Aula_09_-_Polinômios_CN_2024-58-60

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Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 09 – POLINÔMIOS 
a) Ambas são negativas 
b) Uma é negativa e a outra é positiva 
c) Ambas são positivas 
d) Uma delas é nula 
 
Comentário: 
Podemos fatorar o polinômio acima (utilizando Briot-Ruffini) da seguinte forma: 
𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 6 = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 5𝑥 + 6) 
Para acharmos as outras raízes, faremos 
𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 → 𝑥 =
−5 ± √52 − 4.1.6
2
 → 𝑥 = 
−5 ± 1
2
 
Assim, 𝑥 = −3 𝑜𝑢 𝑥 = −2. 
Gabarito: A 
 (EEAR-2003) Se 𝟏, 𝒙𝟐 𝒆 𝒙𝟑 são as raízes da equação 𝒙
𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟎, então o valor de 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑, 
para 𝒙𝟐 > 𝒙𝟑, é 
a) 𝟑 
b) 𝟏 
c) 𝟔 
d) 𝟓 
 
Comentário: 
Como 1 é raiz, podemos fatorar o polinômio (com o auxílio do Briot-Ruffini) da seguinte maneira: 
𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 1)(𝑥2 − 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) 
Assim, verificamos que 𝑥2 = 3 𝑒 𝑥3 = −2 afinal 𝑥2 > 𝑥3. 
Dessa forma, 𝑥2 − 𝑥3 = 3 − (−2) = 5. 
Gabarito: D 
 (EEAR-2003) Se o resto da divisão de 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 +𝒎𝒙𝟐 + 𝒏𝒙 + 𝟓 por 𝒙 − 𝟐 é 𝟏𝟓, então o valor de 
𝟐𝒎+ 𝒏 é 
a) 𝟏 
 
 
 
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AULA 09 – POLINÔMIOS 
b) 𝟐 
c) 𝟑 
d) 𝟓 
 
Comentário: 
Pelo Teorema do Resto, temos que 𝑃(2) = 15. Dessa forma, 
𝑃(2) = 23 +𝑚(2)2 + 𝑛(2) + 5 = 15 
8 + 4𝑚 + 2𝑛 + 5 = 15 
4𝑚 + 2𝑛 = 2 
Assim, 
2𝑚 + 𝑛 = 1 
Gabarito: A 
 (EEAR-2003) Se a diferença entre os quadrados das raízes da equação 𝟑𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝒄 = 𝟎 é 
𝟑𝟓
𝟗
, então o 
valor de c é 
a) 
−𝟐
𝟑
 
b) −𝟐 
c) 
𝟐
𝟑
 
d) 𝟐 
 
Comentário: 
Sejam 𝑟 𝑒 𝑠 as raízes da equação. 
Do enunciado, temos que 
𝑠2 − 𝑟2 =
35
9
 → (𝑠 − 𝑟)(𝑠 + 𝑟) =
35
9
 
Da relação de Girard, 
𝑠 + 𝑟 =
7
3
 
Assim, 
 
 
 
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AULA 09 – POLINÔMIOS 
𝑠 − 𝑟 =
5
3
 
Do sistema, 𝑠 = 2 𝑒 𝑟 =
1
3
. Dessa forma, por Girard 
𝑟. 𝑠 =
𝑐
3
 → 𝑐 = 2 
Gabarito: D 
 (EEAR-2003) Dentro do conjunto dos números complexos, a equação 𝒙𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝟐 = 𝟎 tem como 
soluções 
a) ±𝟐 𝒆 ± 𝒊 
b) ±√𝟐 𝒆 ± 𝒊 
c) ±𝟏 𝒆 𝒊√𝟐 
d) ±𝟏 𝒆 ± 𝒊 
 
Comentário: 
Fazemos a substituição de variável: 𝑚 = 𝑥2. Assim, 
𝑚2 −𝑚 − 2 = 0 → 𝑚 =
−(−1) ± √12 − 4.1(−2)
2
=
1 ± 3
2
 
Logo, 
𝑚 = 2 𝑜𝑢 𝑚 = −1. 
Por fim, 
𝑥 = ±√2 𝑜𝑢 𝑥 = ±𝑖 
Gabarito: B 
 (EEAR-2003) Ao dividir o polinômio −𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 por um polinômio Q, Ana obteve −𝟓 por quociente 
e 𝟏𝟐𝒙 + 𝟕 por resto. O polinômio Q é igual a 
a) 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐 
b) 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏 
c) 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 
d) 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏 
 
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