analitica a a M

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**Resposta:** \(-2\). 
 **Explicação:** \(\text{det} = (1 \cdot 4) - (2 \cdot 3) = 4 - 6 = -2\). 
 
5. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = 3x^2\). 
 **Resposta:** \(y = x^3 + C\). 
 **Explicação:** Integrando ambos os lados em relação a \(x\), obtemos \(y = \int 3x^2 \, dx = 
x^3 + C\). 
 
6. **Problema:** Determine a série de Taylor para \(e^x\) em torno de \(x=0\). 
 **Resposta:** \(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\). 
 **Explicação:** A série de Taylor para \(e^x\) é dada por \(\sum_{n=0}^\infty 
\frac{x^n}{n!}\). 
 
7. **Problema:** Encontre o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\). 
 **Resposta:** 1. 
 **Explicação:** Esse é um limite fundamental conhecido. Através de várias técnicas de 
cálculo, o limite é 1. 
 
8. **Problema:** Resolva a equação \(2\cos x - \sqrt{3} = 0\) no intervalo \([0, 2\pi]\). 
 **Resposta:** \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\). 
 **Explicação:** Solucionando \(2\cos x = \sqrt{3}\), obtemos \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\). 
Os ângulos que satisfazem isso são \(\frac{\pi}{6}\) e \(\frac{11\pi}{6}\). 
 
9. **Problema:** Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
 **Resposta:** \(\frac{2x}{x^2 + 1}\). 
 **Explicação:** Aplicando a regra da cadeia: \(\frac{d}{dx}[\ln(g(x))] = \frac{g'(x)}{g(x)}\) com 
\(g(x) = x^2 + 1\), \(g'(x) = 2x\). 
 
10. **Problema:** Determine o valor de \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \). 
 **Resposta:** \(\sqrt{6}\). 
 **Explicação:** Usando a propriedade \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\), temos \(\sqrt{2 
\cdot 3} = \sqrt{6}\). 
 
11. **Problema:** Resolva a equação \(e^x = 5\). 
 **Resposta:** \(x = \ln(5)\). 
 **Explicação:** Tomando o logaritmo natural dos dois lados, obtemos \(x = \ln(5)\). 
 
12. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^\pi \sin x \, dx\). 
 **Resposta:** 2. 
 **Explicação:** \(\int \sin x \, dx = -\cos x + C\). Avaliando de 0 a \(\pi\), obtemos \(-
\cos(\pi) - (-\cos(0)) = 2\). 
 
13. **Problema:** Determine o valor de \(\frac{d}{dx} (x^4 \sin x)\). 
 **Resposta:** \(4x^3 \sin x + x^4 \cos x\). 
 **Explicação:** Aplicando a regra do produto: \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\) com 
\(u = x^4\) e \(v = \sin x\), obtemos \(u' = 4x^3\) e \(v' = \cos x\). 
 
14. **Problema:** Calcule o produto de \( (1 + i)(1 - i) \). 
 **Resposta:** 2. 
 **Explicação:** Utilizando a propriedade \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\), temos \((1 + i)(1 - i) = 
1 - i^2 = 1 - (-1) = 2\). 
 
15. **Problema:** Resolva o sistema de equações \( \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 
\end{cases} \). 
 **Resposta:** \(x = 2\), \(y = 1\). 
 **Explicação:** Somando as equações, obtemos \(2x = 4\), então \(x = 2\). Substituindo 
\(x\) em uma das equações, obtemos \(y = 1\). 
 
16. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{e - 2}{e}\). 
 **Explicação:** Usando integração por partes, onde \(u = x^2\) e \(dv = e^x dx\), obtemos 
\(\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx\). Após mais integração por partes, o resultado 
é \(\frac{e - 2}{e}\). 
 
17. **Problema:** Resolva \(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\). 
 **Resposta:** \(x + 2\) (para \(x \neq 2\)).