aulas do desafio AL

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**Resposta**: \(\frac{3}{5}\). 
 **Explicação**: Há 3 bolas vermelhas de um total de 5, então a probabilidade é 
\(\frac{3}{5}\). 
 
23. **Cálculo**: Calcule a derivada de \(f(x) = e^{2x}\). 
 **Resposta**: \(2e^{2x}\). 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, a derivada de \(e^{2x}\) é \(e^{2x} \cdot 2\). 
 
24. **Teoria dos Números**: Determine se o número 29 é um número primo. 
 **Resposta**: Sim. 
 **Explicação**: 29 não tem divisores além de 1 e ele mesmo, então é um número primo. 
 
25. **Álgebra Linear**: Encontre o valor próprio da matriz \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 
\end{bmatrix}\). 
 **Resposta**: 3 e -1. 
 **Explicação**: Os valores próprios são encontrados resolvendo o polinômio característico 
\(\text{det}(A - \lambda I)\), resultando em \(\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0\), cujas raízes são 3 
e -1. 
 
26. **Análise Real**: Determine a integral \(\int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação**: Usando a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), a integral se torna 
\(\int_{0}^{\pi} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{2}\). 
 
27. **Estatística**: Calcule o desvio padrão dos dados \([4, 8, 6, 5, 3]\). 
 **Resposta**: 1.58. 
 **Explicação**: O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, onde a variância é a média 
dos quadrados das diferenças entre cada valor e a média. 
 
28. **Cálculo**: Encontre a segunda derivada de \(f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)\). 
 **Resposta**: \(-2 \sin(2x)\). 
 **Explicação**: Usando a regra do produto e a identidade \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\), a 
segunda derivada é \(-2 \sin(2x)\). 
 
29. **Teoria dos Números**: Qual é o maior divisor comum de 56 e 98? 
 **Resposta**: 14. 
 **Explicação**: O maior divisor comum é encontrado usando o algoritmo de Euclides. 
 
30. **Geometria**: Calcule o volume de um cubo com arestas de comprimento 5. 
 **Resposta**: 125. 
 **Explicação**: O volume de um cubo é dado por \(a^3\), onde \(a\) é o comprimento da 
aresta. 
 
31. **Teoria dos Conjuntos**: Se \(U = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), \(A = \{1, 2, 3\}\) e \(B = \{3, 4, 5\}\), 
qual é a união \(A \cup B\)? 
 **Resposta**: \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\). 
 **Explicação**: A união de dois conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem a 
pelo menos um dos conjuntos. 
 
32. **Álgebra Linear**: Dada a matriz \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\), 
encontre sua transposta. 
 **Resposta**: \(\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\). 
 **Explicação**: A matriz transposta é obtida trocando linhas por colunas. 
 
33. **Cálculo**: Determine a integral \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx\). 
 **Resposta**: 1. 
 **Explicação**: A integral \(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x|\), então \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, 
dx = \ln(e) - \ln(1) = 1\). 
 
34. **Probabilidade**: Qual é a probabilidade de tirar um número par ao lançar um dado? 
 **Resposta**: \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). 
 **Explicação**: Há 3 números pares em um dado (2, 4, 6), então a probabilidade é 
\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). 
 
35. **Álgebra**: Resolva a equação \(2x - 5 = 9\). 
 **Resposta**: \(x = 7\). 
 **Explicação**: Adicionando 5 a ambos os lados e depois dividindo por 2, obtemos \(x = 
\frac{14}{2} = 7\).