provas de matematica az

Prévia do material em texto

**Explicação**: Use o método do fator integrante para resolver a equação diferencial. 
 
55. **Problema**: Calcule a integral \(\int_{0}^{\pi} \sin^3(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{4}{3}\). 
 **Explicação**: Use a identidade \(\sin^3(x) = \sin(x) - \sin^3(x)\) para simplificar a integral. 
 
56. **Problema**: Determine o autovalor da matriz \(\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 
\end{bmatrix}\). 
 **Resposta**: 3 e 1. 
 **Explicação**: Resolva o polinômio característico \(\det(A - \lambda I) = 0\). 
 
57. **Problema**: Encontre a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\ln|\ln(x)| + C\). 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = \ln(x)\), então a integral se torna \(\int \frac{1}{u} \, 
du\). 
 
58. **Problema**: Resolva a equação \(x^2 + y^2 = 1\) para \(y\) em termos de \(x\). 
 **Resposta**: \(y = \pm \sqrt{1 - x^2}\). 
 **Explicação**: Esta é a equação de um círculo com raio 1. 
 
59. **Problema**: Calcule a derivada de \(f(x) = e^{x^2}\). 
 **Resposta**: \(f'(x) = 2x e^{x^2}\). 
 **Explicação**: Use a regra da cadeia para encontrar a derivada da função exponencial. 
 
60. **Problema**: Encontre o valor da integral \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx\). 
 **Resposta**: 1. 
 **Explicação**: A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\). Avalie entre os limites de 1 e \(e\). 
 
61. **Problema**: Determine a integral definida \(\int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{1}{2}\). 
 **Explicação**: Use a identidade trigonométrica \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\). 
 
62. **Problema**: Resolva a equação \(x^4 - 6x^2 + 8 = 0\). 
 **Resposta**: \(x = \pm 1, \pm 2\). 
 **Explicação**: Substitua \(u = x^2\) e resolva a equação quadrática. 
 
63. **Problema**: Calcule o determinante da matriz \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 4 
\\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}\). 
 **Resposta**: -1. 
 **Explicação**: Use a fórmula do determinante para matrizes \(3 \times 3\). 
 
64. **Problema**: Determine a integral \(\int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{1}{2} \ln|1 + e^{2x}| + C\). 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = e^x\), então a integral se transforma em uma forma 
mais simples. 
 
65. **Problema**: Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = 2x y\). 
 **Resposta**: \(y = Ce^{x^2}\). 
 **Explicação**: Separe as variáveis e integre. 
 
66. **Problema**: Encontre a soma da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}\). 
 **Resposta**: 2. 
 **Explicação**: Use a fórmula para somar séries geométricas. 
 
67. **Problema**: Calcule o valor da integral \(\int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{e - 1}{2}\). 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = x^2\). 
 
68. **Problema**: Encontre o vetor gradiente de \(f(x, y) = e^{x^2 + y^2}\). 
 **Resposta**: \(\nabla f = \langle 2x e^{x^2 + y^2}, 2y e^{x^2 + y^2} \rangle\). 
 **Explicação**: Calcule as derivadas parciais de \(f\) com relação a \(x\) e \(y\). 
 
69. **Problema**: Resolva a equação \(x^3 - 4x = 0\). 
 **Resposta**: \(x = 0, \pm 2\).