exercicio t

Prévia do material em texto

45. **Problema:** Resolva a equação \( \tan(x) = x \) para \( x \) próximo de zero. 
 **Resposta:** \( x = 0 \). 
 **Explicação:** A solução exata é \( x = 0 \), pois \( \tan(x) \approx x \) para \( x \) pequeno. 
 
46. **Problema:** Determine a área de uma elipse com semi-eixos 3 e 4. 
 **Resposta:** \( 12 \pi \). 
 **Explicação:** A área da elipse é dada por \( \pi \cdot a \cdot b \), onde \( a \) e \( b \) são 
os semi-eixos. 
 
47. **Problema:** Calcule a integral \( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{2} \). 
 **Explicação:** A integral representa a área de um quarto de círculo de raio 1. 
 
48. **Problema:** Encontre a transformada de Laplace de \( t \cos(t) \). 
 **Resposta:** \( \frac{s(s^2 - 1)}{(s^2 + 1)^2} \). 
 **Explicação:** Use a fórmula da transformada de Laplace para funções \( t^n \cos(at) \). 
 
49. **Problema:** Resolva a equação \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = \pm 1, \pm 2 \). 
 **Explicação:** Substitua \( y = x^2 \) para obter uma equação quadrática, \( y^2 - 5y + 4 = 0 
\), cujas raízes são \( y = 1 \) e \( y = 4 \). Então, \( x^2 = 1 \) ou \( x^2 = 4 \), resultando nas 
raízes \( x = \pm 1 \) e \( x = \pm 2 \). 
 
50. **Problema:** Determine a integral \( \int \frac{dx}{x^2 + 2x + 2} \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x + 2}{\sqrt{3}} \right) + C \). 
 **Explicação:** Complete o quadrado no denominador para resolver a integral, usando a 
fórmula da integral de uma função racional. 
 
51. **Problema:** Calcule a série \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} \). 
 **Resposta:** 1. 
 **Explicação:** Use a decomposição em frações parciais para somar a série. 
 
52. **Problema:** Resolva a equação \( e^x + e^{-x} = 2 \). 
 **Resposta:** \( x = 0 \). 
 **Explicação:** A equação é satisfeita quando \( e^x = e^{-x} = 1 \), o que ocorre para \( x = 
0 \). 
 
53. **Problema:** Determine a integral \( \int x^2 \ln(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{x^3 \ln(x)}{3} - \frac{x^3}{9} + C \). 
 **Explicação:** Use a integração por partes para resolver a integral. 
 
54. **Problema:** Encontre a integral \( \int \frac{dx}{(x^2 + 1)^2} \). 
 **Resposta:** \( \frac{x}{2(x^2 + 1)} + \frac{1}{2} \arctan(x) + C \). 
 **Explicação:** Use a substituição e a fórmula para a integral de uma função racional. 
 
55. **Problema:** Resolva a equação \( \cos(x) = x \) para \( x \) próximo de zero. 
 **Resposta:** \( x = 0 \). 
 **Explicação:** A solução exata é \( x = 0 \), pois \( \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} \) para \( 
x \) pequeno, que se iguala a \( x \) para \( x = 0 \). 
 
56. **Problema:** Calcule a integral \( \int e^{x} \sin(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{e^{x}( \sin(x) - \cos(x))}{2} + C \). 
 **Exp 
 
licação:** Use a técnica de integração por partes duas vezes. 
 
57. **Problema:** Determine a matriz \( C \) tal que \( A C = I \), onde \( A = \begin{pmatrix} 2 
& 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \). 
 **Resposta:** \( C = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} 
\end{pmatrix} \). 
 **Explicação:** A matriz \( C \) é a inversa de \( A \), que pode ser calculada usando a 
fórmula da inversa. 
 
58. **Problema:** Resolva a equação \( x^3 - 3x + 1 = 0 \).