resolução AL

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**Resposta:** a) \( \pm 3 \) 
 **Explicação:** A solução de \( x^2 = 9 \) é \( x = \pm 3 \). 
 
47. **Qual é a derivada de \( \tan(x) \)?** 
 a) \( \sec^2(x) \) 
 b) \( \sec(x) \) 
 c) \( \sin(x) \) 
 d) \( \cos(x) \) 
 **Resposta:** a) \( \sec^2(x) \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \tan(x) \) é \( \sec^ 
 
2(x) \). 
 
48. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) 0 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx = \sin(x) \Big|_{0}^{\pi/2} = 1 - 0 = 1 \). 
 
49. **Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} (e^{2x}) \)?** 
 a) \( 2e^{2x} \) 
 b) \( e^{2x} \) 
 c) \( 2e^x \) 
 d) \( e^{2x} \ln(e) \) 
 **Resposta:** a) \( 2e^{2x} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, a derivada de \( e^{2x} \) é \( 2e^{2x} \). 
 
 
 
50. **Qual é a fórmula para a soma dos primeiros \( n \) termos de uma progressão 
aritmética?** 
 a) \( \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \) 
 b) \( n \cdot (a + d) \) 
 c) \( a + n \cdot d \) 
 d) \( \frac{n}{2} [a + l] \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \) 
 **Explicação:** Esta é a fórmula para a soma dos primeiros \( n \) termos de uma 
progressão aritmética. 
Claro! Aqui estão 100 problemas de múltipla escolha de nível superior em cálculo e análise 
numérica, com respostas e explicações. Vamos lá: 
 
1. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sin(x^2) \)?** 
 a) \( 2x \cos(x^2) \) 
 b) \( \cos(x^2) \) 
 c) \( 2x \sin(x^2) \) 
 d) \( 2x \cos(x) \) 
 **Resposta:** a) \( 2x \cos(x^2) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia para derivar \( \sin(x^2) \). A derivada de \( \sin(u) 
\) é \( \cos(u) \) e a derivada de \( x^2 \) é \( 2x \), então a derivada de \( \sin(x^2) \) é \( 2x 
\cos(x^2) \). 
 
2. **Qual é a integral indefinida de \( e^x \cos(x) \)?** 
 a) \( \frac{e^x \cos(x)}{2} \) 
 b) \( \frac{e^x \sin(x)}{2} \) 
 c) \( \frac{e^x (\cos(x) - \sin(x))}{2} \) 
 d) \( e^x \sin(x) \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{e^x (\cos(x) - \sin(x))}{2} \) 
 **Explicação:** Usamos a técnica de integração por partes duas vezes, com \( u = e^x \) e \( 
dv = \cos(x) \, dx \) na primeira aplicação, e resolvemos a integral resultante. 
 
3. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Este é um limite fundamental no cálculo. Usando a definição de derivada ou 
a série de Taylor para \( \sin(x) \), vemos que o limite é 1. 
 
4. **Qual é a matriz inversa de \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)?** 
 a) \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \) 
 b) \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -0.5 \end{pmatrix} \) 
 c) \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1.5 & 0.5 \end{pmatrix} \) 
 d) \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0.5 \end{pmatrix} \) 
 **Resposta:** a) \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \) 
 **Explicação:** A matriz inversa é calculada usando a fórmula \( A^{-1} = 
\frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A) \), onde \( \text{adj}(A) \) é a matriz adjunta de \( A \). O 
determinante de \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) é -2. 
 
5. **Qual é o resultado da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)?** 
 a) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{e^2}{2} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 **Explicação:** Esta é a série de Basileia, conhecida por ter o valor \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 
6. **Qual é a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y = 0 \)?** 
 a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 b) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 c) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
 d) \( y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x) \) 
 **Resposta:** a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \)