fazendo e aprendendo BN

Prévia do material em texto

Explicação: A derivada de \(\ln(\sin(x))\) é \(\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x)\). 
 
30. Qual é o valor de \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} \, dx\)? 
 a) \(-\frac{1}{4} + \frac{1}{1}\) 
 b) \(-\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\) 
 c) \(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\) 
 d) \(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0\) 
 **Resposta: a) \(-\frac{1}{4} + \frac{1}{1}\)** 
 Explicação: \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} \, dx = \left. -\frac{1}{2x^2} \right|_{1}^{2} = -
\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{3}{ 
 
8}\). 
 
31. Qual é a derivada de \(f(x) = x^2 \ln(x)\)? 
 a) \(2x \ln(x) + x\) 
 b) \(2x \ln(x)\) 
 c) \(2x \ln(x) + x^2\) 
 d) \(x \ln(x)\) 
 **Resposta: a) \(2x \ln(x) + x\)** 
 Explicação: Usando a regra do produto, \(\frac{d}{dx} [x^2 \ln(x)] = 2x \ln(x) + x\). 
 
32. Qual é o valor de \(\int_{0}^{\pi/4} \tan(x) \, dx\)? 
 a) \(\ln|\sec(x)| \big|_{0}^{\pi/4}\) 
 b) \(\ln|\sec(x)| \big|_{0}^{\pi/4} = \ln(\sqrt{2})\) 
 c) \(\ln|\sin(x)| \big|_{0}^{\pi/4}\) 
 d) \(\ln(\pi/4)\) 
 **Resposta: b) \(\ln|\sec(x)| \big|_{0}^{\pi/4} = \ln(\sqrt{2})\)** 
 Explicação: \(\int \tan(x) \, dx = \ln|\sec(x)| + C\), então \(\int_{0}^{\pi/4} \tan(x) \, dx = 
\ln(\sqrt{2})\). 
 
33. Qual é o limite de \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2}\)? 
 a) 3 
 b) 2 
 c) 1 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta: a) 3** 
 Explicação: O termo dominante é \(3x^2\), então \(\frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2} \to 3\). 
 
34. Qual é a integral de \(\int e^{-x} \, dx\)? 
 a) \(-e^{-x} + C\) 
 b) \(e^{-x} + C\) 
 c) \(-e^x + C\) 
 d) \(e^x + C\) 
 **Resposta: a) \(-e^{-x} + C\)** 
 Explicação: A integral de \(e^{-x}\) é \(-e^{-x} + C\). 
 
35. Qual é a derivada de \(f(x) = x^2 e^{-x}\)? 
 a) \(e^{-x}(x^2 - 2x)\) 
 b) \(e^{-x}(2x - x^2)\) 
 c) \(e^{-x}(x^2 + 2x)\) 
 d) \(e^{-x}(x - 2)\) 
 **Resposta: a) \(e^{-x}(x^2 - 2x)\)** 
 Explicação: Usando a regra do produto, \(\frac{d}{dx} [x^2 e^{-x}] = e^{-x}(x^2 - 2x)\). 
 
36. Qual é o limite de \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3}\)? 
 a) \(\frac{1}{6}\) 
 b) 0 
 c) \(\infty\) 
 d) 1 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{6}\)** 
 Explicação: Usando a série de Taylor para \(\sin(x)\), temos que \(\frac{x - \sin(x)}{x^3} \to 
\frac{1}{6}\) como \(x \to 0\). 
 
37. Qual é a integral de \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\)? 
 a) \(\ln|\ln(x)| + C\) 
 b) \(\frac{\ln(x)}{x} + C\) 
 c) \(\ln|x| + C\) 
 d) \(\frac{1}{x} + C\) 
 **Resposta: a) \(\ln|\ln(x)| + C\)** 
 Explicação: Usando a substituição \(u = \ln(x)\), temos \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx = 
\ln|\ln(x)| + C\). 
 
38. Qual é a derivada de \(f(x) = \cos(x^2)\)? 
 a) \(-2x \sin(x^2)\) 
 b) \(2x \sin(x^2)\) 
 c) \(-2x \cos(x^2)\) 
 d) \(2x \cos(x^2)\) 
 **Resposta: a) \(-2x \sin(x^2)\)** 
 Explicação: Usando a regra da cadeia, \(\frac{d}{dx} [\cos(x^2)] = -2x \sin(x^2)\). 
 
39. Qual é o valor de \(\int_{0}^{1} (2x + 3) \, dx\)? 
 a) 5 
 b) 4 
 c) 6 
 d) 7 
 **Resposta: a) 5** 
 Explicação: \(\int_{0}^{1} (2x + 3) \, dx = \left. x^2 + 3x \right|_{0}^{1} = 1 + 3 = 4\). 
 
40. Qual é a integral de \(\int x e^x \, dx\)? 
 a) \(e^x (x - 1) + C\) 
 b) \(e^x (x + 1) + C\) 
 c) \(e^x (x + 1) - C\) 
 d) \(e^x (x - 1) - C\) 
 **Resposta: a) \(e^x (x - 1) + C\)**