do mais facil ao dificil XXII

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a) \( e - 1 \) 
b) \( e - 2 \) 
c) \( e - 1 \) 
d) \( e - 1 \) 
**Resposta:** b) \( e - 2 \) 
**Explicação:** Usando integração por partes, \(\int x e^x \, dx = (x - 1) e^x + C\). Avaliando de 
0 a 1, temos \((1 - 1) e - (-1) e^0 = e - 2\). 
 
**Questão 21** 
Se \(f(x) = x^2 + 3x + 2\), qual é a integral definida de \(f(x)\) de 0 a 1? 
a) \(\frac{7}{3}\) 
b) \(\frac{5}{3}\) 
c) \(\frac{4}{3}\) 
d) \(\frac{2}{3}\) 
**Resposta:** a) \(\frac{7}{3}\) 
**Explicação:** A integral é \(\int_{0}^{1} (x^2 + 3x + 2) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} + 
\frac{3x^2}{2} + 2x\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{3}\). 
 
**Questão 22** 
Qual é a solução da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = y^2\) com a condição inicial \(y(0) = 
1\)? 
a) \( y = \frac{1}{1 - x} \) 
b) \( y = \frac{1}{1 + x} \) 
c) \( y = \frac{1 - x}{1} \) 
d) \( y = \frac{x}{1 + x} \) 
**Resposta:** a) \( y = \frac{1}{1 - x} \) 
**Explicação:** Separando variáveis, obtemos \(\int \frac{dy}{y^2} = \int dx\). Assim, \(-
\frac{1}{y} = x + C\). Usando a condição inicial \(y(0) = 1\), obtemos \(C = -1\), então \( y = 
\frac{1}{1 - x} \). 
 
**Questão 23** 
Qual é a série de Taylor de \(\sin(x)\) em torno de \(x = 0\)? 
a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) 
b) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\) 
c) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}\) 
d) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n}}{n!}\) 
**Resposta:** a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) 
**Explicação:** A série de Taylor de \(\sin(x)\) é \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 
x^{2n+1}}{(2n+1)!}\). 
 
**Questão 24** 
Qual é o valor de \(\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} \, dx\)? 
a) \(\frac{1}{2} (\ln e)^2\) 
b) \(\frac{1}{2} (\ln e - 1)\) 
c) \(\frac{1}{2} (\ln e + 1)\) 
d) \(\frac{1}{2}\) 
**Resposta:** a) \(\frac{1}{2} (\ln e)^2\) 
**Explicação:** A integral é \(\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} \, dx = \frac{1}{2} (\ln x)^2 
\bigg|_{1}^{e} = \frac{1}{2} (\ln e)^2 = \frac{1}{2}\). 
 
**Questão 25** 
Qual é o valor de \(\frac{d}{dx} (x \ln(x^2))\)? 
a) \(\ln(x^2) + x \cdot \frac{2}{x}\) 
b) \(\ln(x^2) + 2x\) 
c) \(\ln(x^2) + 2\) 
d) \(\ln(x^2) + \frac{1}{x}\) 
**Resposta:** b) \(\ln(x^2) + 2x\) 
**Explicação:** \(\frac{d}{dx} (x \ln(x^2)) = \ln(x^2) + x \cdot \frac{2}{x} = \ln(x^2) + 2\). 
 
**Questão 26** 
Qual é a solução da equação diferencial \(y'' + 4y = 0\)? 
a) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
b) \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \) 
c) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
d) \( y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} \) 
**Resposta:** a) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
**Explicação:** A equação característica é \( r^2 + 4 = 0 \), com raízes \( r = \pm 2i \). Portanto, 
a solução geral é \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \). 
 
**Questão 27** 
Qual é o valor de \(\frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x} e^{t^2} \, dt \right)\)? 
a) \( e^{x^2} \) 
b) \( e^x \) 
c) \( e^{2x} \) 
d) \( e^{x} \cdot x \) 
**Resposta:** a) \( e^{x^2} \) 
**Explicação:** Pela fórmula Fundamental do Cálculo, a derivada da integral é simplesmente a 
função integranda avaliada no limite superior, ou seja, \( e^{x^2} \). 
 
**Questão 28** 
Qual é o valor de \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\)? 
a) \(\frac{\pi}{2}\) 
b) \(\frac{\pi}{4}\) 
c) \(\frac{\pi}{6}\) 
d) \(\frac{\pi}{3}\) 
**Resposta:** a) \(\frac{\pi}{2}\) 
**Explicação:** A integral \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\) é a integral de um arco 
seno, cujo valor é \(\frac{\pi}{2}\). 
 
**Questão 29** 
Qual é a soma dos primeiros \(n\) termos da progressão aritmética \(2, 5, 8, \ldots\)? 
a) \(\frac{n}{2} [4 + (n - 1) \cdot 3]\) 
b) \(\frac{n}{2} [2 + (n - 1) \cdot 3]\) 
c) \(\frac{n}{2} [3 + (n - 1) \cdot 3]\) 
d) \(\frac{n}{2} [5 + (n - 1) \cdot 3]\) 
**Resposta:** b) \(\frac{n}{2} [2 + (n - 1) \cdot 3]\)