aulas XXVI

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- b) \( e^{x^2} \cdot \ln(x) \) 
 - c) \( e^{x^2} \cdot x \) 
 - d) \( 2x e^{2x} \) 
 - **Resposta: a) \( 2x e^{x^2} \)** 
 - **Explicação:** Usando a regra da cadeia, a derivada de \( e^{x^2} \) é \( e^{x^2} \cdot 
\frac{d}{dx}(x^2) = e^{x^2} \cdot 2x \). 
 
2. **Qual é a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \)?** 
 - a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 - b) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \) 
 - c) \( \ln(x) + C \) 
 - d) \( \ln(x) \cdot \ln(\ln(x)) + C \) 
 - **Resposta: a) \( \ln(\ln(x)) + C \)** 
 - **Explicação:** Usando a substituição \( u = \ln(x) \), temos \( du = \frac{1}{x} dx \). A 
integral se transforma em \( \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \), que resulta em \( \ln(\ln(x)) + C 
\). 
 
3. **Se \( f(x) = x^2 \sin(x) \), qual é a segunda derivada de \( f(x) \)?** 
 - a) \( 2 \sin(x) + x^2 \cos(x) \) 
 - b) \( 2 \sin(x) + 2x \cos(x) - x^2 \sin(x) \) 
 - c) \( 2 \cos(x) - x^2 \sin(x) \) 
 - d) \( 2 \cos(x) + 2x \sin(x) - x^2 \cos(x) \) 
 - **Resposta: b) \( 2 \sin(x) + 2x \cos(x) - x^2 \sin(x) \)** 
 - **Explicação:** Primeira derivada: \( f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \). Segunda derivada: \( 
f''(x) = 2 \sin(x) + 2x \cos(x) - x^2 \sin(x) \). 
 
4. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \)?** 
 - a) 3 
 - b) 1 
 - c) 0 
 - d) 6 
 - **Resposta: a) 3** 
 - **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital ou o fato de que \( \frac{\sin(kx)}{x} \to k \) 
quando \( x \to 0 \), obtemos 3. 
 
5. **Qual é a integral definida de \( \int_0^1 x e^{-x^2} \, dx \)?** 
 - a) \( \frac{1}{2} (1 - e^{-1}) \) 
 - b) \( \frac{1}{2} (1 + e^{-1}) \) 
 - c) \( \frac{1}{2} e^{-1} \) 
 - d) \( 1 - e^{-1} \) 
 - **Resposta: a) \( \frac{1}{2} (1 - e^{-1}) \)** 
 - **Explicação:** Usando a substituição \( u = x^2 \), \( du = 2x \, dx \), a integral se 
transforma em \( \frac{1}{2} \int_0^1 e^{-u} \, du \), resultando em \( \frac{1}{2} [ -e^{-u} ]_0^1 
= \frac{1}{2} (1 - e^{-1}) \). 
 
6. **Qual é a integral indefinida de \( \int \frac{dx}{x^2 + 1} \)?** 
 - a) \( \arctan(x) + C \) 
 - b) \( \ln|x| + C \) 
 - c) \( \frac{1}{x} + C \) 
 - d) \( \arctan(x) - \ln|x| + C \) 
 - **Resposta: a) \( \arctan(x) + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é \( \arctan(x) + C \), pois \( \frac{d}{dx} 
(\arctan(x)) = \frac{1}{x^2 + 1} \). 
 
7. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 5x + 1}{x^3 + 3x^2 - x} \)?** 
 - a) 2 
 - b) 1 
 - c) 0 
 - d) -2 
 - **Resposta: a) 2** 
 - **Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador por \( x^3 \), obtemos \( \frac{2 - 
\frac{5}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3}} \). Quando \( x \to \infty \), isso se 
simplifica para 2. 
 
8. **Se \( f(x) = x^2 \ln(x) \), qual é a derivada de \( f(x) \)?** 
 - a) \( 2x \ln(x) + x \) 
 - b) \( 2x \ln(x) \) 
 - c) \( 2x \ln(x) + x^2 \) 
 - d) \( \ln(x) + 2x \) 
 - **Resposta: a) \( 2x \ln(x) + x \)** 
 - **Explicação:** Usando a regra do produto: \( f'(x) = x^2 \cdot \frac{1}{x} + 2x \ln(x) = 2x 
\ln(x) + x \). 
 
9. **Qual é a integral definida de \( \int_0^1 e^{x^2} \, dx \)?** 
 - a) Não é uma forma elementar 
 - b) \( \frac{e - 1}{2} \) 
 - c) \( e - 1 \) 
 - d) \( e^2 - 1 \) 
 - **Resposta: a) Não é uma forma elementar** 
 - **Explicação:** A integral \( \int e^{x^2} \, dx \) não possui uma antiderivada expressável 
em termos de funções elementares. 
 
10. **Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \)?** 
 - a) \( \frac{-2x - 2}{(x^2 + 2x + 2)^2} \) 
 - b) \( \frac{-2x - 2}{(x^2 + 2x + 2)} \) 
 - c) \( \frac{2x + 2}{(x^2 + 2x + 2)^2} \) 
 - d) \( \frac{2x + 2}{(x^2 + 2x + 2)} \) 
 - **Resposta: a) \( \frac{-2x - 2}{(x^2 + 2x + 2)^2} \)** 
 - **Explicação:** Usando a regra da cadeia, a derivada é \( \frac{- (2x + 2)}{(x^2 + 2x + 2)^2} 
\). 
 
11. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} \)?** 
 - a) 1 
 - b) 0 
 - c) \(\sqrt{2}\) 
 - d) 2 
 - **Resposta: a) 1**