Questões resolvidas
Calcule a integral \(\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\).
Encontre a integral \(\int_{0}^\infty \frac{x e^{-x}}{(x^2 + 1)^2} \, dx\).
Resolva \(\int_0^\pi x \sin(x) \, dx\).
Calcule a integral dupla \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} e^{x+y} \, dy \, dx\).
Encontre \(\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2 - \cos \theta} \, d\theta\).
Resolva a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x^2 + 4} \, dx\).
Determine a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{e^x - 1} \, dx\).
Calcule \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \).
Resolva \(\int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin x) \, dx\).
Encontre \(\int_{0}^{\pi} x \cot(x) \, dx\).
Calcule \(\int_0^1 \frac{x \ln(x)}{1 + x^2} \, dx\).
Resolva \(\int_{0}^{\pi} x^2 \sin(x) \, dx\).
Determine \( \int_{0}^{\pi/2} \ln(\cos x) \, dx \).
Encontre a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{x}{e^{x} - 1} \, dx\).
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Claro! Aqui estão 90 problemas difíceis de Cálculo 2, com respostas e explicações:
1. **Problema**: Calcule a integral \(\int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\).
**Resposta**: \(\frac{\pi - 2}{4}\).
**Explicação**: Use a substituição \( x = \sin \theta \), com \( dx = \cos \theta \, d\theta \). A
integral se transforma em \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 \theta \, d\theta\).
2. **Problema**: Determine a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{x^2 + 1} \, dx\).
**Resposta**: \(\frac{\pi}{2e}\).
**Explicação**: Use a fórmula de integrais envolvendo exponenciais e funções racionais.
3. **Problema**: Encontre a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{x e^{-x}}{(x^2 + 1)^2} \, dx\).
**Resposta**: \(\frac{\pi}{4e}\).
**Explicação**: Faça uma substituição para simplificar a integral e use o método de frações
parciais.
4. **Problema**: Resolva \(\int_{0}^{\pi} x \sin(x) \, dx\).
**Resposta**: \(2\pi\).
**Explicação**: Use a integração por partes, escolhendo \(u = x\) e \(dv = \sin(x) \, dx\).
5. **Problema**: Calcule a integral dupla \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} e^{x+y} \, dy \, dx\).
**Resposta**: \(e^2 - e\).
**Explicação**: Realize a integração interna primeiro e depois a externa.
6. **Problema**: Encontre \(\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2 - \cos \theta} \, d\theta\).
**Resposta**: \(2\pi\).
**Explicação**: Use a substituição \(z = e^{i\theta}\) e a fórmula de integração no círculo.
7. **Problema**: Resolva a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x^2 + 4} \, dx\).
**Resposta**: \(\frac{\pi}{4} e^{-2}\).
**Explicação**: Utilize a fórmula para a integral de \(\frac{\sin(ax)}{x^2 + b^2}\).
8. **Problema**: Determine a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{e^x - 1} \, dx\).
**Resposta**: \(\frac{\pi^2}{6}\).
**Explicação**: Use a fórmula para a função zeta de Riemann e a fórmula de Euler-
Maclaurin.
9. **Problema**: Calcule \(\int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx\).
**Resposta**: \(\frac{e - 1}{2}\).
**Explicação**: Use a substituição \(u = x^2\), então \(du = 2x \, dx\).
10. **Problema**: Resolva \(\int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin x) \, dx\).
**Resposta**: \(-\frac{\pi}{2} \ln 2\).
**Explicação**: Use a identidade \(\sin x = \cos (\pi/2 - x)\) e integre por partes.
11. **Problema**: Encontre \(\int_{0}^{\pi} x \cot(x) \, dx\).
**Resposta**: \(\pi \ln 2\).
**Explicação**: Utilize a técnica de integração por partes.
12. **Problema**: Calcule \(\int_{0}^{1} \frac{x \ln(x)}{1 - x^2} \, dx\).
**Resposta**: \(-\frac{\pi^2}{12}\).
**Explicação**: Realize uma substituição apropriada para simplificar a integral.
13. **Problema**: Resolva \(\int_{0}^{\pi} x^2 \sin(x) \, dx\).
**Resposta**: \(2\pi^2\).
**Explicação**: Use integração por partes duas vezes.
14. **Problema**: Determine \(\int_{0}^{\pi/2} \ln(\cos x) \, dx\).
**Resposta**: \(-\frac{\pi}{2} \ln 2\).
**Explicação**: Use a identidade \(\cos x = \sin(\pi/2 - x)\) e integre por partes.
15. **Problema**: Encontre a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{x}{e^{x} - 1} \, dx\).
**Resposta**: \(\frac{\pi^2}{6}\).Mais conteúdos dessa disciplina
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