analitica a a AN

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**Explicação**: Use a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \) para simplificar a 
integral. 
 
78. **Problema**: Encontre o valor de \( \log_{2} 32 \). 
 **Resposta**: \( 5 \). 
 **Explicação**: \( 32 = 2^5 \), então \( \log_{2} 32 = 5 \). 
 
79. **Problema**: Determine a soma dos ângulos internos de um decágono. 
 **Resposta**: \( 1440^\circ \). 
 **Explicação**: A fórmula é \( 180(n-2) \) onde \( n = 10 \). 
 
80. **Problema**: Resolva o sistema de equações: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 x + 2y = 5 \\ 
 2x - y = 1 
 \end{cases} 
 \] 
 **Resposta**: \( x = 3 \), \( y = 1 \). 
 **Explicação**: Resolva o sistema por substituição ou eliminação. 
Claro, vou gerar 100 problemas difíceis de matemática com logaritmos, incluindo as respostas 
e explicações. Vou apresentar todos os problemas seguidos, sem parar até alcançar o número 
100. Aqui estão: 
 
1. **Problema:** Resolva a equação \( \log_2(x) + \log_2(x-3) = 4 \). 
 **Resposta:** \( x = 11 \). 
 **Explicação:** Usando a propriedade \( \log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac) \), temos \( 
\log_2(x(x-3)) = 4 \). Então, \( x(x-3) = 2^4 = 16 \). Solvendo \( x^2 - 3x - 16 = 0 \) dá \( x = 11 \) 
(a solução positiva). 
 
2. **Problema:** Encontre \( x \) tal que \( \log_3(x^2 - 2) = 3 \). 
 **Resposta:** \( x = \pm 5 \). 
 **Explicação:** Usando \( \log_b(a) = c \implies a = b^c \), temos \( x^2 - 2 = 3^3 = 27 \). 
Então, \( x^2 = 29 \) e \( x = \pm \sqrt{29} \). 
 
3. **Problema:** Resolva \( \log_{10}(2x + 1) - \log_{10}(x - 1) = 1 \). 
 **Resposta:** \( x = 3 \). 
 **Explicação:** Usando \( \log_b(a) - \log_b(c) = \log_b(\frac{a}{c}) \), temos \( 
\log_{10}\left(\frac{2x + 1}{x - 1}\right) = 1 \). Então, \( \frac{2x + 1}{x - 1} = 10 \). Resolva \( 2x 
+ 1 = 10(x - 1) \), que dá \( x = 3 \). 
 
4. **Problema:** Determine \( x \) para \( \log_{7}(x^2 - 3x) = 2 \). 
 **Resposta:** \( x = 4 \) ou \( x = -1 \). 
 **Explicação:** Usando \( \log_b(a) = c \implies a = b^c \), temos \( x^2 - 3x = 7^2 = 49 \). 
Solucionando \( x^2 - 3x - 49 = 0 \), obtemos as raízes \( x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 196}}{2} \). 
 
5. **Problema:** Resolva \( \log_{5}(x) \cdot \log_{5}(x - 1) = 2 \). 
 **Resposta:** \( x = 6 \) ou \( x = \frac{5}{2} \). 
 **Explicação:** Se \( \log_{5}(x) = a \) e \( \log_{5}(x-1) = b \), então \( ab = 2 \) e \( x = 5^a 
\), \( x-1 = 5^b \). Resolva \( 5^a \cdot 5^b = 5^2 \), que leva a \( x = 6 \) ou \( \frac{5}{2} \). 
 
6. **Problema:** Resolva \( \log_{4}(x^2 - 2x - 3) = 2 \). 
 **Resposta:** \( x = 4 \) ou \( x = -1 \). 
 **Explicação:** Usando \( \log_b(a) = c \implies a = b^c \), temos \( x^2 - 2x - 3 = 4^2 = 16 \). 
Solucionando \( x^2 - 2x - 19 = 0 \), obtemos as raízes. 
 
7. **Problema:** Determine \( x \) para \( \log_{2}(x + 2) = \frac{3}{2} \). 
 **Resposta:** \( x = 2\sqrt{2} - 2 \). 
 **Explicação:** Usando \( \log_b(a) = c \implies a = b^c \), temos \( x + 2 = 2^{\frac{3}{2}} = 
2\sqrt{2} \). Assim, \( x = 2\sqrt{2} - 2 \). 
 
8. **Problema:** Resolva \( \log_{5}(2x) = \log_{5}(x + 4) - 1 \). 
 **Resposta:** \( x = 6 \). 
 **Explicação:** Usando a propriedade \( \log_b(a) - c = \log_b\left(\frac{a}{b^c}\right) \), 
temos \( \log_{5}(2x) = \log_{5}\left(\frac{x + 4}{5}\right) \). Igualando as bases, temos \( 2x = 
\frac{x + 4}{5} \), o que dá \( x = 6 \).