finais semanas provas BE

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**Resposta:** 2 
 **Explicação:** Fatorando a equação como \( (x^2 - 2)^2 = 0 \), obtemos \( x^2 = 2 \), 
resultando em duas soluções reais \( x = \pm \sqrt{2} \). 
 
19. **Problema:** Resolva a integral dupla \( \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} (x+y) \, dy \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{6} \) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \( \int_{0}^{1} \left[ xy + \frac{y^2}{2} 
\right]_{0}^{1-x} \, dx = \int_{0}^{1} \left[ x(1-x) + \frac{(1-x)^2}{2} \right] \, dx \). 
 
20. **Problema:** Encontre a solução geral da equação diferencial \( y' = y \ln(y) \). 
 **Resposta:** \( y = e^{C - x} \) 
 **Explicação:** Separando as variáveis e integrando, obtemos \( \ln(y) = -x + C \), então \( y 
= e^{C - x} \). 
 
21. **Problema:** Resolva a equação \( \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = \pm 1 \) 
 **Explicação:** A equação se zera quando o numerador é zero, resultando em \( x^2 - 1 = 0 
\). 
 
22. **Problema:** Encontre a derivada de \( \arctan(x^2) \). 
 **Resposta:** \( \frac{2x}{1 + x^4} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, a derivada de \( \arctan(u) \) é \( \frac{1}{1 + u^2} 
\cdot u' \), onde \( u = x^2 \). 
 
23. **Problema:** Determine a integral de \( \int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{2} \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \), a integral se 
torna \( \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 + \cos(2x)) \, dx \). 
 
24. **Problema:** Encontre a soma dos valores próprios da matriz \( C = \begin{pmatrix} 3 & 0 
\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \). 
 **Resposta:** \( 2 \) 
 **Explicação:** A soma dos valores próprios de uma matriz é igual à sua traço, que é a soma 
dos elementos diagonais. 
 
25. **Problema:** Prove que a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) converge. 
 **Resposta:** Converge para \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 **Explicação:** A série é conhecida como a série de Basileu e converge para \( 
\frac{\pi^2}{6} \) pela fórmula de Euler. 
 
26. **Problema:** Resolva a equação \( \sqrt{x + \sqrt{x}} = 2 \). 
 **Resposta:** \( x = 3 \) 
 **Explicação:** Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo, obtemos \( x = 3 \). 
 
27. **Problema:** Determine o número de soluções reais da equação \( x^3 - 3x + 2 = 0 \). 
 **Resposta:** 3 
 **Explicação:** Fatorando \( x^3 - 3x + 2 \), obtemos \( (x - 1)(x + 1)(x - 2) = 0 \), resultando 
em três soluções reais. 
 
28. **Problema:** Encontre a integral \( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 **Explicação:** A integral é uma forma conhecida da integral de Gauss, cuja solução é \( 
\frac{\sqrt{\pi}}{2} \). 
 
29. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 **Resposta:** \( 1 \) 
 **Explicação:** Este é um limite fundamental conhecido na análise matemática. 
 
30. **Problema:** Resolva a equação \( \log(x^2 + 1) = 2 \). 
 **Resposta:** \( x = \pm \sqrt{99} \) 
 **Explicação:** Transformando a equação exponencialmente, obtemos \( x^2 + 1 = 100 \), 
então \( x = \pm \sqrt{99} \). 
 
31. **Problema:** Encontre a transformada de Laplace de \( t^2 \). 
 **Resposta:** \( \frac{2}{s^3} \) 
 **Explicação:** A fórmula para a transformada de Laplace de \( t^n \) é \( \frac{n!}{s^{n+1}} 
\).