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65. **Álgebra Linear:** Qual é o posto da matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 
& 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{pmatrix}\)? 
 **Resposta:** 2. 
 **Explicação:** A matriz tem duas linhas linearmente independentes. 
 
66. **Probabilidade:** Se você lança um dado, qual é a probabilidade de obter um número 
par? 
 **Resposta:** \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). 
 **Explicação:** Existem 3 números pares em um dado de 6 faces. 
 
67. **Combinatória:** Quantas combinações de 4 elementos podem ser feitas a partir de 10 
elementos? 
 **Resposta:** \(\binom{10}{4} = 210\). 
 **Explicação:** Use o coeficiente binomial para calcular o número de combinações. 
 
68. **Cálculo Integral:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\). 
 **Explicação:** Esta é a integral da função gaussiana, conhecida por sua conexão com a 
função erro. 
 
69. **Teoria dos Conjuntos:** Se \(A\) e \(B\) são conjuntos finitos com \(|A| = 5\) e \(|B| = 
4\), qual é o número de funções de \(A\) em \(B\)? 
 **Resposta:** \(4^5 = 1024\). 
 **Explicação:** Cada elemento de \(A\) pode ser mapeado para qualquer um dos 4 
elementos de \(B\). 
 
70. **Álgebra Abstrata:** Determine o número de elementos do grupo simétrico \(S_3\). 
 **Resposta:** 6. 
 **Explicação:** O grupo simétrico \(S_3\) tem \(3!\) permutações. 
 
71. **Geometria Analítica:** Encontre a equação da esfera que passa pelos pontos \((1, 0, 0)\), 
\((0, 1, 0)\) e \((0, 0, 1)\). 
 **Resposta:** \((x-0.5)^2 + (y-0.5)^2 + (z-0.5)^2 = 0.75\). 
 **Explicação:** Encontre o centro e o raio da esfera usando os pontos dados. 
 
72. **Análise Complexa:** Qual é o valor da integral \(\int_{|z|=1} \frac{1}{z-1} \, dz\)? 
 **Resposta:** \(2\pi i\). 
 **Explicação:** Use o Teorema de Cauchy para integrar funções com polos. 
 
73. **Teoria dos Grafos:** Quantas arestas tem um grafo completo bipartido \(K_{3,3}\)? 
 **Resposta:** 18. 
 **Explicação:** Cada vértice em um conjunto é conectado a todos os vértices no outro 
conjunto. 
 
74. **Probabilidade:** Qual é a probabilidade de obter um número maior que 4 ao lançar um 
dado justo? 
 **Resposta:** \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 
 **Explicação:** Existem 2 resultados favoráveis (5 e 6) em 6 possíveis. 
 
75. **Cálculo Diferencial:** Encontre a derivada de \(\sin(x^2)\). 
 **Resposta:** \(2x \cos(x^2)\). 
 **Explicação:** Use a regra da cadeia para derivar a função. 
 
76. **Álgebra Linear:** Qual é o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{pmatrix}\)? 
 **Resposta:** -2. 
 **Explicação:** Use a fórmula do determinante para uma matriz \(2 \times 2\). 
 
77. **Análise Real:** Determine o valor da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi^2}{6}\). 
 **Explicação:** Esta é a soma da série de Basileia. 
 
78. **Teoria dos Números:** Determine todos os números inteiros \(n\) tais que \(n^2 + 5\) é 
um número primo. 
 **Resposta:** \(n = 0\) ou \(n = \pm 2\). 
 **Explicação:** Teste os valores possíveis de \(n\) para verificar quando \(n^2 + 5\) é primo.