numeros 5

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**Explicação**: Esta é a integral que define a função gama \(\Gamma(n)\) com \(n = 2\). 
Portanto, \(\Gamma(2) = 1! = 1\). 
 
15. **Problema**: Determine \(\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{\sqrt{\pi}}{4}\). 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = x^2\), então \(du = 2x \, dx\). A integral se 
transforma em \(\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} \, du = \frac{\sqrt{\pi}}{4}\). 
 
16. **Problema**: Calcule \(\int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin(x)) \, dx\). 
 **Resposta**: \(-\frac{\pi}{2} \ln(2)\). 
 **Explicação**: Use a simetria da função e propriedades de logaritmos. 
 
17. **Problema**: Encontre \(\int_{0}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{1}{4}\). 
 **Explicação**: Use a substituição \(x = \sin(\theta)\), então a integral se transforma em 
\(\int_{0}^{\pi/2} \sin^3(\theta) \, d\theta\). 
 
18. **Problema**: Determine o valor de \(\int_{0}^{\pi} x \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(2\pi\). 
 **Explicação**: Use a integração por partes com \(u = x\) e \(dv = \sin(x) \, dx\). 
 
19. **Problema**: Calcule \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{\pi}{4}\). 
 **Explicação**: Complete o quadrado e use a substituição \(u = x + 2\). 
 
20. **Problema**: Encontre \(\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação**: Esta integral é conhecida como a integral de Dirichlet. 
 
21. **Problema**: Calcule \(\int_{0}^{1} x^n (1 - x)^{n} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{n! \, n!}{(2n+1)!}\). 
 **Explicação**: Use a fórmula da Beta \(\text{B}(a,b)\). 
 
22. **Problema**: Determine \(\int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{e - 1}{2}\). 
 
 
 **Explicação**: Substitua \(u = x^2\), então \(du = 2x \, dx\), a integral se transforma em 
\(\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^u \, du = \frac{e - 1}{2}\). 
 
23. **Problema**: Encontre \(\int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação**: Use a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\) e integre termo a 
termo. 
 
24. **Problema**: Calcule \(\int_{0}^{\infty} \frac{x}{e^x - 1} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{\pi^2}{6}\). 
 **Explicação**: Relacionado com a função zeta de Riemann \(\zeta(2)\). 
 
25. **Problema**: Determine \(\int_{0}^{1} \frac{\ln(x)}{1 + x^2} \, dx\). 
 **Resposta**: \(-\frac{\pi}{8} \ln(2)\). 
 **Explicação**: Use a série de Taylor e a função beta para resolver a integral. 
 
26. **Problema**: Calcule \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x(1 - x)}} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\pi\). 
 **Explicação**: Esta integral é a integral beta com \(a = b = \frac{1}{2}\). 
 
27. **Problema**: Encontre \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{1}{2}\). 
 **Explicação**: Use a fórmula para a transformada de Laplace de \(\sin(x)\). 
 
28. **Problema**: Determine \(\int_{0}^{1} x^2 \ln(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(-\frac{1}{9}\). 
 **Explicação**: Use integração por partes com \(u = \ln(x)\) e \(dv = x^2 \, dx\).