ao cubo c

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77. **Problema**: Calcule \( \int_{0}^{\pi} \sin^4 x \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{3\pi}{8} \). 
 **Explicação**: Use a identidade \( \sin^4 x = \frac{3 - 4 \cos 2x + \cos 4x}{8} \). 
 
78. **Problema**: Determine \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação**: Use substituição e simplificação para resolver a integral. 
 
79. **Problema**: Encontre \( \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^3 x}{1 + \cos^2 x} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi}{4} - \ln 2 \). 
 **Explicação**: Use substituições e simplificações apropriadas. 
 
80. **Problema**: Calcule \( \int_{0}^{\pi} x \ln (\cos x) \, dx \). 
 **Resposta**: \( -\pi \ln 2 \). 
 **Explicação**: Use substituições e propriedades logarítmicas. 
 
Se precisar de mais detalhes ou esclarecimentos sobre algum desses problemas, é só dizer! 
Entendido! Vou gerar 100 problemas matemáticos desafiadores que envolvem logaritmos, 
abrangendo propriedades, bases diferentes e aplicações. Cada problema virá com a resposta e 
explicação. Vamos começar! 
 
1. **Problema**: Resolva \( \log_2(x) + \log_2(x-2) = 3 \). 
 **Resposta**: \( x = 6 \). 
 **Explicação**: Usando a propriedade dos logaritmos, temos \( \log_2[x(x-2)] = 3 \). Então, \( 
x(x-2) = 2^3 = 8 \). Resolvendo a equação quadrática \( x^2 - 2x - 8 = 0 \), encontramos \( x = 6 
\) (pois \( x = -2 \) não é válido). 
 
2. **Problema**: Resolva \( 3 \log_5(x) - \log_5(x-4) = 2 \). 
 **Resposta**: \( x = 9 \). 
 **Explicação**: Simplifique usando a propriedade de diferença \( \log_5 \left(\frac{x^3}{x-
4}\right) = 2 \). Assim, \( \frac{x^3}{x-4} = 5^2 = 25 \). Solucione \( x^3 = 25(x - 4) \) para obter 
\( x = 9 \). 
 
3. **Problema**: Determine \( x \) se \( \log_{10}(2x) - \log_{10}(x) = 1 \). 
 **Resposta**: \( x = 20 \). 
 **Explicação**: Usando a propriedade \( \log_{10} \left(\frac{2x}{x}\right) = 1 \), obtemos \( 
\log_{10}(2) = 1 \). Assim, \( 2 = 10^1 \), então \( x = 20 \). 
 
4. **Problema**: Resolva \( \log_3(x^2 + 1) = 2 \). 
 **Resposta**: \( x = \pm 4 \). 
 **Explicação**: Usando a definição de logaritmo, temos \( x^2 + 1 = 3^2 = 9 \). Resolva \( x^2 
= 8 \), então \( x = \pm \sqrt{8} = \pm 4 \). 
 
5. **Problema**: Encontre \( x \) para \( 2 \log_7(x) - \log_7(x+1) = 1 \). 
 **Resposta**: \( x = 6 \). 
 **Explicação**: Transforme \( \log_7 \left(\frac{x^2}{x+1}\right) = 1 \). Assim, \( 
\frac{x^2}{x+1} = 7 \), então \( x^2 = 7(x + 1) \). Resolva para \( x = 6 \). 
 
6. **Problema**: Resolva \( \log_{10}(x) + \log_{10}(x+1) = 1 \). 
 **Resposta**: \( x = 9 \). 
 **Explicação**: Usando a propriedade de soma, \( \log_{10}[x(x+1)] = 1 \). Então, \( x(x+1) = 
10 \). Resolva a equação quadrática \( x^2 + x - 10 = 0 \), encontrando \( x = 9 \). 
 
7. **Problema**: Resolva \( \log_{e}(2x) - \log_{e}(x) = \ln(2) \). 
 **Resposta**: \( x = 2 \). 
 **Explicação**: Usando a propriedade \( \log_e \left(\frac{2x}{x}\right) = \ln(2) \), obtemos 
\( \ln(2) = \ln(2) \), então \( x = 2 \). 
 
8. **Problema**: Determine \( x \) se \( \log_{4}(x) + \log_{4}(x-3) = 2 \). 
 **Resposta**: \( x = 7 \). 
 **Explicação**: Usando a propriedade de soma \( \log_{4}[x(x-3)] = 2 \), então \( x(x-3) = 4^2 
= 16 \). Resolva \( x^2 - 3x - 16 = 0 \) para obter \( x = 7 \). 
 
9. **Problema**: Resolva \( \log_{2}(x+5) - \log_{2}(x-3) = 3 \). 
 **Resposta**: \( x = 11 \). 
 **Explicação**: Transforme em \( \log_{2} \left(\frac{x+5}{x-3}\right) = 3 \). Assim, \( 
\frac{x+5}{x-3} = 2^3 = 8 \). Resolva \( x+5 = 8(x-3) \) para obter \( x = 11 \).