(x = 2\) e \(x = 3\) 
B) \(x = -2\) e \(x = -3\) 
C) \(x = 1\) e \(x = 6\) 
D) \(x = -1\) e \(x = -6\) 
 
Resposta: A) \(x = 2\) e \(x = 3\) 
Explicação: A equação \(x^2 - 5x + 6 = 0\) pode ser fatorada como \((x - 2)(x - 3) = 0\), então as 
soluções são \(x = 2\) e \(x = 3\). 
 
29. Qual é a fórmula para o cálculo da área de um triângulo? 
A) \(\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}\) 
B) \(\text{base} \times \text{altura}\) 
C) \(\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{base}\) 
D) \(\text{base} + \text{altura}\) 
 
Resposta: A) \(\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}\) 
Explicação: A área \(A\) de um triângulo é calculada por \(A = \frac{1}{2} \times \text{base} 
\times \text{altura}\). 
 
30. Qual é o valor de \(\frac{d^2}{dx^2} (x^3 + 4x^2 + 5x)\)? 
A) \(6x + 8\) 
B) \(6x + 4\) 
C) \(6x + 10\) 
D) \(6x + 5\) 
 
Resposta: A) \(6x + 8\) 
Explicação: A primeira derivada de \(x^3 + 4x^2 + 5x\) é \(3x^2 + 8x + 5\). A segunda derivada é 
\(6x + 8\). 
 
31. Qual é a fórmula da soma dos primeiros \(n\) termos de uma progressão geométrica? 
A) \(S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}\) 
B) \(S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}\) 
C) \(S_n = a (r^n - 1)\) 
D) \(S_n = a (r - 1)^n\) 
 
Resposta: A) \(S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}\) 
Explicação: A fórmula para a soma dos primeiros \(n\) termos de uma progressão geométrica é 
\(S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}\), onde \(a\) é o primeiro termo e \(r\) é a razão. 
 
32. Qual é a integral de \( \int e^{2x} \, dx \)? 
A) \(\frac{e^{2x}}{2} + C\) 
B) \(\frac{e^{2x}}{4} + C\) 
C) \(\frac{e^{x}}{2} + C\) 
D) \(e^{2x} + C\) 
 
Resposta: A) \(\frac{e^{2x}}{2} + C\) 
Explicação: A integral de \(e^{2x}\) é \(\frac{e^{2x}}{2}\), porque a derivada de 
\(\frac{e^{2x}}{2}\) é \(e^{2x}\).