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53. **Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \).**
Resposta: \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \).
Explicação: Resolva a equação diferencial característica.
54. **Determine o valor da integral definida \( \int_{1}^{e} \frac{dx}{x \ln(x)} \).**
Resposta: 1.
Explicação: Use a substituição \( u = \ln(x) \).
55. **Calcule a solução particular da equação \( y'' - 2y' + y = e^x \).**
Resposta: \( y_p = \frac{e^x}{2} \).
Explicação: Use o método de coeficientes indeterminados.
56. **Determine o valor da integral definida \( \int_{0}^{1} \ln(x) \, dx \).**
Resposta: \( -1 \).
Explicação: Use a integração por partes.
57. **Encontre a série de Taylor para \( f(x) = \ln(1+x) \) em torno de \( x = 0 \).**
Resposta: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} \).
Explicação: Desenvolva a série de Taylor para \( \ln(1+x) \).
58. **Calcule o valor da integral definida \( \int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx \).**
Resposta: \( \frac{\pi}{2} \).
Explicação: Use a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \).
59. **Resolva o sistema linear \( \begin{cases} x + 2y + 3z = 9 \\ 2x + 3y + z = 8 \\ 3x + y + 2z = 7
\end{cases} \).**
Resposta: \( x = 1 \), \( y = 2 \), \( z = 3 \).
Explicação: Resolva usando eliminação ou substituição.
60. **Determine a matriz de coeficientes para o sistema linear \( \begin{cases} 2x + 3y - z = 1 \\
x - y + 4z = 2 \\ 3x + 2y + z = 3 \end{cases} \).**
Resposta: \( \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \).
Explicação: Escreva a matriz conforme os coeficientes das variáveis.
61. **Calcule o valor de \( \int e^{x} \sin(x) \, dx \).**
Resposta: \( \frac{e^x}{2} (\sin(x) - \cos(x)) + C \).
Explicação: Use integração por partes duas vezes.
62. **Resolva a equação diferencial \( y'' - 2y' + y = \delta(x) \), onde \( \delta(x) \) é a função
delta de Dirac.**
Resposta: \( y = H(x) e^{x} \), onde \( H(x) \) é a função Heaviside.
Explicação: Resolva usando a transformada de Laplace.
63. **Determine o valor da integral definida \( \int_{0}^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx \).**
Resposta: \( \frac{\pi}{4} \).
Explicação: Use a identidade e simplifique a integral.
64. **Encontre a série de Taylor para \( f(x) = e^{2x} \) em torno de \( x = 0 \).**
Resposta: \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} \).
Explicação: Desenvolva a série para \( e^{2x} \).
65. **Calcule o valor da integral definida \( \int_{1}^{2} \sqrt{x} \, dx \).**
Resposta: \( \frac{10}{3} - \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \).
Explicação: Integre e avalie nos limites.
66. **Resolva a equação diferencial \( y' + 2y = \sin(x) \).**
Resposta: \( y = e^{-2x} \left( \int e^{2x} \sin(x) \, dx \right) \).
Explicação: Use o método do fator integrante.
67. **Determine o valor da integral definida \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{x(x+1)} \).**
Resposta: \( \ln 2 \).Mais conteúdos dessa disciplina
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c) 2cos(x)
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