teste e prova -AT

Prévia do material em texto

Resposta: a) \(2x \cos(x^2)\). Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada de 
\(\sin(x^2)\) é \(2x \cos(x^2)\). 
 
39. Qual é o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - 3x^2}{2x^4 + 1}\)? 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) \(\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\) 
 c) 1 
 d) 0 
 
 Resposta: a) \(\frac{1}{2}\). Explicação: Divida o numerador e o denominador por \(x^4\) e o 
limite é \(\frac{1}{2}\). 
 
40. Encontre a integral indefinida de \(\int \frac{e^x}{x} \, dx\). 
 a) \(E_i(x) + C\) 
 b) \(e^x \ln(x) + C\) 
 c) \(\frac{e^x}{x} + C\) 
 d) \(e^x \ln(x)\) 
 
 Resposta: a) \(E_i(x) + C\). Explicação: A integral de \(\frac{e^x}{x}\) não tem uma solução 
elementar e é representada pela função integral exponencial \(E_i(x)\). 
 
41. Determine a derivada de \(f(x) = \cos(x) + \sin(x)\). 
 a) \(-\cos(x) + \cos(x)\) 
 b) \(-\cos(x) + \cos(x)\) 
 c) \(-\sin(x) + \cos(x)\) 
 d) \(-\sin(x) + \sin(x)\) 
 
 Resposta: c) \(-\sin(x) + \cos(x)\). Explicação: A derivada de \(\cos(x)\) é \(-\sin(x)\) e a 
derivada de \(\sin(x)\) é \(\cos(x)\). 
 
42. Qual é a integral indefinida de \(\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\)? 
 a) \(2\sqrt{x} + C\) 
 b) \(\frac{1}{2} x^{3/2} + C\) 
 c) \(2x^{1/2} + C\) 
 d) \(\frac{2}{3} x^{3/2} + C\) 
 
 Resposta: d) \(\frac{2}{3} x^{3/2} + C\). Explicação: A integral de \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) é 
\(2x^{1/2}\). 
 
43. Calcule a derivada de \(f(x) = \sqrt{1 + x^2}\). 
 a) \(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\) 
 b) \(\frac{2x}{\sqrt{1 + x^2}}\) 
 c) \(\frac{x}{2 \sqrt{1 + x^2}}\) 
 d) \(\frac{2x}{1 + x^2}\) 
 
 Resposta: c) \(\frac{x}{2 \sqrt{1 + x^2}}\). Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada de 
\(\sqrt{1 + x^2}\) é \(\frac{x}{2 \sqrt{1 + x^2}}\). 
 
44. Determine o valor da integral definida \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{8}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{\pi}{2}\) 
 
 Resposta: b) \(\frac{\pi}{8}\). Explicação: Usando a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + 
\cos(2x)}{2}\), a integral se torna \(\frac{\pi}{8}\). 
 
45. Qual é a derivada de \(f(x) = \arctan(x^2)\)? 
 a) \(\frac{2x}{1 + x^4}\) 
 b) \(\frac{2x}{1 + x^2}\) 
 c) \(\frac{2x}{1 + x^2}\) 
 d) \(\frac{2x}{ 
 
1 + x^2}\) 
 
 Resposta: a) \(\frac{2x}{1 + x^4}\). Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada de 
\(\arctan(x^2)\) é \(\frac{2x}{1 + x^4}\). 
 
Espero que isso ajude! Se tiver mais dúvidas ou precisar de mais explicações, estou aqui para 
ajudar. 
Claro! Vou criar 100 problemas matemáticos de múltipla escolha difíceis, com resposta e 
explicação. Vamos começar: 
 
1. **Qual é o valor de \( \int_0^1 x^2 e^x \, dx \)?** 
 A) \( \frac{e - 2}{e} \) 
 B) \( \frac{e^2 - 2e + 2}{e} \) 
 C) \( \frac{e - 1}{e} \) 
 D) \( \frac{e^2 - e}{e} \) 
 **Resposta:** B) \( \frac{e^2 - 2e + 2}{e} \) 
 **Explicação:** Usando a integração por partes, onde \( u = x^2 \) e \( dv = e^x dx \), 
obtemos \( \int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx \). Aplicando novamente a integração por 
partes à segunda integral, obtemos o resultado desejado. 
 
2. **Qual é o valor de \( \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^k} \)?** 
 A) 2 
 B) 1 
 C) 3 
 D) 4 
 **Resposta:** A) 2 
 **Explicação:** Utilizando a fórmula da soma de uma série geométrica, a série \( 
\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^k} \) pode ser resolvida como \( \frac{a}{(1-r)^2} \) onde \( a = 1 \) 
e \( r = \frac{1}{2} \), resultando em 2. 
 
3. **Qual é a solução da equação \( x^3 - 4x + 1 = 0 \)?** 
 A) \( x = 1 \) 
 B) \( x = -1 \) 
 C) \( x = 2 \) 
 D) Não há uma solução real simples