Prévia do material em texto

53. **Problema**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin(x)} - 1}{x} \). 
 **Resposta**: 1. 
 **Explicação**: Usamos a expansão em série de Taylor de \( e^x \). 
 
54. **Problema**: Encontre a integral de \( \int \frac{1}{x^2 + 2x + 5} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x + 2}{\sqrt{3}} \right) + C \). 
 **Explicação**: Completa-se o quadrado no denominador e usa-se a fórmula para a função 
arco tangente. 
 
55. **Problema**: Determine a integral de \( \int e^{x} \sin(x) \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{e^x ( \sin(x) - \cos(x))}{2} + C \). 
 **Explicação**: Usamos a integração por partes duas vezes. 
 
56. **Problema**: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x}{e^x} \). 
 **Resposta**: 0. 
 **Explicação**: A função exponencial cresce mais rápido que qualquer polinômio. 
 
57. **Problema**: Encontre a integral de \( \int \frac{\cos(x)}{x^2} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{-\cos(x)}{x} + \int \frac{\sin(x)}{x} \, dx \). 
 **Explicação**: Usamos a integração por partes. 
 
58. **Problema**: Determine o valor da integral \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \sqrt{\cos(x)} \, dx 
\). 
 **Resposta**: \( \frac{2}{3} \). 
 **Explicação**: Usamos a substituição \( u = \cos(x) \). 
 
59. **Problema**: Calcule a derivada de \( f(x) = \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}} \). 
 **Resposta**: \( f'(x) = \frac{\cos(x) \sqrt{x} - \sin(x) \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} \). 
 **Explicação**: Usamos a regra do quociente. 
 
60. **Problema**: Encontre a integral de \( \int e^{-x^2} \, dx \). 
 **Resposta**: Não tem uma antiderivada elementar. 
 **Explicação**: Esta integral é conhecida como a função erro. 
 
61. **Problema**: Determine a integral de \( \int \frac{\ln(x)}{x} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{(\ln(x))^2}{2} + C \). 
 **Explicação**: Usamos a substituição \( u = \ln(x) \). 
 
62. **Problema**: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{x \ln(x)}{e^x} \). 
 **Resposta**: 0. 
 **Explicação**: A função exponencial cresce mais rápido do que a função polinomial. 
 
63. **Problema**: Encontre a integral de \( \int x e^{x^2} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{e^{x^2}}{2} + C \). 
 **Explicação**: Usamos a substituição \( u = x^2 \). 
 
64. **Problema**: Determine o valor da integral \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação**: Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \). 
 
65. **Problema**: Calcule a derivada de \( f(x) = x \ln(x) \). 
 **Resposta**: \( f'(x) = \ln(x) + 1 \). 
 **Explicação**: Usamos a regra do produto. 
 
66. **Problema**: Encontre a integral de \( \int \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x + 2}{\sqrt{3}} \right) + C \). 
 **Explicação**: Completa-se o quadrado e usa-se a fórmula de arco tangente. 
 
67. **Problema**: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
 **Resposta**: 3. 
 **Explicação**: Usamos a regra de L'Hôpital. 
 
68. **Problema**: Calcule o valor da integral \( \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx \).