aulas -b

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**Explicação:** Primeiro, integre com respeito a \(y\): \(\int_{0}^{x} (x + y) \, dy = x y + 
\frac{y^2}{2} \bigg|_{0}^{x} = x^2 + \frac{x^2}{2}\). Então, integre com respeito a \(x\): 
\(\int_{0}^{1} \left( x^2 + \frac{x^2}{2} \right) \, dx = \frac{5}{6}\). 
 
6. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{\pi}{2} \ln 2\) 
 **Explicação:** Use a simetria da função e o fato de que \(\int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin x) \, dx = 
\int_{0}^{\pi/2} \ln(\cos x) \, dx\). A soma das duas integrais é \(-\frac{\pi}{2} \ln 2\), então 
cada uma é metade disso. 
 
7. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) 
 **Explicação:** A integral \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}\). Pela simetria, a 
integral de \(0\) a \(\infty\) é metade disso. 
 
8. **Problema:** Determine o valor de \(\int_{0}^{2\pi} \sin^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\pi\) 
 **Explicação:** Use a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\). Então \(\int_{0}^{2\pi} 
\sin^2(x) \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \pi\). 
 
9. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** A integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\) é \(\arctan(x)\). Então \(\int_{0}^{1} 
\frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4}\). 
 
10. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{3}\) 
 **Explicação:** Use a substituição \(x = \sin \theta\), \(dx = \cos \theta \, d\theta\). Então 
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta \, d\theta = 
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \theta \, d\theta\). A integral é \(\frac{1}{3}\). 
 
11. **Problema:** Determine o valor de \(\int_{0}^{\infty} x e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2\), \(du = 2x \, dx\). Então \(\int_{0}^{\infty} x 
e^{-x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} \, du = \frac{1}{2}\). 
 
12. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{1} \ln(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(-1\) 
 **Explicação:** Use a integração por partes: \(u = \ln(x)\), \(dv = dx\), então \(du = 
\frac{1}{x} \, dx\) e \(v = x\). Então, \(\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x 
\ln(x) - x\). Avaliando de \(0\) a \(1\), 
 
 dá \(-1\). 
 
13. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{2} (2x^2 + 3x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{22}{3}\) 
 **Explicação:** \(\int_{0}^{2} 2x^2 \, dx = \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{16}{3}\) 
e \(\int_{0}^{2} 3x \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{2} = 6\). Somando, dá 
\(\frac{22}{3}\). 
 
14. **Problema:** Determine a integral de \(\int_{0}^{\pi} x \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(2\pi\) 
 **Explicação:** Use integração por partes: \(u = x\), \(dv = \sin(x) \, dx\), então \(du = dx\) e 
\(v = -\cos(x)\). Então, \(\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x)\). 
Avaliando de \(0\) a \(\pi\), dá \(2\pi\). 
 
15. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** Não existe uma antiderivada elementar, mas o valor numérico é 
aproximadamente 1.4622. 
 **Explicação:** A integral de \(e^{x^2}\) não tem uma forma antiderivada em termos de 
funções elementares. Use métodos numéricos para obter o valor. 
 
16. **Problema:** Determine o valor de \(\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** A integral \(\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx\) é \(\arctan(x)\). Então \(\int_{0}^{1} 
\frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4}\). 
 
17. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\)