teste XIX

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A) \(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 B) \(\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 C) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 D) \(-\frac{x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 **Resposta:** A) \(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, a derivada de \(\frac{1}{x^2 + 1}\) é \(-
\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\). 
 
10. Qual é o valor de \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \)? 
 A) \(1\) 
 B) \( \ln(e) \) 
 C) \( \ln(e) - \ln(1) \) 
 D) \( \ln(e - 1) \) 
 **Resposta:** C) \( \ln(e) - \ln(1) \) 
 **Explicação:** \(\int_1^e \frac{1}{x} \, dx = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1\). 
 
11. Qual é o valor da integral \( \int_0^\pi \sin(x) \, dx \)? 
 A) \(2\) 
 B) \(0\) 
 C) \(-2\) 
 D) \(\pi\) 
 **Resposta:** A) \(2\) 
 **Explicação:** \(\int_0^\pi \sin(x) \, dx = -\cos(x) \big|_0^\pi = -(-1) - (-1) = 2\). 
 
12. Qual é a derivada de \( f(x) = x \cdot \ln(x) \)? 
 A) \(\ln(x) + 1\) 
 B) \(\ln(x) + x\) 
 C) \(\ln(x) \cdot x\) 
 D) \(1\) 
 **Resposta:** A) \(\ln(x) + 1\) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, \( f'(x) = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1\). 
 
13. Qual é o valor da integral \( \int e^{3x} \, dx \)? 
 A) \( \frac{e^{3x}}{3} + C \) 
 B) \( e^{3x} + C \) 
 C) \( \frac{e^{3x}}{3} \) 
 D) \( \frac{e^{x}}{3} + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{e^{3x}}{3} + C \) 
 **Explicação:** \(\int e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3} + C\), usando substituição \( u = 3x \). 
 
14. Qual é a derivada de \( f(x) = \cos(x) \cdot \sin(x) \)? 
 A) \(\cos^2(x) - \sin^2(x)\) 
 B) \(\cos^2(x) + \sin^2(x)\) 
 C) \(\sin^2(x) - \cos^2(x)\) 
 D) \(\cos(2x)\) 
 **Resposta:** D) \(\cos(2x)\) 
 **Explicação:** Us 
 
ando a regra do produto, temos \( f'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot \sin(x) = \cos^2(x) - 
\sin^2(x) = \cos(2x) \). 
 
15. Qual é o valor de \( \int_0^2 x^3 \, dx \)? 
 A) \(\frac{16}{3}\) 
 B) \(8\) 
 C) \(\frac{8}{3}\) 
 D) \(4\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{16}{3}\) 
 **Explicação:** \(\int_0^2 x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = \frac{16}{4} - 0 = 
\frac{16}{3}\). 
 
16. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 2x + 1) \)? 
 A) \(\frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1}\) 
 B) \(\frac{2x + 1}{x^2 + 2x + 1}\) 
 C) \(\frac{2x + 1}{(x + 1)^2}\) 
 D) \(\frac{2x}{(x + 1)^2}\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1}\) 
 **Explicação:** \(\frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 2x + 1) \right) = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1}\). 
 
17. Qual é o valor da integral \( \int \cos(x) \, dx \)? 
 A) \(\sin(x) + C\) 
 B) \(-\sin(x) + C\) 
 C) \(-\cos(x) + C\) 
 D) \(\cos(x) + C\) 
 **Resposta:** B) \(-\sin(x) + C\) 
 **Explicação:** \(\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C\). 
 
18. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x} \)? 
 A) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) 
 B) \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) 
 C) \(\frac{1}{2x}\) 
 D) \(\frac{1}{x}\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) 
 **Explicação:** \(\frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = 
\frac{1}{2\sqrt{x}}\). 
 
19. Qual é o valor de \( \int e^{2x} \, dx \)? 
 A) \( \frac{e^{2x}}{2} + C \) 
 B) \( \frac{e^x}{2} + C \) 
 C) \( e^{2x} + C \) 
 D) \( \frac{e^{2x}}{2} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{e^{2x}}{2} + C \) 
 **Explicação:** \(\int e^{2x} \, dx = \frac{e^{2x}}{2} + C\), usando substituição \( u = 2x \). 
 
20. Qual é a integral de \( \int x \sin(x) \, dx \)?